2016-2017年上海市交大附中高一(下)期末数学试卷[精品解析版]

2016-2017学年上海交大附中高一（下）3月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题（本大题共12小题，共60.0分）1.你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了2分钟，则秒针转过的角的弧度数是______ ．【答案】【解析】解：由于经过2分钟，秒针转过2个周角，由一周角为，又由顺时针旋转得到的角是负角，故秒针转过的角的弧度数是，故答案为：．根据2分钟，秒针针转过2周，一个周角为，即可得到答案．本题考查的知识点是弧度制，其中一周角，是解答本题的关键．2.已知角的终边上一点P落在直线上，则______ ．【答案】【解析】解：角的终边上一点P落在直线上，，，故答案为：．由条件利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．3.把化成，，的形式为______ ．【答案】【解析】解：由，，，，，则，故答案为：根据辅助角公式化解可得答案．本题主要考察了辅助角公式的应用，属于基本知识的考查．4.函数的定义域为______ ．【解析】解：由题意得：且，解得：，故函数的定义域是，，，故答案为：，，．根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．5.函数的最大值为______ ．【答案】2【解析】解：，的最大值为2．故答案为2．，即可得出结论．本题考查函数的最值，考查二次函数的性质，正确转化是关键．6.已知，求______ ．【答案】【解析】解：，，故答案为先两边平方，利用同角三角函数关系求得，再将化简，代入即可．本题的考点同角三角函数的基本关系考查了同角三角函数的基本关系，关键是利用好平方关系及切化弦关系．7.已知：，则______ ．【答案】【解析】解：因为，．．故答案为：．先由得到，再用诱导公式对所求问题化简整理即可得出答案．本题考查了诱导公式的应用三角函数式的化简求值是三角函数中的基本问题，也是常考的问题之一．8.若函数的值域为R，则实数a的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：函数的值域为R，，为函数的值域的子集，，解得．故答案为，．令，为函数的值域的子集，根据二次函数的性质列出不等式组即可得出a的范围．本题考查了对数的函数的性质，二次函数的性质，属于中档题．9.若关于x的方程有负根，则实数a的取值范围是______ ．【答案】【解析】解：当时，，若关于x的方程有负根，在，即，即，或，则解得，故答案为：根据指数函数的性质，解不等式即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用指数函数的图象和性质是解决本题的关键．10.小媛在解试题：“已知锐角与的值，求的正弦值”时，误将两角和的正弦公式记成了，解得的结果为，发现与标准答案一致，那么原题中的锐角的值为______ 写出所有的可能值【答案】，，【解析】解：由题意可得：，观察可得：锐角的值可能为，，．故答案为：，，．由已知利用两角和与差的正弦函数余弦函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了两角和与差的正弦函数余弦函数公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．11.已知，则函数的最小值为______ ．【答案】0【解析】解：由，可得，，可得，，那么当时，y取得最小值为0．故答案为0．由，可得，可得，，转化为二次函数求解最小值即可．本题主要考查了同角三角函数关系式和三角函数的有界性的应用，属于基本知识的考查．12.已知，，，则______ ．【答案】【解析】解：，，，．故答案为：．，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．二、选择题（本大题共4小题，共16.0分）13.一个扇形OAB的面积为1平方厘米，它的周长为4厘米，则它的中心角是A. 2弧度B. 3弧度C. 4弧度D. 5弧度【答案】A【解析】解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以，面积，所以解得：，，所以扇形的圆心角的弧度数是．根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式求出扇形圆心角的弧度数．本题考查弧度制下，扇形的面积及弧长公式的运用，注意与角度制下的公式的区别与联系，属于基础题．14.角的终边在第二象限，那么的终边不可能在的象限是第象限．A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】C【解析】解：角的终边在第二象限，，，，，当时，此时的终边落在第一象限，当时，此时的终边落在第二象限，当时，此时的终边落在第四象限，综上所述，的终边不可能落在第三象限故选：C．首先利用终边相同角的表示方法，写出的表达式，再写出的表达式，由此判断终边位置．本题考查了终边相同角的表示方法，象限角的概念属于基础知识和基础题目．15.已知，均为锐角，且，则，的大小关系是A. B. C. D. 不确定【答案】A【解析】解：，，，，，，均为锐角，．故选：A．利用两角和与差的正弦函数公式解得，从而得到，由此能比较，的大小关系．本题考查两个锐角的大小的比较，考查两角和与差的正弦函数的应用，属于基础题．16.下列关于幂函数的论述中，正确的是A. 当时，幂函数的图象是一条直线B. 幂函数的图象都经过，和，两个点【答案】D【解析】解：对于，时，无意义；对于，不过，；对于，是奇函数，在定义域内无单调性；对于D，因为时，，故幂函数图象不可能出现在第四象限，故对；故选：D．通过求函数的定义域，判断出错；通过举反例说明错；通过求点的坐标的范围判断出对．本题考查幂函数的性质：定义域、过定点、单调性、奇偶性．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）17.有一种细菌A，每小时分裂一次，分裂时每个细菌都分裂为2个，现有某种饮料200毫升，其中细菌A的浓度为20个毫升：试讲饮料中的细菌A的个数y表示成经过的小时数x的函数；若饮料中细菌A的总数超过9万个，将对人体有害，那么几个小时后该饮料将对人体有害？精确到小时．【答案】解：某种饮料200毫升，其中细菌A的浓度为20个毫升：故200毫升饮料有细菌A4000个，故细菌A的个数，；由得：，解得：，即小时后该饮料将对人体有害．【解析】求出最初的细菌个数，列出函数解析式即可；根据题意得到关于x的不等式，解出即可．本题考查了求函数解析式问题，考查不等式的应用，是一道中档题．18.已知中，，是方程的两个实数根：若，求的值；求的最小值，并指出此时对应的，的值．【答案】解：时，，，；：由题意，，解得或；又，，，，的最小值是，此时对应的．【解析】由根与系数的关系写出，；利用三角形内角和定理与两角和的正切公式计算即可；由以及根与系数的关系，求出；再利用三角形内角和定理与两角和的正切公式，求出的最小值以及此时对应的、的值．本题考查了根与系数的关系以及三角形内角和定理与两角和的正切公式应用问题，是基础题．19.已知函数，其中，是适合的常数若，，求函数的最小值；是否可能为常值函数？若可能，求出为常值函数时，，的值，如果不可能，请说明理由．【答案】解：函数，其中，是适合的常数，，则函数的最小值为1．假设存在常数值，，则，即，，则．，．【解析】将，带入化简，利用三角函数的性质求解即可．假设存在常数值，采用“赋值法”，特殊值，令，带入计算求解在内的常数即可．本题考查了三角函数的性质和赋值法证明存在性问题属于中档题．20.某校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”其中，是过抛物线的两条相互垂直的弦点，在第二象限，且，交于点，，点E为y轴上的一点，记，其中为锐角：设线段AF的长为m，将m表示为关于的函数；求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时的大小．【答案】解：点，，，即．，；同理：，，．“蝴蝶形图案”的面积，令，，，，，，，此时．【解析】由点，，代入抛物线的标准方程，即可将m表示为关于的函数；由题意结合图形，把A、B、C、D四点的坐标分别用、、、和表示，代入抛物线方程后最终求得、、、，对三角形面积化简整理，换元后利用配方法求面积的最小值．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点直线与抛物线的关系、三角函数化简、换元法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.若函数定义域为R，满足对任意，，有，则称为“V形函数”；若函数定义域为，恒大于0，且对任意，，有，则称为“对数V形函数”：当时，判断函数是否为V形函数，并说明理由；当时，证明：是对数V形函数；若是V形函数，且满足对任意，有，问是否为对数V形函数？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由．【答案】解：，，符号不定，当时，是V形函数；当时，不是V形函数；证明：假设对任意，，有，则，，，显然成立，解：是对数V形函数证明：是V形函数，对任意，，有，对任意，有，，，，，是对数V形函数．【解析】由，可得符号不定，从而可得结论；利用反证法证明假设对任意，，有，则可得，即证，显然成立；是对数V形函数，根据是V形函数，利用对任意，有，证明，从而可得是对数V形函数．本题考查了函数的性质、不等式的性质与解法、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2016-2017学年上海市交大附中高一第二学期期中数学试卷一、填空题1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有一点P （5，﹣12），则sec α＝ ．2．arccos （−√32）＝ ．3．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm 2，则该扇形的弧长为 cm ． 4．设sin α=35，α∈（π2，π），则tan α的值为 ．5．函数y =2sin 2(x +π6)的最小正周期为 ．6．若cos x cos y +sin x sin y =13，则cos （2x ﹣2y ）＝ ． 7．函数y ＝sin x +arcsin x 的值域是 ．8．关于x 的方程cos 2x +sin x +a ＝0在x ∈(0，π2]上有解，则a 的取值范围是 ． 9．设函数f(x)=(sinx+1)2sin 2x+1的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝ ． 10．已知sin α＝3sin （α+π6），则tan （α+π12）＝ ．11．已知△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满足cosA sinA 1=cosB sinB 1=cosC sinC 1=1，则称△A 1B 1C 1是△ABC 的一个“对偶”三角形，若等腰△ABC 存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为 ．12．已知函数y ＝k cos （kx ）在区间(π4，π3)单调递减，则实数k 的取值范围为 ． 二、选择题13．方程tan x ＝2的解集为（ ） A ．{x |x ＝2k π+arctan2，k ∈Z } B ．{x |x ＝2k π±arctan2，k ∈Z }C ．{x |x ＝k π+arctan2，k ∈Z }D ．{x |x ＝k π+（﹣1）k arctan2，k ∈Z }14．已知函数y ＝A sin （ωx +φ）+m （A ＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x =π3是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（ ）A ．y =4sin(4x +π6)B ．y =2sin(2x +π3)+2C ．y =2sin(4x +π3)+2D ．y =2sin(4x +π6)+215．函数y ＝2sin （π6−2x ），（x ∈[0，π]）为增函数的区间是（ ） A ．[0，π3]B ．[π12，7π12] C ．[π3，5π6] D ．[5π6，π]16．已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：①sin α，sin β，sin γ；②sin 2α，sin 2β，sin 2γ；③cos 2α2，cos 2β2，cos 2γ2；④tan α2，tan β2，tan γ2分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组三、解答题17．设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且α，β满足{5√3sinα+5cosα=8√2sinβ+√6cosβ=2（1）求cos(α+π6)的值． （2）求cos （α+β）的值．18．如图，等腰三角形ABC 中，∠B ＝∠C ，D 在BC 上，∠BAD 大小为α，∠CAD 大小为β．（1）若α=π4，β=π3，求BD DC ；（2）若BD DC=12，β=α+π3，求∠B ．19．某景区欲建两条圆形观景步道M 1，M 2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AD ＝60（单位：米），要求圆M 与AB ，AD 分别相切于点B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ．（1）若∠BAD =π3，求圆M 1，M 2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M 1，M 2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD 多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知(√3sinB−cosB)(√3sinC−cosC)=4cos B cos C．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，求△ABC面积的取值范围；（3）若sin B＝p sin C，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐角三角形．21．已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）＝﹣Mf（x）成立．（1）设函数g（x）＝sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M＝1时，试说明函数f（x）的一个性质，并加以证明；（3）若函数h（x）＝sinωx∈P，求实数ω的取值范围．2016-2017学年上海市交大附中高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有一点P （5，﹣12），则sec α＝135．【分析】利用条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cos α的值，然后求解sec α． 解：由题意可得 x ＝5，y ＝﹣12，r ＝|OP |＝13，∴cos α=x r =513， ∴sec α=135． 故答案为：135．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2．arccos （−√32）＝ 5π6．【分析】利用arccos(−√32)=π−arccos √32即可得出．解：arccos(−√32)=π−arccos √32=π−π6=5π6．故答案为：5π6．【点评】本题考查了反三角函数的性质，属于基础题．3．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm 2，则该扇形的弧长为 6 cm ． 【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值． 解：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α（rad ），半径为r ，扇形的面积为S ，则：r 2=2S α=2×92=9．解得r ＝3∴扇形的弧长为l ＝r α＝3×2＝6l ＝r α＝3×2＝6cm ． 故答案为：6．【点评】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 4．设sin α=35，α∈（π2，π），则tan α的值为 −34 ．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α，进而可求tan α的值．解：∵sinα=35，α∈（π2，π），∴cosα=−√1−sin2α=−45，∴tanα=sinαcosα=35−45=−34．故答案为：−3 4．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．函数y=2sin2(x+π6)的最小正周期为π．【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再根据y＝A cos（ωx+φ）的周期等于T=2πω，得出结论．解：函数y=2sin2(x+π6)=2sin2(x+π6)−1+1＝﹣cos（2x+π3）+1 的最小正周期为2π2=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的余弦公式，利用了y＝A cos（ωx+φ）的周期T=2πω，属于基础题．6．若cos x cos y+sin x sin y=13，则cos（2x﹣2y）＝−79．【分析】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（x﹣y）的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos（x﹣y）的值代入计算即可求出值．解：∵cos x cos y+sin x sin y＝cos（x﹣y）=1 3，∴cos（2x﹣2y）＝cos2（x﹣y）＝2cos2（x﹣y）﹣1=−7 9．故答案为：−7 9．【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7．函数y＝sin x+arcsin x的值域是[﹣sin1−π2，sin1+π2]．【分析】函数y＝sin x+arcsin x的定义域为[﹣1，1]，且在此定义域内单调递增，故当x＝﹣1时，函数有最小值，当x＝1时，函数y＝sin x+arcsin x有最大值，由此得到函数的值域．解：函数y＝sin x+arcsin x的定义域为[﹣1，1]，且在此定义域内单调递增，故当x ＝﹣1时，函数y ＝sin x +arcsin x 有最小值﹣sin1+（−π2）＝﹣sin1−π2． 故当x ＝1时，函数y ＝sin x +arcsin x 有最大值 sin1+π2， 故函数y ＝sin x +arcsin x 的值域是[﹣sin1−π2，sin1+π2]， 故答案为[﹣sin1−π2，sin1+π2]．【点评】本题主要考查正弦函数的和反正弦函数的定义域、值域，及其单调性的应用，得到函数在其定义域[﹣1，1]内单调递增，是解题的关键，属于中档题．8．关于x 的方程cos 2x +sin x +a ＝0在x ∈(0，π2]上有解，则a 的取值范围是 [−54，−1] ．【分析】由题意，x 的方程cos 2x +sin x +a ＝0在x ∈(0，π2]上有解，转化为二次函数值域的问题．