特殊的平行四边形中考复习

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Word资料. 第20讲 特殊的平行四边形

考点1 矩形

矩形的定义 有一个角是① 的平行四边形叫做矩形.

矩形的性质 (1)矩形具有平行四边形所有的性质.

(2)矩形的四个角都是② ，对角线互相平分并且③ .

(3)矩形既是一个轴对称图形，它有两条对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心就是④ .

矩形的判定 (1)定义法.

(2)有三个角是直角的四边形是矩形.

(3)⑤ 的平行四边形是矩形.

考点2 菱形

菱形的定义 有一组⑥ 的平行四边形叫做菱形.

菱形的性质 (1)菱形具有平行四边形所有的性质.

(2)菱形的四条边⑦ ，对角线互相⑧ ，并且每条对角线平分一组对角.

(3)菱形既是一个轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心就是⑨ .

(4)菱形的面积等于对角线乘积的⑩ .

菱形的判定 (1)定义法.

(2)四条边⑪ 的四边形是菱形.

(3)对角线⑫ 的平行四边形是菱形.

考点3 正方形

正方形的定义 有一组邻边⑬ ，并且有一个角是⑭ 的平行四边形叫做正方形.

正方形的性质 (1)正方形的四条边⑮ ，四个角都是⑯ ，对角线互相○17 且○18 ，并且每一条对角线平分一组对角，具有矩形和菱形的所有性质.

(2)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有○19 条，对称中心是对角线的交点.

正方形的判定 (1)有一组邻边相等的○20 是正方形.

(2)有一个角是直角的○21 是正方形.

(3)对角线○22 的四边形是正方形.

【易错提示】在判定矩形、菱形、正方形时，要注意明确是在“四边形”还是“平行四边形”的基础上.

1.牢固掌握矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定定理，它们大多是从边、角、对角线三个方面来描述的，分类记忆，便于灵活应用.

2.适当进行动手操作训练，从实践中认识特殊平行四边形的轴对称性和中心对称性，再 ..

Word资料. 进行相应的证明和计算，也是正确解答综合性问题的有效途径.

命题点1 矩形的性质与判定

例1 (2014·巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E,F，连接BE,CF.

(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是 ，并证明；

(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由.

【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH或BE∥CF或∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH；

(2)由(1)可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形.

【解答】

方法归纳：矩形具有平行四边形的所有性质，同时也具有其特殊的性质；判定矩形的方法是多样的，可以先判定这个四边形是平行四边形，然后利用一内角为90°或对角线相等判定矩形.

1.(2014·重庆B卷)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( )

A.30° B.60° C.90° D.120°

2.在数学活动课上，老师要同学们判断自己的课桌是不是矩形，经过测量，小明说：“我的课桌是矩形，我测量了对角线相等.”小华说：“我的课桌也是矩形，我测量了一组对角是直角.”小丽说：“那我的课桌更是矩形，我测量了其中三个角都为直角.”请问说法不正确的同学有( )

A.0位 B.1位 C.2位 D.3位 ..

Word资料. 3.(2013·邵阳)如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件 ，使四边形ABCD为矩形.

4.(2014·泉州)已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF.求证：AF=CE.

命题点2 菱形的性质与判定

例2 (2014·莱芜)如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α(α<60°)，D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F,连接DE,BE,DF.

(1)求证：BE=CD；

(2)若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明.

【思路点拨】(1)根据等腰三角形及旋转的性质，利用SAS证△EAB≌△DAC，进而得出结论；

(2)先证BE=BD=CD，再证EB=EF，则BE=EF=BD，又EF∥BD，即可得证四边形BDFE为菱形.

【解答】

方法归纳：菱形的判定一般先判定为平行四边形，然后从内角、邻边或对角线这三个角度分析，也可直接判定四条边相等.

1.(2014·宁波)菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )

A.10 B.8 C.6 D.5

2.(2014·重庆A卷)如图，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为 .

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Word资料. 3.(2013·常州)如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA.求证：四边形ABCD是菱形.

命题点3 正方形的性质与判定

例3 (2013·南京)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N.

(1)求证：∠ADB＝∠CDB；

(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形.

【思路点拨】(1)根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到∠ADB=∠CDB；

(2)因为∠ADC=90°，由(1)中的条件可得四边形MPND是矩形，由角平分线的性质可得出PM＝PN，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形.

【解答】

方法归纳：正方形的性质集矩形和菱形的性质于一体；在判定正方形的过程中，通常是先证明此四边形为矩形，再去证明有一组邻边相等或者对角线互相垂直；或先证明其为菱形，再证有一个角是直角或者对角线相等.

1.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是( )

A.(1，1) B.(-1，-1) C.(1，-1) D.(-1，1)

2.(2014·株洲)已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )

A.选①② B.选②③ C.选①③ D.选②④

3.(2014·泸州)如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G，求证：AE=BF.

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第1课时 基础训练

1.(2014·珠海)边长为3 cm的菱形的周长是( )

A.6 cm

B.9 cm C.12 cm D.15 cm

2.(2013·成都)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

3.(2014·福州)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为( )

A.45° B.55° C.60° D.75°

4.(2014·丽水)如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度的一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求.连接AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知四边形ADBC一定是( )

A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.不能确定

5.(2014·玉林)下列命题是假命题的是( )

A.四个角相等的四边形是矩形 B.对角线相等的平行四边形是矩形

C.对角线垂直的四边形是菱形D.对角线垂直的平行四边形是菱形

6.(2013·菏泽)如图，把一个长方形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )

A.15°或30° B. 30°或45° C.45°或60° D.30°或60°

7.如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为-4和1，则BC= .

8.(2014·衡阳)如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为 .

9.(2014·淄博)已知□ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使□ ..

Word资料. ABCD成为一个菱形.你添加的条件是 .

10.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是

.(填上你认为正确的一个答案即可)

11.(2014·苏州)已知正方形ABCD的对角线AC=2，则正方形ABCD的周长为 .