高中数学学案：矩阵的简单应用

矩阵的简单应用设λ1、λ2是二阶矩阵A 的两个不同的特征值，α1、α2是A 的属于特征值λ1、λ2的特征向量，对于 任意的非零向量β，设β＝t 1α1＋t 2α2(t 1，t 2∈R )，则有A nβ＝t 1λn1α1＋t 2λn2α2(n ∈N *)．[对应学生用书P42][例1] 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31. (1)求出矩阵M 的特征值和特征向量； (2)计算M 4β，M 10β，M 100β；(3)从第(2)小题的计算中，你发现了什么？[思路点拨] (1)先求出矩阵M 的特征多项式，求出特征值，再求出与其对应的特征向量；(2)利用A nβ＝t 1λn1α1＋t 2λn2α2(λ1、λ2是矩阵A 的特征值，α1、α2是λ1、λ2的特征向量，β＝t 1α1＋t 2α2)计算；(3)由M nβ中n 的变化情况与计算结果即可发现规律． [精解详析] (1)矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －1 0 λ－2＝(λ－1)(λ－2)，令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2.所以它们对应的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2)令β＝m α1＋n α2，则有m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，解得m ＝2，n ＝1，即β＝2α1＋α2.所以M 4β＝M 4(2α1＋α2)＝2M 4α1＋M 4α2＝2λ41α1＋λ42α2＝2×14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋24×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1816. 同理可得，M 10β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210＋2 210，M 100β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100＋2 2100.(3)当n 很大时，可近似的认为M n β＝M n (2α1＋α2)≈M n α2＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n2n .求A nα的一般步骤为：第一步：求矩阵A 的特征值λ和相应的特征向量ξ； 第二步：把向量α用ξ1，ξ2线性表出，即α＝t 1ξ1＋t 2ξ2； 第三步：由公式计算A n α＝t 1λn 1ξ1＋t 2λn2ξ2.1．已知矩阵A 的一个特征值为3，对应特征值3的特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3，求A 100α. 解：A 100α＝λ100α＝3100⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－31003101.2．给定矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2130，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－2. (1)求A 的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2；(2)求A 4B .解：(1)设λ为A 的特征值，由f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －3 λ＝λ(λ－2)－3＝0，解得λ1＝－1，λ2＝3.当λ1＝－1时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤213 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得A 属于特征值－1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3. 同理，A 属于特征值3的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2)设B ＝m α1＋n α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ m －3m ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，－3m ＋n ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝1.所以B ＝α1＋α2.因此A 4B ＝A 4(α1＋α2)＝(－1)4α1＋34α2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8278.[例2] 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －5－3 2，利用矩阵的特征值和特征向量计算A n.[思路点拨] 先求出矩阵A 的特征值λ1，λ2与其对应的特征向量α1，α2，然后利用A nα＝λnα，并令A n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，最后利用待定系数法建立二元方程组求得a ，b ，c ，d .[精解详析] A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－4 53 λ－2＝(λ－4)(λ－2)－15 ＝λ2－6λ－7＝0，令f (λ)＝0，得A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－1.对λ1＝7，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝0，3x ＋5y ＝0，可得α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－3为矩阵A 的属于特征值λ1＝7的特征向量．对λ2＝－1，解相应的方程组⎩⎪⎨⎪⎧－5x ＋5y ＝03x －3y ＝0，可得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为矩阵A 的属于特征值λ2＝－1的特征向量．于是A α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －5－3 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－3＝7·⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－3A α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －5－3 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝－1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.显然A n⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－3＝7n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－3，A n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝(－1)n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 设A n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤5a －3b 5c －3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5·7n－3·7n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－n－n ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧5a －3b ＝5·7n，5c －3d ＝－3·7n ，a ＋b ＝－n ，c ＋d ＝－n.解得a ＝5·7n＋－n8，b ＝－5·7n＋－n8，c ＝－3·7n＋－n8，d ＝3·7n＋－n8， 所以A n＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5·7n＋－n8－5·7n＋－n8－3·7n＋－n83·7n＋－n8.矩阵的平方运算可直接进行矩阵相乘，更高次方的运算可运用矩阵的特征向量与特征值对计算进行设计、转化．一般步骤为：(1)求二阶矩阵A 的特征方程的根λ1，λ2，并分别求出对应的一个特征向量X 1，X 2，令X 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 1n 1，X 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 2n 2；(2)设A n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，根据A nX 1＝λn1X 1，A nX 2＝λn 2X 2，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 1n 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λn 1m 1λn 1n 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 2n 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λn2m 2λn 2n 2； (3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧am 1＋bn 1＝λn 1m 1am 2＋bn 2＝λn2m2和⎩⎪⎨⎪⎧cm 1＋dn 1＝λn 1n 1，cm 2＋dn 2＝λn2n 2，即可求得A n.3．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1111，求A 10. 解：特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －1－1 λ－1＝(λ－1)2－1＝λ2－2λ，令f (λ)＝0，解得矩阵A 的特征值λ1＝0，λ2＝2，对λ1＝0，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＝0，－x －y ＝0，可得α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 属于特征值λ1＝0的一个特征向量． 对λ2＝2，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0，可得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵A 的属于特征值λ2＝2的一个特征向量．于是，A α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝0·⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， A α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 111 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 显然，A 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，A 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝210⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 设A 10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b c －d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00； ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210210＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10241024. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，c －d ＝0，a ＋b ＝1024，c ＋d ＝1024.解得a ＝512，b ＝512，c ＝512，d ＝512.所以，A 10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤512 512512 512.4．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2130，求A n. 解：特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－3 λ＝(λ－2)λ－3＝λ2－2λ－3.解方程λ2－2λ－3＝0，求得特征值λ1＝－1，λ2＝3.对于λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧－3x －y ＝0，－3x －y ＝0，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3是属于λ1的一个特征向量． 对λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－3x ＋3y ＝0，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是属于λ2的一个特征向量． 于是A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3，A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 显然A n⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＝(－1)n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3，① A n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.② 设A n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，代入①②得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＝(－1)n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －3b c －3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －1n －3×－1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n3n . ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －3b ＝－n，a ＋b ＝3n ，c －3d ＝－－n，c ＋d ＝3n，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝3n ＋1＋－n4，b ＝3n－－n4，c ＝3n ＋1＋－n ＋14，d ＝3n＋－n4.因此A n＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3n ＋1＋－n43n－－n43n ＋1＋－n ＋143n＋－n4.[例3] 某人进行股票投资，获利与亏损的规律为：如果某年投资获利，则第二年投资亏损的概率为23；如果某年投资亏损，则第二年投资获利的概率为12，假设2013年他获利的概率为34.(1)求他2014年投资获利的概率；(2)问他2014年与2015年哪一年投资获利机会大？[思路点拨] 列出数组之间的矩阵表达式，转化为矩阵问题求解．[精解详析] (1)2013年他获利的概率为34，则投资亏损的概率为14，它可以用W ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3414表示.2014年他获利与亏损的概率为W 2014＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 1223 12 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3414＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3858，所以2014年获利的概率为38.(2)2015年获利与亏损的概率为W 2015＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 1223 122⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3414＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 1223 12 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3858＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤716916. 所以2015年获利的概率为716，2015年投资获利机会大．对于一些实际问题可通过列出数组之间的矩阵表达式，将实际问题转化为矩阵问题，利用矩阵的相关知识，最终达到解决实际问题的目的．5．为了保证信息安全传输，设计一种密码系统，其加密原理如下： 明文X 加密,密文Y 发送,密文Y 解密,明文X现在加密方式为：把发送的数字信息X 写为“a 11a 21a 12a 22”的形式，先左乘矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 4－22，再左乘矩阵B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤65 －25145 －85，得到密文Y .现在已知接收方得到的密文是4,12,10,22，试破解该密码．解：由题意知，BA ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤65 －25145 －85 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 4－2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 46 8， ∴(BA )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1234 －14. 又(BA )X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 1012 22，∴X ＝(BA )－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 1012 22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11234 －14 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 1012 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 102，即发送的数据信息是2 012.6．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥0.确定的平面区域为F 0，点M 0(a ，b )在平面区域F 0内，点M 1(a ＋b,2b )在平面区域F 1内．(1)求平面区域F 1的面积；(2)若点M 1(a 1，b 1)在平面区域F 1内，则点M 2(a 1＋b 1,2b 1)便在平面区域F 2内，若点M 2(a 2，b 2)在平面区域F 2内，则点M 3(a 2＋b 2,2b 2)便在平面区域F 3内，…，依次类推，试判断平面区域F n 的形状，并求其面积S n (n ∈N *)．解：(1)设M 1(a 1，b 1)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a ＋b ，b 1＝2b ，可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b .由于平面区域F 0是由三个点O 0(0,0)，A 0(2,0)，B 0(0,2)组成的，故平面区域F 1是由三个点O 1(0,0)，A 1(2,0)，B 1(2,4)组成的，其面积S 1＝4.(2)设M n ＋1(a n ＋1，b n ＋1)(n ∈N *)，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝a n ＋b n ，b n ＋1＝2b n ，可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n . 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ＝A n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ， 求得A 的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ1＝1对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，λ2＝2对应的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.又⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝2α1， 故A n⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝2λn 1α1＝2×1n×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20.又⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝－2α1＋2α2，故A n⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝－2×λn 1α1＋2×λn2α2＝－2×1n α1＋2×2nα2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1－22n ＋1. 由题意知矩阵A 所对应的变换是线性变换，即在矩阵A 的作用下，将直线A 0B 0变换成A 1B 1，将A 1B 1变换成A 2B 2，…，将直线A n －1B n －1变换为A n B n ，∴平面区域F n 是由三点O n (0,0)，A n (2,0)，B n (2n ＋1－2,2n ＋1)组成的三角形，其面积S n＝2n ＋1(n ∈N *)．[对应学生用书P45]1．已知向量ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，把α用ξ1，ξ2线性表出．解：设α＝t 1ξ1＋t 2ξ2即⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 2t 1＋t 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧t 2＝2，t 1＋t 2＝3，故⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝1，t 2＝2.∴α＝ξ1＋2ξ2.2．若矩阵A 有特征值λ1＝2，λ2＝－1，它们对应的特征向量分别为i ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10和j ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01(1)求矩阵A 及逆矩阵A －1；(2)若α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤116，试求A 100α.解：(1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Ai ＝λ1i ，Aj ＝λ2j ，即⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b d ＝－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，c ＝0，d ＝－1，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 －1.所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 －1. (2)设α＝m i ＋n j ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤116＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n .所以m ＝1，n ＝16.所以A 100α＝m λ 1001i ＋n λ 1002j ＝1·2100⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋16·(－1)100·⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210016.3．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3452，求A n (n ∈N *)． 解：矩阵A 的特征多项式为：f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －4－5 λ－2＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)，令f (λ)＝0得矩阵A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－2. 把λ1＝7，λ2＝－2代入线性方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－3 －4－5 λ－2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00 得各自对应的一个特征向量α1、α2，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－5.∴A α1＝λ1α1，A α2＝λ2α2，A n α1＝λn 1α1，A n α2＝λn2α2.设A n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝7n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－5＝(－2)n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－5.解得：a ＝19[5×7n ＋(－1)n ·2n ＋2]，b ＝49[7n ＋(－1)n ＋1·2n ]，c ＝59[7n ＋(－1)n ＋1·2n ]，d ＝19[4×7n ＋(－1)n ×5×2n ]．∴A n＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤19[5×7n＋－1n·2n ＋2] 49[7n＋－1n ＋1·2n ]59[7n＋－1n ＋1·2n ] 19[4×7n＋－1n×5×2n].4．若M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0－12 1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤212 12，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－2，求[(MN )－1]100β.解：∵MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0－12 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 12 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －11 0， ∴det(MN )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2 －1 1 0＝1.∴(MN )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－1 －2.设(MN )－1的特征值为λ，特征向量为ξ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 －2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－λ －1 1 －2－λ＝－λ(－2－λ)＋1＝λ2＋2λ＋1＝0. ∴λ＝－1，ξ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.∴β＝2ξ. ∴[(MN )－1]100β＝λ100·2ξ＝2ξ＝β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2. 5．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －1b 的一个特征值为λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74.求a 、b 及A 5β.解：由题意可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21 即：⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4－2＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4.∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6，令f (λ)＝0得：λ1＝2，λ2＝3.显然λ1＝2时的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.设λ2＝3时的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－14 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3x－x ＋4y ＝3y ，得y ＝x ，不妨令α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3α1＋α2，∴A 5β＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×26＋353×25＋35＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.6．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1254及向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34， (1)计算A n α，并分析讨论当n 的值越来越大时，A nα的变化趋势； (2)给出A nα的一个近似公式，并利用这一公式计算A 100α. 解：(1)f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－5 λ－4＝λ2－5λ－6＝(λ＋1)(λ－6)，则矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝6. 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于特征值λ2＝6的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤25＝α1＋α2.A nα＝λn1α1＋λn2α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－n＋2×6n－n ＋1＋5×6n .当n 的值越来越大时，(－1)n和(－1)n ＋1可忽略不计，A nα≈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×6n5×6n .(2)由(1)可得，A nα≈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×6n5×6n ，∴A 100α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×61005×6100.7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2，求点P (3,3)经过矩阵A 的连续50次作用后得到的点P 50的坐标．解：矩阵A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－12 0 0 λ－2＝(λ－12)(λ－2)， 由f (λ)＝0得λ1＝12，λ2＝2.当λ＝12时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧0x －0y ＝0，0x －32y ＝0，令x ＝1，y ＝0，得属于特征值12的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10.同理属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.由于⎣⎢⎡⎦⎥⎤33＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，所以A 50⎣⎢⎡⎦⎥⎤33＝3⎝⎛⎭⎪⎫1250⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫250⎣⎢⎡⎦⎥⎤01 ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12503·250， 即点P (3,3)经过矩阵A 的连续50次作用后得到的点P 50的坐标是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫1250，3·250. 8．狐狸和兔子在同一栖息地生存，我们忽略其他因素，只考虑兔子数量与狐狸数量的相互影响．现假设在第n 年时，兔子的数量为a n ，狐狸的数量为b n ，在初始时刻时(即第0年)，兔子有a 0＝100只，狐狸有b 0＝30只，且两种群之间满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝1.1a n －1－0.15b n －1，b n ＝0.1a n －1＋0.85b n －1.(n ≥1) (*)试分析随着时间的变化，兔子和狐狸的数量有着怎样的变化？ 解：令βn ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n ，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.1 －0.150.1 0.85，则(*)式可以改写成βn ＝M βn －1(n ≥1)．由此可知βn ＝M βn －1＝M 2βn －2＝…＝M nβ0.经过计算，矩阵M 有两个特征值λ1＝1，λ2＝0.95，且分别可取α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为对应的特征向量，显然α1，α2不共线，又不妨假设β0＝s α1＋t α2(其中s ，t 待定)．则有⎩⎪⎨⎪⎧100＝3s ＋t ，30＝2s ＋t ，解得s ＝70，t ＝－110，即β0＝70α1－110α2.从而由特征向量性质知βn ＝M nβ0＝M n(70α1－110α2)＝70λn1α1－110λn2α2， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ＝70×1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－110×0.95n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210140－0.95n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤110110. 即第n 年兔子和狐狸的数量为⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝210－110×0.95n，b n ＝140－110×0.95n .由此可看出，随着时间的增加，兔子和狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子和狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态．。

