2020-2021学年江西省高考全真模拟数学试题(理)及答案解析

江西省六校联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z满足z2=3﹣4i，则z的模是（）A．B．5 C．D．12．若全集U={1，2，3，4，5}，且∁U A={x∈N|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有（）A．3 B．4 C．7 D．83．函数的单调增区间是（）A．（﹣1，1] B．（﹣∞，1）C．[1，3） D．（1，+∞）4．在一个半球中，挖出一个体积最大的长方体，挖后几何体的俯视图如图，则下列正视图正确的是（）A．B．C．D．5．设随机变量X～N（2，1），则P（|X|＜1）=（）附：（若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）=99.72%）A．13.59% B．15.73% C．27.18% D．31.46%6．《算法统宗》是中国古代数学名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的．下端3节可盛米3.9升，上端3节可盛米3升，要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升．由以上条件，要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为（）升．A．9.0 B．9.1 C．9.2 D．9.37．上饶高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，若某一家庭有3个人检票进站，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个家庭3个人的不同进站方式有（）种．A．24 B．36 C．42 D．608．设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ﹣cosαsinβ=1，则cos（2α﹣β）的取值范围为（）A．[0，1] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．9．已知在等腰△AOB中，若|OA|=|OB|=5，且，则的取值范围是（）A．[﹣15，25）B．[﹣15，15] C．[0，25）D．[0，15]10．已知双曲线C：=1的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=且，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．311．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O是△ABC外接圆的圆心，若，且，则m的值是（）A．B．C．D．12．已知，其中ω＞0，若函数在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A． B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．阅读程序框图，该算法功能是输出数字A的末两位数字是．14．若的展开式中各项的系数之和为729，则该展开式中x2的系数为．15．抛物线y2=2px（p＞0）与过焦点且垂直于其对称轴的直线所围成的封闭图形面积是6，则p= ．16．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有3个不相等的实根，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1=1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．18．某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为p，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为0.04．周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益10万元8万元5万元（1）求p及基地的预期收益；（2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为11万元，有雨时收益为6万元，且额外聘请工人的成本为5000元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．19．如图，已知四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=1，AD=2BC=，若△PAD是以AD为底边的等腰直角三角形，且PA⊥CD．（1）证明：PC⊥平面PAD；（2）求直线AB与平面PBC所成的角的大小．20．已知椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），椭圆上有一点A与两焦点的连线构成的△AF1F2中，满足∠AF1F2=．（1）求椭圆C的方程；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线BC，CD，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1•k2=k3•k4，求OB2+OC2的值．21．已知f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若不等式e x（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，求a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M为C1上的动点，P点满足，设点P的轨迹为曲线C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求线段AB的长度．选修4-5：不等式选讲23．设f（x）=．（1）当a=2时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若对任意a∈（0，1），x∈{x|x≠0}，不等式f（x）≤b恒成立，求实数b的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z满足z2=3﹣4i，则z的模是（）A．B．5 C．D．1【考点】A8：复数求模．【分析】由复数模的公式求解即可．【解答】解：∵复数z满足z2=3﹣4i，∴|z|2==5，∴|z|=，故选A．2．若全集U={1，2，3，4，5}，且∁U A={x∈N|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有（）A．3 B．4 C．7 D．8【考点】16：子集与真子集．【分析】根据题意，有补集的定义可得集合A，再由集合真子集的定义可得A的真子集有∅、{4}、{5}，即可得答案．【解答】解：根据题意，全集U={1，2，3，4，5}，且∁U A={x∈N|1≤x≤3}={1，2，3}，则A={4，5}，A的真子集有∅、{4}、{5}，共3个；故选：A．3．函数的单调增区间是（）A．（﹣1，1] B．（﹣∞，1）C．[1，3） D．（1，+∞）【考点】3G：复合函数的单调性．【分析】由真数大于0求出函数的定义域，进一步求出内函数在定义域内的减区间，再由复合函数的单调性得答案．【解答】解：令t=﹣x2+2x+3，由﹣x2+2x+3＞0，得﹣1＜x＜3．函数t=﹣x2+2x+3的对称轴方程为x=1，二次函数t=﹣x2+2x+3在[1，3）上为减函数，而函数y=为定义域内的减函数，∴函数的单调增区间是[1，3）．故选：C．4．在一个半球中，挖出一个体积最大的长方体，挖后几何体的俯视图如图，则下列正视图正确的是（）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】由题意，挖出一个体积最大的长方体，由俯视图，可知正视图投影线不能到底部，即可得答案．【解答】解：由题意，挖出一个体积最大的长方体，由俯视图，可知正视图投影线不能到底部，排除A，D选项．B选项视图可知，挖出是一个正方体，∴B不对．故而C满足题意．故选C5．设随机变量X～N（2，1），则P（|X|＜1）=（）附：（若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）=99.72%）A．13.59% B．15.73% C．27.18% D．31.46%【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由题意，P（1＜X＜3）=0.6826，P（﹣1＜X＜5）=0.9972，利用P（|X|＜1）=[P（﹣1＜X＜5）﹣P（1＜X＜3）]，可得结论．【解答】解：由题意，P（1＜X＜3）=0.6826，P（﹣1＜X＜5）=0.9972，∴P（|X|＜1）=[P（﹣1＜X＜5）﹣P（1＜X＜3）]=0.1573，故选B．6．《算法统宗》是中国古代数学名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的．下端3节可盛米3.9升，上端3节可盛米3升，要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升．由以上条件，要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为（）升．A．9.0 B．9.1 C．9.2 D．9.3【考点】8B：数列的应用．【分析】要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d升，下端第一节盛米a1升，由等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组求出a1，d，由此能求出中间两节可盛米的容积，可得结论．．【解答】解：要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d升，下端第一节盛米a1升，由题意得，解得a1=1.306，d=﹣0.06，∴中间两节可盛米的容积为：a4+a5=（a1+3d）+（a1+4d）=2a1+7d=2.292这根八节竹筒盛米的容积总共为：2.292+3.9+3≈9.2（升）．故选：C．7．上饶高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，若某一家庭有3个人检票进站，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个家庭3个人的不同进站方式有（）种．A．24 B．36 C．42 D．