2014高考数学提分秘籍 必练篇 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

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考点10导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1．<2018·安徽高考文科·Ｔ10）函数()()21nf x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则n 可能是< ）<A ）1 <B ）2 <C ）3 <D ）4 【思路点拨】 代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案.【精讲精析】选A. 代入验证,当n=1时，)2()1()(232x x x a x ax x f +-=-=，则)143()(2+-='x x a x f ，由)143()(2+-='x x a x f =0可知，1,3121==x x ，结合图象可知函数应在<0，31）递增，在）（1,31递减，即在31=x 处取得最大值，由,21)311(31)31(2=-⨯⨯=a f 知a 存在. 2.<2018·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f<x ）的定义域为R ，f<-1）=2，对任意x ∈R ，2)(>'x f ，则f<x ）＞2x+4的解集为<A ）<-1，1） <B ）<-1，+∞） <C ）<-∞，-1） <D ）<-∞，+∞）【思路点拨】先构造函数)42()()(+-=x x f x g ，求其导数，将问题转化为求)(x g 单调性问题即可求解．【精讲精析】选B.构造函数)42()()(+-=x x f x g ，则=-)1(g 022)42()1(=-=+---f ，又因为2)(>'x f ，所以02)()(>-'='x f x g ，可知)(x g 在R 上是增函数，所以)42()(+>x x f 可化为0)(>x g ，即)1()(->g x g ，利用单调性可知，1->x ．选B.3．<2018·安徽高考理科·Ｔ10）函数()()1nmf x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则,m n 的值可能是<A ）1,1m n ==(B> 1,2m n ==(C> 2,1m n == (D> 3,1m n ==【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出)(x f 的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n 的取值.【精讲精析】选B.函数()()1nmf x ax x =-的导数11()()(1)(),m n m f x m n ax x x m n--'=-+--+则)(x f '在),0(n m m +上大于0，在)1,(n m m+上小于0，由图象可知极大值点为31，结合选项可得m=1,n=2. 二、填空题4.<2018·广东高考理科·Ｔ12）函数32()31f x x x =-+在x =处取得极小值.【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值的时刻. 【精讲精析】答案：2由063)(2=-='x x x f 解得0=x 或2=x ，列表如下：∴当2=x 时，y 取得极小值.5．<2018·辽宁高考文科·Ｔ16）已知函数a x e x f x+-=2)(有零点，则a 的取值范围是【思路点拨】先求)(x f '，判断)(x f 的单调性．结合图象找条件．本题只要使)(x f 的最小值不大于零即可．【精讲精析】选A ，)(x f '=2-x e ．由)(x f '0>得2-xe 0>，∴2ln >x ．由)(x f '0<得，2ln <x ． ∴)(x f 在2ln =x 处取得最小值． 只要0)(min ≤x f 即可．∴02ln 22ln ≤+-a e ，∴22ln 2-≤a ．∴a 的取值范围是]22ln 2,(--∞6.<2018·江苏高考·Ｔ12）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_________【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t 的表达式，然后考虑单调性求解最值。

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高二数学 考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数()f x 满足22()2(),(2).8x e e x f x xf x f x '+==则x>0时,f(x)（ ）.A 有极大值，无极小值 .B 有极小值，无极大值.C 既有极大值又有极小值 .D 既无极大值也无极小值【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。

