几何图形计数

四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。

练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。

几何图形的计数一、常用的几个简单几何图形的计数公式
1．数线段、三角形、角
2．数长方形、平行四边形和梯形
3．数正方形
二、常用的几个简单图形计数公式的一些应用
例1 图6－7中共有多少个三角形？
例 2 图6－9中有多少个正方形（图中所有小格子都是形状与面积一样的正方形）？
例3 图6－10中有多少个长方形（图中所有横线彼此平行，所有竖线彼此平行，且外面的四边形是个长方形）？
习题六
1．图6－12的各图中各有多少条线段？
2．图6－13的各图中各有多少个三角形？
3．图6－14的各图中各有多少个锐角？
4．数一数图6－15中有多少个三角形？
5．图6－16的各图中各有多少个长方形（图（a）和图（b）最外边的四边形都是一个长方形，另外，两图中所有横线段彼此平行，所有竖线段彼此平行）
6．图6－17的各图中有多少个正方形（图中每个小格四边形是形状、面积都一样的正方形）？
7．数一数图6－18中有多少个平行四边形（图中最外边的四边形是平行四边形，另外横线段彼此平行，斜线段也彼此平行）？
8．数一数图6－19中有多少个梯形（图中最外层的四边形是梯形，另外的所有横线段彼此平行，斜线段彼此都不平行）？
9．数一数图6－20中有多少个长方形（图中最外层的四边形是长方形，另外，所有横线段彼此平行所有竖线段彼此平行）？10．在线段AB上添一点C，
便得到AB、BC、AB三条线段；在线段AB上添两点C和D，便可得到AC、CD、DB、AD、CB、AB六条线段。

问要在线段AB上添几个点，才能得到36条线段？。

几何图形中的计数问题（临泉田家炳实验中学 安庆旺 236400）将两个计数原理（分类加法计数原理、分步计数原理）与几何图形相结合，解决几何图形中的计数问题。

这类问题是在知识的交汇点处设计问题，具有一定的综合性和灵活性，是高考和竞赛考试的热点问题。

能较好地考查学生对两个原理的理解与应用，同时也能考查学生的空间想象能力、转化问题能力、分析问题和解决问题的能力。

下面举例说明。

1 适当分类例1 （1998高中数学联赛）在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是（ ）)(A 57 )(B 49 )(C 43 )(D 37解析：按共线三点组的性质进行适当分类: ①两端都是正方体顶点的共线三点组有2827828=⨯=C 个； ②两端都是正方体各棱中点的共线三点组有182312=⨯个； ③两端都是正方体各个面的中心的共线三点组有3216=⨯个 且没有其他的共线三点组，所以共线三点组共有4932818=++个.例2 在图1的86⨯方格中,点A,则以这些直线为边,且过点A 的矩形共有多少个？解析：构成矩形需要两条水平的边和两条竖直的边，在本题中，可根据点A 所在的位置进行分成三类：①当点A 为所选矩形的顶点时，必选水平的边4n 和竖直的边3m ，再从另外的水平边123567,,,,,n n n n n n 任选一条，从另外的竖直边12456789,,,,,,,m m m m m m m m 任选一条，一共有116848C C ⋅=个矩形；②当点A 在水平的边上，且不为顶点时，水平的边4n 必选，而竖直的边3m 不选，否则，A 为顶点，n6n5n4n3n2n1再从另外的水平边123567,,,,,n n n n n n 任选一条，从另外的竖直边12,m m 任选一条，456789,,,,,m m m m m m 任选一条，一共有11162672C C C ⋅⋅=个矩形； ③当点A 在竖直的边上，且不为顶点时，水平的边4n 不选，而竖直的边3m 必选，再从另外的水平边123,,n n n 任选一条，从567,,n n n 中任选一条，从竖直边12456789,,,,,,,m m m m m m m m 任选一条，一共有11133872C C C ⋅⋅=个矩形； 所以，以这些直线为边,且过点A 的矩形共有 487272192++=个。

几何计数知识结构一、公式计算法几何计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个数，也包括数立体图形的个数。

图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。

三年级学习的线段、长方形和正方形的计数就属于公式计算法。

（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，那么线段总数是（n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1（2）如果一个长方形的长边上有n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的总数是（1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m）（3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总数是n2＋（n－1）2＋（n－2）2＋…＋32＋22＋12上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。

二、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．重难点（1）分类数图形。

（2）对应法数图形。

例题精讲一、分类数图形【例 1】下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【巩固】如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【例 2】图中有______个正方形．【巩固】数一数：图中共有________ 个正方形。