60【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，按3人选择通道口的数目分3种情况讨论，①、3人选择同一个通道口进站，②、3人选择2个通道口进站，③、3人选择3个通道口进站，分别求出每一种情况的进站方式数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、3人选择同一个通道口进站，通道口有3种选择，3个人的前后顺序有A33种情况，则此时有3×A33=18种进站方式，②、3人选择2个通道口进站，先将3人分成2组，有C32=3种分组方法，在3个通道口中任选2个，有A32=6种情况，考虑2人组的前后顺序，有A22=2种情况，此时有3×6×2=36种进站方式，③、3人选择3个通道口进站，将3人全排列，对应3个通道口即可，有A33=6种进站方式，则这个家庭3个人的不同进站方式有18+36+6=60种；故选：D．8．设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ﹣cosαsinβ=1，则cos（2α﹣β）的取值范围为（）A．[0，1] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由范围α，β∈[0，π]，可求α﹣β∈[﹣π，π]，利用两角差的正弦函数公式可得sin（α﹣β）=1，可求α﹣β=，进而求得2α﹣β的范围，利用余弦函数的图象即可得解．【解答】解：∵α，β∈[0，π]，则α﹣β∈[﹣π，π]，又∵sinαcosβ﹣sinβcosα=sin（α﹣β）=1，∴α﹣β=，∴2α﹣β∈[，]，∴cos（2α﹣β）∈[﹣1，0]．故选：B．9．已知在等腰△AOB中，若|OA|=|OB|=5，且，则的取值范围是（）A．[﹣15，25）B．[﹣15，15] C．[0，25）D．[0，15]【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据=|﹣|，两边平方求出•≥﹣15；再利用平面向量数量积的定义求出•＜25，从而得出的取值范围．【解答】解：在等腰△AOB中，|OA|=|OB|=5，=|﹣|，∴≥，即+2•+≥﹣•+，∴25+2•+25≥﹣•+，解得•≥﹣15；又•=5×5×cosA＜25，∴﹣15≤•＜25；即的取值范围是[﹣15，25）．故选：A．10．已知双曲线C：=1的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=且，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．3【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理和离心率公式，计算即可得出结论．【解答】解：因为∠PAQ=60°且，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则PQ=2R，OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=，由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①，在△OQA中，=，所以R2=a2②①②结合c2=a2+b2，解得c2=b2=（c2﹣a2），即为3c2=7a2，可得e===．故选：B．11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O是△ABC外接圆的圆心，若，且，则m的值是（）A．B．C．D．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】由，得，即cosA=，得A=．由，得，⇒则m=2×=2×=2×．【解答】解：∵，∴⇒⇒，∴cosA=，得A=．∵O是△ABC外接圆的圆心，∴由，得，⇒⇒⇒∴m=2×=2×=2×=．故选：C12．已知，其中ω＞0，若函数在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．【解答】解：，其中ω＞0，则函数=sin2（x）+sinωx﹣=﹣cosωx+sinωx﹣=sin（ωx﹣），可得T=≥π，0＜ω≤2，f（x）在区间（π，2π）内没有零点，结合三角函数可得，或，解得≤ω≤或0＜ω≤，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．阅读程序框图，该算法功能是输出数字A的末两位数字是16 ．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的A，i的值，当i=2018时满足条件i＞，退出循环，输出A的值为62018，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：A=6，i=1执行循环体，A=62，i=2，不满足条件i＞，执行循环体，A=63，i=3不满足条件i＞，执行循环体，A=64，i=4…不满足条件i＞，执行循环体，A=62018，i=2018满足条件i＞，退出循环，输出A的值为62018，可得输出数字A的末两位数字是16．故答案为：16．14．若的展开式中各项的系数之和为729，则该展开式中x2的系数为﹣1280 ．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】令x=1，则3n=729，解得n=6，再利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：令x=1，则3n=729，解得n=6，∴展开式的通项公式：T r+1=（﹣1）r（4x）6﹣r=（﹣1）r46﹣r，6﹣=2，解得r=3．∴该二项式的展开式中x2项的系数为﹣1280．故答案为﹣1280．15．抛物线y2=2px（p＞0）与过焦点且垂直于其对称轴的直线所围成的封闭图形面积是6，则p= 3 ．【考点】67：定积分．【分析】直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点且与该抛物线的轴垂直，则抛物线与直线的交点为（，±p），y2=2px（p＞0）⇒x=，根据定积分的几何意义得2（）dy=p2﹣6，即可求p．【解答】解：直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点且与该抛物线的轴垂直，则抛物线与直线的交点为（，±p），y2=2px（p＞0）⇒x=，根据定积分的几何意义得2（）dy=p2﹣6，∵（）′=，∴2×=p2﹣6，解得p=3，故答案为：3．16．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有3个不相等的实根，则m的取值范围是（﹣∞，1）∪{2} ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，作出f（x）的图象，设t=f（x），将方程转化为一元二次方程，解方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．【解答】解：化简可得f（x）=，当x≥0时，f（x）≥0，f′（x）==，当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，故当x=时，函数f（x）有极大值f（）==；当x＜0时，f′（x）=＜0，f（x）为减函数，作出函数f（x）对应的图象如图：∴函数f（x）在（0，+∞）上有一个最大值为f（）=．设t=f（x），则关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0，即为t2﹣mt+m﹣1=0，解得t=1，或t=m﹣1．当t=1时，方程t=f（x）有3个不等实根，要使关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有3个不相等的实数根，即有t=m﹣1=1，即m=2或无实数根．当m﹣1＜0，即m＜1时，t=m﹣1无实数根．则m的取值范围是（﹣∞，1）∪{2}．故答案为：（﹣∞，1）∪{2}．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1=1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由已知数列递推式可得a n+1=2a n，再由数列{a n}是等比数列求得首项，并求出数列通项公式；（2）把数列{a n}的通项公式代入数列，可得数列是递减数列，可知当n=9时，数列的项为正数，n=10时，数列的项为负数，则答案可求．【解答】解：（1）由a n+1=1+S n得：当n≥2时，a n=1+S n﹣1，两式相减得：a n+1=2a n，∵数列{a n}是等比数列，∴a2=2a1，又∵a2=1+S1=1+a1，解得：a1=1．得：；（2），可知数列是一个递减数列，∴，由此可知当n=9时，数列的前项和T n取最大值．18．某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为p，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为0.04．周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益10万元8万元5万元（1）求p及基地的预期收益；（2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为11万元，有雨时收益为6万元，且额外聘请工人的成本为5000元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由两天都下雨的概率求出p的值，写出基地收益X的可能取值，计算对应的概率；写出该基地收益X的分布列，计算数学期望E（X）；（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，计算数学期望E（Y），比较E（X）、E（Y）即可得出结论．【解答】解：（1）两天都下雨的概率为（1﹣p）2=0.04，解得p=0.8；该基地收益X的可能取值为10，8，5；（单位：万元）则：P（X=10）=0.64，P（X=8）=2×0.8×0.2=0.32，P（X=5）=0.04；所以该基地收益X的分布列为：X1085P0.640.320.04则该基地的预期收益为E（X）=10×0.64+8×0.32+5×0.04=9.16（万元），所以，基地的预期收益为9.16万元；（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益：E（Y）=11×0.8+6×0.2﹣0.5=9.5（万元）；此时E（Y）＞E（X），所以该基地应该外聘工人．19．如图，已知四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=1，AD=2BC=，若△PAD是以AD为底边的等腰直角三角形，且PA⊥CD．（1）证明：PC⊥平面PAD；（2）求直线AB与平面PBC所成的角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明PA⊥PC，通过计算求解证明PC⊥PD，然后证明PC⊥平面PAD．