【解析】选D.由题意知2332()2()()x x e f x e x f x f x x x x -¢=-=， x 2x 22g(x)e 2x f (x),g '(x)e 2x f '(x)4xf (x 2(()2())22(1).)x x x x e x f x xf x e e e x x 则令¢==--+=-=-=--由()0g x ¢=得2x =,当2x =时,222min ()2208e g x e =-创= 即()0g x ³,则当0x >时,3()()0g xf x x ¢=?, 故()f x 在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.2. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）相同已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,2)(2x x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是（ ） A.]0,(-∞ B. ]1,(-∞ C. ]1,2[- D. ]0,2[-【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用|)(|x f 在)0,0(处的切线为制定参数的标准.【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当0≤x 时，x x x f x g 2|)(|)(2-==，22)(-='x x g ，2)0(-='g ，故2-≥a .当0>x 时，)1ln(|)(|)(+==x x f x g ，11)(+='x x g 由于)(x g 上任意点的切线斜率都要大于a ，所以0≤a ，综上02≤≤-a .3. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T10)相同设已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）A.0x R ∃∈，0()0f x =B.函数()y f x =的图象是中心对称图形C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A 项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x 0∈R,使f(x 0)=0,A 正确.B 项,假设函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为(m,n),按向量(,)a m n =--将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n 是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x 2+m 3+am 2+bm+c-n=0.上式对x ∈R 恒成立,故3m+a=0,得m=-3a ,n=m 3+am 2+bm+c=f 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为,33a a f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B 正确.C 项,由于()f x '=3x 2+2ax+b 是二次函数,f(x)有极小值点x 0,必定有一个极大值点x 1,若x 1<x 0,则f(x)在区间(-∞,x 0)上不单调递减,C 错误.D 项,若x 0是极值点,则一定有0()0f x '=.故选C.4.（2013·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数32()=+a +bx+f x x x c 有两个极值点1x ，2x ，若112()=f x x x <，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( )A.3B.4C. 5D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x 1或f(x)=x 2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A 。

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考点10导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题21. <2018 •安徽高考文科10)函数f x二ax n1 -x 在区间1.0,11上的图象如图所示，贝y n可能是< )<A) 1 <B ) 2 <C ) 3 <D ) 4【思路点拨】代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案【精讲精析】选A.代入验证，当n=1时，f (x) = ax(1 - x)2 = a(x3 -2x2• x)，贝V2 2 1f (x) =a(3x -4x 1)，由f (x) =a(3x -4x 1) =0可知，％, x^ 1，结合图象可知函数应在311 1<0,)递增，在(—J)递减，即在x 处取得最大值，由3 3 31 1 11f ( ) = a (1 )2,知a存在.3 3 3 22.<2018 •辽宁高考理科11)函数f<x )的定义域为R f<-1 ) =2,对任意x € R, f (x) 2，贝Uf<x ) > 2x+4的解集为<A) <-1 , 1) <B ) <-1 , +:- ) <C ) <- ：： , -1 ) <D ) <- ：： , +:-)【思路点拨】先构造函数g(x)二f(x) -(2x 4)，求其导数，将问题转化为求g(x)单调性问题即可求解.【精讲精析】 选B.构造函数g(x)二f (x) -(2x 4)，则g(-1) = f(-1) -(-2 • 4) = 2-2 = 0，又因为f (x) 2，所以g (x)二f (x) -2 • 0,可知g(x)在R 上是增函数，所以 f(x) • (2x4)可化为g(x) . 0，即g(x) . g(-1)，利用单调性可知,x • -1 .选B.3. <2018 •安徽高考理科10)函数f (x )=ax m (1—x )n 在区间［0,1］上的图象如图所示，贝y m,n 的值 可能是<A ) m =1,n=1(B> m =1,n=2(C> m=2, n=1 (D> m=3,n =1【思路点拨】 本题考查函数与导数的综合应用，先求出 f(x)的导数，然后根据函数图像确定极值点的位 置，从而判断m,n 的取值.【精讲精析】 选B.函数f (x )=ax m (1—x )的导数f (x) =-(m n)axm_l(1「x)n，(x -一 ),则 f (x)在(0,―)上大于 0，在(m,1)上小于 o ，由 m+nm+n m+n1图象可知极大值点为 ，结合选项可得 m=1, n=2.3二、填空题 4.<2018 •广东高考理科12)函数f (x) =x 3 -3x 2 1在X 二处取得极小值.【思路点拨】 先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值的时刻 【精讲精析】答案：2由f (x) =3x 2 -6x =0解得x =0或x =2，列表如下：-当x =2时，y 取得极小值.5. <2018 •辽宁高考文科16)已知函数f (x)二e x -2x • a 有零点，则a 的取值范围是【思路点拨】先求f (x)，判断f (x)的单调性•结合图象找条件•本题只要使 f (x)的最小值不大于零即可.【精讲精析】选A, f(x)=e x-2 .由f (x) • 0得e x-2 0,x . ln 2 .由f (x) ：：：0 得，x ::: ln 2 .••• f (x)在x =1 n 2处取得最小值.只要f min (x) <0 即可.二e ln2- 21 n 2 • a 乞0 ,• a 乞21n 2 -2 .•a的取值范围是(―二,21 n2—2]6. <2018 •江苏高考12)在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)二e x(x 0)的图象上的动点，该图象在P处的切线丨交y轴于点M过点P作丨的垂线交y轴于点N设线段MN的中点的纵坐标为t，贝U t的最大值是__________【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t的表达式，然后考虑单调性求解最值。

