三角形几何证明每日一题(六)及答案

17．（7分）已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：18．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ．19、（10分）如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

求证：△AED ≌△BFC 。

20、（10分）如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

O ED C B A FE D C B AFAFE DCBA21、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。

求证：BD⊥AC。

22、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。

求证：BF=CF23、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。

求证：AF=DE。

DCBAF DCBAF BA24.公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上.25．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ．26.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。

27．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．D A FE 654321E DCADCBAE28．已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．29．已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．30如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：（1）AD ⊥EF ；（2）当有一点G 从点D 向A 运动时，GE ⊥AB 于E ，GF ⊥AC 于F ，此时上面结论是否成立？31.已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 ,求AD 的长？AC B DEF AEBF32．如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。

自学资料一、直角三角形【知识探索】1．如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等．（简记为：H.L）．【错题精练】例1．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1.0，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=______．【解答】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S2+S3=1.21，S3+S4=1.44，∴S1+S2+S3+S4=2.44．第1页共41页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训故填：2.44．【答案】2.44例2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，将边AB沿AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿AF翻折，使点C落在AD延长线上的点C′处，两条折痕与斜边BC分别交于点E，F，则线段C′F的长为（）A. 85B. √32C. 35D. 45【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，∴BC=10，∵将边AB沿AE翻折，使点B落在BC上的点D处，∴∠AEC=∠AEB，∠BAE=∠DAE，∵∠BED=180°，∴∠CEA=90°，即CE⊥AE，∵S△ABC=12AB×AC=12AE×BC，∴AE=4.8，在Rt△ACE中，CE=√AC2−AE2=6.4，∵将边AC沿AF翻折，使点C落在AD延长线上的点C′处，∴CF=C'F，∠CAF=∠C'AF，∵∠BAE+∠DAE+∠CAF+∠C'AF=∠BAC=90°，∴∠EAF=45°，且CE⊥AE，∴∠EAF=∠EFA=45°，∴AE=EF=4.8，∵CF=CE-EF=6.4-4.8=1.6，∴C'F=1.6=85，故选：A．【答案】A第2页共41页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训例3．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【答案】解：（1）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°．∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．又∵∠ADE=45°，∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．∴∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE．（2）①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=2，BC=22，AE=AC-EC=2-BD=2-（22-2）=4-22，③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．第3页共41页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=12AC=1．例4．△ABC是⊙O的内接三角形；（1）如图1，若BC=4√2，AC=7，∠ACB=45°，求⊙O的半径．（2）如图2，若AB=7，BC=5，AC=8，求∠C的度数及⊙O的半径．（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，BE是AC边上的高，连结BO．①请证明：∠CBE=∠ABO；②若AB=7，BC=6，AC=8，请求出⊙O的半径．【答案】解：（1）作直径BD，BH⊥AC于H，连结AD，如图1，在Rt△BCH中，CH=BH=√22BC=√22•4√2=4，∴AH=AC-CH=7-4=3，在Rt△ABH中，AB=√AH2+BH2=5，∵BD为直径，∴∠BAD=90°，第4页共41页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∵∠D=∠ACB=45°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD=√2AB=5√2，∴⊙O的半径为5√22；（2）作直径BD，BH⊥AC于H，连结AD，如图2，设CH=a，BH=b，则AH=AC-CH=8-a，在Rt△BCH中，a2+b2=52①，在Rt△BAH中，（8-a）2+b2=72②，①-②得-64+16a=-24，解得a=52，在Rt△BCH中，∵BC=5，CH=52，∴∠CBH=30°，∴∠C=60°，∵BD为直径，∴∠BAD=90°，∵∠D=∠ACB=60°，∴AD=√33AB=7√33，∴BD=2AD=14√33∴⊙O的半径为7√33；（3）①证明：作直径BD，连结AD，如图3，∵BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=90°，∵BD为直径，∴∠BAD=90°，∴∠D+∠ABD=90°，∵∠D=∠ACB，∴∠CBE=∠ABO；②设CE=a，BE=b，则AE=AC-CE=8-a，在Rt△BCE中，a2+b2=62①，第5页共41页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训在Rt△BAE中，（8-a）2+b2=72②，①-②得-64+16a=-13，解得a=5116，在Rt△BCE中，∵BC=6，CE=5116，∴BE=√BC2−CE2=21√1516，∵∠CBE=∠ABD，∴Rt△ABD∽Rt△EBC，∴BDBC =AB BE，∴BD=6×721√1516=32√1515，∴⊙O的半径为16√1515．例5．如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）若∠A=48°，求∠OCE的度数；（2）若CD=4√2，AE=2，求圆O的半径．【答案】解：（1）∵CD⊥AB，∠A=48°，∴∠ADE=42°．∴∠AOC=2∠ADE=84°，∴∠OCE=90°-84°=6°；（2）解：因为AB是圆O的直径，且CD⊥AB于点E，所以CE=12CE=12×4√2=2√2，在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，设圆O的半径为r，则OC=r，OE=OA-AE=r-2，所以r2=（2√2）2+（r-2）2，解得：r=3．所以圆O的半径为3．第6页共41页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训例6．如图，点D在半圆O上，半径OB=√61，AD=10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC=90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD=90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD=√（2√61）2−102=12，BM=√BD2+DM2=√122+52=13，∴BH的最小值为BM-MH=13-5=8．故选：D．【答案】D例7．如图所示，P、Q分别是Rt△ABC两直角边AB、AC上两点，M为斜边BC的中点，且PM⊥QM，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E．求证：（1）△MPD∽△MQE；（2）AD•PD=AE•EQ：（3）PB2+QC2=PM2+QM2．【答案】证明：（1）∵MD⊥AB于点D，ME⊥AC，∠A=90°，∴∠MDP=∠MEA=∠A=90°，∴四边形ADME是矩形，∴AD=EM，AE=DM，∠DME=90°，∵PM⊥QM，第7页共41页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训∴∠PMQ=90°，∴∠DMP=∠EMQ，∴△MPD∽△MQE；（2）∵△MPD∽△MQE，∴PDEQ =DMEM，∵AD=EM，AE=DM，∴PDEQ =AEAD，∴AD•PD=AE•EQ；（3）如图，以M点为中心，△MCQ顺时针旋转180°至△MBN，∴△MCQ≌△MBN，∴BN=QC，MN=MQ，∠MBN=∠C，连接PN，PQ，∵PM⊥QM，∴PM垂直平分NQ，∴PN=PQ，∵△ABC是直角三角形，BC是斜边，∴∠ABC+∠C=90°，∴∠ABC+∠MBN=90°，即△PBN是直角三角形，根据勾股定理可得，PN2=PB2+BN2，∴PQ2=PB2+QC2，∵PQ2=PM2+QM2，∴PB2+QC2=PM2+QM2．例8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为（）cm2．A. 3cm2B. 4cm2C. 7cm2D. 49cm2第8页共41页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49cm2．故选：D．【答案】D例9．如图，点E是Rt△ABC、Rt△ABD的斜边AB的中点，AC=BC，∠DBA=20°，那么∠DCE的度数是______．【解答】解：∵点E是Rt△ABD的斜边AB的中点，AB，∴ED=EB=12∴∠EDB=∠DBA=20°，∴∠DEA=∠EDB+∠DBA=40°，∵点E是Rt△ABC的斜边AB的中点，AC=BC，AB，CE⊥AB，∴EC=12∴∠DEC=130°，ED=EC，∴∠DCE=25°，故答案为：25°．【答案】25°例10．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值．第9页共41页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM=12EF=12AP．当AP⊥BC时，AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高125，∴AM的最小值是65．例11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则CD的长为______．【解答】解：连接CD，∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，第10页共41页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∴∠B=60°，BC=12AB=2，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，∴△BCD是等边三角形，∴CD=BC=2，故答案为：2．【答案】2例12．（1）如图1是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一支圆柱形唇膏，右图是其横载面，△ABC为正三角形．求这个包装盒空间的最大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比）；（2）一个长宽高分别为l，b．h的长方体纸箱装满了一层高为h的圆柱形易拉罐如图2．求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）；（3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？【答案】解：（1）由题意，⊙O是△ABC内接圆，D为切点，如图1，连结OD，OC．设⊙O半径为r，纸盒长度为h'，则CD=√3r，BC=2√3r则圆柱型唇膏和纸盒的体积之比为：πr2ℎ′√34（2√3r）2ℎ′=√39π（若设△ABC的边长为a,则圆柱型唇膏和纸盒的体积比为112πa2ℎ′√34a2ℎ′=√39π）（2）易拉罐总体积和纸箱容积的比：l2r•b2r•πr2ℎlbℎ=π4；（3）∵√39ππ4=4√39=√4881＜1∴第二种包装的空间利用率大．例13．