大学物理课件-狭义相对论的时空观

练习十九 狭义相对论的基本原理及其时空观

一、选择题

1. 静止参照系S中有一尺子沿x方向放置不动，运动参照系S ′沿x轴运动，S、S ′的坐标轴平行。

在不同参照系测量尺子的长度时必须注意

(A) S ′与S中的观察者可以不同时地去测量尺子两端的坐标。

(B) S ′中的观察者可以不同时，但S中的观察者必须同时去测量尺子两端的坐标。

(C) S ′中的观察者必须同时，但S中的观察者可以不同时去测量尺子两端的坐标。

(D) S ′与S中的观察者都必须同时去测量尺子两端的坐标。

2. 下列几种说法：

(1) 所有惯性系对一切物理规律都是等价的。

(2) 真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状态无关。

(3) 在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速度都相同。

其中哪些正确的？

(A) 只有(1)、(2)是正确的。 (B) 只有(1)、(3)是正确的。

(B) 只有(2)、(3)是正确的。 (D) 三种说法都是正确的。

3. 边长为a的正方形薄板静止于惯性系S的xOy平面内，且两边分别与x轴、y轴平行，今

有惯性系S′ 以0.8c(c为真空中光速)的速度相对于K系沿x 轴作匀速直线运动，则从S′ 系

测得薄板的面积为

(A) a2。 (B) 0.6a2。 (C) 0.8 a2。 (D) a2/0.6。

4. 在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为6s，若相对甲以4c/5(c表示真空

中光速)的速率作匀速直线运动的乙测得时间间隔为

(A) 10s。 (B) 8s。 (C) 6s。 (D) 3.6s。

(E) 4.8s。

5. (1) 对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点，同一时刻的两个事件，对于相对该惯

性系作匀速直线运动的其它惯性系的观察者来说，它们是否同时发生?

(2) 在某惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件，它们在其它惯性系中是否同时发

生?

关于上述两问题的正确答案是：

(A) (1)一定同时，(2)一定不同时。 (B) (1)一定不同时，(2)一定同时。

.

精品 习 题

4-1 一辆高速车以0.8c的速率运动。地上有一系列的同步钟，当经过地面上的一台钟时，驾驶员注意到它的指针在0t，他即刻把自己的钟拨到0't。行驶了一段距离后，他自己的钟指到6 us时，驾驶员看地面上另一台钟。问这个钟的读数是多少？

【解】s)(10)/8.0(16/12220ccscutt

所以地面上第二个钟的读数为

)(10'sttt

4-2 在某惯性参考系S中，两事件发生在同一地点而时间间隔为4 s，另一惯性参考系S′ 以速度cu6.0相对于S系运动，问在S′ 系中测得的两个事件的时间间隔和空间间隔各是多少？

【解】已知原时(s)4t，则测时

(s)56.014/1'222scutt

由洛伦兹坐标变换22/1'cuutxx，得：

)(100.9/1/1/1'''8222220221012mcutucuutxcuutxxxx

4-3 S系中测得两个事件的时空坐标是x1=6×104 m，y1=z1=0，t1=2×10-4 s和x2=12×104

m，y2=z2=0，t2=1×10-4 s。如果S′ 系测得这两个事件同时发生，则S′ 系相对于S系的速度u是多少？S′ 系测得这两个事件的空间间隔是多少？

【解】(m)1064x，0zy，(s)1014t，0't.

精品 0)('2cxutt

2cxut (m/s)105.182xtcu

(m)102.5)('4tuxx

4-4 一列车和山底隧道静止时等长。列车高速穿过隧道时，山顶上一观察者看到当列车完全进入隧道时，在隧道的进口和出口处同时发生了雷击，但并未击中列车。试按相对论理论定性分析列车上的旅客应观察到什么现象？这现象是如何发生的？

【解】S系（山顶观察者）看雷击同时发生，但车厢长度短于山洞长度，故未被击中。

习 题

4-1 一辆高速车以0.8c的速率运动。地上有一系列的同步钟,当经过地面上的一台钟时,驾驶员注意到它的指针在0t,她即刻把自己的钟拨到0't。行驶了一段距离后,她自己的钟指到6 us时,驾驶员瞧地面上另一台钟。问这个钟的读数就是多少？

【解】s)(10)/8.0(16/12220ccscutt

所以地面上第二个钟的读数为

)(10'sttt

4-2 在某惯性参考系S中,两事件发生在同一地点而时间间隔为4 s,另一惯性参考系S′

以速度cu6.0相对于S系运动,问在S′ 系中测得的两个事件的时间间隔与空间间隔各就是多少？

【解】已知原时(s)4t,则测时

(s)56.014/1'222scutt

由洛伦兹坐标变换22/1'cuutxx,得:

