2022-2023学年福建省福州市延安中学八年级数学第一学期期末调研试题含解析

2022-2023学年上学期福建省八年级数学期末试题选编：轴对称一、单选题1．（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）下列曲线分别是“阿基米德螺线”…“希尔伯特曲线”…“费马螺线”和“星形线”的一部分．这四种精美的数学曲线中，一定是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）北京时间2022年10月31日15时37分，搭载空间站“梦天实验舱”的长征五号B 遥四运载火箭在我国文昌航天发射场发射升空．按计划，梦天实验舱将与天和核心舱、问天实验舱一起完成中国空间站三舱“T ”字基本型的在轨建造．下列汉字可以看作轴对称图形的是（ ）A ．梦B ．天C ．实D ．验3．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）2022年卡塔尔世界杯（英语：FIFA World Cup Oatar 2022）是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2022秋·福建福州·八年级校考期末）如图，，，边上存在一点，使得．下列描述正确的是（ ）A ．是的垂直平分线与的交点B ．是的平分线与的交点C ．是的垂直平分线与的交点D ．是的中点5．（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）如图，将正五边形ABCDE 置于平面直角坐标系中，若顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是，，，，则点E 的坐标是（ ）ABC V AB >AC >BC AB P PA PC AB +=P AC AB P ACB ∠AB P BC AB P AB ()0,a ()2,1--(),c m (),d mA ．B ．C ．D ．6．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）点Q （3，4）与点Q'（3，﹣4）的对称轴是（ ）A ．直线y ＝xB ．x 轴C ．y 轴D ．原点7．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）点关于y 轴对称的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”．莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”．如图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形，，D 是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的度数是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）如图，在中，平分交于点D ，点E ，F 分别是线段上的动点，则的最小值是（ ）()2,1-()2,1()1,2--()2,1-()1,2P --ABC AB AC =BC AD ABC V ADB ADC ∠=∠BD CD =2BC AD =ABD ACD S S =V V ABC V DE AC 70B ∠=︒13BAD AC ∠∠=：B ：C ∠22︒40︒44︒45︒ABC V 84AC BC ACB A BD ==∠=∠，，ABC ∠AC BD BC ，CE EF +A ．2B ．4C ．5D ．611．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，E ，F 分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，于点E 、D ，若的周长是14．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）的坐标是 ．15．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）若点是 ．ABCD C α∠=︒90B D ∠=∠=︒BC DC AEF △EAF ∠α2α180α-1802α-ACE △18．（2022春·福建三明·八年级统考期末）上一点，且，连接，过①；②；③论的序号）19．（2022秋·福建厦门作一个等腰直角三角形，则 AE AD =DE EF FG =CD DE =BEG ∠1DF =BE =三、解答题23．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交线段的延长线于点．(1)在直线上求作点，使得点在的上方，且点到、的距离相等；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）(2)在（1）的条件下，若于点，于点，求证：．24．（2022秋·福建福州·八年级校考期末）如图，在中，是的垂直平分线，分别交，于点，，若，且的周长为8，求的周长．ABC V AB AB D BC E DE P P AB P CA CE PM CB ⊥M PN CA ⊥N AN BM =ABC V DE AC AB AC D E 3AE =BCD △ABC V25．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．(1)求证：∠A＝∠D；(2)将△ABC沿直线翻折得到△A'BC，用直尺和圆规在图中作出△A'BC．（保留作图痕迹，不要求写作法）26．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）按要求完成作图：(1)作出ABC关于y轴对称的图形DEF；(2)求ABC的面积．27．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A的坐标为，关于直线对称的，已知顶点．V VV()4,5-ABCV l111A B C△111A B C△()14,5A30．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末），．(1)试说明与满足什么等量关系时，点D 、点C 、点E 三点共线．(2)连接，连接交于F点，若点F 恰好是线段的中点，求证：．31．（2022秋·福建南平·八年级统考期末）在四边形中，点E 在边上，，分别平分，．(1)在边上找出点B 关于直线的对称点F （尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）．(2)在（1）的基础上，当时，①若，求的大小；②直接写出与的数量关系．32．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E ，使．(1)若，求的长；(2)求的度数．33．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）在中，，是中线，以为边在右侧作等边三角形．AB DB =BAC BDE ∠=∠BAC ∠CBE ∠CD AE BD AE 2CD BF =ABCD BC AE DE BAD ∠ADC ∠AD AE AB BE AD CD +=-=60B ∠︒C ∠B ∠C ∠ABC V BD BC CE CD =10AB =BE E ∠ABC V AB AC =AD AC AC ACE △(1)如图（1），连接，交于点F ．①若，求；②求证：．(2)如图（2），当时，以为边在下方作等边三角形，连接交于点P ．求证：点P 是的中点．34．（2022秋·福建南平·八年级统考期末）如图，在中，是中线，延长到点E ，使，若，．求证：是等边三角形．35．（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）如图，在中，，点D 在边的延长线上，线段，的垂直平分线交于点E ，连接．(1)若，求证：是等边三角形；(2)求与之间的数量关系．36．（2022春·福建漳州·八年级统考期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：BE AD 80BAC ∠=︒ABE ∠2BF DF =120BAC ∠=︒CD BC CDG V EG AC EG ABC V BD BC CE CD =DB DE =30E ∠=︒ABC V ABC V 90B Ð=°BC AC CD ,,,AE CE DE AD 60BAC ∠=︒ADE V AED ∠ACB ∠(1)根据给出的线段及∠B，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法；(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．AB AB Rt ABC V AC 30A ∠=︒参考答案：1．D【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．2．B【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：中沿中间的竖线折叠，直线两旁的部分能完全重合，天是轴对称图形，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．A【分析】根据轴对称图形的定义判断选择即可．【详解】∵是轴对称图形，∴符合题意；∵不是轴对称图形，∴不符合题意；∵不是轴对称图形，∴不符合题意；∵不是轴对称图形，，∴不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键．4．C【分析】由易得，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点在的垂直平分线上，即是的垂直平分线与的交点．【详解】，，，点在的垂直平分线上，是的垂直平分线与的交点；故选：C ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．5．A【分析】根据坐标的特点，判定点A 在y 轴上，轴，且关于y 轴对称，结合正五边形是轴对称图形，得到关于y 轴对称，计算即可．【详解】∵点A 坐标为，∴点A 在该平面直角坐标系的y 轴上，∵点C 、D 的坐标为，，∴点C 、D 关于y 轴对称，∵正五边形是轴对称图形，∴该平面直角坐标系经过点A 的y 轴是正五边形的一条对称轴，∴点B 、E 也关于y 轴对称，∵点B 的坐标为，∴点E 的坐标为，故选A ．PA PC AB +=PB PC =P BC P BC AB PA PC AB +=Q PA PB AB +=PB PC ∴=∴P BC P ∴BC AB CD x ∥C D 、B E 、()0,a (),c m (),d m ABCDE ABCDE ()2,1--()2,1-【点睛】本题考查了平面直角坐标系的点坐标特征及正五边形的轴对称性质，解题的关键是通过顶点坐标确认正五边形的一条对称轴即为平面直角坐标系的y 轴．6．B【分析】利用已知两点横纵坐标相同，纵坐标互为相反数，进而得出答案．【详解】解：∵点Q （3，4）与点Q '（3，﹣4），∴P ，Q 关于x 轴对称．故选：B ．【点睛】此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．7．D【分析】由平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于y 轴的对称点的坐标是（-x ，y ）求得点P （-1，-2）关于y 轴的对称点的坐标，由此即可解答．【详解】根据轴对称的性质，得点P （-1，-2）关于y 轴对称的点的坐标为（1，-2）．∴点P （-1，-2）关于x 轴对称的点的坐标位于第四象限．故选D ．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．熟知关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数是解决问题的关键．8．C【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：∵，，∴，即是的高线，∵是等腰三角形，∴是的角平分线，故A 选项不符合题意；∵是等腰三角形，，∴是的角平分线，故B 选项不符合题意；若，不能说明是的角平分线，故C 选项符合题意；∵，∴，∴是的角平分线，故D 选项不符合题意；故选：CADB ADC ∠=∠180ADB ADC ∠+∠=︒90ADB ADC ∠=∠=︒AD ABC V ABC V AD ABC V ABC V BD CD =AD ABC V 2BC AD =AD ABC V ABD ACD S S =V V BD CD =AD ABC V【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．