高中数学矩阵的教学一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计围绕高中数学中的矩阵知识进行展开，旨在使学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的基本运算及其应用，并能够运用矩阵解决实际问题。

教学任务包括：介绍矩阵的定义及性质；讲解矩阵的加、减、乘法运算；探讨矩阵的逆矩阵及矩阵的秩；分析矩阵在实际问题中的应用，如线性方程组的求解等。

2、教学对象本教学设计的对象为高中二年级的学生。

经过之前的学习，学生已经掌握了基本的代数运算，具备了一定的逻辑推理和问题分析能力。

此外，学生对数学学习具有一定的兴趣和热情，但在面对复杂问题时可能会表现出一定的困惑和恐惧。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的心理变化，激发学生的学习兴趣，帮助他们建立信心，克服困难。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解矩阵的定义，掌握矩阵的表示方法，能够识别并运用不同类型的矩阵；（2）掌握矩阵的加、减、乘法运算，了解矩阵乘法的性质，能够熟练进行矩阵运算；（3）理解逆矩阵的概念，掌握求逆矩阵的方法，能够运用逆矩阵解决实际问题；（4）了解矩阵的秩的定义，掌握求矩阵秩的方法，能够分析矩阵的线性相关性；（5）能够运用矩阵解决线性方程组问题，了解矩阵在解决实际问题中的应用。

