2014年高考全程复习高三4-5不等式选讲4-5-2

选修4－5不等式选讲1．(2013·江苏卷)已知a≥b〉0,求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.2．（2013·福建卷）设不等式|x－2|<a（a∈N*）的解集为A，且错误!∈A，错误!∉A.（1)求a的值;（2)求函数f(x）＝｜x＋a｜＋｜x－2|的最小值．3．设函数f（x)＝|x－1｜＋|x－2|。

（1)画出函数y＝f(x）的图象；(2）若不等式|a＋b｜＋|a－b｜≥｜a|f（x）(a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．4．(2013·昆明市调研测试）已知函数f(x)＝｜x＋3|＋|x－a|(a>0)．（1)当a＝4时，已知f（x）＝7，求x的取值范围；(2)若f(x）≥6的解集为{x｜x≤－4或x≥2}，求a的值．5．已知a，b为正实数．(1)求证：错误!＋错误!≥a＋b；(2)利用（1)的结论求函数y＝错误!＋错误!（0〈x〈1）的最小值．6．已知函数f(x)＝2错误!＋错误!.（1)求证：f（x）≤5，并说明等号成立的条件；(2)若关于x的不等式f（x)≤｜m－2｜恒成立，求实数m的取值范围．7．（2013·全国卷Ⅰ）已知函数f（x)＝|2x－1｜＋|2x＋a｜，g(x）＝x＋3。

(1)当a＝－2时，求不等式f（x）<g(x)的解集；(2)设a>－1时,且当x∈错误!时，f(x）≤g(x）,求a的取值范围．8．已知函数f(x）和g（x)的图象关于原点对称，且f（x)＝x2＋2x.（1）解关于x的不等式g(x）≥f(x)－|x－1｜；(2)如果对∀x∈R，不等式g(x)＋c≤f(x)－|x－1｜恒成立，求实数c的取值范围．9．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1xy≤错误!＋错误!＋xy;（2）1＜a≤b≤c，证明log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c。

选修4－5不等式选讲第一节绝对值不等式1．绝对值三角不等式(1）定理1：如果a,b是实数，则｜a＋b｜≤｜a|＋|b｜，当且仅当ab≥0时，等号成立．（2)定理2:如果a,b,c是实数,则|a－c|≤|a－b|＋｜b－c｜,当且仅当（a－b）（b－c）≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式|x｜<a与｜x｜>a的解集：不等式a〉0a＝0a<|x｜〈a（－a,a)∅∅|x|> a (－∞,－a）∪(a，＋∞）（－∞,－0）∪(0，＋∞）R(2)ax b c c ax b c c:①｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c。

(3）｜x－a|＋｜x－b|≥c(c>0）和|x－a|＋|x－b｜≤c（c>0）型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数,利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．1．对于绝对值三角不等式,易忽视等号成立的条件．对|a＋b｜≥|a|－｜b｜，当且仅当a>－b>0时，等号成立，对|a｜－｜b|≤｜a－b｜≤|a|＋|b｜，如果a〈－b〈0当且仅当｜a｜≥|b|且ab≥0时左边等号成立，当且仅当ab≤0时右边等号成立．2．形如｜x－a|＋｜x－b｜≥c(c>0）的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断,若c〈0则不等式解集为R.［试一试］1．已知不等式｜2x－t|＋t－1<0的解集为（－错误!，错误!），求t 的值．解：｜2x－t｜<1－t，t－1<2x－t〈1－t,2t－1<2x<1,t－错误!〈x<错误!，∴t＝0.2．设不等式|x＋1｜－|x－2｜>k的解集为R，求实数k的取值范围．解：法一：根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P,A，B，则原不等式等价于｜PA｜－｜PB|〉k恒成立．∵|AB｜＝3，即｜x＋1｜－|x－2｜≥－3。