考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数()f x 满足22()2(),(2).8x e e x f x xf x f x '+==则x>0时,f(x)（ ）.A 有极大值，无极小值 .B 有极小值，无极大值 .C 既有极大值又有极小值 .D 既无极大值也无极小值【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。

【解析】选D.由题意知2332()2()()x x e f x e x f x f x x x x -¢=-=， x 2x 22g(x)e 2x f (x),g '(x)e 2x f '(x)4xf (x 2(()2())22(1).)x x xx e x f x xf x e e e x x则令¢==--+=-=-=--由()0g x ¢=得2x =,当2x =时,222min ()2208e g x e =-创= 即()0g x ³,则当0x >时,3()()0g x f x x ¢= , 故()f x 在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.2. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）相同已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,2)(2x x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是（ ）A.]0,(-∞B. ]1,(-∞C. ]1,2[-D. ]0,2[-【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用|)(|x f 在)0,0(处的切线为制定参数的标准.【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当0≤x 时，x x x f x g 2|)(|)(2-==，22)(-='x x g ，2)0(-='g ，故2-≥a .当0>x 时，)1ln(|)(|)(+==x x f x g ，11)(+='x x g 由于)(x g 上任意点的切线斜率都要大于a ，所以0≤a ，综上02≤≤-a .3. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T10)相同 设已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） A.0x R ∃∈，0()0f x =B.函数()y f x =的图象是中心对称图形C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A 项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x 0∈R,使f(x 0)=0,A 正确.B 项,假设函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为(m,n),按向量(,)a m n =--将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n 是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x 2+m 3+am 2+bm+c-n=0.上式对x ∈R 恒成立,故3m+a=0,得m=-3a ,n=m 3+am 2+bm+c=f 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为,33aa f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B 正确.C 项,由于()f x '=3x 2+2ax+b 是二次函数,f(x)有极小值点x 0,必定有一个极大值点x 1,若x 1<x 0,则f(x)在区间(-∞,x 0)上不单调递减,C 错误.D 项,若x 0是极值点,则一定有0()0f x '=.故选C.4.（2013·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数32()=+a +bx+f x x x c 有两个极值点1x ，2x ，若112()=f x x x <，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( ) A.3 B.4 C. 5 D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x 1或f(x)=x 2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A 。

考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2014· 湖南高考文科·Ｔ9）若1201x x <<<，则（ ）A.2121ln ln xxe e x x ->-B.2121ln ln x xe e x x -<-C.1221xxx e x e >D.1221xxx e x e <【解题提示】构造新函数，利用函数的单调性求解。