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【答案】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN=12AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=12AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=12AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=12AC=1，∴BN=√2例14．如图，点D为线段AB延长线上一点，△ABC和△BDE分别是以AB，BD为斜边的等腰直角三角形．连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆圆O交CF与点M．若AB=6，BD=2．（1）求CE长度；（2）证明：AC2=CM•CF；【答案】解：（1）∵△ABC 和△BDE 等腰直角三角形，AB=6，BD=2．∴BC=√22AB=3√2，BE=√22BD=√2，∠ABC=∠EBD=45°，∴∠CBE=90°，∴CE=√CB 2+BE 2=2√5；（2）证明：连接AM ，则∠AMC=∠ABC=∠CAF=45°，∵∠ACM=∠FCA∴△ACM ∽△FCA ，∴AC CF =CM AC ，∴AC 2=CM•CF ；（3）∵∠ABC=∠BDE ，∴DE ∥BC ，∴△EDF ∽△CBF ，∴DF BF =DE BC =EF CF ，∴EF EF+CE =DF BD+DF =√23√2=13，∴BF=3，CF=3√5，∵BF•AF=FM•CF ，∴FM=9√55， ∴CM=3√5-9√55=6√55．例15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 在第一象限，点B ，C 的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC ，直线AB 交x 轴于点P ．若△ABC 与△A'B'C'关于点P 成中心对称，则点A'的坐标为______．【解答】解：如图：点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得BC=4．由∠BAC=90°，AB=AC，得AB=2√2，∠ABD=45°，∴BD=AD=2，A（4，3），设AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得{2k+b=14k+b=3，解得{k=1b=−1，AB的解析式为y=x-1，当y=0时，x=1，即P（1，0），由中点坐标公式，得x A′=2x P-x A=2-4=-2，y A′=2y A′-y A=0-3=-3，A′（-2，-3）．故答案为：（-2，-3）．【答案】（-2，-3）例16．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为______．【解答】解：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=2+2=4；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°，又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=45°，∴CE=DE=2×√2=√2，2在Rt△BAC中，BC=√22+22=2√2，∴BD=√BE2+DE2=√（2√2+√2）2+（√2）2=2√5；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，∴AD=DC=ACsin45°=2×√2=√2，2又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠BCD=90°，又∵在Rt△ABC中，BC=√22+22=2√2，∴BD=√BC2+CD2=√（2√2）2+（√2）2=√10．故BD的长等于4或2√5或√10．【答案】4或2√5或√10【举一反三】1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，BC=4√3，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B'DE的位置，B'D交AB于点F．若△AB'F为直角三角形，则AE的长为______．【解答】解：①如图1中，当∠AFB′=90°时．在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AC=4，∴AB=2AC=8，∵BD=CD，∴BD=CD=12BC=2√3，由折叠的性质得：∠BFD=90°，B'E=BE，∴∠BDF=60°，∴∠EDB=∠EDF=30°，∴∠B=∠EDB=30°，∴BE=DE=B'E，∵∠C=∠BFD=90°，∠DBF=∠ABC=90°，∴△BDF∽△BAC，∴BFBC =BDAB，即BF4√3=2√38，解得：BF=3，设BE=DE=x，在Rt△EDF中，DE=2EF，∴x=2（3-x），②如图2中，当∠AB′F=90°时，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．设AE=x．∵AD=AD，CD=DB′，∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），∴AC=AB′=4，∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°，∴∠EB′H=60°，在Rt△EHB′中，B′H=12B′E=12（8-x），EH=√3B′H=√32（8-x），在Rt△AEH中，∵EH2+AH2=AE2，∴[√32（8-x）]2+[4+12（8-x）]2=x2，解得：x=285，综上所述，满足条件的AE的值为6或285．故答案为：6或285．【答案】6或2852．如图，已知∠ACB=90°，AC＞BC，分别以△ABC的边AB，BC，CA为一边向△ABC外作正方形ABDE，正方形BCMN，正方形CAFG，连接EF，GM，设△AEF，△CGM的面积分别为S1，S2，则下列结论正确的是（）A. S1=S2B. S1＜S2C. S1＞S2D. S1≤S2【解答】解：过E作ER⊥AF，交FA的延长线于R，设△ABC的三边BC，AC，AB的长分别为a、b、c，∵分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，∵AE=AB，∠ARE=∠ACB=90°，∠EAR=∠CAB，∴△AER≌△ABC，∴ER=BC=a，而FA=b，1∵CG=b ，CM=a ，∴S 2=12ab ，∴S 1=S 2，故选：A ．【答案】A3．如图，在△AOB 中，已知∠AOB=90°，AO=3，BO=4．将△AOB 绕顶点O 按顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）到△A 1OB 1处，此时线段OB 1与边AB 的交点为点D ，则在旋转过程中，线段B 1D 长的最大值为（ ）A. 4.5B. 5C. 125D. 85【解答】解：因为OB 1的长度是定值，所以当OD 最短即可OD ⊥AB 时，B 1D 长的取最大值．∵如图，在△AOB 中，已知∠AOB=90°，AO=3，BO=4，∴AB=√OA 2+OB 2=√32+42=5，则12OA•OB=12AB•OD ，OD=OA•OB AB =3×45=125． 由旋转的性质知：OB 1=OB=4，∴B 1D=OB 1-OD=4-125=85．即线段B 1D 长的最大值为85．【答案】D4．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）求证：PD=PF；（3）连接CD，若CD=3，BD=4，求⊙O的半径和DE的长．【答案】（1）证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA，∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，∴∠ADB=∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，∴∠ADE=∠DBA，∴∠DAC=∠ADE，∴∠DAC=∠DBA；（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90°，∴∠ADE+∠EDB=∠DFA+∠DAC=90°，又∵∠ADE=∠DAP，∴∠PDF=∠PFD，∴PD=PF；（3）解：连接CD，∵∠CBD=∠DBA，∵CD=3，∴AD=3，∵∠ADB=90°，∴AB=5，故⊙O的半径为2.5，∵DE×AB=AD×BD，∴5DE=3×4，∴DE=2.4．即DE的长为2.4．5．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=1BC．2（1）求∠BAC的度数；（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形；（3）若BD=6，CD=4，求AD的长．【答案】（1）解：连接OB和OC；∵OE⊥BC，∴BE=CE；BC，∵OE=12∴∠BOC=90°，∴∠BAC=45°；（2）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°；由折叠可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°，∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD，∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；∴四边形AFHG是正方形；（3）解：由（2）得，∠BHC=90°，GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4；设AD的长为x，则BH=GH-GB=x-6，CH=HF-CF=x-4．在Rt△BCH中，BH2+CH2=BC2，∴（x-6）2+（x-4）2=102；解得，x1=12，x2=-2（不合题意，舍去）；∴AD=12．6．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm，则A、B、C、D四个小正方形的面积之和为______cm2．【解答】解：如右图所示，根据勾股定理可知，S正方形2+S正方形3=S正方形1，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形3，∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=S正方形1=122=144．故答案是144．【答案】1447．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=√2，点D位于边BC的中点上，点E在AB上，点F 在AC上，∠EDF=45°．（1）求证：∠DFC=∠EDB；（2）求证：CF•BE=1；（3）当BE=1时，求△FCD的面积．【答案】（1）证明：∵∠EDF=45°，∴∠EDB+∠FDC=135°，∵∠B=∠C=45°，∴∠DFC+∠FDC=135°，∴∠BDE=∠DFC；（2）证明：∵∠B=∠C，∠BED=∠FDC，∴△BDE∽△CFD，∴BDFC =BECD，∴CF•BE=BD•CD=1，（3）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=√2，∴BC=2，∵点D位于边BC的中点上，∴BD=DC=BE=1，∠B=∠C=45°，∴∠BDE=67.5°，∠EDF=45°，∴∠FDC=∠DFC=67.5°，CF=CD=1，∴DC边上的高是√22，∴S△CDF=12×1×√22=√24．8．如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，E为AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在对角线BD上的点F处，则折线BE的长为（）A. 2√5B. 3√3C. 3√5D. 6√3【解答】解：在Rt△BCD中，利用勾股定理得BD=10，设AE=x，则EF=x，DE=8-x，在Rt△DEF中，∵BF=AB=6，∴DF=10-6=4．则（8-x）2=x2+42，解得x=3，在Rt△ABE中，BE=√AB2+AE2=√32+62=3√5．故选：C．【答案】C9．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若CF=6，AC=AF+2，则四边形BDFG的周长为（）A. 9.5B. 10C. 12.5D. 20【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，AC，∴BD=DF=12∴四边形BGFD是菱形，设AF=x，则AC=x+2，FC=6，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即x2+62=（2+x）2，解得：x=8，故AC=10，故四边形BDFG的周长=4BD=2×10=20．故选：D．【答案】D10．如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，CE=√5，CD=2．（1）求直径BC的长；（2）求弦AB的长．【答案】解：（1）∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC=90°，由CE=√5，CD=2，得DE=1，∵△ADE∽△BCE，∴ADBC =DECE，∴BC=2√5．（2）∵△ABE∽△DCE，∴AEAB =DEDC=12，设AE=x，∵AB2+AC2=BC2，∴（x+√5）2+（2x）2=（2√5）2，解得：x=−2√5±8√510，∵x＞0，∴x=35√5，∴AB=2x=65√5．11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB 于点D，则CD̂的长为（）A. 16π B. 13πC. 23π D. 2√33π【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=4，∠A=30°，∴∠B=60°，BC=2∴CD̂的长为60π×2180=2π3， 故选：C ．【答案】C12．如图，△ABC 中，∠C=90°，CA=CB ，E 、F 分别为CA 、CB 上一点，CE=CF ，M 、N 分别为AF 、BE 的中点．求证：AE=√2MN ．【答案】证明：如图，取AB 的中点G ，连接MG 、NG ，∵M 、N 分别为AF 、BE 的中点，∴NG=12AE ，NG ∥AE ，MG=12BF ，MG ∥BF ，∵CE=CF ，∠C=90°，∴AE=BF ，∠MGN=∠C=90°，∴MG=NG ，∴△MNG 是等腰直角三角形，∴NG=√22MN ，∴AE=2NG=NG=√22×2MN=√2MN ，即AE=√2MN ．