2014届高三数学高考一轮复习数学（人教A版·理）【配套训练】选修4-5不等式选讲不等式选讲第1讲含有绝对值的不等式及其解法、证明不等式的基本方法1.不等式|2x-1|<3的解集为.【答案】{x|-1<x<2}< p="">【解析】(1)当2x-1≥0,即x≥时,不等式变为2x-1<3,即x<2,所以≤x<2;(2)当2x-1<0,即x<时,不等式变为-(2x-1)<3,即x>-1,所以-1<x<.< p="">综上,原不等式的解集为={x|-1<x<2}.< p="">2.(2012·江西卷,15(2))在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为.【答案】3.若不等式|x+1|+|x-2|≥a对任意x∈R恒成立,则a的取值范围是.【答案】(-∞,3]【解析】(方法一)∵|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,∴使原不等式恒成立的a的取值范围是a≤3.(方法二)∵|x+1|+|x-2|表示数轴上一点A(x)到B(-1)与C(2)的距离之和,而|B C|=3,∴|AB|+|AC|≥3.故a≤3.(方法三)设f(x)=|x+1|+|x-2|=作出函数f(x)的图象如图所示,由图易知f(x)≥3.故a≤3.4.不等式|x-x2-2|>x2-3x-4的解集是.【答案】{x|x>-3}【解析】∵|x-x2-2|=|x2-x+2|,而x2-x+2>0恒成立,∴原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4,即2x>-6,x>-3.故原不等式的解集为{x|x>-3}.5.如果关于x的不等式|x-3|-|x-4|-1【解析】a>(|x-3|-|x-4|)min,令y=|x-3|-|x-4|,由几何意义得-1≤y≤1,故a>-1.6.若不等式>|a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是. 【答案】(1,3)【解析】∵≥2,∴|a-2|+1<2,即|a-2|<1,解得1<a<3.< p="">7.已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9},B=,则集合A∩B=.【答案】{x|-2≤x≤5}【解析】解不等式|x+3|+|x-4|≤9.(1)当x<-3时,|x+3|+|x-4|=-x-3+4-x≤9,则x≥-4,即-4≤x<-3;(2)当-3≤x≤4时,|x+3|+|x-4|=x+3+4-x≤9恒成立,则-3≤x≤4;(3)当x>4时,|x+3|+|x-4|=x+3+x-4≤9,则x≤5,即4<x≤5.< p="">综上所述,A={x∈R|-4≤x≤5}.∵t∈(0,+∞),∴x=4t+-6≥2-6=-2,当且仅当t=时等号成立.于是B={x∈R|x≥-2}. 故A∩B={x∈R|-4≤x≤5}∩{x∈R|x≥-2}={x∈R|-2≤x≤5}.8.解不等式x+|2x-1|<3.【解】原不等式可化为或解之可得≤x<或-2<x<.< p="">故原不等式的解集是.9.(2012·江苏卷,21D)已知实数x,y满足:|x+y|<,|2x-y|<,求证:|y|<.【证明】因为3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|,由题设知|x+y|<,|2x-y|<,从而3|y|<+=,所以|y|<.10.若n∈N+,n≥2,求证:-<++…+<1-.【证明】∵++…+>++…+=++…+=-,又++…+<++…+=++…+=1-,∴-<++…+<1-.11.若x,y∈{x|x>0,且x+y>2},求证:<2和<2中至少有一个成立.【证明】假设<2和<2都不成立,则有≥2,≥2同时成立.∵x>0,y>0,∴1+x≥2y,1+y≥2x同时成立.两式相加,得2+x+y≥2x+2y,即x+y≤2.这与条件x+y>2相矛盾.因此,<2和<2中至少有一个成立.12.(2012·辽宁卷,24)已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1}.(1)求a的值;(2)若≤k恒成立,求k的取值范围.【解】(1)由|ax+1|≤3得-4≤ax≤2.又f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1},所以当a≤0时,不合题意.当a>0时,-≤x≤,得a=2.(2)记h(x)=f(x)-2f,则h(x)=从而可知|h(x)|≤1,因此k≥1.拓展延伸13.(2012·课标全国卷,24)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围. 【解】(1)当a=-3时,f(x)=当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时,f(x)≥3无解;< p="">当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4;综上,可知f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|4-x-(2-x)≥|x+a|-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[-3,0].</x<3时,f(x)≥3无解;<></x<.<></x≤5.<></a<3.<></x<2}.<></x<.<></x<2}<>。