解：由cos 2x +sin x +a ＝0，转化为：1﹣sin 2x +sin x +a ＝0，即（sin x −12）2=54+a∵x ∈(0，π2]上， sin x ∈（0，1）∴sin x −12∈（−12，12]则（sin x −12）2∈[0，14]∴{54+a ≤1454+a ≥0 ∴a 的取值范围是[−54，−1]．故答案为[−54，−1]．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题． 9．设函数f(x)=(sinx+1)2sin 2x+1的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝ 2 ． 【分析】通过换元可知y ＝f （x ）＝1+2t t 2+1，其中t ＝sin x ∈[﹣1，1]，利用z =2tt 2+1为奇函数可知z max +z min ＝0，进而M +m ＝（1+z max ）+（1+z min ）＝2． 解：由题可知t ＝sin x ∈[﹣1，1]，则y ＝f （x ）＝1+2tt 2+1，令z =2tt 2+1，则当t ＝0时z ＝0，且函数z 为奇函数， 所以z max +z min ＝0，又因为M +m ＝（1+z max ）+（1+z min ）， 所以M +m ＝2+（z max +z min ）＝2， 故答案为：2．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数的奇偶性，注意解题方法的积累，属于中档题．10．已知sin α＝3sin （α+π6），则tan （α+π12）＝ 2√3−4 ．【分析】利用角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tan α、tan π12的值，可得tan （α+π12）的值．解：∵sin α＝3sin （α+π6）＝3sin α•√32+3cos α•12，∴tan α=2−33， ∴tan π12=tan （π3−π4）=tan π3−tan π41+tan π3⋅tan π4=√3−11+3=2−√3， ∴tan （α+π12）=tanα+tan π121−tanα⋅tan π12=32−33+(2−√3)1−32−3√3⋅(2−√3)=√3)⋅(2−3√3)2−33−3(2−3)=2√3−4， 故答案为：2√3−4．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，同角三角的基本关系，属于基础题． 11．已知△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满足cosA sinA 1=cosB sinB 1=cosC sinC 1=1，则称△A 1B 1C 1是△ABC 的一个“对偶”三角形，若等腰△ABC 存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为3π8．【分析】设等腰△ABC 中A ＝B ，由已知得sin A 1＝sin B 1，cos A ＝sin A 1，cos B ＝sin B 1，cos C ＝sin C 1，则A 1＝B 1，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．解：设A ＝B ，由已知得sin A 1＝sin B 1，cos A ＝sin A 1，cos B ＝sin B 1，cos C ＝sin C 1，则A 1＝B 1， 所以A +A 1=π2，B +B 1=π2，C +C 1=π2（舍）或A +A 1=π2，B +B 1=π2，C ＝C 1−π2，解得C =π4，A ＝B =π−π42=3π8． 故答案是：3π8．【点评】本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题．12．已知函数y ＝k cos （kx ）在区间(π4，π3)单调递减，则实数k 的取值范围为 [﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12} ．【分析】对k 的符号进行讨论，利用符合函数的单调性及余弦函数的单调性列不等式组求出f （x ）的减区间，令区间(π4，π3)为f （x ）单调减区间的子集解出k 的范围． 解：当k ＞0时，令2m π≤kx ≤π+2m π，解得2mπk≤x ≤πk +2mπk ，m ∈Z ，∵函数y ＝k cos （kx ）在区间(π4，π3)单调递减，∴{π4≥2mπk π3≤πk +2mπk，解得{k ≥8m k ≤3+6m ，m ∈Z ，∴0＜k ≤3或8≤k ≤9．当k ＜0时，令﹣π+2m π≤﹣kx ≤2m π，解得πk −2mπk≤x ≤−2mπk ，m ∈Z ，∵函数y ＝k cos （kx ）在区间(π4，π3)单调递减，∴{π4≥πk −2mπk π3≤−2mπk ，解得{k ≤4−8m k ≥−6m ，m ∈Z ，∴﹣6≤k ≤﹣4，或k ＝﹣12， 综上，k 的取值范围是[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}． 故答案为：[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}．【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质，分类讨论思想，属于中档题． 二、选择题13．方程tan x ＝2的解集为（ ） A ．{x |x ＝2k π+arctan2，k ∈Z } B ．{x |x ＝2k π±arctan2，k ∈Z }C ．{x |x ＝k π+arctan2，k ∈Z }D ．{x |x ＝k π+（﹣1）k arctan2，k ∈Z }【分析】根据反三角函数的定义及正切函数的周期为k π，即可得到原方程的解． 解：由tan x ＝2，根据正切函数图象及周期可知： x ＝k π+arctan2． 故选：C ．【点评】此题考查学生掌握正切函数的图象及周期性，是一道基础题．14．已知函数y ＝A sin （ωx +φ）+m （A ＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x =π3是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（ ）A ．y =4sin(4x +π6)B ．y =2sin(2x +π3)+2 C ．y =2sin(4x +π3)+2D ．y =2sin(4x +π6)+2【分析】由题意可得A +m ＝4，A ﹣m ＝0，解得 A 和m 的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式． 解：由题意可得A +m ＝4，A ﹣m ＝0，解得 A ＝2，m ＝2． 再由最小正周期为π2，可得2πω=π2，解得ω＝4，∴函数y ＝A sin （ωx +φ）+m ＝2sin （4x +φ）+2．再由 x =π3是其图象的一条对称轴，可得 4×π3+φ＝k π+π2，k ∈Z ，又|φ|＜π2， ∴φ=π6，故符合条件的函数解析式是 y ＝2sin （4x +π6）+2， 故选：D ．【点评】本题主要考查利用y ＝A sin （ωx +φ）的图象特征，由函数y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象求解析式，属于中档题．15．函数y ＝2sin （π6−2x ），（x ∈[0，π]）为增函数的区间是（ ）A ．[0，π3]B ．[π12，7π12] C ．[π3，5π6] D ．[5π6，π]【分析】化简函数y ＝2sin （π6−2x ），利用正弦函数的图象与性质，求出y 在x ∈[0，π]的增区间即可．解：∵y ＝2sin （π6−2x ）＝﹣2sin （2x −π6），∴只要求y ＝2sin （2x −π6）的减区间， ∵y ＝sin x 的减区间为[2k π+π2，2k π+3π2]， ∴令2x −π6∈[2k π+π2，2k π+3π2]， 解得x ∈[k π+π3，k π+5π6]，又x ∈[0，π]，∴x ∈[π3，5π6]．故选：C ．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题目． 16．已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：①sin α，sin β，sin γ；②sin 2α，sin 2β，sin 2γ；③cos 2α2，cos 2β2，cos 2γ2；④tan α2，tan β2，tan γ2分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有（ ） A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【分析】设α，β，γ的对边分别为a ，b ，c ，不妨令α≤β≤γ，则a ≤b ≤c ，则a +b ＞c ，分别判断两个较小的边与最大边的差是否一定大于0，可得答案． 解：∵α，β，γ是某三角形的三个内角， 设α，β，γ的对边分别为a ，b ，c ， 不妨令α≤β≤γ，则a ≤b ≤c ，则a +b ＞c ． 则①中，sin α=a2R ，sin β=b2R，sin γ=c 2R ； 则a 2R+b 2R＞c 2R，故一定能构成三角形；②中，sin 2α=a 24r 2，sin 2β=b 24R2，sin 2γ=c 24R 2，由a 24r +b 24R ＞c 24R 仅在a 2+b 2﹣c 2＞0，即cos γ＞0时成立，故不一定能构成三角形．③中，cos 2α2+cos 2β2−cos 2γ2=cosα+cosβ−cosγ2+12＞0恒成立． 恒成立，故一定能构成三角形，故③正确．④中，当α＝β＝30°时γ＝120°，tan α2+tan β2−tan γ2＜0，故不一定能构成三角形，故①③正确， 故选：B ．【点评】本题考查了构成三角形的条件，三角函数的图象和性质，是三角函数较为综合的考查，难度较大，属于难题 三、解答题17．设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且α，β满足{5√3sinα+5cosα=8√2sinβ+√6cosβ=2（1）求cos(α+π6)的值．（2）求cos （α+β）的值．【分析】（1）将等式5√3sin α+5cos α＝8左边提取10，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值求出sin （α+π6）的值，由α的范围求出α+π6的范围，利用同角三角函数间的基本关系化简即可求出cos （α+π6）的值；（2）等式√2sin β+√6cos β＝2左边提取2√2，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出sin （β+π3）的值，由β的范围求出β+π3的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos （β+π3）的值，将所求式子利用诱导公式sin （π2+θ）＝cos θ变形，其中的角π2+α+β变形为（α+π6）+（β+π3），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解：（1）∵5√3sin α+5cos α＝8，∴10（√32sin α+12cos α）＝8，即sin （α+π6）=45， ∵α∈（0，π3），∴α+π6∈（π6，π2）， ∴cos （α+π6）=√1−sin 2(α+π6)=35； （2）又∵√2sin β+√6cos β＝2，∴2√2（12sin β+√32cos β）＝2，即sin （β+π3）=√22， ∵β∈（π6，π2），∴β+π3∈（π2，5π6）， ∴cos （β+π3）=−√22， ∴cos （α+β）＝sin[π2+（α+β）]＝sin[（α+π6）+（β+π3）] ＝sin （α+π6）cos （β+π3）+cos （α+π6）sin （β+π3）=45×（−√22）+35×√22=−√210． 【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键，同时注意角度的范围．本题中灵活运用角的变换的技巧达到了用已知表示未知，在求值题中，这是一个重要的经验！18．如图，等腰三角形ABC 中，∠B ＝∠C ，D 在BC 上，∠BAD 大小为α，∠CAD 大小为β．（1）若α=π4，β=π3，求BD DC； （2）若BD DC =12，β=α+π3，求∠B ．【分析】（1）分别在△ABD 和△ACD 中使用正弦定理即可得出BD DC =sinαsinβ； （2）利用三角恒等变换求出α，从而得出∠B ．解：（1）在△ABD 中，由正弦定理得BD sinα=AD sinB ， 在△ACD 中，由正弦定理得DC sinβ=AD sinC ， ∵∠B ＝∠C ，∴BD sinα=DC sinβ， ∴BD DC =sinαsinβ=√22√32=√63． （2）由（1）知BDDC =sinαsinβ=12， 又β＝α+π3，∴sin β＝sin （α+π3）=12sin α+√32cos α，∴12sin α+√32cos α＝2sin α，即√3cos α＝3sin α， ∴tan α=√33，∴α=π6，β=π2， ∴B =12（π﹣α﹣β）=π6． 【点评】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题．19．某景区欲建两条圆形观景步道M 1，M 2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AD ＝60（单位：米），要求圆M 与AB ，AD 分别相切于点B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ．（1）若∠BAD =π3，求圆M 1，M 2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M 1，M 2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD 多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）【分析】（1）利用切线的性质即可得出圆的半径；（2）设∠BAD ＝2α，则总造价y ＝0.8•2π•60tan α+0.9•2π•60tan （45°﹣α），化简，令1+tan α＝x 换元，利用基本不等式得出最值．解：（1）连结M 1M 2，AM 1，AM 2，∵圆M 1与AB ，AD 相切于B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ，∴M 1，M 2⊥AD ，∠M 1AD =12∠BAD =π6，∠M 2AD =π12， ∴M 1B ＝AB tan ∠M 1AB ＝60×√33=20√3≈34.6（米）， ∵tan π6=2tan π121−tan 2π12=√33，∴tan π12=2−√3， 同理可得：M 2D ＝60×tan π12=60（2−√3）≈16.1（米）．（2）设∠BAD ＝2α（0＜α＜π4），由（1）可知圆M 1的半径为60tan α，圆M 2的半径为60tan（45°﹣α），设观景步道总造价为y 千元，则y ＝0.8•2π•60tan α+0.9•2π•60tan （45°﹣α）＝96πtan α+108π•1−tanα1+tanα，设1+tan α＝x ，则tan α＝x ﹣1，且1＜x ＜2．∴y ＝96π（x ﹣1）+108π（2x−1）＝12π•（8x +18x −17）≥84π≈263.8， 当且仅当8x =18x 即x =32时取等号， 当x =32时，tan α=12，∴α≈26.6°，2α≈53.2°．∴当∠BAD 为53.2°时，观景步道造价最低，最低造价为263.8千元．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知(√3sinB−cosB)(√3sinC−cosC)=4cos B cos C．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，求△ABC面积的取值范围；（3）若sin B＝p sin C，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐角三角形．【分析】（1 ）由已知及三角函数中的恒等变换应用，从而可求tan A=√3，即可解得A的值，（2）由余弦定理和基本不等式可得bc≤4，再根据三角形的面积公式计算即可，（3）由题意可得p=√32tanC+12，根据角C的范围，即可求出．解：（1）∵(√3sinB−cosB)(√3sinC−cosC)=4cos B cos C，∴3sin B sin C+cos B cos C−√3sin B cos C−√3cos B sin C，∴−√3sin（B+C）＝3cos（B+C），∴tan（B+C）=−√3，∴tan A=√3，∴A=π3，（2）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当b＝c时取等号，∴S△ABC=12bc sin A≤12×4×√32=√3，∴△ABC面积的取值范围为（0，√3]，（3）sin B＝p sin C，∴p=sinBsinC =sin(120°−C)sinC=√32tanC+12，∵△ABC 为锐角三角形，A =π3，∴π6＜C ＜π2， ∴tan C ＞√33， ∴12＜p ＜2， 即p 的范围为(12，2) 【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题．21．已知集合P 是满足下述性质的函数f （x ）的全体：存在非零常数M ，对于任意的x ∈R ，都有f （x +M ）＝﹣Mf （x ）成立．（1）设函数g （x ）＝sin πx ，试证明：g （x ）∈P ；（2）当M ＝1时，试说明函数f （x ）的一个性质，并加以证明；（3）若函数h （x ）＝sin ωx ∈P ，求实数ω的取值范围．【分析】（1）可取M ＝1，验证即可；（2）M ＝1时，由f （x +1）＝﹣f （x ）可得到函数f （x ）的一个性质：周期性；（3）由题意可得h （x +M ）＝﹣Mh （x ）成立，既 sin （ωx +ωM ）＝﹣M sin ωx ，可对M 分|M |＞1，|M |＜1及|M |＝1三种情况讨论解决．解：（1）取 M ＝1 对于任意x ∈R ，g （x +M ）＝sin （πx +π）＝﹣sin πx ＝﹣g （x ）＝Mf （x ）∴g （x ）∈P（2）M ＝1时，f （x +1）＝﹣f （x ）f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）∴f （x ）是一个周期函数，周期为2；（3）∵h （x ）＝sin ωx ∈P ∴存在非零常数M ，对于对于任意的x ∈R ，都有h （x +M ）＝﹣Mh （x ）成立． 既 sin （ωx +ωM ）＝﹣M sin ωx若|M |＞1，取sin ωx ＝1，则 sin （ωx +ωM ）＝﹣M 对x ∈R 恒成立时不可能的．若|M |＜1，取sin （ωx +ωM ）＝1，则 sinωx =−1M 对x ∈R 也不成立．∴M ＝±1 当 M ＝1时 sin （ωx +ω）＝﹣sin ωx ，sin （ωx +ω）+sin ωx ＝0，2sin(ωx +ω2)⋅cos ω2=0（x ∈R ），cos ω2=0解得：ω＝2k π+π（k ∈Z ）；当M ＝﹣1时 sin （ωx ﹣ω）＝sin ωx ，sin （ωx ﹣ω）﹣sin ωx ＝0，2cos(ωx −ω2)⋅sin(−ω2)=0（x∈R），sin ω2=0解得：ω＝2kπk∈Z综上可得ω＝kπ（k∈Z）【点评】本题考查三角函数的周期性与最值，难点在于（3）中对M取值范围的分类讨论及和差化积公式与根据三角函数值求角的灵活应用，属于难题．。

