2017-2018学年高二数学选修2-3教学案：1.1 第二课时 分类计数原理与分步计数原理的应用

—－可编辑修改，可打印——别找了你想要的都有！精品教育资料——全册教案，，试卷，教学课件，教学设计等一站式服务——全力满足教学需求，真实规划教学环节最新全面教学资源，打造完美教学模式二次备课第课时总第教案课型：新授课主备人：审核人：1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理一、教学目标：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题二、教学重难点：重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解三、教学方法讲授法四、教学过程一、新课讲授引入课题先看下面的问题：①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法.总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.1 分类加法计数原理（1）提出问题问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有m=N+n种不同的方法.（3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：.A大学 B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A ,B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）.变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m种不同的方法，在第2类方案中有2m种不同的方法，在第3类方案中有3m种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有1m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法……在第n类办法中有nm种不同的方法.那么完成这件事共有nmmmN+⋅⋅⋅++=21种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2 分步乘法计数原理（1）提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以1A,2A,…，1B,2B,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码：我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码．探究：你能说说这个问题的特征吗？（2）发现新知二次备课分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有n m N ⨯=种不同的方法.（3）知识应用例2.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第2步选女生．解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有30种不同选择；第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 24 种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有30×24 =720种不同的选法．探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，做第3步有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要n 个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.3 综合应用例3. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解： (1) 从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第2 层取1本文艺书，有3 种方法；第3类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是二次备课123N m m m =++=4+3+2=9;( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成3个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3层取1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是123N m m m =⨯⨯=4×3×2=24 .（3）26232434=⨯+⨯+⨯=N 。

_1.1两个基本计数原理第一课时分类计数原理与分步计数原理1．2014南京青奥会期间，一名志愿者从北京赶赴南京为游客提供导游服务，每天有7次航班，5列火车．问题1：该志愿者从北京到南京可乘的交通工具可分为几类？提示：两类，即乘飞机、乘火车．问题2：这几类方法相同吗？提示：不同．问题3：该志愿者从北京到南京共有多少种不同的方法？提示：7＋5＝12(种)．2．甲盒中有3个不同的红球，乙盒中有5个不同的白球，某同学要从甲盒或乙盒中摸出一球．问题4：不同的摸法有多少种？提示：3＋5＝8(种)．3．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为生活委员．问题5：不同选法的种数为多少？提示：26＋34＝50.完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.1．2014南京青奥会期间，一名志愿者从北京赶赴南京为游客提供导游服务，但需在天津停留，已知从北京到天津有7次航班，从天津到南京有5列火车．问题1：该志愿者从北京到南京需要经历几个步骤？提示：两个，即从北京到天津、从天津到南京．问题2：这几个步骤之间相互有影响吗？提示：没有，第一个步骤采取什么方式完成与第二个步骤采用的方式没有任何关系．问题3：该志愿者从北京到南京共有多少种不同的方法？提示：7×5＝35 种．2．若x∈{2,3,5}，y∈{6,7,8}．问题4：能组成的集合{x，y}的个数为多少？提示：3×3＝9(个)．3．某班有男生26人，女生24人，从中选一位男同学和一位女同学担任生活委员．问题5：不同的选法的种数为多少？提示：26×24＝624种．完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．1．分类计数原理中的每一种方法都可以完成这件事情，而分步计数原理的每一个步骤只是完成这件事情的中间环节，不能独立完成这件事情．2．分类计数原理考虑的是完成这件事情的方法被分成不同的类别，求各类方法之和；而分步计数原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤，求各步骤方法之积．[对应学生用书P3][例1]人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人，从中任选1人去献血，共有多少种不同的选法？[思路点拨]先按血型分类，再求每一类的选法，然后求和．[精解详析]从中选1人去献血的方法共有4类：第一类：从O型血的人中选1人去献血共有29种不同的方法；第二类：从A型血的人中选1人去献血共有7种不同的方法；第三类：从B型血的人中选1人去献血共有9种不同的方法；第四类：从AB型血的人中选1人去献血共有3种不同的方法．利用分类计数原理，可得选1人去献血共有29＋7＋9＋3＝48种不同的选法．[一点通]利用分类计数原理，首先搞清要完成的“一件事”是什么，其次确定一个合理的分类标准，将完成“这件事”的方法进行分类；然后，对每一类中的方法进行计数，最后由分类计数原理计算总方法数．1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出1种种植，不同的种植方法有________种．解析：分4种品种种植，根据分类计数原理可知，共有4种不同的种植方法．答案：42．所有边长均为整数，且最大边长均为11的三角形的个数为________．解析：假设另两边长分别为a，b(a，b∈Z)，不妨设a≤b≤11，要构成三角形，必有a ＋b≥12，因此b≥6.当b＝11时，a可取1,2,3，...11；当b＝10时，a可取2,3， (10)当b＝6时，a只能是6.故所有三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.答案：363．在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，因此根据分类计数原理，这名同学可能的专业选择共有5＋4＝9(种).[例2]要安排一份5 天的值班表，每天有一个人值班，共有5 个人，每个人值多天或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，此值班表共有多少种不同的排法？[思路点拨]该问题是计数问题，完成一件事是排值班表，因而需一天一天的排，用分步计数原理，分步进行．[精解详析]先排第一天，可排5人中任一人，有5 种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4 种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，有4 种排法；同理，第四、五天各有 4 种排法．由分步计数原理可得值班表不同的排法共有：N＝5×4×4×4×4＝1 280 (种)．[一点通]利用分步计数原理解决问题应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事．4.用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要“眼睛”(如图A，B所示区域)用相同颜色，则不同的涂色方法共有________种．解析：第1步涂眼睛有6种涂法，第2步涂鼻子有6种涂法，第三步涂嘴有6种涂法，所以共有63＝216种涂法．答案：2165．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，若一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为________．解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．答案：126．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问：(1)点P可表示平面上多少个不同的点？(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？解：(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法．根据分步计数原理，得到平面上点P的个数为6×6＝36.(2)确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成：第一步确定a的值，由于a<0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由于b>0，所以有2种不同方法．由分步计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3×2＝6.[例3](1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？(3)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？[思路点拨](1)从老师、男、女同学中选1人，用分类计数原理．(2)从老师、男、女同学中各选1人，用分步计数原理．(3)分类计数原理与分步计数原理的综合．[精解详析](1)有三类选人的方法：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．由分类计数原理，共有3＋8＋5＝16种选法．(2)分三步选人：第一步选老师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步计数原理，共有3×8×5＝120种选法．(3)可分两类，每一类又分两步．第一类：选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；第二类：选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．由分类计数原理，共有24＋15＝39种选法．[一点通]用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准．在“分类”时要做到“不重不漏”，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性．7．若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的直线共有________条．解析：解决这件事分两类完成：第1类，当A或B中有一个为0时，表示直线为y＝0或x＝0，共2条；第2类，当A，B都不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成．