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任意点到双曲线渐近线的距离公式任意点到双曲线的渐近线的距离可以通过以下公式计算：设给定的任意点为 P(x, y)，双曲线的方程为 ax^2 + by^2 = c，其中 a 和 b 都不为零。
双曲线的渐近线为 x = ±(c/a)^(1/2) 和 y = ±(c/b)^(1/2)。
将点 P(x, y) 代入双曲线方程，计算距离时可能需要考虑双曲线上和双曲线外两种情况：1. 点 P 在双曲线上（满足方程 ax^2 + by^2 = c）：这种情况下，点 P 到双曲线渐近线的距离为 0。
2. 点 P 不在双曲线上（不满足方程 ax^2 + by^2 = c）：这种情况下，点 P 的距离为 P 到双曲线最近的点到双曲线渐近线的距离。
首先，找到离点 P 最近的点 Q 在双曲线上的坐标。
我们可以使用最小二乘法来估计 Q 的坐标。
将双曲线方程ax^2 + by^2 = c 转化为 ax^2 - c/by^2 = 1，并设 Q 的坐标为 (xq, yq)。
使用最小二乘法，我们可以求解以下最小化问题：min(xq - x)^2 + (yq - y)^2，约束条件为 axq^2 - c/byq^2 = 1。
将约束条件代入最小化问题的目标函数中，我们得到以下目标函数：min(xq - x)^2 + (a(yq - y)^2 - c/byq^2)^2。
通过对目标函数进行求导并令导数为零，可以解得Q 的坐标。
然后，计算点 Q 到双曲线渐近线的距离。
使用点到直线的距离公式，可以计算点 Q 到双曲线渐近线的距离。
综上所述，任意点到双曲线渐近线的距离的计算可以通过以上步骤进行。
请注意，这只是一种计算方法，具体的计算可能会有所差异，取决于双曲线和所选的点 P。
第一部分 双曲线相关知识点讲解一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：1 双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.二．双曲线的内外部：(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<.三.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.四．双曲线的简单几何性质22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）⑴范围：|x |≥a ，y ∈RM 2M 1PK 2K 1A 1A 2F 2F 1oyx⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222by a x x a by ±=②若渐近线方程为x a by ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x )0(≠λ⑤与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+kb y k a x五．双曲线)0,(12222>=-b a b y a x 与 )0,(12222>=-b a bx a y 的区别和联系标准方程)0,(12222>=-b a b y a x )0,(12222>=-b a bx a y性 质焦点 )0,(),0,(c c -， ),0(),,0(c c -焦距c 2范围 R y a x ∈≥,||R x a y ∈≥,||顶点 )0,(),0,(a a -),0(),,0(a a -对称性关于x 轴、y 轴和原点对称6.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB ＝2121k x x +-，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k -+。
等轴双曲线的渐近线方程
双曲线的渐近线方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上），或令双曲线标准方程x/a-y/b=1中的1为零，即得渐近线方程。
方程x/a-y/b=1(a＞0,b＞0)
c＝a＋b
焦点坐标（-c,0）,(c,0)
渐近线方程：y=±bx/a
方程 y/a-x/b=1(a＞0,b＞0)
c＝a＋b
焦点坐标（0,c）,(0,-c)
渐近线方程：y=±ax/b
几何性质
1.双曲线 x/a-y/b =1的直观几何性质
(1)范围：|x|≥a,y∈r.
(2)对称性：双曲线的'对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.
(3)顶点：两个顶点a1(-a,0),a2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c=a+b.与椭圆不同.
方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上）
或令双曲线标准方程x/a-y/b=1中的1为零即得渐近线方程.
(5)距心率e>1，随着e的减小，双曲线张口逐渐显得宽广.
