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四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。
练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。
几何图形的计数一、常用的几个简单几何图形的计数公式
1．数线段、三角形、角
2．数长方形、平行四边形和梯形
3．数正方形
二、常用的几个简单图形计数公式的一些应用
例1 图6－7中共有多少个三角形？
例 2 图6－9中有多少个正方形（图中所有小格子都是形状与面积一样的正方形）？
例3 图6－10中有多少个长方形（图中所有横线彼此平行，所有竖线彼此平行，且外面的四边形是个长方形）？
习题六
1．图6－12的各图中各有多少条线段？
2．图6－13的各图中各有多少个三角形？
3．图6－14的各图中各有多少个锐角？
4．数一数图6－15中有多少个三角形？
5．图6－16的各图中各有多少个长方形（图（a）和图（b）最外边的四边形都是一个长方形，另外，两图中所有横线段彼此平行，所有竖线段彼此平行）
6．图6－17的各图中有多少个正方形（图中每个小格四边形是形状、面积都一样的正方形）？
7．数一数图6－18中有多少个平行四边形（图中最外边的四边形是平行四边形，另外横线段彼此平行，斜线段也彼此平行）？
8．数一数图6－19中有多少个梯形（图中最外层的四边形是梯形，另外的所有横线段彼此平行，斜线段彼此都不平行）？
9．数一数图6－20中有多少个长方形（图中最外层的四边形是长方形，另外，所有横线段彼此平行所有竖线段彼此平行）？10．在线段AB上添一点C，
便得到AB、BC、AB三条线段；在线段AB上添两点C和D，便可得到AC、CD、DB、AD、CB、AB六条线段。
问要在线段AB上添几个点，才能得到36条线段？。
几何图形中的计数问题（临泉田家炳实验中学 安庆旺 236400）将两个计数原理（分类加法计数原理、分步计数原理）与几何图形相结合，解决几何图形中的计数问题。
这类问题是在知识的交汇点处设计问题，具有一定的综合性和灵活性，是高考和竞赛考试的热点问题。
能较好地考查学生对两个原理的理解与应用，同时也能考查学生的空间想象能力、转化问题能力、分析问题和解决问题的能力。
下面举例说明。
1 适当分类例1 （1998高中数学联赛）在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是（ ）)(A 57 )(B 49 )(C 43 )(D 37解析：按共线三点组的性质进行适当分类: ①两端都是正方体顶点的共线三点组有2827828=⨯=C 个； ②两端都是正方体各棱中点的共线三点组有182312=⨯个； ③两端都是正方体各个面的中心的共线三点组有3216=⨯个 且没有其他的共线三点组，所以共线三点组共有4932818=++个.例2 在图1的86⨯方格中,点A,则以这些直线为边,且过点A 的矩形共有多少个？解析：构成矩形需要两条水平的边和两条竖直的边，在本题中，可根据点A 所在的位置进行分成三类：①当点A 为所选矩形的顶点时，必选水平的边4n 和竖直的边3m ，再从另外的水平边123567,,,,,n n n n n n 任选一条，从另外的竖直边12456789,,,,,,,m m m m m m m m 任选一条，一共有116848C C ⋅=个矩形；②当点A 在水平的边上，且不为顶点时，水平的边4n 必选，而竖直的边3m 不选，否则，A 为顶点，n6n5n4n3n2n1再从另外的水平边123567,,,,,n n n n n n 任选一条，从另外的竖直边12,m m 任选一条，456789,,,,,m m m m m m 任选一条，一共有11162672C C C ⋅⋅=个矩形； ③当点A 在竖直的边上，且不为顶点时，水平的边4n 不选，而竖直的边3m 必选，再从另外的水平边123,,n n n 任选一条，从567,,n n n 中任选一条，从竖直边12456789,,,,,,,m m m m m m m m 任选一条，一共有11133872C C C ⋅⋅=个矩形； 所以，以这些直线为边,且过点A 的矩形共有 487272192++=个。
几何计数知识结构一、公式计算法几何计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个数，也包括数立体图形的个数。
图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。