第1步，确定A的值，有4种不同的方法；第2步，确定B的值，有3种不同的方法．由分步计数原理，共可确定4×3＝12(条)直线．所以由分类计数原理，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14(条)．答案：148．从5名医生和8名护士中选出1名医生和1名护士组成一个两人医疗组，共有________种不同的选法．解析：完成这件事需分两步：第一步，从5名医生中选一名，有5种不同的选法；第二步，从8名护士中选一名，有8种不同的选法，故共有5×8＝40种不同的选法．答案：409．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．(1)若小明的爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？解：(1)小明的爸爸选凳子可以分两类：第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法．根据分类计数原理，小明的爸爸共有8＋6＝14种坐法．(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；第二步，小明的爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，(小明坐下后，空闲凳子数变成13)共13种坐法．由分类计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．1．利用分类计数原理解题的步骤(1)分类：理解题意，确定分类标准，做到不重不漏；(2)计数：求出每一类中的方法数；(3)结论：将每一类中的方法数相加得最终结果．2．利用分步计数原理解题的步骤(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．[对应课时跟踪训练(一)]一、填空题1．一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法有________．解析：由分类计数原理知，有3＋5＝8种不同的选法．答案：82．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有________种．解析：分四步完成：第一步：第1位教师有3种选法；第二步：由第一步教师监考班的数学老师选有3种选法；第三步：第3位教师有1种选法；第四步：第4位教师有1种选法．共有3×3×1×1＝9种监考的方法．答案：93．3名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、游泳课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有________种．解析：第1名学生有4种选报方法；第2、3名学生也各有4种选报方法，因此，根据分步计数原理，不同的报名种数有4×4×4＝64.答案：644．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种．(用数字作答)解析：分两类，第一棒是丙有1×2×4×3×2×1＝48(种)；第一棒是甲、乙中一人有2×1×4×3×2×1＝48(种)，根据分类计数原理得：共有方案48＋48＝96(种)．答案：965．从集合A＝{1,2,3,4}中任取2个数作为二次函数y＝x2＋bx＋c的系数b，c，且b≠c，则可构成________个不同的二次函数．解析：分成两个步骤完成：第一步选出b，有4种方法；第二步选出c，由于b≠c，则有3种方法．根据分步计数原理得：共有4×3＝12个不同的二次函数．答案：12二、解答题6．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列有多少个？解：当公比为2时，等比数列可为1,2,4；2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；时，等比数列可为4,6,9.同时，4,2,1；8,4,2；9,3,1和9,6,4也是等比数列，共8个．当公比为327．已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？解：按a，b，r取值顺序分步考虑：第一步：a从3,4,6中任取一个数，有3种取法；第二步：b从1,2,7,8中任取一个数，有4种取法；第三步：r从8、9中任取一个数，有2种取法；由分步计数原理知，表示的不同圆有N＝3×4×2＝24(个)．8．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．(1)从中任取一本，有多少种不同的取法？(2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？解：(1)从书架上任取一本书，有两类方法：第一类方法是从上层取一本数学书，有6种方法；第二类方法是从下层取一本语文书，有5种方法．根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是6＋5＝11.答：从书架上任取一本书，有11种不同的取法．(2)从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种取法；第二步取一本语文书，有5种取法．根据分步计数原理，得到不同的取法的种数是6×5＝30.答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的取法．。

北师大版2017-2018学年高中数学选修2-3全册教学案§1分类加法计数原理和分步乘法计数原理[对应学生用书P2]1．李娜为了备战2014年澳大利亚网球会开赛，需要从北京到A地进行封闭式训练，每天有7次航班，5列动车．问题1：李娜从北京到A城的方法可分几类？提示：两类，即乘飞机、乘动车．问题2：这几类方法都能完成“从北京到A城”这件事吗？提示：都能．问题3：李娜从北京到A城共有多少种不同的方法？提示：7＋5＝12(种)．2．若你班有男生26人，女生24人，从中选一名同学担任班长．问题4：不同的选法的种数为多少？提示：26＋24＝50.分类加法计数原理(加法原理)完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m n种方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种方法.1．李娜从北京到A城需在B城停留，若从北京到B城有7次航班，从B城到A城有5列动车．问题1：李娜从北京到A城需要经历几个步骤？提示：两个，即从北京到B城，从B城到A城．问题2：这几个步骤中的某一步能完成“从北京到A城”这件事吗？提示：不能．必须“从北京到B城”“从B城到A城”这两步都完成后才能完成“从北京到A城”这件事．问题3：李娜从北京到A城共有多少种不同的方法？提示：7×5＝35(种)．2．若你班有男生26人，女生24人，从中选一名男生和一名女生担任班长．问题4：不同的选法的种数为多少？提示：26×24＝624.分步乘法计数原理(乘法原理)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有m n种方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种方法．1．分类加法计数原理中的每一种方法都可以完成这件事情，而分步乘法计数原理的每一个步骤都是完成这件事情的中间环节，都不能独立完成这件事情．2．分类加法计数原理考虑的是完成这件事情的方法被分成不同的类别，求各类方法之和；而分步乘法计数原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤，求各步骤方法之积．[对应学生用书P3][例1]高二·人，女生30人；高二·三班有学生55人，男生35人．(1)从中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高二·一班、二班男生中，或从高二·三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？[思路点拨](1)完成的一件事是从三个班级中选一名学生任学生会主席；(2)完成的一件事是从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，因而可按当选学生来自不同班级分类，利用分类加法计数原理求解．[精解详析](1)选一名学生任学生会主席有3类不同的选法：第一类，从高二·一班选一名，有50种不同的方法；第二类，从高二·二班选一名，有60种不同的方法；第三类，从高二·三班选一名，有55种不同的方法．故任选一名学生任学生会主席的选法共有50＋60＋55＝165种不同的方法．(2)选一名学生任学生会体育部长有3类不同的选法：第一类，从高二·一班男生中选，有30种不同的方法；第二类，从高二·二班男生中选，有30种不同的方法；第三类，从高二·三班女生中选，有20种不同的方法．故选一名学生任学生会体育部长共有30＋30＋20＝80种不同的方法．[一点通]如果完成一件事有n类不同的办法，而且这n类办法是相互独立的，无论用哪一类办法中的哪一种方法都能独立地完成这件事，那么求完成这件事的方法种数就用分类加法计数原理．分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总种数．1．上海世博会期间，一志愿者带一客人去预订房间，宾馆有上等房10间，中等房20间，一般房25间，则客人选一间房的选法有()A．500种B．5 000种C．55种D．10种解析：选法为10＋20＋25＝55种．答案：C2．(福建高考)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14B．13C．12 D．10解析：因为a，b∈{－1,0,1,2}，可分为两类：①当a＝0时，b可能为－1或0或1或2，即b有4种不同的选法；②当a≠0时，依题意得Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.当a＝－1时，b有4种不同的选法，当a＝1时，b可能为－1或0或1，即b有3种不同的选法，当a＝2时，b可能为－1或0，即b有2种不同的选法．根据分类加法计数原理，(a，b)的个数共有4＋4＋3＋2＝13.答案：B3．在所有的两位数中，十位数字大于个位数字的两位数共有多少个？解：依据“十位数字大于个位数字”进行分类，令十位数字为m，个位数字为n，则有当m＝1时，n＝0，有1个；当m＝2时，n＝0,1，有2个；当m＝3时，n＝0,1,2，有3个；……当m＝9时，n＝0,1,2,3…8，有9个．所有这样的两位数共有1＋2＋3＋…＋9＝45个.[例2](1)(() A．243 B．252C．261 D．279(2)有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各一个，有不同的取法________种．[思路点拨](1)先排百位，然后排十位，最后排个位．注意百位数字不能为0.(2)要从盒子里任取红、白、黄小球各一个，应分三个步骤，并且这三个步骤均完成时，才完成这件事，故须采用乘法原理．[精解详析](1)十个数字组成三位数的个数为9×10×10＝900.没有重复数字的三位数有9×9×8＝648，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.(2)完成这件事可分三步：第一步：取红球，有6种不同的取法；第二步：取白球，有5种不同的取法；第三步：取黄球，有4种不同的取法．根据分步乘法计数原理，共有N＝6×5×4＝120种不同的取法．[答案](1)B(2)120[一点通]利用分步乘法计数原理计数的一般思路：首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积，注意各步之间的相互联系，每步都完成后，才能完成这件事．4．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同配法的种数为()A．7 B．12C．64 D．81解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第一步：选上衣，从4件中任选一件，有4种不同选法；第二步：选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．答案：B5．将3封信投到4个邮筒，所有投法有()A．24种B．4种C．64种D．81种解析：分三步完成投信这件事．第一步投第1封信有4种方法，第二步投第2封信有4种方法，第三步投第3封信有4种方法，故共有N＝4×4×4＝64种方法．答案：C6．从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶数．解：(1)三位数有三个数位：百位，十位，个位，故可分三步完成：第一步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；第二步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第三步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．(2)分三步完成：第一步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第二步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第三步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个三位数的偶数.