第五章大考点一综合应用提升训练

5.1~5.3综合拔高练五年高考练考点1导数的运算法则及其几何意义1.(2019课标全国Ⅲ,6,5分,)已知曲线y=ae x+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-12.(2019课标全国Ⅰ,13,5分,)曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.3.(2019江苏,11,5分,)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x 上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.4.(2020北京,15,5分,)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水的大小评价在[a,b]这段排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-f(b)-f(a)b-a时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.深度解析考点2函数的导数与单调性5.(2018课标全国Ⅲ,7,5分,)函数y=-x4+x2+2的图象大致为()6.(2019北京,13,5分,)设函数f(x)=e x+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是.7.(2020课标全国Ⅰ文,20,12分,)已知函数f(x)=e x-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.深度解析8.(2019课标全国Ⅱ,20,12分,)已知函数f(x)=ln x-x+1x -1.(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x 0是f(x)的一个零点,证明曲线y=ln x 在点A(x 0,ln x 0)处的切线也是曲线y=e x 的切线.考点3 函数的导数与极值、最大(小)值 9.(2019天津,8,5分,)已知a ∈R.设函数f(x)={x 2-2ax +2a,x ≤1,x -alnx,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立,则a 的取值范围为( ) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e] 10.(2017课标全国Ⅱ,11,5分,)若x=-2是函数f(x)=(x 2+ax-1)e x -1的极值点,则f(x)的极小值为( ) A.-1 B.-2e -3 C.5e -3 D.111.(2018江苏,11,5分,)若函数f(x)=2x 3-ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 . 12.(2018课标全国Ⅰ,16,5分,)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是 .13.(2017课标全国Ⅰ,16,5分,)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.14.(2019课标全国Ⅲ,20,12分,)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.15.(2020课标全国Ⅲ理,21,12分,)设函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点(12, f(12))处的切线与y轴垂直.(1)求b;(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1.16.(2020新高考Ⅰ,21,12分,)已知函数f(x)=ae x-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.深度解析17.(2019北京,19,13分,)已知函数f(x)=1x3-x2+x.4(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;(2)当x∈[-2,4]时,求证:x-6≤f(x)≤x;(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值.三年模拟练应用实践1.(2020重庆九校联盟高二上期末联考,)设三次函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=xf'(x)的图象的一部分如图所示,则下列说法正确的是(易错)A.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)B.f(x)的极大值为f(√3),极小值为f(-√3)C.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)D.f(x)的极大值为f(-√3),极小值为f(√3) 2.(2020江西南昌二中高二上期末,)若函数f(x)=x 2-1与函数g(x)=alnx-1的图象存在公切线,则正实数a 的取值范围是( ) A.(0,e) B.(0,e]C.(0,2e) D.(0,2e] 3.(2020福建福州高三上期末质量检测,)已知函数f(x)=x 2+2ax,g(x)=-1x,若存在点A(x 1,f(x 1)),B(x 2,g(x 2)),使得直线AB 与两曲线y=f(x)和y=g(x)都相切,则当实数a 取最小值时,x 1+x 2=( ) A.2√23B.3√232C.√23D.-3√2344.(多选)(2020山东临沂高三上期末,)已知函数f(x)=x+sin x-xcos x的定义域为[-2π,2π),则( ) A.f(x)为奇函数 B.f(x)在[0,π)上单调递增 C.f(x)恰有4个极大值点 D.f(x)有且仅有4个极值点 5.(2020辽宁大连高三上双基测试,)若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1<x 2)是函数f(x)={-e x +1,x ≤1,lnx,x >1图象上的任意两点,且函数f(x)的图象在点A 和点B 处的切线互相垂直,则下列结论正确的是( ) A.x 1<0 B.0<x 1<1C.x2x 1的最大值为e D.x 1x 2的最大值为e6.(2020北京海淀高三上期末,)已知函数f(x)=x+ax在区间(1,4)上存在最小值,则实数a 的取值范围是 .7.(2020山东烟台高三上期末,)设点P是曲线y=e x+x2上任意一点,则点P到直线x-y-1=0的最小距离为.8.(2020河南开封五县联考高二上期末,)已知函数f(x)={2x,x≥2,(x-1)3,x<2,令g(x)=f(x)-kx+1,若函数g(x)有四个零点,则实数k 的取值范围为.9.(2020北京东城高三上期末,)已知函数f(x)=13x3-x2+3ax(a∈R).(1)若f(x)在x=-1时有极值,求a的值;(2)在直线x=1上是否存在点P,使得过点P至少有两条直线与曲线y=f(x)相切?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.10.(2020江西上饶高二中、高三上第三次段考,)已知函数f(x)=xln x-2ax2+x,a∈R.