三年级学习的线段、长方形和正方形的计数就属于公式计算法。
（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，那么线段总数是（n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1（2）如果一个长方形的长边上有n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的总数是（1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m）（3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总数是n2＋（n－1）2＋（n－2）2＋…＋32＋22＋12上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。
二、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．重难点（1）分类数图形。
（2）对应法数图形。
例题精讲一、分类数图形【例 1】下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【巩固】如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【例 2】图中有______个正方形．【巩固】数一数：图中共有________ 个正方形。
【例 3】 右图中三角形共有 个．【巩固】 数一数图中有_______个三角形．【例 4】 图中共有多少个三角形？CB A【巩固】 下图是由边长为1的小三角形拼成，其中边长为4的三角形有_____个。
【例 5】 如图，每个小正方形的面积都是l 平方厘米。
则在此图中最多可以画出__________个面积是4平方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。
几何中的计数问题公式几何中计数问题是许多研究者和学生们持续关注的一个重要领域。
这种类型的问题不仅困难，而且提供了令人兴奋的机会来解决一些基本的几何问题。
几何中计数问题的解决方法往往会涉及到一些公式，这些公式可以帮助我们解决特定的几何问题。
其中一种最经典的公式就是欧几里得的算数公式。
欧几里得的算数公式非常简单而实用，是一个通项公式，可以应用于任何正整数的数学问题。
该公式通过涉及到四个项目“n+1”，“n-1”，“n+2”和“n-2”，可以表达一个数字连续增加或减少的量。
公式如下：F(n)=F(n-1) + [2F(n-2)-F(n+1)]欧几里得的算数公式可以被用来解决几何中的计数问题。
例如，在一个二维平面上，欧几里得的算数公式可以用来计算边缘图形的内角总角度的总和。
另外，欧几里得的算数公式还可以用来解决几何中复杂情况的计数问题。
比如，假如存在一个多维地理位置的空间，欧几里得的算数公式可以用来计算该空间位置上任何点到其他离散点的距离平均值。
此外，几何中的计数问题还可以用另一个通项公式来解决，这就是帕累托的领数公式。
该公式用于解决具有两个参数的几何计数问题，其中，一个参数表示位置，另一个参数表示指数。
公式如下：F(k,n)= 2^(k-1)*(n-1)!帕累托的领数公式可以用来解决几何中的多项式计数问题。
例如，可以用它来计算一个多面体所有面的总数，或者找到一个多面体的体积。
此外，几何中的计数问题也可以用另一种非常常见的公式来解决，即伽马函数。
伽马函数可以用来表示一个几何形状内任意两点之间的距离。
其公式如下：F(n,m)= 2^(-n/2)*sqrt(n)*sqrt(m)伽马函数可以用来计算一个几何体内部任何两点之间的距离，它还可以用来计算该几何体的表面积。
因此，可以看出，几何中的计数问题是可以通过使用不同的公式来解决的。
欧几里得的算数公式、帕累托的领数公式和伽马函数都可以为我们提供帮助，在解决一些几何中的计数问题时可以使用它们。
几何图形的计数【点与线的计数】例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？（全国第二届“华杯赛”决赛试题）讲析：可用“分组对应法”来计数。
将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。
第一排三角形有1个，其下行线有2点；第二排三角形有3个，其下行线有3点；第三排三角形有5个，其下行线有4点；以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。