9．C【分析】根据，设，则，结合得到，根据三角形内角和定理列式计算即可．【详解】设，∵，，∴，，，∵，∴，∴，解得，，故选C ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线性质，等腰三角形性质是解题的关键．10．B【分析】从已知条件结合图形，利用对称性和三角形的三边关系确定线段和的最小值．【详解】解：作C 点关于的对称点H ，过H 作交于点E ，交于点F ，∴，∴的最小值是的长，∴，∵平分，∴，在和中，，13BAD AC ∠∠=：B ：BAD x ∠=︒3BAC x ∠=︒DA DC =2DAC C x ∠=∠=︒BAD x ∠=︒70B ∠=︒13BAD AC ∠∠=：B ：110BAC C ∠+∠=︒3BAC x ∠=︒2DAC x ∠=︒DA DC =2DAC C x ∠=∠=︒32110x x +=︒22x =︒244C x ∠=︒=︒BD ⊥HF BC BD BC CE EF HE EF HF +=+≥CE EF +HF CH BD ⊥BD ABC ∠HBG GBC ∠=∠HBG V CBG V HBG GBC BG BG BGH BGC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，，，，C α∠=Q 90ABC ADC ∠=∠=︒180DAB α∴∠=︒-()180180AA E A αα'''∴∠+∠=︒-︒-=EA A EAA ''∠=∠Q FAD A ''∠=∠EAA A AF α'''∴∠+∠=，故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．12．8【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后将的周长化简为，即可求解．【详解】解：∵垂直平分，∴，∵的周长为26，∴，∵，∴，故答案为：8．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出的周长是解题的关键．13．9【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵是线段的垂直平分线，∴，∵的周长为21，∴，∴又∴，故答案为：9．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．14．【分析】根据关于x 轴对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可．【详解】解：与点B 关于x 轴对称，则点B 的坐标是，故答案为：1801802EAF ααα∴∠=︒--=︒--E F AD CD =ABD △AB BC +DE AC AD CD =ABD △26AB AD BD AB CD BD AB BC ++=++=+=18BC =8AB =ABD △AB BC =+EB EC =DE BC EB EC =AEC △21AC AE EC ++=21AC AE EB AC AB ++=+=，12AB =21129AC =-=(1,3)--(1,3)--(1,3)--【点睛】本题考查了关于坐标轴对称点的坐标变化规律，解题关键是熟记关于x 轴对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数．15．【分析】根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：∵点和点关于x 轴对称，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形——轴对称，熟知：关于轴对称的两个点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相同；是解本题的关键．16．0【分析】根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：、关于轴对称，，，，，所以．故答案为：0．【点睛】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．17．（0，0）【分析】作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接A ′B 交x 轴于点P ，连接AP ，点P 即为所求．【详解】解：作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接A ′B 交x 轴于点P ，连接AP ，点P 即为所求，2-x (3,2)M (3,)N b 2b =-2-x y x a b (1,2)A a +Q (3,1)B b -x 13a ∴+=12b -=-2a ∴=1b =-2220a b +=-=x y x y点P 的坐标为（0，0），故答案为（0，0）．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，轴对称最短问题，平面直角坐标系等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，属于中考常考题型．18．①③④【分析】证明即可判断①；过D 作，根据角平分线的性质求出即可判断②；根据三角形内角和定理即可判断③；设，求出和，然后根据三角形外角的性质即可判断④．【详解】解：如图，∵平分，∴，∵，∴又∵，∴，∴，故①正确；过D 作，∵，∴，又∵平分，∴，在中：，∴，故②说法错误；∵，，∴，即，故③正确；()ASA BEF BGF ≅V V DM AB ⊥DC DM =12x ∠=∠=A ∠AED ∠BD ABC ∠12∠=∠EF BD ⊥349090EFD DFG ∠=∠=︒∠=∠=︒，，BF BF =()ASA BEF BGF ≅V V EF FG =DM AB ⊥90ACB ∠=︒DC BC ⊥BD ABC ∠DC DM =Rt EMD △DE DM >DE CD >12∠=∠390C ∠=∠=︒58∠=∠BEG BDC ∠=∠【点睛】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23．(1)见解析(2)见解析【分析】(1)利用尺规作图，作的平分线，与点P 在的平分线上，点到、的距离相等；（2）证明：如图：连接，，ECA ∠Q ECA ∠∴P CA CE AP BP垂直平分，，是的平分线，，，，，在和中，，，，．【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线及角平分线的性质，熟练掌握和运用线段垂直平分线及角平分线的性质是解决本题的关键．24．14【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可得到答案．【详解】解：是线段的垂直平分线，，的周长为8，，，，的周长，故的周长为：14．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．25．(1)见解析(2)见解析PD Q AB AP BP ∴=CP Q ACE ∠PM CB ⊥PN CA ⊥PM PN ∴=90ANP BMP ∠=∠=︒Rt APN V Rt BPM △AP BP =Q PM PN =()Rt Rt HL APN BPM ∴≌△△AN BM ∴=26DA DC AC AE ===，Q DE AC 26DA DC AC AE ∴===，Q BCD △8BD BC CD ∴++=8BD BC AD ∴++=8BC AB ∴+=∴ABC V 14AB BC AC =++=ABC V【分析】（1）利用SAS 证明△ABC ≌△DEF ，从而解决问题；（2）利用尺规作图，作出点A 关于直线l 的对称点A '，从而解决问题．【详解】（1）证明：∵BF ＝CE ，∴BC ＝FE ，∵AB ∥DE ，∴∠ABC ＝∠DEF ，在△ABC 与△DEF 中，，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴∠A ＝∠D ；（2）解：如图所示，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A 'B ，A 'C ，△A 'BC 即为所求．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图，平行线的性质等知识点．解题的关键在于掌握全等三角形的判定定理和基本的作图方法．26．(1)见解析(2)3.5【分析】（1）根据轴对称的性质找出点A 、B 、C 的对应点D 、E 、F 的位置，顺次连接即可得到△DEF ；（2）利用割补法求解即可．【详解】（1）解：如图，△DEF 即为所求；AB DE ABC DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩在和中，∴∴，∴∵，∴ABC V DBE V ()ASA ABC DBE V V ≌BC BE =180BEC BCE ∠=∠=EB BD ⊥90AMB EBD ∠=∠=∵F 是的中点，∴，在和中，∴，∴，，∴，∵，，∴，在和中，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题，属于中考常考题型．31．(1)见解析(2)①；②【分析】（1）根据对称的性质，在上取即可，可证明，得到，，即可证明对称；（2）①连接，在上找一点G ，使，连接，，根据和，得到，，，根据，等量代换得到，再根据等边对等角以及外角的性质即可求出；②根据①中结论可得，根据平角的定义代换得到，根据，再次代换并化简可得．【详解】（1）解：如图，点F 即为所求；∵平分，∴，AE AF EF =AFM △EFB △AMB EBD AFM EFBAF EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AFM EFB V V ≌AM BE BC ==BF FM =2BM BF =90DBC ABF ∠+∠=︒90ABF BAM ∠+∠=︒DBC BAM ∠=∠ABM V BDC V AB BD BAM DBCAM BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABM BDC V V ≌2CD BM BF ==150︒2360B BCD ∠+∠=︒AD AF AB =V V ≌ABE AFE AB AE =BE EF =EF AD CD DG =EG CG V V ≌ABE AFE DEG DEC △≌△BE EF =60B AFE ∠=∠=︒BCD DGE ∠=∠AB BE AD CD +=-EF FG =BCD ∠2AFE FGE FEG ∠=∠=∠()2180AFE BCD ∠=︒-∠B AFE ∠=∠2360B BCD ∠+∠=︒AE BAD ∠BAE FAE ∠=∠（2）①连接，在上找一点G ，使∵，∴，，同（1）可证：，②∵，∴，∵，EF AD CD ()SAS ABE AFE △≌△BE EF =60B AFE ∠=∠=︒()SAS DEG DEC △≌△2AFE FGE FEG ∠=∠=∠()()21802180AFE DGE BCD ∠=︒-∠=︒-∠B AFE ∠=∠是等边三角形，，，ACE QV AE AC ∴=30AEH ∠=︒中，，，即，由（2），，，，是等边三角形，，，，又，，，，，又，，，即点P 是中点．证明二：过点G 作交于M ，是等边三角形，，，中，，，，，由（2），ABC V AB AC =120BAC ∠=︒30ABC ACB ∴∠=∠=︒AEH ACB ∠=∠AD BC ⊥90ADC AHE ∴∠=∠=︒ADC AHE ∴≌△△EH CD =∴DCG Q △CD CG ∴=60DCG ∠=︒90ACG DCG ACB ∴∠=∠+∠=︒EH AC ⊥Q 90ACG EHP ∴∠=∠=︒EH CD =Q CG CD =EH CG ∴=CPG EPH ∠=∠Q GPC EPH ∴≌△△PE GP ∴=EG GM BC ⊥AC DCG Q △CD CG ∴=60DCG ∠=︒ABC V AB AC =120BAC ∠=︒30ABC ACB ∴∠=∠=︒90ACG ACB DCG ∴∠=∠+∠=︒AD BC ⊥，又，是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，即又，，，又，，，即点P 是中点．【点睛】本题词考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角 三角形的性质，熟练掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质是解题的关键．34．见解析【分析】根据等腰三角形的性质，得到，，可得，求出，根据线段垂直平分线的性质得到，从而求出，即可证明．