【2019最新】高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-3二倍角的正弦余弦正切公式

1 / 7【2019最新】高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-3二倍角的正弦余弦正切公式优化练习 二倍角的正弦、余弦、正切公式

[课时作业]

[A组 基础巩固]

1．计算sin 15°sin 30°·sin 75°的值等于( )

A.34 B.38

C.18 D.14

解析：原式＝12sin 15°·cos 15°＝14sin 30°＝18.

答案：C

2．若sin π6－α＝13，则cos 23π＋2α的值为( )

A．－13 B．－79

C.13 D.79

解析：cos 23π＋2α＝－cos π3－2α

＝－cos 2π6－α＝－1－2sin2π6－α

＝2sin2π6－α－1＝－79.

答案：B

3．tan 67°30′－1tan 67°30′的值为( )

A．1 B.2

C．2 D．4

解析：tan 67°30′－1tan 67°30′

＝tan267°30′－1tan 67°30′

2 / 7＝＝－2tan 135°＝2.

答案：C

4．函数y＝2cos2x－π4－1是( )

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π2的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数

D．最小正周期为π2的偶函数

解析：y＝2cos2x－π4－1

＝cos 2x－π2＝cos π2－2x＝sin 2x，

所以T＝2π2＝π，

又f(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，函数为奇函数．

答案：A

5．设sinπ4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )

A．－79 B．－19

C.19 D.79

解析：sinπ4＋θ＝22(sin θ＋cos θ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin 2θ)＝19，

∴sin 2θ＝－79.

答案：A

6．若2±3是方程x2－5xsin θ＋1＝0的两根，则cos 2θ＝________.

解析：由题意，2＋3＋(2－3)＝5sin θ，即sin θ＝45，所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝－725.

3 / 7答案：－725

7．已知tan x＝2，则tan 2x－π4＝________.

解析：∵tan x＝2，

∴tan 2x＝2tan x1－tan2 x＝－43.

tan 2x－π4＝tan2x－π2

＝sin2x－π2cos2x－π2

＝－cos 2xsin 2x＝－1tan 2x＝34.

答案：34

8．已知sin θ2＋cos θ2＝12，则cos 2θ＝________.

解析：由sin θ2＋cos θ2＝12，两边平方整理，得1＋sin θ＝14，

即sin θ＝－34，

cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×－342＝－18.

答案：－18

9．已知sin α＋cos α＝13，0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．

解析：∵sin α＋cos α＝13，

∴sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝19，

∴sin 2α＝－89且sin αcos α＝－49<0.

∵0<α<π，sin α>0，∴cos α<0.∴sin α－cos α>0.

∴sin α－cos α＝sin α－cos α2＝1－sin 2α＝173.

∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)

4 / 7＝13×(－173)＝－179.

tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717.

10．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)·cos(2x＋θ)为奇函数，且fπ4＝0，

其中a∈R，θ∈(0，π)．

(1)求a，θ的值；

(2)若fα4＝－25，α∈π2，π，

求sin α＋π3的值．

解析：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝π2，

所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2 cos2x)，

由fπ4＝0得－(a＋1)＝0，得a＝－1.

(2)由(1)得，f(x)＝－12sin 4x，因为fα4＝－12sin α＝－25，即sin α＝45，又α∈π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.

[B组 能力提升]

1．若|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是(

)

A．－105 B.105

C．－155 D.155

解析：因为5π2<θ<3π，|cos θ|＝15，

所以cos θ<0，cos θ＝－15，

因为5π4<θ2<3π2，

所以sin θ2<0.

5 / 7因为sin2θ2＝1－cos θ2＝35，

所以sin θ2＝－155.

答案：C

2．已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( )

A.43 B.34

C．－34 D．－43

解析：先利用条件求出tan α，再利用倍角公式求tan 2α.把条件中的式子两边平方，得sin2α＋4sin αcos α＋4cos2 α＝52，即3cos2α＋4sin αcos α＝32，

所以3cos2α＋4sin αcos αcos2α＋sin2α＝32，所以3＋4tan α1＋tan2α＝32，即3tan2α－8tan α－3＝0，

解得tan α＝3或tan α＝－13，所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－34.

答案：C

3．已知方程x2－tan α＋1tan αx＋1＝0的一个根是2＋3，则sin 2α＝________.

解析：由题意可知

(2＋3)2－sin

αcos α＋cos

αsin α(2＋3)＋1＝0，

即8＋43－sin2α＋cos2αsin αcos α(2＋3)＝0，

所以(2＋3)112sin 2α＝4(2＋3)，

所以sin 2α＝12.

答案：12

4．设cos 2θ＝23，则cos4θ＋sin4θ的值是________．

解析：cos4θ＋sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2cos2θsin2θ＝1－12sin22θ＝1－12(1－cos22θ)

6 / 7＝12＋12cos22θ＝12＋12×232＝1118.

答案：1118

5．已知向量p＝(cos α－5，－sin α)，q＝(sin α－5，cos α)，p∥q，且α∈(0，π)．

(1)求tan 2α的值；

(2)求2sin2α2＋π6－sin α＋π6.

解析：(1)由p∥q，

可得(cos α－5)cos α－(sin α－5)(－sin α)＝0，

整理得sin α＋cos α＝15.

因为α∈(0，π)，所以α∈π2，π，

所以sin

α－cos α

＝2－α＋cos α2＝75，

解得sin α＝45，cos α＝－35，故tan α＝－43，

所以tan 2α＝2tan

α1－tan2α＝247.

(2)2sin2α2＋π6－sin α＋π6

＝1－cos α＋π3－sin α＋π6

＝1－12cos α＋32sin α－32sin α－12cos α＝1－cos α＝85.

6．已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx,23cos ωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，

且ω∈12，1.

(1)求函数f(x)的最小正周期．

(2)若y＝f(x)的图象经过点π4，0，求函数f(x)在区间0，3π5上的取值范围．

解析：(1)f(x)＝a·b＋λ＝sin2ωx－cos2ωx＋23sin ωxcos ωx＋λ＝3sin 2ωx－cos 2ωx＋λ＝2sin 2ωx－π6＋λ，

7 / 7且直线x＝π是f(x)的图象的一条对称轴，

所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，

所以ω＝k2＋13.

又因为ω∈12，1，所以ω＝56，

所以f(x)的最小正周期为6π5.

(2)y＝f(x)的图象经过点π4，0，

所以fπ4＝0，

即λ＝－2sin 2×56×π4－π6＝－2sin π4＝－2，

则f(x)＝2sin 53x－π6－2，又x∈0，3π5，

则53x－π6∈－π6，5π6，所以函数f(x)在区间0，3π5上的取值范围为

[－1－2，2－2].