选项 具体分析 结论A构造函数()()()101,ln <<-='-=x xe xf x e x f xx，根据()101,<<x xe x 的图象可知()xf 在（0,1）上不单调错误B 同上 错误 C构造新函数()()()()1001,22<<<-⋅=-⋅='=x xx e x e x e x g x e x g x x x x ， 所以()x g 在（0,1）上是减函数，所以()()1221212121,,x x x x e x e x x e x e x g x g <>>正确D同上错误2.（2014·辽宁高考文科·Ｔ12）与（2014·辽宁高考理科·Ｔ11）相同 当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 [][][]9()5,3()6,()6,2()4,38A B C D ⎡⎤--------⎢⎥⎣⎦【解题提示】 采用分离常数法，利用导数求函数的最值， 【解析】选Ｃ.当(]0,1x∈时，不等式232343430x xaxx x ax---++≥⇒≥(]0,1x∈恒成立．令(]2343(),0,1x xg x xx--=∈，则(]2489(),0,1x xg x xx-++'=∈设2()89h x x x=-++，()h x在(]0,1上为增函数，()(0)90h x h>=>所以(]24890,1,()0x xx g xx-++'∈=>，则(]2343()0,1x xg xx--=在上为增函数，(]2343(),0,1x xg x xx--=∈的最大值max()=gg x（1）=-6；从而6a≥-；当=0x时，a R∈；当[)2,0x∈-时，不等式232343430x xax x x ax---++≥⇒≤[)2,0x∈-恒成立．[)2489()0102,0x xg xxxx⎧-++'=>⎪⇒-<<⎨⎪∈-⎩，[)2489()0212,0x xg xxxx⎧-++'=<⎪⇒-<<-⎨⎪∈-⎩所以[)2343()2,1x xg xx--=--在上为减函数，在(1,0)-上为增函数，故min()=gg x（-1）=-2，则2a≤-．综上所述，62a-≤≤-．3.(2014·陕西高考文科·T10)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切),已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )A.y=x3-x2-xB.y=x3+x2-3xC.y=x3-xD.y=x3+x2-2x【解题指南】根据已知图像可以得到函数图像在与x 轴交点处的导数,再利用导数及函数的零点列出三元一次方程组,解之即得所求.【解析】选 A.由已知可得此函数为三次函数且过原点,故可设函数解析式为y=f(x)=ax 3+bx 2+cx,所以f'(x)=3ax 2+2bx+c, 由题意知f'(0)=-1,f'(2)=3,f(2)=0,即c=-1, 12a+4b+c=3,8a+4b+2c=0, 解之得a=,b=-,c=-1.所以y=x 3-x 2-x.4.(2014·陕西高考理科·T10)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A 的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则函数的解析式为 ( )A.y=x 3-x B.y=x 3-xC.y=x 3-x D.y=-x 3+x【解题指南】根据函数的图象可以得到函数的极值点,再利用导数求得解析式的极值点,二者能够统一的即为所求. 【解析】选A.由函数图象可得函数的极值点为±5,对四个选项中函数解析式进行求导,只有选项A 的函数解析式求导得y'=3×x 2-,令y'=0得x=±5,所以只有选项A 的解析式与图象相统一,故选A.5. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T11)若函数f(x)=kx-lnx 在区间(1,+∞)单调递增,则k 的取值范围是( ) A. (,2]-∞- B. (,1]-∞- C. [2,)+∞ D. [1,)+∞【解题提示】利用函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,可得其导函数f(x)≥0恒成立,分离参数,求得k 的取值范围.【解析】选D.因为f(x)在(1,+∞)上递增,所以f'(x)≥0恒成立,因为f(x)=kx-lnx,所以f'(x)=k-1x ≥0.即k ≥1>1x.所以k ∈[1,+∞),选D 6. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= ( )A.0B.1C.2D.3【解题提示】将函数y=ax-ln （x+1）求导,将x=0代入,利用导数的几何意义求得a. 【解析】选D.因为f(x)=ax-ln(x+1),所以f'(x)=a-11x +.所以f(0)=0,且f'(0)=2.联立解得a=3.故选D.7. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T12)设函数xmπ.若存在f(x)的极值点x 0满足20x +()20f x ⎡⎤⎣⎦<m 2,则m 的取值范围是( )A. ()(),66,-∞-+∞UB. (),4-∞-∪()4,+∞C. (),2-∞-∪()2,+∞D. (),1-∞-∪()4,+∞ 【解题提示】利用函数xmπ的性质,求得x 0和f(x 0)代入不等式,解不等式,得m的取值范围.【解析】选C.因为sinxmπ,即[f(x 0)]2=3,|x 0|≤2m ,所以2x +[f(x 0)]2≥234m +,所以24m +3<m 2,解得|m|>2.故选C. 8.（2014·四川高考理科·Ｔ9）已知)1ln()1ln()(x x x f --+=，)1,1(-∈x ，现有下列命题：①)()(x f x f -=-；②)(2)12(2x f xxf =+；③x x f 2)(≥.其中的所有正确命题的序号是（ ）A. ①②③B. ②③C. ①③D. ①②【解题提示】可直接验证①②都正确，对于③，可以利用奇偶性和导数确定其单调性来加以判断．【解析】选A. 