【例 3】 右图中三角形共有 个．【巩固】 数一数图中有_______个三角形．【例 4】 图中共有多少个三角形？CB A【巩固】 下图是由边长为1的小三角形拼成，其中边长为4的三角形有_____个。

【例 5】 如图，每个小正方形的面积都是l 平方厘米。

则在此图中最多可以画出__________个面积是4平方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。

几何中的计数问题公式几何中计数问题是许多研究者和学生们持续关注的一个重要领域。

这种类型的问题不仅困难，而且提供了令人兴奋的机会来解决一些基本的几何问题。

几何中计数问题的解决方法往往会涉及到一些公式，这些公式可以帮助我们解决特定的几何问题。

其中一种最经典的公式就是欧几里得的算数公式。

欧几里得的算数公式非常简单而实用，是一个通项公式，可以应用于任何正整数的数学问题。

该公式通过涉及到四个项目“n+1”，“n-1”，“n+2”和“n-2”，可以表达一个数字连续增加或减少的量。

公式如下：F(n)=F(n-1) + [2F(n-2)-F(n+1)]欧几里得的算数公式可以被用来解决几何中的计数问题。

例如，在一个二维平面上，欧几里得的算数公式可以用来计算边缘图形的内角总角度的总和。

另外，欧几里得的算数公式还可以用来解决几何中复杂情况的计数问题。

比如，假如存在一个多维地理位置的空间，欧几里得的算数公式可以用来计算该空间位置上任何点到其他离散点的距离平均值。

此外，几何中的计数问题还可以用另一个通项公式来解决，这就是帕累托的领数公式。

该公式用于解决具有两个参数的几何计数问题，其中，一个参数表示位置，另一个参数表示指数。

公式如下：F(k,n)= 2^(k-1)*(n-1)!帕累托的领数公式可以用来解决几何中的多项式计数问题。

例如，可以用它来计算一个多面体所有面的总数，或者找到一个多面体的体积。

此外，几何中的计数问题也可以用另一种非常常见的公式来解决，即伽马函数。

伽马函数可以用来表示一个几何形状内任意两点之间的距离。

其公式如下：F(n,m)= 2^(-n/2)*sqrt(n)*sqrt(m)伽马函数可以用来计算一个几何体内部任何两点之间的距离，它还可以用来计算该几何体的表面积。

因此，可以看出，几何中的计数问题是可以通过使用不同的公式来解决的。

欧几里得的算数公式、帕累托的领数公式和伽马函数都可以为我们提供帮助，在解决一些几何中的计数问题时可以使用它们。

几何图形的计数【点与线的计数】例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？（全国第二届“华杯赛”决赛试题）讲析：可用“分组对应法”来计数。

将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。

第一排三角形有1个，其下行线有2点；第二排三角形有3个，其下行线有3点；第三排三角形有5个，其下行线有4点；以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。

所以是小三角形个数多。

例2直线m上有4个点，直线n上有5个点。

以这些点为顶点可以组成多少个三角形？（如图5.46）（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。

直线n 上有5个点，这5点共可以组成4＋3＋3++2＋1＋1==10（条）线段。

以这些线段分别为底边，m 上的点为顶点，共可以组成4×1×100=40（个）三角形。

同理，m 上4个点可以组成6条线段。

以它们为底边，以n 上的点为顶点可以组成6×5×5==30（个）三角形。

所以，一共可以组成70个三角形。

【长方形与三角形的计数】例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，个相同的小正方形，它们一共有它们一共有16个顶点，个顶点，以其中不在一条直线上的以其中不在一条直线上的3点为顶点，点为顶点，可以构成三角形。

可以构成三角形。

可以构成三角形。

在这些在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？（全国第三届“华杯赛”复赛试题）为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。

①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4×4×4×4==32（个）； ②高为2，底边长为3的三角形有8×2×2==16（个）。

所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。

例2 图5.48中共有_中共有_______个三角形。

第六讲几何图形的计数趣谈一、常用的几个简单几何图形的计数公式1．数线段、三角形、（锐）角的公式数出图6－1中各条线段上线段的总条数。

图6－1(a)中只有两个点A、B、只有一条线段。

图6－1(b)中有A、B、C三个点，这三个点将线段AC分割成AB、BC两条小线段，这两条小线段连起来组成一条新线段AC，所以图6－1(b)中有三条线段算式为2＋1＝3。

图6－1(c)中有A、B、C、D四个点，这四个点将线段AD分割成AB、BC、CD三条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成两条新线段AC、BD，然后相邻的三条小线段连起来组成一条新线段AD，所以图6－1(c)中共有6条线段，算式为3＋2＋1＝6。

