《相交线与平行线》 基础知识详解

相交线与平行线知识点总结1.直线的定义：直线是平面上的一组点，这些点的任意两个点都可以用直线上的一段有向线段连接起来。

直线也可以看作没有端点的线段。

2.相交线的性质：(1)相交线：两条直线在平面上的交点。

两条相交的直线不可能平行。

(2)轴：两条相交线的交点称为轴。

(3)垂直交线：两条相交线互相垂直，即交角为90度。

(4)垂线：一条直线与另一条直线垂直，称为垂线。

(5)垂直平分线：两条相交直线的交点到两条直线距离相等的直线，称为垂直平分线。

3.平行线的性质：(1)平行线：在同一个平面内，两条直线不相交，称为平行线。

(2)平行符号：在直线上标记一对箭头表示平行关系。

(3)平行线定理：-同位角定理：两条平行线与同一条横截线相交，所得相对应的内角相等，相对应的外角相等。

-平行线之间的任意一对同位角互相相等。

(4)平行线判定定理：-直线与直线平行判定定理：直线与一条直线平行，则与这条直线平行的所有直线都平行。

-同位角平行判定定理：两条直线被一条横截线所截，使同位角相等，则这两条直线平行。

-垂直线判定定理：两条直线互相垂直，则这两条直线平行于同一直线。

(5)平行线的性质：-平行线之间的距离相等：两条平行线上任意两点之间的距离相等。

-平行线的夹角：两条平行线被一条直线截断所得的内角和为180度。

-平行线的斜率：两条平行线的斜率相等或者其中一条线的斜率不存在。

4.平行四边形：(1)平行四边形定义：有两对对边分别平行的四边形。

(2)平行四边形的性质：-对边相等：平行四边形的对边相等。

-对角线：平行四边形的对角线互相平分。

-同位角：平行四边形的同位角互相相等。

5.直线的倾斜角：(1)倾斜角定义：一条直线倾斜角的正切值等于该直线的斜率。

(2)平行线的倾斜角：平行线具有相同的倾斜角。

(3)垂直线的倾斜角：垂直线的倾斜角之和等于90度。

6.平行线与欧几里得公设：(1)欧几里得公设五：经过点外的一条直线上至少有两条平行线。

相交线与平行线知识点总结在几何学中，相交线和平行线是基础概念。

它们在理解和解决几何问题时起着重要的作用。

本文将对相交线和平行线的概念、性质以及应用进行总结。

一、相交线的概念及性质相交线是指在同一个平面内交于一点或多个点的两条或多条线段。

我们来看一下相交线的性质。

1. 相交线的定义：两条线段在平面内交于一点或多个点。

2. 相交线的种类：根据其相交方式，相交线可以分为垂直相交线和斜交线两种。

垂直相交线是指交于一点且互相垂直的两条线段；斜交线是指交于一点但不互相垂直的两条线段。

3. 相交线上的角：相交线会形成一些特殊的角，主要包括相邻角、对顶角、内错角和外错角。

相邻角是指在同一侧的相交线上，且共享一个端点的两个角；对顶角是指在相交线的对立面上，且互相垂直的两个角；内错角是指在同一侧的相交线上，且不相邻的两个角；外错角是指在同一侧的相交线上，且与内错角互补的两个角。