(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的两个极值点分别为x1,x2,证明:x1+x2>12a.迁移创新11.(2020浙江嘉兴高三上期末,)已知函数f(x)=aln x+bx+c(a≠0)有极小值.(1)试判断a,b的符号,求f(x)的极小值点;(2)设f(x)的极小值为m,求证:m+a<4ac-b 24a.深度解析答案全解全析五年高考练1.D∵y'=ae x+ln x+1,∴y'x=1=ae+1,∴2=ae+1,∴a=e-1,∴切点坐标为(1,1).将(1,1)代入y=2x+b,得1=2+b,∴b=-1,故选D.2.答案y=3x解析∵y'=3(x2+3x+1)e x,∴曲线在点(0,0)处的切线的斜率k=y'x=0=3,∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3x.3.答案(e,1)解析设A(x0,y0),由y'=1x ,得该点处的切线斜率k=1x0,∴在点A处的切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0).∵切线经过点(-e,-1),∴-1-ln x0=1x0(-e-x0),∴ln x0=ex0,令g(x)=ln x-ex(x>0),则g'(x)=1x +ex2,则g'(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上为增函数.又g(e)=0,∴ln x=ex有唯一解x=e.∴x0=e,∴点A的坐标为(e,1).4.答案①②③解析 设y=-f(b)-f(a)b -a,由已知条件可得甲、乙两个企业在[t 1,t 2]这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为-f(t 2)-f(t 1)t 2-t 1,由题图易知y 甲>y 乙,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,所以①对;由题图可知,在t=t 2处,甲、乙的切线斜率满足k 甲<k 乙<0,所以-k 甲>-k 乙,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,所以②对;在t 3时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以③对; 由计算式-f(b)-f(a)b -a可知,甲企业在[0,t 1]这段时间内污水治理能力最弱,所以④错.解后反思 本题以环保部门要求相关企业加强污水处理,排放未达标的企业要限期整改这个情境为载体,贴近生活,要求考生能够在短时间内审清题意,理清解决问题的思路,建立适当的数学模型来解决问题,体现试题的教育价值.通过企业污水治理能力的强弱的计算式,考查学生的抽象概括、直观想象、分析和解决具有实际意义问题的能力,同时考查了数形结合的思想.正确理解题目所给的信息,并把信息翻译成数学问题是解决本题的第一个关键;理解一段时间内企业污水治理能力的强弱的计算式,并把这个计算式与函数图象在某点处切线的斜率联系起来是正确解决本题的第二个关键.5.D y'=-4x 3+2x=-2x(√√x+1),当x>0时,函数y=-x 4+x 2+2在(0,√22)上单调递增,在(√22,+∞)上单调递减.又函数y=-x 4+x 2+2为偶函数,所以D 选项符合题意.故选D.6.答案 -1;(-∞,0]解析 因为f(x)为奇函数,且f(x)的定义域为R,所以f(0)=0,所以e 0+a e -0=0,解得a=-1.因为f(x)在R 上为增函数,所以f'(x)=e x -aex ≥0在R上恒成立,即a ≤e 2x 在R 上恒成立,又因为e 2x >0,所以a ≤0,即a 的取值范围为(-∞,0].7.解析 (1)当a=1时, f(x)=e x -x-2,则f'(x)=e x -1. 当x<0时, f'(x)<0;当x>0时, f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)f'(x)=e x -a.当a ≤0时, f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增, 故f(x)至多存在1个零点,不合题意.当a>0时,由f'(x)=0可得x=ln a.当x ∈(-∞,ln a)时, f'(x)<0;当x ∈(ln a,+∞)时, f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,故当x=ln a 时, f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).(i)若0<a ≤1e ,则f(ln a)≥0, f(x)在(-∞,+∞)至多存在1个零点,不合题意.(ii)若a>1e,则f(ln a)<0.由于f(-2)=e -2>0,所以f(x)在(-∞,ln a)存在唯一零点. 由(1)知,当x>2时,e x -x-2>0,所以当x>4且x>2ln(2a)时,f(x)=e x2·e x 2-a(x+2)>e ln(2a)·(x2+2)-a(x+2)=2a>0.故f(x)在(ln a,+∞)存在唯一零点.从而f(x)在(-∞,+∞)有两个零点. 综上,a 的取值范围是(1e ,+∞).方法总结 已知函数的零点求参数的取值范围(1)利用函数零点存在定理构建不等式(组)求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式(组)求解.(4)利用导数研究函数的图象和性质,由函数零点的个数,判断函数的极值大于零还是小于零,从而建立关于参数的不等式(组)求解.8.解析(1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).因为f'(x)=1x +2(x-1)2>0,所以f(x)在(0,1),(1,+∞)上单调递增.因为f(e)=1-e+1e-1<0,f(e2)=2-e2+1e2-1=e2-3e2-1>0,所以f(x)在(1,+∞)上有唯一零点x1,即f(x1)=0.又0<1x1<1,f(1x1)=-ln x1+x1+1x1-1=-f(x1)=0,故f(x)在(0,1)上有唯一零点1x1.综上,f(x)有且仅有两个零点.(2)证明:因为1x0=e-ln x0,所以点B(-ln x0,1x0)在曲线y=e x上.由题设知f(x0)=0,即ln x0=x0+1x0-1,故直线AB的斜率k=1x0-ln x0-ln x0-x0=1x0-x0+1x0-1-x0+1x0-1-x0=1x0.曲线y=e x在点B(-ln x0,1x0)处切线的斜率是1x0,曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处切线的斜率也是1x0,所以曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=e x的切线. 9.C由题中选项可知a≥0.当0≤a≤1时,若x≤1,则f(x)=(x-a)2+2a-a2,可知f(x)min=f(a)=2a-a2,因为f(x)≥0恒成立,所以{f(x)min=2a-a2≥0,0≤a≤1,解得0≤a≤1;若x>1,则f(x)=x-aln x,f'(x)=1-ax,因为0≤a≤1,x>1,所以f'(x)=1-ax>0,所以f(x)=x-aln x在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)>1-aln1=1>0.所以当0≤a≤1时,f(x)≥0在R上恒成立.