（2）建系求出相关点的坐标，求出平面PBC的法向量，设直线AB与平面PBC所成的角是θ利用空间向量的数量积求解直线AB与平面PBC所成的角即可．【解答】（1）证明：由已知得：PA⊥PD，PA⊥CD，所以PA⊥平面PCD，即PA⊥PC 在直角梯形ABCD中，AB=1，，由△PAD是以AD为底边的等腰直角三角形得：AP=PD=1由PC2+AP2=AC2，得，可算得：PC2+PD2=CD2所以：PC⊥PD，即PC⊥平面PAD．（2）如图建系，可得：A（1，0，0），，D（0，0，1），P（0，0，0），，设平面PBC的法向量为，则有，令x=1得：，设直线AB与平面PBC所成的角是θ，∴所以直线AB与平面PBC所成的角是．20．已知椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），椭圆上有一点A与两焦点的连线构成的△AF1F2中，满足∠AF1F2=．（1）求椭圆C的方程；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线BC，CD，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1•k2=k3•k4，求OB2+OC2的值．【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）在△AF1F2中，由正弦定理得a，结合焦点坐标求出c，求解b，可得椭圆方程．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1）．通过斜率乘积转化求解OB2+OC2的值即可．【解答】解：（1）在△AF1F2中，由正弦定理得：，所以，解得，b=1，所以椭圆C的方程为：．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1）．由，所以，即，于是有，即∴．21．已知f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若不等式e x（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，求a的取值范围．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）利用导函数的符号判断函数的单调性，求解单调区间即可．（2）由不等式e x（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，得到恒成立，设，求出利用函数的单调性求出函数的最值，即可求解a的范围．【解答】解：（1）由得：由于定义域为{x|x≠0}，所以由y'＞0得：0＜x＜1或﹣1＜x＜0所以由y'＜0得：x＜﹣1或x＞1即得函数在区间（0，1），（﹣1，0）上单调递增，在区间（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减．（2）由不等式e x（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，即恒成立设得：，因为它们的定义域（0，+∞），所以易得：函数g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减；这两个函数在x=1处，g（x）有最小值，h（x）有最大值，所以要使不等式恒成立，则只需满足，即a＜﹣1﹣e．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M为C1上的动点，P点满足，设点P的轨迹为曲线C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求线段AB的长度．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）求出C1，C2的普通方程，即可求C1，C2的极坐标方程；（2）利用极径的意义，求线段AB的长度．【解答】解：（1）设点P（x，y），M（2cosα，2+2sinα），则由得：x=4cosα，y=4+4sinα，消参得：x2+（y﹣4）2=16．转化为极坐标方程得：ρ=8sinθ，所以C2的极坐标方程ρ=8sinθ，同理可得C1的极坐标方程ρ=4sinθ．（2）在极坐标系，可得，，所以．选修4-5：不等式选讲23．设f（x）=．（1）当a=2时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若对任意a∈（0，1），x∈{x|x≠0}，不等式f（x）≤b恒成立，求实数b的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为b≥f（x）max=a+2，求出b的范围即可．【解答】解：（1）当a=2时，由f（x）＞1得，|2x+1|﹣|2x﹣1|＞|x|，x＞时，2x+1﹣2x+1＞x，解得：x＜2；0≤x≤时，2x+1+2x﹣1＞x，解得：x＞0，﹣＜x＜0时，2x+1+2x﹣1＞﹣x，解得：x＞0（舍），x≤﹣时，﹣2x﹣1+2x﹣1＞﹣x，解得：x＞2（舍），所以不等式f（x）≥1的解集为（0，2）；（2）不等式f（x）≤b得：b≥f（x）max，，∴b≥f（x）max=a+2，又因为对任意的a∈（0，1）恒成立，所以b≥3．。

第 1 页 共 16 页2021年江西省高考理科数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分60分）1．（5分）已知集合A ，全集U ＝{﹣1，﹣2，1，2，3，4}，若∁U A ＝{1，3，4），则集合A是（ ）A ．{﹣1，﹣2，0，2}B ．{﹣1，﹣2，2}C ．{﹣1，﹣2}D ．{0}2．已知函数f （x ）＝x 3+sin x +2，若f （m ）＝3，则f （﹣m ）＝（ ）A ．2B ．1C ．0D ．﹣1 3．（5分）若a ∈（−π2，0），且sin α+cos α＝0，则sin3α＝（ ）A ．−√22B ．√22C ．−√32D ．12 4．（5分）水池装有编号为①、②、③、④、⑤的5条水管，其中有些是进水管，有些是出水管，如果同时开放两条水管，注满水池的时间如表：开放水管号①② ②③ ③④ ④⑤ ⑤① 注满水池的时间（小时）2 15 63 19 那么单开一条水管，最快注满水池的水管编号为（ ）A ．①B ．②C ．④D ．③或⑤ 5．（5分）过双曲线C ：x 2a −y 2b =1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ，若以双曲线C 的右焦点F 为圆心、半径为2的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ）A ．√3B ．2C ．√5D ．36．（5分）已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 为AB 上的点，且BE →=2EA →，F 为BC 的中点，则AF →•DE →=（ ）A ．﹣2B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣87．（5分）直线y ＝x +m 与圆O ：x 2+y 2＝16相交于M 、N 两点，若∠MON ≥2π3，则m 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，2]B ．[﹣4，4]C ．[﹣2√2，2√2]D ．[0，2√2]8．（5分）已知命题p ：函数y =√x 2−ax +1的定义域为R ，命题q ：存在实数x 满足ax。

江西省上饶市华民中学2020-2021学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若将集合P={1,2,3,4}，Q={0<x<5,x∈R}，则下列论断正确的是（）A. x∈P是x∈Q的必要不充分条件B. x∈P是x∈Q的即不充分也不必要条件。

C. x∈P是x∈Q的充分必要条件D. x∈P是x∈Q的充分不必要条件参考答案：D略2. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为A.102B.410C.614D. 1638参考答案：B3. 设函数，若存在为自然对数的底数，使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C【知识点】单元综合B14由f（f（b））=b，可得f（b）=f-1（b），其中f-1（x）是函数f（x）的反函数因此命题“存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立”，转化为“存在b∈[1，e]，使f（b）=f-1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f-1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[1，e]，∵y=f（x）的图象与y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，∴y=f（x）的图象与函数y=f-1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[1，e]，令：lnx+x-a=x，则方程在[1，e]上一定有解∴a=lnx-x，设g（x）=lnx-x则g′（x）=-=，当g′（x）=0．解得x=2，∴函数g（x）=在[1，2]为增函数，在[2，e]上为减函数，∴g（x）≤g（2）=ln2-1，g（1）=-，g（e）=1-e，故实数a的取值范围是[-，ln2-1]【思路点拨】利用反函数将问题进行转化，再将解方程问题转化为函数的图象交点问题．4. 如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是A. B. 2 C. 0 D. 1参考答案：A略5. 若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（A）3 （B） 4 （C）5 （D） 6 参考答案：C6. 若实数满足不等式组,且的最小值等于,则实数的值等于（）A． B． C．D．参考答案：A试题分析：三直线交点为，因此直线过点B时取最小值，即，选A.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（）A. 110B. 114C. 124D. 125参考答案：B【分析】利用二项式系数对应的杨辉上三角形的第行，令，得到二项展开式的二项式系数的和，再结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，次二项式系数对应的杨辉三角形的第行，令，可得二项展开式的二项式系数的和，其中第1行为，第2行为，第3行为，以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的对边数列，则杨辉三角形中前行的数字之和为，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则，令，解得，所以前15项的和表示前7行的数列之和，减去所有的1，即，即前15项的数字之和为114，故选B.