上海市高一下学期期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.点P 从点()1,0-出发，沿单位圆221x y +=顺时针方向运动3π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 . 2.已知1tan 2x =，则2sin 3sin cos 1x x x +-= . 3.已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x 的值为 .4.方程sin 2sin x x =在区间[)0,2π内解的个数是 . 5．在用数学归纳法证明()221111,1n n a a a aa n N a++*-++++=≠∈-时，在验证1n =时，等式左边为 .6.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 .7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则{}n a 公比为 .8.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =-且11n n n a S S ++=，则n S = .9.已知()214732lim6752n a n n n →+∞++++-⎡⎤⎣⎦=--，则a = .10.函数()2sin 2cos f x x x =+在区间2,3πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则θ的值是 .11.如图，在Rt ABC ∆内有一系列的正方形，它们的边长依次为12,,,,n a a a ，若AB a =，则所有正方形的面积的和为 . 12,n n ，都有12.定义N *在上的函数()f x ，对任意的正整数()()()12121f n n f n f n +=++，且()11f =，若对任意的正整数n ，有()21n n a f =+，则n a = . 二、选择题：13.()f x 为奇函数，当0x >时，()()arccos sin f x x π=-则0x <时，()f x =A. ()arccos sin xB. ()arccos sin x π+C. ()arccos sin x -D. ()arccos sin x π--14.如图是函数()()()sin 0,0,,f x A x A x R ωϕωϕπ=+>><∈的部分图象，则下列命题中，正确的命题序号是①函数()f x 的最小正周期为2π ②函数()f x的振幅为③函数()f x 的一条对称轴方程为712x π= ④函数()f x 的单调递增区间是7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⑤函数()f x 的解析式为()223f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭A. ③⑤B. ③④C. ④⑤D. ①③15.设数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>， 则下列结论错误的是A. 0d <B. 70a =C. 95S S >D. 67,S S 均为n S 的最大值 16.数列{}n a 的通项222cossin 33n n n a n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，则30S = A. 510 B. 495 C. 490 D. 470 17.已知二次函数()()21211y a a x a x =+-++，当1,2,3,,,a n =时，其抛物线在x 轴上截得线段长依次为12,,,,n d d d ，则()12lim n n d d d →+∞++的值是A. 1B. 2C. 3D. 418.对数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[][]()11,,n n n n a b a b n N *++⊂∈；②()lim 0n n n b a →+∞-=；则[],n n a b 为区间套，下列可以构成区间套的数列是A. 12,23n n n n a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 21,31nn n n a b n ⎛⎫== ⎪+⎝⎭C. 11,13nn n n a b n -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭D. 32,21n n n n a b n n ++==++三、解答题：19.已知函数的最小正周期是（1）求ω的值；（2）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值x 的集合.20.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222b c a bc +=+ （1）求角A 的大小； （2）若cos 2,3B b ==求ABC ∆的面积.21.已知数列{}n a 满足()111,21.n n a a a n N *+==+∈若数列{}n b 满足：()()121114441.n n bb b b n a n N ---*⋅⋅=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：{}n b 是等差数列.22.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态建设，并以此发展旅游业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上一年减少20%，本年度当地旅游收入估计是400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加25%. （1）设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出,n n a b 的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入.23.（1）若对任意的n N *∈，总有()211n A Bn n n n +=+++成立，求常数,A B 的值； （2）在数列{}n a 中，()()1112,2,221n n n a a a n N n n n *-+==+∈≥+，求通项n a ； （3）在（2）的条件下，设()1212n n n b n a +=++，从数列{}n b 中依次取出第1k 项，第2k 项，,第n k 项，按原来的顺序组成新数列{}n c ，其中11,,.n n k m k k r n N *+=-=∈试问是否存在正整数,m r ，使得()12lim n n c c c S →+∞+++=且416113S <<成立？若存在，求出,m r 的值；若不存在，说明理由.。

2016-2017学年上海交大附中高三（下）开学数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）函数y＝tan3x的最小正周期为．2．（5分）计算＝．3．（5分）＝．4．（5分）若集合M＝{y|y＝﹣x2+5，x∈R}，N＝{y|y＝，x≥﹣2}，则M∩N＝．5．（5分）二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为．6．（5分）现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有种．7．（5分）若cos（π+α）＝﹣，π＜α＜2π，则sinα＝．8．（5分）若一个球的体积为，则它的表面积为．9．（5分）三棱锥O﹣ABC中，OA＝OB＝OC＝2，且∠BOC＝45°，则三棱锥O﹣ABC体积的最大值是．10．（5分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2，AB＝AE＝1，M为矩形AEHD 内一点，若∠MGF＝∠MGH，MG和平面EFGH所成角的正切值为，则点M到平面EFGH的距离为．11．（5分）若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称（A1，A2）为集合A的一种分析，并规定：当且仅当A1＝A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分析，则集合A＝{a1，a2，a3}的不同分析种数是．12．（5分）已知函数y＝a x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），则的最小值为．13．（5分）已知函数f（x）是R上的减函数，且y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．若u，v满足不等式组，则u2+v2的最小值为．14．（5分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数，如，若x＞0且A（2x•A（x））＝5，则x的取值范围为．二、选择题：15．（5分）在△ABC中，若，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形16．（5分）已知z∈C，“”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p418．（5分）某工厂今年年初贷款a万元，年利率为r（按复利计算），从今年末起，每年年末偿还固定数量金额，5年内还清，则每年应还金额为（）万元．A．B．C．D．三、解答题：本大题共5小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 19．（10分）某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，规定90分及以上为合格：（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；（3）若三个人参加交通法规考试，估计这三个人至少有两人合格的概率．20．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝P A＝BC＝2．D，E分别为AB，AC的中点，过DE的平面与PB，PC相交于点M，N（M与P，B不重合，N与P，C不重合）．（Ⅰ）求证：MN∥BC；（Ⅱ）求直线AC与平面PBC所成角的大小；（Ⅲ）若直线EM与直线AP所成角的余弦值时，求MC的长．21．（10分）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x＝﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+b与曲线C相切于点P，与直线x＝﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．22．（15分）已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．23．（15分）已知二次函数y＝f（x）的图象的顶点坐标为，且过坐标原点O，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）在二次函数y＝f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的表达式；（2）设b n＝a n•a n+1cos（n+1）π（n∈N*），数列{b n}的前n项和为T n，若T n≥m2对n∈N*恒成立，求实数m的取值范围；（3）在数列{a n}中是否存在这样的一些项，，，，…，…（1＝n1＜n2＜n3＜…＜n k＜…k∈N*），这些项能够依次构成以a1为首项，q（0＜q＜5，q∈N*）为公比的等比数列{}？若存在，写出n k关于k的表达式；若不存在，说明理由．2016-2017学年上海交大附中高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．【解答】解：函数y＝tan3x的最小正周期为T＝＝．故答案为：．2．【解答】解：＝2×3﹣1×4＝2，故答案为：2．3．【解答】解：＝＝（+）＝，故答案为：4．【解答】解：由M中y＝﹣x2+5≤5，得到M＝（﹣∞，5]，由N中y＝，x≥﹣2，得到y≥0，即N＝[0，+∞），则M∩N＝[0，5]，故答案为：[0，5]5．【解答】解：二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为C104＝210，故答案为：106．【解答】解：先把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，故有＝240种，故答案为：2407．【解答】解：∵cos（π+α）＝﹣cosα＝﹣，∴cosα＝，又π＜α＜2π，∴sinα＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．8．【解答】解：由得，所以S＝4πR2＝12π．9．【解答】解：将△BOC作为三棱锥的底面，∵OA＝OB＝OC＝2，且∠BOC＝45°，∴△BOS的面积为定值S＝＝，∴当OA⊥平面BOC时，该棱锥的高最大，体积就最大，此时三棱锥O﹣ABC体积的最大值V＝×S×h＝＝．故答案为：．10．【解答】解：取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2，AB＝AE＝1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF ＝∠MGH，可得△MNG≌△MGH，则△ONG≌△OGH，所以ON＝GH＝AB＝1，因为N是FG的中点，所以NG＝FG＝AD＝×2＝1，所以在Rt△ONG中，OG＝＝＝MG和平面EFGH所成角的正切值为，可得＝，则MO＝＝．则点M到平面EFGH的距离为：．故答案为：．11．【解答】解：当A1＝∅时必须A2＝A，分析种数为1；当A1有一个元素时，分析种数为C31•2；当A1有2个元素时，分析总数为C32•22；当A1＝A时，分析种数为C33•23．所以总的不同分析种数为1+C31•21+C32•22+C33•23＝（1+2）3＝27．故答案为：2712．【解答】解：∵函数y＝a x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），∴a＞1，3＝a+b．∴＝（a﹣1+b）＝≥＝，当且仅当a＝，b＝时取等号．故答案为：13．【解答】解：∵y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．∴y＝f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称．即函数f（x）是奇函数，则不等式组，等价为，即，作出不等式组对应的平面区域如图，则u2+v2的几何意义为区域内的点到原点距离的平方，则由图象知原点到直线u＝1﹣v，即v+u﹣1＝0的距离最小，此时d＝，故u2+v2的最小值为d2＝，故答案为：14．【解答】解：当A（x）＝1时，0＜x≤1，可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，当A（x）＝2时，1＜x≤2，可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）＝2，当A（x）＝3时，2＜x≤3，可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）＝2∴正实数x的取值范围是（1，]故答案为：（1，]二、选择题：15．【解答】解：∵＝cos＝sin，⇒，则△ABC是等腰三角形，故选：A．16．【解答】解：对于复数z，若z+＝0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+＝0．∴“z+＝0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．故选：B．17．【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1﹣a n＝d＞0，∴命题p1：数列{a n}是递增数列成立，是真命题．对于数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n+1﹣na n＝（n+1）d+a n，不一定是正实数，故p2不正确，是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣＝＝，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题．对于数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+1+3（n+1）d﹣a n﹣3nd＝4d＞0，故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题．故选：D．18．【解答】解：假设每年偿还x元，由题意可得a（1+r）5＝x（1+r）4+x（1+r）3+…+x（1+r）+x，化为a（1+r）5＝x•，解得x＝．故选：B．三、解答题：本大题共5小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 19．【解答】解：（1）由频率分布直方图，知：（0.01+a+0.07+0.06+0.02）×5＝1，解得a＝0.04．（2）规定90分及以上为合格，根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率：p1＝（0.06+0.02）×5＝0.4．（3）三个人参加交通法规考试，估计这三个人至少有两人合格的概率：p2＝＝．20．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点；∴DE∥BC，BC⊂平面PBC，DE⊄平面PBC；∴DE∥平面PBC，平面DENM∩平面PBC＝MN；∴DE∥MN；∴MN∥BC；（Ⅱ）如图，在平面P AB内作BZ∥P A，则根据：P A⊥底面ABC，及AB⊥BC即知，BC，BA，BZ两两垂直；∴以B为坐标原点，BC，BA，BZ所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），P（0，2，2）；∴，；设平面PBC的法向量为；则由得：，令z1＝1，得x1＝0，y1＝﹣1；∴；设直线AC和平面PBC所成角为α，则：sinα＝＝；又；∴；即直线AC和平面PBC所成角为；（Ⅲ）设M（0，y，z），M在棱PB上，则：；∴（0，y，z）＝λ（0，2，2）；∴M（0，2λ，2λ），E（1，1，0）；∴；因为直线EM与直线AP所成角的余弦值；设直线EM和直线AP所成角为θ；所以cosθ＝；∴8λ2﹣18λ+9＝0；解得，或（舍去）；∴M（0，）；∴．21．【解答】（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线，∴动点E的轨迹C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y＝kx+b（k≠0），由，消去x得：ky2﹣4y+4b＝0．∵直线l与抛物线相切，∴△＝16﹣16kb＝0，即．∴直线l的方程为y＝kx+．令x＝﹣1，得，∴Q（﹣1，），设切点坐标P（x0，y0），则，解得：P（），设M（m，0），则＝＝．当m＝1时，．∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．22．【解答】解：（1）∵函数（a＞0，a≠1）是奇函数．∴f（﹣x）+f（x）＝0解得m＝﹣1．（2）由（1）及题设知：，设，∴当x1＞x2＞1时，∴t1＜t2．当a＞1时，log a t1＜log a t2，即f（x1）＜f（x2）．∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知得，n＝1．23．【解答】解：（Ⅰ）由题意得f（x）＝（x+1）2﹣，∴S n＝（n+1）2﹣＝n2+n（n∈N*），当n≥2时，a n＝s n﹣s n﹣1＝n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]＝，当n＝1时，a1＝s1＝1适合上式，∴数列{a n}的通项公式是：a n＝（n∈N*）；（Ⅱ）∵b n＝a n a n+1cos（n+1）π，（n∈N*），∴T n＝b1+b2+…+b n＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1，由（Ⅰ）得：数列{a n}是以1为首项，公差为的等差数列，①当n＝2m，m∈N*时，T n＝T2m＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1，＝a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）＝﹣（a2+a4+…+a2m）＝﹣••m＝﹣（8m2+12m）＝﹣（2n2+6n），②当n＝2m﹣1，m∈N*时，T n＝T2m﹣1＝T2m﹣（﹣1）2m﹣1a2m a2m+1＝﹣（8m2+12m）+（16m2+16m+3）＝（8m2+4m+3）＝（2n2+6n+7），∴T n＝，要使T n≥tn2对n∈N*恒成立，只要使﹣（2n2+6n）≥tn2（n为正偶数）恒成立，即使﹣（2+）≥t对n为正偶数恒成立．∴t≤[﹣（2+）]min＝﹣；（Ⅲ）由a n＝知，数列{a n}中每一项都不可能是偶数，①如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列{ank}，k∈N*，此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{ank}；②q＝1时，显然不存在这样的数列{ank}，q＝3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{ank}，k∈N*，则an1＝1，n1＝1，ank＝3k﹣1＝，n k＝，∴存在满足条件的数列{a nk}，且n k＝，（k∈N*）．。