当a>1时,若x≤1,则f(x)=(x-a)2+2a-a2在(-∞,1]上单调递减,所以f(x)min=f(1)=1>0.若x>1,则f(x)=x-aln x,f'(x)=1-ax,令f'(x)=0,得x=a.当x∈(1,a)时,f'(x)<0,所以f(x)在(1,a)上单调递减;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(a,+∞)上单调递增.所以当x>1时,f(x)min=f(a)=a-aln a,若f(x)≥0恒成立,则f(x)min=a-aln a≥0,即ln a≤1,解得1<a≤e.综上可知,若f(x)≥0在R上恒成立,则0≤a≤e.故选C.10.A f'(x)=[x2+(a+2)x+a-1]e x-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f'(-2)=0,所以4-2(a+2)+a-1=0,解得a=-1,此时f'(x)=(x2+x-2)e x-1.由f'(x)=0,解得x=-2或x=1,且当-2<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0,故x=1为f(x)的极小值点,所以f(x)的极小值为f(1)=-1.11.答案-3解析由题意得,f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).当a≤0时,对任意x∈(0,+∞), f'(x)>0,则函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f(x)>f(0)=1,则f(x)在(0,+∞)上没有零点,不满足题意,舍去.当a>0时,令f'(x)=0及x>0,得x=a3,则当x∈(0,a3)时,f'(x)<0,当x∈a3,+∞时,f'(x)>0,因此函数f(x)的单调递减区间是(0,a3),单调递增区间是(a3,+∞),在x=a3处f(x)取得极小值f(a3)=-a327+1.而函数f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,所以f(a3)=-a327+1=0,解得a=3,因此f(x)=2x3-3x2+1,则f'(x)=2x(3x-3).令f'(x)=0,结合x∈[-1,1],得x=0或x=1.而当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数,所以f(x)max=f(0)=1.又f(-1)=-4,f(1)=0,所以f(x)min=-4,故f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为-3.12.答案-3√32解析因为f(x+2π)=2sin(x+2π)+sin(2x+4π)=f(x),所以2π是函数f(x)的一个周期,不妨取区间[0,2π]进行分析.f'(x)=2cos x+2cos2x=4cos2x+2cos x-2,令f'(x)=0,解得cos x=12或cos x=-1.当x在[0,2π]上变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x0,π3π3π3,πππ,5π35π35π3,2πf'(x)+0-0-0+f(x)↗极大值↘↘极小值↗可知函数f(x)在[0,2π]上的极小值即为函数f(x)在定义域上的最小值,所以f(x)min=f(5π3)=2sin5π3+sin10π3=-3√32.13.答案4√解析设△ABC的边长为a cm,0<a<5√3,则三个等腰三角形的高为(5−√36a)cm,折起后所得正三棱锥的高为√(5−√36a)2-(√36a)2=√25−5√33a(cm),所以所得三棱锥的体积为13×√34a 2×√25−5√33a =√312√25a 4-5√33a 5(cm 3).令u=25a 4-5√33a 5,则u'=100a 3-25√33a 4=25a 3(4−√33a),其中0<a<5√3,当0<a<4√3时,u'>0,当4√3<a<5√3时,u'<0,故a=4√3是u=25a 4-5√33a 5在定义域内唯一的极大值点,也是最大值点,所以当a=4√3时,三棱锥的体积最大,最大值为13×√34×(4√3)2×√25−5√33×4√3=4√3×√5=4√15(cm 3).14.解析 (1)由题可知函数f(x)的定义域为R. f'(x)=6x 2-2ax=2x(3x-a). 令f'(x)=0,得x=0或x=a3.若a>0,则当x ∈(-∞,0)∪a 3,+∞时, f'(x)>0;当x ∈(0,a3)时, f'(x)<0.故f(x)在(-∞,0),(a3,+∞)上单调递增,在(0,a3)上单调递减.若a=0,则f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.若a<0,则当x ∈(-∞,a3)∪(0,+∞)时, f'(x)>0;当x ∈(a3,0)时, f'(x)<0.故f(x)在(-∞,a3),(0,+∞)上单调递增,在(a3,0)上单调递减.(2)满足题设条件的a,b 存在.(i)当a ≤0时,由(1)知, f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1时满足题意.(ii)当a ≥3时,由(1)知, f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1时满足题意.(iii)当0<a<3时,由(1)知, f(x)在[0,1]上的最小值为f (a3)=-a 327+b,最大值为b 或2-a+b.若-a 327+b=-1,b=1,则a=3√23,与0<a<3矛盾;若-a 327+b=-1,2-a+b=1,则a=3√3或a=-3√3或a=0,与0<a<3矛盾. 综上,当且仅当a=0,b=-1或a=4,b=1时, f(x)在[0,1]上的最小值为-1且最大值为1.15.解析 (1)f'(x)=3x 2+b. 依题意得f'(12)=0,即34+b=0.故b=-34.(2)由(1)知f(x)=x 3-34x+c, f'(x)=3x 2-34.令f'(x)=0,解得x=-12或x=12.f'(x)与f(x)的情况为:x -∞,-12-12-12,1212 12+∞ f'(x) + 0 - 0 +f(x)↗c+14↘ c-14↗因为f(1)=f (-12)=c+14,所以当c<-14时, f(x)只有大于1的零点.因为f(-1)=f (12)=c-14,所以当c>14时, f(x)只有小于-1的零点. 由题设可知-14≤c ≤14.当c=-14时, f(x)只有两个零点-12和1.当c=14时, f(x)只有两个零点-1和12.当-14<c<14时, f(x)有三个零点x 1,x 2,x 3,且x 1∈(-1,-12),x 2∈(-12,12),x 3∈(12,1).综上,若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.16.解析 f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=ae x-1-1x .(1)当a=e 时, f(x)=e x -ln x+1,则f(1)=e+1, f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)·(x-1),即y=(e-1)x+2. 直线y=(e-1)x+2在x 轴,y 轴上的截距分别为-2e -1,2.因此所求三角形的面积为2e -1.(2)当0<a<1时, f(1)=a+ln a<1.当a=1时, f(x)=e x-1-ln x, f'(x)=e x-1-1x .