(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2=a2(a≠0),它的渐近线方程为y=±b/a*x,离心率e=c/a=√2
(7)共轭双曲线：方程 x/a-y/b=1与x/a-y/b=-1 则表示的双曲线共轭，存有共同的渐近线和成正比的焦距，但须要著重方程的表达形式.。
双曲线知识点归纳总结例题分析双曲线基本知识点补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（⼀般⽽⾔是a=b ，但有些地区教材版本不同，不⼀定⽤的是a,b 这两个字母）；（2）其标准⽅程为x^2-y^2=C ，其中C≠0；（3）离⼼率e=√2；（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；（5）等轴双曲线上任意⼀点到中⼼的距离是它到两个焦点的距离的⽐例中项；（6）等轴双曲线上任意⼀点P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P 所平分；（7）等轴双曲线上任意⼀点处的切线与两条渐近线围成三⾓形的⾯积恒为常数a^2；（8）等轴双曲线x^2-y^2=C 绕其中⼼以逆时针⽅向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。
所以反⽐例函数y=k/x 的图像⼀定是等轴双曲线。
例题分析：例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满⾜126PF PF -=，则点P 的轨迹⽅程为（）Ａ．221916x y -= Ｂ．221169x y -+=Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．221(3)169x y y -+=-≤同步练习⼀:如果双曲线的渐近线⽅程为34y x =±，则离⼼率为（）Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54例2、已知双曲线2214x y k+=的离⼼率为2e <，则k 的范围为（）Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<<Ｄ．120k -<<同步练习⼆:双曲线22221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离⼼率为．例3、设P 是双曲线22219x y a -=上⼀点，双曲线的⼀条渐近线⽅程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为．同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(2，则双曲线的标准⽅程为。
渐近线方程求双曲线全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：双曲线是解析几何学中的一个重要概念，它是平面上的一个曲线，具有许多有趣的性质和特点。
在数学中，我们经常需要求解双曲线的各种参数和方程，其中渐近线方程是一个非常重要的内容。
渐近线是双曲线的特殊直线，它和双曲线的曲线在无穷远处相交，并且在这个交点处双曲线的斜率趋于无穷大。
由于双曲线的特殊形态，它的渐近线方程的求解相对比较复杂。
在本文中，我们将详细介绍如何通过双曲线的方程求解渐近线方程的方法。
我们来看一个简单的双曲线方程：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，其中a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
这个双曲线的渐近线方程与x轴和y轴分别平行。
双曲线的渐近线方程过双曲线的左右焦点，并且与双曲线在这两个点处相切。
要求解双曲线的渐近线方程，我们首先需要找到双曲线的左右焦点的坐标。
根据双曲线的标准方程，我们可以得到左右焦点的坐标分别为(-\sqrt{a^2+b^2},0)和(\sqrt{a^2+b^2},0)。
接下来，我们需要求解这两个点处双曲线的斜率。
在双曲线上任意一点(x,y)处，双曲线的斜率可以表示为\frac{dy}{dx}=\frac{b^2y}{a^2x}。
然后我们将x代入双曲线的标准方程中，得到y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}。
将y代入到双曲线的斜率公式中，我们可以得到双曲线在左右焦点处的斜率分别为-b/a和b/a。
根据斜率和双曲线的焦点信息，我们可以求解双曲线的渐近线方程。
渐近线的方程可以表示为y=mx+b，其中m为渐近线的斜率，b 为截距。
对于双曲线的左右焦点，我们可以根据焦点坐标和斜率得到下面的两个方程：y=-\frac{b}{a}x+b_1其中b_1和b_2分别为渐近线的左右斜率。
带入焦点坐标，我们可以得到下面的方程：\frac{b}{a}\sqrt{a^2+b^2}+b_2=0解上面的方程组，我们可以得到b_1=-\frac{b^2}{a\sqrt{a^2+b^2}}和b_2=\frac{b^2}{a\sqrt{a^2+b^2}}。
双曲线渐近线的方程一、双曲线渐近线1. 什么是双曲线渐近线双曲线渐近线是一条曲线, 它可用来表示一组数据值或者某一个变数随另一个变数变化的趋势。
它是一种渐近方程，当两个变数之间具有紧密联系时，双曲线渐近线将两个变数进行最好的拟合。
换言之，当改变一个变量时会引起另一个变量的变化，双曲线渐近线可以表示两个变的变化关系。
2. 双曲线渐近线的构成双曲线渐近线由两条曲线构成，一条是向右上方弯曲的曲线，另一条是向左下方弯曲的曲线。
曲线上的每一点都有它自己的坐标（x,y），可以用坐标（x,y）来表示双曲线渐近线的方程。
3. 双曲线渐近线的方程双曲线渐近线的渐近方程为： y=ax^2+bx+c，其中，a、b、c是双曲线渐近线上的绝对值，可以根据实际情况得出。
两条曲线的拟合情况不相同，当a为负数时，曲线向右上方弯曲；当a为正数时，曲线向右下方弯曲。
4. 双曲线渐近线的用途双曲线渐近线可以在数学，统计学，经济学等方面都有着广泛的应用，可用来描述两个变量之间内在的联系，反映出一组数据背后的趋势。
双曲线渐近线也可以帮助我们有效地分析和预测数据趋势。
二、练习根据以下数据点（0,3），（6，-11），（12，-21），（18，-31），（24，-41）学生可以试着用双曲线拟合求取渐近线的方程：解：设双曲线渐近线的方程为：y=ax^2+bx+c则拟合数据点的代入方程可以得：3=a*0^2+b*0+c-11=a*6^2+b*6+c-21=a*12^2+b*12+c-31=a*18^2+b*18+c-41=a*24^2+b*24+c化简可得：a=-0.375b=3.75c=3故双曲线渐近线的渐近方程为： y=-0.375x^2+3.75x+3。
双曲线渐近线方程标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]双曲线渐近线方程百科名片双曲线渐近线方程双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的一些数据的处理。
双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。
分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
是一种根据实际的生活需求研究出的一种算法。
渐近线特点：无限接近，但不可以相交。
