2018年秋高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

学习目标：1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(易错点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式

记法 公式

S2α sin 2α＝2sin_αcos_α

C2α cos 2α＝cos2α－sin2α

T2α tan 2α＝2tan α1－tan2α

2．余弦的二倍角公式的变形

3．正弦的二倍角公式的变形

(1)sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α.

(2)1±sin 2α＝(sin_α±cos_α)2.

[基础自测]

1．思考辨析

(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )

(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )

(3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．(

)

[解析] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋kπ(k∈Z)且α≠±π4＋kπ(k∈Z)，故此说法错误．

(2)√.当α＝kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α.

(3)×.当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α.

[答案] (1)× (2)√ (3)×

2．sin 15°cos 15°＝________.

14 [sin 15°cos 15°＝12×2sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.]

3．12－cos2π8＝________.

2 －24 [12－cos2π8＝12－1＋cosπ42＝12－12－12×22＝－24.]

4．若tan θ＝2则tan 2θ＝________.

－43 [tan 2θ＝2tan θ1－tan2θ＝2×21－22＝－43.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

给角求值

(1)cosπ7cos3π7cos5π7的值为(

)

A．14 B．－14

C．18 D．－18

(2)求下列各式的值：

①cos415°－sin415°；②1－2sin275°；③1－tan275°tan 75°；

④1sin 10°－3cos 10°.

【导学号：84352329】

(1)D [(1)∵cos3π7＝－cos4π7，cos5π7＝－cos2π7，

∴cosπ7cos3π7cos5π7＝cosπ7cos2π7cos4π7＝8sinπ7cosπ7cos2π7cos4π78sinπ7＝4sin2π7cos2π7cos4π78sinπ7＝2sin4π7cos4π78sinπ7＝sin8π78sinπ7＝－18.

(2)①cos415°－sin415°＝(cos215°－sin215°)(cos215°＋sin215°)＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝32.

②1－2sin275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－32.

③1－tan275°tan 75°＝2×1－tan275°2tan 75°

＝2×1tan 150°＝－23. 3 ④1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°

＝212cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°

＝－cos 32sin 10°cos 10°

＝4sin 20°sin 20°＝4.]

[规律方法] 对于给角求值问题，一般有两类：

直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.

若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.

[跟踪训练]

1．求下列各式的值

(1)cos 72°cos 36°；

(2)1sin 50°＋3cos 50°.

[解] (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.

(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°

＝212cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°

＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.

给值求值、求角问题

(1)已知cosα＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos2α＋π4的值；

(2)已知α∈－π2，π2，且sin 2α＝sinα－π4，求α.

4 [思路探究] 依据以下角的关系设计解题思路求解：

(1)α＋π4与2α＋π2，α－π4与2α－π2具有2倍关系，用二倍角公式联系；

(2)2α＋π2与2α差π2，用诱导公式联系．

[解] (1)∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4.

∵cosα＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4，

∴sinα＋π4＝－1－cos2α＋π4＝－1－352＝－45，

∴cos 2α＝sin2α＋π2＝2sinα＋π4cosα＋π4＝2×－45×35＝－2425，

sin 2α＝－cos2α＋π2＝1－2cos2α＋π4＝1－2×352＝725，

∴cos2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝22×－2425－22×725＝－31250.

(2)∵sin 2α＝－cos2α＋π2＝－2cos2α＋π4－1

＝1－2cos2α＋π4，

sinα－π4＝－sinπ4－α

＝－cosπ2－π4－α

＝－cosπ4＋α，

∴原式可化为1－2cos2α＋π4

＝－cosα＋π4，

解得cosα＋π4＝1或cosα＋π4＝－12.

∵α∈－π2，π2，

∴α＋π4∈－π4，3π4，

故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3， 5 即α＝－π4或α＝5π12.

母题探究：1.在例2(1)的条件下，求sin 4α的值．

[解] 由例2(1)解析知sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×725×－2425＝－336625.

2．将例2(1)的条件改为sinπ4－x＝513，0＜x＜π4，求cos 2xcosπ4＋x的值．

[解] ∵0＜x＜π4，∴π4－x∈0，π4.

又sinπ4－x＝513，

∴cosπ4－x＝1213.

又cos 2x＝sinπ2－2x

＝2sinπ4－xcosπ4－x

＝2×513×1213＝120169，

cosπ4＋x

＝sinπ2－π4＋x

＝sinπ4－x＝513，

∴原式＝120169513＝2413.

[规律方法] 解决条件求值问题的方法

有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.

当遇到\f(π,4)±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.

cos 2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x.

类似的变换还有：

6 cos 2x＝sinπ2＋2x＝2sinπ4＋xcosπ4＋x，

sin 2x＝cosπ2－2x＝2cos2π4－x－1，

sin 2x＝－cosπ2＋2x＝1－2cos2π4＋x等.

化简证明问题

[探究问题]

1．解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？

提示：通常要切化弦后再进行变形．

2．证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？

提示：由复杂一侧向简单一侧推导．

(1)化简：1tan θ＋1＋1tan θ－1＝________.

(2)证明：3tan 12°－3212°－＝－43.

[思路探究] (1)通分变形．

(2)切化弦通分，构造二倍角的余弦→二倍角的正弦→约分求值

(1)－tan 2θ [(1)原式＝tan θ－1＋tan θ＋1θ＋θ－＝2tan θtan2θ－1＝－2tan θ1－tan2θ＝－tan 2θ.

(2)左边＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°212°－

＝2312sin 12°－32cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°

＝23－sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°

＝－43＝右边，所以原等式成立．]

[规律方法] 证明三角恒等式的原则与步骤

观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.

证明恒等式的一般步骤：

①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；

②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消