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵是中线，∴，∴，∴，90ADC ACG ∴∠=∠=︒GM BC ⊥Q DCG △30CGM ACB ∴∠=∠=︒ADC MCG ∴≌△△GM AC ∴=ACE QV CE AC GM ∴==60ACE ∠=︒90BCG ACE ACB ∴∠=∠+∠=︒EC BC⊥GM BC ⊥Q GM EC ∴∥MGP CEP ∴∠=∠GPM EPC ∠=∠Q GPM EPC ∴≌△△PE GP ∴=EG 30DBC E ∠=∠=︒30CDE E ∠=∠=︒60BCD ∠=︒=90BDC ∠︒AB BC =60A ACB ABC ∠=∠=︒=∠DB DE =30DBC E ∠=∠=︒CE CD =30CDE E ∠=∠=︒60BCD CDE E ∠=∠+∠=︒=90BDC ∠︒BD AB BC =60A ACB ∠=∠=︒60ABC ∠=︒∴是等边三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．也考查了等腰三角形的性质．35．(1)见解析(2)与之间的数量关系为【分析】(1)根据线段，的垂直平分线交于点E ，得到，根据等腰三角形的性质，四边形内角和定理确定得证．(2)根据等腰三角形的性质，四边形内角和定理，邻补角计算即可．【详解】（1）∵线段，的垂直平分线交于点E ，∴，，∴∵，，∴，∴，∴是等边三角形．（2）与之间的数量关系为．理由如下：∵线段，的垂直平分线交于点E ，∴，，∴∵，∴，∴．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，四边形的内角和定理，邻补角，熟练掌握上述性质是解题的关键．36．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；（2）根据图形和命题的已知事项写出已知，根据命题的未知事项写出求证，再写出证明过程即可．ABC V AED ∠ACB ∠=2AED ACB∠∠AC CD ==AE DE AD =36060AED EAC ACD EDC ∠︒-∠-∠-∠=︒AC CD ==AE DE AD ,EAC ECA EDC ECD ∠=∠∠=∠=3603603602AED EAC ACD EDC ACE ACD ECD ACD∠︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠60BAC ∠=︒90B Ð=°9060150ACD B BAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒=36030060AED ∠︒-︒=︒ADE V AED ∠ACB ∠=2AED ACB ∠∠AC CD ==AE DE AD ,EAC ECA EDC ECD ∠=∠∠=∠=3603603602AED EAC ACD EDC ACE ACD ECD ACD∠︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠=180ACD ACB ∠︒-∠()36021802AED ACB ACB ∠=︒-︒-∠=∠=2AED ACB ∠∠（2）已知：如图，是直角三角形，求证：．解法一：如图，在上截取一点，使得∵，，∴∵，∴是等边三角形．∴，∵，∴∴．∴．∵，∴，∵，，ABC V ABC ∠=12BC AC =AC D CD CB =90ABC ∠=︒30A ∠=︒∠CD CB =BCD △BC CD BD ==60CBD ∠=90ABC ∠=︒ABD ABC ∠=∠ABD A ∠=∠DA DB =90ABC ∠=︒30BAC ∠=90ABD Ð=°ACB ∠=AB AB =BC BD =∠。

２０２２—２０２３学年度第一学期期末教学质量监测八年级数学试题一、选择题（本大题共１０小题，共３０分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）１ 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是Ａ Ｂ Ｃ Ｄ２ 在平面直角坐标系的第四象限内有一点Ｍ，到ｘ轴的距离为４，到ｙ轴的距离为５，则点Ｍ的坐标为Ａ （－４，５）Ｂ （－５，４）Ｃ （４，－５）Ｄ （５，－４）３ 下列图象中，ｙ是ｘ的函数的是Ａ Ｂ Ｃ Ｄ４ 已知ａ，ｂ，ｃ是△ＡＢＣ的三条边长，化简｜ａ＋ｂ－ｃ｜－｜ｃ－ａ－ｂ｜的结果为Ａ ０Ｂ ２ｃＣ ２ａ＋２ｂＤ ２ａ＋２ｂ－２ｃ５ 对于一次函ｙ＝３ｘ－１数，下列说法正确的是Ａ 图象经过第一、二、三象限Ｂ 函数值ｙ随ｘ的增大而增大Ｃ 函数图象与直线ｙ＝３ｘ相交Ｄ 函数图象与轴交于点（０，１３）６ 在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ为钝角 用直尺和圆规在边ＡＢ上确定一点Ｄ，使∠ＡＤＣ＝２∠Ｂ，则符合要求的作图痕迹是ＡＢＣＤ７ 下列命题中，假命题是Ａ 两个全等三角形的面积相等Ｂ 周长相等的两个等边三角形全等Ｃ 三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角Ｄ 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补８ 如图，在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中，点Ａ，Ｅ，Ｂ，Ｄ在同一直线上，ＡＣ∥ＤＦ，ＡＣ＝ＤＦ，只添加一个条件，能判定△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ的是Ａ ＢＣ＝ＤＥＢ ＡＥ＝ＤＢＣ ∠Ａ＝∠ＤＥＦＤ ∠ＡＢＣ＝∠Ｄ９ 如图，两个不同的一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ与ｙ＝ｂｘ＋ａ的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是Ａ Ｂ Ｃ Ｄ１０ 在同一条道路上，甲车从Ａ地到Ｂ地，乙车从Ｂ地到Ａ地，乙先出发，如图，折线段表示甲、乙两车之间的距离ｙ（千米）与行驶时间ｘ（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是Ａ 乙先出发的时间为０．５小时Ｂ 甲的速度比乙的速度快Ｃ 甲出发０．４小时后两车相遇Ｄ 甲到Ｂ地比乙到Ａ地迟５分钟二、填空题（本大题共５小题，共１５分）１１ 在函数ｙ＝４ｘ槡－３ｘ－２中，自变量的取值范围是１２ 如图，直线ｙ１＝ｍｘ经过Ｐ（２，１）和Ｑ（－４，－２）两点，且与直线ｙ２＝ｋｘ＋ｂ交于点Ｐ，则不等式ｋｘ＋ｂ＞ｍｘ＞－２的解集为１３ 如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ为ＢＣ的中点，∠ＢＡＤ＝２４°，ＡＤ＝ＡＥ，∠ＥＤＣ＝度 第１２题图 第１３题图 第１４题图 第１５题图１４ 如图，在△ＡＢＣ中，ＣＤ是ＡＢ边上的高线，ＢＥ平分∠ＡＢＣ交ＣＤ于点Ｅ，ＢＣ＝７，ＤＥ＝２，则△ＢＣＥ的面积等于１５ 如图，在平面直角坐标系中，过点Ｃ（０，６）的直线ＡＣ与直线ＯＡ相交于点Ａ（４，２），动点Ｍ在直线ＡＣ上，且△ＯＭＣ的面积是△ＯＡＣ的面积的１４，则点Ｍ的坐标为三、解答题（本大题共７小题，共５５分。

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．已知点 (1x ，3) ，B(2x ，7)都在直线21y x =-+上，则12x x 、的大小关系为（ ） A ．12x x > B ．12x x < C ．12x x = D ．不能比较2．以下命题的逆命题为真命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．同旁内角互补，两直线平行C ．若a=b ，则a 2=b 2D ．若a ＞0，b ＞0，则a 2+b 2＞03．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AC ，若△BCD 的周长是14，BC ＝6，则AC 的长是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．144．已知x 2+2（m ﹣1）x +9是一个完全平方式，则m 的值为（ ）A ．4B ．4或﹣2C ．±4D ．﹣25．某班共有学生40人，其中10月份生日的学生人数为8人，则10月份生日学生的频数和频率分别为（ ）A ．10和25%B ．25%和10C ．8和20%D ．20%和86．如图，ABC ∆是等边三角形，BD 是中线，延长BC 到点E ，使CE CD =，连结DE ，下面给出的四个结论：①BD AC ⊥，②BD 平分ABC ∠，③BD DE =，④120BDE ∠=，其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7．若13a a -=-，则221a a +的结果是（ ） A ．7 B ．9 C ．﹣9 D ．118．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设（ ）A ．三角形中有一个内角小于60°B ．三角形中有一个内角大于60°C ．三角形中每个内角都大于60°D ．三角形中没有一个内角小于60°9．下列计算：()()()()()()()()()222122;222;32312;423231=-=-=+-=-，其中结果正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝5，AB ＝11，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E ，交AC 于点D ，则△BCD 的周长是（ ）A ．16B ．6C ．27D ．18二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，△EFG ≌△NMH ，EH =2.4，HN =5.1，则GH 的长度是_____．12．9的平方根是_________．13．如图所示，为一个沙漏在计时过程中所剩沙子质量（克）与时间（小时）之间关系的图象，则从开始计时到沙子漏光所需的时间为_____小时．14．某班的一个综合实践活动小组去甲、乙两个超市调查去年和今年“元旦”期间的销售情况，下面是调查后小明与其它两位同学进行交流的情景．小明说：“去年两超市销售额共为150万元，今年两超市销售额共为170万元”， 小亮说：“甲超市销售额今年比去年增加10%小颖说：“乙超市销售额今年比去年增加20%根据他们的对话，得出今年甲超市销售额为_____万元15．双察下列等式：111242-=，112393-=，1134164-=，…则第n 个等式为_____．（用含n 的式子表示）16．如图，20,30,50A B C ︒︒︒∠=∠=∠=,则ADB ∠的度数为_____________；17．已知一组数据：3，3，4，6，6，1．则这组数据的方差是_________．18．若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ．下列条件：①∠A ＝∠B ﹣∠C ；②a 2＝（b +c ）（b ﹣c ）；③∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5；④a ：b ：c ＝5：12：1．其中能判断△ABC 是直角三角形的是_____（填序号）．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，,,AE DF EC BF AB CD ===．求证：ACE DBF ≌．20．（6分）如图，铁路上A ，B 两站（视为直线上两点）相距14 km ，C ，D 为两村（可视为两个点），DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA =8 km ，CB =6 km ，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E ，使C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A站多少千米处．21．（6分）已知不等式组352121 2x xxx-⎧⎪⎨-≤+⎪⎩＜（1）解这个不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．（2）写出它的所有整数解22．（8分）如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足，且BE ＝CF．求证：△ABC是等腰三角形．23．（8分）（1）解方程组3213 410 x yx y-=⎧⎨+=⎩（2）解不等式组4125102(23)3(1)12 x xx x-≥-⎧⎨--+≥-⎩24．（8分）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）25．（10分）一架梯子AB长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？26．