13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，点D 是BC 上一动点，连接AD ，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在点E 处，连接DE 交AB 于点F ，当△DEB 是直角三角形时，DF 的长为______．【解答】解：①如图1中，当∠EDB=90°，四边形ACDE是正方形，此时CD=AC=6，∵BC=√AB2−AC2=8，∴BD=BC-CD=8-6=2，∵tan∠ABC=DFBD =AC BC，∴DF2=6 8，∴DF=32．②如图2中，当∠DEB=90°时，AC=AE=6，则BE=4，设CD=DE=x，在Rt△BDE中，（8-x）2=x2+42，∴x=3，综上所述，满足条件的DF的值为3或32．故答案为3或32．【答案】3或3214．在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，则斜边中线长为______．【解答】解：在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，①AB为斜边时，斜边中线长为12AB=2.5；②AB和BC为直角边长时，由勾股定理得：斜边长=√52+32=√34，则斜边中线长为12AC=√342；故答案为：2.5或√342．【答案】2.5或√34215．已知如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是斜边AB的中点，D是线段AC延长线上的一点，连结DB、DE，DE与BC交于点G．给出下列结论：①若AD=BD，则AC•AD=AE•AB；②若AB=BD，则DG=2GE；③若CD=BE，则∠A=2∠ADE．其中正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【解答】解：①∵AD=BD，E是斜边AB的中点，∴DE⊥AB，又∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴ACAE =ABAD，即AC•AD=AE•AB，①正确；②∵AB=BD，∠ACB=90°，∴BC是△ABD的中线，又DE是△ABD的中线，∴点G是△ABD的重心，∴DG=2GE，②正确；③连接CE，∵∠ACB=90°，E是斜边AB的中点，∴EC=EA=EB，∴∠A=∠ECA，CD=CE，∴∠CDE=∠CED，∵∠ECA=∠CDE+∠CED=2∠ADE，∴∠A=2∠ADE，③正确；故选：D．【答案】D16．已知：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、AC上，将△AMN沿直线MN折叠，点A落在点P处，且点P在射线CB上，当△PNC为直角三角形时，PN的长为______．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=√32+42=5，设AN=PN=x，则CN=5=x①当∠NPC=90°时，如图1，∵∠NPC=∠B=90°，∠C=∠C，∴△NPC ∽△ABC ，∴PN AB =CNAC ，∴x 4=5−x 5， x=209，即PN=209；②当∠PNC=90°时，如图2，∵∠PNC=∠ABC=90°，∠C=∠C∴△NPC ∽△ABC ，∴PN AB =NC AC ，∴x 4=5−x 3， x=207，即PN=207；综上，PN 的长为209或207．故答案为：209或207．【答案】209或207．1．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下如图（1）∠DAB=90°，求证：a 2+b 2=c 2证明：连接DB ，过点D 作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，则DF=b-aS四边形ADCB=S△ADC+S△ABC=-12b2+12abS四边形ADCB=S△ADB+S△BCD=12c2+12a（b-a）∴12b2+12ab=12c2+12a（b-a）化简得：a2+b2=c2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明如图（2）中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2【答案】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab，又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a（b-a），∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a（b-a），∴a2+b2=c2．2．如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE=13AB，AF=13AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）A. S1+S3=2S2B. S1+S3=4S2C. S1=S3=S2D. S2=13（S1+S3）【解答】解：∵在Rt△ABC中，AE=13AB，AF=13AC，∴AE=12BE，AF=12CF，EF2=AE2+AF2，∴EF2=14BE2+14CF2．∴12π•14EF2=18π•（14BE2+14CF2），即S2=14（S1+S3）．∴S1+S3=4S2．故选：B．【答案】B3．如图，沿折痕AE叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，且△ABF的面积为24，求EC的长．【答案】解：∵S△ABF=24，AB=8，∴BF=6．∴AF=10=AD．∴FC=4．设EC=x，则EF=DE=8-x．根据勾股定理，得CF2+CE2=EF2即16+x2=（8-x）2，∴x=3．即EC=3．4．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，且∠AOB与∠COD互补，弦CD=8，则弦AB的长为（）A. 6B. 8C. 5√2D. 5√3【解答】解：解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴AB=√AE2−BE2=√102−82=6，故选：A．【答案】A5．△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（）A. 95B. 125C. 185D. 365【解答】解：在Rt△ABC中，∵AC=3，BC=4，∴AB=√32+42=5．过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，由垂径定理可得M为AE的中点，∵S△ABC=12AC•BC=12AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，∴CM=125，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（125）2，解得：AM=95，∴AE=2AM=185．故选：C．【答案】C6．如图，已知平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF交于H，BF、AD的延长线交于G，下面结论正确的是（）①DB=√2BE；②∠A=∠BHE；③连CG，则四边形BCGD为平行四边形；④AD2+DH2=2DC2．A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ②③④【解答】解：∵∠BDE=45°，DE⊥BC，∴DB=√2BE，BE=DE．∵DE⊥BC，BF⊥CD，∴∠BEH=∠DEC=90°．∵∠BHE=∠DHF，∴∠EBH=∠CDE，∴△BEH≌△DEC，∴∠BHE=∠C，BH=CD，EH=EC，∵▱ABCD中，∴AD=BC，∠A=∠C，∴∠A=∠BHE，∴AD2+DH2=BC2+DH2=（BE+EC）2+（DE-HE）2=（BE+HE）2+（BE-HE）2=2BE2+2HE2=2（BE2+HE2）=2BH2=2DC2，∴正确的有①②④．故选：C．【答案】C7．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若FG=5，CF=6，则四边形BDFG的面积为______．【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CE⊥BD，∴CE⊥AG，又∵BD为AC的中线，AC，∴BD=DF=12∴四边形BDFG是菱形，过点B作BH⊥AG于点H，∵四边形BDFG是菱形，∴GF=DF=5，∵∠BEF=∠EFH=∠BHF=90°，∴四边形BHFE是矩形，∴BH=EF=1CF=3，2∴S菱形BDFG=GF•BH=15．故答案为：15．【答案】158．已知△ABC中，∠BAC=60°，D是线段BC上一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E、F．（1）如图1，若AD=4，求EF的长；（2）如图2，若∠ABC=45°，AB=2√2，求EF的最小值．【答案】解：（1）作直径EP，连结PF，如图1，∵EP为⊙O的直径，∴∠EFP=90°，∵∠P=∠EAF=60°，∴∠PEF=30°，∴PF=12PE，EF=√3PF=√32EP，∵EP=AD=4，∴EF=√32×4=2√3；（2）∵EF=√32EP=√32AD，∴当AD最小时，EF最小，当AD⊥BC时，AD最小，如图2，∵∠ABC=45°，AB=2√2，∴AD=√2AB=2，2∴EF=√3×2=√3，2即EF的最小值为√3．9．如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，求BD的长．【答案】解：∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，∴BD=DB′，AB′=AB=10．如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8-x．在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2=AF2+FB′2，即（6+x）2+（8-x）2=102．解得：x1=2，x2=0（舍去）．∴BD=2．如图2所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合．∵AB′=10，AC=6，∴B′E=4．设BD=DB′=x，则CD=8-x．在Rt△′BDE中，DB′2=DE2+B′E2，即x2=（8-x）2+42．解得：x=5．∴BD=5．综上所述，BD的长为2或5．10．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB 上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连结CD交AB于点E．点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（）A. 一直减小B. 一直不变C. 先变大后变小D. 先变小后变大【解答】解：连接OC，OD，PD，CQ．设PC=x，OP=y．延长CP 与圆交于点F，∵PC⊥AB，QD⊥AB，∴∠CPO=∠OQD=90°，∵PC=OQ，OC=OD，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴∠FOD=90°，∴∠PCE=45°，∴OP=DQ=y，∴△CEP与△DEQ的面积和为S=（x2+y2）÷2=OD2÷2=12.5．故选：B．【答案】B11．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD=AN；（2）若AB=8，ON=1，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB∴∠CEB=90°∴∠C+∠B=90°，同理∠C+∠CNM=90°∴∠CNM=∠B∵∠CNM=∠AND∴∠AND=∠B，∵AĈ=AĈ，∴∠D=∠B，∴∠AND=∠D，∴AN=AD；（2）解：设OE的长为x，连接OA∵AN=AD，CD⊥AB∴DE=NE=x+1，∴OD=OE+ED=x+x+1=2x+1，∴OA=OD=2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2=OA2，∴x2+42=（2x+1）2．解得x=53或x=-3（不合题意，舍去），∴OA=2x+1=2×53+1=133，即⊙O的半径为133．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．（1）若∠A=28∘，求∠ACD的度数．（2）设BC=a，AC=b．①线段AD的长是方程x2+2ax−b2=0的一个根吗？说明理由．②若AD=EC，求ab的值．【解答】（1）解：∵∠ACB=90∘，∠A=28∘，∴∠B=62∘，∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=59°，∴∠ACD=90∘−∠BCD=31∘；（2）解：①由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√a2+b2，∴AD=√a2+b2−a，解方程x2+2ax−b2=0得，x=−2a±√4a2+4b22=±√a2+b2−a，∴线段AD的长是方程x2+2ax−b2=0的一个根；②∵AD=AE，∴AE=EC=b2，由勾股定理得，a2+b2=（12b+a)2，整理得，ab =34．【答案】（1）∠ACD=31∘；（2）①线段AD的长是方程x2+2ax−b2=0的一个根；②ab =34．13．（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上，且CE=CA，求∠DAE的度数；（2）如果把第（1）题中“AB=AC”条件删去，其余条件不变，那么∠DAE的度数改变吗？试证明；（3）如果把（1）题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，试探究∠DAE与∠BAC非学科培训∠BAC．理由：设∠CAE=x，∠BAD=y，则∠B=180°-2y，∠E=∠CAE=x，∴∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=2y-x-y=y-x，∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x，∴∠DAE=12∠BAC．第41页共41页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训。