[例3](12分)如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块．现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，问共有多少种不同的种植方法．[思路点拨]本题可以先分类，由A，C是否种相同的花分为两类，也可以先分步，在考虑C时再分类．[精解详析]法一：分为两类：第一类：当花坛A，C中种的花相同时有4×3×1×3＝36种；第二类：当花坛A，C中种的花不同时有4×3×2×2＝48种．共有36＋48＝84种．法二：分为四步：第一步：考虑A，有4种；第二步：考虑B，有3种；第三步：考虑C，有两类：一是A与C同，C的选法有1种，这样第四步D的选法有3种；二是A与C不同，C的选法有2种，此时第四步D的选法也有2种．共有4×3×(1×3＋2×2)＝84种．[一点通]综合应用两个原理时，一定要把握好分类与分步．分类是根据完成方法的不同类别，分步是根据一种方法进程的不同步骤．7．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为()A．18 B．16C．14 D．10解析：分为两大类：第一类，以集合M中的元素为点的横坐标，集合N中的元素为点的纵坐标．由分步乘法计数原理，有3×2＝6个不同的点．第二类，以集合N中的元素为点的横坐标，集合M中的元素为点的纵坐标．由分步乘法计数原理，有4×2＝8个不同的点．由分类加法计数原理，第一、二象限内不同的点共有N＝6＋8＝14个．答案：C8．有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本．若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有________种不同的选法．解析：分为三类，每一类再分两步．第一类选中文、英文书各一本有7×5＝35种选法，第二类选中文、法文书各一本有7×3＝21种选法，第三类选英文、法文书各一本有5×3＝15种选法，所以总共有35＋21＋15＝71种不同的选法．答案：719．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解：确定幸运观众可分两类：第一类：幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17 400种结果；第二类：幸运之星在乙箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有20×30×19＝11 400种结果．根据分类加法计数原理，共有17 400＋11 400＝28 800种不同的结果．1．两个计数原理的区别(1)分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”．完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．[对应课时跟踪训练(一)]1．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有()A．37种B．1 848种C．3种D．6种解析：根据分类加法计数原理，得不同的取法为N＝12＋14＋11＝37(种)．答案：A2．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有() A．30个B．42个C．36个D．35个解析：完成这件事分为两个步骤：第一步，虚部b有6种选法；第二步，实部a有6种选法．由分步乘法计数原理知，共有虚数6×6＝36 个．答案：C3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，不同的选法共有() A．756种B．56种C．28种D．255种解析：推选两名来自不同年级的两名学生，有N＝9×12＋12×7＋9×7＝255(种)．答案：D4.用4种不同的颜色给矩形A，B，C，D涂色，要求相邻的矩形涂不同的A．12种B．24种C．48种D．72种解析：先涂C，有4种涂法，涂D有3种涂法，涂A有3种涂法，涂B有2种涂法．由分步乘法计数原理，共有4×3×3×2＝72种涂法．答案：D5．为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3种不同土质，2种不同施肥量，4种不同的种植密度，3种不同的种植时间的因素下进行种植试验，则不同的实验方案共有________种．解析：根据分步乘法计数原理，不同的方案有N＝3×2×4×3＝72(种)．答案：726．如图，A→C，有________种不同走法．解析：A→C的走法可分两类：第一类：A→C，有2种不同走法；第二类：A→B→C，有2×2＝4种不同走法．根据分类加法计数原理，得共有2＋4＝6种不同走法．答案：67．设椭圆x2a2＋y2b2＝1，其中a，b∈{1,2,3,4,5}．(1)求满足条件的椭圆的个数；(2)如果椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的个数．解：(1)由椭圆的标准方程知a≠b，要确定一个椭圆，只要把a，b一一确定下来这个椭圆就确定了．∴要确定一个椭圆共分两步：第一步确定a，有5种方法；第二步确定b，有4种方法，共有5×4＝20个椭圆．(2)要使焦点在x轴上，必须a>b，故可以分类：a＝2,3,4,5时，b的取值列表如下：故共有1＋2＋38．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有多少种不同的选法？解：由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把选出会钢琴、小号各1人的方法分为两类：第一类：多面手入选，另1人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种．第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号者也只能从只会小号的2人中选出，故这类选法共有6×2＝12种．因此有N＝8＋12＝20种不同的选法．第一课时排列与排列数公式[对应学生用书P6][例1]下列哪些问题是排列问题：(1)从10名学生中选2名学生开会共有多少种不同的选法？(2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘共能得几个不同的乘积？(3)以圆上的10个点为端点作弦可作多少条不同的弦？(4)10个车站，站与站间的车票种数有多少？[思路点拨]判断是否为排列问题的关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．[精解详析](1)选2名同学开会没有顺序，不是排列问题．(2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问题．(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题．(4)车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．[一点通]判定是不是排列问题，要抓住排列的本质特征，第一取出的元素无重复性，第二选出的元素必须与顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相同的排列．元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关键．1．下列命题，①abc和bac是两个不同的排列；②从甲、乙、丙三人中选两人站成一排，所有的站法有6种；③过不共线的三点中的任两点所作直线的条数为6.其中为真命题的是()A．①②B．①③C．②③D．①②③答案：A2．判断下列问题是不是排列，若是，写出所有排列．(1)从张红、李明、赵华三人中选出两人去参加数学竞赛有几种不同选法？(2)从(1)中的三人中选出两人分别去参加物理竞赛和数学竞赛有几种不同选法？(3)从a，b，c，d，e中取出两个字母有几种取法？解：(1)不是排列问题，因为选出两人参加数学竞赛与顺序无关．(2)是排列问题，因为选出甲、乙两人参加竞赛，甲参加物理，乙参加数学，与甲参加数学，乙参加物理是不同的结果，即与顺序有关．不同排列为张红李明；李明张红；张红赵华；赵华张红；李明赵华；赵华李明．(3)不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关．[例2]从的所有三位数．[思路点拨]可按顺序分步解决，然后利用树形图列出所有的排列．[精解详析]画出下列树形图，如下图．由上面的树形图知，所有的三位数为：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,4 23,431,432.共24个三位数．[一点通]在“树形图”操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再按余下元素在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类，依次一直进行到完成一个排列，这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有排列．3．由1,2,3三个数字可组成________个不同数字的三位数．解析：三位数有123,132,213,231,312,321共6个．答案：64．A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，试写出所有排列方法．解：因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可以B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．所以符合题意的所有排列是：BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC ，DBCA ，DCBA .[例3] (12分)(1)A 310；(2)A 59＋A 49A 610－A 510；(3)A m －1n －1·A n －mn －mA n 1n －1. [思路点拨] 对(1)(2)，直接用排列数的连乘形式公式计算；对(3)，可利用排列数阶乘形式的公式证明．[精解详析] (1)A 310＝10×9×8＝720. (4分)(2)A 59＋A 49A 610－A 510＝9×8×7×6×5＋9×8×7×610×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6＝9×8×7×6×(5＋1)10×9×8×7×6×(5－1)＝610×4＝320. (8分)(3)A m －1n －1·A n －m n －m A n －1n －1＝(n －1)！[n －1－(m －1)]！·(n －m )！·1(n －1)！＝1. (12分) [一点通] (1)排列数的第一个公式A m n ＝n (n －1)…(n －m ＋1)适用于具体计算以及解当m 较小时的含有排列数的方程和不等式．在运用该公式时要注意它的特点：从n 起连续写出m 个数的乘积即可．(2)排列数的第二个公式A m n ＝n ！(n －m )！适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等．5．已知A 2n ＝7A 2n －4，则n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．2解析：由排列数公式，得n (n －1)＝7(n －4)(n －5)，n ∈N ＋. ∴3n 2－31n ＋70＝0，解得n ＝7或n ＝103(舍)．答案：B6．若A m 10＝10×9×…×5，则m ＝________. 解析：由排列数公式，得m ＝6. 答案：67．计算：2A 59＋3A 699！－A 610＝________.解析：法一：原式＝2×9×8×7×6×5＋3×9×8×7×6×5×49×8×7×…×1－10×9×…×5＝2＋124×3×2－10＝1414＝1.法二：原式＝29！4！＋39！3！9！－10！4！＝24！＋33！1－104！＝2＋3×44！－10＝1.答案：18．(1)解方程A 42x ＋1＝140A 3x ； (2)解不等式：A x 6<6A x －26.解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，∴x ≥3，x ∈N ＋，由A 42x ＋1＝140A 3x 得(2x ＋1)2x (2x －1)(2x －2)＝140x (x －1)(x －2)， 化简得，4x 2－35x ＋69＝0，解得，x 1＝3或x 2＝234(舍)，∴方程的解为x ＝3.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤6，1≤x －2≤6，得3≤x ≤6，且x ∈N ＋.又A x 6<6A x －26⇒6！(6－x )！<6·6！(6－x ＋2)！⇒(8－x )(7－x )<6 ⇒x 2－15x ＋50<0 ⇒(x －10)(x －5)<0 ⇒5<x <10.综上可知x ＝6，不等式解集为{6}．排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序也有关．在判断一个问题是否是排列问题时，可按下列方法进行：[对应课时跟踪训练(二)]1．5A 35＋4A 24等于( )A ．107B ．323C ．320D ．348解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348. 