2、过程与方法（1）通过问题驱动的教学方式，引导学生主动探究矩阵的性质和运算规律，培养学生的逻辑思维能力和创新意识；（2）采用分组讨论、合作学习等形式，促进学生之间的交流与合作，提高学生的问题分析和解决能力；（3）运用实际案例，让学生了解矩阵在现实生活中的应用，培养学生学以致用的能力；（4）利用多媒体教学资源，如动画、软件等，辅助教学，提高学生的学习兴趣和直观理解；（5）通过课堂讲解、课后练习、辅导答疑等多种途径，巩固学生的知识掌握，提高学生的数学素养。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对矩阵知识的好奇心和求知欲，培养他们积极向上的学习态度；（2）通过解决实际问题，让学生感受到数学的实用性和趣味性，增强学生对数学学科的价值认识；（3）在教学过程中，关注学生的心理需求，鼓励学生面对困难时保持积极的心态，培养他们的抗挫折能力；（4）培养学生严谨、认真的学习态度，使他们认识到细节决定成败，从而在学术和人生道路上取得更好的成绩；（5）通过团队合作，培养学生的集体荣誉感和责任感，提高他们的社会适应能力。

矩阵的简单应用矩阵是数学中一个非常重要的概念，它在物理、统计学、计算机科学、工程等许多领域中都有广泛的应用。

本文将介绍一些矩阵的简单应用。

1. 线性方程组矩阵最基本的应用之一就是解线性方程组。

线性方程组可以用矩阵和向量的形式表示。

例如下面这个方程组：x + y = 32x - y = 1可以表示为以下矩阵和向量：$$\left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right]$$通过进行矩阵运算，我们可以求出满足这个方程组的解。

2. 向量的线性组合矩阵可以用来表示向量的线性组合。

例如，我们可以将两个向量表示为矩阵的列向量：其中a和b是标量。

通过改变a和b的值，我们可以得到向量的不同组合。

3. 线性变换矩阵还可以表示线性变换。

线性变换是指满足以下两个条件的变换：1）对于任意的向量x和y，有f(x + y) = f(x) + f(y)。

例如，我们可以将矩阵M表示为线性变换，将一个向量x变换为y。

那么这个变换可以用以下方程表示：$$y = Mx$$4. 特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。

特征值是一个数，特征向量是一个向量。

如果一个向量在线性变换后仍然在同一条直线上，那么这个向量就是这个变换的特征向量，对应的特征值就是这个变换对这个向量的伸缩比例。

例如，下面这个矩阵：$$\left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}\right]$$5. 矩阵的逆矩阵的逆是一个矩阵，它与原矩阵相乘会得到单位矩阵。

如果一个矩阵A的逆存在，那么它可以表示为以下形式：$$A^{-1} = \frac{1}{\text{det} A}\text{adj} A$$其中，det A是A的行列式，adj A是A的伴随矩阵。

高中数学教案矩阵的乘法与应用高中数学教案：矩阵的乘法与应用高中数学作为学科中的一门重要课程，为学生提供了扎实的数学基础与解决实际问题的能力。

本教案将重点介绍矩阵的乘法与应用，帮助学生理解和掌握相关概念与技巧。

一、矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要内容，通过矩阵的乘法可以实现多个矩阵之间的运算和变换。

具体来说，设有两个矩阵A和B，它们的乘积记作AB，计算方法如下：1.1 定义设A是一个 m×n 的矩阵，B是一个 n×p 的矩阵，那么乘积AB是一个 m×p 的矩阵，其中乘积矩阵中的元素c(i,j)可表示为：c(i,j) = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + ... + a(i,n)b(n,j)1.2 注意事项在进行矩阵乘法时，需要注意以下几点：1) 两个矩阵相乘的前提是，第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等；2) 矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA；3) 相乘的两个矩阵的对应元素必须满足相同的运算法则，通常为加法和乘法；二、矩阵的应用矩阵在数学中具有广泛的应用，尤其在线性代数、图论、概率统计等领域。

以下将简要介绍矩阵的几个常见应用。

2.1 线性变换矩阵可以用来表示线性变换，例如旋转、缩放、平移等。

通过对矩阵的乘法运算，可以实现对多个变换的叠加，从而达到复杂变换的目的。

2.2 线性方程组的求解矩阵可以应用于线性方程组的求解。

将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵进行相乘，可以将方程组转化为矩阵的乘法运算，从而通过求解矩阵的逆矩阵或使用高斯消元法来解得方程组的解。