【点睛】本题主要考查了借助杨辉三角形的系数与二项式系数的关系考查等差、等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中认真审题，结合二项式系数，利用等差等比数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8. 已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：B【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】本题的关键是根据A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，写出集合B，并且找到集合B的元素个数【解答】解：∵A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}则B中所含元素的个数为：3故选：B【点评】本题主要考查集合的元素，属于基础题．9. 已知是虚数单位，，且= （）A． B． C． D．参考答案：B10. 已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：A【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义，先将复数进行化简，即可得到结论．【解答】解：∵z====，∴复数z在复平面内对应的点（）位于第一象限．故选：A．【点评】本题主要考查复数的几何意义，根据复数的四则运算是解决本题的关键，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线y=ln（x+2）﹣3x在点（﹣1，3）处的切线方程为．参考答案：2x+y﹣1=0．【分析】求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．【解答】解：y=ln（x+2）﹣3x的导数为y′=﹣3，可得在点（﹣1，3）处的切线斜率为k=1﹣3=﹣2，即有在点（﹣1，3）处的切线方程为y﹣3=﹣2（x+1），即为2x+y﹣1=0．故答案为：2x+y﹣1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．12. 在面积为S 的△ABC 内任取一点P ，则△PAB 的面积大于的概率为 ．参考答案：考点： 几何概型；诱导公式的作用；二倍角的正弦；二倍角的余弦． 专题：概率与统计．分析： 设DE是△ABC 平行于BC 的中位线，可得当P 点位于△ABC 内部的线段DE 上方时，能使△PAB 的面积大于 ，因此所求的概率等于△ADE 的面积与△ABC 的面积比值，根据相似三角形的性质求出这个面积比即可．解答： 解：分别取AB 、AC 中点D 、E ，连接DE ∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE 上一点到BC 的距离等于A 到BC 距离的一半 设A 到BC 的距离为h ，则当动点P 位于线段DE 上时，△PAB 的面积S=BC?h=S △ABC =S因此，当点P 位于△ABC 内部，且位于线段DE 上方时，△PAB 的面积大于 ．∵△ADE∽△ABC，且相似比=∴S △ADE ：S △ABC =由此可得△PAB 的面积大于 的概率为P==．故答案为：．点评： 本题给出三角形ABC 内部一点P ，求三角形PBC 面积大于或等于三角形ABC 面积的一半的概率，着重考查了相似三角形的性质和几何概型的计算等知识，属于基础题．13. 已知数列满足：，且，则的值为（ ▲ ）A ．7B ．8C ．9D ．10参考答案：C14. 函数的最大值是3，则它的最小值________________．参考答案：略15. 设，其中实数满足且，则的取值范围是 ．参考答案：[21，31]16. 将某班的60名学生编号为：采用系统抽样方法抽取一个容量为5的 样本，且随机抽得的一个号码为，则剩下的四个号码依次是参考答案：16,28,40,52略17. 设是公比为的等比数列，且，则 ．参考答案： 3因为的公比为，所以，解得。

2021年江西省高考理科数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分60分）1．（5分）已知集合A ，全集U ＝{﹣1，﹣2，1，2，3，4}，若∁U A ＝{1，3，4），则集合A 是（ ）A ．{﹣1，﹣2，0，2}B ．{﹣1，﹣2，2}C ．{﹣1，﹣2}D ．{0}2．已知函数f （x ）＝x 3+sin x +2，若f （m ）＝3，则f （﹣m ）＝（ ） A ．2B ．1C ．0D ．﹣13．（5分）若a ∈（−π2，0），且sin α+cos α＝0，则sin3α＝（ ） A ．−√22B ．√22C ．−√32D ．124．（5分）水池装有编号为①、②、③、④、⑤的5条水管，其中有些是进水管，有些是出水管，如果同时开放两条水管，注满水池的时间如表：开放水管号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ⑤① 注满水池的时间（小时）2156319那么单开一条水管，最快注满水池的水管编号为（ ） A ．①B ．②C ．④D ．③或⑤5．（5分）过双曲线C ：x 2a −y 2b =1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ，若以双曲线C 的右焦点F 为圆心、半径为2的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√3B ．2C ．√5D ．36．（5分）已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 为AB 上的点，且BE →=2EA →，F 为BC 的中点，则AF →•DE →=（ ） A ．﹣2B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣87．（5分）直线y ＝x +m 与圆O ：x 2+y 2＝16相交于M 、N 两点，若∠MON ≥2π3，则m 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，2]B ．[﹣4，4]C ．[﹣2√2，2√2]D ．[0，2√2]8．（5分）已知命题p ：函数y =√x 2−ax +1的定义域为R ，命题q ：存在实数x 满足ax≤lnx ，若p ∧q 为真，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，1e ]B ．[1e，2]C ．（﹣∞，﹣2]D ．[2，+∞）9．（5分）若函数f （x ）＝cos （2x +θ）+sin 2x 的最大值为G （θ），最小值为g （θ），则以下结论正确的个数为（ ）（1）∃θ0∈R ，使G （θ0）+g （θ0）＝π （2）∃θ0∈R ，使G （θ0）﹣g （θ0）＝π （3）∃θ0∈R ，使|G （θ0）•g （θ0）|＝π （4）∃θ0∈R ，使|G(θ0)g(θ0)|=π A ．3B ．2C ．1D ．010．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积及为粟几何？“，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图主人意欲卖掉该堆粟已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈＝106立方寸），一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子（ ）A ．200两B ．240两C ．360两D ．400两11．（5分）（x 2+1x−2）5的展开式的常数项是（ ） A ．﹣32B ．﹣88C ．88D ．15212．（5分）已知k ∈Z ，则k ＞0是函数f （x ）＝（k +1）•x 2k +1在（﹣∞，+∞）上单调递增的是（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若抛物线的准线方程为y ＝2，则该抛物线的标准方程是 ． 14．（5分）若a ∈R ，i 为虚数单位，|2+ai |＝4，则a ＝ ．15．（5分）某医疗队甲、乙、丙等8名护士站成一排照相，其中甲、乙2人之间要站2人，乙、丙2人之间也要站2人，则共有 种不同的排列方式．（用数字作答） 16．（5分）已知不等式{x −y ≤03x −y −2≥0x +y −6≤0表示的平面区域为D ，若存在（x ，y ）∈D ，使得不等式x ﹣2y ﹣t ≥0成立，则实数t 的最大值为 ． 三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知{a n }为等差数列，各项都为正数的等比数列{b n }的前n 项和为S n ，且b 1＝3，S 3＝39，a 1＝b 2﹣7，a 40＝b 4﹣1． （Ⅰ）求{a n }、{b n }的通项公式； （Ⅱ）求和a 1+2a 2+2a 3+……+2a n +a n +1．18．（12分）已知正四面体ABCD ，M 、N 分别在棱AD 、AB 上，且AM =12MD ，AN =13AB ，P 为棱AC 上任意一点（P 不与A 重合）． （Ⅰ）求证：直线MN ∥平面BDP ；（Ⅱ）求直线DN 与平面DBC 所成角的正弦值．19．（12分）椭圆x 22+y 2=1的左、右焦点为F 1、F 2，经过F 1作倾斜角为60°的直线l与椭圆相交于A ，B 两点．求： （1）线段AB 的长； （2）△ABF 2的面积．20．（12分）西安市某街道办为了绿植街道两边的绿化带，购进了1000株树苗，这批树苗最矮2米，最高2.5米，桉树苗高度绘制成如图所示频率分布直方图． （Ⅰ）试估计这批树苗高度的中位数；（Ⅱ）用频率代替概率，从这批树苗中任取3株树苗，用X 表示取出的3株树苗中高度不低于2.3米的株数，求X 的分布列和期望．21．（12分）已知函数f（x）＝ln2xln2x．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）设h（x）＝f（x）﹣lnx，求证：h（x）在[1，+∞）上有两个零点．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√2+√2cosθy=1+√2sinθ（θ为参数），曲线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），过点A作任意一条直线与圆O：x2+y2＝1交于P，Q两点．（1）写出C1的普通方程；（2）问|PA||PB|+|QB||QA|是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由．