答案：D 2.A 345！等于( ) A.120 B.125C.15D.110解析：A 345！＝4×3×25×4×3×2×1＝15.答案：C3．设a ∈N ＋，且a <27，则(27－a )(28－a )·…·(34－a )等于( ) A ．A 827－a B ．A 27－a34－aC ．A 734－aD ．A 834－a解析：8个括号里面是连续的自然数，依据排列数的概念，选D. 答案：D4．若从4名志愿者中选出2人分别从事翻译、导游两项不同工作，则选派方案共有( ) A ．16种 B ．6种 C ．15种D ．12种解析：4名志愿者分别记作甲、乙、丙、丁，则选派方案有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，即共有A 24＝12种方案．答案：D5．已知9！＝362 880，那么A 79＝________. 解析：A 79＝9！(9－7)！＝362 8802＝181 440. 答案：181 440 6．给出下列问题：①从1,3,5,7这四个数字中任取两数相乘，可得多少个不同的积？ ②从2,4,6,7这四个数字中任取两数相除，可得多少个不同的商？③有三种不同的蔬菜品种，分别种植在三块不同的试验田里，有多少种不同的种植方法？④有个头均不相同的五位同学，从中任选三位同学按左高右低的顺序并排站在一排照相，有多少种不同的站法？上述问题中，是排列问题的是________．(填序号)解析：对于①，任取两数相乘，无顺序之分，不是排列问题；对于②，取出的两数，哪一个作除数，哪一个作被除数，其结果不同，与顺序有关，是排列问题；对于③，三种不同的蔬菜品种任一种种植在不同的试验田里，结果不同，是排列问题；对于④，选出的三位同学所站的位置已经确定，不是排列问题．答案：②③7．(1)计算4A 48＋2A 58A 88－A 59；(2)解方程3A x 8＝4A x －19.解：(1)原式＝4A 48＋2×4A 484×3×2A 48－9A 48＝4＋824－9＝1215＝45. (2)由3A x 8＝4A x －19，得3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！，化简，得x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13. 又∵x ≤8，且x －1≤9，∴原方程的解是x ＝6.8．从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有A 34＝4×3×2＝24种不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为1,2,3,4号，画出下列树形图：由树形图可知，按甲乙丙的顺序分的分法为： 语数英 语数物 语英数 语英物 语物数 语物英 数语英 数语物 数英语 数英物 数物语 数物英 英语数 英语物 英数语 英数物 英物语 英物数 物语数 物语英 物数语 物数英 物英语 物英数第二课时排列的应用[对应学生用书P7][例1]由数字1,2,3,4可组成多少个无重复数字的正整数？[思路点拨]可分别求出一位数、二位数、三位数、四位数的个数，再求和．[精解详析]第一类：组成一位数有A14＝4个；第二类：组成二位数有A24＝12个；第三类：组成三位数有A34＝24个；第四类：组成四位数有A44＝24个．根据加法原理，一共可以组成4＋12＋24＋24＝64个正整数．[一点通]对于无限制条件的排列问题，可直接根据排列的定义及排列数公式列式求解．若解决问题时需要分类或分步，则要结合两个计数原理求解．1．从4种蔬菜品种中选3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？解：从4种蔬菜品种中选3种，分别种在3块不同土质上，对应于从4个元素中取出3个元素的排列数．因此不同的种植方法数为A34＝4×3×2＝24.故共有24种不同的种植方法．2．(1)有3名大学毕业生到5个招聘雇员的公司应聘，每个公司至多招聘一名新雇员，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，共有多少种不同的招聘方案？(2)有5名大学毕业生到3个招聘雇员的公司应聘，每个公司只招聘一名新雇员，并且不允许兼职，现假定这三个公司都完成了招聘工作，问共有多少种不同的招聘方案？解：(1)将5个招聘雇员的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有A35＝5×4×3＝60种．(2)将5名大学毕业生看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3个招聘雇员的公司，则本题仍为从5个不同的元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案有A35＝5×4×3＝60种.[例2](1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？[思路点拨]这是一个有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或位置优先安排的原则．[精解详析](1)先考虑甲站在中间有1种方法，再在余下的6个位置排另外6名同学，共有A66＝6×5×4×3×2×1＝720种排法．(2)先考虑甲、乙站在两端的排法有A22种，再在余下的5个位置排另外5名同学的排法有A55种，共有A22A55＝2×1×5×4×3×2＝240种排法．(3)法一：先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有A25种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A55种，共有A25A55＝5×4×5×4×3×2×1＝2 400种排法．法二：考虑特殊位置优先法，即两端的排法有A25种，中间5个位置有A55种，共有A25A55＝2 400种排法．[一点通](1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．(2)从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．注意：无论从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．3．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的产品广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式有()A．48种B．24种C．720种D．120种解析：分两步：第一步先排首尾，第二步再排中间4个位置，则N＝A22A44＝2×24＝48.答案：A4．用0,1,2这3个数字，可以排成________个无重复数字的3位数．解析：组成3位数，相当于将3个元素排在三个位置，但0不能在首位，首位的排法有A12，而其余两位排法有A22，由分步乘法原理知，共有A12A22＝4种排法．答案：45．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万，又不是5的倍数的数有多少个？解：法一：因为首位和个位上不能排0和5，所以先从1,2,3,4中任选2个排在首位和个位，有A24种排法，再排中间4位数有A44种排法，由分步乘法计数原理，共有A24·A44＝12×24＝288个符合要求．法二：六个数位的全排列共有A66个，其中有0排在首位或个位上的有2A55个，还有5排在首位或个位上的也有2A55个，其中不合要求的要减去，但这两种情况都包含0和5分别在首位或个位上的排法2A44种，所以有A66－4A55＋2A44＝288个符合要求.[例言和，准备一起照张合影．(排成一排)(1)要求喜羊羊的四位成员必须相邻，有多少排法？(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少排法？[思路点拨]相邻元素可看作一个集团利用捆绑法，不相邻元素利用插空法．[精解详析](1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，与灰太狼、红太狼排队共有A33种排法，又因四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A33A44＝144种排法． (4分)(2)第一步将喜羊羊家族的四位成员排好，有A44种排法，第二步让灰太狼、红太狼插四位成员形成的空(包括两端)，有A25种排法，共有A44A25＝480种排法． (8分)[一点通](1)相邻问题用捆绑法解决，即把相邻元素看成一个整体作为一个元素与其他元素排列．但不要忘记再对这些元素“松绑”，即对这些元素内部全排列．(2)不相邻问题用插空法，即先把其余元素排好，再把要求不相邻的元素插入空中排列．6．(重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120C．144 D．168解析：依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A33A34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A22A33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.答案：B7．(北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．解析：将A，B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44＝48种摆法，而A，B，C 3件在一起，且A，B相邻，A，C相邻有CAB，BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A33＝12种摆法，故A，B相邻，A，C 不相邻的摆法有48－12＝36种．答案：368．4名男同学和3名女同学站成一排．(1)3名女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？。

[对应学生用书P24]一、两个计数原理的应用1．分类计数原理首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类；其次，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类．分别属于不同类的两种方法是不同的方法．2．分步计数原理首先根据问题的特点确定一个分步的标准．其次分步时要注意，完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．二、排列与组合概念及公式1．定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，若按照一定的顺序排成一列，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；若合成一组，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．即排列和顺序有关，组合与顺序无关．2．排列数公式(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，规定A0n＝1.当m＝n时，A n n＝n (n－1)(n－2)·…·3·2·1.(2)A m n＝n！(n－m)！，其中A n n＝n！，0！＝1.三、排列与组合的应用1．在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算并作答．2．处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组合)，后排列．按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过解题训练注意积累分类和分步的基本技能．3．解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种： (1)特殊元素优先安排的策略； (2)合理分类和准确分步的策略； (3)排列、组合混合问题先选后排的策略； (4)正难则反、等价转化的策略； (5)相邻问题捆绑处理的策略； (6)不相邻问题插空处理的策略； (7)定序问题除法处理的策略； (8)分排问题直排处理的策略；(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略； (10)构造模型的策略．四、二项式定理及二项式系数的性质 1．二项式定理公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n an－1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n ，其中各项的系数C rn (r ＝0,1,2，…，n )称为二项式系数，第r ＋1项C r n an －r b r称为通项． [说明](1)二项式系数与项的系数是不同的概念，前者只与项数有关，而后者还与a ，b 的取值有关．(2)运用通项求展开式的特定值(或特定项的系数)，通常先由题意列方程求出r ，再求所需的项(或项的系数)．2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，体现了组合数性质C m n ＝C n －m n. (2)增减性与最大值：当r <n ＋12时，二项式系数C r n 逐渐增大； 当r >n ＋12时，二项式系数C r n 逐渐减小． 