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第一节特征值与特征向量仲恺农业工程学院

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特征值与特征向量

特征值与特征向量

的概念.
定义 7.3.1 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的一个
线性变换，如果对于数域 P 中一个数 0 ，存在一
个非零向量 ，使得
A = 0 .
那么 0 称为 A 的一个特征值，而 称为 A 的属 于特征值 0 的一个特征向量.
这里需要注意，特征值 0 是数域 P 中的数量,
换在这组基下矩阵的特征多项式的根. 随着基的不 同，线性变换的矩阵一般是不同的. 但是这些矩阵 是相似的。
的 n 个特征值( k 重特征值算作 k 个特征值) , 则
(1) 1 + 2 + … + n = a11 + a22 + … + ann ; (2) 12 …n = |A|.
证 由行列式的定义可知, 矩阵 A 的特征多
项式
a11
a21 E A an1
a12 an 2
于 0 的特征向量 . 因为从 A = 0 可以推出
A (k ) = 0 (k ) . 这说明特征向量不是被特征值唯一决定的. 相反， 特征值却是被特征向量所唯一决定，因为一个特 征向量只能属于一个特征值.
三、求法
设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，1 , 2 , … ,
上式可进一步变形成
x01 x02 (0 E A) 0. x 0n
这说明特征向量 的坐标 (x01 , x02 , … , x0n ) 满足 齐次方程组 ( 0E - A ) X = 0 . 由于 0，所以它的坐标 x01 , x02 , … , x0n 不全为
它的特征多项式为
sin . cos
cos sin 2 2 cos 1 . sin cos

计算方法第七章(特征值与特征向量)

计算方法第七章(特征值与特征向量)

( j p, q) i 1, 2, , n
最后，雅可比方法的计算步骤可以归纳为： （1）确定非对角绝对值最大元位置（p，q），并计算sin和 cos的值； （2）计算迭代矩阵的元素；
（3）计算特征向量；
（4）与计算精度进行比较，以决定第三节 QR 分解方法 3.1 QR 分解 设 u 为n维实单位向量，称下面矩阵为Householder矩阵：
则
(2) (3) 1 a12 a13 (3) a 2 23 (3) Q2 A1 Q2Q1 A a33 (3) 0 a 3n
埃特金加速： 可以证明：乘幂法线性收敛
mk 1 1
2 mk 1 1
2 1
[ zk 1 10 ] i [ zk 10 ] i
2 1
称为收敛率
由于
zk
线性收敛于 x1 ，于是可以对之进行埃特金加速，
( zk )i ( zk 2 )i ( zk 1 )i2 Wi ( zk )i 2( zk 1 )i ( zk 2 )i
, a
(k) pq
0
第 k 步迭代矩阵的元素为：
a a a
(k ) pj
a a
( k 1) pj
cos a
2
( k 1) qj
sin a
(k ) jp
(k ) k 1) ( k 1) k) aqj a (pj sin aqj cos a (jq ( j p, q ) (k ) pp ( k 1) pp
cos 2a a
( k 1) pp
(k 1) pq
sin cos a
( k 1) pq
(k 1) qq

《线性代数》矩阵的特征值与特征向量

《线性代数》矩阵的特征值与特征向量

《线性代数》矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念。

在许多实际问题的分析和求解中，特征值和特征向量扮演着重要的角色。

本文将从定义、性质和应用三个方面来详细介绍矩阵的特征值与特征向量。

一、定义给定一个n阶方阵A，若存在非零向量x和标量λ，使得满足以下等式：Ax=λx则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。

