考场解题的化归与转化

转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.

转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决,总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.

1.转化与化归的原则

（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验来解决.

（2)简单化原则:将复杂问题化归为简单问题, 通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据。

（3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.

（4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解。

2。常见的转化与化归的方法

转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有：

（1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.

（2）换元法：运用“换元"把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.

(3)数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式)与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径。

（4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的。

（5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题。

如何利用化归转化思想进行解题　■林敏燕　化归转化思想是指运用某种手段或方法把待解决　的较为生疏或较为复杂的问题转化归结为熟悉的规范　性的问题来解决的思想方法．化归转化思想是考生解　决难题时常用的手段，也是高考数学中思想方法的重　要内容．在解题实践中，大部分试题的条件与目标的联　系不明显。能否根据问题的特点和解题中出现的具体　情况“随机应变”，调整思路，转换策略，是我们能否顺　利解题的一个关键因素，也是思维灵活性的一个重要　体现．强化解题过程中的应变能力，有利于提高解决数　学问题的思维能力和技能、技巧．因此，在平时的学习　中，当同学们遇到困难时。要不停地问自己：“我能把这　个问题转化吗？转化为自己熟悉的问题？更一般的问　题？更简单的问题？”在转化的过程中，就能很自然　地提高自己的解题能力．下面举例说明，　一、化定点（定值）问题为函数恒成立问题　在解析几何中，定点（定值）问题是—个难点，常常会　使考生陷入困境．如果能把定点（定值）问题转化为函数的　数学有数　

恒成立问题．那么问题的解决就会有了—个好的方向．　例１・已知动圆过定点（号，ｏ），且与直线　一号相　切，其中ｐ＞０．　（Ｉ）求动圆圆心ｃ的轨　迹方程：　（ＩＩ）设』４、曰是轨迹Ｃ上　异于原点０的两个不同点，　直线ＯＡ和ＯＢ的倾斜角分别　为　和　，当Ｏｔ，１３变化且　＝　孕时，证明直线ＡＢ恒过定　一　点．并求出该定点的坐标．　【分析与解】本题的难点是第二问，二条直线的　倾斜角是二个锐角．且不是特殊角．利用这二个角的　和是定值，可以得到一个方程，因此，要解决第二　问，只有从这个方程来人手．解法如下：　示：取　的中点Ｐ，连接ＤＰ，作ＥＧ／／ＡＢ，ＥＨ／／ＢＣ，ＤＫ／／　ＡＣ，连接ＫＰ，ＧＨ，如图，可证ＤＰＪ＿平面ＢＣＣ　Ｂ　，而　ＤＰ＝、／丁，故ＥＦ＝２、／　．架设“天桥”，跨过“浮云”，天　堑变通途！　练＞－３②（２０１０年广雅１２月理科月考）已知０满足　则函　舭瑚的最大值为（）　Ａ．　Ｂ．　Ｃ．＿１９　Ｄ．　【答案】Ａ．提示　（　）＝　（ｓｉｎＯ＋２ｃｏｓＯ）＋｝（ｓｉｎ０一　ｓｃ。　≤　，易错选ｃ．原因在　：：：　：　’中两个　不等式不能同时取等号，“浮云”蔽目，如何开局？可　否用线性规划求出最值？　令ｘ＝ｓｉｎＯ，ｙ＝ｅｏｓＯ，则　＋２ｙ≤２．　荔：’　ｚ＝２ｘ＋３ｙ，　ｌ　Ｉ≤１，ＩＹ　Ｉ≤１，　１６　直线ｆ０：ｙ一丁２　应向上平移至可行域中的单位圆　上的Ａ点时．ｚ才会有最大值．这时Ａ点的坐标由　ｘ＋２罔ｙ＝２’确定，即　想开局好，还需站得高，看得远！　“不畏浮云遮望眼。只缘身在最高层”．宋代诗人王　安石道出了求解数学题开局之奥妙，即树立了正确的　观点，掌握了正确的方法，认识达到了一定的高度，就　能透过现象看到本质．就不会被事物的表象所迷惑！　所以．如何造就你对数学感悟的干寻之塔，首先　要熟练掌握基础知识、基本方法、基本技能。并能灵　活运用：其次还需不断提高能力（即空间想象能力、　抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据　处理能以及应用意识和创新意识）．这样，纵然“浮　云”遮望眼。也能拨云见１３出！　（作者单位：江门市新会华侨中学）　责任编校徐国坚　离串２０ｔ｛军繁６翰　若　＂～　：　～　得　＋　人　代　，　，　４—５　３　５　＝　＝　