2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“x ＜2”是“x 2＜4”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2.设函数f （x ）=，则（a ≠b ）的值为（ ）{‒1x >01x <0(a +b)+(a ‒b)⋅f(a ‒b)2A. aB. bC. a ，b 中较小的数D. a ，b 中较大的数3.如图中，哪个最有可能是函数的图象（ ）y =x2xA. B.C.D.4.若定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意x 1，x 2∈R 有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）+1，则下列说法一定正确的是（ ）A. 为奇函数 B. 为偶函数f(x)f(x)C. 为奇函数 D. 为偶函数f(x)+1f(x)+1二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若关于x的不等式的解集为（-∞，-1）∪[4，+∞），则实数a =______．x ‒ax +1≥06.设集合A ={x ||x -2|＜1}，B ={x |x ＞a }，若A ∩B =A ，则实数a 的取值范围是______．7.一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．8.若函数f （x ）=log 2（x +1）+a 的反函数的图象经过点（4，1），则实数a =______．9.若，则满足f （x ）＞0的x 的取值范围是______．f(x)=x 13‒x ‒210.已知f （x ）=是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是______．{(7‒a)x ‒4a,x <1a x,x ≥111.定义在R 上的偶函数y =f （x ），当x ≥0时，f （x ）=lg （x 2+3x +2），则f （x ）在R 上的零点个数为______．12.设f （x ）=x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f （1）=1，f （2）=2，f （3）=3，则的值为______．14[f(0)+f(4)]13.设f -1（x ）为f （x ）=4x -2+x -1，x ∈[0，2]的反函数，则y =f （x ）+f -1（x ）的最大值为______．14.已知函数f （x ）=，且f （0）为f （x ）的最小值，则实数a 的取值范围是______．{(x ‒a )2，x ≤0x +4x +3a ，x ＞015.设a 、b ∈R ，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f （1）的取值范围为f(x)=x +ax +b______．16.已知下列四个命题：①函数f （x ）=2x 满足：对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，有；f(x 1+x 22)≤12[f(x 1)+f(x 2)]②函数均为奇函数；f(x)=log 2(x +x 2+1)，g(x)=1+22x‒1③若函数f （x ）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足f （4-x ）=f （x ），那么f （2）=f （2018）；④设x 1，x 2是关于x 的方程|log a x |=k （a ＞0，a ≠1）的两根，则x 1x 2=1其中正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于x 的不等式：(log 2x )2+(a +1a )log 12x +1＜018.设a ∈R ，函数；f(x)=3x +a 3x +1（1）求a 的值，使得f （x ）为奇函数；（2）若对任意的x ∈R 成立，求a 的取值范围f(x)＜a +3319.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=（0≤x ≤10），若不建隔热层，每年能源k3x +5消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f （x ）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f （x ）达到最小，并求最小值．20.已知函数f 1（x ）=e |x -2a +1|，f 2（x ）=e |x -a |+1，x ∈R ．（1）若a =2，求f （x ）=f 1（x ）+f 2（x ）在x ∈[2，3]上的最小值；（2）若|f 1（x ）-f 2（x ）|=f 2（x ）-f 1（x ）对于任意的实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围；（3）当4≤a ≤6时，求函数g （x ）=在x ∈[1，6]上的最小值．f 1(x)+f 2(x)2‒|f 1(x)‒f 2(x)|221.对于定义在[0，+∞）上的函数f （x ），若函数y =f （x ）-（ax +b ）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p ，使其值域为（0，p ]，则称函数g （x ）=ax +b 是函数f （x ）的“逼进函数”．（1）判断函数g （x ）=2x +5是不是函数f （x ）=，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；2x 2+9x +11x +2（2）求证：函数g （x ）=x不是函数f （x ）=（）x ，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”1212（3）若g （x ）=ax 是函数f （x ）=x +，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．x 2+1答案和解析1.【答案】B【解析】解：由x2＜4，解得：-2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．2.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=，∴当a＞b时，==b；当a＜b时，=a．∴（a≠b）的值为a，b中较小的数．故选：C．由函数f（x）=，知当a＞b时，==b；当a＜b时，=a．本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数值的合理运用．3.【答案】A【解析】解：y′==，令y′＞0，解得：x＜，令y′＜0，解得：x＞，故函数在（-∞，）递增，在（，+∞）递减，而x=0时，函数值y=0，x→-∞时，y→-∞，x→+∞时，y→0，故选：A．求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．本题考查了函数的图象，考查函数的单调性问题，是一道基础题．4.【答案】C【解析】解：∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=-1∴令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，∴f（x）+1为奇函数．故选C对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．5.【答案】4【解析】解：由，得（x-a）（x+1≥0，故-1，4是方程（x-a）（x+1）=0的根，故a=4，故答案为：4解不等式的解集转化为方程的根，求出a的值即可．本题考查了不等式的解法以及转化思想，是一道基础题．6.【答案】（-∞，1]【解析】解：由|x-2|＜1得1＜x＜3，则A=|{x|1＜x＜3}，∵B={x|x＞a}，且A∩B=A，∴A⊆B，即a≤1，故答案为：（-∞，1]．先求出不等式|x-2|＜1的解集即集合A，根据A∩B=A得到A⊆B，即可确定出a的范围．本题考查了交集及其运算，集合之间的关系，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7.【答案】π3【解析】解：因为一条长度等于半径的弦，所对的圆心角为弧度．故答案为：．直接利用弧长公式求出圆心角即可．本题考查弧长公式的应用，基本知识的考查．8.【答案】3【解析】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．9.【答案】（1，+∞）【解析】解：若，则满足f（x）＞0，即-x-2＞0，变形可得：＞1，函数g（x）=为增函数，且g（1）=1，解可得：x＞1，即x的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（1，+∞）．根据题意，将f（x）＞0变形为＞1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查其他不等式的解法，关键是将原不等式转化为整式不等式．10.【答案】[76，7)【解析】解：根据题意，f（x）=是（-∞，+∞）上的增函数，必有，解可得≤a＜7，即a的取值范围为：故答案为：根据题意，由分段函数的单调性分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的单调性，注意分段函数分段分析．11.【答案】0【解析】解：当x≥0时，f（x）=lg（x2+3x+2），函数的零点由：lg（x2+3x+2）=0，即x2+3x+1=0，解得x（舍去）．因为函数是定义在R上的偶函数y=f（x），所以函数的零点个数为：0个．故答案为：0．利用函数是偶函数求出x≥0时，函数的零点个数，即可得到结果．本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．12.【答案】7【解析】解：f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，可得：，∴b=-6a-25；c=11a+61；d=-6a-36，∴[f（4）+f（0）]=（256+64a+16b+4c+2d）=（128+32a+8b+2c+d）=（128+32a-48a-200+22a+122-6a-36）=×14=7．利用已知条件求出a、b、c、d的关系式，化简所求的表达式，求解即可．本题考查方程的根与函数的零点的求法，待定系数法的应用，考查计算能力．13.【答案】4【解析】【分析】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．由f（x）=4x-2+x-1在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f-1（x）在[-，2]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f-1（x）的最大值【解答】解：由f（x）=4x-2+x-1在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[-，2]，可得y=f-1（x）在[-，2]上为增函数，因此y=f（x）+f-1（x）在[-，2]上为增函数，∴y=f（x）+f-1（x）的最大值为f（2）+f-1（2）=2+2=4．故答案为4．14.【答案】[0，4]【解析】解：若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x-a）2为减函数，则a≥0，当x＞0时，函数f（x）=的最小值4+3a≥f（0），即4+3a≥a2，解得：-1≤a≤4，综上所述实数a的取值范围是[0，4]，故答案为：[0，4]若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x-a）2为减函数，当x＞0时，函数f（x）=的最小值4+3a≥f（0），进而得到实数a的取值范围．本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题．15.【答案】（0，1）【解析】解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，-2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，-4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒画出数对（a，b）所表示的区域，求出目标函数z=f（1）═a+b+1的范围即可．本题是函数零点的考查，涉及到规划问题的结合，属于难题．16.【答案】②③④【解析】解：函数f（x）=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，f（x1）+f（x2）=2+2＞2=2•2=2f（），故①错误；由x＞0，x=0时，x+＞0成立；由x＜0，x2+1＞x2，可得＞-x，即x+＞0，由f（-x）+f（x）=log2（x2+1-x2）=0，即有f（x）为奇函数；又g（-x）+g（x）=2++=2++=0，可得g（x）为奇函数．函数均为奇函数，故②正确；若函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，可得f（x）+f（2-x）=0，且满足f（4-x）=f（x），则f（4-x）=-f（2-x），即f（2+x）=-f（x），可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）为最小正周期为4的函数，可得f（2018）=f（4×504+2）=f（2），那么f（2）=f（2018），故③正确；设x 1，x 2是关于x 的方程|log a x|=k （a ＞0，a≠1）的两根，可得log a x 1+log a x 2=0，即log a x 1x 2=0，则x 1x 2=1，故④正确．故答案为：②③④．由指数的运算性质和基本不等式，可判断①；运用奇偶性的定义和性质，可判断②；由题意可得f （x ）+f （2-x ）=0，结合条件可得f （x ）为最小正周期为4的函数，可得结论，可判断③；由对数的运算性质，可判断④．本题考查函数的性质和运用，主要是函数的奇偶性和对称性、周期性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：关于x 的不等式：，即 -（a +）log 2x +1＜0，即(log 2x )2+(a +1a )log 12x +1＜0(log 2x )21a （log 2x -a ）•（log 2x -）＜0．1a 当a ＞时，即a ＞1或-1＜a ＜0时，＜log 2x ＜a ，＜x ＜2a ，原不等式的解集为{x |＜x ＜2a }．1a 1a 21a 21a 当a =时，即a =±1时，不等式即＜0，显然它无解，即解集为∅．1a (log 2x ‒a )2当a ＜时，即0＜a ＜1或a ＜-1时，＞log 2x ＞a ，＞x ＞2a ，原不等式的解集为{x |＞x ＞2a }．1a 1a 21a 21a 【解析】原不等式即（log 2x-a ）•（log 2x-）＜0，分类讨论a 与的大小关系，求得log 2x 的范围，可得x 的范围．本题主要考查一元二次不等式的解法，对数不等式的解法，属于中档题．18.【答案】解：（1）根据题意，函数，其定义域为R ，f(x)=3x +a 3x +1若f （x ）为奇函数，则f （0）==0，解可得a =-1；30+a 30+1故a =-1；（2）根据题意，，即＜，f(x)＜a +333x +a 3x +1a +33变形可得：＜，即3（a -1）＜a （3x +1），（①）a ‒13x +1a 3分3种情况讨论：当a =0时，（①）变形为-3＜0，恒成立，当a ＞0时，（①）变形为＜3x +1，3a ‒3a 若＜3x +1恒成立，必有≤1，解可得a ≤，3a ‒3a 3a ‒3a 32此时a 的取值范围为（0，]，32当a ＜0时，（①）变形为＞3x +1，3a ‒3a 不可能恒成立，综合可得：a 的取值范围为．[0，32]【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f （0）==0，解可得a 的值，即可得答案；（2）根据题意，变形可得3（a-1）＜a （3x +1），分3种情况讨论，求出a 的取值范围，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，属于综合题．19.【答案】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为．C(x)=k 3x +5再由C （0）=8，得k =40，因此．C(x)=403x +5而建造费用为C 1（x ）=6x ，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f '（x ）f(x)=20C(x)+C 1(x)=20×403x +5+6x =8003x +5+6x(0≤x ≤10)f'(x)=6‒2400(3x +5)2=0，即．2400(3x +5)2=6解得x =5，（舍去）．x =‒253当0＜x ＜5时，f ′（x ）＜0，当5＜x ＜10时，f ′（x ）＞0，故x =5是f （x ）的最小值点，对应的最小值为．f(5)=6×5+80015+5=70当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】（I ）由建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C （0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C 1（x ）=6x ，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f （x ），我们不难得到f （x ）的表达式．