分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
当上一点M沿曲线无限远离时，如果M到一条的于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无线延伸时的变化情况。
根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。
y=k/x(k≠0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐近线方程当焦点在x轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x当焦点在y轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x双曲线的简单几何性质1.双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±b/ax，或令双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e≥1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±b/ax,离心率e＝c/a=√2(7)共轭双曲线：方程 - ＝1与 - ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.注重：1.与双曲线 - ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为 - ＝λ(λ≠0且λ为待定常数)2.与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为 - ＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆， b2＜λ＜a2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝+(-)a2/c 的距离之比等于常数e＝c/a (c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝，与椭圆相同.3.焦半径( - ＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线 - ＝1的右支上时，｜pF1｜＝ex0 a,｜pF2｜＝ex0-a;P在左支上时，则｜PF1｜=ex1+a ｜PF2｜＝ex1-a.本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于把握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.双曲线的渐近线教案教学目的(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双曲线的图形．(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力．教学过程一、揭示课题师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗生(众)：能画出来．师：能画得比较精确点吗(学生默然．)其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题．(板书课题：双曲线的渐近线．)二、讲述定义师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点我们先看看双曲线在第一象限的情况．设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则考察一下y变化的范围：因为x2－a2＜x2，所以这个不等式意味着什么(稍停，学生思考．)平面区域．之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．为此，我们考虑下列问题：经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y ＝±b，以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．下面，我们来证明这个事实．双曲线在第一象限内的方程可写成设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线上与M有相同横坐标的点，则设|MQ|是点M到直线的距离，则|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线叫做双曲线的渐近线．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然，前者这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较精确地画出双手画出比较精确的双曲线．[提出问题，解决问题，善始善终．]三、初步练习(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线方程这两要求，出四个小题让学生练习．)1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双曲线：(1) 4x2－y2＝4； (2) 4x2－y2＝－4．2．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：求双曲线方程并画出双曲线．(练习毕，由学生回答，教师总结．)解题的主要步骤：第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据定义写出渐近线方程．第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程；(2)写出渐近线方程，从而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，得到关于a、b的另一个关系式；(4)解a、b的方程组，求得a、b，写出双曲线方程．师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习．一个是由双曲线求渐近线，比较简单；一个是由渐近线求双曲线，却比较复杂．这是因为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度．同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显然比较困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的能力．[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、逆两方面思考问题的训练．]四、建立法则师：仔细分析一下上述练习的结果：双曲线方程：4x2－y2＝4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：4x2－y2＝－4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝4；渐近线方程：x±2y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝－4；渐近线方程：x±2y＝0．可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律．(启发学生讨论、归纳．)