转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.

转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.

1.转化与化归的原则

（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决.

（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题， 通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.

（3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.

（4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解.

2.常见的转化与化归的方法

转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有：

（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.

（2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.

（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径.

（4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的.

（5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.

试题研究＞解题技巧…。。　一…一一一一　一　一一数学舅【学酬稳黼）　投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ　１６３．ＣＯｒｎ　例谈“转化与化归’’思想　在高中数学解题中应用　“转化与化归”是一种重要的数学　思想方法。通过问题的转化、归类就会　使问题变得简单．虽然转化的方法有很　多．但都遵循转化与化归的原则——熟　悉化原则、简单化原则、直观化原则、正　难则反原则．化归与转化是解决问题的　有效策略．同时也是成功的思维方式．学　生在学数学时掌握好“转化与化归”等　数学数学思想方法．会大大提高分析、　处理和懈决数学问题的能力．本文结合　实例．例谈转化与化归思想在数学解题　巾的一些应用．　陌生与熟悉的转化　倒１已知　ａ＋ｂ　＝　＝　ｏ—Ｄ　Ｃ一Ⅱ　ａｃ＿－ｂ＿ｄ求证：ｍｌ４－ｍ２＋　３＝ｍ１ｍ２ｍ　ａｚ／＋ｃｆｃ　１十　解析塬务件　ｊ’　１＋ｄ＿　１一　÷，ｍ　，令　－－ｔａｎｏｔ，　＝ｔ　ｌＩ＿　’　李文靖　江西瑞金第一中学　３４２５００　则ｍｌ＝ｔａｎ（詈　），ｍｚ＝ｔａｎ（詈书），ｍ，＝　：　＝　１ｔａｎａ＋ｔａｎｆｌ　＝ｔａｎ（１２　一　—　）ｔａｎ（　＋　）　＼　／　因为（　ｑＴ＋　）＋（号　）＋（詈一　）＝　所以ｔａｎ　詈＋　）＋（　）］＝ｔａｎｆｗ一　，即毒器＝　一ｔａｎ（詈一　，一　ａｎＩ＿　一　—　』，　整理得ｔａｎ（詈　）＋ｔａｎ（孑　）＋　＼４　／　＼４　。