当x ∈(0,1)时,f'(x)<0;当x ∈(1,+∞)时, f'(x)>0.所以当x=1时, f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.当a>1时, f(x)=ae x-1-ln x+ln a ≥e x-1-ln x ≥1. 综上,a 的取值范围是[1,+∞).名师点评 本题第(2)问中,由不等式成立求参数的取值范围,常规解法是分离参数转化为求函数的最值问题,而本题中参数分布范围较广,无法分离,所以要对参数进行分类讨论,怎样分类是本题的一个难点,特别是当a>1时,证明f(x)≥1需要用到a=1时的结论,思路很窄,技巧性较强.17.解析 (1)由f(x)=14x 3-x 2+x,得f'(x)=34x 2-2x+1.令f'(x)=1,即34x 2-2x+1=1,得x=0或x=83.又f(0)=0, f (83)=827,所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x 与y-827=x-83,即y=x 与y=x-6427.(2)证明:令g(x)=f(x)-x,x ∈[-2,4].则g(x)=14x 3-x 2,g'(x)=34x 2-2x.令g'(x)=0,得x=0或x=83.当x 变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:x -2 (-2,0) 0 (0,83) 83 (83,4) 4 g'(x) + 0 - 0 + g(x)-6↗↘-6427↗所以g(x)的最小值为-6,最大值为0.故-6≤g(x)≤0,即x-6≤f(x)≤x. (3)由(2)知,当a<-3时,M(a)≥F(0)=|g(0)-a|=-a>3;当a>-3时,M(a)≥F(-2)=|g(-2)-a|=6+a>3;当a=-3时,M(a)=3. 综上,当M(a)最小时,a=-3.三年模拟练应用实践1.A 结合题中图象列表如下:x (-∞,-3) -3 (-3,0) 0 (0,3) 3 (3,+∞) xf'(x) + 0 - 0 + 0 - f'(x) - 0 + + 0 - f(x)↘极小值↗↗极大值↘由表知,A 正确,故选A.易错警示f'(x)与f(x)的图象可以相互转化,在转化的过程中,导函数看正负,原函数看增减;区间端点值在解题时要单独判断,如f'(0)的值不能确定,解题时要防止漏判导致错误.2.D设公切线在f(x)上的切点为P(x1,x12-1),在g(x)上的切点为Q(x2,aln x2-1).∵f'(x)=2x,g'(x)=ax,∴k PQ=2x1=ax2=aln x2-x12x2-x1.∴2x1x2=a,①2x1x2-2x12=aln x2-x12,即a-a 24x22=aln x2,∴a=4x22-4x22ln x2.令h(x)=4x2-4x2ln x(x>0),则h'(x)=4x(1-2ln x),令h'(x)=0,得ln x=12,解得x=√e.当0<x<√e时,h'(x)>0;当x>√e时,h'(x)<0,∴h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(√e)=4(√e)2(1-ln√e)=2e,结合选项知,D 正确.3.A∵f(x)=x2+2ax,∴f'(x)=2x+2a,∴f'(x1)=2x1+2a,又f(x1)=x12+2ax1,∴过A点的切线方程为y=(2x1+2a)x-x12.①又∵g(x)=-1x,∴g'(x)=1x2,∴g'(x 2)=1x 22,又g(x 2)=-1x 2,∴过B 点的切线方程为y=1x 22x-2x 2.②由题意知①②都为直线AB, ∴{2x 1+2a =1x 22,-x 12=−2x 2,消去x 2,得a=x 148-x 1, 令h(x)=x 48-x,h'(x)=x 32-1=x 3-22,令h'(x)=0,得x=√23,当x ∈(-∞,0)和(0,√23)时,h(x)单调递减,且当x ∈(-∞,0)时,h(x)>h(0)=0恒成立,当x ∈(√23,+∞)时,h(x)单调递增, ∴当x=√23时,h(x)有最小值,∴x 1=√23, 则x 2=2x 12=√23,∴x 1+x 2=2√23.故选A.4.BD ∵f(x)的定义域为[-2π,2π), ∴f(x)是非奇非偶函数,A 错误. ∵f(x)=x+sin x-xcos x, ∴f'(x)=1+cos x-(cos x-xsin x) =1+xsin x,当x ∈[0,π)时, f'(x)>0,则f(x)在[0,π)上单调递增,B 正确. 显然f'(0)≠0,令f'(x)=0,得sin x=-1x ,分别作出y=sin x,y=-1x在区间[-2π,2π)上的图象,如图.由图可知,这两个函数的图象在区间[-2π,2π)上共有4个公共点,且两个图象在这些公共点上都不相切,故f(x)在区间[-2π,2π)上的极值点的个数为4,且f(x)只有2个极大值点,C 错误,D 正确.故选BD. 5.D 因为f(x)={-e x +1,x ≤1,lnx,x >1,点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1<x 2),所以f'(x)={-e x ,x ≤1,1x,x >1,由f(x)的图象在点A 和点B 处的切线互相垂直及导数的几何意义可知, f(x)的图象在点A 和点B 处的切线的斜率之积为-1, ①当x 1<x 2≤1时,满足(-e x 1)×(-e x 2)=-1,即e x 1×e x 2=e x 1+x 2=-1, 因为e x 1+x 2>0,所以方程无解.即不存在x 1,x 2∈(-∞,1],使得f(x)的图象在点A 和点B 处的切线互相垂直;②当x 1≤1<x 2时,满足(-e x 1)×1x 2=-1,即e x 1=x 2.因为x 2>1,所以e x 1>1,所以x 1>0,所以A 、B 错误. 易知x 2x 1=e x 1x 1,令g(x)=e xx(x ≤1),则g'(x)=(e xx)'=xe x -e x x 2=e x (x -1)x 2,令g'(x)=0,得x=1,所以当x<1时, g'(x)<0,则g(x)=e xx 在x<1时单调递减,所以g(x)=e x x在x=1时取得极小值,也是最小值,即g(1)min =e 11=e,无最大值,所以C 错误.易知x1x2=x1·e x1,令h(x)=xe x(x≤1),则h'(x)=e x+xe x,令h'(x)=0,解得x=-1,所以当x<-1时,h'(x)<0,则h(x)=xe x在x<-1时单调递减,当-1<x≤1时,h'(x)>0,则h(x)=xe x在-1<x≤1时单调递增,所以h(x)=xe x在x=-1时取得极小值,也是最小值,即h(-1)min=-1e.在x=1时取得最大值,即h(1)max=e,所以D正确.③当1<x1<x2时,满足1x1×1x2=-1,即x1·x2=-1,此方程无解,所以不成立.故选D.6.答案(1,16)解析∵f(x)=x+ax ,∴f'(x)=1-ax2=x2-ax2.当a≤0时,对任意的x∈(1,4),f'(x)>0,∴函数y=f(x)在区间(1,4)上为增函数,则函数y=f(x)在区间(1,4)上没有最小值.当a>0时,令f'(x)=0,可得x=√a(负值舍去),当0<x<√a时,f'(x)<0,当x>√a时,f'(x)>0,∴函数y=f(x)的极小值点为x=√a,由题意可得1<√a<4,解得1<a<16.∴实数a的取值范围是(1,16).7.答案√2解析设曲线y=e x+x2上斜率为1的切线的切点坐标为P(x0,y0),由y'=e x+2x得,e x0+2x0=1.