特征向量是描述线性变换的方向，在变换过程中保持方向不变，特征值是对应于特征向量的缩放因子。

二、性质1.特征值与特征向量的存在性和唯一性对于n阶方阵A，它一定存在n个特征值，但不一定有n个线性无关的特征向量。

每个特征值对应的特征向量也不一定唯一2.特征值的性质（1）特征值的和等于方阵的迹，即λ1 + λ2 + ... + λn =tr(A)。

（2）特征值的积等于方阵的行列式，即λ1 * λ2 * ... * λn = det(A)。

3.特征向量的性质（1）对于同一个特征值λ，存在无穷多个线性无关的特征向量。

（2）特征向量的线性组合仍然是一个特征向量。

三、应用矩阵的特征值与特征向量在多个学科和领域中都有广泛的应用。

1.物理学在量子力学中，特征值与特征向量的概念被用来描述量子态和量子测量。

2.工程学在结构力学中，特征值与特征向量可以用来分析弹性体的振动频率和振动模态。

3.数据分析特征值与特征向量可以用于主成分分析（PCA），以降低数据的维度并提取最重要的特征。

4.图像处理特征值与特征向量可以用于图像压缩和图像恢复等领域。

5.机器学习在机器学习算法中，特征值与特征向量可以用于降维、分类和聚类等任务。

总结：矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，具有很多实际应用。

通过特征值与特征向量，我们可以分析矩阵的性质、求解特征方程、降低数据维度等。

理解和掌握矩阵的特征值与特征向量对于深入理解线性代数以及在实际问题中的应用都具有重要意义。

矩阵的特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量

综上所述,求矩阵A的特征值及特征向量的 步骤如下: 第一步 计算矩阵A特征多项式| lI A| ; 第二步 求出矩阵A的特征方程| lI A|=0的全部 根,即求得A的全部特征值l1， l1，--- ln，(其中可 能有重根）
第三步 对于A的每个特征值li ,求出对应的齐 次线性方程组 （ li I A）X=0的一个基础解系.
(1) 2 3 2 1
(1) 2/(1) 3 (1) 2 3 (2) 2/ 2 3 2 2 3
例7 主对角线上的元素为l1，l2---ln的n阶对角 矩阵或三角形矩阵A的n个特征值就是其主对角 线上的n个元素l1，l2---ln
定理4 n阶方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值 证明 转置矩阵AT的特征多项式为 | lI AT |
m=1时 X1≠0 显然成立 设 m=s-1时 X1 X2 Xs-1线性无关 现证明 m=s时 X1 X2 Xs线性无关 设有常数k1 k2 ks 使 k1X1k2X2 ks Xs0
A (k1X1k2X2 ks Xs)0
l1k1X1l2k2X2 lsks Xs0
l1k1X1l2k2X2 lsks Xs0
由即（x2(42I )x3A当)其l基1000础l210解=14系101解可 齐取次为000线性100 方00程1组得(x42
I A) X x3 0
0
则X矩1 阵 xxxA132 对 应100于 特X征2 值 xxxl1321l2110=4的全体特征向量为
C1X1 C2 X 2 (C1, C2不全为零 0)
X i1, X i2 , X i3,... X is
矩阵A对应于特征值li 的全部特征向量为
C1 X i1 C2 X i2 C3 X i3 ... Cs X is

毕业论文矩阵的特征值与特征向量的求法及其关系

毕业论文矩阵的特征值与特征向量的求法及其关系

毕业论文矩阵的特征值与特征向量的求法及其关系矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

在毕业论文中，研究矩阵的特征值和特征向量是非常具有意义的。

一、特征值与特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在数值λ和非零向量x，使得下式成立：Ax=λx其中，λ称为矩阵A的特征值，x称为矩阵A的特征向量。

二、求解特征值与特征向量的方法1.特征值的求解：要求解矩阵A的特征值，可以通过以下步骤进行：(1) 解特征方程 det(A-λI) = 0，其中I为单位矩阵。

(2)求解得到的特征方程所对应的λ的值，即为矩阵A的特征值。

2.特征向量的求解：已知矩阵A的特征值λ后，可以通过以下步骤求解矩阵A的特征向量：(1)将特征值λ代入到方程(A-λI)x=0中，并求解该齐次线性方程组。

(2)求得的非零解即为矩阵A的特征向量。

三、特征值与特征向量的关系1.特征向量之间的关系：若x1和x2分别是矩阵A相应于特征值λ1和λ2的特征向量，则对于任意实数k1和k2，k1x1+k2x2也是矩阵A相应于特征值λ1和λ2的特征向量。