当n 是偶数时，展开式中间一项T n 2＋1的二项式系数C n2n 最大；当n 是奇数时，展开式中间两项T n ＋12与T n ＋12＋1的二项式系数C n －12n ，C n ＋12n相等且最大．(3)各项的二项式系数之和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n；奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋….[说明] 与二项展开式各项系数的和或差有关的问题，一般采用赋值法求解．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测(一) 见8开试卷 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把正确答案填在题中横线上) 1．从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次班会，则不同的选法种数为________．解析：由题意可得不同的选法为C 17＝7种． 答案：72．(湖南高考改编)⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是________． 解析：由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝⎛⎭⎫12x 2(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y 3的系数为－20.答案：－203．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学 、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是________．解析：设男学生有x 人，则女学生有(8－x )人，则C 2x C 18－x A 33＝90，即x (x －1)(8－x )＝30＝2×3×5，所以x ＝3，8－x ＝5. 答案：3,54．将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种．解析：由分步计数原理，先排第一列，有A 33种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A 33×2＝12种排列方法．答案：125．(湖北高考改编)若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝________. 解析：T r ＋1＝C r 7(2x )7－r ⎝⎛⎭⎫a x r ＝C r 727－r a r x 7－2r ，令7－2r ＝－3，得r ＝5，即T 5＋1＝C 5722a 5x －3＝84x －3，解得a ＝1.答案：16．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．解析：从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共在C 24·C 34·C 34＝96种．答案：967．C16＋C26＋C36＋C46＋C56＝________.解析：∵C06＋C16＋C26＋C36＋C46＋C56＋C66＝26＝64，∴C16＋C26＋C36＋C46＋C56＝64－2＝62.答案：628.用4种不同的颜色涂入如图所示的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有________种．解析：分四步依次涂A，B，C，D.开始涂A有4种涂法；再涂B有3种涂法；然后涂C有2种涂法；最后涂D，由于D和A，B不相邻，所以D可以和A或B同色，也可以和A，B不同色，所以共有3种涂法．由分步计数原理得，共有4×3×2×3＝72(种)．答案：729．“2012”含有数字0,1,2，且有两个数字2，则含有数字0,1,2，且有两个相同数字2或1的四位数的个数为________．解析：由题意可分情况讨论：含有两个1或两个2的四位数，先排0有3个位置可以选，然后排另外一个不重复的数字有3个位置可以选，剩下的排重复的数字，所以满足要求的数共有2C13C13C22＝18个．答案：1810．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种．解析：分两类：甲、乙两个宿舍中一个住4人、另一个住3人或一个住5人，另一个住2人，所以不同的分配方案共有C37A22＋C27A22＝35×2＋21×2＝112种．答案：11211．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是________．解析：分三类：第一类，前5个题目的3个，后4个题目的3个C35C34；第二类，前5个题目的4个，后4个题目的2个C45C24；第三类，前5个题目的5个，后4个题目的1个C55C14，由分类计数原理得C35C34＋C45C24＋C55C14＝74.答案：7412．(重庆高考改编)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________．解析：依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A33A34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A22A33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120.答案：12013.⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是________． 解析：只有第六项的二项式系数最大，则n ＝10， T r ＋1＝C r 10()x 10－r ⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝2r C r10x 5－52r ， 令5－52r ＝0，得r ＝2，T 3＝4C 210＝180. 答案：18014.()x ＋14(x －1)5的展开式中x 4的系数为________．解析：()x ＋14(x －1)5＝(x －1)5(x 2＋4x x ＋6x ＋4x ＋1)，x 4的系数为C 35×(－1)3＋C 25×6＋C 15×(－1)＝45.答案：45二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)有三个袋子，其中第一个袋子装有红色小球20个，每个球上标有1至20中的一个号码．第二个袋子装有白色小球15个，每个球上标有1至15中的一个号码．第三个袋子装有黄色小球8个，每个球上标有1至8中的一个号码．(1)从袋子里任取一个小球，有多少种不同的取法？(2)从袋子里任取红、白、黄色球各一个，有多少种不同的取法？解：(1)从第一个袋子中取一个小球有20种取法；从第二个袋子中取一个小球有15种取法；从第三个袋子中取一个小球有8种取法．由分类计数原理可知共有20＋15＋8＝43种取法．(2)分三步：第一步，从第一个袋子中取一个红色球有20种取法；第二步，从第二个袋子中取一个白色球有15种取法；第三步，从第三个袋子中取一个黄色球有8种取法．由分步计数原理可知共有20×15×8＝2 400种取法．16．(本小题满分14分)有0,1,2,3,4,5共六个数字． (1)能组成多少个没有重复数字的四位偶数；(2)能组成多少个没有重复数字且为5的倍数的五位数．解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类，0在个位时有A 35个；第二类，2在个位时有A 14A 24个；第三类，4在个位时有A 14A 24个；由分类计数原理知，共有四位偶数A 35＋A 14A 24＋A 14A 24＝156(个)．(2)五位数中5的倍数可分为两类；第一类，个位上的数字是0的五位数有A 45个；第二类，个位上的数字是5的五位数有A 14A 34个．故满足条件的五位数有A 45＋A 14A 34＝216(个)．17．(本小题满分14分)在(1－x 2)20的展开式中，如果第4r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，(1)求r 的值；(2)写出展开式中的第4r 项和第r ＋2项．解：(1)第4r 项和第r ＋2项的二项式系数分别是C 4r －120和C r ＋120，C 4r －120＝C r ＋120⇔4r －1＝r ＋1或4r －1＋r ＋1＝20，解得r ＝4或r ＝23(舍去)．所以r ＝4.(2)T 4r ＝T 16＝C 1520·(－x 2)15＝－15 504x 30， T r ＋2＝T 6＝C 520(－x 2)5＝－15 504x 10.18．(本小题满分16分)设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，求下列各式的值． (1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10； (2)a 6.解：(1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10＝1. (2)a 6即为含x 6项的系数，T r ＋1＝C r 10(2x )10－r (－1)r ＝C r 10(－1)r 210－r x 10－r ， 所以当r ＝4时，T 5＝C 410(－1)426x 6＝13 440x 6，即a 6＝13 440.19．(本小题满分16分)6个人坐在一排10个座位上，问： (1)空位不相邻的坐法有多少种？(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？ (3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？解：6个人排有A 66种坐法，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位． (1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中，有C 47＝35种插法，故空位不相邻的坐法有A 66C 47＝25 200种．(2)将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插，有A 27种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A 66A 27＝30 240种．(3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类：①4个空位各不相邻有C 47种坐法；②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有C 17C 26种坐法；③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有C 27种坐法．综上所述，应有A 66(C 47＋C 17C 26＋C 27)＝115 920种坐法．20．(本小题满分16分)10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双．解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C410种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步计数原理，选取种数为N＝C410·24＝3 360(种)．即4只鞋子没有成双有3 360种不同取法．(2)从10双鞋子中选取2双有C210种取法，所以选取种数为N＝C210＝45(种)即4只鞋子恰成双有45种不同取法．(3)先选取一双有C110种选法，再从9双鞋中选取2双有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法．根据分步计数原理，不同取法为N＝C110C29·22＝1 440(种).。