五．解答题（共1小题）23．已知f（x）＝|x|+|x﹣3|．（1）求不等式f(x)＞|5x|x的解集；（2）若f（x）的最小值为M，且a+2b+2c＝M（a，b，c∈R），求证：a2+b2+c2≥1．2021年江西省高考理科数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分）1．（5分）已知集合A ，全集U ＝{﹣1，﹣2，1，2，3，4}，若∁U A ＝{1，3，4），则集合A 是（ ）A ．{﹣1，﹣2，0，2}B ．{﹣1，﹣2，2}C ．{﹣1，﹣2}D ．{0}【解答】解；因为全集U ＝{﹣1，﹣2，1，2，3，4}，若∁U A ＝{1，3，4）， 由补集的定义可得，A ＝{﹣1，﹣2，2}． 故选：B ．2．（5分）已知函数f （x ）＝x 3+sin x +2，若f （m ）＝3，则f （﹣m ）＝（ ） A ．2B ．1C ．0D ．﹣1【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝x 3+sin x +2，则f （﹣x ）＝（﹣x ）3+sin （﹣x ）+2＝﹣（x 3+sin x ）+2， 则f （x ）+f （﹣x ）＝4， 若f （m ）＝3，则f （﹣m ）＝1， 故选：B ．3．（5分）若a ∈（−π2，0），且sin α+cos α＝0，则sin3α＝（ ） A ．−√22B ．√22C ．−√32D ．12【解答】解：因为sin α+cos α＝0，所以tanα=sinαcosα=−1， 又因为a ∈（−π2，0）， 所以α=−π4，则sin3α=sin(−3π4)=−sin 3π4=−√22． 故选：A ．4．（5分）水池装有编号为①、②、③、④、⑤的5条水管，其中有些是进水管，有些是出水管，如果同时开放两条水管，注满水池的时间如表：开放水管号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ⑤① 注满水池的时间（小2156319时）那么单开一条水管，最快注满水池的水管编号为（ ） A ．①B ．②C ．④D ．③或⑤【解答】解：∵①②用2小时，②③用15小时，∴①的速度比③快； ∵②③用15小时，③④用6小时，∴④的速度比②快； ∵③④用6小时，④⑤用3小时，∴⑤的速度比③快； ∵④⑤用3小时，⑤①用19小时，∴④的速度比①快； ①②用2小时，⑤①用19小时，∴②的速度比⑤快． 根据以上分析得到进水速度： ④＞①＞③，且④＞②＞⑤＞③．∴单开一条水管，最快注满水池的水管编号为④． 故选：C ．5．（5分）过双曲线C ：x 2a −y 2b =1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ，若以双曲线C 的右焦点F 为圆心、半径为2的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√3B ．2C ．√5D ．3【解答】解：因为双曲线的渐近线方程y ＝±b ax ， 所以A （a ，b ）或A （a ，﹣b ），因此|AF |＝c ＝2， 即√(3−a)2+b 2=2，整理可得：a 2+b 2﹣4a ＝0， 因为a 2+b 2＝c 2＝4，解得a ＝1， 所以双曲线的离心率为：e =ca=2． 故选：B ．6．（5分）已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 为AB 上的点，且BE →=2EA →，F 为BC 的中点，则AF →•DE →=（ ） A ．﹣2B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣8【解答】解：以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，距离如图所示的直角坐标系，则B （0，0），A （0，3），D （4，3），E （0，2），F （2，0），AF →=（2，﹣3），DE →=（﹣4，﹣1），则AF →•DE →=2×（﹣4）+（﹣3）×（﹣1）＝﹣5． 故选：B ．7．（5分）直线y ＝x +m 与圆O ：x 2+y 2＝16相交于M 、N 两点，若∠MON ≥2π3，则m 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，2]B ．[﹣4，4]C ．[﹣2√2，2√2]D ．[0，2√2]【解答】解：如图，过O 作OH ⊥MN ，垂足为H ，则H 为MN 的中点，由∠MON ≥2π3，得∠MOH ≥π3，可得OH ≤2． 即O 到直线x ﹣y +m ＝0的距离d =2≤2， ∴−2√2≤m ≤2√2．∴m 的取值范围是[−2√2，2√2]． 故选：C ．8．（5分）已知命题p ：函数y =√x 2−ax +1的定义域为R ，命题q ：存在实数x 满足ax ≤lnx ，若p ∧q 为真，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，1e]B ．[1e，2]C ．（﹣∞，﹣2]D ．[2，+∞）【解答】解：当P 为真时：x 2﹣ax +1≥0恒成立， 即△＝a 2﹣4≤0， 解得：﹣2≤a ≤2，当Q 为真时：存在实数x 满足ax ≤lnx ，即a ≤（lnx x）max ；令y =lnx x ，y '=1−lnxx 2，当x ∈（0，e ），y '＞0，函数单调递增；当x ∈（e ，+∞），y '＜0，函数单调递减；故当x ＝e 时，函数有最大值lne e=1e；解得a ≤1e ；∵p ∧q 是真命题，故命题是p ，q 都是真命题， 则﹣2≤a ≤2且a ≤1e∴实数a 的取值范围为[﹣2，1e ]．故选：A ．9．（5分）若函数f （x ）＝cos （2x +θ）+sin 2x 的最大值为G （θ），最小值为g （θ），则以下结论正确的个数为（ ）（1）∃θ0∈R ，使G （θ0）+g （θ0）＝π （2）∃θ0∈R ，使G （θ0）﹣g （θ0）＝π （3）∃θ0∈R ，使|G （θ0）•g （θ0）|＝π （4）∃θ0∈R ，使|G(θ0)g(θ0)|=πA ．3B ．2C ．1D ．0【解答】解：f （x ）＝cos （2x +θ）+sin 2x ＝cos2x cos θ﹣sin2x sin θ+12（1﹣cos2x ）＝﹣sin θsin2x +（cos θ−12）cos2x +12=√sin 2θ+(cosθ−12)2sin （2x +φ）+12，∴G （θ）=√sin 2θ+(cosθ−12)2+12=√54−cosθ+12， g （θ）=−√54−cosθ+12，所以G （θ）+g （θ）＝1，G （θ）g （θ）＝cos θ﹣1∈[﹣2，0]，G （θ）﹣g （θ）＝2√54−cosθ∈[1，3]，当g （θ）≠0时，|G(θ0)g(θ0)|=√54−cosθ+12√54−cosθ−12=11√54−cosθ−12∈[2，+∞），所以（1）（2）（3）错误，（4）正确． 故选：C ．10．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积及为粟几何？“，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图主人意欲卖掉该堆粟已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈＝106立方寸），一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子（ ）A ．200两B ．240两C ．360两D ．400两【解答】解：∵有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈， ∴底面半径r =122π=2（丈）， ∴体积V =13×πr 2×ℎ=13×3×22×1=4（立方丈）＝4×106（立方寸）， ∴主人卖后可得银子：4×1062700×2701000=400（两）．故选：D ．11．（5分）（x 2+1x−2）5的展开式的常数项是（ ） A ．﹣32B ．﹣88C ．88D ．152【解答】解：（x 2+1x −2）5表式5个因式（x 2+1x −2）的乘积， 要得到常数项，有2种方法：方法一，5个因式中每一个因式都取﹣2，可得到常数项，它的值为（﹣2）5＝﹣32；方法二：5个因式中，有2个因式取1x，一个因式取x 2，其余的因式都取﹣2，C 52•C 31•（﹣2）2＝120，综上可得，常数项的值为﹣32+120＝88，故选：C．12．（5分）已知k∈Z，则k＞0是函数f（x）＝（k+1）•x2k+1在（﹣∞，+∞）上单调递增的是（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当k＞0时，函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；反之，f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，未必有k＜0，如k＝0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．故“k＞0“⇒“函数f（x）＝（k+1）•x2k+1在（﹣∞，+∞）上单调递增“；“函数f（x）＝（k+1）•x2k+1在（﹣∞，+∞）上单调递增“推不出“k＞0“；∴k＞0是函数f（x）＝（k+1）•x2k+1在（﹣∞，+∞）上单调递增的充分不必要条件．故选：A．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若抛物线的准线方程为y＝2，则该抛物线的标准方程是x2＝﹣8y．【解答】解：由抛物线的准线方程为y＝2，可知抛物线是焦点在y轴负半轴上的抛物线，设其方程为x2＝﹣2py（p＞0），则其准线方程为y=p2=2，得p＝4．∴该抛物线的标准方程是x2＝﹣8y．故答案为：x2＝﹣8y．14．（5分）若a∈R，i为虚数单位，|2+ai|＝4，则a＝±2√3．【解答】解：因为|2+ai|=|2+aii2|=|2−ai|=4，所以√22+(−a)2=4，解得a=±2√3．故答案为：±2√3．15．（5分）某医疗队甲、乙、丙等8名护士站成一排照相，其中甲、乙2人之间要站2人，乙、丙2人之间也要站2人，则共有480种不同的排列方式．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，先排甲乙丙三人，由于甲、乙2人之间要站2人，乙、丙2人之间也要站2人，乙必须在甲乙中间，有2种排法，②，在剩下5人中任选2人，安排在甲乙中间，在剩下的3人中任选2人，安排在乙丙之间，剩下1人有2种安排方法，则剩下5人有A 52A 32C 21＝240种安排方法， 则有2×240＝480种不同的排列方式， 故答案为：480．16．（5分）已知不等式{x −y ≤03x −y −2≥0x +y −6≤0表示的平面区域为D ，若存在（x ，y ）∈D ，使得不等式x ﹣2y ﹣t ≥0成立，则实数t 的最大值为 ﹣1 ． