正弦函数余弦函数

正弦函数、余弦函数的性质

【学习目标、细解考纲】

1.理解掌握什么是周期函数，函数的周期，最小正周期.

2.掌握正弦函数、余弦函数的周期性，周期，最小正周期.

3.掌握正弦函数，余弦函数的奇偶性、单调性.

4.会比较三角函数值的大小,会求三角函数的单调区间.

【知识梳理、双基再现】

1.对于函数f(x)，__________________，那么f(x)叫做周期函数，_______叫这个函数的周期.

2. _____________________叫做函数f(x)的最小正周期.

3.正弦函数，余弦函数都是周期函数，周期是_____________，最小正周期是___________.

4.由诱导公式__________________可知正弦函数是奇函数.由诱导公式___________________可知，余弦函数是偶函数.

5.正弦函数图象关于____________________对称，正弦函数是_____________.余弦函数图象关于________________对称，余弦函数是__________________.

6.正弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间_________________上都是减函数，其值从1减少到－1.

7.余弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间______________上都是减函数，其值从1减少到－1.

8.正弦函数当且仅当x＝___________时，取得最大值1,当且仅当x=_________________时取得最小值－1.

9.余弦函数当且仅当x＝______________时取得最大值1；当且仅当x=__________时取得最小值－1.

【小试身手、轻松过关】

1．.正弦函数sinx3y的周期是___________________________.

第1页 第2页 高一数学 学案

课题： 正弦函数、余弦函数的图像 课型：新授课 课时：1

一、学习目标：

1、能用诱导公式，平移正弦曲线获得余弦函数图象．

2、会用五点法画出正（余）弦函数图象．

重点： 正弦函数、余弦函数的图象．

难点： 将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点；正弦函数与余弦函数图象间的关系．

教 学 过 程

教学内容 设计意图

一．复习引入

正弦线：

余弦线：

正切线：

二．讲授新课

1．正弦函数的图象的几何作法

利用正弦线作出比较精确的正弦函数图象（其中]2,0[x）

第一步：先作单位圆，把⊙O1十二等分；

第二步：十二等分后得0,6, 3,2,„2等角，作出相应的正弦线；

第三步：将x轴上从0到2一段分成12等份(2≈6.28)；

第四步：取点，平移正弦线，使起点与x轴上的点重合；

第五步：用光滑的曲线把上述正弦线的终点连接起来，得y=sinx，x[0,2]的图象；

2、五点法作图

在精确度要求不是太高时，要作出]2,0[,sinxxy的图象，只需先找出五个关键点________，______，_______，________，__________，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到函数的简图，这种方法称为“五点作图法”．

3、正弦曲线

下面是正弦函数sinyx，xR图像的一部分

4、余弦曲线

由诱导公式六，)2sin(cosxxy，所以，可以通过将正弦函数Rxxy,sin的图象向左平移2个单位长度而得到．

说明：该图象称为“余弦曲线”．

探究：在函数xycos，]2,0[x的图象上的“五点”关键点：

_________,_________,_________,__________,__________．

正弦函数

正弦函数的y＝sinx在R上图像，下面根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？

1．定义域：y=sinx的定义域为R

2． 值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1（有界性）

再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y＝sinx的值域为[-1，1]

3．最值：1对于y＝sinx 当且仅当x＝2k＋2 ,kZ时 ymax＝1

当且仅当时x＝2k－2, kZ时 ymin＝－1

2当2k＜x＜(2k+1) (kZ)时 y＝sinx＞0

当(2k-1)＜x＜2k (kZ)时 y＝sinx＜0

4．周期性：（观察图象） 1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）

3这个规律由诱导公式sin(2k＋x)＝sinx也可以说明

结论：y＝sinx的最小正周期为2

5.奇偶性

sin(－x)＝－sinx (x∈R) y＝sinx (x∈R)是奇函数

6．单调性

增区间为[－2＋2kπ， 2＋2kπ]（k∈Z），其值从－1增至1；

减区间为[2＋2kπ， 23＋2kπ]（k∈Z），其值从1减至－1。 x －2 … 0 … 2 … π … 23

sinx －1 0 1 0 －1 x 6y

o --2345---1 

三角函数的正弦和余弦关系

三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何、物理、工程等领域中都具有广泛的应用。其中，正弦函数和余弦函数是最常见和基础的三角函数，它们之间存在着紧密的关系。

一、正弦和余弦的定义和性质

正弦函数和余弦函数是定义在单位圆上的函数。

在单位圆上，以原点为中心作一个半径为1的圆，对于任意一点P(x,y)，该点到x轴的距离为x，到y轴的距离为y，这时角OPx的弧度就是点P的角度。

定义:

对于单位圆上的任意一个点P(x, y)，它的角度为θ，则点P的正弦和余弦值分别定义为：

sinθ = y

cosθ = x

性质:

1. 在单位圆上，正弦值的取值范围在[-1, 1]之间，而余弦值的取值范围也在[-1, 1]之间。

2. 当角θ为0或2π的整数倍时，正弦值为0，余弦值为1。当角θ为π的奇数倍时，正弦值为-1，余弦值为0。 3. 对于任意的角θ，有sin^2θ + cos^2θ = 1，这一关系被称为三角恒等式。

二、正弦和余弦的图像特点

正弦函数和余弦函数的图像是周期性的波形图，其周期为2π。正弦函数的图像是一条上下振荡的曲线，而余弦函数的图像则是一条左右偏移的曲线。

1. 正弦函数图像特点：

正弦函数图像在θ = 0, π, 2π 等处过零点，即sin(0) = 0, sin(π) = 0,

sin(2π) = 0。

在θ = π/2, 3π/2 等处达到最大值1，即sin(π/2) = 1, sin(3π/2) = 1。

在θ = π, 2π 等处达到最小值-1，即sin(π) = -1, sin(2π) = -1。

2. 余弦函数图像特点：

余弦函数图像在θ = 0, 2π 等处达到最大值1，即cos(0) = 1, cos(2π)

= 1。

在θ = π/2, 3π/2 等处过零点，即cos(π/2) = 0, cos(3π/2) = 0。

在θ = π, 2π 等处达到最小值-1，即cos(π) = -1, cos(2π) = -1。