4. 直线的平分线：两条相交直线的交点处的角被称为直线的平分线。

平分线将原角分成两个相等的角。

二、平行线的概念及性质平行线是指在同一平面内，永不相交的两条直线。

接下来我们来了解一下平行线的性质。

1. 平行线的定义：在同一平面内，两条直线如果不相交，则它们是平行线。

2. 平行线的判定：常用方法有欧几里得假设、对角线法、平行线法则等。

3. 平行线的性质：平行线之间相互平行；平行线与同一条直线的交线上的对应角相等；平行线与同一平行线的交线上的对应角相等；平行线与平行线之间的距离相等。

4. 平行线的应用：平行线在实际问题中有着广泛的应用，比如在测量、建筑、地理等领域。

通过平行线的性质，我们可以解决许多与位置、角度、距离等有关的问题。

三、相交线与平行线的关系相交线和平行线之间有着紧密的联系，它们的性质可以相互应用。

1. 垂直相交线与平行线：如果两条平行线被一条垂直相交线所截，那么所截得的对应角互为互补角。

2. 斜交线与平行线：如果两条平行线被一条斜交线所截，那么所截得的对应角互为相等角或互为互补角。

相交线与平行线的知识点一、相交线。

1. 邻补角。

- 定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角。

- 性质：邻补角互补，即它们的和为180°。

例如，∠AOC和∠BOC是邻补角，那么∠AOC+∠BOC = 180°。

2. 对顶角。

- 定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。

- 性质：对顶角相等。

如∠AOC和∠BOD是对顶角，则∠AOC = ∠BOD。

3. 垂直。

- 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

- 性质：- 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

- 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简单说成：垂线段最短。

- 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

二、平行线。

1. 平行线的定义。

- 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

用符号“∥”表示平行关系，如直线a平行于直线b，记作a∥b。

2. 平行公理及推论。

- 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

- 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

即如果a∥b，b∥c，那么a∥c。

3. 平行线的判定。

- 同位角相等，两直线平行。

例如，直线a、b被直线c所截，如果∠1 = ∠2（∠1和∠2是同位角），那么a∥b。

- 内错角相等，两直线平行。

如直线a、b被直线c所截，若∠2 = ∠3（∠2是内错角，∠3是同位角），则a∥b。

- 同旁内角互补，两直线平行。

当直线a、b被直线c所截，若∠2+∠4 = 180°（∠2和∠4是同旁内角），那么a∥b。

4. 平行线的性质。

- 两直线平行，同位角相等。

若a∥b，则∠1 = ∠2（∠1和∠2是同位角）。

相交线与平行线第一节相交线一：相交线对顶角与邻补角二：垂线垂线段最短点到直线的距离第二节平行线及其判定一：平行线平行线平行线公理及推论二：平行线的判定同位角、内错角同旁内角平行线的判定第三节平行线的性质平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截;同位角相等．简单说成：两直线平行;同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截;同旁内角互补．．简单说成：两直线平行;同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截;内错角相等．简单说成：两直线平行;内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等平行线的判定及性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）2应用平行线的判定和性质定理时;一定要弄清题设和结论;切莫混淆．（3）3平行线的判定与性质的联系与区别（4）区别：性质由形到数;用于推导角的关系并计算；判定由数到形;用于判定两直线平行．（5）联系：性质与判定的已知和结论正好相反;都是角的关系与平行线相关．（6）4辅助线规律;经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线;构造出三类角平行线之间的距离（1）平行线之间的距离（2）从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线;垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．（3）2平行线间的距离处处相等第四节平移生活中的平移现象1、平移的概念2、在平面内;把一个图形整体沿某一的方向移动;这种图形的平行移动;叫做平移变换;简称平移．3、2、平移是指图形的平行移动;平移时图形中所有点移动的方向一致;并且移动的距离相等．4、3、确定一个图形平移的方向和距离;只需确定其中一个点平移的方向和距离平移的性质②新图形中的每一点;都是由原图形中的某一点移动后得到的;这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等作图----平移变换。

相交线与平行线知识点总结相交线和平行线是几何学中的重要概念，它们在解决平面几何问题中起着重要作用。

本文将对相交线和平行线的基本概念、性质以及相关定理进行总结。

通过深入理解这些知识点，我们可以更好地应用它们解决几何问题。

1. 相交线的基本概念和性质相交线是指在平面上有一个或多个公共点的线段。

对于两条相交线，有以下基本性质：- 相交线的交点称为交点，两条相交线的交点只有一个。

- 相交线之间不存在夹角大小的关系，夹角的大小取决于相交线的具体角度。

2. 平行线的基本概念和性质平行线是指在同一个平面内不相交且永远也不会相交的两条直线。

对于平行线，有以下基本性质：- 平行线之间的距离始终保持相等。

- 平行线之间不存在夹角，夹角大小为0°。

- 平行线的斜率相等。

3. 相交线与平行线的关系相交线与平行线之间存在一些重要的关系：- 若两条线段相交于一点，并且这两条线段中至少有一条是平行线，则其他线段也必然是平行线。

- 若两条直线与同一条直线相交而呈同侧内角，且这两条直线之一与另一条平行线，则这两条直线也必然平行。

- 若两条直线都与同一条直线相交，并且两直线的内角和为180°，则这两条直线是平行线。

4. 相关定理在相交线与平行线的研究中，存在一些重要的定理：- 同一侧内角定理：如果一条直线与另外两条直线相交，形成的两个内角，那么这两个内角要么同时是锐角，要么同时是钝角。