选修4—5 不等式选讲考纲要求1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： (1)|a ＋b |≤|a |＋|b |；(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≥c .3．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．1．含____________的不等式叫作绝对值不等式．2．解含有绝对值的不等式关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：(1)分段讨论：根据|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x ，－f x ，f x去掉绝对值符号．(2)利用等价不等式：|ax ＋b |≤c (c ＞0) ________； |ax ＋b |≥c (c ＞0) ___ _______.(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数．．．，再平方，从而去掉绝对值符号．3．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当______时，等号成立． 4．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当__________时，等号成立．5．|x －a |的几何意义：数轴上表示数x 与a 的两点间的______．6．形如|x －a |＋|x －b |≥c (a ≠b )与|x －a |＋|x －b |≤c (a ≠b )的绝对值不等式的解法主要有三种：(1)运用绝对值的几何意义； (2)零点分区间讨论法；(3)构造分段函数，结合函数图像求解．7．重要绝对值不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤________. 使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件，即 |a ＋b |＝|a |＋|b |ab ≥0； |a －b |＝|a |＋|b |ab ≤0；|a |－|b |＝|a ＋b |b (a ＋b )≤0； |a |－|b |＝|a －b |b (a －b )≥0；注：|a |－|b |＝|a ＋b ||a |＝|a ＋b |＋|b ||(a ＋b )－b |＝|a ＋b |＋|b |b (a ＋b )≤0. 同理可得|a |－|b |＝|a －b |b (a －b )≥0.1．(2012天津高考)集合A ＝{ x ∈R |}|x －2|≤5中的最小整数为__________． 2．若存在实数x 满足|x －3|＋|x －m |＜5，则实数m 的取值范围为__________．3．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |(a ＞0)．若不等式f (x )≥5的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)，则a 的值为__________．4．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＞|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是__________．5．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|，f (x )＞2的解集为__________；若不等式a ＞f (x )有解，则实数a 的取值范围是__________．一、含有一个绝对值的不等式的解法【例1】已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则a ＝__________；若⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，则k 的取值范围是__________． 方法提炼1．解含绝对值的不等式的关键是去掉绝对值符号．对于只含有一个绝对值的不等式，可先将其转化成形如|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 的形式，再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式(或不等式组)求解；也可利用绝对值的几何意义或函数图像法求解．2．已知不等式的解集求字母的值，可先用字母表示解集，再与原解集对比即得字母的值． 请做演练巩固提升1二、含有两个绝对值的不等式的解法【例2】 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |，若a ＝－1，则不等式f (x )≥3的解集为__________；若f (x )≥2，则a 的取值范围是__________．方法提炼1．解含两个绝对值符号的不等式，可先将其转化为|x －a |＋|x －b |≥c 的形式，对于这种绝对值符号里是一次式的不等式，一般有三种解法，分别是“零点划分法”“利用绝对值的几何意义法”和“利用函数图像法”．此外，有时还可采用平方法去绝对值，它只有在不等式两边均为正的情况下才能使用．2．绝对值不等式|x －a |≥c (c ＞0)表示数轴上到点a 的距离不小于c 的点的集合；反之，绝对值|x －a |＜c (c ＞0)表示数轴上到点a 的距离小于c 的点的集合．3．“零点划分法”是解绝对值不等式的最基本方法，一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根；(2)把这些根按由小到大进行排序，n 个根把数轴分为n ＋1个区间；(3)在各个区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．请做演练巩固提升2三、利用绝对值的几何意义或含绝对值的函数图像解不等式【例3】 已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|，则不等式|x －8|－|x －4|＞2的解集为_______．方法提炼1．不等式|x －a |＋|x －b |≥c 表示数轴上到两个定点a ，b 的距离之和不小于c 的点的集合；反之，不等式|x －a |＋|x －b |＜c 表示数轴上到两个定点a ，b 的距离之和小于c 的点的集合．2．构造形如f (x )＝|x －a |＋|x －b |的函数，通过去掉绝对值，将其转化成分段函数，利用其图像求解不等式，体现了函数与方程的思想．请做演练巩固提升3等价转化思想在解含绝对值不等式中的应用【典例】 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，不等式f (x )≥3的解集为__________；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，则a 的取值范围为__________．