2.3 图论中的邻接矩阵在图论中，矩阵可以用于表示图的相关信息。

邻接矩阵是描述无向图或有向图的常用方法之一。

通过邻接矩阵的乘法，可以实现对图的遍历、路径搜索等操作。

2.4 概率统计中的转移矩阵转移矩阵是概率统计中常见的矩阵表示形式。

通过转移矩阵的乘法运算，可以描述系统在不同状态之间的转移概率，例如马尔可夫链、隐马尔可夫模型等。

基础诊断1. 设数列{a n }，{b n }满足a n ＋1＝3a n ＋2b n ，b n ＋1＝2b n ，且满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋2b n ＋2＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ，则二阶矩阵M ＝________．2. 设某校午餐有A ，B 两种便当选择，经统计数据显示，今天订A 便当的人，第二天再订A 便当的概率是35；今天订B 便当的人，第二天再订B 便当的概率为45，已知星期一有40%的同学订了A 便当，60%的同学订了B 便当，则星期四时订A 便当同学的概率是多少？考向例1 自然界生物群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等．因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系．但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾．现假设两个互相影响的种群X ，Y 随时间段变化的数量分别为{a n }，{b n }，有关系式⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝a n ＋2b n ，b n ＋1＝3a n ＋2b n ，其中a 1＝6，b 1＝4，试分析20个时段后，这两个种群的数量变化趋势．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31.(1) 求出矩阵M 的特征值和特征向量； (2) 计算M 4β，M 10β，M 100β；(3) 从第(2)小题的计算中，你发现了什么？考向例2 某同学做了一个数字信号模拟传送器，经过10个环节，把由数字0，1构成的数字信号由发生端传到接收端．已知每一个环节会把1错转为0的概率为0.3，把0错转为1的概率为0.2，若发出的数字信号中共有10 000个1，5 000个0.问：(1) 从第1个环节转出的信号中0，1各有多少个？(2) 最终接收端收到的信号中0，1个数各是多少？(精确到十位)(3) 该同学为了完善自己的仪器，决定在接收端前加一个修正器，把得到的1和0分别以一定的概率转换为0和1，则概率分别等于多少时，才能在理论上保证最终接收到的0和1的个数与发出的信号相同．学校餐厅每天供应1 000名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在本周星期一选A 菜的，下周星期一会有20%改选B 菜，而选B 菜的，下周星期一会有30%改选A 菜，若用A n ，B n 分别表示在第n 个星期一选A ，B 菜的人数．(1) 若⎣⎢⎡⎦⎥⎤A n ＋1B n ＋1＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤A n B n ，请写出二阶矩阵M ；(2) 若第一周有300人选择A 菜，700人选择B 菜，试判断其变换趋势．自测反馈1. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β.2. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，计算A 5α.1. 对于二阶矩阵A ，它的特征值分别为λ1，λ2，其对应的特征向量分别为α1，α2，若当非零向量β＝m α1＋n α1，则A k β＝______________．2. 求A nβ的一般步骤为：第一步：求矩阵A的特征值λ和相应的特征向量α；第二步：把向量β用特征向量α线性表示，即________________；第三步：由公式A nβ＝____________________计算．3. 你还有哪些体悟，写下来：第13课 矩阵的简单应用基础诊断1. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤91004 解析：由题设得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ，设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202，则M ＝A 2，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤91004.2. 解析：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35152545，则M 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2535＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤47125391257812586125⎣⎢⎡⎦⎥⎤2535＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤211625414625，故星期四时订A便当同学的概率是211625.范例导航例1 解析：令β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤64，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1232，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ， 由此可求得矩阵M 的特征值λ1＝4，λ2＝－1，分别对应的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1. 假设β＝m α1＋n α2(m ，n ∈R )，解得m ＝n ＝2. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 21b 21＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 20b 20＝M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 19b 19＝…＝M 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1. M 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝M 20β＝M 20(2α1＋2α2)＝2M 20α1＋2M 20α2， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 21b 21＝2×420⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋2×(－1)20⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤242＋23×241－2.因此，20个时段后，种群X ，Y 的数量分别约为242＋2和3×241－2.解析：(1) 矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－10λ－2＝(λ－1)(λ－2)，令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2.所以它们分别对应的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. (2) 令β＝m α1＋n α2，则有m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31， 解得m ＝2，n ＝1，即β＝2α1＋α2，所以M 4β＝M 4(2α1＋α2)＝2M 4α1＋M 4α2＝2λ41α1＋λ42α2＝2×14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋24×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1816. 同理可得，M 10β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210＋2210，M 100β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100＋22100.(3) 当n 很大时，可近似的认为M n β＝M n (2α1＋α2)≈M n α2＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n 2n . 例2 解析：(1) 从第1个环节转出的信号中，0的个数为10 000×0.3＋5 000×0.8＝7 000， 1的个数为10 000×0.7＋5 000×0.2＝8 000.(2) 数字错转的转移矩阵为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0.70.20.30.8，1和0的个数对应列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000，于是最终接收端收到的信号中1，0个数对应矩阵A 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000，矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－0.7－0.2－0.3λ－0.8＝λ2－1.5λ＋0.5＝(λ－1)(λ－0.5)． 令f (λ)＝0，得到矩阵A 的特征值为1或0.5， 将1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧（λ－0.7）x －0.2y ＝0，－0.3x ＋（λ－0.8）y ＝0，解得3x －2y ＝0，不妨设x ＝2，于是得到矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23.同理，把λ＝0.5代入上述方程组得x ＋y ＝0，不妨设x ＝1，可得矩阵A 的属于特征值0.5的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.设⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧10 000＝2m ＋n ，5 000＝3m －n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3 000，n ＝4 000，所以A 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000＝3 000×110⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋4 000×0.510⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 000＋4 000×0.5109 000－4 000×0.510≈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 0009 000，所以最终接收端收到的信号中0约有9 000个，1约有6 000个．(3) 设修正器的转移矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－s t s 1－t (0<s <1，0<t <1)，则由题意有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－s t s 1－t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 0009 000＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000，于是，得到6s －9t ＋4＝0. 因为0<s <1，0<t <1，所以可取s ＝12，t ＝79，也就是说1转为0的概率为12，0转为1的概率为79.注：第(3)问答案不唯一，只要满足方程6s －9t ＋4＝0(0<s <1，0<t <1)的s ，t 均可．解析：(1) 由A n ＋1＝45A n ＋310B n ，B n ＋1＝15A n ＋710B n ，得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4531015710. (2) 由f (λ)＝λ2－32λ＋12＝0，得λ1＝1，λ2＝12，属于λ1，λ2的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，又⎣⎢⎡⎦⎥⎤A 1B 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤300700＝200α1－300α2， 所以M n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤A 1B 1＝200⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－300×⎝⎛⎭⎫12n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤600－300×⎝⎛⎭⎫12n400＋300×⎝⎛⎭⎫12n . 由此说明，若干周后，选择A ，B 两菜的人数分别稳定在600人和400人左右．自测反馈1. 解析：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f (λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，分别对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.令β＝m α1＋n α2，得m ＝4，n ＝－3.所以M 6β＝M 6(4α1－3α2)＝4(M 6α1)－3(M 6α2)＝4×36⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 9132 919.2. 解析：矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝|λ－1－21λ－4|＝(λ－1)(λ－4)＋2＝λ2－5λ＋6＝(λ－2)(λ－3)，令f (λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，对应的一个特征向量为e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21， 当λ2＝3时，对应的一个特征向量为e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 令α＝m e 1＋n e 2，解得m ＝2，n ＝1，即α＝2e 1＋e 2，所以A 5α＝A 5×2e 1＋A 5e 2＝25×2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤27＋3526＋35＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤371307.。

2。

6 矩阵的简单应用1。

掌握网络图、一级路矩阵、二级路矩阵的定义.2.了解矩阵的简单应用.[基础·初探］1.矩阵的相关知识(1)矩阵的概念及表示方法。

（2）矩阵的计算:二阶矩阵与平面列向量的乘法，两个二阶矩阵之间的乘法.(3）常见的几何变换：恒等、伸压、反射、旋转、投影及切变变换，掌握它们的矩阵表示。

（4）二阶矩阵对应的几何变换均是线性变换。

(5）矩阵的乘法的几何意义在于对应变换的复合.（6)矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律、消去律.(7)逆矩阵的概念:掌握哪些(变换对应的)矩阵是可逆的,投影变换矩阵是重要的不可逆矩阵的例子.(8）利用逆矩阵公式或者行列式法求逆矩阵；从几何变换上分析二元一次方程组的解.（9)特征值与特征向量的概念、求法及其应用.2。

网络图与路矩阵（1)在数学中,通常把像如图2。

6。

1这样表示关系的图形称为网络图，其中的交点A，B，C称为结点。

图2­ 6.1(2）网络图所对应的反映从一个结点直达另一个结点的交通情况的矩阵叫做一级路矩阵，而从某个结点出发，先经过一个结点,再到达另外一个结点的交通情况的矩阵称为二级路矩阵。

(3)一级路矩阵与二级路矩阵的区别在于从一个结点到另一个结点是直达，还是间接到达.右图对应的一级路矩阵M＝,二级路矩阵N＝。

3。

求解矩阵应用题的方法及技巧对于应用题，我们要读懂题意,如果还没弄清题意就去做题，则很容易出错.应用题主要考查分析能力、转化能力及运算能力。

因此,我们要加强这方面能力的培养与训练，在解与矩阵有关的应用题时，要学会寻找分析问题和解决问题的突破口，在解题中提高自己的综合能力.4.种群问题的数学模型教材P78例6种群问题的数学模型。