（10分）某同学碰到这么一道题“分解因式：a 4+4”，不会做，去问老师，老师说：“能否变成平方差的形式？在原式加上4a 2，再减去4a 2，这样原式化为（a 4+4a 2+4）﹣4a 2，……”，老师话没讲完，此同学就恍然大悟，他马上就做好了此题．你会吗？请完成此题．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】根据一次函数的性质进行求解即可.【详解】∵21y x =-+∴20k =-<∴y 随着x 的增大而减小∴12x x >，故选：A.【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解决本题的关键. 2、B【详解】解：A. 对顶角相等逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题，故错误；B. 同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，此逆命题为真命题，故正确；C. 若a =b ,则22a b =的逆命题为若22a b =，则a =b ，此逆命题为假命题，故错误；D. 若a>0,b>0,则220a b+>的逆命题为若220a b+>，则a>0，b>0，此逆命题为假命题，故错误.故选B.3、B【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，再根据等腰三角形的性质解答即可．【详解】解：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD．∵△BCD的周长是14，BC＝6，∴AB＝BD+CD＝14﹣6＝1，∵AB＝AC，∴AC＝1．故答案为B．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质,掌握垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质是解答本题的关键．4、B【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．【详解】∵x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，∴2（m﹣1）＝±6，解得：m＝4或m＝﹣2，故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．5、C【分析】直接利用频数与频率的定义分析得出答案．【详解】解：∵某班共有学生40人，其中10月份生日的学生人数为8人，∴10月份生日学生的频数和频率分别为：8、840＝0.2.故选：C.【点睛】此题考查了频数与频率，正确掌握相关定义是解题关键．6、D【分析】因为△ABC 是等边三角形，又BD 是AC 上的中线，所以有:AD=CD ，∠ADB=∠CDB=90°（①正确），且∠ABD=∠CBD=30°（②正确），∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE ，可得∠CDE=∠DEC=30°，所以就有，∠CBD=∠DEC ，即DB=DE （③正确），∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°（④正确）；由此得出答案解决问题.【详解】∵△ABC 是等边三角形，BD 是AC 上的中线，∴∠ADB=∠CDB=90°，BD 平分∠ABC ；∴BD ⊥AC ；∵∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE ，∴∠CDE=∠DEC=30°，∴∠CBD=∠DEC ，∴DB=DE.∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°所以这四项都是正确的.故选：D.【点睛】此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用.7、D【分析】根据完全平方的特征对式子进行整理，即(a-1a )2+2，最后整体代入进行计算可得结果. 【详解】解：∵13a a -=-， ∴221a a+ ＝（a ﹣1a ）2+2 ＝（﹣3）2+2＝9+2＝11，故选：D ．【点睛】本题主要考查了代数式的求值，解题的关键是掌握完全平方公式．8、C【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答.【详解】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时， 第一步先假设三角形中每个内角都大于60°，故选：C.【点睛】此题考查反证法，解题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．9、D【解析】根据二次根式的运算法则即可进行判断.【详解】()212=,正确；(22=正确；()(2312-=正确；()41=-，正确，故选D. 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的性质：2a =;=a .10、A【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD =BD ，然后求出△BCD 的周长=AC+BC ，代入数据计算即可得解．【详解】解：∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AD =BD ，∴△BCD 的周长=BD+CD+BC =AD+CD+BC =AC+BC ，∵AB =11，∴AC =AB =11，∴△BDC 的周长=11+5=16，故选：A ．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握性质和准确识图是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、2.1．【分析】根据全等三角形的性质求出EG ，结合图形计算，得到答案．【详解】解：∵△EFG ≌△NMH ，∴EG =HN =5.1，∴GH =EG ﹣EH =5.1﹣2.4=2.1．故答案为：2.1．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．12、±1 【解析】分析：根据平方根的定义解答即可．详解：∵（±1）2=9， ∴9的平方根是±1．故答案为±1． 点睛：本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．13、213【分析】根据图象可得沙漏漏沙的速度，从而得出从开始计时到沙子漏光所需的时间．【详解】沙漏漏沙的速度为：15﹣6＝9（克/小时），∴从开始计时到沙子漏光所需的时间为：15÷9＝213（小时）． 故答案为：213． 【点睛】本题考查了一次函数的运用，学会看函数图象，理解函数图象所反映的实际意义，从函数图象中获取信息，并且解决有关问题．14、1【分析】设甲超市去年销售额为x 万元，乙超市去年销售额为y 万元，根据题意列出方程组求解后，再求出甲超市今年的销售额即可．【详解】解：设甲超市去年销售额为x 万元，乙超市去年销售额为y 万元， 根据题意得 150(110%)(120%)170x y x y +=⎧⎨+++=⎩ 解得10050x y =⎧⎨=⎩ 所以今年甲超市销售额为(110%)100110+⨯=（万元）．故答案为:1．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．15【分析】探究规律后，写出第n个等式即可求解．12=3==…则第n==【点睛】本题主要考查二次根式的应用，找到规律是解题的关键.16、100°【分析】根据三角形的外角性质计算即可．【详解】解：∠BEA是△ACE的外角，∴∠BEA=∠A+∠C=70°，∠BDA是△BDE的外角，∴∠BDA=∠BEA+∠B=100°，故答案为：100°．【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．17、10 3【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式即可求出方差．【详解】平均数为：1(334668)5 6⨯+++++=方差为：2222222110(35)(35)(45)(65)(65)(85)63S ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-=⎣⎦ 故答案为：103【点睛】 本题考查了平均数和方差的计算公式．18、①②④【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．【详解】解：∵∠A ＝∠B ﹣∠C ，∴∠A +∠C ＝∠B ，∵∠A +∠C +∠B ＝180°，∴∠B ＝90°，∴△ABC 是直角三角形，故①符合题意；∵a 2＝（b +c ）（b ﹣c ）∴a 2+c 2＝b 2，∴△ABC 是直角三角形，故②符合题意；∵∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5，∠A +∠B +∠C ＝180°，∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∠C ＝75°，∴△ABC 不是直角三角形，故③不符合题意；∵a ：b ：c ＝5：12：1，∴a 2+b 2＝c 2，∴△ABC 是直角三角形，故④符合题意；故答案为①②④．【点睛】此题主要考查直角三角形的判定，解题的关键是熟知勾股定理逆定理与三角形的内角和定理的运用.三、解答题(共66分)19、证明见解析【分析】只需要通过AB=CD 证得AC=BD 利用SSS 即可证明ACE DBF ≌．【详解】解：∵AB=CD ，BC=BC∴AC=BD∵AE=DF ，CE=BF∴△ACE ≌△DBF （SSS ）．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．20、E 站应建立在距A 站6 km 处．理由详见解析【解析】当AE=BC=6km 时，AD=BE ，可判定△ADE ≌△BEC ，即DE=EC ，问题得解.【详解】E 站应建立在距A 站6 km 处．理由：因为BE=AB-AE=14-6=8（km ），所以AD=BE ，AE=BC ．在△ADE 和△BEC 中，90AD BE A B AE BC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，所以△ADE ≌△BEC （SAS ）．所以DE=EC ．所以E 站应建立在距A 站6 km 处．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三等角模型”及三角形全等的判定定理是解题关键.21、（1）15x -≤<，数轴见解析；（2）-1，0，1，2，3，4【分析】（1）先解不等式组，然后在数轴上表示出即可；（2）根据不等式组的解集写出整数解.【详解】解：由不等式352x x -＜得：x ＜5， 由不等式1212x x -+≤得：x -1≤， 则不等式组的解集为15x -≤<，将它的解集在数轴上表示出来，如图：（2）∵不等式组的解集为15x -≤<，∴所有整数解为-1，0，1，2，3，4.【点睛】本题是对不等式组的考查，熟练掌握解不等式组是解决本题的关键.【分析】由于DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，那么∠DEB=∠DFC=90°，根据D 是BC 中点可得BD=CD ，而BE=CF ，根据HL 可证Rt △BED ≌Rt △CFD ，于是∠B=∠C ，进而可证△ABC 等腰三角形；【详解】解：∵点D 是BC 边上的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴∠DEB=∠DFC=90°，在Rt △BED 和Rt △CFD 中，BD CD BE CF =⎧⎨=⎩∴Rt △BED ≌Rt △CFD （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 等腰三角形；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，解题的关键是证明Rt △BED ≌Rt △CFD ．23、（1）32x y =⎧⎨=-⎩；（2）32x --≤≤. 【分析】（1）利用加减消元法解方程组，即可得到答案.（2）先求出每个不等式的解集，然后取解集的公共部分，即可得到答案.【详解】解：（1）3213410x y x y -=⎧⎨+=⎩①②， 由①+②2⨯，得：1133x =，∴3x =，把3x =代入②，解得：2y =-，∴方程组的解是：32x y =⎧⎨=-⎩； （2）4125102(23)3(1)12x x x x -≥-⎧⎨--+≥-⎩①②解不等式①，得：2x -≤；解不等式②，得：3x ≥-；∴不等式组的解集为：32x --≤≤.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组和解不等式组的步骤和方法.24、解：作AB 的垂直平分线，以点C 为圆心，以AB 的一半为半径画弧交AB 的垂直平分线于点M 即可．【详解】易得M 在AB 的垂直平分线上，且到C 的距离等于AB 的一半．25、（1）24米；（2）梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米．【分析】（1）应用勾股定理求出AC 的高度，即可求解；（2）应用勾股定理求出B ′C 的距离即可解答．【详解】（1）如图，在Rt △ABC 中AB 2=AC 2+BC 2，得AC =2222257AB BC -=-=24(米)答：这个梯子的顶端距地面有24米．（2）由A 'B '2=A 'C 2+CB '2，得B 'C =2222'''25(244)A B A C -=--=15(米)，∴BB '=B 'C ﹣BC =15﹣7=8(米)．答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米．【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．26、见解析【分析】先利用“配方法”分解因式，然后根据平方差公式因式分解即可解答．【详解】解：a4+4＝（a4+4a2+4）﹣4a2＝（a2+2）2﹣（2a）2＝（a2+2+2a）（a2+2﹣2a）＝（a2+2a+2）（a2﹣2a+2）．【点睛】本题考查了配方法分解因式，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．。