对于①：()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，故①正确；对于②：1()ln(1)ln(1)ln 1x f x x x x +=+--=-⇒222221211()lnln()21111xx x x f x x x x +++==+--+12ln 1x x +=-2()f x =，)1,1(-∈x ，故②正确；对于③：当[0,1)x ∈时，|()|2||()20f x x f x x ≥⇔-≥，令()()2ln(1)ln(1)2g x f x x x x x =-=+---（[0,1)x ∈），因为22112()20111x g x x x x'=+-=>+--，所以()g x 在[0,1)单增，()()2(0)0g x f x x g =-≥=，即()2f x x ≥，又()f x 与2y x =为奇函数，所以|()|2||f x x ≥成立，故③正确. 【误区警示】本题②容易错误理解为22()1xf x +中的x R ∈，与2()f x 中的)1,1(-∈x 不对应，导致错选C ．二、解答题9. (2014·湖北高考文科·T13)(本小题满分14分)π为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=ln xx的单调区间. (2)求e 3,3e ,e π,πe ,3π,π3这6个数中的最大数与最小数.【解题指南】(1)先求函数定义域,然后在定义域内解不等式即可得到单调增、减区间.(2)由e<3<π,得eln3<eln π,πlne<πln3,即ln3e <ln πe ,lne π<ln3π.再根据函数y=lnx,y=e x ,y=πx 在定义域上单调递增,可得3e <πe <π3,e 3<e π<3π,从而六个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e 与e 3之中.由e<3<π及(1)的结论,得f(π)<f(3)<f(e),即ln ππ<ln 33<lnee ,由此进而得到结论. 【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).因为f(x)= ln xx,所以f'(x)=21ln xx -. 当f'(x)>0,即0<x<e 时,函数f(x)单调递增. 当f'(x)<0,即x>e 时,函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞). (2)因为e<3<π,所以eln3<eln π,πlne<πln3,即ln3e <ln πe ,lne π<ln3π.于是根据函数y=lnx,y=e x ,y=πx 在定义域上单调递增,可得3e <πe <π3,e 3<e π<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e 与e 3之中. 由e<3<π及(1)的结论,得f(π)<f(3)<f(e), 即ln ππ<ln 33<lne e . 由ln ππ<ln 33,得ln π3<ln3π,所以3π>π3;由ln 33<lne e ,得ln3e <lne 3, 所以3e <e 3.综上,6个数中的最大数是3π,最小数是3e.10. （2014·湖北高考理科·Ｔ22）π为圆周率，⋯=71828.2e 为自然对数的底数. （1）求函数()xxx f ln =的单调间； （2）求33,3,,,3,πππeeee e 这6个数中的最大数与最小数；（3）将33,3,,,3,πππeeee e 这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.【解题指南】（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式(x)0f '>,(x)0f '<即可得到单调增、减区间；（Ⅱ）由e ＜3＜π，得eln3＜eln π，πlne ＜πln3，即ln3e ＜ln πe ，lne π＜ln3π．再根据函数y=lnx ，y=e x ，y=πx 在定义域上单调递增，可得3e ＜πe ＜π3，e 3＜e π＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中．由e ＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f （π）＜f （3）＜f （e ），即ln ln 3lne3e ππ<<，由此进而得到结论；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e 3，又由（Ⅱ）知，ln lneeππ<，得ee ππ<，故只需比较e 3与πe和e π与π3的大小．由（Ⅰ）可得0＜x ＜e 时，lnx 1x e <，令2e x π=，有2ln e e ππ<，从而2ln e ππ-<，即得ln 2eππ>-L L ①，由①还可得ln πe＞lne 3，3ln π＞π，由此易得结论； 【解析】（1）函数的定义域为(0,)+∞，因为ln ()x f x x =，所以21ln (x)xf x-'=。

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考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)【解题指南】根据xf′(x)-f(x)<0,构造函数g(x)=f(x)x ,对函数g(x)=f(x)x求导,利用其单调性及奇偶性确定f(x)>0成立的x的取值范围.【解析】选A.记函数()()f xg xx=，则''2()()()xf x f xg xx-=，因为当0x>时，'()()0xf x f x-<，故当0x>时，'()0g x<所以g(x)在(0,+∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,且g(-1)=g(1)=0.当0<x<1时,g(x)>0,则f(x)>0;当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0,综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).2.（2015·安徽高考文科·T10）函数()32f x ax bx cx d=+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（）A.a>0,b<0,c>0,d>0B.a>0,b<0,c<0,d>0C.a<0,b<0,c<0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d<0【解题指南】结合图像的特征及导函数的性质进行判断。