错误!＝M错误!＝错误!错误!，其中｛a n｝，｛b n}表示两个相互影响的种群X,Y随时间段变化的数量。

若起初的种群数量β＝错误!，则经过n个时段后的种群数量为错误!，且错误!＝M n 错误!。

高中矩阵教案教案标题：高中矩阵教案教学目标：1. 了解矩阵的基本概念和特征，并能够正确地表示和读取矩阵。

2. 掌握矩阵的基本运算规则，包括矩阵的相加、相乘和数乘等操作。

3. 能够解决与矩阵相关的实际问题，如线性方程组的求解、向量的线性相关性等。

4. 培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和问题解决能力。

教学重点：1. 矩阵的基本概念和表示方法。

2. 矩阵的基本运算规则。

3. 矩阵在实际问题中的应用。

教学难点：1. 矩阵的相乘运算规则和其背后的数学原理。

2. 如何将实际问题转化为矩阵运算的形式进行求解。

教学准备：1. 教学课件和多媒体设备。

2. 高中数学教材和参考书籍。

3. 相关的练习题和实例题。

教学过程：步骤1：导入与激发兴趣（5分钟）通过展示一些与矩阵相关的实际问题，如线性方程组的求解、图像处理等，引起学生的兴趣，并解释矩阵在这些问题中的应用。

步骤2：介绍矩阵的基本概念和表示方法（15分钟）讲解矩阵的定义、元素、行、列等基本概念，并通过示例演示如何用行列表示矩阵。

步骤3：讲解矩阵的基本运算规则（20分钟）3.1 矩阵的相加和相减：介绍相同维度的矩阵相加和相减的规则，并通过实例进行演示和练习。

3.2 矩阵的数乘：讲解矩阵与数的乘法规则，并通过实例进行演示和练习。

步骤4：讲解矩阵的相乘运算规则（25分钟）4.1 矩阵的乘法定义：介绍矩阵相乘的定义和运算规则，并解释其背后的数学原理。

4.2 矩阵乘法的性质：讲解矩阵乘法的结合律、分配律等性质，并通过实例进行演示和练习。

步骤5：应用矩阵解决实际问题（20分钟）5.1 线性方程组的求解：将线性方程组转化为矩阵运算的形式，并通过矩阵的逆运算求解未知数。

5.2 向量的线性相关性：通过矩阵的秩来判断向量的线性相关性，并解释其在几何中的意义。

步骤6：总结与拓展（10分钟）对本节课的内容进行总结，并提供一些拓展的学习资源和练习题，以帮助学生进一步巩固所学知识。

教学辅助：1. 提供相关的课堂练习和作业，以巩固学生对矩阵的理解和运算规则的掌握。

高中数学教案学习矩阵运算矩阵运算作为高中数学重要的内容之一，是线性代数的基础知识。

通过矩阵运算，我们可以解决具有多个未知数和多个方程的线性方程组，同时也可以用于线性变换和向量的计算。

本文将全面介绍高中数学教案中矩阵运算的学习内容。

1. 矩阵的定义与性质在开始学习矩阵运算之前，我们首先需要了解矩阵的基本定义和性质。

矩阵是由一组数按照一定规律排列而成的矩形阵列。

通常用方括号或圆括号表示。

在教学中，可以通过展示具体的矩阵示例，让学生理解矩阵的概念。

此外，还可以介绍矩阵的行数和列数，矩阵的行列式和逆矩阵等性质。

2. 矩阵的运算法则了解了矩阵的定义后，我们需要介绍矩阵的基本运算法则。

主要包括矩阵的加法、减法、数乘和乘法等四则运算。

在教学过程中，可以通过具体的例题演示，让学生理解并掌握各种矩阵运算法则的操作步骤和计算方法。

此外，还可以结合实际问题，让学生体会矩阵运算在解决实际问题中的应用。

3. 矩阵的转置和转化了解了矩阵的基本运算法则后，我们需要介绍矩阵的转置和转化。

矩阵的转置就是行和列互换，可以通过实例演示让学生理解转置的基本操作步骤。

在实际教学中，还可以结合矩阵的转置与矩阵的乘法，引导学生理解矩阵运算的性质和规律。

此外，还可以介绍矩阵的转化，即将一个矩阵经过初等变换等操作转化为行简化阶梯行阵列，利于解决线性方程组和求矩阵的秩等问题。

4. 矩阵运算在线性方程组中的应用在高中数学中，线性方程组是一个非常重要的内容。

通过矩阵运算方法可以更加简洁地解决线性方程组的问题。

在教学中，可以通过具体的例题，引导学生将线性方程组转化为矩阵的形式，并通过矩阵运算求解出方程组的解。

此外，还可以探讨线性方程组的解的唯一性与存在性，引导学生理解线性方程组与矩阵运算的关系。

5. 矩阵运算在线性变换和向量中的应用矩阵运算除了在解决线性方程组中的应用外，还广泛应用于线性变换和向量的计算中。

在教学中，可以通过矩阵乘法和变换矩阵的概念，引导学生理解线性变换和向量的相互转化。

矩阵运算与应用高中五年级数学教案高中五年级数学教案：矩阵运算与应用引言：本篇教案旨在帮助高中五年级的学生理解和应用矩阵运算的基本概念和方法，并通过实际问题的解决，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

1. 知识背景在进入矩阵运算与应用的学习之前，学生需要掌握以下知识点：- 基本矩阵概念：矩阵是一个由m行n列元素组成的矩形阵列，用于表示一组数。

- 矩阵的行、列、元素：行表示矩阵中的水平线，列表示矩阵中的垂直线，元素表示矩阵中的单个数。

- 矩阵的相等：当两个矩阵的对应元素都相等时，这两个矩阵是相等的。

- 矩阵的加法和数乘：矩阵的加法是指将两个相同维数的矩阵对应元素相加，数乘则是指将矩阵中的每个元素乘以一个常数。

- 矩阵的乘法：矩阵的乘法需要满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

通过本节课的学习，学生将能够：- 掌握矩阵的基本概念和运算规则；- 理解矩阵乘法的定义和性质；- 能够应用矩阵运算解决实际问题。

3. 学习内容本节课将包括以下几个部分的内容：3.1 矩阵的定义和基本运算- 了解矩阵的定义和表示方法；- 掌握矩阵的加法和数乘运算；- 理解零矩阵和单位矩阵的概念。

3.2 矩阵的乘法- 掌握矩阵乘法的定义和计算方法；- 理解矩阵乘法的性质和规律。

3.3 矩阵运算在实际问题中的应用- 学习如何利用矩阵运算解决实际问题；- 通过实例分析，掌握如何将实际问题转化为矩阵运算的形式。

4.1 概念讲解- 通过教师讲解和示例演示，介绍矩阵的定义和基本运算；- 引导学生思考矩阵乘法的定义和性质。

4.2 练习和巩固- 学生进行基础的练习题，巩固所学的矩阵运算知识；- 提供一些拓展题目，培养学生独立思考和解决问题的能力。

4.3 应用探究- 以实际问题为例，引导学生将问题抽象成矩阵运算的形式；- 学生分组进行讨论和解决问题，展示解决过程和结果。

5. 思考题- 如何利用矩阵运算方法求解线性方程组？- 你能举出一个实际问题，并将其转化为矩阵运算的形式吗？结语：通过本节课的学习，学生将对矩阵运算的基本概念和方法有了更深入的理解，并能够应用矩阵运算解决实际问题。

2016-2017学年高中数学几何变换与矩阵2.6 矩阵的简单应用章末分层突破学案苏教版选修4-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学几何变换与矩阵2.6 矩阵的简单应用章末分层突破学案苏教版选修4-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学几何变换与矩阵2.6 矩阵的简单应用章末分层突破学案苏教版选修4-2的全部内容。

2.6 矩阵的简单应用章末分层突破转化与化归的思想一个矩阵是一张由数据(或字母)排列成的表,它能把原本纷繁复杂的事物或数学对象的数学规律简单明了地表示出来，使人一目了然。

同时，对矩阵施行某些运算，可以使我们看清事物之间或对象之间蕴涵的数学规律.本章中广泛应用转化与化归思想，把实际问题转化为矩阵问题，然后通过矩阵变换加以解决。

某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动,已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是错误!。

从开关第二次闭合起，若前次出现红灯,则下一次出现红灯的概率是错误!，出现绿灯的概率是错误!；若前次出现绿灯,则下一次出现红灯的概率是错误!，出现绿灯的概率是错误!。

问:（1）第二次闭合后出现红灯的概率是多少？（2）开关闭合10次时，出现绿灯的概率是多少？【导学号：30650061】【解】(1)从第二次开关闭合后，红绿灯变化的概率情况如图所示：根据图写出红绿灯变化的转移矩阵，即M＝错误!.第一次闭合开关后出现红灯和绿灯的概率可表示为向量β＝错误!，第二次开关闭合后，有Mβ＝错误!错误!＝错误!，第二次开关闭合后出现红灯的概率为715.（2）由f (λ)＝错误!＝λ2－错误!λ－错误!＝0, 解得λ1＝1，λ2＝－错误!。