三角形证明题练习1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB与D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（）A．13 B．10 C．12 D．52．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个3．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则 S△ABD：S△ACD=（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：164．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A．70°B．80°C．40°D．30°5．如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．45°6．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD等于（）A．145°B．110°C．70°D．35°7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交BC边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）A．2B．3C．4D．58．如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（）A．2B．3C．6D．不能确定9．在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）10．△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（ ）11．如图，已知点P 在∠AOB 的平分线OC 上，PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，若PE=6，则PF 的长为（ ）12．如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，交BC 于点D ，交AB 于点E ，已知AE=1cm ，△ACD 的周长为12cm ，则△ABC 的周长是（ ）13．如图，∠BAC=130°，若MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，则∠PAQ 等于（ ）14．如图，要用“HL ”判定Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′全等的条件是（ ）15．如图，MN 是线段AB 的垂直平分线，C 在MN 外，且与A 点在MN 的同一侧，BC 交MN 于P 点，则（ ）16．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上一点，BF=CD ，CE=BD ，那么∠EDF 等于（ ）17．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，那么下列结论不一定成立的是（ ）A ． 110°B ． 120°C ． 130°D ． 140° A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8A ． 13cmB ． 14cmC ． 15cmD ． 16cmA ． 50°B ． 75°C ． 80°D ． 105°A ． AC=A ′C ′，BC=B ′C ′ B ． ∠A=∠A ′，AB=A ′B ′ C ． AC=A ′C ′，AB=A ′B ′D ． ∠B=∠B ′，BC=B ′C ′ A ． B C ＞PC+AP B ． B C ＜PC+AP C ． B C=PC+AP D ． B C ≥PC+APA ． 90°﹣∠AB ．90°﹣∠AC ． 180°﹣∠AD ．45°﹣∠AA ． △ABD ≌△ACDB ． AD 是△ABC 的高线 C ． AD 是△ABC 的角平分线 D ． △ABC 是等边三角形三角形证明中经典题21.如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．2.如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度数．3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．4如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．5.如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．6.阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC 中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．7.如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．2015年05月03日初中数学三角形证明组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2015•涉县模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB与D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（）A ．13 B．10 C．12 D．5考点：线段垂直平分线的性质．分析：先根据勾股定理求出AE=13，再由DE是线段AB的垂直平分线，得出BE=AE=13．解答：解：∵∠C=90°，∴AE=，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴BE=AE=13；故选：A．点评：本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质；利用勾股定理求出AE是解题的关键．2．（2015•淄博模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A ．5个B．4个C．3个D．2个考点：等腰三角形的判定；三角形内角和定理．专题：证明题．分根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．解答：解：共有5个．（1）∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：A．点评：此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．3．（2014秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则 S△ABD：S△ACD=（）A ．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16考点：角平分线的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：首先过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，由AD是它的角平分线，根据角平分线的性质，即可求得DE=DF，由△ABD的面积为12，可求得DE与DF的长，又由AC=6，则可求得△ACD的面积．解答：解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F…（1分）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，…（3分）∴S△ABD=•DE•AB=12，∴DE=DF=3…（5分）∴S△ADC=•DF•AC=×3×6=9…（6分）故选A．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4．（2014•丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A ．70°B．80°C．40°D．30°考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．解答：解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014•南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A ．30°B．36°C．40°D．45°考点：等腰三角形的性质．分析：求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B，解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=AD，∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°故选：B．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系．6．（2014•山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD等于（）A ．145°B．110°C．70°D．35°考点：角平分线的定义．分析：首先根据角平分线定义可得∠AOD=2∠AOC=70°，再根据邻补角的性质可得∠BOD 的度数．解答：解：∵射线OC平分∠DOA．∴∠AOD=2∠AOC，∵∠COA=35°，∴∠DOA=70°，∴∠BOD=180°﹣70°=110°，故选：B．点评：此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．7．（2014•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交BC边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）．．．．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据已知条件易得∠B=30°，∠BAC=60°．根据线段垂直平分线的性质进一步求解．解答：解：∵∠ACB=90°，AB=10，AC=5，∴∠B=30°．∴∠BAC=90°﹣30°=60°∵DE垂直平分BC，∴∠BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=90°﹣30°=60°．∴∠BDE对顶角=60°，∴图中等于60°的角的个数是4．故选C．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个寻找，做到不重不漏．8．（2014秋•腾冲县校级期末）如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（）A ．2 B．3 C．6 D．不能确定考点：三角形的角平分线、中线和高．专题：计算题．分析：根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．解答：解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．故选A．点评：本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．9．（2014春•栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）A ．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm考点：角平分线的性质．分析：由∠C=90°，∠CAB=60°，可得∠B的度数，故BD=2DE=7.6，又AD平分∠CAB，故DC=DE=3.8，由BC=BD+DC求解．解答：解：∵∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，又∵AD平分∠CAB，∴DC=DE=3.8，∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4．故选C．点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离DE即为CD长，是解题的关键．10．（2014秋•博野县期末）△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）A ．110°B．120°C．130°D．140°考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．解答：解：由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180﹣40=140∠OBC+∠OCB=70∠BOC=180﹣70=110°故选A．点评：此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．（2013秋•潮阳区期末）如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE=6，则PF的长为（）A ．2 B．4 C．6 D．8考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：利用角平分线性质得出∠POF=∠POE，然后利用AAS定理求证△POE≌△POF，即可求出PF的长．解答：解：∵OC平分∠AOB，∴∠POF=∠POE，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO，PO为公共边，∴△POE≌△POF，∴PF=PE=6．故选C．点评：此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是求证△POE≌△POF．12．（2013秋•马尾区校级期末）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（）A ．13cm B．14cm C．15cm D．16cm考点：线段垂直平分线的性质．分析：要求△ABC的周长，先有AE可求出AB，只要求出AC+BC即可，根据线段垂直平分线的性质可知，AD=BD，于是AC+BC=AC+CD+AD等于△ACD的周长，答案可得．解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，AB=2AE=2又∵△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12 ∴△ABC的周长是12+2=14cm．故选B点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；进行线段的等效转移，把已知与未知联系起来是正确解答本题的关键．13．（2013秋•西城区期末）如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（）A ．50°B．75°C．80°D．105°考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线性质得出BP=AP，CQ=AQ，推出∠B=∠BAP，∠C=∠QAC，求出∠B+∠C，即可求出∠BAP+∠QAC，即可求出答案．解答：解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，∴BP=AP，CQ=AQ，∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=130°﹣50°=80°，故选：C．点评：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．14．（2014秋•东莞市校级期中）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A ．AC=A′C′，BC=B′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′C ．AC=A′C′，AB=A′B′D．∠B=∠B′，BC=B′C′考点：直角三角形全等的判定．分析：根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．解答：解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选C．