2.特征值的性质：(1)矩阵A与其转置矩阵AT具有相同的特征值。

(2)对于方阵A和B，若AB=BA，则矩阵A和B具有相同的特征值。

3.特征向量的性质：(1)对于方阵A的任意特征值λ，与其对应的特征向量构成的集合形成一个向量子空间，称为A的特征子空间。

(2)若特征值λ的重数为m，则与λ相关联的特征向量的个数至少为m个。

四、应用举例特征值和特征向量在实际问题中具有广泛的应用，包括：(1)矩阵的对角化：通过矩阵的特征值和特征向量，可以将矩阵对角化，简化问题的求解。

(2)矩阵的谱分解：将矩阵表示为特征值和特征向量的线性组合形式，用于求解矩阵的高次幂和逆。

(3)矩阵的奇异值分解：奇异值分解是特征值分解的推广，能够对非方阵进行分解，用于降维和数据压缩等问题。

总结：矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。

特征值与特征向量的概念

特征值与特征向量的概念

4
1
3 λ
1 2 λ = (2 λ) = (2 λ)(λ2 λ 2) 3λ 4 = (λ + 1)(λ 2)2 , 所以 的特征值为 1 = 1, λ2 = λ3 = 2. A λ
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( 当λ1 = 1 , 解方程 A+ E)x = 0. 时 由 1 1 1 1 0 1 A+ E = 0 3 0～ 0 1 0 . 4 1 4 0 0 0 1 p 得基础解系 1 = 0, 1 λ k 所以对应于 1 = 1 的全部特征向量为p1(k ≠ 0).
§2 方阵的特征值与特征向量
★特征值与特征向量的概念 ★特征值与特征向量的求法
在工程技术中的一些问题常可归纳为求一 个方阵的特征值及特征向量, 个方阵的特征值及特征向量,本节将介绍相应 的特征值理论. 的特征值理论.
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特征值与特征向量的概念
定义6 设A是 n 阶方阵,如果数 λ 和 n 维非零 定义 是 阶方阵, 列向量 x 使关系式 Ax = λ x (1) 成立,那么, 称为方阵A 成立,那么,这样的数 λ 称为方阵 的特征值 ,非零 称为A 特征向量. 向量 x 称为 的对应于特征值 λ 的特征向量. (1) 式也可以写成如下形式: 式也可以写成如下形式: ( A- λ E ) x = 0 - (2)
1 所以特征向量可取: 所以特征向量可取: p1 = . 1
则对应于特征值 1 = 2 的全部特征向量为 λ k1 p1(k1 ≠ 0).
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当λ2 = 4时, 解方程组 3 4 1 x1 0 ( A λ2 E)x = 1 3 4 x = 0, 2
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, ( λ 当 2 = λ3 = 2时 解方程 A 2E)x = 0. 由 1 4 1 1 1 4 A 2E = 0 0 0～ 0 0 4 1 1 0 0 1 1 4 4 p 得基础解系 2 = 1 , p3 = 0 . 0 1 1 4 0 , 0

矩阵特征值与特征向量

矩阵特征值与特征向量

矩阵特征值与特征向量在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念。

它们在很多数学和工程领域都有广泛的应用。

本文将详细介绍矩阵特征值和特征向量的定义、性质以及计算方法。

一、特征值与特征向量的定义1. 特征值：对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为一个常数，那么k就是矩阵A的特征值。

我们可以把这个等式改写为(A-kI)X=0，其中I是单位矩阵。

这样，求解特征值就等价于求解矩阵(A-kI)的零空间。

2. 特征向量：特征向量是与特征值相对应的非零向量。

对于一个特征值k，其对应的特征向量X满足AX=kX。

二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。

2. 特征值的个数等于矩阵A的阶数。

特征值可以是实数或复数。

3. 特征向量可以乘以一个非零常数得到一个新的特征向量。

4. 如果矩阵A是实对称矩阵，那么其特征值一定是实数。

如果矩阵A是正定或负定矩阵，那么其特征值一定大于0或小于0。

5. 特征向量相互之间线性无关。

三、特征值与特征向量的计算方法1. 求特征值：求解特征值的常用方法是求解矩阵A的特征多项式的根。

特征多项式的形式为|A-kI|=0，其中|A-kI|表示矩阵A-kI的行列式。

2. 求特征向量：已知特征值k后，将k代入(A-kI)X=0即可得到特征向量。

可以使用高斯-约当消元法或者迭代法来求解。

四、矩阵特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量广泛应用于机器学习和数据分析领域。

在主成分分析（PCA）中，我们可以通过计算数据的协方差矩阵的特征向量来实现数据降维和特征提取。

2. 特征值与特征向量也在图像处理和信号处理中有许多应用。

例如，在图像压缩算法中，我们可以利用矩阵的特征值和特征向量来实现图像的降噪和压缩。

3. 特征值和特征向量还可以应用于动力系统的稳定性分析。

通过求解动力系统的雅可比矩阵的特征值，我们可以判断系统的稳定性和临界点的类型。

矩阵的特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中一个重要的概念，而矩阵的特征值与特征向量则是矩阵理论中的基本概念之一，它们在科学计算、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