福建省福州市鼓楼区延安中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．第24届冬奥会将于2022年2月在北京和张家口举办，下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．2x4可以表示为（）A．（2x2）2B．x4•x4C．2x5﹣x D．2x6÷x23．如图，直线AO⊥OB，垂足为O，线段AO＝3，BO＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交直线AO于点C．则OC的长为（）A．5B．4C．3D．24有意义的m的取值范围为（）A．m≥2B．m≤2C．m＜2D．m＞25．下列定理中逆命题是假命题的是（）A．对顶角相等B．同位角相等，两直线平行C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方D．在一个三角形中如果两边相等那么它们所对的角也相等6．如图，⊥ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，连接BD；若BD⊥AC，则⊥CBD的度数是（）A ．22°B ．22.5°C ．24°D ．24.5°7．下列对⊥ABC 的判断，不正确的是（ ）A ．若⊥A ：⊥B ：⊥C ＝1：2：3，则⊥ABC 是直角三角形B ．若AB ：BC ：CA ＝1：2⊥ABC 是直角三角形C ．若AB ＝BC ，⊥A ＝60°，则⊥ABC 是等边三角形D ．若AB ＝BC ，⊥C ＝50°，则⊥B ＝50°8．若a 1，则a +1a的整数部分是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 9．计算()()x a x b x c ---+()()a b b c x b ---+()()a b c b x c ---所得的结果是（ ） A ．1x a - B ．1-x b C ．1x c - D ．1a b- 10．如图，点A ，B ，C ，D 顺次在直线l 上，等腰Rt ⊥ACE 的底边AC =m ，等腰⊥BDF的底边BD =n ，腰FB =FD =56n ，记⊥CDE 与⊥ABF 的面积的差为S ，当BC 的长度变化时，S 始终保持不变，则m ，n 满足（ ）A ．m ＝43nB ．m ＝54nC ．m ＝65nD ．m n二、填空题11．因式分解：24a -=_______．12．在平面直角坐标系中，点P 12-，关于x 轴的对称点的坐标为____________. 13．已知一种流感病毒的细胞直径约为120纳米（1纳米＝10﹣9米），那么用科学记数法表示该病毒的直径约为_____米．14．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A 、B 、C 、D 的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形E的面积是___．15．某校为推进“数学文化智慧阅读”活动，采购了一批图书．其中《九章算术）和《几何原本》的单价共80元，用640元购进《九章算术》与用960元购进《几何原本》的数量相同．求这两本书的单价．设《九章算术》的单价为x 元，依题意，列出方程：_____．16．在直角⊥ABC 中，⊥C =90°，⊥B =30°，AC =6，点D 是CB 边上的动点，连接AD ，将线段AD 顺时针旋转60°，得到线段AP ，连接CP ，线段CP 的最小值是______．三、解答题17．计算：101()(2022)2π-+-18．先化简再求值：235(2)22a a a a a -÷+---，其中a 3． 19．如图，在⊥ABC 中，⊥BAC ＝75°，⊥ACB ＝35°，⊥ABC 的平分线BD 交边AC 于点D ．求证：⊥BCD 为等腰三角形．20．如图，在Rt ⊥ABC 中，⊥C ＝90°，(1)尺规作图：在斜边AB上作一点D，使得点D到线段BC两端点的距离相等．(2)若AC＝3，BC＝4，求⊥BCD的面积．21．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)请根据拼图的原理，写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；(2)根据（2）中等式，已知a+b＝9，ab＝8，求﹣b2+2ab﹣a2和b2﹣a2的值．22．为厉行节能减排，倡导绿色出行，今年3月以来．“共享单车”（俗称“小黄车”）公益活动登陆我市中心城区．某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A、B两种不同款型，请回答下列问题：问题1：单价该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A、B两型自行车各50辆，投放成本共计7500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A、B两型自行车的单价各是多少？问题2：投放方式该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“小黄车”，乙街区每1000人投放8240aa辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值．23．【示例】（1）在等腰三角形ABC中，若⊥A＝80°，求⊥B的度数．分析：⊥A、⊥B都可能是顶角或底角，因此需要分类，据此可求出⊥B＝______．（2）若等腰三角形ABC周长为19，AB＝7，求BC的长度．分析：AB可能是腰或底边，因此需要分类，据此可求出BC＝______．【应用】（3）将一个边长为5、12、13的直角三角形拼上一个三角形后可以拼成一个等腰三角形，图2就是其中的一种拼法，请你画出其他所有可能的情形，并在图上标出所拼成等腰三角形的底边的长度（每种情形用一个图形单独表示，并用⊥、⊥、⊥…编号）24．阅读下面的材料，并解答后面的问题材料：将分式22431x xx+--拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．解：由分母为x﹣1，可设2x2+4x﹣3＝（x﹣1）（2x+m）+n．因为（x﹣1）（2x+m）+n＝2x2+mx﹣2x﹣m+n＝2x2+（m﹣2）x﹣m+n，所以2x2+4x﹣3＝2x2+（m﹣2）x﹣m+n所以243mm n-=⎧⎨-+=-⎩，解得63mn=⎧⎨=⎩，所以22431x xx+--＝(1)(26)31x xx-++-＝2x+6+31x-．这样，分式就被拆分成了一个整式2x+6与一个分式31x-的和的形式，根据你的理解解决下列问题：(1)请将分式23411x xx+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；(2)若分式25932x xx+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+16n-，求m2﹣n2+mn的最大值．25．在平面直角坐标系中，点A（0，a），B（b，0），满足b，P 为x轴上一点（与O、B两点不重合），OP＝m，点P关于y轴的对称点为Q，过Q作AP的垂线交直线AP于点H，交直线AB于点M．(1)若PB PO 1，求m 的值； (2)若P 点在线段OB 上，求证：AP ＝QM ；(3)若P 点在x 轴上运动，请你画图探究相对应的点M 的位置，并求出点M 的坐标（用含m 的式子表示）．参考答案：1．B【解析】【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：选项A ，C ，D 都不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项B 能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：B ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．D【解析】【分析】根据积的乘方、同底数幂的乘法、整整式的减法、同底数幂的除法依次判断．【详解】解：A 、224(2)4x x =，故该选项不符合题意；B 、448x x x =，故该选项不符合题意；C 、52,x x ，不是同类项，故该选项不符合题意；D 、62422x x x ÷=，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了整式的加减乘除运算，解题的关键是掌握基本的运算法则．3．D【解析】【分析】利用勾股定理求出AB，结合题意可得AC=5，从而求出结论．【详解】解：⊥AO⊥OB，线段AO＝3，BO＝4，⊥在Rt⊥AOB中，AB，由题意可知：AC=AB=5，⊥OC=AC－AO=2，故选择D．【点睛】此题考查的是勾股定理，垂线定义，线段和差，掌握利用勾股定理解直角三角形是解题关键．4．D【解析】【分析】根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不等于0即可得．【详解】解：由题意得：1220mm⎧≥⎪-⎨⎪-≠⎩，解得2m>，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性和分式的分母不等于0是解题关键．5．A【解析】【分析】先写出各个命题的逆命题，再根据对顶角的概念、平行线的性质、勾股定理的逆定理、等角对等边判断即可．【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，是假命题，符合题意；B、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意；C、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的逆命题是一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意；D、在一个三角形中如果两边相等那么它们所对的角也相等的逆命题是在一个三角形中如果两角相等那么它们所对的边也相等，是真命题，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，解题的关键是掌握在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．6．B【解析】【分析】先利用线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求得⊥A、⊥ABD、⊥ABC，最后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：⊥BD⊥AC，DE是AB的垂直平分线，⊥⊥ADB=90°，DA=DB，⊥⊥A=⊥ABD=45°，⊥AB=AC，⊥⊥ABC=⊥ACB=67.5°，⊥⊥CBD=⊥ABC-⊥ABD=67.5°-45°=22.5°，．故选B．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，明确题意、灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．7．