点评：此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．15．（2014秋•淄川区校级期中）如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN 于P点，则（）A ．BC＞PC+AP B．BC＜PC+AP C．BC=PC+AP D．BC≥PC+AP考点：线段垂直平分线的性质．分析：从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得PA=PB，结合图形知BC=PB+PC，通过等量代换得到答案．解答：解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB．∵BC=PC+BP，∴BC=PC+AP．故选C．点评：本题考查了垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．16．（2014秋•万州区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）A ．90°﹣∠A B．90°﹣∠AC．180°﹣∠A D．45°﹣∠A考点：等腰三角形的性质．分析：由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由BF=CD，BD=CE，利用SAS得到三角形FBD与三角形DEC全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，即可表示出∠EDF．解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C°，在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD=∠CDE，∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠B=180°﹣=90°+∠A，则∠EDF=180°﹣（∠FDB+∠EDC）=90°﹣∠A．故选B．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．17．（2014秋•泰山区校级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（）A ．△ABD≌△ACDB．AD是△ABC的高线C ．AD是△ABC的角平分线D．△ABC是等边三角形考点：等腰三角形的性质．分析：利用等腰三角形的性质逐项判断即可．解答：解：A、在△ABD和△ACD 中，，所以△ABD≌△ACD，所以A正确；B、因为AB=AC，AD平分∠BAC，所以AD是BC边上的高，所以B正确；C、由条件可知AD为△ABC的角平分线；D、由条件无法得出AB=AC=BC，所以△ABC不一定是等边三角形，所以D不正确；故选D．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．18．（2014秋•晋江市校级月考）如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（）A ．点P在∠ABC的平分线上B．点P在∠ACB的平分线上C ．点P在边AB的垂直平分线上D．点P在边BC的垂直平分线上考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC=PB即可得出P在线段BC的垂直平分线上．解答：解：∵PB=PC，∴P在线段BC的垂直平分线上，故选D．点评：本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等．19．（2013•河西区二模）如图，在∠ECF的两边上有点B，A，D，BC=BD=DA，且∠ADF=75°，则∠ECF的度数为（）A ．15°B．20°C．25°D．30°考等腰三角形的性质．点：分析：根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ECF的度数．解答：解：∵BC=BD=DA，∴∠C=∠BDC，∠ABD=∠BAD，∵∠ABD=∠C+∠BDC，∠ADF=75°，∴3∠ECF=75°，∴∠ECF=25°．故选：C．点评：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用．20．（2013秋•盱眙县校级期中）如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连接MN交OP于点D．则①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND．其中正确的有（）A ．1个B．2个C．3个D．4个考点：角平分线的性质．分析：由已知很易得到△OPM≌△OPN，从而得角相等，边相等，进而得△OMP≌△ONP，△PMD≌△PND，可得MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，答案可得．解答：解：P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N 连接MN交OP于点D，∴∠MOP=∠NOP，∠OMP=∠ONP，OP=OP，∴△OPM≌△OPN，∴MP=NP，OM=ON，又OD=OD∴△OMD≌△OND，∴MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，∴OP⊥MN∴①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND都正确．故选D．点评：本题主要考查了角平分线的性质，即角平分线上的一点到两边的距离相等；发现并利用△OMD≌△OND是解决本题的关键，证明两线垂直时常常通过证两角相等且互补来解决．二．解答题（共10小题）21．（2014秋•黄浦区期末）如图，已知ON是∠AOB的平分线，OM、OC是∠AOB外的射线．（1）如果∠AOC=α，∠BOC=β，请用含有α，β的式子表示∠NOC．（2）如果∠BOC=90°，OM平分∠AOC，那么∠MON的度数是多少？考点：角平分线的定义．分析：（1）先求出∠AOB=α﹣β，再利用角平分线求出∠AON，即可得出∠NOC；（2）先利用角平分线求出∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，即可得出∠MON=∠BOC．解答：解：（1）∵∠AOC=α，∠BOC=β，∴∠AOB=α﹣β，∵ON是∠AOB的平分线，∴∠AON=（α﹣β），∠NOC=α﹣（α﹣β）=（α+β）；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，∴∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，∴∠MON=∠AOM﹣∠AON=（∠AOC﹣∠AOB）=∠BOC=×90°=45°．点评：本题考查了角平分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．22．（2014秋•阿坝州期末）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．考点：线段垂直平分线的性质．专题：探究型．分析：（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出结论．解答：解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE=CE，OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF，∴OE=4EF．点评：本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．23．（2014秋•花垣县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，试求△DFC的周长．考点：角平分线的性质．分析：根据角平分线的性质可证∠ABD=∠CBD，即可求得∠CBD=∠C，即BD=CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF，即可解题．解答：解：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠C，∴BD=CD，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∴△DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12．点评：本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE=DF是解题的关键．24．（2014秋•大石桥市期末）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠DBA，∠DBA=∠C，从而可推出∠BAC=3∠DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA的度数，从而不难求得∠BAC的度数．解答：解：∵AD=BD∴设∠BAD=∠DBA=x°，∵AB=AC=CD∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°，∠DBA=∠C=x°，∴∠BAC=3∠DBA=3x°，∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°∴5x=180°，∴∠DBA=36°∴∠BAC=3∠DBA=108°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．25．（2014秋•安溪县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ABC的大小（用含α的式子表示）；（2）以点B为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若=30°，求∠BDE的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC的大小；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠BDC，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD，求得∠ABD，再根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解．解答：解：（1）∠ABC的大小为×（180°﹣α）=90°﹣α；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=90°﹣α=90°﹣×30°=75°，由题意得：BC=BD=BE，由BC=BD得∠BDC=∠C=75°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣75°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°，由BD=BE得．故∠BDE的度数是 67.5°．点评：本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．26．（2014秋•静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．考点：等腰三角形的判定．分析：由条件可得出DE=DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B=∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．解答：证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HF），∴∠B=∠C；（2）由（1）可得∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．点评：本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE=DF是解题的关键．27．（2012秋•天津期末）如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出∠A，根据线段垂直平分线得出AD=BD，求出∠ABD，即可求出答案．解答：解：∵AB=AC，∠C=67°，∴∠ABC=∠C=67°，∴∠A=180°﹣67°﹣67°=46°，∵EF是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=46°，∴∠DBC=67°﹣46°=21°．点评：本题考查了线段垂直平分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，关键是求出∠ABC和∠ABD的度数，题目比较好．28．（2013秋•高坪区校级期中）如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：首先根据AB=AD=AE，DE=EC，得到∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，根据∠DAB=30°，求得∠B=∠ADB=75°，利用∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，求得∠C即可．解答：解：∵AB=AD=AE，DE=EC，∴∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，∴∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，∵∠DAB=30°，∴∠B=∠ADB=75°，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，∴∠C=35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数．29．（2012春•扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．等腰三角形的性质．考点：专证明题．题：由DE∥BC，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB可知，DB=DF，CE=EF．便可得出结论．分析：解答：证明：∵BF平分∠ABC（已知），CF平分∠ACB（已知），∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠FCB；又∵DE平行BC（已知）∴∠DFB=∠FBC（两直线平行，内错角相等），∠EFC=∠FCB（两直线平行，内错角相等），∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF（等量代换）∴DF=DB，EF=EC（等角对等边）∴DE=BD+CE．点评：此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质的理解和掌握，主要利用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题．30．（2011•龙岩质检）如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据角平分线的性质知∠BAD=∠CAD；然后根据已知条件“DE，DF分别垂直AB、AC于E、F”得到∠DEA=∠DFA=90°；再加上公共边AD=AD，从而证明，△ADE≌△ADF；最后根据全等三角形的对应边相等证明△AEF的两边相等，所以△AEF是等腰三角形．解答：证明：∵AD是△ABC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，（3分）又∵DE，DF分别垂直AB、AC于E，F∴∠DEA=∠DFA=90°（6分）又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF．（8分）∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形（10分）点评：本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答此题时，根据全等三角形的判定定理ASA判定△ADE≌△ADF．。