一、考纲要求1、初步了解三阶或高阶矩阵；2、了解矩阵的简单问题．二、知识梳理【回顾要求】一、阅读苏教版教材选修4-2中第74—79页，完成以下任务：阅读苏教版教材选修4-2中第74—79页，完成以下任务：1.在数学中，通常把像右图这样表示关系的图形称为 ，它反映的交通状况是从一个城市出发直达另一个城市，其中的交点C B A ,,称为 ．2. 所对应的反映直达交通情况的矩阵叫做 ，而从某个结点出发，先经过一个结点，再到达另外一个结点的交通情况的叫做称为 ．3.对于二阶矩阵A ，它的特征值分别为21,λλ，其对应的特征向量分别为21,αα，若当非零向量21ααβn m +=，则=βk A 4.求βnA 的一般步骤为：第一步：求矩阵A 的特征值λ和相应的特征向量α；第二步：把向量β用特征向量α线性表示，即 ；第三步：由公式βκA = 计算．【要点解析】1.一级路矩阵与二级路矩阵的区别在于从一个结点到另一个结点是直达，还是间接到达．2.矩阵的平方运算可直接进行矩阵相乘，更高次方的运算可运用矩阵的特征值与特征向量计算．3.有关数列的递推关系由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n n n n b a M b a 11得转移矩阵M,因此⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1111b a M b a n n n ，可利用矩阵的特征值与特征向量的性质求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n b a【教学建议】本题选自课本第78页的例6模型，主要是帮助学生复习矩阵的特征值与特征向量教学过程处理：:这里的知识梳理题全部是课本例题中的模型求解,可以加强学生解模的训练.三 、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成2道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏．课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误．将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力．点评时要简洁，要点击要害2、诊断练习点评题1、设数列{}{}n n b a ,满足n n n n n b b b a a 2,2311=+=++，且满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n n n n b a M b a 22，则二阶矩阵=M 【分析与点评】数列问题计算公式如何用矩阵来表示【教学建议】分析建立模型是重点引导问题:问题1：n n n n n b b b a a 2,2311=+=++关系用矩阵如何表示？问题2：22,++n n b a 用n n b a ,如何表示，对应的矩阵是什么？问题3：二阶矩阵M 的本质是什么？诊断点评：数列题中利用项与项之间的线性关系,再将线性关系转化为矩阵的乘法形式.题2、设某校午餐有B A ,两种便当选择，经统计数据显示，今天订A 便当的人，第二天再订A 便当的几率是53；订B 便当的人，第二天再订B 便当的几率为54，已知星期一有%40的同学订了A 便当，%60的同学订了B 便当，则星期四时订A 便当同学的几率是多少？【分析与点评】设=M ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡54525153，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡62541462521153521258612578125391254753523M 四、范例导析 例1、研究观察某城市的天气变化趋势，得到如下结论：若今天晴，则明天晴的概率为0.8， 若今天阴，则明天晴的概率为0.4，如果该地区 4月20日清晨天气预报当天的概率为0.6.（1）4月21日为晴天的概率是多少？（2）5月1日为晴天的概率是多少？【教学处理】要求学生独立思考并解题，建立模型过程由学生回答问题，解模时由学生板演老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评．【引导分析与精讲建议】用矩阵表示出第n+1天和第n 天的天气情况教学过程处理：将学生的书写进行投影并讨论．引导问题:问题：如何表示今天和明天的天气情况？列出线性关系再列出矩阵关系答案：（1）0.64（2）32 【说明】二阶矩阵与平面向量乘积的知识,以及特征值与特征向量的应用.例2. 某同学做了一个数字信号模拟传送器，经过 10 个环节，把由数字 0,1 构成的数字信号 由发生端传到接受端．已知每一个环节会把 1 错转为 0 的概率为 0.3，把 0 错转为 1 的概 率为 0.2，若发出的数字信号中共有 10000 个 1，5000 个 0．问： （1）从第 1 个环节转出的信号中 0,1 各有多少个？（2）最终接受端收到的信号中 0,1 个数各是多少？(精确到十位)（3）该同学为了完善自己的仪器，决定在接受端前加一个修正器，把得到的 1 和 0 分别 以一定的概率转换为 0 和 1，则概率分别等于多少时，才能在理论上保证最终接受到的 0 和 1 的个数与发出的信号相同．【教学处理】要求学生合作讨论，建立模型过程由学生回答问题，解模时由学生口述老师板书．【引导分析与精讲建议】引导问题:问题1.题数字错转的转移矩阵为？解析：（1）从第1个环节转出的信号中，0的个数为：10000×0.3+5000×0.8=7000（个）1的个数为：10000×0.7+5000×0.2=8000（个） （2）数字错转的转移矩阵为A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡8.03.02.07.0，1和0的个数对应列矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡500010000， 于是最终接受端收到的信号中1，0个数对应矩阵A 10=⎥⎦⎤⎢⎣⎡500010000，同理，把λ=0.5代入上述方程组得x+y=0，不妨设x=1，可得矩阵A 的属于特征值0.5的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11．又设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1132500010000n m ， 于是⎩⎨⎧-=+=n m n m 35000210000，求得⎩⎨⎧==40003000n m ， 所以A 10=⎥⎦⎤⎢⎣⎡500010000=3000•110⎥⎦⎤⎢⎣⎡32+4000•0.510⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+10105.0*400090005.0*40006000≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡90006000， 于是，最终接受端收到的信号中0约有9000个，1约有6000个（3）设修正器的转移矩阵为B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--t s t s 11（0＜s ＜1，0＜t ＜1），则由题意有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--t s t s 11⎥⎦⎤⎢⎣⎡90006000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡500010000于是得到6s-9t+4=0∵0＜s ＜1，0＜t ＜1注：第（3）问答案不惟一，只要满足方程6s-9t+4=0（0＜s ＜1，0＜t ＜1）的s ，t 均可．五、解题反思1例题1围绕着矩阵的特征值特征向量模型展开，例题2围绕着矩阵变换形式与逆矩阵展开．难点在于建模.认真审题,读懂变量及其线性关系是攻克难点所在.2 注意问题的实际背景.。

高中新教材数学矩阵教案
一、教学目标：
1. 了解矩阵的定义和性质；
2. 掌握矩阵的加法、减法和数乘法则；
3. 掌握矩阵的乘法规则；
4. 学会使用矩阵解线性方程组。

二、教学重点难点：
1. 矩阵的乘法规则；
2. 矩阵解线性方程组的应用。

三、教学准备：
1. 教师准备课件、教材、教具等教学资源；
2. 学生准备教材、笔记本等学习工具。

四、教学过程：
1. 知识导入：
教师引导学生回顾向量的概念，然后引入矩阵的定义和表示方法，让学生了解矩阵是由数构成的矩形数组。

2. 知识讲解：
（1）矩阵的加法和减法规则：分别对应位置相加或相减；
（2）矩阵的数乘法则：将矩阵的每个元素乘以一个数；
（3）矩阵的乘法规则：行乘以列，乘法不满足交换律。

3. 练习演练：
教师设计一些练习题，让学生熟练掌握矩阵的加法、减法、数乘法和乘法规则。

4. 拓展延伸：
教师设计一些拓展练习题，让学生进一步理解矩阵的应用，如用矩阵解线性方程组。

5. 归纳总结：
教师引导学生总结本节课的重点内容，强化学生对矩阵知识的掌握。

六、课堂小结：
总结本节课的重点内容，鼓励学生积极思考，提高对矩阵知识的理解和运用能力。

七、作业布置：
布置相关的作业，巩固学生对矩阵知识的掌握。

以上就是高中新教材数学矩阵教案范本，希望可以帮助到您。

高中数学教案矩阵的运算与应用高中数学教案：矩阵的运算与应用一、引言矩阵是高中数学中重要的概念之一，它在数学和实际应用中都有广泛的运用。

本教案将介绍矩阵的基本概念和运算法则，并探讨矩阵在实际问题中的应用。

二、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义矩阵是由m行n列的数按一定顺序排列而成的长方形数表，常用大写字母表示。

其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

一个矩阵可以记作：A = [a_ij]其中，a_ij表示矩阵中的第i行第j列元素。

2. 矩阵的分类根据矩阵的特点，我们可以将矩阵分为以下几类：- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵。

- 方阵：行数等于列数的矩阵。

- 单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其余元素都为0的方阵。

三、矩阵的运算法则1. 矩阵的加法两个具有相同行数和列数的矩阵可以相加。

加法的规则是对应位置的元素相加，得到一个新的矩阵。

即：A +B = [a_ij + b_ij]其中A和B分别为要相加的两个矩阵。

2. 矩阵的数乘矩阵和一个数相乘称为数乘。

数乘的规则是将矩阵中的每个元素与该数相乘得到一个新的矩阵。

即：kA = [ka_ij]其中k为要乘以的数。

3. 矩阵的乘法两个矩阵的乘法需要满足一定的条件，即第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

乘法的规则是将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列对应元素相乘，然后相加得到一个新的矩阵。

