高中数学向量题型和解题方法

- 1 - 高中数学《向量的模长问题----代数法》基础知识与典型例题解析

一、基础知识：

利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式

1、模长平方：通过2

2

cos0

a

aaa=

=

可得：22

aa=，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系。要注意计算完向量数

量积后别忘记开方

2、坐标运算：若()

,axy=

，则22

axy=+

。某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，

则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长

3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的

函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题

二、典型例题

例1：在ABC

中，O

为

BC

中点，若1,

3,

60ABACA===

，则OA=

_____

思路：题目条件有

1,3,60ABACA===

，进而ABAC

可

求，且OA

可用,ABAC

表示，所以考虑模长平方转化为数量积

问题

解：O

为BC

中点 可得：()1

2AOABAC=+

()()22

22211224AOAOABACABABACAC

==+=++



3cos2ABACABACA==

代入可求出：213=4AO

13

2AO=

答案：13

2

例2

：

若,,ab

c

均为单位向量，且()()

0,0abacbc=−−

，则abc+−

的最大值为（ ）

A. 21−

B. 1

C. 2

D. 2

思路：题目中所给条件与模和数量积相关，几何特征较少，所以考虑将abc+−

平方，转化OBCA

- 2 - 为数量积问题，再求最值。

解：()()

2

00acbcabbcacc−−

−−+

①

0,

1

a

bc==



①转化为101bcacbcac−−

++

()2

2222

222abcabcabcabacbc+−=+−=+++−−

()

1112321bcac=++−+−=

.

. 2018年高考数学：法向量是高考中解立体几何的一种重要方法

平面法向量的定义及法向量的具体求法：

平面法向量的概念：如果一个向量与平面垂直，那么这个向量就叫做平面的法向量。显然一个平面的法向量有无数个，但这些法向量都是相互平行的。

求法向量的一种方法：利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，我们设定一个变量的值就能求解！现在我来举一个具体的例子： .

.

当然需要说明的是，我们还有其他的方法来求法向量，在这里就不做延伸了。

高中数学中和法向量有关的三个重要公式：

用法向量求点到平面的距离公式： .

.

用法向量求直线与平面的夹角公式：

用法向量求二面角的夹角公式（记得有两种情况哦）： .

.

建立空间直角坐标系用法向量求解高考中的立体几何题目：

.

. .

.

.

.

高中数学向量题型详解和解答技巧

在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有着广泛的应用，而且在物理等其他学科中也具有重要的作用。掌握好向量的性质和运算规则，对于解答数学题目至关重要。本文将详细解析高中数学中的向量题型，并给出解答技巧，帮助读者更好地理解和掌握相关知识。

一、向量的基本概念和性质

在开始解答向量题目之前，我们首先需要了解向量的基本概念和性质。向量是有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。向量的大小叫做向量的模，通常用

|AB| 或 ||AB|| 表示。向量的方向可以用有向线段的方向来表示，也可以用角度来表示。

在向量的运算中，我们常常会用到向量的加法、减法和数量乘法。向量的加法满足交换律和结合律，即 A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)；向量的减法可以看作是加上一个相反向量，即 A-B=A+(-B)；向量的数量乘法满足分配律，即

k(A+B)=kA+kB，(k+l)A=kA+lA。

二、向量的坐标表示和运算

在解答向量题目时，我们通常会用坐标表示向量。对于平面上的向量，我们可以用两个有序实数表示，称为向量的坐标。例如，向量 AB 的坐标可以表示为 (x2-x1, y2-y1)。

在进行向量的运算时，我们可以利用向量的坐标表示进行计算。向量的加法和减法可以直接对应坐标的加法和减法，即 (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2)，(x1,

y1)-(x2, y2)=(x1-x2, y1-y2)。向量的数量乘法也可以直接对应坐标的数量乘法，即

k(x, y)=(kx, ky)。

三、向量的共线和垂直性质 在解答向量题目时，我们经常会遇到判断向量共线和垂直的情况。两个向量共线的条件是它们的方向相同或相反，即向量 A=kB 或 A=-kB。两个向量垂直的条件是它们的数量积为零，即 A·B=0。

根据共线和垂直的性质，我们可以解决一些与共线和垂直相关的题目。例如，已知向量 A 和向量 B 的坐标分别为 (2, 3) 和 (-1, 2)，求证向量 A 和向量 B 垂直。解答这个题目时，我们可以计算向量 A 和向量 B 的数量积，如果结果为零，则可以得出结论。

10向量与向量方法

（一）

1．（2004年上海春季高考题）在ΔABC中，有命题①ABACBC；②0ABBCCA；③若()()0ABACABAC，则ΔABC为等腰三角形；④若0ACAB，则ΔABC为锐角三角形.上述命题正确的是 ( )

A．① ② B．① ④ C．② ③ D．② ③ ④

2．已知O为坐标原点，OM＝(－1，1)，NM＝(－5，－5)，集合A＝{OR||RN|＝2}，OP、OQ∈A，(, 0)MPMQR，则MP·MQ＝_________________.

3．已知向量a＝－e1+3e2+2e3，b＝4e1－6e2+2e3，c＝－3e1+12e2+11e3，问a能否表示成

a＝λ1b+λ2c的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由．

4．已知a，b是两非零向量，若a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，试求a，b 的夹角．

5．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝3. 求|3a+b|的值.

引申 已知向量a，b满足|a|＝|b|＝r，11||abR，试求22||ab的值.

6．设A、B、C、D是坐标平面上的四点，它们的坐标分别为：A(Ax，Ay)，B(Bx，By)，

C(Cx，Cy)，D(Dx，Dy)，且它们中任意三点不共线．试证明：

四边形ABCD为正方形的充要条件为 (Bx－Ax，By－Ay)＝(Cx－Dx，Cy－Dy)，

且(Bx－Ax)(Cx－Bx)+(By－Ay)(Cy－By)＝0.

7．如图，设四边形P1P2P3P4是圆O的内接正方形，P是

圆O上的任意点. 求证：22221234||||||||PPPPPPPP为定值. O P P1

P4 P3 8．如图，设P1，P2，P3，…，Pn，是圆O内接正n边形的顶点，P是圆O上的任意点，求证：22212nPPPPPP为定值.