几何证明练习题带答案一、选择题1. 已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC。

求证：∠BAD=∠CAD。

A. 利用等腰三角形性质B. 利用角平分线定理C. 利用等边三角形性质D. 利用相似三角形性质答案：B2. 已知线段AB和CD平行，且M是线段AB上的一点，N是线段CD上的一点，MN与AB、CD不平行。

求证：∠AMN≠∠CNM。

A. 利用平行线性质B. 利用内错角定理C. 利用同位角定理D. 利用补角定理答案：A二、填空题1. 在三角形ABC中，若∠A=90°，AB=AC，那么∠B=∠C=______。

答案：45°2. 已知三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=6，根据勾股定理可知这是一个______三角形。

答案：直角三、简答题1. 如何证明三角形内角和定理？答案：在三角形ABC中，延长BC至点D，根据外角定理，∠ACD=∠A+∠B。

又因为∠ACD+∠C=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°，证明了三角形内角和为180°。

2. 如何证明圆内接四边形的对角互补？答案：设圆内接四边形ABCD，连接对角线AC和BD，由于AC和BD 都是圆的直径，根据圆周角定理，∠A+∠C=90°，∠B+∠D=90°。

因此，对角互补。

四、证明题1. 已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC。

证明∠BAD=∠CAD。

证明：由于AB=AC，根据等腰三角形性质，∠ABC=∠ACB。

又因为BD=DC，根据等边三角形性质，∠ABD=∠ACD。

因此，∠BAD=∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACD=∠CAD。

2. 已知圆O中，弦AB和CD相交于点P，PA=PB，PC=PD。

证明：OP垂直于AB和CD。

证明：由于PA=PB，根据圆周角定理，∠APB=∠PBA。

同理，∠CPD=∠PDC。

因为∠APB+∠CPD=180°，所以∠OPB+∠OPD=90°。

北师大版八年级下册三角形证明复习含答案三角形证明专题复习一．选择题（共15小题）1．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF ＝（）A．3B．4C．5D．62．如图，已知△ABC的面积为8，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线交AD于点P，连接PC，则△BPC的面积为（）A．2B．4C．5D．63．如图，已知△ABC，AB＝5，∠ABC＝60°，D为BC边上的点，AD＝AC，BD＝2，则DC＝（）A．0.5B．1C．1.5D．24．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，点D在BC边上，且AD ＝AC．若BD＝，则CD的长为（）A．4B．C．5D．5．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若△BCD的周长是14，BC＝6，则AC 的长是（）A．6B．8C．10D．146．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且，则线段BE的长为（）A．B．2C．3D．7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC 的角平分线，则三角形ADC的面积为（）A．3B．10C．12D．158．如图，△ABC的一角被墨水污了，但小明很快就画出跟原来一样的图形，他所用定理是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．HL9．如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（）A．15海里B．20海里C．30海里D．求不出来10．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝3，BC＝5，则△BEC的周长为（）A．8B．10C．11D．1311．如图，∠MON＝60°，OA平分∠MON，P是射线OA上的一点，且OP＝4，若点Q是射线OM上的一个动点，则PQ的最小值为（）A．1B．2C．3D．412．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E 满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数不可能为（）A．120°B．75°C．60°D．30°13．已知实数a，b满足|a﹣2|+（b﹣4）2＝0，则以a，b的值为两边的等腰三角形的周长是（）A．10B．8或10C．8D．以上都不对14．如图，△ABC中，BO 平分∠ABC，CO平分∠ACB，M，N经过点O，且MN∥BC，若AB＝5，△AMN的周长等于12，则AC的长为（）A．7B．6C．5D．415．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠C的度数是（）A．36°B．38.5°C．64°D．77°二．填空题（共15小题）16．△ABC中，AD⊥BC于D，∠ACD＝60°，若AD＝2，AB＝2，则BC＝______．17．已知等腰三角形的周长是14，设其腰长是x，底边长是y，则y与x的函数关系式为y ＝______，自变量x的取值范围是______．18．如图，已知∠AOB＝30°，点P在边OA上，OP＝14，点E，F在边OB上，PE＝PF，EF＝6．若点D是边OB上一动点，则∠PDE ＝45°时，DF的长为______．19．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC 的中点，点E在AB上，∠AED＝70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是______．20．如图，D为△ABC中BC边上一点，AB＝CB，AC＝AD，∠BAD＝24°，则∠C＝______°．21．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则这个三角形的面积为______cm2．22．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是______．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠EBC ＝30°，则∠A的度数为______．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ADC＝60°，∠B＝30°，若CD＝3cm，则BD＝______cm．25．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，BD⊥BC交AC 于点D，BD＝1，则AC 的长______．26．在△ABC中，AB＝AD＝CD，且∠C＝40°，则∠BAD的度数为______．27．如图，在△ABC中，AD＝BD＝BC，若∠A＝x°，则∠ABC＝______度（用含x的代数式表示）．28．如图，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠B＝28°，则∠CAD的度数为______°．29．如图，点O是边长为2的等边三角形ABC内任意一点，且OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，则OD+OE+OF＝______．30．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝______．三．解答题（共20小题）31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE∥DF．32．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．（1）求BC的长；（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA 的长．33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点P为AC的中点，点D为AB 边上一点，且AD＝PD，延长DP交BC的延长线于点E，若AB＝2，求PE的长．34．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE＝BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F求证：（1）EF⊥AB；（2）DE＝2DF．35．如图，在△ABC中，∠ACB＝110°，∠B＞∠A，D，E为边AB 上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC．（1）若∠A＝30°，求∠DCE的度数；（2）∠DCE的度数会随着∠A度数的变化而变化吗？请说明理由．36．已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC 上一点，且∠DEF＝60°．（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．37．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由；（2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由．38．如图，三角形ABC中，AC＝BC，D是BC上的一点，连接AD，DF平分∠ADC交∠ACB的外角∠ACE的平分线于F．（1）求证：CF∥AB；（2）若∠DAC＝40°，求∠DFC的度数．39．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD＝3，求BD的长．40．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，CD∥AB 交BD于点D，已知∠1＝32°，求∠D的度数．41．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，连接AD、DC．（1）求证：∠CAD＝∠DBC；（2）求∠BDC的度数．42．如图，点O是△ABC边AC上的一个动点，过O点作直线MN∥BC．设MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝8，CF＝6，求OC的长．43．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连结CD，DE，已知∠EDB＝∠ACD．（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，BD＝2时，求EB的长．44．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D．（1）求∠ADC的度数；（2）求证：△ACD为等腰三角形．45．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC 于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．（2）求证：FB＝FE．46．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB 于E，交AC于F，若BE＝3，EF＝5，试求CF的值．47．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，AD＝BD，△ADC是等腰三角形，求△ABC三个内角的度数．48．如图，∠BAD＝90°，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于D．（1）求∠BAC的度数；（2）若AB＝10，BC＝10，求△ABD的周长．49．如图，已知∠1与∠2互为补角，且∠3＝∠B，（1）求证：EF∥BC；（2）若AC＝BC，CE平分∠ACB，求证：AF＝CF．50．如图，等边△ABC的边长为12，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E．过点E作EF⊥AC于点F．（1）若AD＝2，求AF的长；（2）当AD取何值时，DE＝EF？三角形证明专题复习参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．2．解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的平分线，∴AP＝PD，∴S△BPD＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD，∴S△BPC＝S△BPD+S△CPD＝S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∵△ABC 的面积为8，∴S△BPC＝×8＝4．故选：B．3．解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AD＝AC，∴E是CD的中点，在Rt△ABE中，AB＝5，∠ABC＝60°，∴BE＝，∵BD＝2，∴DE＝﹣2＝，∴CD＝1，故选：B．4．解：过点A作AE⊥BC，∵AD＝AC，∴E是CD的中点，∵∠B＝60°，AB＝8，在Rt△ABE中，BE＝4，∵BD＝，∴DE＝4﹣＝，∴CD＝5，故选：C．5．解：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD．∵△BCD的周长是14，BC＝6，∴AB＝BD+CD＝14﹣6＝8，∵AB＝AC，∴AC＝8．故选：B．6．解：连接BD，如图，∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝×60°＝30°，在Rt△BDE中，BE＝DE＝×＝3．故选：C．7．解：作DH⊥AC于H，如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，∵AD为∠BAC的角平分线，∴DB＝DH，∵×AB×CD＝DH×AC，∴6（8﹣DH）＝10DH，解得DH＝3，∴S△ADC＝×10×3＝15．故选：D．8．解：作△DEF，使DE＝AB，∠A＝∠D，∠E＝∠B，根据ASA定理可知，△DEF与原来的图形一样，他所用定理是ASA，故选：C．9．解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里），∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°，∴∠C＝∠NAC，∴BC＝AB＝30海里．即从海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选：C．10．解：∵AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，∴AE ＝BE，∵AD＝3，∴AB＝6，∴AE+EC＝AC＝AB＝6，∵BC＝5，∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝6+5＝11；故选：C．11．解：作PQ′⊥OM于Q′，∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，∴∠POQ′＝30°，∴PQ′＝OP＝2，由垂线段最短可知，PQ的最小值是2，故选：B．12．解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OCE＝∠OEC＝（180°﹣30°）＝75°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝30°；综上，∠OEC的度数不可能为60°，故选：C．13．解：根据题意得a﹣2＝0，b﹣4＝0，解得a＝2，b＝4，①a＝2是底长时，三角形的三边分别为4、4、2，∵4、4、2能组成三角形，∴三角形的周长为10，②a＝2是腰边时，三角形的三边分别为4、2、2，2+2＝4，不能组成三角形．综上所述，三角形的周长是10．故选：A．14．解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝5，△AMN的周长等于12，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝5+AC＝12，∴AC＝7，故选：A．15．解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，∵在三角形ABD中，AB＝AD，∠BAD＝26°，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°，又∵AD＝DC，在三角形ADC中，∴∠C＝∠ADB＝77°×＝38.5°．故选：B．二．填空题（共15小题）16．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠ACD＝60°，∴∠CAD＝30°，∵AD＝2，∴CD＝AD＝2，∵AB＝2，∴BD＝＝＝4，如图1，BC＝BD+CD＝6，如图2，BC＝BD﹣CD＝2，综上所述，BC＝6或2，故答案为：6或2．17．解：∵2x+y＝14，∴y＝14﹣2x，即x＜7，∵两边之和大于第三边∴x＞，综上可得＜x＜7故答案为：y＝﹣2x+14，＜x＜7．18．解：如图，过点P作PH⊥OB于点H，∵PE＝PF，。