（II ）由（1）中所求的f （x ）的表达式，我们利用导数法，求出函数f （x ）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f （x ）的最小值．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x 取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．20.【答案】解：（1）对于a =2，x ∈[2，3]，f （x ）=e |x -3|+e |x -2|+1=e 3-x +e x -1（3分）≥2=2e ，e3‒x ⋅e x ‒1当且仅当e 3-x =e x -1，即x =2时等号成立，∴f （x ）min =2e ．（6分）（2）|f 1（x ）-f 2（x ）|=f 2（x ）-f 1（x ）对于任意的实数x 恒成立，即f 1（x ）≤f 2（x ）对于任意的实数x 恒成立，亦即e |x -2a +1|≤e |x -a |+1对于任意的实数x 恒成立，∴|x -2a +1|≤|x -a |+1，即|x -2a +1|-|x -a |≤1对于任意的实数x 恒成立．（9分）又|x -2a +1|-|x -a |≤|（x -2a +1）-（x -a ）|=|-a +1|对于任意的实数x 恒成立，故只需|-a +1|≤1，解得0≤a ≤2，∴a 的取值范围为0≤a ≤2．（12分）（3）g （x ）==（13分）f 1(x)+f 2(x)2‒|f 1(x)‒f 2(x)|2{f 1(x),f 1(x)≤f 2(x)f 2(x),f 1(x)>f 2(x)∵f 1（x ）与f 2（x ）的底数都同为e ，外函数都单调递增∴比较f 1（x ）与f 2（x ）的大小关系，只须比较|x -2a +1|与|x -a |+1的大小关系令F 1（x ）=|x -2a +1|，F 2（x ）=|x -a |+1，G （x ）=其中4≤a ≤6，x ∈[1，6]（14分）{F 1(x),F 1(x)≤F 2(x)F 2(x),F 1(x)>F 2(x)∵4≤a ≤6∴2a -1≥a ≥1，令2a -1-x =1，得x =2a -2，由题意可以如下图象：（15分）当4≤a ≤6时，a ≤6≤2a -2，G （x ）min =F 2（a ）=1，g （x ）min =e 1=e ；（18分）【解析】（1）对于a=2，x ∈[2，3]，去掉绝对值得f （x ）=e 3-x +e x-1（3分），利用基本不等式积为定值，和有最小值即可求出函数的最小值，注意等号成立的条件；（2）根据条件可知f 1（x ）≤f 2（x ）对于任意的实数x 恒成立，转化成|x-2a+1|-|x-a|≤1对于任意的实数x 恒成立，然后利用绝对值不等式进行求解即可求出参数a 的范围；（3）f 1（x ）与f 2（x ）的底数都同为e ，外函数都单调递增，比较f 1（x ）与f 2（x ）的大小关系，只须比较|x-2a+1|与|x-a|+1的大小关系，则令F 1（x ）=|x-2a+1|，F 2（x ）=|x-a|+1，则G （x ）=其中4≤a≤6，x ∈[1，6]，结合图形可知当4≤a≤6时G （x ）min =F 2（a ）=1，g （x ）min =e 1=e ．本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及函数的最值及其几何意义和恒成立问题等有关知识，解决本题的关键是等价转化，以及数形结合，分类讨论的思想，难点是绝对值如何去．21.【答案】解：（1）f （x ）-g （x ）=-（2x +5）=，2x 2+9x +11x +21x +2可得y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）递减，且x +2≥2，0＜≤，可得存在p =，函数y 的值域为（0，]，1x +2121212则函数g （x ）=2x +5是函数f （x ）=，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；2x 2+9x +11x +2（2）证明：f （x ）-g （x ）=（）x -x ，1212由y =（）x ，y =-x 在[0，+∞）递减，1212则函数y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）递减，则函数y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）的最大值为1；由x =1时，y =-=0，x =2时，y =-1=-＜0，12121434则函数y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）的值域为（-∞，1]，即有函数g （x ）=x 不是函数f （x ）=（）x ，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；1212（3）g （x ）=ax 是函数f （x ）=x +，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”，x 2+1可得y =x +-ax 为[0，+∞）的减函数，x 2+1可得导数y ′=1-a +≤0在[0，+∞）恒成立，xx 2+1可得a -1≥，x x 2+1由x ＞0时，=≤1，x x 2+111+1x 2则a -1≥1，即a ≥2；又y =x +-ax 在[0，+∞）的值域为（0，1]，x 2+1则＞（a -1）x ，x 2+1x =0时，显然成立；x ＞0时，a -1＜，1+1x 2可得a -1≤1，即a ≤2．则a =2．【解析】（1）由f （x ）-g （x ），化简整理，结合反比例函数的单调性和值域，即可判断；（2）由指数函数和一次函数的单调性，可得满足①，说明不满足②，即可得证；（3）由新定义，可得y=x+-ax 为[0，+∞）的减函数，求得导数，由不等式恒成立思想，可得a 的范围；再由值域为（0，1]，结合不等式恒成立思想可得a 的范围，即可得到a 的值．本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性和值域的求法和运用，考查导数的运用，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．。

2016-2017学年上海交大附中高一（下）3月月考数学试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分）1．（5分）你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了2分钟，则秒针转过的角的弧度数是．2．（5分）已知角α的终边上一点P落在直线y＝2x上，则sin2α＝．3．（5分）把化成A sin（α+φ）（A＞0，φ∈（0，2π））的形式为．4．（5分）函数的定义域为．5．（5分）函数的最大值为．6．（5分）已知，求tan2α+cot2α＝．7．（5分）已知：，则＝．8．（5分）若函数y＝lg（ax2﹣ax+1）的值域为R，则实数a的取值范围是．9．（5分）若关于x的方程5x＝有负根，则实数a的取值范围是．10．（5分）小媛在解试题：“已知锐角α与β的值，求α+β的正弦值”时，误将两角和的正弦公式记成了sin（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，解得的结果为，发现与标准答案一致，那么原题中的锐角α的值为．（写出所有的可能值）11．（5分）已知﹣5sin2α+sin2β＝3sinα，则y＝sin2α+sin2β函数的最小值为．12．（5分）已知，则f（cos10）＝．二、选择题：13．（4分）一个扇形OAB的面积为1平方厘米，它的周长为4厘米，则它的中心角是（）A．2弧度B．3弧度C．4弧度D．5弧度14．（4分）角α的终边在第二象限，那么的终边不可能在的象限是第（）象限．A．一B．二C．三D．四15．（4分）已知α，β均为锐角，且，则α，β的大小关系是（）A．α＜βB．α＞βC．α＝βD．不确定16．（4分）下列关于幂函数y＝xα（α∈Q）的论述中，正确的是（）A．当α＝0时，幂函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）两个点C．若函数f（x）为奇函数，则f（x）在定义域内是增函数D．幂函数f（x）的图象不可能在第四象限内三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（14分）有一种细菌A，每小时分裂一次，分裂时每个细菌都分裂为2个，现有某种饮料200毫升，其中细菌A的浓度为20个/毫升：（1）试讲饮料中的细菌A的个数y表示成经过的小时数x的函数；（2）若饮料中细菌A的总数超过9万个，将对人体有害，那么几个小时后该饮料将对人体有害？（精确到0.1小时）．18．（14分）已知△ABC中，tan A，tan B是方程x2+ax+4＝0的两个实数根：（1）若a＝﹣8，求tan C的值；（2）求tan C的最小值，并指出此时对应的tan A，tan B的值．19．（14分）已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β是适合0≤α≤β≤π的常数（1）若，求函数f（x）的最小值；（2）f（x）是否可能为常值函数？若可能，求出f（x）为常值函数时，α，β的值，如果不可能，请说明理由．20．（16分）某校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”．其中AC，BD是过抛物线y ＝x2的两条相互垂直的弦（点A，B在第二象限），且AC，BD交于点，点E 为y轴上的一点，记∠EF A＝α，其中α为锐角：（1）设线段AF的长为m，将m表示为关于α的函数；（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小．21．（16分）若函数f（x）定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）有，则称f（x）为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x1，x2∈R，有lg[g（x1+x2）]≤lg[g（x1）]+lg[g（x2）]，则称g（x）为“对数V形函数”：（1）当f（x）＝x2时，判断函数f（x）是否为V形函数，并说明理由；（2）当g（x）＝x2+2时，证明：g（x）是对数V形函数；（3）若f（x）是V形函数，且满足对任意x∈R，有f（x）≥2，问f（x）是否为对数V形函数？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由．2016-2017学年上海交大附中高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分）1．（5分）你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了2分钟，则秒针转过的角的弧度数是﹣4π．【解答】解：由于经过2分钟，秒针转过2个周角，由一周角为2π，又由顺时针旋转得到的角是负角，故秒针转过的角的弧度数是﹣4π，故答案为：﹣4π．2．（5分）已知角α的终边上一点P落在直线y＝2x上，则sin2α＝．【解答】解：∵角α的终边上一点P落在直线y＝2x上，∴tanα＝2，∴sin2α＝＝＝＝，故答案为：．3．（5分）把化成A sin（α+φ）（A＞0，φ∈（0，2π））的形式为2sin （）．【解答】解：由＝φ），tanφ＝，∵φ∈（0，2π）），∴φ＝，则＝2sin（），故答案为：2sin（）．4．（5分）函数的定义域为[﹣3，1）∪（1，5]．【解答】解：由题意得：﹣x2+2x+15≥0且x≠1，解得：﹣3≤x≤5，故函数的定义域是[﹣3，1）∪（1，5]，故答案为：[﹣3，1）∪（1，5]．5．（5分）函数的最大值为2．【解答】解：＝1+≤2，∴的最大值为2．故答案为2．6．（5分）已知，求tan2α+cot2α＝．【解答】解：∵，∴，∴∵tan2α+cot2α＝故答案为7．（5分）已知：，则＝．【解答】解：因为，∴sinθ＝．∵＝+2（﹣tanθ）•（﹣cosθ）＝﹣sinθ+2sinθ＝sinθ＝．故答案为：．8．（5分）若函数y＝lg（ax2﹣ax+1）的值域为R，则实数a的取值范围是[4，+∞）．【解答】解：∵函数y＝lg（ax2﹣ax+1）的值域为R，∴（0，+∞）为函数y＝ax2﹣ax+1的值域的子集，∴，解得a≥4．故答案为[4，+∞）．9．（5分）若关于x的方程5x＝有负根，则实数a的取值范围是a＜﹣3．【解答】解：当x＜0时，0＜5x＜1，若关于x的方程5x＝有负根，在0＜＜1，即，即，则，解得a＜﹣3，故答案为：a＜﹣310．（5分）小媛在解试题：“已知锐角α与β的值，求α+β的正弦值”时，误将两角和的正弦公式记成了sin（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，解得的结果为，发现与标准答案一致，那么原题中的锐角α的值为，，．（写出所有的可能值）【解答】解：由题意可得：sinαcosβ+cosαsinβ＝cosαcosβ+sinαsinβ＝＝×+×，观察可得：锐角α的值可能为，，．故答案为：，，．11．（5分）已知﹣5sin2α+sin2β＝3sinα，则y＝sin2α+sin2β函数的最小值为0．【解答】解：由﹣5sin2α+sin2β＝3sinα，可得sin2β＝5sin2α+3sinα∈[0，1]，可得sinα∈[]∪[0，]那么y＝sin2α+sin2β＝6sin2α+3sinα＝6（sinα+）2当sinα＝0时，y取得最小值为0．故答案为0．12．（5分）已知，则f（cos10）＝21﹣7π．【解答】解：∵，∴f（cos10）＝f[sin（10﹣）]＝2（10﹣）+1＝21﹣7π．故答案为：21﹣7π．二、选择题：13．（4分）一个扇形OAB的面积为1平方厘米，它的周长为4厘米，则它的中心角是（）A．2弧度B．3弧度C．4弧度D．5弧度【解答】解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l＝4，S面积＝lr＝1，所以解得：r＝1，l＝2，所以扇形的圆心角的弧度数是α＝＝＝2．故选：A．14．（4分）角α的终边在第二象限，那么的终边不可能在的象限是第（）象限．A．一B．二C．三D．四【解答】解：∵角α的终边在第二象限，∴+2kπ＜x＜π+2kπ，k∈Z，∴+＜x＜+，k∈Z，当k＝3n（n∈Z）时，此时的终边落在第一象限，当k＝3n+1（n∈Z）时，此时的终边落在第二象限，当k＝3n+2（n∈Z）时，此时的终边落在第四象限，综上所述，的终边不可能落在第三象限故选：C．15．（4分）已知α，β均为锐角，且，则α，β的大小关系是（）A．α＜βB．α＞βC．α＝βD．不确定【解答】解：∵sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，，∴2sinα＝sinαcosβ+cosαsinβ，∴sinα（2﹣cosβ）＝cosαsinβ，∴tanα＝＜＝tanβ，∵α，β均为锐角，∴α＜β．故选：A．16．（4分）下列关于幂函数y＝xα（α∈Q）的论述中，正确的是（）A．当α＝0时，幂函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）两个点C．若函数f（x）为奇函数，则f（x）在定义域内是增函数D．幂函数f（x）的图象不可能在第四象限内【解答】解：对于A，x＝0时，无意义；对于B，y＝不过（0，0）；对于C，y＝是奇函数，在定义域内无单调性；对于D，因为x＞0时，y＝xα＞0，故幂函数图象不可能出现在第四象限，故④对；故选：D．三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（14分）有一种细菌A，每小时分裂一次，分裂时每个细菌都分裂为2个，现有某种饮料200毫升，其中细菌A的浓度为20个/毫升：（1）试讲饮料中的细菌A的个数y表示成经过的小时数x的函数；（2）若饮料中细菌A的总数超过9万个，将对人体有害，那么几个小时后该饮料将对人体有害？（精确到0.1小时）．【解答】解：（1）某种饮料200毫升，其中细菌A的浓度为20个/毫升：故200毫升饮料有细菌A4000个，故细菌A的个数y＝4000•2x，x＞0；（2）由（1）得：4000×2x＞90000，解得：x＞4.49，即4.5小时后该饮料将对人体有害．18．（14分）已知△ABC中，tan A，tan B是方程x2+ax+4＝0的两个实数根：（1）若a＝﹣8，求tan C的值；（2）求tan C的最小值，并指出此时对应的tan A，tan B的值．【解答】解：（1）a＝8时，x2﹣8x+4＝0，∴tan A+tan B＝8，tan A tan B＝4；∴tan C＝tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）＝＝：（2）由题意，△＝a2﹣16≥0，解得a≥4或a≤﹣4；又tan A tan B＝4＞0，∴，∴tan A+tan B＝﹣a＞0，∴a＜0，即a≤﹣4；∴tan C＝﹣tan（A+B）＝＝≥，∴tan C的最小值是，此时对应的tan A＝tan B＝2．19．（14分）已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β是适合0≤α≤β≤π的常数（1）若，求函数f（x）的最小值；（2）f（x）是否可能为常值函数？若可能，求出f（x）为常值函数时，α，β的值，如果不可能，请说明理由．【解答】解：函数f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β是适合0≤α≤β≤π的常数（1）∵，则f（x）＝sin2x+sin2（x+）+sin2（﹣x）＝sin2x+1≥1∴函数f（x）的最小值为1．（2）假设存在常数值，f（0）＝f（），则sin2α+sin2β＝1+cos2α+cos2β，即2（sin2α+sin2β）＝3，∴sin2α+sin2β＝，则cos2α+cos2β＝．∴，．20．（16分）某校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”．其中AC，BD是过抛物线y ＝x2的两条相互垂直的弦（点A，B在第二象限），且AC，BD交于点，点E 为y轴上的一点，记∠EF A＝α，其中α为锐角：（1）设线段AF的长为m，将m表示为关于α的函数；（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小．【解答】解：（1）点A（﹣m sinα，m cosα+），∴m cosα+＝（﹣m sinα）2，即m2sin2α﹣m cosα﹣＝0．∵m＞0，∴m＝|AF|＝；（2）同理：|BF|＝，|DF|＝，|CF|＝．“蝴蝶形图案”的面积S＝S△AFB+S△CFD＝，令t＝sinαcosα，t∈（0，]，S＝＝（﹣），，∴＝2，S min＝，此时．21．（16分）若函数f（x）定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）有，则称f（x）为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x1，x2∈R，有lg[g（x1+x2）]≤lg[g（x1）]+lg[g（x2）]，则称g（x）为“对数V形函数”：（1）当f（x）＝x2时，判断函数f（x）是否为V形函数，并说明理由；（2）当g（x）＝x2+2时，证明：g（x）是对数V形函数；（3）若f（x）是V形函数，且满足对任意x∈R，有f（x）≥2，问f（x）是否为对数V形函数？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由．【解答】（1）解：f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]＝（x1+x2）2﹣（x12+x22）＝2x1x2∵x1，x2∈R，∴2x1x2符号不定，∴当2x1x2≤0时，f（x）是V形函数；当2x1x2＞0时，f （x）不是V形函数；（2）证明：假设对任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），则lgg（x1+x2）﹣lgg（x1）﹣lgg（x2）＝lg[（x1+x2）2+2]﹣lg（x12+2）﹣lg（x22+2）≤0，∴（x1+x2）2+2≤（x12+2）（x22+2），∴x12x22+（x1﹣x2）2+2≥0，显然成立，∴假设正确，g（x）是对数V形函数；（3）解：f（x）是对数V形函数证明：∵f（x）是V形函数，∴对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），∵对任意x∈R，有f（x）≥2，∴0＜f（x1）+f（x2）≤f（x1）f（x2），∴f（x1+x2）≤f（x1）f（x2），∴lgf（x1+x2）≤lgf（x1）+lgf（x2），∴f（x）是对数V形函数．。