本文将对矩阵的特征值与特征向量进行详细的介绍。

一、特征值与特征向量的定义在矩阵理论中，给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零n维向量x，使得Ax与x线性相关，即满足下式：Ax = λx其中，λ为非零常数，称为矩阵A的特征值；而向量x称为矩阵A 对应于特征值λ的特征向量。

从定义中可以看出，特征向量并不唯一，一个特征值可以对应多个特征向量，且特征值和特征向量是成对存在的。

二、求解特征值与特征向量的方法求解一个矩阵的特征值与特征向量可以使用多种方法，其中比较常用的有特征值问题的特征多项式法和幂法。

1. 特征多项式法特征多项式法是一种较为直观的方法，其基本思想是通过解矩阵的特征方程来求解特征值。

对于一个n阶方阵A，其特征方程可以表示为：|A-λI| = 0其中，I是n阶单位矩阵，λ是一个未知量。

解特征方程可以得到矩阵A的所有特征值。

解特征方程得到特征值后，再带入Ax = λx中，可以求解对应的特征向量。

2. 幂法幂法是一种迭代的方法，通过不断迭代矩阵的幂次来逼近特征值和特征向量。

算法的基本思想是：(1)选择一个任意的非零向量x0；(2)计算x1 = Ax0；(3)计算x2 = Ax1；......(4)迭代到某一步，得到xk与x(k-1)之间的变化很小时，停止迭代。

在迭代过程中，向量x逐渐趋近于特征向量，而矩阵B = A^k中的最大特征值则逐渐趋近于特征值，因此可以通过幂法来估计特征值与特征向量。

三、特征值与特征向量的性质矩阵的特征值和特征向量具有多个重要性质。

1. 特征值的性质（1）特征值的个数等于矩阵的阶数n；（2）特征值的和等于矩阵的迹（即主对角线上元素之和）；（3）特征值的积等于矩阵的行列式；（4）特征值具有可交换性，即两个矩阵AB和BA具有相同的特征值。

0第5章 特征值及特征向量

0第5章 特征值及特征向量

(6) A与B相似, 则 ( A) 与 (B ) 相似;
( t ) a0 a1t am t m 其中
(7) A与B相似, 且A可逆, 则 A1 与 B 1 相似。
例1
2 2 0 0 A 0 0 1 与 B 0 1 x
( E A) X 0 (2)
是 A 的特征值 使得(2)有非零解 E A 0
(2)的所有非零解向量都是对应于 的特征向量.
分析
Ax x A E x 0 或 E A x 0 已知 x 0, 所以齐次线性方程组有非零解
回答问题
(1) 向量 0 满足 A ,
0 是 A 的特征向量吗？
(2) 实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗? (3) 矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值______.
E A 0 或
A 12 n
(4) A 0 ，A 有一个特征值为______.
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法
一、特征值与特征向量的定义 定义1 设 A 是 n 阶方阵，
若数 和 n维非零列向量 X，使得
注意
AX X 成立，则称 是方阵 A 的一个特征值， X 为方阵 A 的对应于特征值 的一个特征向量。 （1） A 是方阵
第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.
2
A E
0 4
2 1 2 0 (2 ) 4 3 1 3
1
1
( 2) 2 ( 1)
特征值为 1 1, 2 3 2. 第二步：对每个特征值

线性代数中的特征值与特征向量求解方法

线性代数中的特征值与特征向量求解方法

线性代数中的特征值与特征向量求解方法线性代数是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学、计算机科学等。

在线性代数中，特征值与特征向量是非常重要的概念，它们在矩阵的变换和矩阵的性质研究中起到了关键的作用。

一、特征值与特征向量的定义在矩阵A中，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx成立，其中k为一个常数，则称k为矩阵A的特征值，x为对应于特征值k的特征向量。