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x −y =03x −y −2=0，解得A （1，1），令z ＝x ﹣2y ，得y =x 2−z 2，由图可知，当直线y =x 2−z2过（2，4）点时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为1﹣2×1＝﹣1． 若存在（x ，y ）∈D ，使得不等式x ﹣2y ﹣t ≥0成立， 则t ≤z max ＝﹣1，即实数t 的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知{a n }为等差数列，各项都为正数的等比数列{b n }的前n 项和为S n ，且b 1＝3，S 3＝39，a 1＝b 2﹣7，a 40＝b 4﹣1． （Ⅰ）求{a n }、{b n }的通项公式； （Ⅱ）求和a 1+2a 2+2a 3+……+2a n +a n +1．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，q ＞0， 由b 1＝3，S 3＝39，a 1＝b 2﹣7，a 40＝b 4﹣1，可得3+3q +3q 2＝39，a 1＝3q ﹣7，a 1+39d ＝3q 3﹣1，解得q ＝3，d ＝2，a 1＝2，则a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ；b n ＝3•3n ﹣1＝3n ，n ∈N *；（Ⅱ）a 1+2a 2+2a 3+……+2a n +a n +1＝2（a 1+a 2+a 3+……+a n +a n +1）﹣a 1﹣a n +1 ＝2•12（n +1）（2+2n +2）﹣2﹣2（n +1）＝2n 2+4n ．18．（12分）已知正四面体ABCD ，M 、N 分别在棱AD 、AB 上，且AM =12MD ，AN =13AB ，P 为棱AC 上任意一点（P 不与A 重合）． （Ⅰ）求证：直线MN ∥平面BDP ；（Ⅱ）求直线DN 与平面DBC 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AM =12MD ，∴AM =13AD ， ∵AN =13AB ，∴MN ∥BD ，又MN ⊄平面BDP ，BD ⊂平面BDP ， ∴MN ∥平面BDP ．（Ⅱ）解：取AC 的中点O ，连接OB ，以O 为原点，OB ，OC 所在直线分别为x ，y 轴，作Oz ⊥平面ABC ，建立如图所示的空间直角坐标系，设正四面体ABCD 的棱长为3，则正四面体的高为√6，∴B （3√32，0，0），C （0，32，0），D （√32，0，√6），N （√32，﹣1，0） ∴DN →=（0，﹣1，−√6），BC →=（−3√32，32，0），BD →=（−√3，0，√6），设平面DBC 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BC →=0n →⋅BD →=0，即{−3√32x +32y =0−√3x +√6z =0，令x =√2，则y =√6，z ＝1，∴n →=（√2，√6，1），设直线DN 与平面DBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜n →，DN →＞|＝|n →⋅DN→|n →|⋅|DN →|||√6−√63×√7|2√4221， 故直线DN 与平面DBC 所成角的正弦值为2√4221． 19．（12分）椭圆x 22+y 2=1的左、右焦点为F 1、F 2，经过F 1作倾斜角为60°的直线l与椭圆相交于A ，B 两点．求： （1）线段AB 的长； （2）△ABF 2的面积．【解答】解：（1）由已知椭圆的方程可知：a 2＝2，b 2＝1，所以c 2＝1，即c ＝1， 所以椭圆的焦点坐标为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）， 又直线l 的倾斜角为60°，所以kl=tan60°=√3，则直线l 的方程为y =√3(x +1)，代入椭圆方程可得： 7x 2+12x +4＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 所以x1+x 2=−127，x 1x 2=47，所以|AB |=√1+(√3)2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 ＝2√14449−167=8√27， 故线段AB 的长为8√27；（2）点F 2到直线l 的距离为d =|2√3|√√3)2=√3，所以三角形ABF 2的面积S△ABF 2=12×d ×|AB|=12×√3×8√27=4√67．20．（12分）西安市某街道办为了绿植街道两边的绿化带，购进了1000株树苗，这批树苗最矮2米，最高2.5米，桉树苗高度绘制成如图所示频率分布直方图． （Ⅰ）试估计这批树苗高度的中位数；（Ⅱ）用频率代替概率，从这批树苗中任取3株树苗，用X 表示取出的3株树苗中高度不低于2.3米的株数，求X 的分布列和期望．【解答】解：（I ）区间[2.0，2.10）的频率＝0.1×1.0＝0.10，区间[2.10，2.20）的频率＝0.1×3.5＝0.35，区间[2.20，2.30）的频率＝0.1×2.5＝0.25，区间[2.30，2.40）的频率＝0.1×2.0＝0.20，区间[2.40，2.5]）的频率＝0.1×1.0＝0.10． 由0.10+0.35＝0.45＜0.5，0.10+0.35+0.25＝0.7＞0.5，可设这批树苗高度的中位数为x ，则0.45+（x ﹣2.20）×2.5＝0.5，解得x ＝2.22． ∴这批树苗高度的中位数为2.22．（II ）区间[2.30，2.40）的频率＝0.20，区间[2.40，2.5]）的频率＝0.10． ∴0.20+0.10＝0.30．取出的3株树苗中高度不低于2.3米的株数X ～B （3，0.3），∴P （X ＝k ）=C 3k ×0.3k ×0.73﹣k ，k ＝0，1，2，3．可得X 分布列为： X 0 1 2 3 P0.3430.4410.1890.027E （X ）＝3×0.3＝0.9．21．（12分）已知函数f （x ）＝ln 2xln 2x ． （Ⅰ）求f （x ）的极值；（Ⅱ）设h （x ）＝f （x ）﹣lnx ，求证：h （x ）在[1，+∞）上有两个零点． 【解答】解：（Ⅰ）f （x ）＝ln 2xln 2x ＝ln 2x （ln 2+lnx ）＝ln 2ln 2x +ln 3x ， f ′（x ）＝2ln 2lnx •1x+3ln 2x •1x=1x•lnx （ln 4+3lnx ），令f ′（x ）＝0，得x 1＝1，x 2=√143，所以在（0，√143），（1，+∞）上，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 在（√143，1）上，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以f （x ）极大值＝f （√143）＝f （4−13）＝ln 2（4−13）ln 2•4−13=427ln 32． f （x ）极小值＝f （1）＝0．（Ⅱ）h （x ）＝f （x ）﹣lnx ＝ln 2ln 2x +ln 3x ﹣lnx ，x ∈[1，+∞）， 令t ＝lnx ，t ≥0所以y ＝（ln 2）t 2+t 3﹣t ＝t [（ln 2）t +t 2﹣1]＝t （ln 2t 2﹣1）， 当t ＝0时，h （t ）＝0，所以lnx ＝0，即x ＝1是函数h （x ）的一个零点， 当ln 2t 2﹣1＝0时，又t ≥0，所以t =√1ln2， 所以lnx =√1ln2，即x ＝e√1ln2是函数h （x ）的一个零点，所以h （x ）在[1，+∞）上有两个零点．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分） 22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√2+√2cosθy =1+√2sinθ（θ为参数），曲线C 1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），过点A 作任意一条直线与圆O ：x 2+y 2＝1交于P ，Q 两点． （1）写出C 1的普通方程； （2）问|PA||PB|+|QB||QA|是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）曲线C 1的参数方程为{x =√2+√2cosθy =1+√2sinθ（θ为参数），转换为直角坐标方程为(x −√2)2+(y −1)2=2．（2）令y ＝0，解得A （√2−1，0），B （√2+1，0）． 由于P 和Q 在圆O ：x 2+y 2＝1上， 所以|P A |=√(cosα−(√2−1))2+sin 2α=√4−2√2−2(√2−1)cosα=√2√(√2−1)(√2−cosα)，同理可得：|PB|=√2√(√2+1)(√2−cosα)，所以|PA||PB|=√√2−1√2+1=√2−1，同理|QB||QA|=√2−1=√2+1，所以|PA||PB|+|QB||QA|=2√2（定值）．五．解答题（共1小题） 23．已知f （x ）＝|x |+|x ﹣3|． （1）求不等式f(x)＞|5x|x的解集； （2）若f （x ）的最小值为M ，且a +2b +2c ＝M （a ，b ，c ∈R ），求证：a 2+b 2+c 2≥1． 【解答】解：（1）∵f （x ）＝|x |+|x ﹣3|， ∴当x ＜0时，f(x)＞|5x|x等价于|x |+|x ﹣3|＞﹣5，该不等式恒成立； 当0＜x ≤3时，f(x)＞|5x|x等价于3＞5，该不等式不成立； 当x ＞3时，f(x)＞|5x|x 等价于{x ＞32x −3＞5，解得x ＞4， ∴不等式f(x)＞|5x|x的解集为（﹣∞，0）∪（4，+∞）． （2）证明：∵f （x ）＝|x |+|x ﹣3|≥|x ﹣（x ﹣3）|＝3， 当且仅当0≤x ≤3时取等号，∴M ＝3，a +2b +2c ＝3，由柯西不等式，可得9＝（a +2b +2c ）2≤（12+22+22）（a 2+b 2+c 2）＝9（a 2+b 2+c 2）， 当且仅当a =13，b =23，c =23时等号成立，∴a 2+b 2+c 2≥1．。