几何证明练习题带答案几何证明是数学中的一个重要部分，它要求学生运用逻辑推理和几何知识来证明几何命题的正确性。

以下是一些几何证明的练习题，以及相应的答案。

# 练习题1题目：证明在一个三角形中，大边对大角。

答案：设三角形ABC中，AB > AC。

我们需要证明∠B > ∠C。

证明：1. 延长BA和AC，使它们相交于点D。

2. 根据三角形的外角性质，我们知道∠BAC = ∠BAD + ∠DAC。

3. 由于AB > AC，根据三角形的边角关系，我们知道BD > CD。

4. 根据边角边(SAS)相似准则，三角形ABD ∽ 三角形ACD。

5. 相似三角形对应角相等，所以∠BAD = ∠CAD。

6. 因此，∠BAC = ∠BAD + ∠DAC > ∠DAC，即∠B > ∠C。

# 练习题2题目：证明在一个圆中，等弦所对的圆心角相等。

答案：设圆O中有两弦AB和CD，且AB = CD。

我们需要证明∠AOB = ∠COD。

证明：1. 根据圆的性质，我们知道OA = OB = OC = OD。

2. 由于AB = CD，根据SSS（边边边）相似准则，三角形OAB ∽ 三角形OCD。

3. 相似三角形对应角相等，所以∠AOB = ∠COD。

# 练习题3题目：证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

答案：设直角三角形ABC中，∠C = 90°，D为斜边AB的中点。

我们需要证明CD = 1/2 AB。

证明：1. 连接CD。

2. 由于D为AB的中点，根据中点定理，我们知道CD = 1/2 AB。

3. 根据直角三角形斜边上的中线性质，我们知道CD垂直于AB，并且CD是AB的一半。

# 练习题4题目：证明平行四边形的对角线互相平分。

答案：设平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点E。

我们需要证明E是AC和BD的中点。

证明：1. 由于ABCD是平行四边形，我们知道AB || CD且AB = CD。

第四周星期一(三角) 2023年____月____日1.在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求B ；(2)若c ＝5，b ＝7，求△ABC 的周长.解 (1)由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6及正弦定理a sin A ＝b sin B ， 得sin B sin A ＝sin A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6.因为sin A ≠0，所以sin B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝32cos B ＋12sin B ，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝0.因为0<B <π， 所以－π3<B －π3<2π3，所以B －π3＝0，所以B ＝π3. (2)在△ABC 中，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得a 2－5a －24＝0， 解得a ＝8或a ＝－3(舍)， 所以a ＝8，故△ABC的周长为20.星期二(数列)2023年____月____日2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*)，S5＝25，且a3－1，a4＋1，a7＋3成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝(－1)n a n＋1，T n是数列{b n}的前n项和，求T2n.解(1)∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5.设数列{a n}的公差为d，由a3－1，a4＋1，a7＋3成等比数列得(6＋d)2＝4(8＋4d)，∴d2－4d＋4＝0，∴d＝2，∴a n＝a3＋(n－3)d＝2n－1(n∈N*).(2)∵b n＝(－1)n a n＋1＝(－1)n(2n－1)＋1，∴T2n＝[(－1＋1)＋(3＋1)]＋[(－5＋1)＋(7＋1)]＋…＋[－(4n－3)＋1＋(4n－1＋1)]＝4n.即T2n＝4n，n∈N*.星期三(概率与统计)2023年____月____日3.4月30日是全国交通安全反思日，学校将举行交通安全知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C，D分别加1分，2分，3分，6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，若累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；若累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；③每位参加者按问题A，B，C，D顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题A，B，C，D回答正确的概率依次为35，12，13，14，且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ). 解(1)设A，B，C，D分别为第一、二、三、四个问题.用M i(i＝1，2，3，4)表示甲同学第i个问题回答正确，用N i(i＝1，2，3，4)表示甲同学第i个问题回答错误，则M i与N i是对立事件(i＝1，2，3，4).由题意得P(M1)＝35，P(M2)＝12，P(M3)＝13，P(M4)＝14，所以P(N1)＝25，P(N2)＝12，P(N3)＝23，P(N4)＝34.记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，Q＝M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4，则P(Q)＝P(M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4)＝P(M1M2M3)＋P(N1M2M3M4)＋P(M1N2M3M4)＋P(M1M2N3M4)＋P(N1M2N3M4)＝35×12×13＋25×12×13×14＋35×12×13×14＋35×12×23×14＋25×12×23×14＝940.(2)由题意，随机变量ξ的所有可能取值为2，3，4. 由于每题答题结果相互独立，所以P(ξ＝2)＝15，P(ξ＝3)＝35×12×13＋35×12×23＝310，P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1 2，所以随机变量ξ的分布列为P 1531012所以E(ξ)＝2×15＋3×310＋4×12＝3310.星期四(立体几何)2023年____月____日4.已知等腰直角△SAB，SA＝AB＝4，C，D分别为边SB，SA的中点，沿CD将△SCD折起，得到四棱锥S－ABCD，平面SCD⊥平面ABCD.(1)过点D的平面α∥平面SBC，平面α与棱锥S－ABCD的面相交，在图中画出交线；设平面α与棱SA交于点M，写出SMMA的值(不必说出画法和求值理由)；(2)求证：平面SBA⊥平面SBC.(1)解平面α与棱锥S－ABCD的交线如图所示，SMSA＝1.(2)证明∵D，C分别为SA，SB的中点，∴CD∥AB.∵△SAB为等腰直角三角形，∴CD⊥SD，CD⊥AD.∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD＝CD，SD⊥CD，SD⊂平面SCD，∴SD⊥平面ABCD.∵AD⊂平面ABCD，∴SD⊥AD.又∵CD⊥AD，∴DA ，DC ，DS 三条棱两两互相垂直.如图所示以D 为坐标原点，以DA →，DC →，DS →的方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系D －xyz ， 设AD ＝CD ＝1，则A (1，0，0)，C (0，1，0)，S (0，0，1)，B (1，2，0)， ∴SB→＝(1，2，－1)，AB →＝(0，2，0)，CB →＝(1，1，0). 设平面SAB ，平面SBC 的法向量分别为 u ＝(x 1，y 1，z 1)，v ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧u ·AB →＝0，u ·SB →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2y 1＝0，x 1＋2y 1－z 1＝0，取x 1＝1，则u ＝(1，0，1)； ⎩⎨⎧v ·SB →＝0，v ·CB →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－z 2＝0，x 2＋y 2＝0， 取x 2＝1，则v ＝(1，－1，－1)， ∴cos 〈u ，v 〉＝u·v|u||v |＝1－12×3＝0，∴平面SBA ⊥平面SBC .星期五(解析几何) 2023年____月____日5.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，左焦点F (－1，0)，点M (0，2)在椭圆E 外部，点N 为椭圆E 上一动点，且△NMF 的周长最大值为25＋4. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)点B ，C 为椭圆E 上关于坐标原点对称的两个点，A 为左顶点，若直线AB ，AC 分别与y 轴交于P ，Q 两点，试判断以PQ 为直径的圆是否过定点？如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.解 (1)由题知当△NMF 的周长取得最大值时，直线MN 经过椭圆右焦点. 设△NMF 的周长为C ，∴C △NMF ＝25＋2a ＝25＋4，解得a ＝2. 又∵c ＝1，∴b ＝3，∴椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由对称性可知，如果存在定点满足题设条件，则该定点必在x 轴上，设定点T (t ，0).∵B ，C 两点关于坐标原点对称， 设点B (x 0，y 0)，C (－x 0，－y 0)(x 0≠±2)， ∴直线l AB ：y (x 0＋2)＝y 0(x ＋2)， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0＋2，同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－2y 0－x 0＋2. ∵点T 在以PQ 为直径的圆上， ∴PT ⊥QT .代入可得t 2＋－4y 20（x 0＋2）（－x 0＋2）＝t 2－4y 204－x 2＝0. 又∵点B ，C 在椭圆上， ∴y 20＝3－3x 204，代入t 2－4y 204－x 20＝0可得t 2＝3，∴该圆过定点(3，0)或(－3，0).星期六(函数与导数) 2023年____月____日6.已知函数f (x )＝2x －a ln x ＋4a (a ∈R ). (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)令g (x )＝f (x )－sin x ，若存在x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2时，g (x 1)＝g (x 2)，证明：x 1x 2<a 2.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2－a x ＝2x －ax . 当a ≤0时，f ′(x )>0； 当a >0时，由f ′(x )>0得x >a2； 由f ′(x )<0得0<x <a2，所以当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2上单调递减；在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递增.(2)证明 g (x )＝2x －a ln x －sin x ＋4a .因为g (x 1)＝g (x 2)，由题意知，2x 1－a ln x 1－sin x 1＝2x 2－a ln x 2－sin x 2， 所以a (ln x 1－ln x 2)＝2(x 1－x 2)－(sin x 1－sin x 2). 令h (x )＝x －sin x ， 则h ′(x )＝1－cos x ≥0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增. 不妨设x 1>x 2>0，因为h (x 1)>h (x 2)， 所以x 1－sin x 1>x 2－sin x 2， 所以－(sin x 1－sin x 2)>x 2－x 1，所以2(x 1－x 2)－(sin x 1－sin x 2)>2(x 1－x 2)＋(x 2－x 1)＝x 1－x 2，所以a (ln x 1－ln x 2)>x 1－x 2， 所以a >x 1－x 2ln x 1－ln x 2.要证x 1x 2<a 2，即证x 1x 2<a ， 只需先证x 1－x 2ln x 1－ln x 2>x 1x 2.令t ＝x 1x 2(t >1)，只需证t －1ln t >t ，只需证t －1t －ln t >0.设m (t )＝t －1t－ln t (t >1)， 则m ′(t )＝（t －1）22t t>0，所以m (t )在(1，＋∞)上单调递增， 所以m (t )>m (1)＝0， 即x 1－x 2ln x 1－ln x 2>x 1x 2成立，所以a >x 1x 2，即x 1x 2<a 2.星期日(选考部分) 2023年____月____日在下面两个题目中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分.7.选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，A (2，0)，P 为曲线C 上的一个动点.(1)求动点P 对应的参数从π3变动到2π3时，线段AP 所扫过的图形的面积；(2)若直线AP 与曲线C 的另一个交点为Q ，是否存在点P ，使得P 为线段AQ 的中点？若存在，求出点P 的直角坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)设θ＝π3时对应的点为M ，θ＝2π3时对应的点为N ，O 为坐标原点， 线段AP 扫过图形的面积S ＝S △AMN ＋S 弓形＝S △OMN ＋S 弓形＝S 扇形OMN ＝12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π3＝π6.(2)设P (cos θ，sin θ)， ∵P 为线段AQ 的中点， ∴Q (2cos θ－2，2sin θ)，∵Q 在曲线C 上，曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝1， ∴(2cos θ－2)2＋(2sin θ)2＝1， ∴8cos θ＝7，cos θ＝78，sin θ＝±158.此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫78，±158.8.选修4－5：不等式选讲 已知f (x )＝2|x ＋1|＋|2x －1|.(1)若f (x )>f (1)，求实数x 的取值范围；(2)f (x )≥1m ＋1n (m >0，n >0)对任意的x ∈R 都成立，求证：m ＋n ≥43. (1)解 f (x )>f (1)， 即2|x ＋1|＋|2x －1|>5.①当x >12时，2(x ＋1)＋(2x －1)>5，得x >1；②当－1≤x ≤12时，2(x ＋1)－(2x －1)>5，得3>5，不成立； ③当x <－1时，－2(x ＋1)－(2x －1)>5，得x <－32. 综上，所求的x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1，＋∞).(2)证明 因为2|x ＋1|＋|2x －1|＝|2x ＋2|＋|2x －1|≥|(2x ＋2)－(2x －1)|＝3，所以f (x )≥3恒成立. 所以1m ＋1n ≤3.因为m >0，n >0时，1m ＋1n ≥21mn ，当且仅当m ＝n 时，等号成立， 所以21mn ≤3，得mn ≥23，所以m ＋n ≥2mn ≥43.。

几何证明初步练习题编辑整理：临朐王老师1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推理过程： ○1 作CM ∥AB ，则∠A= ，∠B= ，∵∠ACB +∠1+∠2=1800（ ，∴∠A+∠B+∠ACB=1800．○2 作MN ∥BC ，则∠2= ，∠3= ，∵∠1+∠2+∠3=1800，∴∠BAC+∠B+∠C=1800． 2．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。