所以是小三角形个数多。
例2直线m上有4个点，直线n上有5个点。
以这些点为顶点可以组成多少个三角形？（如图5.46）（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。
直线n 上有5个点，这5点共可以组成4＋3＋3++2＋1＋1==10（条）线段。
以这些线段分别为底边，m 上的点为顶点，共可以组成4×1×100=40（个）三角形。
同理，m 上4个点可以组成6条线段。
以它们为底边，以n 上的点为顶点可以组成6×5×5==30（个）三角形。
所以，一共可以组成70个三角形。
【长方形与三角形的计数】例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，个相同的小正方形，它们一共有它们一共有16个顶点，个顶点，以其中不在一条直线上的以其中不在一条直线上的3点为顶点，点为顶点，可以构成三角形。
可以构成三角形。
可以构成三角形。
在这些在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？（全国第三届“华杯赛”复赛试题）为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。
①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4×4×4×4==32（个）； ②高为2，底边长为3的三角形有8×2×2==16（个）。
所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。
例2 图5.48中共有_中共有_______个三角形。
第六讲几何图形的计数趣谈一、常用的几个简单几何图形的计数公式1．数线段、三角形、（锐）角的公式数出图6－1中各条线段上线段的总条数。
图6－1(a)中只有两个点A、B、只有一条线段。
图6－1(b)中有A、B、C三个点，这三个点将线段AC分割成AB、BC两条小线段，这两条小线段连起来组成一条新线段AC，所以图6－1(b)中有三条线段算式为2＋1＝3。
图6－1(c)中有A、B、C、D四个点，这四个点将线段AD分割成AB、BC、CD三条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成两条新线段AC、BD，然后相邻的三条小线段连起来组成一条新线段AD，所以图6－1(c)中共有6条线段，算式为3＋2＋1＝6。
图6－1(d)中在有A、B、C、D、E五个点，这五个点将线段AE分割成AB、BC、CD、DE四条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成三条新线段AC、BD、CE；再将相邻的三条小线段连起来又组成两条新线段AD、BE；最后相邻的四条小线段连起来又组成一条新线段AE。
所以图6－1(d)中共有10条线段。
算式为4＋3＋2＋1＝10。
图6－1(e)中有A、B、C、D、E、F六个点，这六个点将线段分割成AB、BC、CD、DE、EF五条小线段；这五条小线段中的任意相邻两条小线段连起来又组成四条新线段AC、BD、CE、DF；然后将相邻三条小线段连在一起又组成三条新线段AD、BE、CF；再将相邻四条小线段连起来又组成两条新线段AE、BF；最后五条相邻小线段连起来又组成一条新线段AF。
所以图6－1（e）中共有15条线段。
算式为5＋4＋3＋2＋1＝15。
将上述几种情况一般化，如果某条线段上共有n个点（包括两个端点），那么这n个点将线段分割成n－1条小线段，这n－1条小线段中，任意相邻两条小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－2条。
另外，这n－1条小线段中，任意三条相邻小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－3条。
第四讲：数几何图形的个数“数几何图形的个数”是趣味图形问题的一种。
数图形虽然很简单，但重复计数和遗漏是经常出现的错误，在细心的同时还要掌握方法和技巧。
一、数线段1. 数出下列每条线段上线段的总条数。
分析与解：数线段的时候一定按一定的顺序数，否则就会出现重复或遗漏。
数时可以先数最基本的小线段，再数两条基本线段组成的线段，再数三条基本线段组成的线段，……，最后把各种“线段”条数相加起来。