图6－1(d)中在有A、B、C、D、E五个点，这五个点将线段AE分割成AB、BC、CD、DE四条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成三条新线段AC、BD、CE；再将相邻的三条小线段连起来又组成两条新线段AD、BE；最后相邻的四条小线段连起来又组成一条新线段AE。

所以图6－1(d)中共有10条线段。

算式为4＋3＋2＋1＝10。

图6－1(e)中有A、B、C、D、E、F六个点，这六个点将线段分割成AB、BC、CD、DE、EF五条小线段；这五条小线段中的任意相邻两条小线段连起来又组成四条新线段AC、BD、CE、DF；然后将相邻三条小线段连在一起又组成三条新线段AD、BE、CF；再将相邻四条小线段连起来又组成两条新线段AE、BF；最后五条相邻小线段连起来又组成一条新线段AF。

所以图6－1（e）中共有15条线段。

算式为5＋4＋3＋2＋1＝15。

将上述几种情况一般化，如果某条线段上共有n个点（包括两个端点），那么这n个点将线段分割成n－1条小线段，这n－1条小线段中，任意相邻两条小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－2条。

另外，这n－1条小线段中，任意三条相邻小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－3条。

第四讲：数几何图形的个数“数几何图形的个数”是趣味图形问题的一种。

数图形虽然很简单，但重复计数和遗漏是经常出现的错误，在细心的同时还要掌握方法和技巧。

一、数线段1. 数出下列每条线段上线段的总条数。

分析与解：数线段的时候一定按一定的顺序数，否则就会出现重复或遗漏。

数时可以先数最基本的小线段，再数两条基本线段组成的线段，再数三条基本线段组成的线段，……，最后把各种“线段”条数相加起来。

法一：照下面的方法数(以第2小题为例)：3+2+1=6（条）法二：(规律) 线段总条数都是从1开始的几个连续自然数的和，而且最后一个加数正好和最基本线段数相同。

（1）（条）（2）（条）（3）（条）二、数角2. 数出右图中总共有多少个角.分析与解：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）.令狐老师注：数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数.【巩固】数一数右图中总共有多少个角？分析与解：因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基本角.所以总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）.三、数三角形3. 如右图中，各个图形内各有多少个三角形？分析与解：方法一：(1)先数图中包含一个小三角形个数：△ABD、△ADE、△AEF、△AFC 共4个三角形.(2)再数由两个小三角形组合在一起的三角形个数：△ABE、△ADF、△AEC 共3个三角形，(3)以三个小三角形组合在一起的三角形：△ABF、△ADC 共2个三角形，(4)最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.方法二：我们就可以把数三角形问题转化为数线段问题了。

几何图形的计数(基本图形)我们已经学习了一些几何图形的有关知识，这些图形有线段、角、三角形、长方形、正方形、梯形、平行四边形，这一讲数学课外兴趣活动就教大家数数图形的个数。

有的同学说，“我们都四年级了，数图形个数谁不会，还用教吗？”请看这里有几条线段,&127;可能你会不加思索地说“2条”，你看到的是这样两条,&127;可是实际上还有一条你数漏了，所以这一题正确的回答应是“3条”。

如果一条直线上有100个点，线段有多少条呢？&127;用数的办法是非常麻烦的，那么今天我们就要用列表找规律的方法研究数基本图形的方法。

例1：数出下图有多少条线段？分析:线段有两个端点，从第一个端点出发的线段有4条，从第二个端点出发的线段有3条，从第三个端点出发的线段有3条，从第四个端点出发的线段有3条，从第五个端点出发的线段有0条。