D【解析】【分析】根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定以及三角形的内角和定理即可作出判断．【详解】解：A．若⊥A：⊥B：⊥C=1：2：3，则⊥A=30°，⊥B=60°，⊥C=90°，所以⊥ABC是直角三角形，故此选项正确，不符合题意；B．若AB：BC：CA＝1：2则122=22，那么这个三角形是直角三角形，故此选项正确，不符合题意；C．若AB=BC，⊥A=60°，则⊥A=⊥C=60°，⊥B=60°，所以⊥ABC是等边三角形，故此选项正确，不符合题意；D．若AB=BC，⊥C=50°，则⊥A=⊥C=50°，⊥B=80°，故此选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的判定以及等边三角形的判定．根据已知条件解出三角形中的角是解题的关键．8．C【解析】【分析】把a的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出最简结果，再估算即可求解．【详解】解：⊥a1，⊥a+1111=⊥4<8<9，⊥2<，⊥a +1a 的整数部分是2，故选：C【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算能力，掌握二次根式的混合运算法则是解决问题的关键．9．C【解析】【分析】先后两项通分相加结果再与第一项通分相加即可求解．【详解】 解：()()x a x b x c ---+()()a b b c x b ---+()()a b c b x c ---， =()()x a x b x c ---+()()a b b c x b ----()()a b b c x c ---， =()()x a x b x c ---+()()()()()()()a b x c a b x b b c x b x c --------， =()()x a x b x c ---+()()()()()a b b c b c x b x c -----， =()()x a x b x c ---+()()a b x b x c ---， =()()x a a b x b x c -+---， =()()x b x b x c ---， =1x c-． 故选C ．【点睛】本题主要考查分式的加法法则，掌握逐步通分和约分方法是解题的关键．10．A【解析】【分析】过点F 作FH ⊥AD 于点H ．过点E 作EG ⊥AD 于G ，分别利用直角三角形的性质和勾股定理求出EG 和FH ，然后设BC =x ，分别表示出⊥CDE 与⊥ABF 的面积，再将二者相减得到关于x 的代数式，因为x 变化时，S 不变，所以x 的系数为0，则可得到m 与n 的关系式．【详解】解：过点F 作FH ⊥AD 于点H ，过点E 作EG ⊥AD 于G ，⊥⊥ACE 是等腰直角三角形，AC =m ，⊥EG =12AC =2m ， ⊥BD =n ，FB =FD =56n ，FH ⊥AD ， ⊥BH =12BD =2n ， 在Rt ⊥BHF 中，FH 23n ==， 设BC =x ，则S △ABF =12AB •FH =12（m -x ）×23n ，S △CDE =12CD •EG =12（n -x ）×2m ， ⊥S △CDE -S △ABF =12（n -x ）×2m -12（m -x ）×23n =（3n -4m ）x -12mn ， ⊥当BC 的长度变化时，S 始终保持不变， ⊥3n -4m =0， ⊥m =43n ， 故选：A ．【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质及三角形的面积计算，熟练掌握等腰三角形的相关性质是解题的关键．11．()()2a 2a +-【解析】【详解】试题分析：因为2224a 2a -=-，所以直接应用平方差公式即可：()()2224a 2a 2a 2a -=-=+-．12．12--（，）【解析】【分析】关于x 轴对称的点的坐标的特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数.【详解】解：⊥P （-1，2）与对称点关于x 轴对称，⊥横坐标相同，纵坐标互为相反数，⊥对称点的坐标为（-1，-2）．故答案为(-1，-2).【点睛】此题主要考查了关于x 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律13．71.2010-⨯【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n 是负整数．【详解】解：120纳米这个数用科学记数法表示为：120纳米=71.2010-⨯米，故答案为：71.2010-⨯．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．14．30【解析】【分析】根据勾股定理可得：正方形F 的面积=正方形A 的面积+正方形B 的面积，正方形G 的面积=正方形C 的面积+正方形D 的面积，从而得到正方形E 的面积=正方形F 的面积+正方形G 的面积，即可求解．【详解】解：如图，由勾股定理得，正方形F 的面积=正方形A 的面积+正方形B 的面积223425=+=， 同理，正方形G 的面积=正方形C 的面积+正方形D 的面积22215=+=，∴正方形E 的面积=正方形F 的面积+正方形G 的面积30=．故答案为：30【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．15．x x 64096080． 【解析】【分析】设《九章算术》的单价为x 元，《几何原本》的单价为（80-x ）元，根据等量关系：用640元购进《九章算术》与用960元购进《几何原本》的数量相同．列方程x x 64096080即可．【详解】解：设《九章算术》的单价为x 元，《几何原本》的单价为（80-x ）元，依题意，列出方程：x x 64096080．故答案为：x x 64096080． 【点睛】 本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，抓住等量关系列方程是解题关键．16．3【解析】【分析】在AB 上取一点K ，使得AK =AC ，连接CK ，DK ．由⊥P AC ⊥⊥DAK （SAS ），推出PC =DK ，易知KD ⊥BC 时，KD 的值最小，求出KD 的最小值即可解决问题．【详解】解：如图，在AB 上取一点K ，使得AK =AC ，连接CK ，DK ．⊥⊥ACB =90°，⊥B =30°，⊥⊥CAK =60°，⊥⊥P AD =⊥CAK ，⊥⊥P AC =⊥DAK ，⊥P A =DA ，CA =KA ，⊥⊥P AC ⊥⊥DAK （SAS ），⊥PC =DK ，当KD ⊥BC 时，KD 的值最小，⊥⊥ACB =90°，⊥B =30°，AK =AC =6，⊥AB =12，则KB =6，⊥KD =3，⊥PC 的最小值为3．故答案为：3．【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．17．1--【解析】【分析】根据负整指数幂，零指数幂，二次根式的性质化简计算即可．【详解】解：()10120222π-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭21=-+-1=--【点睛】本题考查了负整指数幂，零指数幂，二次根式的性质化简，掌握以上知识点是解题的关键．18．()13a a +， 【解析】【分析】先根据分式的运算法则进行化简，然后将a 的值代入原式即可求出答案．【详解】 解：235(2)22a a a a a -÷+--- 22345()222a a a a a a --=÷---- 223922a a a a a --=÷-- 32(2)(3)(3)a a a a a a --=⋅-+- =()13a a +，当a 3时，原式== 【点睛】 本题考查分式的运算，分母有理化，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．19．见解析【解析】【分析】先根据三角形内角和得：70ABC ∠=︒，由角平分线及已知角可得：35DBC ACB ∠=∠=︒，可得结论．【详解】证明：在ABC ∆中，75BAC ∠=︒，35ACB ∠=︒，18070ABC BAC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒，BD 平分ABC ∠，1352DBC ABD ∴∠=∠=︒， 35DBC ACB ∴∠=∠=︒，BCD ∴∆为等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的证明，角平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形角平分线的性质．20．(1)见解析(2)3【解析】【分析】（1）作BC 的垂直平分线，即可在线段AB 上作一点D ，根据垂直平分线的性质即可得CD BD =；（2）过点D 作BC 的垂线，交于E ，证明出()Rt CDE Rt BDE AAS ≌，得出E 为BC 的中点，再证明DE 为Rt ABC 的中位线，得1322DE AC ==，由12BCD S BC DE =即可得出． (1)解：如图，点D 即为所求；(2)解：CD BD =，DCE DBE ∴∠=∠，过点D 作BC 的垂线，交于E ，90CED BED ∴∠=∠=︒，DE DE =，()Rt CDE Rt BDE AAS ∴≌，CE BE ∴=，E ∴为BC 的中点，//AC DE ，DE ∴为Rt ABC 的中位线， 1322DE AC ==， 11343222BCD S BC DE ∴==⨯⨯=． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，垂直平分线，等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的中位线，解题的关键是掌握基本作图方法．21．(1)（m +n ）2=4mn + (m ﹣n ）2；(2)-63或63．【解析】【分析】（1）利用大正方形面积=4个长方形面积+阴影正方形面积即可得解；（2）先将﹣b 2+2ab ﹣a 2=-（a -b ）2，然后利用公式变形可求，再利用平方根性质求出| a -b7，将b 2﹣a 2因式分解整体代入求值即可．(1)解：大正方形边长为m+n，其面积为（m+n）2，阴影正方形边长为m-n，其面积为（m-n）2，⊥大正方形面积=4个长方形面积+阴影正方形面积，⊥（m+n）2=4mn+(m﹣n）2；(2)解:⊥a+b＝9，ab＝8，⊥﹣b2+2ab﹣a2=-（a-b）2=-[（a+b）2-4ab]=-[92-4×8]=-49，⊥| a-b7=，当a-b=7时，b2﹣a2=（b+a）(b-a)=9×（-7）=-63，当a-b=-7时，b2﹣a2=（b+a）(b-a)=9×7=63．【点睛】本题考查利用图形关系推导完全平方公式变形公式，以及变形公式的应用，正方形面积，长方形面积，平方根，式子的值，代数式的值，掌握利用图形关系推导完全平方公式变形公式，以及变形公式的应用，正方形面积，长方形面积，平方根，式子的值，代数式的值是解题关键．22．问题1：A、B两型自行车的单价分别是70元和80元；问题2：a的值为15【解析】【详解】问题1：设A型车的成本单价为x元，则B型车的成本单价为（x+10）元，依题意得50x+50（x+10）=7500，解得x=70，⊥x+10=80，答：A、B两型自行车的单价分别是70元和80元；问题2：由题可得，1500a×1000+12008240aa+×1000=150000，解得a=15，经检验：a=15是分式方程的解，故a的值为15．23．（1）50°、20°、80°；（2）6、7、5；（3）共六种，画图见解析．【解析】【分析】（1）⊥A都可能是顶角或底角，因此需要分⊥A是顶角、⊥A为底角且⊥B为顶角、⊥A为底角且⊥B为底角三种情况解答；（2）AB都可能是底或腰，因此需要分AB为底、AB为腰且BC为腰、AB为腰且BC为底三种情况解答即可；（2）将一个边长为5、12、13的直角三角形拼上一个三角形后拼成一个等腰三角形，据此画出图形即可．【详解】解：（1）当⊥A为顶角时，⊥B＝180∠2A=50°当⊥A为底角且⊥B为顶角时，⊥B=180°-2⊥A=20°⊥A为底角且⊥B为底角时，⊥B=180°-⊥A=80°故答案为：50°、20°、80°.（2）当AB为底时，BC=1972=6当AB为腰且BC为腰时，BC=AB=7当AB为腰且BC为底时，BC=19-2AB=5故答案为6、7、5．（3）如图：共有六种情况：【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角、等边对等角等知识点，理解题意、弄清问题中对所作图形的要求成为解答本题的关键．24．(1)234123111x x x x x +-=+-++； (2)m 2-n 2+mn 的最大值为45．