法一：照下面的方法数(以第2小题为例)：3+2+1=6（条）法二：(规律) 线段总条数都是从1开始的几个连续自然数的和，而且最后一个加数正好和最基本线段数相同。
（1）（条）（2）（条）（3）（条）二、数角2. 数出右图中总共有多少个角.分析与解：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）.令狐老师注：数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数.【巩固】数一数右图中总共有多少个角？分析与解：因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基本角.所以总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）.三、数三角形3. 如右图中，各个图形内各有多少个三角形？分析与解：方法一：(1)先数图中包含一个小三角形个数：△ABD、△ADE、△AEF、△AFC 共4个三角形.(2)再数由两个小三角形组合在一起的三角形个数：△ABE、△ADF、△AEC 共3个三角形，(3)以三个小三角形组合在一起的三角形：△ABF、△ADC 共2个三角形，(4)最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.方法二：我们就可以把数三角形问题转化为数线段问题了。
几何图形的计数(基本图形)我们已经学习了一些几何图形的有关知识，这些图形有线段、角、三角形、长方形、正方形、梯形、平行四边形，这一讲数学课外兴趣活动就教大家数数图形的个数。
有的同学说，“我们都四年级了，数图形个数谁不会，还用教吗？”请看这里有几条线段,&127;可能你会不加思索地说“2条”，你看到的是这样两条,&127;可是实际上还有一条你数漏了，所以这一题正确的回答应是“3条”。
如果一条直线上有100个点，线段有多少条呢？&127;用数的办法是非常麻烦的，那么今天我们就要用列表找规律的方法研究数基本图形的方法。
例1：数出下图有多少条线段？分析:线段有两个端点，从第一个端点出发的线段有4条，从第二个端点出发的线段有3条，从第三个端点出发的线段有3条，从第四个端点出发的线段有3条，从第五个端点出发的线段有0条。
线段总数共有4+3+2+1+0=10(条)方法二:如果称相邻的两端点组成的线段为基本线段,那么中有4条基本线段,其中的两条基本线段组成的线段有3条,其中由三条基本线段组成的线段有2条其中由四条基本线段组成的线段有1条线段总数是4+3+2+1=10(条)小结:由例1我们可以看出线段总数的计算是有一定规律的,&127; 我们可以用列表的方法找出计算线段总数的公式:图形端点数基本线段数线段总数2 1 13 2 2+1=34 3 3+2+1=65 4 4+3+2+1=10………规律:基本线段数=端点数-1线段总数=基本线段数+(基本线段数-1)+(基本线段数-2)+…+2+1例2:数出下图一共有多少个角?分析:角是由同一点引出两条射线组成的图形,由例1&127;你能设计出一个表格来找出数角总数的规律吗?图形射线数基本角数角总数2 1 13 2 2+1=34 3 3+2+1=6………这一题同样也有两种数法:方法一:由第一条射线出发的角有4个由第二条射线出发的角有3个由第三条射线出发的角有2个由第四条射线出发的角有1个共有4+3+2+1=10(个)方法二:基本角有4个由两个基本角组成的角有3个由三个基本角组成的角有2个由四个基本角组成的角有1个角总数为4+3+2+1=10(个)规律:基本角数=射线数-1角总数=基本角数+(基本角数-1)+(基本角数-2)+…+2+1例3:数数下图共有多少个三角形?分析:有了例1与例2的知识你能自己找出规律吗?方法一:从A点出发的三角形个数是3个从B点出发的三角形个数是2个从C点出发的三角形个数是1个三角形总数是3+2+1=6(个),恰好与底边有多少条线段的得数相同方法二:从顶角看,角的总数也恰好与三角形个数相同:顶角共有3+2+1=&127;6(个)角, 三角形共有6个角你能写出数三角形的公式吗?三角形总个数=基本三角形个数+(基本三角形个数-1)+(基本三角形个数-2)+…+2+1例4:数数下图共有多少个长方形?(包括正方形)分析:长方形的长和宽都是线段,由线段构成的长方形个数一定与线段数有关,横着看: 每一排的长方形个数共有3+2+1=6(个)&127;恰好与长的线段总数相同:竖着看:有3排2+1=3,恰好与宽的线段总数相同,&127;一共有(3+2+1)×(2+1)=18(个)长方形。
几何图形计数问题例一、数一数，下图中包含几条线段。