设g(x)=e x+2x,则g'(x)=e x+2>0,∴g(x)在R上是增函数.又g(0)=e0+2×0=1,∴e x0+2x0=1有唯一解x0=0.∴切点坐标为P(0,1),∴切线方程为y-1=x,即x-y+1=0.∴点P到直线x-y-1=0的距离的最小值为√2=√2.8.答案34<k<1解析当g(x)=0时,f(x)=kx-1,可理解为函数y=f(x)的图象与直线y=kx-1的交点问题,画出图象如图.令h(x)=(x-1)3,则h'(x)=3(x-1)2,设切点P的坐标为(x0,y0),则过点P的切线方程为y-(x0-1)3=3(x0-1)2(x-x0),将点(0,-1)的坐标代入,可得-1-(x0-1)3=-3x0(x0-1)2,整理得,2x03-3x02=0,所以x0=0(舍去)或x0=32,故h'(32)=34,又(0,-1),(2,1)两点连线的斜率为1−(−1)2−0=1,故34<k<1.9.解析(1)由f(x)=13x3-x2+3ax,得f'(x)=x2-2x+3a,由f(x)在x=-1时有极值,可得f'(-1)=1+2+3a=0,解得a=-1.经检验,当a=-1时,f(x)有极值.所以a的值为-1.(2)不妨设在直线x=1上存在一点P(1,b),使得过点P至少有两条直线与曲线y=f(x)相切.设过点P且与y=f(x)相切的直线为l,切点坐标为(x0,y0),则切线l的方程为y-13x03+x02-3ax0=(x02-2x0+3a)(x-x0),又直线l过点P(1,b),所以b-13x03+x02-3ax0=(x02-2x0+3a)(1-x0),即23x03-2x02+2x0-3a+b=0,设g(x)=23x3-2x2+2x-3a+b,则g'(x)=2x2-4x+2=2(x-1)2≥0,所以g(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,所以g(x)=0至多有一个解,即过点P且与y=f(x)相切的直线至多有一条,故在直线x=1上不存在点P,使得过P至少有两条直线与曲线y=f(x)相切.10.解析(1)由f(x)=xln x-2ax2+x,得f'(x)=ln x-4ax+2.∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,即4a≥lnxx +2x在(0,+∞)上恒成立.令g(x)=lnxx +2 x ,则g'(x)=-1-lnxx2.令g'(x)=0,得x=1e.当0<x<1e 时,g'(x)>0,即g(x)在(0,1e )上为增函数;当x>1e 时,g'(x)<0,即g(x)在(1e ,+∞)上为减函数. ∴g(x)的最大值为g (1e )=e,∴a ∈[e4,+∞).(2)证明:若函数f(x)的两个极值点分别为x 1,x 2, 则f'(x)=0在(0,+∞)内有两个根x 1,x 2,由(1)知0<a<e4.由{ln x 1-4ax 1+2=0,ln x 2-4ax 2+2=0,两式相减, 得ln x 1-ln x 2=4a(x 1-x 2).不妨设0<x 1<x 2,要证明x 1+x 2>12a ,只需证明x 1+x 24a(x 1-x 2)<12a(ln x 1-ln x 2).即证明2(x 1-x 2)x 1+x 2>ln x 1-ln x 2,即证明2(x1x 2-1)x 1x 2+1>ln x 1x 2.令x 1x 2=t,函数h(t)=2(t -1)t+1-ln t,0<t<1,则h'(t)=-(t -1)2t(t+1)<0,即函数h(t)在(0,1)内单调递减. ∴当t ∈(0,1)时,有h(t)>h(1)=0, ∴2(t -1)t+1>ln t.即不等式2(x1x 2-1)x 1x 2+1>ln x1x 2成立.综上,得x 1+x 2>12a.迁移创新11.解析 (1)由题意得, f'(x)=ax +b=a+bx x,x>0.∵函数f(x)=aln x+bx+c(a ≠0)有极小值,∴b>0,a<0, f(x)的极小值点为-ab .(2)证明:由(1)知,m=f (-ab ),m+a-4ac -b 24a =f (-ab)+a-4ac -b 24a=aln (-a b )-a+c+a-c+b 24a=aln (-ab )+b 24a=a [ln (-a b )+14(b a )2]. 令-a b=t,g(t)=ln t+14t 2,t>0,则g'(t)=1t -12t 3=2t 2-12t 3.令g'(t)=0,得t=√22(负值舍去),∴g(t)在(0,√22)上单调递减,在(√22,+∞)上单调递增.∴g(t)≥g (√22)=ln (√22)+12>0.∵a<0,∴ag(t)<0,∴m+a<4ac -b 24a.解题模板 利用构造法解决含有两个变量的不等式问题时,常将两个变量化为同一形式,设此形式为新的变量,通过换元构造一个新的函数,进而解决问题.如本题中:aln (-ab )+b 24a =a [ln (-ab )+14(b a )2],将两变量a 、b化为-ab 的形式,构造函数解决问题.。

新高考数学复习考点知识提升专题训练（一） 集合的概念(一)基础落实1．下列判断正确的个数为( ) (1)所有的等腰三角形构成一个集合； (2)倒数等于它自身的实数构成一个集合； (3)质数的全体构成一个集合；(4)由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合； (5)平面上到点O 的距离等于1的点的全体． A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C 在(1)中，所有的等腰三角形构成一个集合，故(1)正确；在(2)中，若1a ＝a ，则a 2＝1，∴a ＝±1，构成的集合为{1，－1}，故(2)正确；在(3)中，质数的全体构成一个集合，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在，故(3)正确；在(4)中，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2,3,4,6}，含4个元素，故(4)错误；在(5)中，“平面上到点O 的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，故(5)正确．2．下列说法不正确的是( ) A ．0∈N * B ．0∈N C ．0.1∉ZD ．2∈Q解析：选A N *为正整数集，则0∉N *，故A 不正确；N 为自然数集，则0∈N ，故B 正确；Z 为整数集，则0.1∉Z ，故C 正确；Q 为有理数集，则2∈Q ，故D 正确．3．(多选)表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集，下面正确的是( )A ．(－1,2) B.⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2C.{}－1，2D.{}(－1，2)解析：选BD ∵⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴列举法表示为{}(－1，2)，故D 正确． 描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝－1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0， 故B 正确．∴选B 、D.4．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，则a 等于( ) A ．－1 B ．－32C ．－23D ．