【解析】【分析】（1）根据材料中提供的方法，将2341x x +-转化为23x +（a +3）x +a +b ，进而利用方程组求出a 、b ，最后再将 23411x x x +-+ 转化为()()13121x x x ++-+，从而得出答案； （2）根据（1）的方法可得25932x x x +-+ ＝5x ﹣1﹣12x +，进而得到5m ﹣11+16n -＝5x ﹣1﹣ 12x +，然后用含有x 的代数式表示m 、n ，代入22m n -+mn 后，写成 22m n -+mn ＝ ()27x --+45，进而求出最大值．(1)解：⊥分式23411x x x +-+ 由分母为x +1，可设()()234113x x x x a b +-=+++． 因为（x +1）（3x +a ）+b ＝3x 2+ax +3x +a +b ＝3x 2+（a +3）x +a +b ，所以3x 2+4x -1＝3x 2+（a +3）x +a +b ，因此有341a a b +=⎧⎨+=-⎩， 解得12a b =⎧⎨=-⎩， 所以()()21312341231111x x x x x x x x ++-+-==+-+++； (2)解：由分母为x +2，可设5x 2+9x ﹣3＝（x +2）（5x +a ）+b ，⊥（x +2）（5x +a ）+b ＝5x 2+ax +10x +2a +b ＝5x 2+（a +10）x +2a +b ，⊥5x 2+9x ﹣3＝5x 2+（a +10）x +2a +b ，⊥有10923a ab +=⎧⎨+=-⎩， 解得11a b =-⎧⎨=-⎩， ⊥()()22511593151222x x x x x x x x +--+-==--+++， ⊥分式25932x x x +-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m ﹣11+16n -， ⊥5m ﹣11+16n -＝5x ﹣1﹣12x +， ⊥5m ﹣11＝5x ﹣1，n ﹣6＝﹣x ﹣2，⊥m ＝x +2，n ＝﹣x +4，⊥m 2-n 2+mn ＝（x +2）2-（-x +4）2+（x +2）（-x +4）=-x 2+14x -4＝-（x ﹣7）2+45， ⊥-（x ﹣7）2≤0，⊥-（x ﹣1）2+45≤45，所以m 2-n 2+mn 的最大值为45．【点睛】本题考查新定义下实数运算的综合应用，分式变形方法，待定系数法因式分解，二元一次方程组，完全平方公式应用，通过观察总结出有关规律并应用到题目问题的解决中是解题关键．25．(1)m 2+(2)见详解；(3)点M 的坐标为（2+m ，-m ）或（2-m ，m ）．【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义求出2a =，b =2，分三种情况，当点P 在线段OB 上， 根据PBPO 1，得出21m m -=，当点P 在x 轴负半轴上，根据PB PO ﹣1，得出21mm +=，当点P 在点B 右侧x 轴上，根据PB PO 1，得出21m m -=，解方程即可；（2）过M 作MC ⊥x 轴于C ，先证△AOB 为等腰直角三角形，再证CM =CB ，待定系数法求，设CM =CB =n ，MQ 的解析式为y kx b =+，AP 解析式为：yαx β， 根据QM ⊥AP ，得出αk=-1即n n m m 212，证得n =m ，证明△AOP ⊥△QCM （ASA ）即可； （3）分三种情况当点P 在x 轴负半轴上运动，点P （-m ，0），点A （0，2），由（2）知△BCM 为等腰直角三角形，根据QM ⊥AP ，得出αk =-111即n n m m 212，解得m =n ，点M （2+m ，-m ），当点P 在OB 上，0＜m ＜2，M （2-n ，n ）由（2）值m =n ，点M （2-m ，m ），当P 在点B 右侧x 轴上，点P （m ，0），点A （0，2），m ＞2，M （2-n ，n ）,根据QM ⊥AP ，αk =-221即n n m m 212，m =n ，点M （2-m ，m ）即可．(1) 解：根据二次根式有意义得2020a a -≥⎧⎨-≥⎩， 解不等式组得a 22，， ⊥2a =，b =2，当点P 在线段OB 上，OP =m ，OB =2，⊥PB =2-m ，⊥PB PO 1，⊥21m m-=，解得m当点P 在x 轴负半轴上，⊥PB =2+m ，⊥PB PO 1，⊥21m m+=，解得2m =-0舍去，当点P 在点B 右侧x 轴上，⊥PB =m -2，⊥PB PO1，⊥21m m-=，⊥2m =综合m或2(2)证明：过M 作MC ⊥x 轴于C ，⊥OA =OB =2，⊥AOB =90°，⊥⊥AOB 为等腰直角三角形，⊥⊥ABO =⊥BAO =45°，⊥MC ⊥x 轴，⊥⊥MCB =90°，⊥⊥CMB =90°-⊥ABC =90°-45°=45°=⊥MBC ,⊥CM =CB ，设CM =CB =n ，MQ 的解析式为y kx b =+⊥点M （2-n ,n ），点Q （-m ，0）⊥()20k n b n mk b ⎧-+=⎨-+=⎩解得：22n k n m mn b n m ⎧=⎪⎪-+⎨⎪=⎪-+⎩设AP 解析式为：y αx β，点A （0,2），点P （m ，0）⊥β=2αβ0m ⎧⎨+=⎩解得β=22α=-m ⎧⎪⎨⎪⎩⊥QM ⊥AP ，αk=-1即n n m m 212解得n =m ⊥QC =2+m -n =2=AO ,⊥⊥QHP =90°，⊥⊥MQC +⊥APO =90°，⊥⊥OAP +⊥APO =90°，⊥⊥OAP =⊥CQM ，⊥⊥AOP =⊥QCM =90°，在△AOP 和△QCM 中，OAP CQM OA CQAOP QCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩⊥△AOP ⊥△QCM （ASA ），⊥AP =QM ；(3)解：分三种情况：当点P 在x 轴负半轴上运动，点P （-m ，0），点A （0，2），由（2）知△BCM 为等腰直角三角形，BC =CM =n ，点M （2+n ，-n ）设AP 解析式为y αx β11代入坐标得111β2αβ0m =⎧⎨-+=⎩，解得11β22αm =⎧⎪⎨=⎪⎩，设QM 解析式为11y k x b =+，⊥点M （2+n ,-n ），点Q （m ，0），⊥()111120k n b n mk b ⎧++=-⎨+=⎩， 解得：1122n k n m mn b n m ⎧=-⎪⎪+-⎨⎪=-⎪+-⎩， ⊥QM ⊥AP ，αk =-111即n n m m 212，解得m =n ，点M （2+m ，-m ），当点P 在OB 上，0＜m ＜2，M （2-n ，n ），由（2）值m =n ，⊥点M （2-m ，m ），当P 在点B 右侧x 轴上，点P （m ，0），点A （0，2），m ＞2，M （2-n ，n ），设AP 解析式为y αx β22代入坐标得：222β2αβ0m =⎧⎨+=⎩，解得22β22αm =⎧⎪⎨=-⎪⎩， 设QM 解析式为22y k x b =+，⊥点M （2+n ,-n ），点Q （-m ，0），⊥()222220k n b n mk b ⎧-+=⎨-+=⎩， 解得：2222n k n m mn b n m ⎧=⎪⎪-+⎨⎪=⎪-+⎩， ⊥QM ⊥AP ，αk =-221即n n m m 212，解得m =n ，点M （2-m ，m ）；综合得点M 的坐标为（2+m ，-m ）或（2-m ，m ）．【点睛】本题考查，二次根式有意义条件，等腰直角三角形判定与性质，分式方程，待定系数法求一次方程解析式，两直线垂直性质，三角形全等判定与性质，图形与坐标，本题难度角度，应用知识多，图形复杂，动点问题要画出准确图形，利用分类思想使问题得以全面解决是解题关键．。

2022-2023学年上学期福建省八年级数学期末试题选编：整式的乘法与因式分解A ．B ．8．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）我们知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式，例如图1可以用来解释25x x -+A ．B ．C ．D ．9．（2022秋·福建漳州·八年级统考期末）如图，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形，将剩余部分前开，密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）在2021，2023，2026，2028这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是（ ）A ．2021B ．2023C ．2026D ．202811．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）如图，边长为a 的正方形分割成两个正方形和两个长方形，根据图中各部分面积之间的关系能验证的等式是（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）()()22a b a b a b -=+-()()222a b a b a ab b-+=+-()2222a b a ab b +=++()2222a b a ab b -=-+2a ()2+a ()2a >234a -224a a +2344a a --2344a a ++222()2a b a ab b +=++222()2a b a ab b -=-+22()()a b a b a b +-=-2(2)2a a b a ab+=+二、填空题三、解答题22．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）甲、乙两个长方形的边长如图所示，其面积分别记为，．(1)请通过计算比较与的大小；(2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长的和，设该正方形的面积为，试说明代数式1S 2S 1S 2S 3S的值是一个常数．23．（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）计算：(1)；(2)．24．（2022秋·福建漳州·八年级统考期末）计算：．25．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）计算：(1)；(2)；(3)．26．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）化简：．27．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）图①是一个长为，宽为的长方形纸片，将长方形纸片沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形，然后拼成图②所示的一个大正方形．请仔细观察图形，回答下列问题：(1)这三个代数式之间的等量关系为__________．(2)应用（1）中发现的关系式解决问题：若，求的值．28．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）计算：(1)；(2)．29．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）阅读材料，解答问题：任意一个正整数都可以进行这样的分解：（，是正整数，且），在的所有这种分解中，如果，两因数之差最小，我们就称是的最优分解，记．()3122S S S -+()22a b a a -÷()()2322a a a ⋅+-2(2)3x x x -+⋅()253x y x -()()32x x +-()()3232x x +-()()()222a b b b a b a b -÷-+-2m 2n 22(),(),m n m n mn +-9,14x y xy +==x y -2(1)x x x -+()2322(2)363a b ab a b ab +--÷n n a b =⋅a b a b ≥n a b ⋅a b n ()F n a b =-例如：，，是12的最优分解，即．(1)填空：______；(2)若是大于1的正整数，求的值；(3)已知，其中是正整数，求的值．30．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）请对多项式和进行加、减、乘、除运算．(1)分别写出四种运算过程和结果；(2)比较多项式和的大小．31．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：再如“”分法：利用上述方法解决下列问题：(1)分解因式：．(2)的三边a ，b ，c 满足，判断的形状，并说明理由．32．