中考特殊的平行四边形复习

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特殊的平行四边形复习

一．中点四边形问题：

例1.（变式题：练习第三2和8题）

阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？

小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．

结合小敏的思路作答

（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：

（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．

①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；

②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．

二、四边形中的特殊三角形

例2、如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC．连接AD，AF，DF，EF．延长DB交EF于点N．

（1）求证：AD=AF；

（2）求证：BD=EF；

（3）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由． 2

三、四边形中的折叠问题

本质：轴对称（全等性，对称性） 关键：根据折叠实现等量转化

（1）根据勾股定理得方程。 （2）根据相似比得方程。 （3）找折叠中的特殊位置来解决特殊值问题

例3如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为________．

例3 例4

例4如上图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N． （1）求证：CM=CN； （2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．

四、正方形中的线段垂直问题

例5如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE． （1）求证：AF=BE；

（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．

五、探究型问题

例6．如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形； ②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形．

（直接写出答案，不需要说明理由）

六、四边形中的相似三角形

例7如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，3

交DC于点N．

（1）求证：△ABM∽△EFA；

（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．

一、 选择题

1．在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（ ）

①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④

2．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2题图 3题图 5题图

3．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．75°

4.关于 ABCD的叙述，正确的是（ ）

A．若AB⊥BC，则 ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则 ABCD是正方形

C．若AC=BD，则 ABCD是矩形 D．若AB=AD，则 ABCD是正方形

5．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（ ）

A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（，0） D．（0，﹣）

6.如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（ ） A．1

B．2 C．3 D．4 4

6T题图 7题图 8题图

7.把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（ ） A． B．6 C． D．

8. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

9．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）

A．4.8 B．5 C．6 D．7.2

9题图 11题图 12题图 13题图

10．下列关于矩形的说法中正确的是（ ）

A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分

C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直且平分

11．如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．75°

12．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）

A． B． C． D．

13．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（ ）

A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF 5

二、 填空题

1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=

度．

1题图 2题图 3题图 4题图

2.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是

．

3.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为 ．

4.如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是

5.如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为 ．

5题图 6题图 7题图 8题图

6.如图，菱形ABCD的周长是8cm，AB的长是 cm．

7．如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．

8.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件 使其成为菱形（只填一个即可）．

9．有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为 ．

10.如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，则四边形EFGH的面积是 ．

11．如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是

（只填写序号） D

O C

E

B A

图4 6

10题图 11题图 ·12题图 13题图

12．如图，矩形ABCD中，AB=，BC=，点E在对角线BD上，且BE=1.8，连接AE并延长交DC于点F，则= ．

13. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为 ．

三.解答题

1．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF． 求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形．

2． D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．

（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；

（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）

、

3.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．

4.如图6所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，7