- 交叉线定理：如果两条平行线分别与某一第三条直线相交，那么这两条交线的内外角之和为180°。

- 锐角平分线定理：如果射线是一条直线的角平分线且与这条直线的另一射线相交，那么这两条交线将构成一对平行线。

5. 解决几何问题的应用相交线与平行线的知识在解决几何问题时起着重要作用，常见的应用包括：- 判断两条线段是否相交，并找到相交点的坐标。

- 判断两条线段是否平行或垂直。

- 证明两条线段的平行性、垂直性等。

总之，相交线与平行线是解决平面几何问题的基础概念。

七年级下册数学第五章相交线与平行线
以下是七年级下册数学第五章相交线与平行线的知识点：
1. 相交线：相交线是指两条直线在同一个平面内交于一点。

在相交线中，我们主要研究的是对顶角和邻补角。

对顶角相等，邻补角互补。

同时，我们还学习到了垂线，即直线与给定直线垂直，且交于一点。

2. 平行线：平行线是指两条直线在同一平面内，且不相交。

平行线具有传递性，即如果a平行于b且b平行于c，那么a平行于c。

此外，我们还学习了平行线的性质和判定方法。

3. 平行线的性质：平行线的性质包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。

这些性质是平行线的基本性质，也是解决相关问题的关键。

4. 平行线的判定方法：平行线的判定方法包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。

通过这些判定方法，我们可以确定两条直线是否平行。

5. 平行线的应用：平行线在几何学中有着广泛的应用，如证明两个三角形相似或全等、解决角度和距离的问题等。

同时，在现实生活中，平行线也有很多应用，如建筑、道路规划等。

以上是关于七年级下册数学第五章相交线与平行线的主要知识点，掌握这些知识点有助于更好地理解几何学中的基本概念和性质，提高解决问题的能力。

相交线与平行线知识点整理相交线和平行线是几何学中常见的概念，对于理解和解决空间几何问题非常重要。

本文将对相交线与平行线的基本概念、性质和应用进行整理。

一、相交线的基本概念1. 相交线：两条线段或线相交的现象称为相交线。

2. 相交点：两条线段或线相交的点称为相交点。

3. 直线：两个不同点之间的所有点都是直线上的点。

直线无限延伸，没有起始和终止点。

4. 射线：起点固定，延伸方向唯一的直线部分，一个点和一条直线组成的图形。

二、相交线的性质1. 相交线的两条直线面对面相互穿过，相交点只有一个。

2. 相交线的两条射线面对面相互穿过，起始点相同，相交点朝向不同。

3. 相交线的两条直线分割了平面成为四个部分，称为四个角落。

三、平行线的基本概念1. 平行线：在同一个平面内，永远不会相交的线段或直线称为平行线。

2. 平行线的符号：两条平行线的符号是“||”，例如AB || CD表示线段AB与CD平行。

3. 平行关系：如果一条直线与平面内的另外两条直线都平行，那么这两条直线互相平行。

四、平行线的判定方法1. 对应角相等法则：如果两条直线被一条交线切割，且相邻两个内角互为对应角相等，则这两条直线平行。

2. 同位角相等法则：如果两条直线被一条交线切割，且同侧内角互为同位角相等，则这两条直线平行。

3. 平行线的性质：平行线的两条直线之间的距离是相等的，平行线的两个内角互为对应角相等，同位角相互等。

五、相交线与平行线的应用1. 几何证明：相交线和平行线是几何证明中常用的重要工具，可用于证明两条线段、线性、平面等之间的关系。

2. 高中数学题解：相交线与平行线的概念和性质经常在高中数学题目中出现，掌握这些知识点有助于解决相关题目。

3. 实际应用：相交线和平行线的知识在日常生活和工程设计中有广泛的应用，例如建筑设计中的平行道路规划、交通信号灯的设置等。

综上所述，相交线与平行线是几何学中的重要概念，掌握相交线的基本概念以及平行线的判定方法和性质对于解决几何问题至关重要。

相交线与平行线一、目标与要求1.理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认;2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程;3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力。

二、重点在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角;两条直线互相垂直的概念、性质和画法;同位角、内错角、同旁内角的概念与识别。

三、难点在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角;对点到直线的距离的概念的理解;对平行线本质属性的理解，用几何语言描述图形的性质;能区分平行线的性质和判定，平行线的性质与判定的混合应用。