线段总数共有4+3+2+1+0=10(条)方法二:如果称相邻的两端点组成的线段为基本线段,那么中有4条基本线段,其中的两条基本线段组成的线段有3条,其中由三条基本线段组成的线段有2条其中由四条基本线段组成的线段有1条线段总数是4+3+2+1=10(条)小结:由例1我们可以看出线段总数的计算是有一定规律的,&127; 我们可以用列表的方法找出计算线段总数的公式:图形端点数基本线段数线段总数2 1 13 2 2+1=34 3 3+2+1=65 4 4+3+2+1=10………规律:基本线段数=端点数-1线段总数=基本线段数+(基本线段数-1)+(基本线段数-2)+…+2+1例2:数出下图一共有多少个角?分析:角是由同一点引出两条射线组成的图形,由例1&127;你能设计出一个表格来找出数角总数的规律吗?图形射线数基本角数角总数2 1 13 2 2+1=34 3 3+2+1=6………这一题同样也有两种数法:方法一:由第一条射线出发的角有4个由第二条射线出发的角有3个由第三条射线出发的角有2个由第四条射线出发的角有1个共有4+3+2+1=10(个)方法二:基本角有4个由两个基本角组成的角有3个由三个基本角组成的角有2个由四个基本角组成的角有1个角总数为4+3+2+1=10(个)规律:基本角数=射线数-1角总数=基本角数+(基本角数-1)+(基本角数-2)+…+2+1例3:数数下图共有多少个三角形?分析:有了例1与例2的知识你能自己找出规律吗?方法一:从A点出发的三角形个数是3个从B点出发的三角形个数是2个从C点出发的三角形个数是1个三角形总数是3+2+1=6(个),恰好与底边有多少条线段的得数相同方法二:从顶角看,角的总数也恰好与三角形个数相同:顶角共有3+2+1=&127;6(个)角, 三角形共有6个角你能写出数三角形的公式吗?三角形总个数=基本三角形个数+(基本三角形个数-1)+(基本三角形个数-2)+…+2+1例4:数数下图共有多少个长方形?(包括正方形)分析:长方形的长和宽都是线段,由线段构成的长方形个数一定与线段数有关,横着看: 每一排的长方形个数共有3+2+1=6(个)&127;恰好与长的线段总数相同:竖着看:有3排2+1=3,恰好与宽的线段总数相同,&127;一共有(3+2+1)×(2+1)=18(个)长方形。

几何计数,数线段,直接利用公式几何计数是数学中的一个重要概念，用于计算平面内的几何图形的个数。

在几何计数中，数线段是一个常见的问题。

利用公式可以简单地计算出给定平面内线段的个数。

假设给定平面上有n个点，我们可以用这些点来构造线段。

在这些点中，任选两个点可以确定一条唯一的线段。

因此，我们可以从n个点中选择任意两个点，即C(n, 2)种选择方式。

而C(n, 2)代表从n个元素中选择2个元素的组合数，计算公式为：C(n, 2) = n! / [(2!(n-2)!]其中n!表示n的阶乘，即从1到n的连续乘积。

由于计算阶乘可能会非常复杂，因此我们可以利用简化的公式来计算C(n, 2)。

假设n>=2，我们可以简化上述公式为：C(n, 2) = n * (n-1) / 2这个简化公式表示，从n个点中选择任意两个点构成线段，共有n * (n-1) / 2种可能。

例如，给定一个平面上有5个点，我们可以利用简化公式计算出线段的个数：C(5, 2) = 5 * (5-1) / 2 = 5 * 4 / 2 = 10因此，给定5个点的平面上有10个线段。

需要注意的是，这个计算的结果包含了所有不同长度的线段，包括长度为0的线段（即两个点重合的情况）。

如果要求线段的长度大于0，则需要做进一步的筛选和排除。

另外，上述公式只适用于计算给定平面上的线段个数。

如果要考虑不同平面之间的连接，或者给定了其他限制条件（例如线段不能相交），则需要另外的计算方法。

综上所述，利用公式可以简单地计算给定平面内线段的个数。

通过选择任意两个点，利用组合数公式可以计算出线段个数。

这对于几何计数问题中的线段数量问题是一个有用的工具。

几何计数（一）1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成21223(2)2n n n++++=++……个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【考点】简单的几何计数【难度】1星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题教学目标例题精讲知识要点【解析】如图：6条．【答案】6条【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A） 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛，第1题【解析】通过观察可知，第1，2，5这三张图片是有对称轴的，其他的5张图片都没有对称轴，所以没有对称轴的个数为5，正确答案是C。

几何计数的四种常用方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊几何计数的四种常用方法。

你看啊，几何计数就像是在一个奇妙的图形世界里数星星，得有窍门才行。

第一种方法呢，就像按图索骥，我们直接去数那些明显的图形。

这多直接呀，就好比你在一堆糖果里找红色的那颗，一眼就能瞧见。

可别小瞧这方法，有时候简单直接最管用呢！再来说说第二种方法，就像是顺藤摸瓜。

我们找到一些规律，顺着这些规律去计数。

比如说一个图形是按规律排列的，那我们就跟着这个规律走，一个一个地数清楚。

这就好像你知道每天上学的路上会经过几个红绿灯，心里有数得很呐！第三种方法呢，有点像拼图游戏。

我们把复杂的图形拆分成几个简单的部分，分别去计数，然后再合起来。

哎呀呀，这就像把一个大拼图分成小块，数完了再拼回去，多有意思！还有第四种方法，像是走迷宫找出口。

我们通过一些巧妙的计算或者推理，找到计数的方法。

这可得动点小脑筋啦，就像你在迷宫里找路，得仔细琢磨琢磨呢！比如说那个三角形，一个大三角形里又有好多小三角形，你要是没点方法，那不得数得眼花缭乱呀！可要是用对了方法，就像找到了打开宝库的钥匙，一下子就清楚啦。