特征值与特征向量是矩阵在线性变换下的重要性质，它们描述了矩阵变换的规律和特点。

二、特征值与特征向量的求解方法1. 特征值与特征向量的几何解释特征值与特征向量的求解方法有很多种，其中一种直观的方法是通过几何解释来理解。

对于一个二维矩阵A，特征向量可以看作是矩阵A对应的线性变换下的不变方向，而特征值则表示了在这个不变方向上的缩放因子。

通过对特征向量进行缩放，就可以得到相应的特征值。

2. 特征值与特征向量的代数解法除了几何解释外，还有一种常用的方法是通过代数的方式求解特征值与特征向量。

这种方法基于矩阵的特征方程，即|A-kI|=0，其中I为单位矩阵，k为特征值。

通过解特征方程，可以得到矩阵A的特征值。

然后，将特征值代入到方程(A-kI)x=0中，解得特征向量。

3. 特征值与特征向量的数值解法除了代数解法外，还有一种常用的数值解法是通过数值计算的方式求解特征值与特征向量。

这种方法基于矩阵的特征值分解，即将矩阵A分解为A=QΛQ^-1的形式，其中Q为正交矩阵，Λ为对角矩阵。

通过对矩阵A进行相似变换，可以得到特征值与特征向量的数值近似解。

三、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在线性代数中有着广泛的应用。

其中一种应用是在矩阵的对角化中，通过特征值与特征向量的求解，可以将矩阵对角化，从而简化矩阵的计算和分析。

另外，特征值与特征向量还可以用于求解线性方程组的特解和齐次解，以及矩阵的幂运算和矩阵的指数函数等。

总结：特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，它们描述了矩阵在线性变换下的重要性质。

6-1特征值与特征向量

6-1特征值与特征向量

成为对角矩阵。
1 1 取向量 1 ， 2 , 1 1
1与 2正交, 将其单位化，
1 e1 1
1 1 2 2 2 , e2 1 2 1 2 2
(2) f ( x ) a m x m a1 x a 0 , f ( )是 f ( A ) a m A a1 A a 0 I 的特征值 .
m
性质6.1.3 若数λ为可逆阵Ａ的一个特征值，
1 A 1 则 为 的特征值, 为 A A 的特征值．
ann
Ａ的特征多项式
I A x 0 的解空间称为λ的特征子空间.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
二、求特征值与特征向量的一般步骤
(1) 求出 | I A | 0 在复数范围内的全部特征值
1 , 2 , , n , 重根按重数计算。
(2)对于 A的特征值i , 求出
特别注意：
1. 特征向量是非零向量； 2. 属于同一特征值的特征向量不唯一； 3.属于不同特征值的特征向量是不同的； 因为, 如果x是对应于不同特征值 1 , 2 1 2
的特征向量, 即有
Ax 1 x, Ax 2 x 1 x 2 x 1 2 x 0, 由于1 2 0, 所以 x 0, 矛盾.

定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 tr A aii i . 推论1 n阶方阵Ａ可逆(不可逆)
Ａ的n个特征值全不为零(至少有一个为零).
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
性质6.1.2 设λ为方阵A的一个特征值，则
(1) m 是 A m 的特征值。

第一节 矩阵的特征值与特征向量

第一节 矩阵的特征值与特征向量

2. 特征值与特征向量的求法
Ax = λ x ⇒ ( A − λ E ) x = 0 或 ( λ E − A) x = 0
已知
x ≠ 0, 所以齐次线性方程组有非零解
⇔ A− λE = 0 或 λE − A = 0
定义2： An×n 定义 ：
= aij
( )
λE − A =
, 数λ n×n λ − a11 − a12 L − a 21 λ − a 22 L
*
(
−1
的特征值。 ) 的特征值。
B = A2 − 3 A + E 的特征值和 B 的特征值为1,2,3，求 例： 设矩阵 A 的特征值为 ，
1 −1 1 例：设 A = 2 − 2 2 −1 1 −1 求： （1） A 的特征值和特征向量。 ） 的特征值和特征向量。
x1 = x 2 − x 3
A
1 −1 1 1 − 1 1 = 2 − 2 2 → 0 0 0 − 1 1 − 1 0 0 0
自由未知量: 自由未知量 x 2 , x 3
−1 1 p1 = 0 , p2 = 1 得基础解系 1 0
它的基础解系， 任意 n 个线性无关的向量都是 它的基础解系， 1 0 0 0 1 0 L 取单位向量组 ε 1 = ， ε 2 = ， ， ε n = M M M 0 0 1 作为基础解系。 作为基础解系。
解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值 第一步：写出矩阵 的特征方程 求出特征值. 的特征方程，
−1 − λ A− λE = −4 1 2 ( 2 − λ ) ( λ − 1) = 0