解析：数线段是几何图形计数问题的重点和基础。
点和线段是基本的几何图形元素，一般可采取按照线段端点顺序分类．．。
．．计数．．加法○1编序号．．如图，我们先把题图线段上各点按顺序编序号，然后从“0”号端点开始计数。
以“0”号端点为左端点的一类线段有4−0=4条；以“1”号端点为左端点的一类线段有4−1=3条；以“2”号端点为左端点的一类线段有4−2=2条；以“3”号端点为左端点的一类线段有4−3=1条；将各类线段的数目相加，便可得到题图中所包含的线段总数：4+3+2+1=10我们发现：把题图左端点编为“0”，向右依次编号，一直到“4”，而题图中所包含的线段总数恰为4~1连续自然数的和：4+3+2+1=10；若某一线段上共有包含两端点在内的10个点，按照上述方法可编号为0~9；那么，这条线段所包含的线段总数应为：9+8+7+6+5+4+3+2+1=45○2数基本线段．．．．题图中，相邻两点间的线段，比如AAAA、AABB等，这类线段内不包含其它已知点，姑且称之为基本线段。
题图中有4条基本线段:AAAA、AABB、BBCC、CCDD；相邻两条基本线段相加: AAAA+AABB、AABB+BBCC、BBCC+CCDD，则组成3条线段；相邻三条基本线段相加: AAAA+AABB+BBCC、AABB+BBCC+CCDD，则组成2条线段；相邻四条基本线段相加: AAAA+AABB+BBCC+CCDD，则组成1条线段；将各类线段数目相加，便可得到题图中所包含的线段总数：4+3+2+1=10答：图中共有10条线段例二、如图，数一数，图中包含几个角。
解析：角的计数，可与线段计数采用相同的方法，即采用分类加法计数。
○1标注序号．．把题图中已知射线依序编号为0、1、2、3，如图所示。
一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，叫做角。
比如，射线OA绕公共端点O,沿顺时针方向旋转到射线OB的位置，便形成∠AOB .据此，则有：以0号射线为始边，沿顺时针方向分别旋转到射线1、2、3的位置所形成的角有3个；以1号射线为始边，沿顺时针方向分别旋转到射线2、3的位置所形成的角有2个；以2号射线为始边，沿顺时针方向旋转到射线3的位置所形成的角有1个；把这三类角的数目相加，便得到题图所包含的角的总数:3+2+1=6○2数基本角．．．具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
在题图已知的四条具有公共端点的射线中，任取两条相邻．．的射线都可以组成一个角，比如，射线OA与OB相邻，可构成∠AOB；不妨称这类角为“基本角”。
先数一数题图中有几个基本角，再按照不同的组合方式，用基本角来组成其他不同种类的角，最后各类数目相加。
题图中的基本角：∠AOB、∠BOC、∠COD，共有3个；由两个相邻基本角所组成的角：∠AOB+∠BOC、∠BOC+∠COD，共有2个；由三个相邻基本角所组成的角：∠AOB+∠BOC+∠COD，共有1个；则题图所包含的角的总数为:3+2+1=6.答：题图中包含6个角。
我们发现：题图所包含的角的总数等于由表示基本角数的数字开始到1的连续自然数之和：数数右图共包含多少角？解：右图共有6个基本角，所包含角的总数是6+5+4+3+3+1=21例三、如图，共有多少角？解析：本题与例二不同，要求数数一个周角内包含多少角。
解题方法可参考例二，采用分类相加计数。
题图共有4个基本角：∠1、∠2、∠3、∠4；相邻两个基本角相加，可组成4个角：∠1+∠2、∠2+∠3、∠3+∠4、∠4+1；相邻三个基本角相加，可组成4个角：∠1+∠2+∠3、∠2+∠3+∠4、∠3+∠4+∠1、∠4+∠1+∠2；相邻四个基本角相加，可组成1个角：∠1+∠2+∠3+∠4；这4类角的个数之和为：4×3+1=13答：图中共有13个角。
例四、如图，数数图中共有几个三角形。
解析：○1参照数线段的方法，按照三角形边的顺序来分类加法计数。
先把具有共有端点A的线段顺序标注序号，如图所示。
以0号边为左侧边的三角形有4个；以1号边为左侧边的三角形有3个；以2号边为左侧边的三角形有2个；以3号边为左侧边的三角形有1个；共有三角形10个：4+3+2+1=10○2数基本三角形．．．．．题图特征：○a所有三角形都具有公共顶点A;○b线段BF上有4条基本线段。
由A点分别连接一个基本线段的两端点，便可组成一个三角形，比如，∆ABC、∆ACD等，不妨称这类以A为公共顶点的三角形为基本三角形。
显然，题图中的基本三角形与线段BF上的基本线段的数目相同。