3、.如图，在△ABC 中，∠C ＞∠B,求证：AB ＞AC 。

4. 已知，如图，AE//DC ，∠A=∠C ，求证：∠1=∠B.5. 已知：如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2. 求证：∠AGD ＋∠BAC = 180°. 反证法经典例题6.求证:两条直线相交有且只有一个交点.7.如图，在平面内，AB 是L 的斜线，CD 是L 的垂线。

求证：AB 与CD 必定相交。

证：是无理8.求数。

一．角平分线－－轴对称9、已知在ΔABC 中，Ｅ为ＢＣ的中点，AD 平分BAC ∠，BD ⊥AD 于D ．AB ＝9，ＡＣ＝13求ＤＥ的长第9题图 第10题图 第11题图分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD ≌ΔAFD ．则BD ＝DF ．又BE ＝EC ，即D Ｅ为ΔBCF 的中位线．∴DE=12FC=12(AC-AB)=2．10、已知在ΔABC 中，108A ∠=，AB ＝AC ，BD 平分ABC ∠．求证：BC ＝AB ＋CD ． 分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD ≌ΔBED ．由已知可得：18ABD DBE ∠=∠=，108A BED ∠=∠=，36C ABC ∠=∠=．∴72DEC EDC ∠=∠=，∴CD ＝CE ，∴BC ＝AB ＋CD ．11、如图，ΔABC 中，Ｅ是BC 边上的中点，DE ⊥BC 于E ，交BAC∠BB的平分线AD 于D ，过D 作DM ⊥AB 于Ｍ，作DN ⊥ＡC 于N ．求证：BM＝CN ．分析：连接DB 与DC ．∵DE 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ．易证ΔAMD ≌ΔAND ．∴有DM ＝DN ．∴ΔBMD ≌ΔCND （ＨＬ）．∴BM ＝CN ． 二、旋转12、如图，已知在正方形ABCD 中，Ｅ在BC 上，Ｆ在DC 上，BE ＋DF ＝EF ． 求证：45EAF ∠=．分析：将ΔADF 绕Ａ顺时针旋转90得ABG ．∴GAB FAD ∠=∠．易证ΔAGE ≌ΔAFE ． ∴1452FAE GAE FAG ∠=∠=∠=13、如图，点E 在ΔABC 外部，D 在边BC上，DE 交AC 于F ．若123∠=∠=∠，ＡＣ＝ＡＥ．求证：ΔABC ≌ΔADE ．分析：若ΔABC ≌ΔADE ，则ΔADE 可视为ΔABC 绕Ａ逆时针旋转1∠所得．则有B ADE ∠=∠．∵12B ADE ∠+∠=∠+∠，且12∠=∠．∴B ADE ∠=∠．又∵13∠=∠． ∴BAC DAE ∠=∠．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ΔABC ≌ΔADE ．14、如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ．分析：将ΔABF 视为ΔADE 绕Ａ顺时针旋转90即可． ∵90FAB BAE EAD BAE ∠+∠=∠+∠=．∴FBA EDA ∠=∠．又∵90FBA EDA ∠=∠=，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF ≌ΔADE ．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ． 平移第14题图 第15题图 第16题图 第17题图 三、平移15、如图，在梯形ABCD 中，BD ⊥AC ，AC ＝８，BD ＝１５．求梯形ABCD 的中位线长．分析：延长ＤＣ到Ｅ使得ＣＥ＝ＡＢ．连接ＢＥ．可得ACEB ．可视为将ＡＣ平移到ＢＥ．ＡＢ平移到ＣＥ．由勾股定理可得ＤＥ＝１７．∴梯形ＡＢＣＤ中位线长为８．５．16、已知在ΔABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 上一点，Ｅ为AC 延长线一点，且BD ＝CE ．求证：DM ＝EM 分析：作ＤＦ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｆ．易证ＤＦ＝ＢＤ＝ＣＥ．则ＤＦ可视为ＣＥ平移所得．∴四边形ＤＣＥＦ为DCEF ．∴ＤＭ＝ＥＭ．线段中点的常见技巧 --倍长 四、倍长17、已知，ＡＤ为ABC 的中线．求证：ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ． 分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＥ＝２ＡＤ．连接ＢＥ易证ΔBDE ≌ΔCDA ． ∴ＢＥ＝ＡＣ．∴ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．18、如图，AD 为ΔABC 的角平分线且BD ＝CD ．求证：AB ＝AC ．分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易证ΔABD ≌ΔECD ．∴ＥＣ＝ＡＢ．∵BAD CAD ∠=∠．∴E CAD ∠=∠．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ．19、已知在等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ和Ｅ分别为ＢＣ与ＡＣ上的点，且ＡＥ＝ＣＤ．连接ＡＤ与ＢＥ交于点Ｐ，作ＢＱ⊥ＡＤ于Ｑ．求证：ＢＰ＝２ＰＱ．分析：延长ＰＤ到Ｆ使得ＦＱ＝ＰＱ．在等边三角形ＡＢＣ中ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，60ABD C ∠=∠=．又∵ＡＥ＝ＣＤ，∴ＢＤ＝ＣＥ．∴ΔABD ≌ΔBCE ．∴CBE BAD ∠=∠．∴60BPQ PBA PAB PBA DBP ∠=∠+∠=∠+∠=．易证ΔBPQ ≌ΔBFQ ．得ＢＰ＝ＢＦ，又60BPD ∠=．∴ΔBPF 为等边三角形． ∴ＢＰ＝２ＰＱ． 中位线五、中位线、中线：20、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，Ｅ和Ｆ分别为BD 与AC 的中点,求证：1()2EF BC AD =-．分析：取ＤＣ中点Ｇ，连接ＥＧ与ＦＧ．则ＥＧ为ΔBCD 中位线，ＦＧ为ΔACD 的中位线． ∴ＥＧ∥＝12BC ，FG ∥＝12AD ．∵AD ∥BC ．∴过一点Ｇ有且只有一条直线平行于已知直线ＢＣ，即Ｅ、Ｆ、Ｇ共线．∴1()2EF BC AD =-．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半21、已知，在ABCD 中BD AB 21=．Ｅ为ＯＡ的中点，Ｆ为ＯＤ中点，Ｇ为ＢＣ中点． 求证：ＥＦ＝ＥＧ．分析：连接ＢE ．∵BD AB 21=，ＡＥ＝O Ｅ．∴ＢＥ⊥ＣＥ，∵ＢＧ＝ＣＧ．∴BD EG 21=．又ＥＦ为ΔAOD 的中位线．∴AD EF 21=．∴ＥＦ＝ＥＧ． 22、在ΔABC 中，ＡＤ是高，ＣＥ是中线，ＤＣ＝ＢＥ，ＤＧ⊥ＣＥ于Ｇ．求证：（１）ＣＧ＝ＥＧ．（２）2B BCE ∠=∠．分析：（１）连接ＤＥ．则有ＤＥ＝ＢＥ＝ＤＣ．∴Rt ΔCDG ≌Rt ΔEDG （ＨＬ）． ∴ＥＧ＝ＣＧ．∵ＤＥ＝ＢＥ．∴B BDE DEC BCE ∠=∠=∠+∠． ∵ＤＥ＝ＣＤ．∴DEC BCE ∠=∠．∴2B BCE ∠=∠．几何证明初步测验题（1）一、选择题（每空3 分，共36 分） 1、使两个直角三角形全等的条件是（?? ）A 、一组锐角对应相等?B 、两组锐角分别对应相等C 、一组直角边对应相等?D 、两组直角边分别对应相等 2、如图，已知AB ∥CD ，∠A ＝50°，∠C ＝∠E ．则∠C ＝（ ） A ．20°????????? B ．25°??? C ．30°??????? D ．40°第2题图 第4题图 第6题图第7题图3、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ）A ．有两个角是直角B ．有两个角是钝角C ．有两个角是锐角??D ．一个角是钝角，一个角是直角4、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠BOE=90°，OF 平分∠AOE ，∠1=15°30’，则下列结论不正确的是( ??)A ．∠2=45°????????B ．∠1=∠3C ．∠AOD+∠1=180°???????D ．∠EOD=75°30’5、下列说法中，正确的个数为（?? ）?①三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点?②三角形的中线都是过三角形的某一个顶点，且平分对边的直线?③在△ABC 中，若∠A=12∠B=13∠C ，则△ABC 是直角三角形?④一个三角形的两边长分别是8和10，那么它的最短边的取值范围是2<b<18 A ．1个 B ．2个 C ．3个?? D ．4个6、如图，在AB=AC 的△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，DF ⊥AC 于F ，E 在AB 边上，使ED⊥BC于D，∠AED=155°，则∠EDF等于（?? ）A、50°?B、65°???C、70°??D、75°?7、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC=10cm，则△DEC的周长为（?? ）A．8cm???????? B．10cm?????????? C．12cm ????????? D．14cm8、如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（??? ）A.? ???B.?????C.5???? ??D.49、如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN = EF，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN = EF．你认为（??? ）A．仅小明对?? B．仅小亮对? C．两人都对? D．两人都对??第9题图第10题图第11题图第12题图10、如图，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，•则四个结论正确的是（? ）．①点P在∠A的平分线上; ②AS=AR; ③QP∥AR; ④△BRP≌△QSP.A．全部正确;?????????????? B．仅①和②正确; C．仅②③正确;?????????? ?D．仅①和③正确11、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（??? ）?? ①∠1=∠?? ②?? ③∠+∠2=90°④=3:4:5???? ⑤A．1????? B．2?????? C．3??????? D．412、如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．13B．12C．23D．不能确定二、填空题（每空3 分，共15 分）13、命题“对顶角相等”中的题设是_________???? ,结论是___________?????? ?。