特征值特征向量

特征值特征向量

二、特征值与特征向量的求法
(1) 令 A − λ I = 0, 求出λi
(2)对每个λi , 令( A − λi I ) x = 0, 求出基础解系ξ1 , ..., ξ t ,
则对应于λi的全部特征根为: x = c1ξ1 + Biblioteka .. + ct ξ t .
注: 1) 特征向量不唯一; 2）λi 对应的特征向量不构成向量空间
T
当λ2,3 = 1 时, 解方程 ( A − 1 ⋅ I ) x = 0, 得
基础解系
ξ 2 = ( −1, −2,1)
T
∴ λ2,3 = 1的特征向量为: kξ 2 , k ≠ 0, k ∈ R
显然， 显然，ρ λ2 = 1 ≤ 2 = mλ2 .
− 2 1 1 的特征值与特征向量． A 例３ 设 = 0 2 0 , 求A 的特征值与特征向量． − 4 1 3
(少了个0向量).
λi的特征子空间=λi的特征向量+零向量
即为(A − λi I ) x = 0的解空间,记为N(A − λi I )
dim ( N ( A − λi ) ) 称为λi的几何重数, 记为ρ λi
称λi 在f (λ ) = 0的重数为代数重数,记为mλi
(代 数 重 数 ≥ 几 何 重 数 )
3. 方阵A与A 的特征值相同，
T
但 特 征 向 量 却 未 必 一 样.
0 0 A= , λ1,2 = 0, 1 0 0 x = c 1
0 1 A= , λ1,2 = 0, 0 0
1 x = c 0
4. 设 Ax = λ x , 且 A 可逆，则 可逆，
∴ y j T Axi = y j T λi xi , xi T AT y j = xi T λ j y j

4-1方阵的特征值与特征向量

4-1方阵的特征值与特征向量
Henan Agricultural University
−2 1 1 例3 求矩阵 A= 0 2 0的特征值和特征向量. −4 1 3 解 A的特征多项式为
λ+2 λE − A =
0 4 −1 −1 0 = (λ + 1)(λ − 2) 2 λ −2 −1 λ − 3
所以A的特征值为λ1=−1, λ2=λ3=2. 对于λ1=−1, 解方程(−E−A)x=0,得基础解系p1=(1, 0, 1)T, 所以对应于λ1=−1的全部特征向量为k1p1(k1≠0). 对于λ2=λ3=2, 解方程(2E−A)x=0, 得基础解系 p2=(0, 1, −1)T, p3=(1, 0, 4)T, 所以对应于λ2=λ3=2的全部特征向量为k2 p2+k3 p3 (k2,k3不全为0).
把上列各式合写成矩阵形式, 得
1 (x1 p , x2 p2, ⋅⋅⋅, xm pm) 1 1 ⋅⋅⋅ 1
Henan Agricultural University
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ λm ⋅⋅⋅ λm−1 m
m λ1 ⋅⋅⋅ λ1 1 m−1 λ2 ⋅⋅⋅ λ2 =(0, 0, ⋅⋅⋅, 0) .
λ(p1+p2)=λ1p1+λ2p2, 即(λ1−λ)p1+(λ2−λ)p2=0.
因为λ1≠λ2, 按定理2知p1, p2线性无关, 故由上式得
复习 第三章
1. 线性方程组解的高斯消元法； 线性方程组解的高斯消元法； 2. 向量组的极大线性无关组； 向量组的极大线性无关组； 3. 向量空间的基和维数 4. 齐次线性方程组解的结构
Henan Agricultural University
第四章 相似矩阵