第二课时组合的综合应用[对应学生用书P12][例1]现有(1)恰有一件是次品的抽法有多少种？(2)至少有一件是次品的抽法有多少种？[思路点拨]分清“恰有”“至少”的含义，正确地分类或分步．[精解详析](1)从2件次品中任取1件，有C12种抽法．从8件正品中取2件，有C28种抽法．由分步乘法计数原理可知，不同的抽法共有C12×C28＝56种．(2)法一：含1件次品的抽法有C12×C28种，含2件次品的抽法有C22×C18种．由分类加法计数原理知，不同的抽法共有C12×C28＋C22×C18＝56＋8＝64种．法二：从10件产品中任取3件的抽法有C310种，不含次品的抽法有C38种，所以至少有1件次品的抽法为C310－C38＝64种．[一点通]解答有限制条件的组合问题的基本方法：(1)直接法：优先选取特殊元素，再选取其他元素．(2)间接法：正面情况分类较多时，从反面入手，正难则反．解题时要注意分清“恰有”“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．1．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为()A．9B．14C．12 D．15解析：法一：(直接法)分两类，第一类张、王两同学都不参加，有C44种选法；第二类张、王两同学中只有1人参加，有C12C34种选法．故共有C44＋C12C34＝9种选法．法二：(间接法)C46－C24＝9种．答案：A2．在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，有2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？解：分四类求解：①从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6种选法；②从3名只会下象棋的的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6种选法；③从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有2×2＝4种选法；④从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，剩下的1名参加围棋比赛，有2×1＝2种选法．根据分类加法计数原理，一共有6＋6＋4＋2＝18种不同的选法.[例2]以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？[思路点拨]解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数．[精解详析]法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有C24C18＝48个不同的三角形；第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C14C28＝112个不同的三角形；第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C38＝56个不同的三角形．由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216个．法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C312＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C34＝4种．故这12个点构成三角形的个数为C312－C34＝216个．[一点通]1．解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．2．图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．3．以正方体的顶点为顶点的四面体的个数为________．解析：正方体的8个顶点可构成C48个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面和正方体相对棱分别所在6个平面的四个顶点，故可以确定的四面体有C48－12＝58个．答案：584．正六边形的顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．解析：不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C37－3＝32.答案：32[例3](105个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则共有多少种不同的分派方案？[思路点拨]男医生甲是特殊元素，地区A是特殊位置，因此可分类解决．[精解详析]分两类：第一类，甲被选中，共有C25C24C14A44种分派方案；第二类，甲不被选中，共有C35C24A55种分派方案．根据分类加法计数原理，共有C25C24C14A44＋C35C24A55＝5 760＋7 200＝12 960种分派方案．[一点通]本题是一道“既选又排”的排列、组合综合题，解决这类问题的方法是“先选后排”，同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则．5．从0,1,2,3,4,5这六个数中每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有()A．40个B．120个C．360个D．720个解析：先选取3个不同的数，有C36种方法；然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A22种排法，故共有C36A22＝40个三位数．答案：A6．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为()A．360 B．520C．600 D．720解析：若甲、乙同时参加，可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲、乙两人插入其中即可，则共有C25A22A23种不同的发言顺序；若甲、乙两人只有一人参加，则共有C12C35A44种不同的发言顺序．综上可得不同的发言顺序为C25A22A23＋C12C35A44＝600种．答案：C解有限制条件的排列组合应用题的基本方法：(1)直接法：用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则．(2)间接法：选择间接法的原则是正难则反，也就是若正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面问题入手，特别是涉及“至多”、“至少”等问题时更是如此．此时，正确理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等词语的确切含义是解决这些问题的关键．[对应课时跟踪训练(六)] 1．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位之和为偶数的共有()A．36个B．24个C．18个D．6个解析：若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故有C23C12A33＝36个．答案：A2．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有C12C24＝12种安排方案．答案：A3．甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有() A．150种B．180种C．300种D．345种解析：若这名女同学是甲组的，选法有C13C15C26；若这名女同学是乙组的，则选法有C25C12 C16；故符合条件的选法共有C13C15C26＋C25C12C16＝345种．答案：D4．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．10种B．15种C．20种D．30种解析：分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局、输1局，第4局赢)，共有2C23＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局、输2局，第5局赢)，共有2C24＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．答案：C5．直角坐标系xOy平面上，平行于x轴和平行于y轴的直线各有6条，则由这12条直线组成的图形中，矩形共有________个．解析：从6条水平直线和6条竖直直线中各取2条，每一种取法对应一个矩形，因此矩形共有C26C26＝225个．答案：2256．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运会志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种．解析：(间接法)共有C47－C44＝34种不同的选法．答案：347．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)甲、乙、丙各得3本．解：(1)分三步完成：第一步，从9本不同的书中任取4本分给甲，有C49种分法；第二步，从余下的5本书中任取3本给乙，有C35种分法；第三步，把剩下的书给丙，有C22种分法，所以共有不同的分法C49·C35·C22＝1 260种．(2)分两步完成：第一步，按4本、3本、2本分成三组，有C49·C35·C22种分法；第二步，将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种分法，所以共有C49·C35·C22·A33＝7 560种分法．(3)用与(1)相同的方法求解，有C39·C36·C33＝1 680种分法．8．从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数．试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有多少个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？(4)(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有多少个？解：(1)分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有C34种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有C45种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有A77种情况，所以符合题意的七位数有C34·C45·A77＝100 800个．(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有C34·C45·A55·A33＝14 400个．(3)(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C34·C45·A33·A44·A22＝5 760个．(4)(1)中的七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有C34·C45·A44·A35＝28 800个．。

第二课时　分类计数原理与分步计数原理的应用[对应学生用书P5]组数问题[例1]　从0,1,2,3,4,5这些数字中选出4个，能组成多少个无重复数字且能被5整除的四位数？[思路点拨]　能被5整除的数分为末位数字为0及末位数字为5两类．[精解详析]　满足条件的四位数可分为两类：第一类是0在末位的，需确定前三位数，分三步完成，第一步：确定首位有5种方法；第二步，确定百位有4种方法；第三步，确定十位有3种方法．所以第一类共有5×4×3＝60(个)．第二类是5在末位，前三位数也分三步完成．第一步确定首位有4种方法，第二步，确定百位有4种方法，第三步确定十位有3种方法．第二类共有4×4×3＝48(个)．所以，满足条件的四位数共有60＋48＝108(个)．[一点通]　对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成．如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．1.将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有________种．解析：由于3×3方格中，每行、每列均没有重复数字，因此可从中间斜对角线填起．如图中的△，当△全为1时，有2种(即第一行第2列为2或3，当第二列填2时，第三列只能填3，当第一行填完后，其他行的数字便可确定)，当△全为2或3时，分别有2种，共有6种；当△分别为1,2,3时，也共有6种，共12种．答案：122．由0,1,2,3，…，9十个数字和一个虚数单位可以组成虚数的个数为________．解析：复数a ＋b i(a ，b ∈R )为虚数，则a 有10种选法，b 有9种选法，根据分步计数123312231△△△原理，共计90种选法．答案：903．从1,2,3,4 中选三个数字，组成无重复数字的整数，问：满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位偶数．解：(1)三位数有三个数位百位十位个位，故可分三个步骤完成：第一步，排个位，从1,2,3,4 中选1 个数字，有4 种方法；第二步，排十位，从剩下的3 个数字中选1 个，有3 种方法；第三步，排百位，可以从剩下的2 个数字中选1 个，有2 种方法．根据分步计数原理，共有4×3×2＝24 个满足要求的三位数．(2)分三个步骤完成：第一步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第二步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第三步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个三位偶数.涂色与种植问题[例2]　如图，要给地图A，B，C，D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？[思路点拨]　根据地图的特点确定涂色的顺序，再进行计算，注意分类讨论．[精解详析]　按地图A，B，C，D四个区域依次涂色，分四步完成：第一步，涂A区域，有3种选择；第二步，涂B区域，有2种选择；第三步，涂C区域，由于它与A，B区域颜色不同，有1种选择；第四步，涂D区域，由于它与B，C区域颜色不同，有1种选择．所以根据分步计数原理，得到不同的涂色方案种数共有3×2×1×1＝6.[一点通]　给区域涂色(种植)问题的一般思路：为了便于分析问题，先给区域(种植的品种)标上相应序号，然后按涂色(种植)的顺序分步或颜色(种植的品种)当选情况分类，最后利用两个原理计数．