四、知识框架五、知识点、概念总结1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。

2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。

3.对顶角和邻补角的关系4.垂直：两条直线、两个平面相交，或一条直线与一个平面相交，如果交角成直角，叫做互相垂直。

5.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。

6.垂足：如果两直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，它们的交点叫做垂足。

7.垂线性质(1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简单说成：垂线段最短。

(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

8.同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。

内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。

同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。

9.平行：在平面上两条直线、空间的两个平面或空间的一条直线与一平面之间没有任何公共点时，称它们平行。

10.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

11.命题：判断一件事情的语句叫命题。

12.真命题：正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论一定成立。

13.假命题：条件和结果相矛盾的命题是假命题。

平行线与相交线的知识点总结与归纳平行线与相交线是几何学中非常基础且重要的概念。

它们在很多几何证明和定理中都占据重要地位。

本文将对平行线与相交线的相关概念、性质和应用进行总结与归纳，帮助读者理解和掌握这些知识点。

一、平行线的概念和判定平行线是指在同一个平面内永远不会相交的直线。

平行线的概念可以通过以下方式进行判定：1. 法则一：两条直线被一条横截线所截，且内、外两侧交角相等，则这两条直线是平行线。

2. 法则二：两条直线被平行于它们的横截线所截，对应角相等，则这两条直线是平行线。

3. 法则三：两条直线的斜率相等时，它们是平行线。

二、平行线的性质1. 平行线具有传递性：如果直线a与直线b平行，直线b与直线c 平行，那么直线a与直线c也平行。

2. 平行线具有对应角相等性质：当两条平行线被横截线所截时，对应角相等。

3. 平行线具有同位角相等性质：当两条平行线被平行于它们的横截线所截时，同位角相等。

三、相交线的概念和性质相交线是指在同一个平面内相互交叉或相交的直线。

相交线的性质如下：1. 相交线的交点称为顶点，顶点两侧的角分别称为锐角、钝角或直角。

2. 相交线形成的两组对应角相等，即共鸣。

3. 相交线形成的补角相等，即一个角是另一个角的补角，它们的和等于90°。

四、平行线与相交线的应用1. 平行线与相交线在平面几何证明中经常被应用。

例如，证明两条直线平行时常常使用平行线公理和对应角相等的性质。

2. 平行线与相交线在解决实际问题中也起到重要作用。

例如，在建筑工程中，通过平行线和相交线可以确定物体的垂直、水平方向，从而保证建筑结构的稳定性和安全性。

3. 平行线与相交线还与三角形的性质有密切关系。

在研究三角形的内部角度和边的关系时，平行线与相交线的性质常常用来辅助推导和证明。

综上所述，平行线与相交线是几何学中重要的概念。

通过掌握平行线与相交线的概念、判定、性质和应用，可以帮助我们更好地理解和应用几何学知识，提高问题解决能力和证明能力。

一、本章共分4大节共14个课时；（2.16～3.7第1、4周）章节内容课时第五章 相交线与平行线145.1 相交线35.2 平行线及其判定 35.3 平行线的性质 45.4 平移2单元小结2二、本章有四个数学基本事实1.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；2.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；3.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；4.两直线平行，同位角相等. 三、本章共有19个概念1.对顶角2.邻补角3.垂直4.垂线5.垂足6.垂线段7.点到直线的距离8.同位角9.内错角10.同旁内角11.平行12.数学基本事实13.平行公理14.命题15.真命题16.假命题17.定理18.证明19.平移四、转化的数学思想遇到新问题时，常常把它转化为已知（或已解决）的问题.P14五、平移1.找规律2.转化求面积3.作图（2009年安徽中考）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加d cm ，如图所示．已知每个菱形图案的边长cm ，其一个内角为60°．（1）若d ＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L ；【解】（2）当d ＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？【解】第19题图相交线与平行线知识点5.1相交线1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角∠3与∠4有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.∠3+∠4=180°注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.2、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.符号语言记作：如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.3、垂线的画法：⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线.注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上.画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线.1243AB C DO4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离记得时候应该结合图形进行记忆.如图，PO ⊥AB ，同P 到直线AB 的距离是PO 的长.PO 是垂线段.PO 是点P 到直线AB 所有线段中最短的一条.现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用.5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念分析它们的联系与区别⑴垂线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度. 联系：具有垂直于已知直线的共同特征.(垂直的性质)⑵两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间. 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离.⑶线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同.5.2平行线1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作∥a b a .b 2、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行.因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）3、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 如左图所示，∵∥，∥b a c a ∴∥b cPA BOab 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行.5、三线八角　两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角.　