－32或－1解析：选B 因为集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，所以当a －2＝－3即a ＝－1时，A ＝{－3，－3,12}，不满足集合中元素的互异性；当2a 2＋5a ＝－3时，解得a ＝－32或a ＝－1(舍去)，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－72，－3，12，满足题意．综上，a ＝－32.5．(多选)设所有被4除余数为k (k ＝0,1,2,3)的整数组成的集合为A k ，即A k ＝{x |x ＝4n ＋k ，n ∈Z }，则下列结论中正确的是( )A ．2 020∈A 0B ．a ＋b ∈A 3，则a ∈A 1，b ∈A 2C ．－1∈A 3D ．a ∈A k ，b ∈A k ，则a －b ∈A 0解析：选ACD 2 020＝4×505＋0，所以2 020∈A 0，故A 正确；若a ＋b ∈A 3，则a ∈A 1，b ∈A 2，或a ∈A 2，b ∈A 1或a ∈A 0，b ∈A 3或a ∈A 3，b ∈A 0，故B 不正确；－1＝4×(－1)＋3，所以－1∈A 3，故C 正确；a ＝4n ＋k ，b ＝4m ＋k ，m ，n ∈Z ，则a －b ＝4(n －m )＋0，(n －m )∈Z ，故a －b ∈A 0，故D 正确．6．集合{x ∈N |x －3<2}用列举法表示是________．解析：由x －3<2得x <5，又x ∈N ，所以集合表示为{0,1,2,3,4}． 答案：{0,1,2,3,4}7．已知集合A ＝{－1,0,1}，则集合B ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是________． 解析：集合B ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈A }＝{－2，－1,0,1,2}，则集合B 中元素的个数是5. 答案：58．设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ，B 相等，则实数a ＝______.解析：由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解方程组可得a ＝1，经检验此时A ＝{1，－2,0}， B ＝{1，－2,0}，满足A ＝B ，所以a ＝1. 答案：19．设集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{9，a －5,1－a }，且A ，B 中有唯一的公共元素9，求实数a 的值．解：∵A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{9，a －5,1－a }，且A ，B 中有唯一的公共元素9， ∴2a －1＝9或a 2＝9.当2a －1＝9时，a ＝5，此时A ＝{－4,9,25}，B ＝{9,0，－4}，A ，B 中还有公共元素－4，不符合题意；当a 2＝9时，a ＝±3，若a ＝3，B ＝{9，－2，－2}，集合B 不满足元素的互异性． 若a ＝－3，A ＝{－4，－7,9}， B ＝{9，－8,4}，A ∩B ＝{9}，∴a ＝－3. 综上可知，实数a 的值为－3. 10．根据要求写出下列集合．(1)已知－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，用列举法表示集合{x |x 2－4x －a ＝0}；(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫168－x ∈N x ∈N ，用列举法表示集合A ；(3)已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0，分别用描述法、列举法表示该集合；(4)已知集合B ＝{(x ，y )|2x ＋y －5＝0，x ∈N ，y ∈N }，用列举法表示该集合； (5)用适当的方法表示坐标平面内坐标轴上的点集． 解：(1)∵－5∈{x |x 2－ax －5＝0}， ∴(－5)2－a ×(－5)－5＝0， 解得a ＝－4，∵x 2－4x ＋4＝0的解为x ＝2，∴用列举法表示集合{x |x 2－4x －a ＝0}为{2}． (2)∵168－x ∈N ，则8－x 可取的值有1,2,4,8,16，∴x 的可能值有7,6,4,0，－8，∵x ∈N ，∴x 的取值为7,6,4,0， ∴168－x的值分别为2,4,8,16， ∴A ＝{2,4,8,16}．(3)∵方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴用描述法表示该集合为{(x ，y )|x ＝1，y ＝2}，列举法表示该集合为{(1,2)}． (4)∵当x ＝0时，y ＝5；当x ＝1时，y ＝3； 当x ＝2时，y ＝1，∴用列举法表示该集合为{(0,5)，(1,3)，(2,1)}． (5)坐标轴上的点满足x ＝0或y ＝0，即xy ＝0， 则该集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}．(二)综合应用1．已知集合A ＝{a 2,0，－1}，B ＝{a ，b,0}，若A ＝B ，则(ab )2 021的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．±1解析：选B 根据集合中元素的互异性可知a ≠0，b ≠0， 因为A ＝B ，所以－1＝a 或－1＝b ，当a ＝－1时，b ＝a 2＝1，此时(ab )2 021＝(－1)2 021＝－1； 当b ＝－1时，则a 2＝a ，因为a ≠0， 所以a ＝1，此时(ab )2 021＝(－1)2 021＝－1.综上可知，(ab )2 021＝－1.2．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a ，b 同正时，|a |a ＋|b |b ＝a a ＋bb ＝1＋1＝2.当a ，b 同负时，|a |a ＋|b |b ＝－a a ＋－bb ＝－1－1＝－2.当a ，b 异号时，|a |a ＋|b |b＝0.∴|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素共有3个． 答案：33．如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B ＝{1,2,3,6}，则A 中的元素与B 中的元素组成的集合为________．解析：由题意可知－2x ＝x 2＋x ，解得x ＝0或x ＝－3. 而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A 中的元素与B 中的元素组成的集合为{－6,0,1,2,3,6}． 答案：{－6,0,1,2,3,6}4．若集合P ＝{x |ax 2＋4x ＋4＝0，x ∈R }中只含有1个元素，则实数a 的取值是________． 解析：当a ＝0时，方程为4x ＋4＝0，解得x ＝－1，此时P ＝{－1}，满足题意； 当a ≠0时，则Δ＝42－4a ×4＝0，解得a ＝1，此时P ＝{－2}，满足题意，∴a ＝0或1. 答案：0或15．已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋1>0}． (1)若1∉A,2∈A ，求实数a 的取值范围；(2)已知a ≠0，判断a ＋1a能否属于集合A ，并说明你的理由．