／　ｔａｎ（詈一　］８）＝ｔａｎ（孑＋　）．ｔａｎ（　）・　ｔａｎ（号　一　）’　所以ｍｌ＋ｍ２＋ｍ３＝ｒｒｔｌｒｔｈｍ３成立．　点评：将陌生问题转化为熟悉的问　题．以利于运用熟知的知识、经验和问　题来解决．本题巧妙地将陌生的分式经　过整理变形．转化为熟悉的两角和差正　切公式来解决．　常量与变量的转化　例２对于满足Ｏ≤ｐ≤４的一切实　数，不等式　＞缸　一３恒成立，试求　的取值范围．　解析：习惯上把　当做自变量，记函　数ｙ　＋　一４）　＋３　，于是问题转化为：　当Ｐ　Ｅ［０，４］时，ｙ＞Ｏ恒成立，求　的取值　范围．解决这个等价的问题需应用二次　函数以及二次方程的区间根原理．可想　而知．这是相＇－３复杂的．　设函毒　ｐ）＝（ｘ－１）ｐ＋（　２－４ｘ＋３），显　然　≠１，则／（ｐ）是ｐ的一次函数，要使　）＞０恒成立，当且仅当　０）＞０，—　４）＞　０时，解得　的取值范围是（一∞，一１）ｕ（３，　＋。。）．　点评：本题看上去是一个不等式问　题，但经过等价转化，把它化归为关于ｐ　的一次函数．利用一次函数的单调性求　解．解题的关键是转换变量角色．在有　几个变量的问题中．常常有一个变元处　于主要地位．我们称之为主元．由于思　维定式的影响，在解决这类问题时．我　们总是紧紧抓住主元不放．这在很多情　况下是正确的．但在桌些特定条件下．　思　化　～　一一一一　题 一　一一一一一　～主圣　例投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ　１６３．ｃｏｍ一　数学教学通讯（教师版）　试题研究＞解题技巧　此路往往不通，这时若能变更主元，转　移变元在问题中的地位．就能使问题迎　刃而解．　正与反的相互转化　倒３已知函数厂（　）＝４ｘ　一ａｘ＋ｌ在　（０，１）内至少有一个零点，试求实数ａ的　取值范围．　解析：至少有一个零点的情况比较　复杂，而其反面为没有零点，比较容易　处理．　（法一）当函数，（　）＝４ｘ　一ａｘ＋ｌ在　（Ｏ，１）内没有零点时甘缸　一ａｘ＋ｌ＝０在　（０，１）内没有实数根，即在（０，１）内，０≠　４ｘ＋　．而当　∈（０，１）时，４ｘ＋　≥　２、／　・÷＝　￣４ｘ＋１　４，＋　）．　要使Ⅱ＃４ｘ＋　．必有０＜４故满足题　设的实数口的取值范围是［４，＋∞）．　（法二）设，（　）＝缸　一似＋１，对称轴　为　詈，注意到，（０）＝１＞０，故对称轴必　须在＿ｙ轴的右侧．　（１）　＜詈＜１时，即Ｏ＜ａ＜８，　士ｆＡ＝ａ２－１６￣＞Ｏ，　ｆｎ≤－４或Ⅱ≥４，　侗１　ｊ　ｉ　Ｏ）＞０　【ａＥＲ　Ⅱ≤一４或０≥４，此时４≤０＜８；　（２）当詈≥１时，　（１）＜０　５－ａ＜０　ｊ口＞５．此时有口≥８．　综合（１）（２）得实数Ⅱ的取值范围是　［４，＋∞）．　点评：运用法二直接求解时，要有　较强的数形结合能力、分类讨论能力和　较强的洞察力（注意至ＩＪｆ（Ｏ）＝ｌ＞Ｏ），有一　定的难度：若转为先考虑它的反面情形　（法一）．则解题目标与思路会变得更集　中与明确．“正难则反”有时会给我们的　解题带来意想不到的妙处．　