上海市交大附中2017-2018学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“2x ＜”是“24x ＜”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C .充要条件D.既非充分也非必要条件2.设函数1,0(){1,0x f x x ->=<，则()()()()2a b a b f a b a b ++--≠的值为（）A.aB.bC.,a b 中较小的数D.,a b 中较大的数3.如图中，哪个最有可能是函数2xxy =的图象（）A. B.C. D.4.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是A.()f x 为奇函数B.()f x 为偶函数C.()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若关于x 的不等式01x ax ->+的解集为()(),14,-∞-+∞ ，则实数=a ________6.设集合{}{}2|,|2A x x a B x x =<=<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是_______．7.一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．8.若函数()2log 1f x x a =++（）的反函数的图象经过点41（，），则实数=a ______．9.若()123f x x x -=-，则满足0f x （）＞的x 的取值范围是______．10.已知()()74,1,1xa x a x f x a x ⎧--<=⎨≥⎩是-∞+∞（，）上的增函数，那么a 的取值范围是______．11.定义在R 上的偶函数y f x =（），当0x ≥时，2lg 32f x x x =++（）（），则()f x 在R 上的零点个数为______．12.设432f x x ax bx cx d （）=++++，11,22,33f f f ===（）（）（），则()()1044f f ⎡⎤+⎣⎦的值为______．13.设1f x -（）为241,[02]x f x x x -=+-∈（），的反函数，则1y f x f x -=+（）（）的最大值为______．14.已知函数()2()0430x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++⎪⎩，，＞，且0f （）为()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是______．15.设a b R ∈、，若函数()af x x b x=++在区间12（，）上有两个不同的零点，则1f （）的取值范围为______．16.已知下列四个命题：①函数2x f x =（）满足：对任意1212,x x R x x ∈≠，，有()()1212122x xf f x f x +⎛⎫≤+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭；②函数()(()22log 121xf x xg x =+=+-，均为奇函数；③若函数()f x 的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足4f x f x -=（）（），那么22018f f =（）（）；④设12x x ，是关于x 的方程log 01a x k a a =≠（＞，）的两根，则121=x x 其中正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于x 的不等式：22121(log )log 10x a x a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭＜18.设a R ∈，函数()331x x af x +=+；（1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若()33a f x +＜对任意的x R ∈成立，求a 的取值范围19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35kx x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．20.已知函数|211x a f x e -+=（）|，12,x a f xe x R -+=∈（）．（1）若2a =，求12f x f x f x =+（）（）（）在[23]x ∈，上的最小值；（2）若1221f x f x f xf x -=-（）（）（）（）对于任意的实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围；（3）当46a ≤≤时，求函数()()()()()121222f x f x f x f xg x -+=-在[16]x ∈，上的最小值．21.对于定义在[0+∞，）上的函数()f x ，若函数y f x ax b =-+（）（）满足：①在区间[0+∞，）上单调递减，②存在常数p，使其值域为0]p （，，则称函数g x ax b =+（）是函数()f x 的“逼进函数”．（1）判断函数25g x x =+（）是不是函数()22911,[02x x f x x x ++=∈+∞+，）的“逼进函数”；（2）求证：函数()12g x x =不是函数()1,[02xf x x ⎛⎫=∈+∞ ⎪⎝⎭，），的“逼进函数”（3）若g x ax （）=是函数()[0f x x x =+∈+∞，）的“逼进函数”，求a 的值．上海市交大附中2017-2018学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“2x ＜”是“24x ＜”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C .充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【分析】先求出x 2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【详解】由x 2＜4，解得：﹣2＜x ＜2，故x ＜2是x 2＜4的必要不充分条件，故选B ．【点睛】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．2.设函数1,0(){1,0x f x x ->=<，则()()()()2a b a b f a b a b ++--≠的值为（）A.aB.bC.,a b 中较小的数D.,a b 中较大的数【答案】C【详解】∵函数()1,(0),1,(0)x f x x ->⎧=⎨<⎩∴当a b >时，()()()()()b 22a b a b f a b a b a b ++-⋅-+--==;当a b <时，()()()()()a 22a b a b f a b a b a b ++-⋅-++-==;∴()()()()2a b a b f a b a b ++-⋅-≠的值为a ,b 中较小的数故选C3.如图中，哪个最有可能是函数2x xy =的图象（）A. B.C. D.【答案】A【分析】求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．【详解】y ′22221222x x x xx ln xln --==，令y ′＞0，解得：x 12ln ＜，令y ′＜0，解得：x 12ln ＞，故函数在（﹣∞，12ln ）递增，在（12ln ，+∞）递减，而x ＝0时，函数值y ＝0，x →﹣∞时，y →﹣∞，x →+∞时，y →0，故选A ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是A.()f x 为奇函数 B.()f x 为偶函数C.()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数【答案】C【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-，令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+，所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若关于x 的不等式01x ax ->+的解集为()(),14,-∞-+∞ ，则实数=a ________【答案】4【分析】根据题意得()()10x a x -+=的两根为1-和4，从而可求出结果.【详解】因为关于x 的不等式01x ax ->+的解集为()(),14,-∞-+∞ ，所以不等式()()10x a x -+>的解集为()(),14,-∞-+∞ 即方程()()10x a x -+=的两根为1-和4，所以4a =，故答案为：4.6.设集合{}{}2|,|2A x x a B x x =<=<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是_______．【答案】4a ≤【详解】试卷分析：由A B A ⋂=⇔A B ⊂，所以当A φ=时，满足A B ⊂，此时不等式2x a <无解，所以0a ≤，当A φ≠即0a >时，{}|0A x a =<，由A B ⊂可知204a ≤⇒<≤，综上可知实数a 的取值范围是4a ≤.考点：1.集合的运算；2.分类讨论的思想.7.一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．【答案】3π【分析】直接利用平面性质求出圆心角即可．【详解】由题意可知：△ABC 为等边三角形，所以圆心角等于3π.故答案为3π．【点睛】本题考查圆心角的求法，基本知识的考查．8.若函数()2log 1f x x a =++（）的反函数的图象经过点41（，），则实数=a ______．【答案】3【分析】由题意可得函数f （x ）＝log 2（x +1）+a 过（1，4），代入求得a 的值．【详解】函数f （x ）＝log 2（x +1）+a 的反函数的图象经过点（4，1），即函数f （x ）＝log 2（x +1）+a 的图象经过点（1，4），∴4＝log 2（1+1）+a ∴4＝1+a ，a ＝3．故答案为3．【点睛】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．9.若()123f x x x -=-，则满足0f x （）＞的x 的取值范围是______．【答案】（1，+∞）【分析】根据题意，将f （x ）＞0变形为73x ＞1，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】若()123f x x x -=-，则满足f （x ）＞0，即1321x x＞，变形可得：73x ＞1，函数g （x ）73x =为增函数，且g （1）＝1，解可得：x ＞1，即x 的取值范围为（1，+∞）；故答案为（1，+∞）．【点睛】本题考查幂函数的图象与性质，属于基础题.10.已知()()74,1,1xa x a x f x a x ⎧--<=⎨≥⎩是-∞+∞（，）上的增函数，那么a 的取值范围是______．【答案】776⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据题意，由分段函数的单调性分析可得()70174a a a a a ⎧-⎪⎨⎪--≤⎩＞＞，解可得a 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，f （x ）()7411x a x a x a x ⎧--=⎨≥⎩，＜，是（﹣∞，+∞）上的增函数，必有()70174a a a a a⎧-⎪⎨⎪--≤⎩＞＞，解可得76≤a ＜7，即a 的取值范围为：776⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为776⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了分段函数的图象与性质，注意三点：第一段单调性，第二段单调性，断点处的函数值的比较，属于中档题.11.定义在R 上的偶函数y f x =（），当0x ≥时，2lg 32f x x x =++（）（），则()f x 在R 上的零点个数为______．【答案】0【分析】求出x ≥0时函数的零点个数，结合奇偶性即可得到结果．【详解】当x ≥0时，f （x ）＝lg （x 2+3x +2），令lg （x 2+3x +2）＝0，即x 2+3x +1＝0，解得x32-±（舍去）．因为函数是定义在R 上的偶函数y ＝f （x ），所以函数的零点个数为：0个．故答案为0．【点睛】本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．12.设432f x x ax bx cx d （）=++++，11,22,33f f f ===（）（）（），则()()1044f f ⎡⎤+⎣⎦的值为______．【答案】7【分析】利用已知条件求出a 、b 、c 、d 的关系式，化简所求的表达式，求解即可．【详解】f （x ）＝x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f （1）＝1，f （2）＝2，f （3）＝3，可得：111684228127933a b c d a b c d a b c d ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，∴b ＝﹣6a ﹣25；c ＝11a +61；d ＝﹣6a ﹣36，∴14[f （4）+f （0）]14=（256+64a +16b +4c +2d ）12=（128+32a +8b +2c +d ）12=（128+32a ﹣48a ﹣200+22a +122﹣6a ﹣36）12=⨯14＝7．【点睛】本题考查求函数的值，待定系数法的应用，考查计算能力．13.设1f x -（）为241,[02]x f x x x -=+-∈（），的反函数，则1y f x f x -=+（）（）的最大值为______．【答案】4【分析】由f （x ）＝4x ﹣2+x ﹣1在x ∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y ＝f ﹣1（x ）在[1516-，2]上为增函数，由函数的单调性求得y ＝f （x ）+f ﹣1（x ）的最大值【详解】由f （x ）＝4x ﹣2+x ﹣1在x ∈[0，2]上为增函数，得其值域为[1516-，2]，可得y ＝1f x -（）在[1516-，2]上为增函数，因此y ＝f （x ）+1f x -（）在[0，2]上为增函数，∴y ＝f （x ）+1f x -（）的最大值为f （2）+1f -（2）＝2+2＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．14.已知函数()2()0430x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++⎪⎩，，＞，且0f （）为()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是______．【答案】[0，4]【分析】若f （0）为f （x ）的最小值，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数，当x ＞0时，函数f （x ）43x a x=++的最小值4+3a ≥f （0），进而得到实数a 的取值范围．【详解】若f （0）为f （x ）的最小值，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数，则a ≥0，当x ＞0时，函数f （x ）43x a x=++的最小值4+3a ≥f （0），即4+3a ≥a 2，解得：﹣1≤a ≤4，综上所述实数a 的取值范围是[0，4]，故答案为[0，4]【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题．15.设a b R ∈、，若函数()af x x b x=++在区间12（，）上有两个不同的零点，则1f （）的取值范围为______．【答案】（0，1）【分析】函数()af x x b x=++在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x 2+bx +a ＝0在区间（1，2）上两个不相等的实根，利用线性规划知识即可得到结果.【详解】函数()af x x b x=++在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x 2+bx +a ＝0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒21224010420b b a a b b a ⎧-⎪⎪⎪-⎨⎪++⎪++⎪⎩＜＜＞＞＞⇒242410420b b a a b b a --⎧⎪⎪⎨++⎪⎪++⎩＜＜＞＞＞，如图画出数对（a ，b ）所表示的区域，目标函数z ＝f （1）=a +b +1∴z 的最小值为z ＝a +b +1过点（1，﹣2）时，z 的最大值为z ＝a +b +1过点（4，﹣4）时∴f （1）的取值范围为（0，1）故答案为（0，1）【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．16.已知下列四个命题：①函数2x f x =（）满足：对任意1212,x x R x x ∈≠，，有()()1212122x xf f x f x +⎛⎫≤+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭；②函数()(()22log 121x f x x g x =+=+-，均为奇函数；③若函数()f x 的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足4f x f x -=（）（），那么22018f f =（）（）；④设12x x ，是关于x 的方程log 01a x k a a =≠（＞，）的两根，则121=x x 其中正确命题的序号是______．【答案】①②③④【分析】由指数的运算性质和基本不等式，可判断①；运用奇偶性的定义和性质，可判断②；由题意可得f （x ）+f （2﹣x ）＝0，结合条件可得f （x ）为最小正周期为4的函数，可得结论，可判断③；由对数的运算性质，可判断④．【详解】函数f （x ）＝2x 满足：对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，f （x 1）+f （x 2）1222x x =+＞=2•1222x x +=2f （122x x +），故①正确；由x ＞0，x ＝0时，x 0成立；由x ＜0，x 2+1＞x 2-x ，即x 0，由f （﹣x ）+f （x ）＝log 2（x 2+1﹣x 2）＝0，即有f （x ）为奇函数；又g （﹣x ）+g （x ）＝2222121x x -++=--22221221x x x ⋅++=--0，可得g （x ）为奇函数．