即：AB = [c_ij]其中c_ij = a_i1 * b_1j + a_i2 * b_2j + ... + a_in * b_nj。

四、矩阵的应用1. 线性方程组的解法线性方程组的求解可以通过矩阵的运算来实现。

将系数矩阵和常数向量组成增广矩阵，然后通过矩阵的行变换来求解方程组的解。

2. 利用矩阵解决几何问题矩阵的乘法可以表示平移、旋转、缩放等几何变换。

通过构造相应的矩阵，并与坐标向量相乘，可以实现对几何图形进行变换。

3. 线性回归分析线性回归分析是通过矩阵运算来实现的。

通过构建模型矩阵和响应向量，利用最小二乘法求解线性回归方程的系数。

矩阵的运算与应用高中六年级数学教案一、引言矩阵是数学中的一种重要工具，不仅有着广泛的运算规则，还有着丰富的实际应用。

本教案旨在帮助高中六年级的学生理解矩阵的运算规则，并通过实际问题的应用来巩固所学知识。

二、矩阵的定义和基本运算规则1. 矩阵的定义矩阵是由数的长方形排列组成的矩形数组。

一般用大写字母表示矩阵，如A、B。

一个矩阵有m行n列，可以表示为m * n的矩阵。

2. 矩阵的基本运算规则(1) 矩阵的加法：两个具有相同行数和列数的矩阵相加时，将对应位置的元素相加，得到的和为新矩阵的对应位置的元素。

(2) 矩阵的减法：两个具有相同行数和列数的矩阵相减时，将对应位置的元素相减，得到的差为新矩阵的对应位置的元素。

(3) 矩阵的数乘：将一个矩阵的每个元素都乘以一个常数，得到的结果为新矩阵的对应位置的元素。

三、矩阵的乘法和转置1. 矩阵的乘法(1) 矩阵的乘法是指两个矩阵相乘的运算。

设A为m * n的矩阵，B为n * p的矩阵，则A和B的乘积为一个m * p的矩阵。

(2) 矩阵的乘法不满足交换律，即AB一般不等于BA。

(3) 矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C=A(BC)。

2. 矩阵的转置(1) 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

(2) 若A为m * n的矩阵，其转置矩阵记为A^T，即A^T为n * m 的矩阵。

(3) 转置矩阵的运算规则：(A^T)^T=A，(A+B)^T=A^T+B^T，(kA)^T=k(A^T)。

四、矩阵的应用1. 线性方程组的表示(1) 通过矩阵，可以将线性方程组表示为AX=B的形式，其中A 为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。

(2) 求解线性方程组可以通过矩阵的运算来简化计算，如利用逆矩阵求解、利用消元法求解等。

2. 二维坐标变换(1) 二维坐标变换可以通过矩阵的乘法来表示，如平移、旋转、缩放等。

(2) 平移变换可以通过将坐标矩阵与位移矩阵相乘得到新的坐标矩阵。

2.6 矩阵的简单应用章末分层突破转化与化归的思想一个矩阵是一张由数据(或字母)排列成的表，它能把原本纷繁复杂的事物或数学对象的数学规律简单明了地表示出来，使人一目了然.同时，对矩阵施行某些运算，可以使我们看清事物之间或对象之间蕴涵的数学规律.本章中广泛应用转化与化归思想，把实际问题转化为矩阵问题，然后通过矩阵变换加以解决.某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是12.从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是13，出现绿灯的概率是23；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是35，出现绿灯的概率是25.问：(1)第二次闭合后出现红灯的概率是多少？ (2)开关闭合10次时，出现绿灯的概率是多少？【导学号：30650061】【解】 (1)从第二次开关闭合后，红绿灯变化的概率情况如图所示：根据图写出红绿灯变化的转移矩阵，即M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 3523 25.第一次闭合开关后出现红灯和绿灯的概率可表示为向量β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212，第二次开关闭合后，有 M β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 3523 25⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤715815， 第二次开关闭合后出现红灯的概率为715.(2)由f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－13 －35－23 λ－25＝λ2－1115λ－415＝0， 解得λ1＝1，λ2＝－415.把λ1，λ2代入特征方程求出对应的特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 910，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，令⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212＝m α1＋n α2，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 910＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝119，n ＝138.所以有M 9⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212＝119×19×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 910＋138×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4159×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤919－138×⎝ ⎛⎭⎪⎫41591019＋138×⎝ ⎛⎭⎪⎫4159≈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9191019. 所以开关闭合10次时， 出现绿灯的概率约为1019.章末综合检测(六)1.某车间有甲、乙两台机床，可用于生产三种工件，假定全年的产量见下表(单位：件)：又已知工件1、工件10元，请给出甲机床、乙机床全年的产值分别是多少？【解】 两机床全年产量可用一个2×3矩阵表示，记为P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤800 600 300200 300 600，各工件的销售价格向量为Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤203010，从而PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤800 600 300200 300 600⎣⎢⎡⎦⎥⎤203010＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤37 00019 000.故全年中甲机床的产值为37 000元，乙机床的产值为19 000元.2.四种食品(F 1，F 2，F 3，F 4)在三家商店(S 1，S 2，S 3)中，单位量的售价(以某种货币单位计)可用下面的矩阵表示：那么在商店S 1购买F 2食品9单位，在商店S 2购买F 3食品3单位，在商店S 3购买F 4食品5单位，共需多少货币？【解】 M ＝[]9 3 5⎣⎢⎡⎦⎥⎤71319＝197，即共需197单位货币.3.在密码学中，常用二阶矩阵对信息进行加密，现在我们先将英文字母数字化，a →1，b →2，…，z →26，发送方要传递的信息是come.双方约定的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 173，求发送的密码.【导学号：30650062】【解】 ∵c →3，o →15，m →13，e →5，∴由题意可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤5173⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 1315 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤30 7066 106，所以发送的密码为30，66，70，106.4.四个食品店均要进同样的两种货物，这两种货物的单价分别为b 1、b 2，已知各食品店进货的批量，试用矩阵计算出各食品进货的总价是多少？【解】 设A 表示四个食品店两种货物的批货量，A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11 a 12a 21a 22a 31 a 32a41a 42第一个食品店两种货物的批货量第二个食品店两种货物的批货量第三个食品店两种货物的批货量第四个食品店两种货物的批货量则这四个食品店进货总价如下：AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11b 1＋a 12b 2a 21b 1＋a 22b 2a 31b 1＋a 32b 2a41b 1＋a 42b 25.某运动服销售店经销A ，B ，C ，D 四种品牌的运动服，其尺寸有S (小号)，M (中号)，L (大号)，XL (特大号)四种，一天内，该店的销售情况如下表所示(单位：件)：/件，D 为25元/件，求S 号的运动服在这天获得的总利润是多少？【解】 S 号运动服的销售量是[]3A 2B 0C 1D ，不同品牌的平均利润是A B CD⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤20153025， 于是[]3 2 0 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤20153025＝[]3×20＋2×15＋0×30＋1×25＝[]115， 故S 号运动服在这天获得的总利润是115元.6.已知盒子A 中装有4只大小和重量相同的小球，其中2只黑色的，2只白色的；盒子B 中装有5只大小和重量相同的小球，其中3只黑色的，2只白色的.假定A ，B 两个盒子很难分辨，而且可以任取一个，现在要求先取一个盒子，那么从中摸到一只白色小球的概率有多大？【解】 不妨设摸到黑色小球的可能性为X ，摸到白色小球的可能性为Y ，取出一个盒子的概率可以表示为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212AB，从两个盒子中摸到一只黑色小球(X )和一只白色小球(Y )的概率可以用矩阵表示为N ＝，于是先取一个盒子，再从里面摸到一只黑色小球或白色小球的概率可由矩阵运算得，因此，先取一个盒子，从中摸到一只白色小球的概率为920.7.研究某城市的天气变化趋势，得到如下结论：若今天晴，则明天晴的概率为0.8，若今天阴，则明天晴的概率为0.4，如果该地区4月20日清晨天气预报当天晴的概率为0.6.(1)4月21日为晴天的概率是多少？ (2)5月1日为晴天的概率是多少？【导学号：30650063】【解】 天气变化情况如图所示：天气变化的转移矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0.8 0.40.2 0.6，今天天气情况可用向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0.60.4表示.第n 天与第n ＋1天的天气关系可表示为(1)4月21日的天气情况为M β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0.8 0.40.2 0.6⎣⎢⎡⎦⎥⎤0.60.4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0.640.36，即4月21日为晴天的概率是0.64. (2)矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－0.8 －0.4－0.2 λ－0.6＝λ2－1.4λ＋0.4，由f (λ)＝0解得λ1＝0.4，λ2＝1. 当λ1＝0.4时，代入特征方程⎩⎪⎨⎪⎧（0.4－0.8）x －0.4y ＝0，－0.2x ＋（0.4－0.6）y ＝0， 解出特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1；当λ2＝1时，代入特征方程⎩⎪⎨⎪⎧（1－0.8）x －0.4y ＝0，－0.2x ＋（1－0.6）y ＝0， 解出特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；由β＝m α1＋n α2， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤0.60.4＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－115，n ＝13，M 11β＝－115×(0.4)11×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＋13×111×⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23－115×⎝ ⎛⎭⎪⎫251113＋115×⎝ ⎛⎭⎪⎫2511≈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2313，即5月1日为晴天的概率约为23.[能力提升]8.工业发展时常伴有环境污染，怎样减少甚至消除环境污染是很重要的问题.某研究机构提出了有关污染和工业发展的工业增长模型.设P 是目前的污染程度，D 是目前的工业发展水平，P 1和D 1分别是5年以后的污染程度和工业发展水平.在许多发展中国家，工业发展模型实际上是：P 1＝P ＋2D ，D 1＝2P ＋D .(1)设P 2和D 2分别是第二个5年以后的污染程度和工业发展水平，试求P 2、D 2与P 、D 的关系式；(2)某发展中国家目前的污染程度和工业发展水平都是1，设第n 个5年以后，污染程度和工业发展水平分别为P n 和D n ，试求P n 、D n ，并说明污染程度和工业发展的趋势.【解】 (1)∵P 1＝P ＋2D ，D 1＝2P ＋D ，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤P 1D 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221⎣⎢⎡⎦⎥⎤P D .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤P 2D 2＝A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤P 1D 1＝A 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤P D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 445⎣⎢⎡⎦⎥⎤P D＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5P ＋4D 4P ＋5D . ∴P 2＝5P ＋4D ，D 2＝4P ＋5D .(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤P n D n ＝A n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤P D ＝A n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 矩阵A 的特征值为λ1＝3，λ2＝－1， 对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤P n D n ＝λn 1α1＝3n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. λ1＝3说明污染程度和工业发展水平同时以3倍的速度增加，高水平工业能提高人们的生活水平，但处理不当，随之加重的环境污染会造成不堪设想的后果，这个结果告诫人们在发展工业的同时一定要注意减轻污染，治理污染.。