解析：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4||x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | 4－x －(2－x )≥|x ＋a |－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．答案：(1){x|x≤1或x≥4}(2)[－3,0]答题指导：1.本题第(1)问较简单，一般用零点划分法就可以转化，第(2)问容易犯直接求解f(x)≤|x－4|的解集的错误，应该是利用[1,2]是其解集而将绝对值先去掉再转化为[1,2] [－2－a,2－a]这一问题，注意不要弄反．2．等价转化思想在数学中是一重要的数学思想方法之一，应用其思想的关键是强调“等价”两字，转化的目的是使问题简单化．1．设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x||x－b|＞2，x∈R}．若AB，则实数a，b满足的绝对值不等式是__________．2．(2012陕西高考)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是______________．3．对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集为________．4．设不等式|2x－1|＜1的解集为M，则集合M＝__________，若a，b∈M，则ab＋1与a ＋b的大小关系是__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．绝对值符号2．(2)－c ≤ax ＋b ≤c ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c 3．ab ≥04．(a －b )(b －c )≥0 5．距离 7．|a |＋|b | 基础自测1．－3 解析：∵|x －2|≤5， ∴－5≤x －2≤5，∴－3≤x ≤7，∴集合A 中的最小整数为－3.2．(－2,8) 解析：存在实数x 满足|x －3|＋|x －m |＜5 (|x －3|＋|x －m |)min ＜5，即|m －3|＜5，解得－2＜m ＜8.3．2 解析：由题意，知f (－2)＝f (3)＝5，即1＋|2＋a |＝4＋|3－a |＝5，解得a ＝2.4．(1,3) 解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，∴|a －2|＋1＜2，即|a －2|＜1，解得1＜a ＜3.5.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <－7或x >53 a ＞－92解析：原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－(2x ＋1)＋(x －4)>2或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x ≤4，(2x ＋1)＋(x －4)>2或⎩⎪⎨⎪⎧x >4，(2x ＋1)－(x －4)>2.解得x ＜－7或53＜x ≤4或x ＞4.所以原不等式的解集为{x |x ＜－7或x ＞53}．由题意知a ＞f (x )min ，又f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ≤－12，3x －3，－12<x ≤4，x ＋5，x >4.所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－92. 所以a ＞－92.考点探究突破【例1】 2 k ≥1 解析：由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， 所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1. 【例2】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－32或x ≥32 (－∞，1]∪[3，＋∞)解析：当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，(方法一)由绝对值的几何意义知不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－32或x ≥32.(方法二)不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－2x ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1，2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x ≥3.所以不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－32或x ≥32.若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件； 若a ＜1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2x －(a ＋1)，x ≥1，f (x )的最小值为1－a ；若a ＞1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2x －(a ＋1)，x ≥a .f (x )的最小值为a －1.所以对于任意的x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．【例3】 {x |x ＜5} 解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4<x ≤8，－4，x >8.图像如下：不等式|x －8|－|x －4|＞2，即f (x )＞2，由－2x ＋12＝2得x ＝5.由函数f (x )的图像可知，原不等式的解集为{x |x ＜5}． 演练巩固提升1．|a －b |≥3 解析：由题意可得集合A ＝{x |a －1＜x ＜a ＋1}，集合B ＝{x |x ＜b －2，或x ＞b ＋2}，又因为AB ，所以有a ＋1≤b －2，或b ＋2≤a －1，即a －b ≤－3，或a －b ≥3，即|a －b |≥3.2．－2≤a ≤4 解析：由绝对值不等式的几何意义可知，数轴上点x 到a 点与1点的距离的和小于等于3.由图可得－2≤a ≤4.3．{x |x ≥0} 解析：令y ＝|x ＋10|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－12， x ≤－10，2x ＋8，－10<x <2，12， x ≥2.则可画出其函数图像如图所示：由图像可以观察出使y ≥8的x 的取值范围为[0，＋∞)． ∴|x ＋10|－|x －2|≥8的解集为{x |x ≥0}． 4．{x |0＜x ＜1} ab ＋1＞a ＋b解析：由|2x －1|＜1，得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1. 所以M ＝{x |0＜x ＜1}．由a ，b ∈M ，得0＜a ＜1,0＜b ＜1.所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0. 故ab ＋1＞a ＋b .。