如图，直线被直线所截b a ,l ①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，l b a ,叫做同位角（位置相同）　②∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做内错角（位置在l b a ,内且交错）　③∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角.l b a ,　④三线八角也可以成模型中看出.同位角是“F ”型；内错角是“Z ”型；同旁内角是“U ”型.6、如何判别三线八角　判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全.　例如：　如图，判断下列各对角的位置关系：⑴∠1与∠2；⑵∠1与∠7；⑶∠1与∠BAD ；⑷∠2与∠6；⑸∠5与∠8.　我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图.　如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD 是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角.abl1234567816B A D 2345789FEC A BF 21ABC17ABCD26ADBF1AF58C注意：图中∠2与∠9，它们是同位角吗？不是，因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成.7、两直线平行的判定方法方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行方法二 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行方法三 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简称：同旁内角互补，两直线平行 几何符号语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB ∥CD （同位角相等，两直线平行） ∵　∠1＝∠2 ∴　AB ∥CD （内错角相等，两直线平行） ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行.平行线的判定是写角相等，然后写平行.注意：⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”.上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”.⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行.典型例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：　⑴不相交的两条直线必定平行线.　⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交.　⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行解答：⑴错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”.“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏.　⑵正确 ⑶不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”.因为如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的.典型例题：如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？解答：⑴由∠2＝∠B 可判定AB ∥DE ，根据是同位角相等，两直线平行；A BC DEF 1234⑵由∠1＝∠D 可判定AC ∥DF ，根据是内错角相等，两直线平行；⑶由∠ACF ＋∠F ＝180°可判定AC ∥DF ，根据同旁内角互补，两直线平行.5.3平行线的性质1、平行线的性质：　性质1：两直线平行，同位角相等；　性质2：两直线平行，内错角相等；　性质3：两直线平行，同旁内角互补. 几何符号语言： ∵AB ∥CD ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） ∵AB ∥CD ∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等） ∵AB ∥CD ∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）2、两条平行线的距离　如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离.注意：直线AB ∥CD ，在直线AB 上任取一点G ，过点G 作CD 的垂线段GH ，则垂线段GH 的长度也就是直线AB 与CD 间的距离.3、命题：⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题.⑵命题的组成每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“如果……，那么……”的形式.具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论.　有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显.对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式.注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述.4、平行线的性质与判定①平行线的性质与判定是互逆的关系A BC DEF 1234A EGBC FHDn 两直线平行 内错角相等；　两直线平行 同旁内角互补.其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质.典型例题：已知∠1＝∠B ，求证：∠2＝∠C 证明：∵∠1＝∠B （已知） ∴DE ∥BC （同位角相等， 两直线平行） ∴∠2＝∠C （两直线平行 同位角相等）注意，在了DE ∥BC ，不需要再写一次了，得到了DE ∥BC ，这可以把它当作条件来用了.典型例题：如图，AB ∥DF ，DE ∥BC ，∠1＝65° 求∠2、∠3的度数解答：∵DE ∥BC （已知） ∴∠2＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等） ∵AB ∥DF （已知） ∴AB∥DF （已知） ∴∠3＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°5.4平移1、平移变换　①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.　②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点　③连接各组对应点的线段平行且相等2、平移的特征：　①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化.　②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等.典型例题：如图，△ABC 经过平移之后成为△DEF ，那么：⑴点A 的对应点是点＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵点B 的对应点是点＿＿＿＿＿＿.⑶点＿＿＿＿＿的对应点是点F ；⑷线段AB的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；⑸线段BC 的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；⑹∠A 的对应角是＿＿＿＿＿＿. ⑺＿＿＿＿的对应角是∠F.AD FBE C123解答：　⑴D；⑵E；⑶C；⑷DE；⑸EF；⑹∠D；⑺∠ACB.思维方式：利用平移特征：平移前后对应线段相等，对应点的连线段平行或在同一直线上解答.考点一：对相关概念的理解对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公理的区别等例1：判断下列说法的正误。