高中数学矩阵的运算与应用在高中数学中，矩阵是一个重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在其他学科中有着重要的作用。

本文将介绍矩阵的运算和应用，以及一些相关的概念和定理。

一、矩阵的基本概念矩阵是由m行n列的数按照一定的顺序排列成的矩形阵列。

常用的表示方法是用一个大写字母表示矩阵，例如A、B等，再通过下标表示对应位置的元素。

例如，A[i,j]表示矩阵A中第i行第j列的元素。

二、矩阵的运算1. 矩阵的加法：两个相同大小的矩阵相加，就是对应位置的元素相加。

例如，若A和B是两个m行n列的矩阵，那么它们的和记作A + B，满足(A + B)[i,j] = A[i,j] + B[i,j]。

2. 矩阵的减法：两个相同大小的矩阵相减，就是对应位置的元素相减。

例如，若A和B是两个m行n列的矩阵，那么它们的差记作A - B，满足(A - B)[i,j] = A[i,j] - B[i,j]。

3. 矩阵的数乘：将一个矩阵的每个元素都乘以一个数称为数乘。

例如，若A是一个m行n列的矩阵，k是一个数，那么kA就是将A中的每个元素都乘以k得到的矩阵。

4. 矩阵的乘法：两个矩阵相乘，需要满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

若A是一个m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，那么它们的乘积记作AB，满足(AB)[i,j] = Σ(A[i,k] * B[k,j])，其中k的范围是1到n。

5. 矩阵的转置：将一个矩阵的行和列互换位置得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

例如，若A是一个m行n列的矩阵，那么A的转置记作A^T，满足(A^T)[i,j] = A[j,i]。

三、矩阵的应用1. 线性方程组的解：矩阵可以表示线性方程组。

对于一个m行n列的矩阵A和一个n行1列的矩阵X，线性方程组可以表示为AX = B，其中B是一个m行1列的矩阵。

若矩阵A可逆，那么方程组有唯一解X = A^(-1) * B。

2. 向量的线性组合：矩阵可以表示向量的线性组合。

高中数学矩阵教学设计引言：矩阵是数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。

在高中数学教学中，通过合理的矩阵教学设计，可以帮助学生更好地理解和应用矩阵知识。

本文将介绍一种适用于高中数学教学的矩阵教学设计方案，帮助学生掌握矩阵的基本概念、运算规则以及相关应用。

一、教学目标1. 理解矩阵的定义和基本性质；2. 掌握矩阵的加法、减法、数乘运算规则；3. 理解矩阵乘法的定义和性质；4. 学会求解线性方程组的矩阵方法；5.了解矩阵在工程、物理等实际问题中的应用。

二、教学内容和教学步骤1. 矩阵的定义和基本性质a. 引入矩阵的概念，引导学生认识矩阵的行数和列数；b. 讲解矩阵的元素、行向量、列向量的定义；c. 介绍矩阵的转置和零矩阵的概念；d. 给出例题，引导学生进行矩阵的基本运算。

2. 矩阵的加法和减法a. 讲解矩阵的加法和减法的定义和性质；b. 引导学生进行矩阵加法和减法的运算练习；c. 通过实际问题的例子，展示矩阵加法和减法的应用。

3. 矩阵的数乘运算a. 介绍矩阵的数乘运算的定义和性质；b. 引导学生进行矩阵数乘运算的练习；c. 利用实例分析矩阵数乘的应用场景。

4. 矩阵的乘法a. 引导学生理解矩阵乘法的定义；b. 讲解矩阵乘法的性质和运算规则；c. 引导学生进行矩阵乘法的练习，并解析实际应用问题。

5. 矩阵方法求解线性方程组a. 介绍将线性方程组转化为矩阵的方法；b. 讲解高斯消元法和矩阵求逆的思路和操作；c. 引导学生通过矩阵方法解决线性方程组的例题。

6. 矩阵的应用a. 介绍矩阵在工程、物理等领域的应用；b. 分析实际问题，引导学生运用矩阵知识解决问题。

三、教学方法和教学手段1. 示范教学：通过示例和实例，引导学生理解矩阵的概念和运算规则。

2. 合作学习：组织学生进行小组合作，共同完成矩阵运算练习和应用问题解析。

3. 演练训练：通过大量的练习题，让学生熟练掌握矩阵的运算技巧和应用方法。

四、教学评价1. 课堂表现评价：通过学生课堂回答问题、小组合作、个人讲解等方式，评估学生对矩阵知识的理解和掌握程度。

2.6矩阵的简单应用1（学案）
学习过程：
一、问题情境
阅读教材，了解下列问题：
1．一个矩阵是一张由数据(或字母)排列成的表,它能把原本纷繁复杂的事物或数学对象的数学规律简单明了地表示出来,使人一目了然。

同时对矩阵施行某些运算，则可以使我们看清事物之间或对象之间蕴含的数学规律。

2．（1）网络图，（2）结点，（3）一级路矩阵，（4）一级路矩阵:
二、例题精讲
例1 已知盒子A中装有3只大小和重量相同的小球，其中2只黑色的，1只白色的；盒子B中装有5只大小和重量相同的小球，其中3只黑色的，2只白色的。

假定A,B两个盒子很难分辨，而且可以任取一个，现在要求先取一个盒子，那么从中摸到一只黑色小球的概率有多大？
例2 某运动服销售经销A,B,C,D四种品牌的运动服，其尺寸分别有S（小号）、M(中号)、
假设不同品牌的运动服的平均利润是A为20元/件，B为15元/件，C为30元/件，D为25元/件，请问：M号的运动服在这天获得的总利润是多少？
例3 如图所示的是A ，B ，C 三个城市间的交通情况。

小月想从其中某一个城市出发直达另一个城市，她可以有几种选择✍如果她想从某一个城市出发，先经过一个城市，再到达另外一个城市，她又可以有几种选择？
例 已知一级路矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡00
200
121
0表示一个网络图，它的结点分别是✌， ， ，试画出满足条件的一个网络图。

作业与练习
 、。