线性代数 第五章第一节 矩阵的特征值与特征向量

线性代数 第五章第一节 矩阵的特征值与特征向量
0 1 1 A 1 0 1 1 1 0
第一步：写出矩阵A的特征方程，求出全 部特征值（注明重数）.
解
l 1 1 lE A 1 l 1 (l 2)( l 1) 2 1 1 l
l 代入齐次线性方程组
所以A的特征值为 l1 2, l2 l3 1.
第二步：对每个特征值
2 1 1 2 1 1 2 E A 1 2 1 1 2 1 1 1 2 0 0 0
A l E x 0, 求基础解系。 当l1 2 时,解方程组 (2 E A) x 0 . 由
1 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
故l0 是矩阵A 的特征值, 且X 0是A
1
1
1
对应于l0 的特征向量.
1
如何求得矩阵A的特征值和特征 向量呢? 式子AX=lX(lE-A)X=0. 由于X是非零向量, 故齐次线性方 程组(lE-A)X=0有非零解, 而这等 价于 |λE-A|=0.
定义 称
为A的特征多项式, 它是以l为未知数的一 元n次多项式, 也记为f(l). 称|lEA|=0为A的特征方程. λE-A称为A的 特征矩阵。
若l0，使得 A（X 1 X 2） l0 X 1 X 2） （
则有
（l1 l0）X 1 l2 l0）X 2 0 （
A左乘 λ1左乘
式两端：l1 l0）l1 X 1 l0 l2）l2 X 2 0 （ （ （ （ 式两端：l1 l0）l1 X 1 l0 l2）l1 X 2 0
（l0 l2）l2 X 2 l0 l2）l1 X 2 （
l2 l1 , X 2 0
l0 l2
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第一节特征值与特征向量仲恺农业工程学院
授课标题：第一节特征值与特征向量
教学目的：掌握方阵的特征值和特征向量的概念和求法. 教学重点：掌握方阵的特征值和特征向量的求法.
教学难点：方阵特征向量的求法.
课时布置：3学时.
授课方式：多媒体与板书结合.
教学基本内容:
§4.1特征值与特征向量
1定义1设A是“阶方阵，假设存在数兄和"维非零列向量x,使得
Ax = Ax（1）
成立，那么称几是方阵A的特征值，x是A的属于特征值几的特征向量.
注1.只对方阵有这样的宦义，而且特征向量必需是非零向量.
2.（1）成立o—= 0有非零解.O RE-A|=0.
\AE-A\称为A特征多项式.\AE-A\= 0称为A特征方程.
2矩阵特征值、特征向量的计算步骤：
1.解特征方程|2E-A|=0；求岀特征根，即A的特征值人，则，…"”由于特征方程是关于；I的”次代数方程，所以在计算行列式值写出特征多项式（几的”次多项式）时，应尽能够写成低次因式乘积的方式以便解特征方程.
2.对每个特征值解齐次线性代数方程组（A-A i E）x = O.求出其基础解系，即为矩阵A属于特征值人的特征向量.
矩阵A属于人的线性有关特征向量的个数有n_R（A_入E）个，即为（A-&E）x = O 解空间N（A-几£）的维数，常称N （A-^E）为矩阵A属于特征值人的特征子空间（其中任一非零向量皆为A属于人的特征向量.
注以上由泄义导岀的普通计算方法，在特征值求特征向量或特征向量求特征值的状况下都会失掉简化.
例1求以下矩阵的特征值和特征向量：
并问它们的特征向虽:能否两两正交?
故A 的特征值为人=2,心=3.
②事先人=2,解方程（A — 2E ）x = 0,由
所以£出伙严0）是对应于人=2
的全部特征值向量.
事先人=3,解方程（A — 3E ）x = 0,由
"一2
(2 M
(A-3E) = \ 2 1丿
\得基础解系巴=
"2 1 1丿
所以k 2P 2（k 2丰0）是对应于A=3的全部特征向咼.
1-2
2 3 ⑵ ①
|4一2可=2
1-2 3 =-2(/1+ 1)(2-9),
3
3
6-A
故A 的特征值为人=0厶=一1，人=9・
②事先人=0.解方程Ar = 0.由
"1 2 3)
5 2 3、
A = 2 1
3
0 1 1
得基础解系P\ = -1
<3 3 6,
<0 0
0丿
' 1丿
故&出伙|工0）是对应于人=0的全部特征值向量.
事先易=一1,解方程（A + E ）x = 0,由
(1)
r -r 、2 4丿
(-1 -r
r
i r
U 2,
、0 0丿 (A 一 2E)=
得基础解系
1-2 2
-1 4-2
=（几一2）（兄一3）,
_ 1
[片/]=片乜=（71） 一㊁ 1丿
3
=尹。

，故冒不正交.
丫 2 2 3、
〔2 2 3、
A + E =
2 2 3
0 0 1
得基础解系均=
1
<3 3 7,
3 o o y
3
故心鬥伙2 HO ）是对应于§ =-1的全部特征值向量.
1/2
[^,PJ = P,77> =（-1-1,1） 1/2 =0,所以 P\、P 】、P\ 两两正交.
1
=Z _ 才I （a ： + a ： + ・・・ + a ；）=才,"2 _ （a ： + a j + …+
a ：）]
+ ci ； + •…+ a ； =〉: 6/~ = ^3 = •…=几” =0 ・
‘-8 2
3 ）
'1 1 -「 ■ A-9E =
2-8
3
0 1 --
2
<3
3
-3J
〔0 0 0 ）
事先人=9,解方程（A-9E ）x = 0,
由
故k 、Pg 丰0）是对应于^=9的全部特征值向量.
卩/2
得基础解系耳=1/2
（A 一 AE ）= 一斫一斫一…一4
―、
'1/2
出,巴】=用P 严IT 」）
1 =0,甩出］=£。