4.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同种法的种数为________种．解析：先种A地有4种，再种B地有3种，若C地与A地种相同的花，则C地有1种．D地有3种；若C地与A地种不同花，则C地有2种，D地有2种，即不同种法的种数为N＝4×3×(1×3＋2×2)＝84.答案：845.如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型(每次旋转90°仍为L型图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是________．解析：因为每四个小方格(2×2型)中有L型图案4个，共有2×2型小方格12个，所以共有L型图案4×12＝48(个)．答案：486.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图所示的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？解：①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种不同的涂色方法；②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种不同的涂色方法．故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．简单的选择问题[例3]　有四位同学参加三项不同的竞赛．(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？[思路点拨]　(1)分四步，让每一位同学都选择一项竞赛；(2)分三步，每一项竞赛都有一名同学参加．[精解详析]　(1)学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条件限制，所以每位学生均有3个不同的机会．要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步．而每位学生均有3个不同机会，所以用分步计数原理可得3×3×3×3＝34＝81种不同结果．(2)竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选4位不同学生中的一位．要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分步计数原理可得4×4×4＝43＝64种不同结果．[一点通]　解答此题，每位学生选定竞赛或每项竞赛选定学生对完成整个事件的影响至关重要，否则容易把两问结果混淆，其原因是对题意的理解不清，对事情完成的方式有错误的认识．7．保持例题条件不变，若每位学生只能参加一项竞赛，且每项竞赛只许一位学生参加，则有________种不同结果．解析：第一个项目可挑选4位学生中的一位，有4种不同的选法；第二个项目可从剩余的3位学生中选一位，有3种不同的选法；第三个项目可从剩余的2位学生中选一位，有2种不同的选法．故共有4×3×2＝24种不同结果．答案：248．(1)8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？(2)将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？(3)3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？解：(1)分三步，每位同学取书一本，第1,2,3个同学分别有8,7,6种取法，因而由分步计数原理，不同分法共有N＝8×7×6＝336(种)．(2)完成这件事情可以分作四步，第一步，投第一封信，可以在3个邮筒中任选一个，因此有3种投法；第二步，投第二封信，同样有3种投法；第三步，投第三封信，也同样有3种投法；第四步，投第四封信，仍然有3种投法．由分步计数原理，可得出不同的投法共有N＝3×3×3×3＝81种．(3)分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而不同的方法共有N＝4×4×4＝64种．两个计数原理在解决实际问题时常采用的方法[对应课时跟踪训练(二)]一、填空题1．用1,2,3,4可组成________个三位数．解析：组成三位数这件事可分为三步完成：第一步，确定百位，共有4种选择方法；第二步，确定十位，共有4种选择方法；第三步，确定个位，共有4种选择方法，由分步计数原理可知，可组成4×4×4＝64个三位数．答案：642．若在登录某网站时弹出一个4位的验证码：XXXX(如2a8t)，第一位和第三位分别为0到9这10个数字中的一个，第二位和第四位分别为a到z这26个英文字母中的一个，则这样的验证码共有________个．解析：要完成这件事可分四步：第一步，确定验证码的第一位，共有10种方法；第二步，确定验证码的第二位，共有26种方法；第三步，确定验证码的第三位，共有10种方法；第四步，确定验证码的第四位，共有26种方法．由分步计数原理可得，这样的验证码共有10×26×10×26＝67 600个．答案：67 6003．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________．解析：当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7，则共有14个点．答案：144．某人有3个不同的电子邮箱，他要发5封电子邮件，不同发送方法的种数为________．解析：每封电子邮件都有3种不同的发法，由分类计数原理可得，共有35种不同的发送方法．答案：355.如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有________种．解析：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D，A同色1种，D，A不同色3种，故不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．答案：480二、解答题6．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步计数原理，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法；由分类计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．7．用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个(1)三位整数？(2)无重复数字的三位整数？(3)小于500的无重复数字的三位整数？解：由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．(1)百位的数字有9种选择，十位和个位的数字都各有10种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有9×10×10＝900 个．(2)由于数字不可重复，可知百位的数字有9种选择，十位的数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有9×9×8＝648个．(3)百位只有4种选择，十位可有9种选择，个位数字有8种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有4×9×8＝288个．8．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻(有公共边)的盒子中，求不同的放法有多少种．解：根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步计数原理得，有3×2×1＝6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步计数原理得，有3×2×1＝6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E，有6种不同的放法，根据分步计数原理得，有3×3×2×1＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．。

第二课时 两个计数原理的综合应用错误!选(抽)取与分配问题[典例]某外语组有人，每人至少会英语和日语中的一门，其中人会英语，人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？[解] 由题意人中既会英语又会日语的“多面手”有人．则可分三类： 第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有种选法． 第二类：“多面手”去参加日语时，选出只会英语的一人即可，有种选法．第三类：“多面手”既不参加英语又不参加日语，则需从只会日语和只会英语中各选一人，有×＝(种)方法．故共有＋＋＝(种)选法．选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法()当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法．()当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．[活学活用]．甲、乙、丙个班各有三好学生名，现准备推选名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有种不同的推选方法．解析：分为三类：第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理有×＝种选法；第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有×＝种选法； 第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有×＝种选法． 综合以上三类，根据分类加法计数原理，共有＋＋＝种不同选法． 答案：．图书馆有本不同的有关励志教育的书，任选本分给个同学，每人本，有种不同的分法．解析：分三步进行：第一步，先分给第一个同学，从本书中选一本，共有种方法；第二步，再分给第二个同学，从剩下的本中任选本，共有种方法；第三步，分给第三个同学，从剩下的本中任选本，共有种方法．所以不同分法有××＝种．答案：用计数原理解决组数问题[典例] 用五个数字，()可以排出多少个三位数字的电话号码？()可以排成多少个三位数？()可以排成多少个能被整除的无重复数字的三位数？[解]()三位数字的电话号码，首位可以是，数字也可以重复，每个位置都有种排法，共有××＝＝(种)．()三位数的首位不能为，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除外共有种方法，第二、三位可以排，因此，共有××＝(种)．()被整除的数即偶数，末位数字可取，因此，可以分两类，一类是末位数字是，则有×＝(种)排法；一类是末位数字不是，则末位有种排法，即或，再排首位，因不能在首位，所以有种排法，十位有种排法，因此有××＝(种)排法．因而有＋＝(种)排法．即可以排成个能被整除的无重复数字的三位数．组数问题的常见类型及解决原则()常见的组数问题①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”；②在某一定范围内的数的问题；③各位数字和为某一定值问题；④各位数字之间满足某种关系问题等．()解决原则①明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．②要注意数字“”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位．[活学活用]．从中选一个数字，从中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为( )．．。