江西省鹰潭市高三第二次模拟考试数学（理）试题试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合(){}{}3ln 12,=x M x y x N y y e x R -==-=,∈集合R M N ⋂=则C ( ) A ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ B ．{}|0y y > C ．1|02x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ D ．{}|0x x < 2. 如图，按英文字母表A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、…的顺序 有规律排列而成的鱼状图案中，字母“O ”出现的个数为( ) A ．27 B ．29 C ．31D ．333．从随机编号为0001，0002，⋅⋅⋅⋅⋅⋅5000的5000名参加这次鹰潭市模拟考试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068，则样本中最大的编号应该是（ ）A ．4966B ．4967C ．4968D ．49694．写出不大于1000的所有能被7整除的正整数．．．，下面是四位同学设计的程序框图， 其中正确的是（ ）A B B B CC CC CD D D D D D DA ．B ．C ．D ．5．函数x x f x-=)31()(的零点所在区间为 （ ）A ．)31,0(B ．)21,31(C ．)1,21(D ．（1，2）6．实数a 使得复数1a ii+-是纯虚数，112,1b xdx c x dx ==-⎰⎰则c b a ,,的大小关系是 （ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．b c a << D ．a b c <<7．下列四种说法中，错误的个数有（ ）①命题“x ∀∈R ，均有232x x --≥0”的否定是：“x ∃∈R ，使得x 2—3x-2≤0”②方程21|1|(21)0x y z -+++-=的解集为11,1,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭③“命题p ∨ q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件；④集合{0,1}A =,{0,1,2,3,4}B =,满足A C B ⊆Ø的集合C 的个数有7个 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个8．已知342sin ,cos (),552m m x x x m m ππ--==<<++则tan 2x=（ ）A ．39m m --B ． 3||9m m -- C ．1-55或 D ． 59．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次，落在水平 桌面后，记正面朝上的点数分别为x ,y ,设事件A 为“y x +为偶数”， 事件B 为“x ,y 中有偶数且y x≠”，则概率)|(A B P 等于（ ）A ．31B ．21 C ．61D ．41 10．已知0a >，若不等式316log log 5a a x x n n++-+≤+对任意*n N ∈恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．[1,)+∞B ．(0,1]C ．[3,)+∞D ．[1,3] 11．已知2()()x x x m ϕ=-在1x =处取得极小值，且函数()f x ，()g x 满足(5)2,'(5)3,(5)4,'(5)f f m g g m ====，则函数()2()()f x F xg x +=的图象在5x = 处的切线方程为（ ）A ．32130x y --=B ．32130x y --=或230x y --=C ．230x y --=D ．230x y --=或23130x y +-=12．已知函数(1)20152017()2015sin 20151x x f x x ++=++在[,]x t t ∈-上的最大值为M ,最小值为N ,则M N +的值为（ ）A ．0B ． 4032C ．4030D ．4034第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．若α是第二象限角，其终边上一点(,5)P x ，且2cos xα=，则sin α= ． 14．设x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤+≤≤)0(14300a aya x y x ，若11y z x -=-的最小值为2531()x x -的展开式的常数项的140，则实数a 的值为 ． 15．已知一个正三棱柱,一个体积为43π的球体与棱柱的所有面均相切,那么这个正三棱柱的表面 积是 ．16．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u r u u u r ，316λμ=，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项11a =，点1(,)n n n a A n a +在直线1y kx =+上，当2n ≥时，均有111n n n n a aa a +--= （1）求{}n a 的通项公式 （2）设23,(1)!n nn a b n =⋅-求数列{}n b 的前n 项和n S18．（本小题满分12分）我市“水稻良种研究所”对某水稻良种的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究。

2021年高三全真模拟数学试题2 Word版含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1．复数(为虚数单位)的模为▲ ．【答案】2．已知向量，，则▲ ．【答案】43．在标号为0，1，2的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率是▲ ．【答案】4．下表是某同学五次数学附加题测试的得分，则该组数据的方差▲ ．【答案】5．命题：“若，则”的否命题是“▲”．【答案】若，则6．将函数的图象向右至少平移▲个单位可得到函数的图象．【答案】7．若函数（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数的值为▲．【答案】18．设是等差数列{a n}的前项的和．若，，则a7的值为▲．【答案】139．给出下列等式：，，，……请从中归纳出第个等式：▲．【答案】10．在锐角△中，若，，依次成等差数列，则的值为▲．【答案】1【解析】依题意，因为，所以，所以；11．在平面直角坐标系xOy中，若直线：与圆：相切，且圆心在直线的上方，则的最大值为▲．【答案】【解析】易得，又圆心在直线的上方，所以，从而，因为，所以（当且仅当，即，时等号成立，），从而的最大值为．12．已知，，则的值为▲．【答案】【解析】[][]sin()()sin()cos()cos()sin() sin2cos2cos()cos()sin()sin() cos()()αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ++-+-++-==+-++-+--．13．已知实数x，y满足设，则z的取值范围是▲．（表示a，b两数中的较大数）【答案】【解析】设，，则，易得，，则z．14．若幂函数(a)及其导函数在区间(0，)上的单调性一致(同为增函数或同为减函数)，则实数a的取值范围是▲．【答案】【解析】易得，，当时，，；当时，，；当时，，；当时，， ；当时，，，综上得，．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）在平面直角坐标系中，设向量m ，n ，其中A ，B 为 △ABC 的两个内角． （1）若，求证：为直角；（2）若，求证：为锐角．【解】（1）易得)cos cos sin sin )A B A B A B ⋅=-=+m n ，（3分） 因为，所以0，即．因为，且函数在内是单调减函数，所以，即为直角；（6分） （2）因为，所以， 即．（8分）因为A ，B 是三角形内角，所以，于是,因而A ，B 中恰有一个是钝角．（10分）从而22tan tan 3tan tan 2tan tan()01tan tan 13tan 13tan A B B B B A B A B B B+-+-+===<-++， 所以，即证为锐角．（14分）16．（本题满分14分）如图，在四棱锥中，为二面角的平面角． （1）求证：平面平面； （2）若平面，求证：平面． 证明：（1）因为为二面角的平面角，所以，，（2分） 又，ABCPD（第16题）（第17题）平面，所以平面，（5分） 又平面,故平面平面；（7分） （2）由（1）得，平面， 又平面，所以，（10分） 又平面， 平面，所以平面．（14分）17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ： 与x 轴的两个交点（点B 在点A 右侧），点， x 轴 上方的动点P 使直线PA ，PQ ，PB 的斜率存在且依次成等差 数列．（1）求证：动点P 的横坐标为定值；（2）设直线PA ，PB 与圆O 的另一个交点分别为S ，T ．求证：点Q ，S ，T 三点共线． 【证】（1）由题设知，． 设，则，．因为k PA ，k PQ ，k PB 成等差数列，所以2 k PQ = k PA ＋ k PB ，即， 由于，所以，即证；（7分） （2）由（1）知，，．直线PA 的方程为，代入得， 于是点S 的横坐标，从而．同理可得．（11分） 因为，图1000222200001212422(49)2(94)91234S TT S y y y y y x x y y y y ====++-+=++， 所以直线QS 和直线QT 的斜率相等， 故点S ，T ，Q 共线．（14分）18．（本题满分16分）如图，圆的半径为，为圆上的两个定点，且，为优弧的中点． 设（在左侧）为优弧（不含端点）上的两个不同的动点，且//． 记，四边形的面积为． （1）求关于的函数关系； （2）求的最大值及此时的大小．解：（1）设过圆心O 作的垂线分别与，交于点E ，F ， 易得，，①当时，如图1， 易得，，所以；(3分)②当时，11()(21122S AB CD EF =+⋅=⨯+⨯=(5分)③当时，如图2， 易得，，所以 ； 综上得，，；(9分) （2）令，因为，所以，从而， 故，(12分) 此时，，所以当时，，此时．(16分)（第18题）图219．（本题满分16分）设数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n 项和为，求；（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论．解：（1）当n 1时，，解得．（2分）当n ≥2时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即． 因为，所以，从而数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以．（5分） （2）因为，所以，故数列是以4为首项，4为公比的等比数列， 从而，(7分)， 所以．(10分)（3）假设中存在三项成等差数列，不妨设第m ，n ，k （mnk ）项成等差数列，则，即．(12分)因为mnk ，且m ，n ，k ，所以n +1≤k ．因为，所以，故矛盾，所以数列中不存在三项成等差数列． (16分)20．