产（一1,1,0） 1/2
、0丿
_ 1
=0,
50 0
初等行变换0 5 …0—a“
厶
:・.:■取X
n为自在未知量，并令
x n = a…，设
00 …d”_(I H-1
<00 •…00 J
Xj = a},x2=©，…兀一i =©」・故基础解系为A =
事先人=心=…=人=0 ,
'af a t a2/
匕a2
、
… y
(A-0-£)=
…(l2a n初等行变执
/w
00 0
卯1 a n a l---
00 0
( 、/ \
_勺/ \一5
500
可得基础解系p2 =05,，化= 0
、0 ）< 0 ,<
竹一①…一％综上所述可知原矩阵的特征向量为（&£,…,代卜a; 5 …0.
“ °・•・«1 >
r-2 1 r
例2向Sv = （l,l,3/是矩阵a 2 0的一个特征向量，试求4对应于x的特征
「4 b 3）
值，并确左A中之a.bZ值.
，-2
由左义知，成立Av = >lv,即a
-4
于是得兄=2皿=0上=1・
3矩阵特征值、特征向量的常用性质
性质1假左人，人，…，人是〃阶矩阵A=（佝）特征值，那么必有
人 + 儿2 + …+ 人=a\ \ + a22 T 卜a nn = "( A ) t A的迹)・
祕…入=同.
性质1的第一式常可用于对特征值计算作一复杂的校核.第二式构通了矩阵行列式与特征值的关系，失掉了讣算行列式（全体特征值之积）及证明矩阵A可逆（矩阵A可逆的充要条件是无一特征值为0）的又一途径.这些性质必需熟记.
性质2假龙人，心，…，人是"阶矩阵4的两两不等的特征值，其对应的特征向量区分
是x} ,x2，…,x k那么x} ,x2，…,x k线性有关.
性质3假泄几是矩阵A的特征值，x是A属于；I的特征向量，那么入+ k,
几2,儿"（2工0）, 弓（兄工0）,/（兄）是
A + RE,A2,AT,A*,/（A） = a”/"'+... + d/ + a（＞E,的特征值，x 也是相应的特征向量.
例3假左2是矩阵A的特征值，x是A属于几的特征向疑，试求证A + k是A + kE的特征值，x也是A + kE属于A + k的特征向量.
证明由于Ax = Ax,所以（A + kE）x = Av + Ax = /b; + AA=（/i + k）x.
例4入，人是矩阵A的两个特征值人H人，册,吃区分是A属于人,人的特征向量，试
求证X] +x2决非A的特征向量.
证明剖析一下要证的结论是"召+厂不是A的特征向戢"，由于特征向量这一性质以确泄等式表出，故对这样的命题，自然想到要用反证法.
另外，依给泄的条件，用性质可知旺是线性有关的。

下面写出证明进程：设比+兀是A的特征向量，那么有/I使A（為+厂）=兄（刁+兀2），又由
A（x, + ） = Ax{ + A X2 = AjXj + A^X2,与前一式相减，得（2-/^ ）x, +（2—^ ）x2 =0 ,
由山线性有关，知A = /l1,/l = /l2,即人=易矛盾.证毕.
这特性质也需熟记，并能灵敏运用•常称之为特征值的平移性，行将矩阵A的每个对角线元皆移过k时，其特征值亦必移过k.
例5对"阶矩阵试证A8与34必有相反的特征值.
证对2“阶矩阵作分块初等变换，有
（\ E\紅（B AE\
t ,故\AE-AE\ = \AE-BA\.因AB与34有相反的特征方程, （/IE B） \E A ）
故特征值全同.证毕.
例6秩为1的"阶矩阵A，试求A的“个特征值.
解设°=（5心，・5九=（久4，・・・阳,那么有A = ab1 .（矩阵秩为1的充要条件是
可写成非零列向量与非零行向量之积）那么Aa = ab T a=（b r a ）a .又由于R（A）=\,故知A的“个特征值应为数b r a及“ 一1个0.
参考书目：
1.贺铁山等，线性代数（第二版），中山大学出版社，2004年8月.
2.吴赣昌，大学数学平面化教材：线性代数（经济类），中国人民大学出版社,
2006年3月.
3.同济大学运用数学系，工程数学（第四版），初等教育出版社，2003年7月. 作业和思索
题：
Pagel33： 1—5.
课后小结：。