函数()(()22121x f x log x g x =+=+-，均为奇函数，故②正确；若函数f （x ）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，可得f （x ）+f （2﹣x ）＝0，且满足f （4﹣x ）＝f （x ），则f （4﹣x ）＝﹣f （2﹣x ），即f （2+x ）＝﹣f （x ），可得f （x +4）＝﹣f （x +2）＝f （x ），即f （x ）为最小正周期为4的函数，可得f （2018）＝f （4×504+2）＝f （2），那么f （2）＝f （2018），故③正确；设x 1，x 2是关于x 的方程|log a x |＝k （a ＞0，a ≠1）的两根，可得log a x 1+log a x 2＝0，即log a x 1x 2＝0，则x 1x 2＝1，故④正确．故答案为①②③④．【点睛】本题考查函数的性质和运用，主要是函数的奇偶性和对称性、周期性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于x 的不等式：22121(log )log 10x a x a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭＜【答案】当a ＞1或-1＜a ＜0时，不等式的解集为122a a x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．当1a =±时，解集为∅．当0＜a ＜1或a ＜-1时，不等式的解集为122a a x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪<<⎨⎨⎬⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭．【分析】原不等式即（log 2x ﹣a ）•（log 2x 1a -）＜0，分类讨论a 与1a 的大小关系，求得log 2x 的范围，可得x 的范围．【详解】关于x 的不等式：()2212110log x a log x a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭＜，即()222110log x a log x a-++（）＜，即221•0log x a log x a--（）（）＜．当1a a ＞时，即a ＞1或-1＜a ＜0时，21log x a a ＜＜，122a a x ＜＜，原不等式的解集为122a a x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．当1a a=时，即1a =±时，不等式即()22log 0x a -<，显然它无解，即解集为∅．当1a a <时，即0＜a ＜1或a ＜-1时，21log x a a ＞＞，122a a x ＞＞，原不等式的解集为122a a x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．【点睛】（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．18.设a R ∈，函数()331x x a f x +=+；（1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若()33a f x +＜对任意的x R ∈成立，求a 的取值范围【答案】（1）1a =-；（2）302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f （0）00331a +==+0，解可得a 的值，即可得答案；（2）根据题意，()33a f x ＜+变形可得3（a ﹣1）＜a （3x +1），分3种情况讨论，求出a 的取值范围，综合可得答案．【详解】（1）根据题意，函数()331x x a f x +=+，其定义域为R ，若f x （）为奇函数，则()0030031a f +==+，解可得1a （经检验适合）=-；故1a =-；（2）根据题意，()33a f x +＜，即33313x x a a ++<+，变形可得：1313x a a ＜-+，即3131x a a -+（）＜（），（①）分3种情况讨论：当a =0时，（①）变形为-3＜0，恒成立，当a ＞0时，（①）变形为3331x a a -+＜，若3331x a a -+＜恒成立，必有331a a -≤，解可得32a ≤，此时a 的取值范围为（0，32]，当a ＜0时，（①）变形为3331x a a ->+，不可能恒成立，综合可得：a 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，属于综合题．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35k x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【答案】40k =，因此40()35C x x =+.,当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．【详解】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消耗费用为()35k C x x =+.再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+.而建造费用为1()6C x x=最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++（Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即224006(35)x =+.解得5x =，253x =-（舍去）.当05x 时，'()0f x ，当510x 时，'()0f x ，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．20.已知函数|211x a f x e -+=（）|，12,x a f x e x R -+=∈（）．（1）若2a =，求12f x f x f x =+（）（）（）在[23]x ∈，上的最小值；（2）若1221f x f x f xf x -=-（）（）（）（）对于任意的实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围；（3）当46a ≤≤时，求函数()()()()()121222f x f x f x f xg x -+=-在[16]x ∈，上的最小值．【答案】(1)32(2)12a ≤≤(3)27min 71,(1),27(){,(4),2,(46).a a g x e a e a -≤<=≤<≤≤【详解】（1）32；（2）即12()()f x f x ≤恒成立，得211x a x a -+≤-+，即211x a x a -+--≤对x R ∈恒成立，因211x a x a a -+--≤-，故只需11a -≤，解得02a ≤≤，又16a ≤≤，故a 的取值范围为12a ≤≤．（3）112212(),()(),(){(),()().f x f x f xg x f x f x f x ≤=>①当12a ≤≤时，由（2）知211()()x a g x f x e -+==，当21[1,3]x a =-∈时，min ()1g x =．②当2<6a ≤时，(21)10a a a --=->，故21a a ->．x a ≤时，(21)112()()x a x a f x e e f x -+--++=>=，12()()x a g x f x e -+==；21x a ≥-时，(21)112()()x a x a f x e e f x ---+=<=，211()()x a g x f x e-+==；21a x a <<-时，由(21)112()()x a x a f x e e f x -+--+=≤=，得322a x -≥，其中32212a a a -<<-，故当32212a x a -≤<-时，|21|1()()x a g x f x e -+==；当322a a x -<<时，12()()x a g x f x e -+==.因此，当2<6a ≤时，1232(),,2(){32(),.2a f x x g x a f x x -≥=-<令211()x a f x e e -+==，得1222,2x a x a =-=，且32222a a -<-，如图，(ⅰ)当622a a ≤≤-，即46a ≤≤时，min 2()()g x f a e ==；(ⅱ)当22621a a -<≤-，即742a ≤<时，27min 1()(6)a g x f e -==；(ⅲ)当216a -<，即722a <<时，min 1()(21)1g x f a =-=．综上所述，27min 71,(1),27(){,(4),2,(46).a a g x e a e a -≤<=≤<≤≤21.对于定义在[0+∞，）上的函数()f x ，若函数y f x axb =-+（）（）满足：①在区间[0+∞，）上单调递减，②存在常数p，使其值域为0]p （，，则称函数g x ax b =+（）是函数()f x 的“逼进函数”．（1）判断函数25g x x =+（）是不是函数()22911,[02x x f x x x ++=∈+∞+，）的“逼进函数”；（2）求证：函数()12g x x =不是函数()1,[02xf x x ⎛⎫=∈+∞ ⎪⎝⎭，），的“逼进函数”（3）若g x ax （）=是函数()[0f x x x =+∈+∞，）的“逼进函数”，求a 的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2.【分析】（1）由f （x ）﹣g （x ），化简整理，结合反比例函数的单调性和值域，即可判断；（2）由指数函数和一次函数的单调性，可得满足①，说明不满足②，即可得证；（3）由新定义，可得y ＝x -ax 为[0，+∞）的减函数，求得导数，由不等式恒成立思想，可得a 的范围；再由值域为（0，1]，结合不等式恒成立思想可得a 的范围，即可得到a 的值．【详解】（1）229112x x f x g x x ++-=+（）（）1252x x （）-+=+，可得y f x g x =-（）（）在[0，+∞）递减，且22x +≥，11022x ≤+＜，可得存在12p =，函数y 的值域为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，则函数25g x x （）=+是函数()229112x x f x x ++=+，[0x ，）∈+∞的“逼进函数”；（2）证明：1122x f x g x x -=-（）（）（，由12x y =（，12y x =-在[0，+∞）递减，则函数y f x g x =-（）（）在[0，+∞）递减，则函数y f x g x =-（）（）在[0，+∞）的最大值为1；由1x =时，11022y =-=，2x =时，131044y ＜=-=-，则函数y f x g x =-（）（）在[0，+∞）的值域为（-∞，1]，即有函数12g x x =（）不是函数12x f x =（）（），x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g x ax =（）是函数()f x x =+，[0x ，）∈+∞的“逼进函数”，可得y x ax =+为[0，+∞）的减函数，可得导数'10y a =-≤在[0，+∞）恒成立，可得1a -≥，由x ＞01=≤，则11a -≥，即2a ≥；又y x ax =+在[0，+∞）的值域为（0，1]，()1a x >-，x =0时，显然成立；x ＞0时，1a -，可得11a -≤，即2a ≤．则a =2．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性和值域的求法和运用，考查导数的运用，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．。

2016-2017学年上海市交大附中高一第二学期期末数学试卷一.填空题1．无限循环小数0.03⋅6⋅化成最简分数为 ． 2．函数y ＝2arccos √x −1的定义域是 ．3．若{a n }是等比数列，a 1＝8，a 4＝1，则a 2+a 4+a 6+a 8＝ ． 4．函数f （x ）＝tan x +cot x 的最小正周期为 ．5．已知a ，b ∈R 且lim n→∞(an 2+bn n+1−n)=3，则a 2+b 2＝ ．6．用数学归纳法证明“1+12+13+⋯+12n −1＜n （n ∈N *，n ＞1）”时，由n ＝k （k ＞1）不等式成立，推证n ＝k +1时，左边应增加的项数是 ．7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2√3，c ＝2，A ＝120°，S △ABC ＝ ．8．函数f （x ）＝arcsin （cos x ），x ∈[π4，5π6]的值域为 ．9．数列{a n }满足a 12+a 222+⋯+a n 2n=2n +5，n ∈N *，则a n ＝ ．10．设[x ]表示不超过x 的最大整数，则[sin1]+[sin2]+[sin3]+…+[sin10]＝ ． 11．已知25sin 2α+sin α﹣24＝0，α在第二象限内，则cos α2的值为 ．12．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦．B ．曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，如图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是 ．13．数列{a n }满足：a n ={q n ，n =2k −1(0.5)n，n =2k ，k ∈N *，{a n }的前n 项和记为S n ，若lim n→∞S n ≤1，则实数q 的取值范围是 ．14．已知数列{a n }满足：a 1＝m （m 为正整数），a n+1={a n2，当a n 为偶数时3a n +1，当a n 为奇数时若a 6＝1，则a 5＝ ，m 所有可能取值的集合为 ．二.选择题15．设a、b、c是三个实数，则“b2＝ac”是“a、b、c成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．若函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π）局部图象如图所示，则函数y ＝f（x）的解析式为（）A．y=32sin(2x+π6)B．y=32sin(2x−π6)C．y=32sin(2x+π3)D．y=32sin(2x−π3)17．若数列{a n}对任意n≥2（n∈N）满足（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n﹣2a n﹣1）＝0，下面给出关于数列{a n}的四个命题：①{a n}可以是等差数列；②{a n}可以是等比数列；③{a n}可以既是等差又是等比数列；④{a n}可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个18．若数列{a n}前12项的值各异，且a n+12＝a n对任意的n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{a n}前12项值的数列为（）A．{a3k+1}B．{a4k+1}C．{a5k+1}D．{a6k+1}三.解答题19．已知函数f（x）＝﹣a cos2x−√3a sin2x+2a+b（a≠0），x∈[0，π2]，值域为[﹣5，1]，求常数a、b的值．20．在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出了他们的工资标准：A公司允诺第一个月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元；B公司允诺第一年月工资也为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资分别是多少；（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？21．如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB＝1，BC＝2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC，点P在边AB上，设∠MOD＝θ；（1）若θ＝30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的三角形铁皮PMN面积的最大值．22．在xOy平面上有一点列P1（a1，b1）、P2（a2，b2）、…、P n（a n，b n）、…，对每个正整数n，点P n位于函数y=1000(a6)x（0＜a＜6）的图象上，且点P n、点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以P n为顶角顶点的等腰三角形；（1）求点P n的纵坐标b n的表达式；（2）若对每个自然数n，以b n、b n+1、b n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；（3）设B n＝b1b2…b n（n∈N*），若a取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列{B n}的最大项的项数是多少？试说明理由．23．设递增数列{a n}共有k项，定义集合A k＝{x|x＝a i+a j，1≤i＜j≤k}，将集合A k中的数按从小到大排列得到数列{b n}；（1）若数列{a n}共有4项，分别为a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝6，写出数列{b n}的各项的值；（2）设{a n}是公比为2的等比数列，且0.5＜a1＜2，若数列{b n}的所有项的和为4088，求a1和k的值；（3）若k＝5，求证：{a n}为等差数列的充要条件是数列{b n}恰有7项．2016-2017学年上海市交大附中高一第二学期期末数学试卷参考答案一.填空题1．无限循环小数0.03⋅6⋅化成最简分数为255．【分析】把问题转化为求是以361000为首项，以1100为公比的所有项的和，然后利用无穷递缩等比数列所有项和的求法求解．解：0.03⋅6⋅=0.036+0.00036+…，可看作是以361000为首项，以1100为公比的所有项的和，则无限循环小数0.03⋅6⋅化成最简分数为3610001−1100=36990=255．故答案为：255．2．函数y＝2arccos√x−1的定义域是[1，2]．【分析】函数y＝2arccos√x−1有意义，可得﹣1≤√x−1≤1且x﹣1≥0，解不等式即可得到所求定义域．解：函数y＝2arccos√x−1有意义，可得﹣1≤√x−1≤1且x﹣1≥0，即为x≤2且x≥1，解得1≤x≤2，则函数的定义域为[1，2]．故答案为：[1，2]．3．若{a n}是等比数列，a1＝8，a4＝1，则a2+a4+a6+a8＝8516．【分析】{a n}是等比数列，a1＝8，a4＝1，利用等比数列通项公式求出q=12，由此能求出a2+a4+a6+a8．解：{a n}是等比数列，a1＝8，a4＝1，∴a4=8q3=1，解得q=12，∴a 2+a 4+a 6+a 8=8×12+8×(12)3+8×(12)5+8×(12)7=8516．故答案为：8516．4．函数f （x ）＝tan x +cot x 的最小正周期为 π ．【分析】利用同角三角函数基本关系式化简函数的解析式，然后利用周期公式求解即可． 解：函数f （x ）＝tan x +cot x =sinx cosx +cosx sinx =2sin2x， 因为y ＝sin2x 的周期为：π．所以函数f （x ）＝tan x +cot x 的最小正周期为：π． 故答案为：π．5．已知a ，b ∈R 且lim n→∞(an 2+bn n+1−n)=3，则a 2+b 2＝ 17 ．