（本题满分16分）设定义R 上在函数()32420()(4)(4) 04 log 1 4x x f x ax b a x b m x n x a x x -⎧<⎪=+--++⎨⎪->⎩≤≤ ，，，，，（a ，b ，m ，n 为常数，且）的图象不间断．（1）求m ，n 的值；（2）设a ，b 互为相反数，且是R 上的单调函数，求a 的取值范围；（3）若a 1，．试讨论函数的零点的个数，并说明理由． 解：（1）依题意，，， 即解得 (3分)（2）因为是减函数，且是R 上的单调函数， 所以在中，应该有，故(5分) 在中，其中， ，导函数的对称轴为， 故，解得；(8分)（3）易得函数， 则，其判别式， 记的两根为，（）， 列表：当b >0时，无解，无解， 又()11(2)84(4)241153042f b b b b b +=+--+++=--<，方程在（0，4）上有两解，方程一共有两个解；(10分) 当时，有一解，有一解，又，，()()11113(4)10 8424412f b b b b b +=+--+++=->，故方程在（0，4）上有两解，方程共有4个解；(12分) 当-1<b <0时，无解，有一解， 又，，方程在（0，4）内只有一解，方程共两解；(14分)当b=0时，有x4和x两解，b-1时，有，，三个解，综上得，当时，有2个零点；当时，有3个零点；当时，有4个零点．(16分)试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．（几何证明选讲）如图，已知△的两条内角平分线，交于点，且．求证：，，，四点共圆．证明：依题意得，，（5分）（第21—A）又，所以，故，，，四点共圆．（10分）B．（矩阵与变换）已知矩阵，满足，求矩阵．解：设，由得（7分）解得此时.（10分）C．（极坐标与参数方程）设点A为曲线C：在极轴上方的一点，且，以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB(B在A的右下方)，求点B的轨迹方程．解：设，且满足，，依题意，即代入并整理得，，，所以点B的轨迹方程为，．（10分）D．（不等式选讲）已知正数，，，满足，求证：．证明：因为，又，，所以．（10分）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p(0< p <1)．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是．（1）求p的值；（2）设该运动员投篮命中次数为，求的概率分布及数学期望E()．解：（1）设事件：“恰用完3次投篮机会”，则其对立事件：“前两次投篮均不中”，依题意，，解得；（3分）（2）依题意，的所有可能值为0，1，2，3，且，，，故54(2)1(0)(1)(3)125P P P P ξξξξ==-=-=-==，的概率分布表为：（8分）E ()（次）．（10分）23．设函数，，且，其中常数为区间（0，1）内的有理数．（1）求的表达式（用和表示）；（2）求证：对任意的正整数，为有理数． 解：（1）易得， 又， 所以， 解得，从而；（4分） （2）证明： ()()()02424024CC C 222nn n nnna a a --=+++⋅⋅⋅()()()()22242024242C C C 2242nn n nnna aaa a----=+++⋅⋅⋅（10分）39324 999C 馜30478 770E 眎24674 6062 恢U"t Y35752 8BA8 讨 21102 526E 剮 33966 84AE 蒮632542 7F1E缞。

2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。

2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。

4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。

2020-2021学年江西省宜春市小港中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数f（x）=x2+xsinx，对任意x1，x2∈（﹣π，π），若f（x1）＞f（x2），则下列式子成立的是( )A．x1＞x2 B．C．x1＞|x2| D．|x1|＜|x2|参考答案：B考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：由于f（﹣x）=f（x），故函数f（x）=x2+xsinx为偶函数，则f（x1）＞f（x2）?f（|x1|）＞f（|x2|），f′（x）=2x+sinx+xcosx，当x＞0时，f′（x）＞0，从而可得答案．解答：解：∵f（﹣x）=（﹣x）2﹣xsin（﹣x）=x2+xsinx=f（x），∴函数f（x）=x2+xsinx为偶函数，∴f（﹣x）=f（|x|）；又f′（x）=2x+sinx+xcosx，∴当x＞0时，f′（x）＞0，∴f（x）=xsinx在上单调递增，∵f（x1）＞f（x2），∴结合偶函数的性质得f（|x1|）＞f（|x2|），∴|x1|＞|x2|，∴x12＞x22．故选B．点评：本题考查函数f（x）的奇偶性与单调性，得到f（x）为偶函数，在上单调递增是关键，考查分析转化能力，属于中档题．2. 若定义在R上的函数满足，且当时，，函数，则函数在区间内的零点个数为（）A 9. B.7 C.5 D.4参考答案：C3. 已知a，b∈R且a≠b，若ae a=be b（e为自然对数的底数），则下列正确的是（）A．lna﹣lnb=b﹣a B．lna﹣lnb=a﹣bC．ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=b﹣a D．ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=a﹣b参考答案：C【考点】对数的运算性质．【分析】构造函数f（x）=xe x，利用导数研究函数的单调性，即可得到结论．【解答】设f（x）=xe x，则f'（x）=（x+1）e x，由f′（x）＞0得x＞﹣1．由f′（x）＜0得x＜﹣1，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）为减函数，（﹣1，+∞）增函数，即当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=﹣＜0，∵f（0）=0，且当x＜0时，f（x）＜0．∴由f（a）=f（b）知a＜0，b＜0．由（﹣a）e a=（﹣b）e b得ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=b﹣a．故选：C．4. 设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A，∠B，∠C 所对边的边长，则直线sinA?x ﹣ay ﹣c=0与bx+sinB?y+sinC=0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直参考答案：C考点：正弦定理；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：求出两条直线的斜率，然后判断两条直线的位置关系． 解答： 解：a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A，∠B，∠C 所对边的边长，则直线sinA?x ﹣ay ﹣c=0的斜率为：，bx+sinB?y+sinC=0的斜率为：，∵==﹣1，∴两条直线垂直． 故选：C ．点评：本题考查直线的斜率，正弦定理的应用，基本知识的考查．5. 按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数的值是 ．A ． 4B ．5C ．6D ．7参考答案： B6. 如图，PA 垂直于圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E, F 分别是点A 在P B, P C 上的射影，给出下列结论：,正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4参考答案：C 略7. 设为两个不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：① 若② 若③若 ④其中真命题的序号是 （ ）A ．①③④B ．①②③C ．①③D ．②④参考答案：答案：C8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）（A）（B）（C）8 （D）参考答案：A9. 在右程序框图中，当时，函数表示函数的导函数.若输入函数，则输出的函数可化为A． B．C． D．参考答案：D10. 设等差数列的前项和为，，则等于（）A． B． C． D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若不等式的解集为R，则实数a的取值范围是_______参考答案：【知识点】选修4-5 不等式选讲N4【答案解析】[-2，5] ∵|x+3|+|x-7|≥|（x+3）+（7-x）|=10，∴|x+3|+|x-7|≥a2-3a的解集为R?a2-3a≤10，解得-2≤a≤5．∴实数a的取值范围是[-2，5]．故答案为：[-2，5]．【思路点拨】利用绝对值三角不等式可求得|x+3|+|x-7|≥10，依题意，解不等式a2-3a≤10即可．【题文】（本小题满分13分）已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的最大值和最小值.【答案】【解析】【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】（1）π（2）最大值是0最小值是-1．（1）由题意得，f（x）=sin（+x）cos（-x）+cosxcos（π-x）=sinxcosx-cosxcosx=-cos2x，函数f （x ）的最小正周期T==π；（2）由x∈[-，]得，2x∈[-，]，所以0≤cos2x≤1，即-1≤-cos2x≤0，则函数的最大值是0，最小值是-1．【思路点拨】（1）根据诱导公式、两角和的余弦公式化简函数解析式，再由周期公式求出函数f （x ）的最小正周期；（2）由x∈[-， ]得2x∈[- ， ]，根据余弦函数的性质求出cos2x 的范围，再求出函数的值域，即可求函数的最值． 12. 已知，，则tanθ=．参考答案：【考点】GH ：同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinθ和cosθ 的值，可得tanθ的值． 【解答】解：∵已知，， ∴1+2sinθcosθ=，∴sinθcosθ=﹣，∴sinθ=，cosθ=﹣，则tanθ==﹣，故答案为：﹣．13. 设x ，y 满足约束条件, 则的最大值为______.参考答案：8【详解】作可行域，则直线过点B(5,2)时取最大值8.14. 右图是求的值的程序框图，则正整数 __参考答案： 10015. 设满足约束条件，若目标函数 的最大值为8，则的最小值为________.参考答案：略16. 如图：若，，与交于点D ，且，，则。