)(100.9/1/1/1'''8222220221012mcutucuutxcuutxxxx

4-3 S系中测得两个事件的时空坐标就是x1=6×104 m,y1=z1=0,t1=2×10-4 s与x2=12×104

m,y2=z2=0,t2=1×10-4 s。如果S′ 系测得这两个事件同时发生,则S′ 系相对于S系的速度u就是多少？S′ 系测得这两个事件的空间间隔就是多少？

【解】(m)1064x,0zy,(s)1014t,0't 0)('2cxutt

2cxut (m/s)105.182xtcu

(m)102.5)('4tuxx

4-4 一列车与山底隧道静止时等长。列车高速穿过隧道时,山顶上一观察者瞧到当列车完全进入隧道时,在隧道的进口与出口处同时发生了雷击,但并未击中列车。试按相对论理论定性分析列车上的旅客应观察到什么现象？这现象就是如何发生的？

【解】S系(山顶观察者)瞧雷击同时发生,但车厢长度短于山洞长度,故未被击中。

一。狭义相对论的时空解及比较在狭义相对论中，两惯性系相对速度 与 和 平行（1）（ ）为 坐标系的坐标，（ ）为 坐标系的坐标，令 ， ，所以变换矩阵为（2）如果; ,相对速度 不变，那么 (3)比较 与 （4） （5）比较后知道（4）式=（5）式（6）二。时空观测的定义为了较方便地说清楚不同的观测结果与不同坐标中长度与时间的相互比较的关系，在字母顶部加3个指标，如： 定义为：左边指标为观察目标所在的坐标系，中间指标为观察者选择的单位长度与时间所在的坐标系，右边指标为观察者观察时所在的坐标系。这样有：其中， 和 是固有时， 与 是固有长度。三。 的推导在狭义相对论中有 (6.1)那么，在什么条件下上式会是普适的呢？先来考察欧几里德几何。对观察者而言，在欧几里德几何中的二维空间的坐标

中，观察到的单位长度 ，与在欧几里德几何中的二维空间坐标 中，观察到的单位长度 。观察者是无法在长度方面区别 和 的，即（7）这是欧几里德几何的观察者假设，也是符合经验的假设，以前从未被指出过。 根据相对论，在四维时空坐标中，时空量表示为：（8）广义相对论中的不变量原理确定了，任意四维时空坐标都有（8）式。现在，在非欧几里德的四维时空坐标中，推广欧几里德几何的观察者假设。先定义一种四维时空坐标，在观察者观察的时间内，这个坐标内的时空度规时间平移不变性和空间平移不变性，令ξ为坐标内时空场ξ=ξ ,(i=1,2,3,4)，表示为李（Lie）微商有?ξ gμυ =0 （9）而 （10）如果所取的时空体积足够小，即 ，那么总可以成为这种坐标。这种坐标具有普适性。在四维时空中,随意取两个这种坐标 和 ，观察者在坐标内所观察到的单位时空量 和 ，如果观察者不与坐标外其他坐标比较的话，他是无法在时空量方面区分他在 和坐标内观察到的单位时空量和（观察者在

坐标内观察 时，也不能与 坐标内的比较。他只能分别观察 和 后，再比较 和 ）。这是四维弯曲时空的观察者假设。即观察者无法区分不同的这种坐标系的固有时间和固有长度。 这样观察者可以得到（11）令 ， ，得：（12）（12.1)由（9）式和（10）式的定义，观察者总能认为他所在的坐标系内满足（13）（14）那么有（6）因 所以 有相同的量纲。所以可以，令（15）（16）那么有（15.1)(16.1)所以(17)而在上述定义的坐标系中，总有（18）所以 （19）这样就有在上述定义的坐标系中，时间量平方的变化量与空间量平方的变化量相等。这就是时空的对称变化。可写为（6）这里称为时空对称理论。上式的空间量是固有长度 和 ，时间量则不是固有时，固有时 和 有下列关系：（20）而 和 不符合 中的任一种时间量的微分，故（16）不是真实观测值。四。Schwarzchild解的分析 用时空对称理论求解Schwarzchild解十分简单，在得到 后，因 （19） 可得 （15.2) (16.1) (13.1) 下面用广义相对论四维时空标架求解Schwarzchild解，并比较时空对称理 论用四维时空标架求解Schwarzchild解的办法 （t=ict , c =1) (21)这是静态球对称度规的标准形式。在求解过程中得到， （22）令 ，得到（23）令 ，其物理意义是将绝对平直坐标系内的固有时与固有长度之间物理条件，应用到有引力场的非惯性坐标系。 因此 （16.2) 不是真实观测值。 而固有时 与 之间有