解：(1)因为1∉A,2∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋1≤0，4－2a ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a <52，所以实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | 2≤a <52.(2)假设a ＋1a 属于集合A ，则⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2－a ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋1>0， 整理得1a 2＋2>0恒成立，所以a ＋1a 属于集合A .(三)创新发展已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }，B ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈Z }，M ＝{x |x ＝6n ＋3，n ∈Z }． (1)若m ∈M ，则是否存在a ∈A ，b ∈B ，使m ＝a ＋b 成立？(2)对任意a ∈A ，b ∈B ，是否一定存在m ∈M ，使a ＋b ＝m ？证明你的结论． 解：(1)设m ＝6k ＋3＝3k ＋1＋3k ＋2(k ∈Z )， 令a ＝3k ＋1(k ∈Z )，b ＝3k ＋2(k ∈Z )，则m ＝a ＋b . 故若m ∈M ，则存在a ∈A ，b ∈B ，使m ＝a ＋b 成立． (2)设a ＝3k ＋1，b ＝3l ＋2，k ，l ∈Z ， 则a ＋b ＝3(k ＋l )＋3，k ，l ∈Z .当k ＋l ＝2p (p ∈Z )时，a ＋b ＝6p ＋3∈M ，此时存在m ∈M ，使a ＋b ＝m 成立；当k ＋l ＝2p ＋1(p ∈Z )时，a ＋b ＝6p ＋6∉M ，此时不存在m ∈M ，使a ＋b ＝m 成立．故对任意a ∈A ，b ∈B ，不一定存在m ∈M ，使a ＋b ＝m .。

鲁教版2021年度六年级数学下册《第五章基本平面图形》单元综合培优训练（附答案）1．如图，在直线l上有A、B、C三点，则图中线段共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条2．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．垂线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（）A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．2cm或4cm4．如图（一），为一条拉直的细线，A、B两点在上，且：＝1：3，：＝3：5．若先固定B点，将折向，使得重叠在上，如图（二），再从图（二）的A 点及与A点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为何？（）A．1：1：1B．1：1：2C．1：2：2D．1：2：55．如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（）A．30°B．60°C．90°D．120°6．如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（）A．在南偏东75°方向处B．在5km处C．在南偏东15°方向5km处D．在南偏东75°方向5km处7．1°等于（）A．10′B．12′C．60′D．100′8．如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是（）A．∠BAC＝∠BAM B．∠BAM＝∠CAMC．∠BAM＝2∠CAM D．2∠CAM＝∠BAC9．直线上有2020个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有个点．10．在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是．11．数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O 的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，A n．（n≥3，n是整数）处，那么线段A n A的长度为（n≥3，n是整数）．12．如图，线段的长度大约是厘米（精确到0.1厘米）．13．在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角个．14．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．（1）“17”在射线上；（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律；（3）“2007”在哪条射线上？15．在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2，BC＝1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，求p．16．先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形．如图（1），如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离．如图（2），如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，A2处最合适，因为如果P不放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到P的这一段，这是多出来的，因此P放在A2处最佳选择．不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置．问题：（1）有n台机床时，P应设在何处？（2）根据（1）的结论，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣617|的最小值．17．考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东45°，某考室B 位于O点南偏东60°，请在图中画出射线OA，OB，并计算∠AOB的度数．18．用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．求证∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．证法1：∵，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．∵，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．参考答案1．解：图中线段有AB、AC、BC这3条，故选：C．2．解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．故选：A．3．解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm），点D是线段AC的三等分点，①当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）；②当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）．