几何计数可不只是在纸上随便画画数数，它就像生活中的小智慧。

你想想，你收拾房间的时候，是不是得知道有多少东西要放呀；或者你去超市买东西，得清楚自己买了几种不同的商品吧。

几何计数也是一样，让我们更清楚地了解图形的奥秘。

所以啊，大家可别小看这几何计数的四种常用方法，它们就像是我们探索图形世界的秘密武器。

只要我们用心去学，去用，就能在这个图形的海洋里畅游无阻。

好好掌握它们吧，朋友们！让我们一起在几何的世界里玩得开心，数得精彩！。

几何计数知识结构一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步 求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类（1） 数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条（2） 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．（3） 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．（4） 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．重难点（1） 重点：三角形、长方形、正方形的计数方法. （2） 难点:复杂正方的计数技巧例题精讲ED CBA【例 1】 数一数，共有________条线段.【考点】简单几何计数【难度】1星【题型】计算【解析】 一共有：12345621+++++=（条）。

几何计数公式，数正方形、长方形、三角形几何计数小学阶段主要是数正方形、长方形、三角形。

有许多公式和技巧，今天主要介绍一下这三种图形的计算公式。

正方形图1：n×n个小方格组成的n行n列的正方形图2：m×n个小方格组成的n行m列的长方形(长被分成m等份，宽被分成n 等份)图1正方形个数：n²+(n-1)²+(n-2)²+........+3²+2²+1²=n(n+1)(2n+1)÷61×1的正方形有：n²个2×2的正方形有：(n-1)²个...n×n的正方形有：1²个图2正方形个数：mn+(m-1)(n-1)+(m-2)(n-2)+.......+(m-n+1)(n-n+1)1×1的正方形有：mn个2×2的正方形有：(m-1)(n-1)个...n×n的正方形有：(m-n+1)(n-n+1)个数正方形的公式，主要利用加法原理，把每一类的个数相加。

长方形(一个长方形的长被分成a份，宽被分成b份)长方形个数：((a+1)a÷2)×((b+1)b÷2)数长方形方形的公式，主要利用乘法原理：长边上的线段数×宽边上的线段数图3上图中：长被分成4份，宽被分成3份，所以长方形个数=((4+1)×4÷2)×((3+1)×3÷2)=60(个)三角形，如图4，计算这种图形中的三角形个数，本质就是数线段因为所有的三角形都以最上面的点为顶点，所以看下面两条线段共包含多少个线段即可。

图4数线段的方法，如果一个线段上共n个点，那么线段数是：1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2或者熟悉排列组合的话，可以用组合C(n,2)所以图4中共有三角形：C(6,2)×2=30(个)上面说的都是一些最基本的公式，但实际考试时变化会非常多。

第二讲图形计数几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．一：简单图形计数的方法。

二：复杂图形计数的方法和找规律的方法。

例（1）数出右图中总共有多少个角例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？例（3）数一数图中长方形的个数例（4）数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.例（5）数一数图中三角形的个数例（6）数一数图中一共有多少个三角形？A一、填空题:1.右图一共有( )个长方形?2.右图一共有( )个长方形?3.右图一共有( )个长方形？4.右图一共有( )个正方形？5.右图一共有( )个长方形？6.右图一共有( )个平行四边形?7.右图一共有( )个梯形？8.右图一共有( )个正方形？9.右图一共有( )个正方形?10.右图一共有( )个正方形?二、解答题:11.下图共有几个正方形?12.下图共有几个正方形?13.在一个图案中有100个矩形、100个菱形和40个正方形,这个图案中至少有多少个平行四边形?14.三个同样的正方形框架,摆放在适当的位置,最多可以数出多少个正方形来?B一、填空题1. 下图中长方形（包括正方形）总个数是_____.2. 下图中有正方形_____个,三角形_____个,平行四边形_____个,梯形_____个.3. 下图中共出现了_____个长方形.4. 先把正方形平均分成8个三角形.再数一数,它一共有_____个大小不同的三角形.5. 图形中有_____个三角形.6．如下图,一个三角形分成36个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色,两个有公共边的小三角形要涂上不同的颜色,已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多,那么多_____个.7. 把一条长15cm的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线段可以组成多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等时，我们称这两个三角形是相同的.）C1. 右图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见.图中共有_____个小立方体.2. 下图中共有_____个正方形.3. 有九张同样大小的圆形纸片,其中标有数码“1”的有1张；标有数码“2”的有2张；标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。