波函数及其统计诠释

§16.2 物质波的波函数，玻恩的统计解释

（一）物质波的波函数ψ（r，t）

在第三篇§10.1（四）已谈过，一个频率为、波长为λ，沿x轴传播的平面简谐机械波，其中各个质点的振动位移函数y（x，t）可表示如下：

xt2cosA)t,x(y 机械波的位移函数单频率平面简谐 （16.2.1）

此式的y表示：t时刻、在x位置的质点，离开平衡位置的位移．A为质点的振幅．我们曾经用此式计算机械波的能量和干涉现象等．

在第三篇§11.1（一）描述电磁波时，将上式的y改为电场强度Ey和磁场强度Hz：

电磁波的表式单频率平面 xt2cosHHxt2cosEE0zz0yy

利用复数的欧拉公式，可将上述余弦函数与指数函数联系起来：

〔欧拉公式：〕 （16.2.4）

根据上式可把上述机械波和电磁波表式写成复数形式，例如：

〔单频率平面机械波的复数表式〕)/xt(2iAe)t,x(y（16.2.5）

表式（16.2.1）就是（16.2.5）复数表式的实数部分．

可以设想，物质波的波函数ψ（x，t）也可仿照上式写出：

其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x （16.2.6）

这里所说自由粒子，指的是没受外力作用的微观粒子，它的总能ε和动量p都是不变量，与它缔合的物质波的频率和波长λ也是不变量．按波粒二象性的关系式（16.1.4）和（16.1.5），可用ε和p代替（16.2.6）式中的和λ：

其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x （16.2.7）

物质波的波函数要用复数表式，其原因请看（16.3.3）式后面的说明．

如果自由粒子在三维空间中运动，则上式的px应改为p·r，波函数应写为ψ（x,y,z,t）或ψ（r，t）：

波函数的统计解释

一． 波动－粒子二重性矛盾的分析

物质粒子既然是波，为什么长期把它看成经典粒子，没犯错误？

实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表现出来。到了原子世界（原子大小约1A）,物质波的波长与原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现出来。

传统对波粒二象性的理解：

（1）物质波包 物质波包会扩散， 电子衍射，波包说夸大了波动性一面。

（2）大量电子分布于空间形成的疏密波。 电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒子性一面。

对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。

二． 波函数的统计解释

1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。

描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。

几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性（相干性）。

描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定；

描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。

设波函数描写粒子的状态，波的强度，则在时刻t、在坐标x到x+dx、y到y+dy、z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为 ， 应正比于体积 和强度

归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。

归一化常数可由归一化条件确定

重新定义波函数，

叫归一化的波函数。

在时刻t、在坐标 (x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率称为几率密度，用表示，则

用统计本班实际成绩来诠释EXCEL函数

在这几年讲八年级EXCEL函数部分的过程中，我发现结合学生身边的实例讲解可以达到事半功倍的效果，如下表格是本人所教的某一班级期末考试学生及教师考核结果的表格：

学号姓名语文数学外语物理化学生物政治历史地理总分平均

分及格门数

“countif”优秀情况“if”（平均分80以上为优秀）1701陈春燕7869807989769678871702卞云才5689893659787690851703葛其伟7878787878698761691704向妮5973329078699086871705李咚咚696879658974666968教 师总分平均分及格率“countif”不填

表中每个学生的各项指标（横向）的理解和操作步骤，总分SUM、平均分AVERAGE函数的讲解，学生往往望文生义比较容易理解，而学生及格门数的统计函数COUNTIF，优秀、及格状况的统计函数IF，教材中没有设及，而这些函数恰恰是学生在期末考试的过程中作统计时经常要用到的函数，为此本人在教学内容中加入了这些内容。

这些内容不仅仅是让学生多学了两个函数那么简单，更重要的是这两个函数让学生学习了计算机的条件语句的基本原理，以及培养了让学生用条件语句来分析解决实际问题的能力。

在教学过程中我开始讲解学生的总分和平均分的计算方法和操作步骤，这些内容学生很快就掌握了，接着在讲解统计及格门数函数COUNTIF时其中的条件和范围时学生理解和操作有些困难，但讲清基本的原理后，中等以上的学生很快就上手了，慢一点的学生通过努力也能做到，优秀情况的统计函数IF让学生学起来一头雾水，不能理解其中的真正含义，因为里面一些隐含条件学生无法找到更无法理解其中的意义对此我采用了图示来讲解。 只要是找到其中的隐含的条件（小号字）和下一个嵌套的IF组成条件，就可以做到条理清晰，思路清晰。操作时注意里面的格式书写标点符号一定是英文状态下的标点符号，只要是做到以上，再复杂的IF嵌套语句都会迎刃而解。通过两节课的理解和操作大部分学生都可以做的想当好。通过IF语句的掌握学生就可以做一些复杂的判断，学生觉得IF语句很有用并能解决许多实际问题，陡然增加的学生的学习兴趣。学习只有结合实际，才能让学生觉得学有所用，理解才更为透彻，并让理解变得更加简单，让理论知识更加具体化。

德布罗意物质波和玻恩对波函数的统计解释

摘 要 德布罗意物质波概念的提出看似充满了大胆的假设色彩，但其背后却包含了物理研究过程中重要的类比思想 ，同时，对波函数的解释颠覆了以往人们对经典波动理论的理解，开创了量子力学的时代。

关键词 物质波；波函数；几率

德布罗意在爱因斯坦的光子学说的启示下，通过对几何光学和经典力学的对比，大胆的提出了物质波的假设，促进了物理学的发展。

1 德布罗意物质波假设

20世纪20年代前后，有关原子结构和量子理论的研究引起了当时很多物理学家的关注。爱因斯坦的光量子理论通过密立根、康普顿等人的研究得到了证实，德布罗意对此发生了很大的兴趣，他认为在对光的研究过程中，同时引进了粒子概念和周期性概念，光本身必须同时考虑粒子性和波动性。他进一步研究了几何光学和经典力学的对应性，几何光学中的费马原理和经典力学中的莫培丢变分原理类似，他大胆设想，不仅光具有粒子性和波动性两种性质，而且一般的物质也具有这两种性质。德布罗意认为：既然粒子概念在波的领域里成功的解释了令人困惑的光电效应，那么，波动概念也应该能解释在粒子领域中令人困惑的定态问题。

1923年~1924年期间，德布罗意陆续发表了《波和粒子》、《光量子，衍射和干涉》等论文，提出了物质波的概念，他认为一个能量为E ，动量为P 的粒子与频率为，波长为的波相对应。仿照爱因斯坦关系，粒子的能量、动量与相应的频率、波长之间的关系为：

这个关系我们称之为德布罗意关系。

在此基础上，他用物质波概念分析了玻尔量子化条件的物理基础。氢原子中电子波绕原子核的圆周轨道传播一周后应光滑的连接在一起，否则将会由于干涉相互抵消，不能形成稳定轨道。这就要求轨道的周长应是波长的整数倍，即满足：

式中r是电子绕核的轨道半径，是电子波的波长。利用德布罗意关系，可以得出玻尔量子化条件：

德布罗意的物质波假设在当时并没有引起很大的注意，原因为：

首先，这个假设只是对玻尔的量子化条件提供了一个解释方案，并没有得出新的结论。其次，这种物质波究竟是什么东西，并不明确，在试验上也没有证实。最后，由于经典物理学的传统概念，对粒子看作既是粒子又是波的观念太超乎一般人的认识。