第二课时　排列的综合应用数字排列问题[典例]　用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4 310的四位偶数．13[解]　(1)第一步，排个位，有A种排法；14第二步，排十万位，有A种排法；4第三步，排其他位，有A种排法．13144故共有A A A＝288个六位奇数．(2)法一：(直接法)十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．5第一类，当个位排0时，有A个；14144第二类，当个位不排0时，有A A A个．514144故符合题意的六位数共有A＋A A A＝504(个)．法二：(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况．654故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个)．(3)分三种情况，具体如下：121324①当千位上排1,3时，有A A A个．1224②当千位上排2时，有A A个．13③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A个；1213形如41××的有A A个；形如43××的只有4 310和4 302这两个数．1213241224131213故共有A A A＋A A＋2A＋A A＋2＝110(个)．[一题多变]1．[变设问]本例中条件不变，能组成多少个被5整除的五位数？45解：个位上的数字必须是0或5．若个位上是0，则有A个；若个位上是5，若不含413340，则有A个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A种排法，其余各位有A种排法，4541334故共有A＋A＋A A＝216(个)能被5整除的五位数．2．[变设问]本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{a n}，则240 135是第几项？5解：由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万454位上为0,1,3中的一个有3A个数，所以240 135的项数是A＋3A＋1＝193，即240 135是数列的第193项．3．[变条件，变设问]用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数．解：本题可分两类：第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置上，所以五位数4的个数为A＝24；第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上13只能排1,3,7之一，有A＝3(种)方法．又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作十位上的数字13后余下的两个数字之一，有A＝3(种)．十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，3有A＝6(种)．根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为13133A·A·A＝54．由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有24＋54＝78(个)．数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项(1)解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．(2)常用方法：直接法、间接法．(3)注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理． 排队问题[典例]　3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全体站成两排，前排3人，后排4人，其中女生甲和女生乙排在前排，另有2名男生丙和丁因个子高要排在后排．13136 [解]　(1)先考虑甲有A种方案，再考虑其余六人全排列，故N＝A A＝2 160(种)．225(2)先安排甲、乙有A种方案，再安排其余5人全排列，故N＝A·A＝240(种)．(3)[法一　特殊元素优先法]按甲是否在最右端分两类：6第一类，甲在最右端有N1＝A(种)，1515第二类，甲不在最右端时，甲有A个位置可选，而乙也有A个位置，而其余全排列515155A，有N2＝A A A，615155故N＝N1＋N2＝A＋A A A＝3 720(种)．[法二　间接法]76无限制条件的排列数共有A，而甲在左端或乙在右端的排法都有A，且甲在左端且5765乙在右端的排法有A，故N＝A－2A＋A＝3 720(种)．[法三　特殊位置优先法]按最左端优先安排分步．166对于左端除甲外有A种排法，余下六个位置全排有A，但减去乙在最右端的排法A 155166155A种，故N＝A A－A A＝3 720(种)．(4)将两排连成一排后原问题转化为女生甲、乙要排在前3个位置，男生丙、丁要排在2324后4个位置，因此先排女生甲、乙有A种方法，再排男生丙、丁有A种方法，最后把剩3余的3名同学全排列有A种方法．23243故N＝A·A·A＝432(种)．排队问题的解题策略(1)合理归类，要将题目大致归类，常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应的方法解题．(2)恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用，解题过程中要恰当结合两个计数原理．(3)正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果．[活学活用]排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单．(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？5解：(1)先排歌唱节目有A种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放46546入舞蹈节目，共有A种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有A·A＝43 200种方法．4(2)先排舞蹈节目有A种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个45歌唱节目放入．所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A·A＝2 880种方法．层级一　学业水平达标1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )A．36 B．120C．720D．2406解析：选C　由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A＝720．2．用0到9这十个数字，可以组成没有重复数字的三位数共有( )A．900个B．720个C．648个D．504个19解析：选C　由于百位数字不能是0，所以百位数字的取法有A种，其余两位上的数291929字取法有A种，所以三位数字有A·A＝648(个)．3．数列{a n}共有6项，其中4项为1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{a n}共有( )A．30个B．31个C．60个D．61个解析：选A　在数列的6项中，只要考虑两个非1的项的位置，即可得不同数列共有26A＝30个．4．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )A．720种B．360种C．240种D．120种2解析：选C　(捆绑法)甲、乙看作一个整体，有A种排法，再和其余4人，共5个元525素全排列，有A种排法，故共有排法A·A＝240种．5．(辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A．144B．120C．72D．24解析：选D　剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的34坐法种数为A＝4×3×2＝24．6．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)24解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A＝12种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36种选法．答案：367．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允许空袋且红口袋中不能装入红球，则有________种不同的放法．4解析：(排除法)红球放入红口袋中共有A种放法，则满足条件的放法种数为54A－A＝96(种)．答案：968．用0,1,2,3,4这5个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数有______种．23122122解析：0夹在1,3之间有A A种排法，0不夹在1,3之间又不在首位有A A A A种23122122排法．所以一共有A A＋A A A A＝28种排法．答案：289．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？25解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A种排法，再将剩余的3个6256演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A种排法，故共有不同排法A A＝14 400种．8(2)先不考虑排列要求，有A种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有4548454A A种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A－A A)＝37 440种．10．从5名短跑运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果A不能跑第一棒，那么有多少种不同的参赛方法？133413解：法一：当A被选上时，共有A A种方法，其中A表示A从除去第一棒的其他34三棒中任选一棒；A表示再从剩下4人中任选3人安排在其他三棒．4当A没有被选上时，其他四人都被选上且没有限制，此时有A种方法．13344故共有A A＋A＝96(种)参赛方法．法二：接力的一、二、三、四棒相当于有四个框图，第一个框图不能填A，有4种填3434法，其他三个框图共有A种填法，故共有4×A＝96(种)参赛方法．45法三：先不考虑A是否跑第一棒，共有A＝120(种)方法．其中A在第一棒时共有A 344534种方法，故共有A－A＝96(种)参赛方法．层级二　应试能力达标1．(四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A．24 B．48C．60D．7213解析：选D　第一步，先排个位，有A种选择；4第二步，排前4位，有A种选择．134由分步乘法计数原理，知有A·A＝72(个)．2．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有( )A．108种B．186种C．216种D．270种3734解析：选B　可选用间接法解决：A－A＝186(种)，故选B．3．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有( ) A．288个B．240个C．144个D．126个1434解析：选B　个位上是0时，有A A＝96(个)；个位上不是0时，有121334A A A＝144(个)．∴由分类加法计数原理得，共有96＋144＝240(个)符合要求的五位偶数．4．(四川高考)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A．192种B．216种C．240种D．288种5解析：选B　当最左端排甲时，不同的排法共有A种；当最左端排乙时，甲只能排4在中间四个位置之一，则不同的排法共有4A种．故不同的排法共有54A＋4A＝120＋4×24＝216种．5．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为________．8解析：(插空法)8名学生的排列方法有A种，隔开了9个空位，在9个空位中排列2 29829位老师，方法数为A，由分步乘法计数原理，总的排法总数为A A＝2 903 040．答案：2 903 0406．某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有不同排法________种．3解析：法一：若第一节排数学，共有A＝6种方法，若第一节不排数学，第一节有2种排法，最后一节有2种排法，中间两节任意排，有2×2×2＝8种方法，根据分类加法计数原理，共有6＋8＝14种，故答案为14．43法二：间接法：4节课全部可能的排法有A＝24种，其中体育排第一节的有A＝63种，数学排最后一节的有A＝6种，体育排第一节且数学排最后一节的有2×1＝2种，故符合要求的排法种数为24－6－6＋2＝14种．答案：147．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．2626解：(1)先排唱歌节目有A种排法，再排其他节目有A种排法，所以共有A·A＝1 440(种)排法．6(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选227627个排唱歌节目，有A种插入方法，所以共有A·A＝30 240(种)排法．4(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A种排法，再将3352个舞蹈节目插入，共有A种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A种排法，故4352所求排法共有A·A·A＝2 880(种)排法．8．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？解：(1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先35在奇数位置上排上奇数共有A种排法；第二步再排偶数位置，4个偶数和余下的2个奇数263526可以排，排法为A种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A·A＝1 800．24(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A种，余下的2个偶数与537个奇数全可排在奇数位置上，排法为A种，由分步乘法计数原理知，排法种数为2437A·A＝2 520种．。