将相邻基本三角形两两、三三、四四组合，则可得到不同类型的三角形。
而各类三角形的总数则为由表示基本三角形数（即基本线段数）的数字开始一直到1的连续自然数之和:4+3+2+1=10例五、如图，数数图中包含多少三角形。
解：先不考虑GH线段，BF上共有4条基本线段，故题图共有10个三角形；GH上的基本线段数与BF相同，也是构成以A为公共顶点的三角形，所以又增加10个三角形；故图中包含的三角形总数为：2×10=20答：图中包含20个三角形。
例六、如图，猜猜图中共有几个三角形。
解析：本题特征是没有图中所有三角形都具有的公共顶点。
线段BC上有两条基本线段，分别与连接A点、D点的线段围成2个三角形:∆ABC、∆DGC线段AB上有两条基本线段，分别与连接C点、F点的线段围成2个三角形：∆ABC、∆AEF还有以D、H、F为顶点的∆DHF；所以，图中共有三角形数为：2+2−1+1=4例七、如图，数一数图中长方形的数目。
解析：仿照数线段的方法。
大长方形的长边上有4条基本线段，可以组成10条线段，而每条线段对应一个长方形，所以共有10个长方形；或者说，每条基本线段都对应一个小长方形，姑且称为基本长方形，即把大长方形分割为四个基本长方形，可以组成10个长方形；再简单一些，直接用由数字4开始直到1的连续自然数的求和计算：4+3+2+1=10例八、如图，数一数图中长方形的数目。
解析：分步．．．．。
．．相乘计数第一步，先看大长方形长边上的分割：依据例五中的题解，大长方形长边上的4条基本线段，把其分割为4个基本长方形，可组成总数为4+3+2+1=10 的小长方形；第二步，再看大长方形短边上的分割：与例五中的题解同理，大长方形短边上的2条基本线段，把其分割为2个基本长方形，可组成总数为2+1=3 的小长方形；所以，题图中长方形的总数目为：(4+3+2+1)×(2+1)=10×3=30例九、如图，图中有多少平行四边形。
解:(3+2+1)×(3+2+1)=6×6=36答：图中共有36个平行四边形。
例十、如图，长方形内包含多少正方形。
解析：查找正方形。
设小正方形的边长为1个基本单位，则题图长方形的长为6个基本单位，宽为5个基本单位。
○1边长为1基本单位的正方形个数为 6×5=30;○2边长为2基本单位的正方形个数为 5×4=20;○3边长为3基本单位的正方形个数为4×3=12；○4边长为4基本单位的正方形个数为3×2=6；○5边长为5基本单位的正方形个数为2×1=2；○6所有正方形个数：6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=70例十一、一副三角板如图放置，数数图中所包含的锐角、直角和钝角各有几个。
解析：一副三角板（一个是含有300角的直角三角形，另一个是含有450角的直角三角形），可以拼出许多不同的图形，是常用的几何作图技巧，也是常见的几何图形试题的命题模型。
本题这副三角板的放置特征:○1含300角的三角板的300角顶点与含450角的三角板的直角顶点重合；○2含300角的三角板的斜边与含450角的三角板的直角边重合。
图中包含锐角4个，直角2个，钝角2个。
例十二、如图，在长方形内，锐角、直角及钝角各有几个。
解析：通过估测对几何图形中的角进行分类查找．．．．，对存疑的角也可借助三角板等工具进行辅助判断。
锐角：8个；直角：8个；钝角：1个。
例十三、如图，数数图中的三角形、正方形、长方形、平行四边形及梯形，各有几个。
解析：解答这类综合性的几何图形计数问题，常常采取分类相加计数方法。
○1包含4个直角三角形在内，总计8个三角形；○2共有2个正方形；○3包含2个正方形在内，共有3个长方形；○4包含2个正方形，1个长方形在内，共有5个平行四边形；○5包含各类梯形在内，总计9个梯形，如图所示。
答：8个三角形，2个正方形，3个长方形，5个平行四边形，9个梯形。
例十四、如图，数数图中三角形的个数。
解析：以三角形的边长为标准，分类相加计数。
○1边长为1个基本单位长度的三角形共有16个；○2边长为2个基本单位长度的三角形共有7个；○3边长为3个基本单位长度的三角形共有3个；○4边长为4个基本单位长度的三角形共有1个；16+7+3+1=27所以，总计共有27个三角形，如图所示。
例十五、如图，数数图中三角形的个数。
解析：按照三角形不同的底边或公共顶点来分类相加计数。
○1B A边共有3条基本线段，可以组成6个以C点为公共顶点的三角形；○2B D边共有3条基本线段，可以组成6个以C点为公共顶点的三角形；○3分别以BA、BG、BF为底边，对应以D、E、F为顶点，可组成3个三角形；6×2+3=15所以，共有15个三角形。