生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得到渐近线方程．生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负号连结起来等于零，就是渐近线方程．生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，与常数项无关．生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，常数可以不同．生戊：应该说二次项系数成比例．师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答，还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上．就是两渐近线的方程．实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是特殊的双曲线．同样，b2x2－a2y2＝0，即bx±ay＝0；b2y2－a2x2＝0，即by±ax＝0．所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程．这具有一般性吗也就是说对任意双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)它的渐近线方程是不是A2x2－B2y2＝0回答是肯定的．分情况证明一下：C＞0，A2x2－B2y2＝C，故渐近线方程为也可以化成Ax±By＝0，即 A2x2－B2y2＝0．其他情况，同学们可以自己去证明．反之，渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程是什么可以证明是：A2x2－B2y2＝C(C≠0)．C＞0，实轴在x轴上；C＜0，实轴在y轴上．因此，我们得到下列法则：(1)双曲线 A2x2－B2y2＝C(C≠0)的渐近线方程是A2x2－B2y2＝0；(2)渐近线方程是Ax±By＝0的双曲线方程是A2x2－B2y2＝C(C≠0的待定常数)．现在谁能把上面的练习第2题再解答一下生：因为渐近线方程是x±2y＝0，所以双曲线方程为x2－4y2＝C．∴ 双曲线方程为x2－4y2＝4．∴ 双曲线方程为x2－4y2＝－4．[建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生得到解题能力的培养．]五、巩固应用师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法则，下面大家使用定义或者法则再做两个练习．2．证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数．(练习毕，由学生回答，教师总结解题步骤．)师：解练习1的方法有两种．一是直接运用定义．由双曲线求渐近线：由渐近线求双曲线：二是直接运用法则．练习2的解法如下：六、布置作业课本练习；略．教案说明(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到突然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法，引出了渐近线．至于课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究．我认为这些做法都是比较自然的．(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双曲线与其渐近线的互求的方法．本教案既注意狠抓基础，也注意综合提高．(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，也是为了解题的方便，建立法则的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种训练．。
双曲线知识点指导教师：郑军一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y << （00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
双曲线方程与渐近线方程之间的关系双曲线的渐近线方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上），或令双曲线标准方程x²/a²-y²/b²=1中的1为零，即得渐近线方程。
焦点坐标、渐近线方程方程x²/a²-y²/b²=1(a＞0,b＞0)c²＝a²＋b²焦点坐标（-c,0）,(c,0)渐近线方程：y=±bx/a方程 y²/a²-x²/b²=1(a＞0,b＞0)c²＝a²＋b²焦点坐标（0,c）,(0,-c)渐近线方程：y=±ax/b几何性质1.双曲线 x²/a²-y²/b² =1的简单几何性质(1)范围：|x|≥a,y∈r.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点a1(-a,0),a2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c²=a²+b².与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上）或令双曲线标准方程x²/a²-y²/b²=1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e>1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2=a2(a≠0),它的渐近线方程为y=±b/a*x,离心率e=c/a=√2(7)共轭双曲线：方程 x²/a²-y²/b²=1与x²/a²-y²/b²=-1 表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.。
双曲线渐近线方程推导
双曲线的渐近线方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上），或令双曲线标准方程x/a-y/b=1中的1为零，即得渐近线方程。
方程x/a-y/b=1(a＞0,b＞0)
c＝a＋b
焦点坐标（-c,0）,(c,0)
渐近线方程：y=±bx/a
方程 y/a-x/b=1(a＞0,b＞0)
c＝a＋b
焦点坐标（0,c）,(0,-c)
渐近线方程：y=±ax/b
几何性质
1.双曲线 x/a-y/b =1的直观几何性质
(1)范围：|x|≥a,y∈r.
(2)对称性：双曲线的'对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.
(3)顶点：两个顶点a1(-a,0),a2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c=a+b.与椭圆不同.
方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上）
或令双曲线标准方程x/a-y/b=1中的1为零即得渐近线方程.
(5)距心率e>1，随着e的减小，双曲线张口逐渐显得宽广.
(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2=a2(a≠0),它的渐近线方程为y=±b/a*x,离心率e=c/a=√2
(7)共轭双曲线：方程 x/a-y/b=1与x/a-y/b=-1 则表示的双曲线共轭，存有共同的渐近线和成正比的焦距，但须要著重方程的表达形式.。