相交线与平行线知识点总结相交线和平行线是几何学中重要的概念，对于线的性质以及图形的性质有着重要的影响。

相交线和平行线的性质和应用在实际生活和工程中也有很广泛的应用。

本文将就相交线和平行线的定义、性质和应用进行总结。

1.相交线的定义和性质相交线是指在平面中不共线的两条线段或射线或直线相交的现象。

相交线有以下几个性质：(1)相交线的交点只有一个；(2)相交线的交点将原来的两条线段或射线或直线分成了四个角；(3)相交线上的点与其中一条线段或射线或直线上的点同时存在。

2.平行线的定义和性质平行线是指在平面中不相交的两条直线，它们的方向始终保持一致，互不相交。

平行线有以下几个性质：(1)平行线之间的距离始终相等；(2)平行线没有交点；(3)平行线的夹角为零度。

3.相交线与平行线的关系(1)两条平行线不可能相交。

(2)两条相交线不可能平行。

4.平行线的判定方法(1)垂直线判定法：如果两条直线互相垂直，那么它们肯定是平行线。

(2)夹角相等法：如果两条直线分别与一条直线相交，而且两对夹角相等，那么这两条直线是平行线。

(3)平行线之间的距离相等法：如果两条直线与第三条直线相交，在同一侧的两条直线与第三条直线的距离相等，那么这两条直线是平行线。

(4)平行线之间的夹角相等法：如果两条直线分别与第三条直线相交，在同一侧的两个夹角相等，那么这两条直线是平行线。

5.平行线的性质(1)平行线之间的夹角相等；(2)平行线与一条横截线的夹角相等；(3)两条平行线与一条横截线的对应角相等；(4)平行线与平行线的交线是平行线。

6.平行线的应用(1)平行线的性质可以用于证明两条线段的平行关系，这在三角形中的平行线定理中有广泛的应用。

(2)平行线的性质可以用于计算一个图形的面积，例如在梯形中，底边平行的两条边可以帮助计算梯形的面积。

(3)在工程建设中，平行线的性质被广泛应用于制图、平面设计和结构设计中，以确保工程的准确性和稳定性。

总结：相交线和平行线是几何学中的基本概念，掌握相交线和平行线的定义、性质和判定方法，对于解决各种几何问题和应用于实际生活和工程中是十分重要的。

相交线与平行线知识点整理相交线与平行线是几何学中的重要概念，它们在平面几何和立体几何中具有广泛的应用。

本文将对相交线与平行线的相关知识进行整理和总结。

1. 相交线的定义和性质相交线是指在平面上两条线段或线段延长部分相交的现象。

相交线有以下几个重要的性质：- 相交线的交点称为交点，交点将两条线段或线段延长部分分为四个不同的角；- 交点的位置不受线段或线段延长部分的长度和位置的影响；- 如果两条线段或线段延长部分相互垂直，则它们相交的交点将形成一个直角。

2. 平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面内永远不会相交的线段或线段延长部分。

平行线有以下几个重要的性质：- 平行线之间的距离始终相等，即两条平行线之间的所有点到另一条平行线的距离都相等；- 平行线之间的夹角为零，即两条平行线之间的角度为零度；- 如果一条直线与两条平行线相交，则所成的对应角相等。

3. 平行线的判定方法判定两条线段或线段延长部分是否平行有多种方法：- 如果两条线段或线段延长部分的斜率相等，则它们是平行线；- 如果两条线段或线段延长部分的夹角为零度，则它们是平行线；- 如果两条线段或线段延长部分上的任意一对对应角相等，则它们是平行线。

4. 相交线与平行线的应用相交线与平行线在几何学中有广泛的应用，尤其在解决角度和距离问题时特别有用。

以下是一些常见的应用场景：- 在平行四边形中，对角线互相平分，并且对角线互相垂直；- 在三角形中，如果一条边平行于另一条边，则对应的角相等；- 在直角三角形中，垂直边之间的关系满足勾股定理。

总结：相交线与平行线是几何学中的重要概念，它们在平面几何和立体几何中具有广泛的应用。

相交线的性质包括交点和角度关系，而平行线的性质则包括距离和角度关系。

判定两条线段或线段延长部分是否平行有多种方法，而相交线与平行线的应用则在解决角度和距离问题时特别有用。

通过对相交线与平行线的学习和应用，我们能更好地理解和解决几何学中的各种问题。

相交线与平行线知识点大全一、基础概念1.相交线：当两条线在空间中有一个交点时，我们称它们为相交线。

2.平行线：当两条线在空间中没有任何交点时，我们称它们为平行线。

3.直线：无限延伸的一维物体。

二、相交线的性质1.两条相交线的交点只有一个。

2.相交线的交点与每条线上的点都是共线的。

3.直线与平面的交点是一个点或直线。

三、平行线的性质1.平行线的斜率相等。

2.平行线之间的距离是始终相等的。

3.平行线在任意一点上的两个角相等。

4.如果两条线与一条平行线的交点的两个内角相等，则这两条线平行。

四、判断相交线与平行线的方法1.观察交线的边长关系：如果两条线段相等，则这两条线段平行。

2.观察角度关系：如果两个角的对角线相等且一个角是直角，则这两条线段平行。

3.观察线段的斜率关系：如果两条线段的斜率相等，则这两条线段平行。

4.观察线段的方程：如果两条线段的方程满足平行线的定义，则这两条线段平行。

五、平行线的判定定理1.垂直平行线定理：如果一条线段与两条平行线相交，且这两条交线是垂直的，则这两条平行线是垂直平行线。

2.异面直线平行定理：如果两条异面直线有一条平行于每条还是的直线，则这两条直线平行。

3.平行线的等价定理：如果两条直线与一条平行线平行，则这两条直线平行。

六、平行线的性质定理1.平行线的平移定理：平行线的平移仍为平行线。

2.平行线的垂直定理：平行线与同一平面内的垂直线垂直。

七、平行线与角的关系1.平行线对应角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么对应的内角和对应的外角是互补的。

2.平行线夹角定理：如果两条平行线被一条截断，那么所截断的两条线上的对应角相等。

3.平行线内角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么内角的和是180度。

以上是关于相交线与平行线的知识点的详细介绍，相交线与平行线是基础几何概念，掌握这些知识点，可以帮助我们更好地理解和应用直线之间的关系。

相交线与平行线知识点总结、例题解析知识点1【相交线】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种：平行和相交1、相交线相交线的定义：两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．知识点2【对顶角和邻补角】两条相交线在形成的角中有对顶角和邻补角两类，它们具有特殊的数量关系和位置关系。

1、邻补角（1）邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．如图，∠1与∠2有一条公共边OD，它们的另一条边OA、OB互为反向延长线，则∠1与∠2互为邻补角（2）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°。

例如：若∠1与∠2互为邻补角，则∠1+∠2=180°注意：①互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角；②相交的两条直线会产生4对邻补角。