（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）某数学兴趣小组研究如下等式：，121216243=⨯=⨯=⨯1216243->->-Q 43∴⨯()12431F =-=()18F =x ()2F x x -()2150F x -=x x 242a a -21a -242a a -21a -22＋31＋32＋33＋22＋ax ay bx by+++()()ax ay bx by =+++()()a x yb x y =+++()()x y a b =++31＋22216x xy y -+-()22216x xy y =-+-()224x y =--()()44x y x y =-+--229616x xy y -+-ABC V 2a bc ab ac +-=ABC V 38321216⨯=，，．观察发现以上等式均是“十位数字相同，个位数字之和是10的两个两位数相乘，且积有一定的规律”．(1)根据上述的运算规律，直接写出结果：___________；___________．(2)设其中一个数的十位数字为a ，个位数字为b （a ，），①请用含a ，b 的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明；②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若分别记新的两个两位数的乘积为m ，①中的运算结果为n ，求证：能被99整除．53573021⨯=71795609⨯=84867224⨯=5852⨯=275=0b >3832⨯8323⨯m n -参考答案：断．5．D【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可．【详解】解：（﹣5x ）2＝25x 2，故选：D ．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．6．D【分析】由合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A 、不能合并，故A 错误；B 、，故B 错误；C 、，故C 错误；D 、，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了整式乘法，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行判断．7．A【分析】由图可得，阴影部分的面积可以用一个小正方形与两个小长方形的面积和，即阴影部分面积；然后把四个选项中的整式都用整式运算法则进行变形，则最终变形结果不是，就是不能表示图中阴影部分面积的整式．【详解】解：由图可得，图中阴影部分可以用一个小正方形与两个小长方形的面积和，即阴影部分面积；∵，，，又∵，∴不能表示图中阴影部分面积的是，故A 符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式运算法则，准确计算．8．D【分析】根据边长乘边长求解正方形面积及用大正方形减阴影部分即可得到答案．2a a +527a a a ⋅=()326a a =()2224ab a b =2232336x x x x =++⨯=++236x x ++2232336x x x x =++⨯=++()23636x x x x ++=++()226323x x x x =++++()()2232256236x x x x x x x x ++-=++-=++22536x x x x -+≠++25x x -+【详解】解：由题意可得，，，∴，故选D ．【点睛】本题考查完全平方差公式证明，解题的关键是用不同的求法求空白正方形面积．9．C【分析】直接用大正方形的面积，减去小正方形的面积，进行计算即可．【详解】解：该平行四边形的面积为；故选C ．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．10．C【分析】根据平方差公式可进行求解．【详解】解：A 、，故不符合题意；B 、，故不符合题意；C 、，一奇一偶，不能写成平方差公式，故符合题意；D 、，故不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．11．B【分析】利用两种方法表示出边长是的小正方形的面积，即可求解．【详解】解：边长是的小正方形的面积是：，同时是：边长是的正方形的面积个边长是与的矩形的面积边长是的正方形的面积，即：，则：，故选：B ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，正确表示出边长是的小正方形的面积是关键．12．B【分析】直接利用因式分解的定义进行判断即可得出答案．2()S a b =-空白22222()2S a a b b b a ab b =---=-+空白222()2a b a ab b -=-+()()2222222444344a a a a a a a -+=---=--()()22202120211101110101011101010111010=⨯=+⨯-=-()()22202320231101210111012101110121011=⨯=+⨯-=-202610132=⨯()()22202810142508506508506508506=⨯=+⨯-=-a b -()a b -()2a b -a 2-a b +b 222a ab b -+222()2a b a ab b -=-+a b -【详解】．故答案为：．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．20．6【分析】首先提取公因式，进而将已知代入求出即可．【详解】，，．故答案为：6．【点睛】此题考查因式分解，整式的求值计算，将多项式分解因式后进行计算较为简便 .21．【分析】先明确a ，b 是自然数，然后把已知等式的左边进行因式分解求出a ，b ，最后代入求值即可．【详解】∵a ，b 均为自然数且∴a ，b 均为不小于0的整数∴∴，∴∴故答案为：【点睛】本题考查提公因式法因式分解，解题的关键是明确a ，b 均为不小于0的整数．22．(1)；(2)代数式的值是一个常数．【分析】（1）依据长方形面积公式，分别计算出，，然后进行作差比较计算出即可判断；（2）依据题意计算出正方形的周长，从而求出及即可．【详解】（1）解：，，∵，()2824ax ay a x y =+＋()24a x y +a 2a =Q 3a b -=2()236a ab a a b ∴-=-=⨯=2-25a ab +=()515a ab ==⨯＋1a =5a b +=4b =2242a b -=-=-2-12S S >()3122S S S -+201S 2S 12S S -3S ()3122S S S -+()()212468S m m m m =++=++()2266S m m m m =+=+()()221268680S S m m m m -=++-+=>【点睛】本题考查了整式的混合运算法则，熟记对应法则是解题的关键．25．(1)(2)(3)【分析】（1）根据单项式乘多项式法则计算；（2）根据多项式乘多项式法则计算；（3）根据完全平方公式法则计算．【详解】（1）解：；（2）；（3）．【点睛】此题主要考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式，解题的关键是掌握各自的运算法则．26．b 2-2b ．【分析】根据整式的加减运算、乘除运算法以及平方差公式则即可求出答案．【详解】解：=a 2-2b -（a 2-b 2）=a 2-2b -a 2+b 2=b 2-2b ．【点睛】本题考查了整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的加减运算、乘除运算以及平方差公式，本题属于基础题型．27．(1)(2)2106xy x -26x x +-294x -()253x y x -2106xy x =-()()32x x +-2236x x x =-+-26x x =+-()()3232x x +-294x =-()()()222a b b b a b a b -÷-+-()()224m n mn m n +-=-5±，是18的最优分解，即，故答案为：3；（2）解：为正整数，且不能分解为一个整式的平方，又，与相差1是最小的，是的最优分解，；（3）解：，，，，，均为正整数且，或，解得或．【点睛】本题考查了新定义运算，分解因式的应用，根据示例进行分解因式是解题的关键．30．(1)见解析(2)【分析】（1）根据题干要求分别计算即可；（2）根据两式相减的结果，变形得到，根据乘方的非负性可判断结果．【详解】（1）解：，，，；（2）∵，∴．1819263->->-Q 36∴⨯()18633F =-=x Q 2x x -()21x x x x -=-x ∴1x -()1x x ∴-2x x -()21F x x ∴-=()2150F x a b -=-=Q a b ∴=2215x ab a ∴-==()()15153x a x a ∴+-=⨯=⨯x Q a x a x a +>-151x a x a +=⎧∴⎨-=⎩53x a x a +=⎧⎨-=⎩8x =4x =24221a a a -≥-()221a -()()2224221422141a a a a a a a -+-=-+-=-()()22242214221441aa a a a a a a ---=--+=-+()()23223242218442882a a a a a a a a a a -⨯-=--+=-+()()()()24221221212a a a a a a a -÷-=-÷-=()()()2224221441210a a a a a a ---=-+=-≥24221a a a -≥-【点睛】本题考查了多项式的乘除法，整式的加减运算，因式分解的应用，解题的关键是掌握运算法则．31．(1)；(2)是等腰三角形，理由见解析．【分析】（1）根据“”分法即可得出答案；（2）根据“”分法分解因式，得出或，即可得出答案．【详解】（1）解：；（2）解：，，，，，∴或，∴或，∴是等腰三角形．【点睛】本题考查因式分解，利用分组分解法时，要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题．32．(1)3016；5625(2)①；证明见解析；②见解析【分析】（1）根据上述的运算规律计算，即可求解；（2）①根据题意可得这两个两位数分别为，，从而得到这个运算规律为，然后分别计算等式的左右两边，即可；②由①得：，可得新的两个两位数分别为，，进而得到()()3434x y x y -+--ABC V 31＋22＋0a b -=0a c -=229616x xy y -+-()229616x xy y =-+-()2316x y =--()()3434x y x y =-+--2a bc ab ac +-=20a bc ab ac +--=()20a ab ac bc ---=()()0a a b c a b ---=()()0a b a c --=0a b -=0a c -=a b =a c =ABC V ()()()()101010100110a b a b a a b b ++-=++-10a b +1010a b +-()()()()101010100110a b a b a a b b ++-=++-2210010010n a a b b =++-10b a +()1010b a -+，然后计算出，即可．【详解】（1）解：根据题意得：，；故答案为：3016；5625（2）解：①∵其中一个数的十位数字为a ，个位数字为b （a ，），∴另一个数的十位数字为a ，个位数字为，∴这两个两位数分别为，，根据题意得：这个运算规律为，证明：左边右边，∴左边右边；②由①得：，∵分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘，∴新的两个两位数分别为，，∴，∴，，∵a ，b 为正整数，∴为整数，∴能被99整除．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解的应用，明确题意，准确得到规律是解题的关键．()()101010m b a b a =+-+⎡⎤⎣⎦m n -()585256100823016⨯=⨯⨯+⨯=()27578100555625=⨯⨯+⨯=0b >10b -10a b +1010a b +-()()()()101010100110a b a b a a b b ++-=++-22100101001010a ab a b ab b =+++--2210010010a a b b =++-2210010010a a b b =++-=2210010010n a a b b =++-10b a +()1010b a -+()()101010m b a b a =+-+⎡⎤⎣⎦()()1010010b a b a =+-+2210001001001010b a b ab ab a =+--++221000100100b b a a =-++()()2222100010010010010010m b b a a a a b b n -=-++-++-2222100010010010010010b b a a a a b b =-++---+229999990a b b =--+()229910a b b =-++2210a b b ++m n -。