方程与函数的转化　例４若关于　的方程ｃｏｓ　＋４船ｉ　＋　口一２＝０在区间［０，　］上有两个不同的解，　则实数ａ的取值范围是———一　角醇析：ｃｏｓ２ｘ＋４嬲ｉｎ　＋口一２＝１－－２ｓｉｎ２ｘ￣ｉ　４璐ｉｒｌ　＋口一２＝一２ｓｉｎ￣ｘ＋４ｏｓｉｎ　＋ｃ卜１．　令ｔ＝ｓｉｎｘ，ｔ∈［０，１］，则原题转化为　方程一２￡　＋４　＋　１＝０在［０，１］上有两个　根．　令　￡）一２ｔ　＋４　＋口－ｌ，由二次函数图　ｆＡ＞０，　Ｉ　１　０１≤０．　象可知￣１；ｏｏ，解得　１＜ｎ≤　．　Ｉｏ＜等＜１，　点评：本题涉及多种转化，一是三　角函数的异名化同名．三角函数转化为　代数问题．二是方程的问题转化为函数　的问题．经过转化题目就迎刃而解了．　宏观整体的高度把握问题的一般规律．　从而达到成批的处理问题的效果．　⑨　数与形的转化　例５求函　（　）－、　而　＋　％／—ｘ￣－１２—ｘ＋３７的最小值．　解析　（　）＝　骊＋　、／　丽　＝、／　两　＋　Ｘ／—（ｘ—－６—）—％—（Ｏ—－１—）２．　），　Ａ　：２，３）　，１）　、　．　０　．　：　ｆ２—３、　图１　设』４（２，３），Ｂ（６，１），Ｐ（ｘ，０），则上述　问题ｔ４－４￣为求Ｉ　ｌ＋ｌ船Ｉ的最小值．如　图１，点Ａ关于　轴的对称点为Ｃ（２，一３），　因为Ｉ　Ｉ＝ｌ彤　馏Ｉ≥ｌＢＣＩ＝　４＂ｋ．／２．所ｖＸｆ（ｘ）最小值为４、／　．　点评：本题如果直接对原式进行变　形．其运算量是比较大的，效率当然也　不高．但是将式子转化为这种点与点距　离公式之后．它的几何意义就凸显出来　了：然后再利用数形结合的方法，把代　数问题转化为几何问题．这样的转化使　题目变得简单多了．　抽象与具体的转化　倒６　）定义域在实数集Ｒ上，　当　＞０时　）＞１，且对于任意实数　，ｙ都　７ｆｆ（ｘ＋ｙ）　（　）　（ｙ），同　（１）＝２，解不　等￣ｆ（３ｘ－ｘ　）　解析：ｄ　＋ｙ）－，（　）　ｙ）中取　＝　０８￣ｔｆ（ｏ）亏　０）　叠　０）＝０，则４＂ｘ＞Ｏ，ｙ＝Ｏ，　ｘ）＝Ｏ－￣ｘ＞Ｏ　）＞１矛盾．所以　０）：　１．　当　＞０时　）＞１＞Ｏ；ｘ＜Ｏ　，　＞０，　－厂（－ｘ）＞ｌ＞Ｏ，・而ｌ，（　）　－ｘ）＝ｌ，　，（　志如・姗为ｆ（Ｏ）＝　１，所以　∈Ｒ，ｆ（ｘ）＞０．设　ｌ，　２∈Ｒ－Ｅｘ１＜　２，贝４Ｘ２－Ｘ１＞０，ｊｒ（　２一　１）＞１，ｆ（ｘ２）－／（ｘｉ）＝　Ａｘ１＋（　２—　１）］—：　１）＝　１　￣２－ｘＩ）－ｆ（　１）＝　ｆ（ｘ１）【厂（　２　。）一１］＞０，所以，，　（　）￣Ｒ－Ｙ－　为单调增函数．又因为，（１）＝２，所以　ｆ（３ｘ－ｘ　）　（１）・ｆ（１）　（１＋１）　（２）．由　，（　）的单调・＊－１－：［．￣３ｘ－ｘ２＞２，解得１　＜２．　点评：由于指数函数有类　＋ｙ）＝　，（　）　ｙ）的性质矿　・ａｙ，所以猜想模型　函数　）－－ａ￣（ａ＞０，ａ≠１）．由ｌ，（２）　１＋　１）＿，（１）．，（１）＝４，则将不等式化为，（３ｘ－　）＞，（２），只需证　）的单调性即可．　数学中的转化比比皆是．但实质都　是揭示内在联系实现转化．除极其简单　的数学问题外．几乎每个数学问题的解　决都是通过转化为已知问题实现的．从　这个意义上讲．解决数学问题就是从未　知向已知转化的过程．但还应注意转化　中的等价性．即转化前后必须是等价　的、合理的．