2、对顶角（1）对顶角的概念：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．如图，∠3与∠4有一个公共顶点O，并且∠3的两边OB、OC分别是∠4的两边OA、OD的反向延长线，则∠1与∠2互为对顶角．（2）对顶角的性质：对顶角相等．注意：两条相交的直线，会产生2对对顶角。

3、邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角对顶角只有一个，但邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．注意：如果多条直线相交于同一点，那么产生的邻补角的数量是对顶角的2倍。

【例题1】如图所示,∠1的邻补角是( )A、∠BOCB、∠BOE和∠AOFC、∠AOFD、∠BOC和∠AOF【解析】】据相邻且互补的两个角互为邻补角进行判断，∠1是直线AB、EF相交于点O形成的角,所以它的邻补角与直线CD无关,即它的邻补角是∠BOE和∠AOF，故选B【答案】B【例题2】下面四个图形中,∠1与∠2是邻补角的是( )【答案】D【例题3】如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )A、1个B、2个C、3个D、4个【解析】考察对顶角的概念【答案】A【例题4】下列说法中:①因为∠1与∠2是对顶角,所以∠1=∠2;②因为∠1与∠2是邻补角,所以∠1=∠2;③因为∠1与∠2不是对顶角,所以∠1≠∠2;④因为∠1与∠2不是邻补角,所以∠1+∠2≠180，其中正确的有________ (填序号)【解析】对顶角、邻补角【答案】①【例题5】如图1，直线AB、CD、EF都经过点O，图中有几对对顶角？几对邻补角？【解析】考察对顶角的概念。

相交线与平行线考点及题型总结第一节 相交线一、知识要点：（一）当同一平面内的三条直线相交时，有三种情况：一种是只有一个交点；一种是有两个交点，即两条直线平行被第三条直线所截；还有一种是三个交点，即三条直线两两相交。

（二）余角、补角、对顶角1、余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角.2、补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角.3、对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.4、互为余角的有关性质：①∠1＋∠2＝90°，则∠1、∠2互余；反过来，若∠1，∠2互余，则∠1+∠2＝90°；②同角或等角的余角相等，如果∠l 十∠2＝90°，∠1+∠ 3＝90°，则∠2＝∠3.5、互为补角的有关性质：①若∠A +∠B ＝180°，则∠A 、∠B 互补；反过来，若∠A 、∠B 互补，则∠A +∠B ＝180°.②同角或等角的补角相等.如果∠A +∠C ＝180°，∠A +∠B ＝180°，则∠B ＝∠C .6、对顶角的性质：对顶角相等.（三）垂直：相交的一种特殊情况是垂直，两条直线交角成90 。

1、经过直线外一点，作直线垂线，有且只有一条； 2、点到直线上各点的距离中，垂线段最短。

（四）两条直线被第三条直线所截，产生两个交点，形成了八个角（不可分的）：1、同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 的同侧，在第三条直线EF 的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；2、内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 之间，在第三条直线EF 的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；3、同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 之间，在第三条直线EF 的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；二、题型分析： 题型一：列方程求角例1：一个角的余角比它的补角的21少20°.则这个角为 （ ） A 、30° B 、40° C 、60° D 、75° 答案：B分析：若设这个角为x ，则这个角的余角是90°－x ，补角是180°－x ，于是构造出方程即可求解 求解：设这个角为x ，则这个角的余角是90°－x ，补角是180°－x .则根据题意，得21(180°－x )－(90°－x )＝20° ； 解得：x ＝40°. 故应选B . 说明：处理有关互为余角与互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下还要引进未知数，构造方程求解.习题演练：1、如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30 ，那么这两个角是（ ）A 、42138、 B 、都是10 C 、42138、或4210、 D 、以上都不对 答案：A分析：两个条件可以确定两个角互补，列方程即可解得A 。

相交线与平行线知识点相交线与平行线是几何学中的核心概念，作为直线的特殊情况，它们在解决几何问题以及应用于实际生活中都有着重要的作用。

本文将从定义、性质、应用等多个方面详细介绍相交线与平行线的知识点。

一、相交线的定义与性质1.定义：相交线是指在平面上两条直线相交形成的交点。

两条直线相交时，形成四个角，其中两个相邻角的和为180度，这是相交线的核心性质。

2.垂直相交线：垂直相交线是指两条相交线所形成的角为90度。

垂直相交线的特殊性质使得它在许多几何问题中起着重要的作用，例如在平面坐标系中，直角坐标系的两条坐标轴就是垂直相交线。

3.平行线：平行线是指在同一平面中永远不会相交的两条直线。

平行线间的距离在任意两点间是相等的，这也是平行线的核心性质。

4.平行线的判定：平行线的判定方法有很多，最基本的方法是使用直线的斜率。

当两条直线的斜率相同且不相交时，它们就是平行线。

除此之外，还有使用过直线上两点之间的距离、点斜式等方法判定平行线。

5.平行线的性质：平行线具有多个性质，如在平行线中，对应角、错位内角、同位内角的大小关系是相等的，这些性质为解决几何问题提供了重要的依据。

二、相交线与平行线的应用1.平行线的应用：平行线在实际生活和工程中有广泛的应用。

例如，在建筑工程中，为了保证建筑物的稳定性，常常需要使用平行线技术绘制平行线，使得构件之间保持一定的距离；在道路规划中，为了确保路线在地理空间上的平行性，也需要使用平行线。