所以线段BD的长为10cm或8cm，故选：C．4．解：设OP的长度为8a，∵OA：AP＝1：3，OB：BP＝3：5，∴OA＝2a，AP＝6a，OB＝3a，BP＝5a，又∵先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图（二），再从图（二）的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，∴这三段从小到大的长度分别是：2a、2a、4a，∴此三段细线由小到大的长度比为：2a：2a：4a＝1：1：2，故选：B．5．解：∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°，∴钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°．故选：B．6．解：由图可得，目标A在南偏东75°方向5km处，故选：D．7．解：1°等于60′．故选：C．8．解：∵AM为∠BAC的平分线，∴∠BAC＝∠BAM，∠BAM＝∠CAM，∠BAM＝∠CAM，2∠CAM＝∠BAC．故选：C．9．解：第一次：2020+（2020﹣1）＝2×2020﹣1，第二次：2×2020﹣1+2×2020﹣1﹣1＝4×2020﹣3，第三次：4×2020﹣3+4×2020﹣3﹣1＝8×2020﹣7．∴经过3次这样的操作后，直线上共有8×2020﹣7＝16153个点．故答案为：16153．10．解：在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．11．解：由于OA＝4，所有第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1＝OA＝×4＝2，同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（）2×4处，同理跳动n次后，离原点的长度为（）n×4＝，故线段A n A的长度为4﹣（n≥3，n是整数）．故答案为：4﹣．12．解：线段的长度大约是2.3（或2.4）厘米，故答案为：2.3（或2.4）．13．解：∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1+2＝3个锐角；在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1+2+3＝6个锐角；在锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1+2+3+4＝10个锐角；…∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是1+2+3+…+（n+1）＝×（n+1）×（n+2），∴画10条不同射线，可得锐角×（10+1）×（10+2）＝66．故答案为：66．14．解：（1）18正好转3圈，3×6；17则3×6﹣1；“17”在射线OE上；（2）射线OA上数字的排列规律：6n﹣5射线OB上数字的排列规律：6n﹣4射线OC上数字的排列规律：6n﹣3射线OD上数字的排列规律：6n﹣2射线OE上数字的排列规律：6n﹣1射线OF上数字的排列规律：6n（3）2007÷6＝334…3．故“2007”在射线OC上．15．解：（1）若以B为原点，则C表示1，A表示﹣2，∴p＝1+0﹣2＝﹣1；若以C为原点，则A表示﹣3，B表示﹣1，∴p＝﹣3﹣1+0＝﹣4；（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，则C表示﹣28，B表示﹣29，A 表示﹣31，∴p＝﹣31﹣29﹣28＝﹣88．16．解：（1）当n为偶数时，P应设在第台和（+1）台之间的任何地方，当n为奇数时，P应设在第台的位置．（2）根据绝对值的几何意义，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣617|的最小值就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，617各点的距离之和最小，根据问题1的结论，当x＝309时，原式的值最小，最小值是308+307+…+1+1+2+…+308＝95172．17．解：∵∠1＝45°，∠2＝60°，∴∠AOB＝180°﹣（45°+60°）＝75°．18．证明：证法1：∵平角等于180°，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．∵∠1+∠2+∠3＝180°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．证法2：∵∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），∵∠1+∠2+∠3＝180°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．故答案为：平角等于180°，∠1+∠2+∠3＝180°。

鲁教版2019-2020九年级数学第五章第一单元圆的有关性质单元综合练习题4（培优含答案）1．如图所示，AB为⊙O的直径，P点为其半圆上一点，∠POA=40°，C为另一半圆上任意一点（不含A、B），则∠PCB的度数为（）A.50°B.60°C.70°D.80°2．三角形两边的长分别是8 和6，第三边的长是方程x2﹣12x+20＝0 的一个实数根，则三角形的外接圆半径是( )A.4B.5C.6D.83．过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（）①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3，BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5．A．①②B．①②③C．②③D．①③4．如图，△ABC是⊙O内接三角形，若∠C＝30°，AB＝3，则⊙O的半径为（）A.3 D.65．已知∠ACB=90°，∠CAB=a，且sina=45，I为内心，则△ABC的内切圆半径r与△BIC的外接圆半径R之比为（）6．如图1，把圆形井盖卡在角尺〔角的两边互相垂直，一边有刻度）之间，即圆与两条直角边相切，现将角尺向右平移10cm，如图2，OA边与圆的两个交点对应CD的长为40cm则可知井盖的直径是（）A.25cmB.30cmC.50cmD.60cm7．下列说法中正确的是（ ）A ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧B ．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴C ．弦的垂直平分线过圆心D ．相等的圆心角所对的弧也相等8．如图，在直径为82cm 的圆柱形油槽内装有一些油以后，油面宽80AB cm =，则油的最大深度为（ ）A ．32cmB ．31cmC ．9cmD ．18cm9．一个圆柱的侧面积为2120πcm ，高为10cm ，则它的底面圆的半径为________． 10．如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，OD //AC ，若BD 1=，则BC 的长为_______．11．如图，在Rt △ABC 中，∠BCA=900，∠BAC 的平分线交△ABC 外接圆于点D ，连接BD ，若AB=2AC=4。