2.相交线的应用：相交线在几何问题的解决中具有重要的应用价值。

如在解决三角形相关问题中，能利用两条相交线划分出的角来求解未知量；在解决射影几何问题时，经常会利用相交线的性质进行几何推理。

三、相交线与平行线的扩展知识点1.倾斜平行线：除了平行于坐标轴的水平平行线和垂直平行线之外，还存在倾斜平行线。

倾斜平行线是指在平面上倾斜但永远不相交的两条直线。

2.交错平行线：交错平行线是指两组平行线相互交错而不相交的情况。

相交线与平行线最全知识点1.平行线的定义：在平面上，如果两条直线在平面内没有交点，那么它们就是平行线。

记作AB，CD。

2.平行线性质：-平行线朝向差：平行线的两个方向向量相等。

-平行线对应角相等：如果两条平行线被截取为若干对应的交线段，那么这些交线段的对应角相等。

-平行线的内错性：如果一条直线与一对平行线相交，那么对这两条平行线上的任意一点A及其在第一条直线上的任意一点B，有AB，CD。

-平行线的传递性：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

3.相交线的定义：在平面上，如果两条直线的方向向量不相等，那么它们就是相交线。

4.相交线性质：-相交线对应角相等：如果两条相交线被截取为若干对应的交线段，那么这些交线段的对应角相等。

-相交线的交点：两条相交线的交点是它们的唯一交点。

-相交线的截距恒等：如果两条相交线与同一直线相交，那么它们在这条直线上的截距相等。

5.平行线与垂直线：-平行线与垂直线的性质：平行线与同一直线的垂线垂直；平行线的两个垂线方向向量相等。

-平行线的判定：如果两条直线的垂直方向向量相等，那么它们是平行线。

-直线倾斜角度和斜率：平行线的倾斜角度相等，斜率（如果存在）相等；垂直线的倾斜角度之和为90度，其中一个倾斜角度为负倾斜角度的倒数。

6.平行线的判定：-两条直线判定法：如果两条直线的倾斜角度相等，那么它们是平行线。

-点斜式判定法：如果一条直线的斜率k和一点在直线上，那么直线的方程为y-y1=k(x-x1)；如果两条直线的斜率相等且截距不相等，那么它们是平行线。

- 截距式判定法：如果一条直线的方程为y = kx + b，那么它与直线y = kx + b1平行当且仅当b = b17.平行线的应用：-常见图形的平行线特性：矩形的对边平行，对角线相等；平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分。

-平行线在解题中的应用：根据平行线的性质，可以解决一些几何问题，如求证两条线段平行、证明一个四边形是平行四边形等。

相交线平行线知识点
相交线和平行线是基础的几何知识点，在学习几何学时必须掌握。

在
学习过程中，我们需要对这两个概念进行深入的理解和掌握。

下面，
本文将从相交线和平行线的定义、性质和应用三个方面进行详细介绍。

一、相交线和平行线的定义
相交线：指两条或者多条直线在同一平面内的某一点相交。

平行线：指在同一平面内，不相交并且永远也不会相交的直线。

二、相交线和平行线的性质
1.两条相交线，它们的交点是唯一的。

2.两条相交线所形成的角分别为相对角，相对角互补。

3.如果一条直线与另外两条直线分别相交，则这两条直线要么平行，要么相交。

4.平行线的所有对应角是相等的。

5.如果一条直线与平行于它的两条直线分别相交，则这两条直线之间的距离是恒定的。

三、相交线和平行线的应用
1.在建筑、机械加工等领域，经常需要确定两条平行线的位置，以确保工作的精度。

2.在中学数学学习中，利用平行线的特性，可以解决一些几何证明的问题。

3.在三角函数中，平行线的概念也被广泛应用，可以帮助计算出三角形中的各种角度和边长等参数。

总结：相交线和平行线是我们在几何学中最基本也是最重要的概念之一。

学好这两个概念，能够帮助我们更深入地理解几何学的其他知识点。

在实际生活和工作中，掌握这两个概念也是非常有用的，可以帮助我们解决一些实际问题。