【分析】利用数列的极限的运算法则，转化求解a ，b 然后求解a 2+b 2即可．解：a ，b ∈R 且lim n→∞(an 2+bnn+1−n)=3，可得limn→∞an 2−n 2+bn−n n+1=3，可得{a =1b −1=3，则a 2+b 2＝1+16＝17． 故答案为：17．6．用数学归纳法证明“1+12+13+⋯+1n ＜n （n ∈N *，n ＞1）”时，由n ＝k （k ＞1）不等式成立，推证n ＝k +1时，左边应增加的项数是 2k ． 【分析】观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为 12−1，然后判断n ＝k +1时增加的项数即可．解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为12−1； 由n ＝k ，末项为12k −1到n ＝k +1，末项为 12k+1−1=12k −1+2k，∴应增加的项数为2k ．故答案为2k ．7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2√3，c ＝2，A ＝120°，S △ABC ＝ √3 ．【分析】由正弦定理和已知易得C ＝30°，进而可得sin B =12，由三角形的面积公式可得． 解：∵在△ABC 中，a ＝2√3，c ＝2，A ＝120°，∴由正弦定理可得sin C =csinA a =2×√3223=12， ∴C ＝30°，或C ＝150°（A ＝120°，应舍去）， ∴sin B ＝sin （A +C ）＝sin150°=12∴S △ABC =12acsinB =12×2√3×2×12=√3故答案为：√38．函数f （x ）＝arcsin （cos x ），x ∈[π4，5π6]的值域为 [−π3，π4] ．【分析】推导出cos ×∈[−√32，√22]，由此能求出f （x ）＝arcsin （cos x ）的值域．解：∵x ∈[π4，5π6]，∴cos x ∈[−√32，√22]，∴f （x ）＝arcsin （cos x ）∈[−π3，π4]． 故答案为：[−π3，π4]． 9．数列{a n }满足a 12+a 22+⋯+a n2=2n +5，n ∈N *，则a n ＝ {14，n =12n+1，n ≥2． 【分析】利用递推公式a n ={S 1，n =1S n −S n−1，n ≥2即可求解解：当n ＝1时，可得12a 1＝7，即a 1＝14 当n ≥2时，a 12+a 222+⋯+a n 2n=2n +5，n ∈N *，a 12+a 222+⋯+a n−12n−1=2n +3，两式相减可得，a n 2n=2，∴a n ＝2n +1当n ＝1时，a 1＝14不适合上式 故a n ={14，n =12n+1，n ≥2，故答案为：{14，n =12n+1，n ≥2．10．设[x ]表示不超过x 的最大整数，则[sin1]+[sin2]+[sin3]+…+[sin10]＝ ﹣4 ． 【分析】由题意得[sin1]＝[sin2]＝[sin3]＝0，[sin4]＝[sin5]＝[sin6]＝﹣1，[sin7]＝[sin8]＝[sin9]＝0，[sin10]＝﹣1，由此能求出结果．解：[sin1]+[sin2]+[sin3]+…+[sin10] ＝0+0+0﹣1﹣1﹣1+0+0+0﹣1 ＝﹣4． 故答案为：﹣4．11．已知25sin 2α+sin α﹣24＝0，α在第二象限内，则cos α2的值为 ±35 ．【分析】由已知，先求出sin α的值，再利用二倍角余弦公式求cos α2．解：∵25sin 2α+sin α﹣24＝0，∴（25sin α﹣24）（sin α+1）＝0，∵α在第二象限内，∴sin α=2425．cos α=7−25.在第一或第三象限．根据二倍角余弦公式可得cos 2α2=1−cosα2=925∴cosα2=±35，故答案为；±35．12．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦．B ．曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，如图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是 144 ．【分析】本题是一个探究型的题，可以看到第四行起每一行实心圆点的个数都是前两行实心圆点个数的和，由此可以得到一个递推关系，利用此递推关系求解即可得答案． 解：由题意及图形知不妨构造这样一个数列{a n }表示实心圆点的个数变化规律，令a 1＝1，a 2＝1，n ≥3时，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2，本数列中的n 对应着图形中的第n +1行中实心圆点的个数． 由此知a 11即所求：故各行中实心圆点的个数依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144； 即第13项为144； 故答案为：14413．数列{a n }满足：a n ={q n ，n =2k −1(0.5)n，n =2k，k ∈N *，{a n }的前n 项和记为S n ，若lim n→∞S n ≤1，则实数q 的取值范围是 （﹣1，12] ．【分析】由题意可得数列{a n }的奇数项成公比为q 2，偶数项成公比为0.25的等比数列，由无穷递缩等比数列的求和公式，结合二次不等式的解法，即可得到所求q 的范围． 解：前n 项和记为S n ， a n ={q n ，n =2k −1(0.5)n ，n =2k，k ∈N *， 则lim n→∞S n =lim n→∞[（a 1+a 3+a 5+…）+（a 2+a 4+a 6+…）] =a 11−q 2+a 21−0.25 =q 1−q 2+0.250.75≤1， 由|q |＜1即﹣1＜q ＜1， 可得2q 2+3q ﹣2≤0，解得﹣2≤q ≤12，则q 的取值范围是（﹣1，12]．故答案为：（﹣1，12]．14．已知数列{a n }满足：a 1＝m （m 为正整数），a n+1={a n2，当a n 为偶数时3a n +1，当a n 为奇数时若a 6＝1，则a 5＝ 2 ，m 所有可能取值的集合为 {4，5，32} ．【分析】先确定a 5＝2，a 4＝4，进而a 3＝有两种情况，再分类讨论，即可得到结论． 解：∵数列{a n }满足：a 1＝m （m 为正整数），a n+1={a n2，当a n 为偶数时3a n +1，当a n 为奇数时，a 6＝1，∴a 5＝2，a 4＝4，∴①a 3＝1，a 2＝2，a 1＝4，即m ＝4； ②a 3＝8，a 2＝16，此时，又有下面两种情况： 1°a 1＝5，即m ＝5； 2°a 1＝32，即m ＝32． 故答案为：2，{4，5，32}． 二.选择题15．设a 、b 、c 是三个实数，则“b 2＝ac ”是“a 、b 、c 成等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】先证明必要性，由a 、b 、c 成等比数列，根据等比数列的性质可得b 2＝ac ；再证充分性，可以举一个反例，满足b 2＝ac ，但a 、b 、c 不成等比数列，从而得到正确的选项． 解：若a 、b 、c 成等比数列， 根据等比数列的性质可得：b 2＝ac ；若b ＝0，a ＝2，c ＝0，满足b 2＝ac ，但a 、b 、c 显然不成等比数列， 则“b 2＝ac ”是“a 、b 、c 成等比数列”的必要非充分条件． 故选：B ．16．若函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|≤π）局部图象如图所示，则函数y＝f （x ）的解析式为（ ）A ．y =32sin(2x +π6) B ．y =32sin(2x −π6)C ．y =32sin(2x +π3)D ．y =32sin(2x −π3)【分析】由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象可求得A ，T ，从而可得ω，再由f （2π3+π62）=32，结合φ的范围可求得φ，从而可得答案． 解：∵12T =2π3−π6=π2， ∴ω=2πT=2； 又由图象可得：A =32，可得：f （x ）=32sin （2x +φ），f （2π3+π62）=32sin （2×5π12+φ）=32， ∴5π6+φ＝k π+π2，k ∈Z ．∴φ＝k π−π3，（k ∈Z ）， 又∵|φ|≤π，∴当k＝0时，可得：φ=−π3，此时，可得：f（x）=32sin（2x−π3）．故选：D．17．若数列{a n}对任意n≥2（n∈N）满足（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n﹣2a n﹣1）＝0，下面给出关于数列{a n}的四个命题：①{a n}可以是等差数列；②{a n}可以是等比数列；③{a n}可以既是等差又是等比数列；④{a n}可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由已知可得a n﹣a n﹣1＝2，或a n＝2a n﹣1，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案．解：∵数列{a n}对任意n≥2（n∈N）满足（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n﹣2a n﹣1）＝0，∴a n﹣a n﹣1＝2，或a n＝2a n﹣1，∴①{a n}可以是公差为2的等差数列，正确；②{a n}可以是公比为2的等比数列，正确；③若{a n}既是等差又是等比数列，即此时公差为0，公比为1，由①②得，③错误；④{a n}可以既不是等差又不是等比数列，错误；故选：B．18．若数列{a n}前12项的值各异，且a n+12＝a n对任意的n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{a n}前12项值的数列为（）A．{a3k+1}B．{a4k+1}C．{a5k+1}D．{a6k+1}【分析】对于数列{a n}前12项的值各异，且a n+12＝a n对任意的n∈N*都成立，可知：数列{a n}为周期数列．周期为12，并且数列{a n}前12项的值各异．经过验证：对于数列{a5k+1}，满足要求，而其他A，B，D不满足要求．解：对于数列{a n}前12项的值各异，且a n+12＝a n对任意的n∈N*都成立，可知：数列{a n}为周期数列．周期为12，并且数列{a n}前12项的值各异．对于数列{a5k+1}，对于k＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11时，5k+1分别为：1，6，11，12+4，12+9，12×2+2，12×2+7，12×2+12，12×3+5，12×3+10，12×4+3，12×4+8．经过验证：而其他A，B，D不满足要求．故选：C．三.解答题19．已知函数f （x ）＝﹣a cos2x −√3a sin2x +2a +b （a ≠0），x ∈[0，π2]，值域为[﹣5，1]，求常数a 、b 的值．【分析】首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，其中利用分类讨论思想注意做到灵活应用．解：f （x ）＝﹣a cos2x −√3a sin2x +2a +b （a ≠0），＝﹣2a sin （2x +π6）+2a +b ，由于：x ∈[0，π2]，则：2x +π6∈[π6，7π6]， 得到：sin(2x +π6)∈[−12，1] 所以：当a ＞0时，3a +b ≥﹣2a sin （2x +π6）+2a +b ≥b ，由于函数的值域为[﹣5，1]，所以：{3a +b =1b =−5， 解得：a ＝2，b ＝﹣5，同理：当a ＜0时，解得：a ＝﹣2，b ＝1，故：a ＝2，b ＝﹣5或a ＝﹣2，b ＝1，20．在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出了他们的工资标准：A 公司允诺第一个月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元；B 公司允诺第一年月工资也为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资分别是多少； （2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？【分析】（1）设该人在A 或B 公司连续工作n 年，第n 年的月收入分别为a n ，b n ，分别由等差数列与等比数列的通项公式可得a n ，b n ；（2）设该人在A 或B 公司连续工作10年，工资总收入S ，T ，分别利用等差数列与等比数列的求和公式求出S ，T ，由此推导出选择的公司．解：（1）设该人在A 或B 公司连续工作n 年，第n 年的月收入分别为a n ，b n ，∵A 公司允诺第一年月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元， B 公司允诺第一年月工资为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%， ∴a n ＝8000+500（n ﹣1）＝500n +7500，b n ＝8000×（1+5%）n ﹣1＝8000×1.05n ﹣1．（2）设该人在A 或B 公司连续工作10年，工资总收入S ，T ，则S ＝（8000×10+10×92×500）×12＝1230000（元）， T =8000(1−1.0510)1−1.05×12≈1205769（元）． ∵S ＞T ，∴选择A 公司．21．如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB ＝1，BC ＝2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC ，点P 在边AB 上，设∠MOD ＝θ；（1）若θ＝30°，求三角形铁皮PMN 的面积；（2）求剪下的三角形铁皮PMN 面积的最大值．【分析】（1）求出MN 和P 到MN 的距离，代入面积公式得出答案；（2）用θ表示出MN 和P 到MN 的距离，得出三角形的面积S 关于θ的函数，利用三角变换求出S 的最大值．解：（1）当∠MOD ＝θ＝30°时，MN ＝OM •sin θ+AB =32，∴P 到MN 的距离为OA +OM •cos θ＝1+√32． ∴△PMN 的面积为12×32×(1+√32)=6+3√38． （2）MN ＝1+sin θ，P 到直线MN 的距离为（1+cos θ），∴△PMN 的面积S =12×(1+sinθ)(1+cosθ)=12（1+sin θ+cos θ+sin θcos θ）（0≤θ＜π），设sin θ+cos θ＝t ，则sin θcos θ=t 2−12， ∴S =12（1+t +t 2−12）=t 24+t 2+14=14（t +1）2， ∵t =√2sin （θ+π4），0≤θ＜π，∴﹣1＜t ≤√2，∴当t =√2时，S 取得最大值3+2√24． 22．在xOy 平面上有一点列P 1（a 1，b 1）、P 2（a 2，b 2）、…、P n （a n ，b n ）、…，对每个正整数n ，点P n 位于函数y =1000(a 6)x （0＜a ＜6）的图象上，且点P n 、点（n ，0）与点（n +1，0）构成一个以P n 为顶角顶点的等腰三角形；（1）求点P n 的纵坐标b n 的表达式；（2）若对每个自然数n ，以b n 、b n +1、b n +2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围； （3）设B n ＝b 1b 2…b n （n ∈N *），若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列{B n }的最大项的项数是多少？试说明理由．【分析】（1）由于三角形为等腰三角形，所以点P n （a n ，b n ）在两点（n ，0）与（n +1，0）连线的中垂线上，结合点P n （a n ，b n ）在函数y =1000(a 6)x （0＜a ＜6）的图象上，可得结论．（2）根据函数y =1000(a 6)x （0＜a ＜6）是单调递减，可得对每一个自然数n 有b n ＞b n +1＞b n +2，进而由b n ，b n +1，b n +2为边长能构成一个三角形，可得b n +2+b n +1＞b n ，由此可求a 的取值范围．（3）先确定数列{∁n }是一个递减的等差数列，再根据当∁n ≥0且C n +1＜0时，数列{∁n }的前n 项的和最大，即可得到结论．解：（1）由题意，∵点P n ，点（n ，0）与点（n +1，0）构成一个以P n 为顶点的等腰三角形，∴点P n （a n ，b n ）在两点（n ，0）与（n +1，0）连线的中垂线上，∴a n ＝n +12，∴b n ＝1000（a 6）m +0.5．… （2）∵函数y =1000(a 6)x （0＜a ＜6）递减，∴对每个自然数n ，有b n ＞b n +1＞b n +2，则以b n ，b n +1，b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2b n +1b n ，即（a 6）2+（a 6）﹣1＞0… 解得a ＜﹣﹣3﹣3√5，或a ＞3+3√5，综上：3√5−3＜a ＜6．…（3）∵3√5−3＜a ＜6，a 取（2）中确定的范围内的最小整数， ∴a ＝4，∴b n ＝1000（23）n+12，…∴数列{b n }是一个递减的正数数列，对每个自然数n ≥2，B n ＝b n B n ﹣1， 于是当b n ≥1时，B n ≥B n ﹣1，当b n ＜1时，B n ＜B n ﹣1，因此，数列{B n }的最大项的项数n 满足不等式b n ≥1且b n +1＜1． 由b n ＝1000（23）n+12≥1，∵b 16＞1，b 17＜1，∴B 16 最大．…（16分）23．设递增数列{a n }共有k 项，定义集合A k ＝{x |x ＝a i +a j ，1≤i ＜j ≤k }，将集合A k 中的数按从小到大排列得到数列{b n }；（1）若数列{a n }共有4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝6，写出数列{b n }的各项的值； （2）设{a n }是公比为2的等比数列，且0.5＜a 1＜2，若数列{b n }的所有项的和为4088，求a 1和k 的值；（3）若k ＝5，求证：{a n }为等差数列的充要条件是数列{b n }恰有7项．【分析】（1）由已知中数列{a n }共有4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝6，进而可得数列{b n }的各项的值；（2）设{a n }是公比为2的等比数列，则数列{b n }的所有项的和即a n 中的每一项重复加了k ﹣1次，进而得到答案；（3）若k ＝5，分别证明{a n }为等差数列的充要条件是数列{b n }恰有7项的充分性和必要性，综合可得答案．解：（1）∵集合A k ＝{x |x ＝a i +a j ，1≤i ＜j ≤k }，将集合A k 中的数按从小到大排列得到数列{b n }；若数列{a n }共有4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝6，则b 1＝a 1+a 2＝4，b 2＝a 1+a 3＝5，b 3＝a 1+a 4＝a 2+a 3＝7，b 4＝a 2+a 4＝9，b 5＝a 3+a 4＝10． （2）若{a n }是公比为2的等比数列，则数列{b n }的所有项的和即a n 中的每一项重复加了k ﹣1次，即4088＝（k﹣1）•（2k﹣1）a1，故a1为2的整数次幂，∵0.5＜a1＜2，∴a1＝1，（2k﹣1）（k﹣1）＝4088，k＝9，证明：（3）若k＝5，{a n}为等差数列，则d＞0则数列{b n}也是公差为d的等差数列，最小值为a1+a2＝2a1+d最大值为a4+a5＝2a1+7d，故数列{b n}恰有7项．若数列{b n}恰有7项．则由a1+a2＜a1+a3＜a2+a3＜a2+a4＜a3+a4＜a3+a5＜a4+a5得：{b n}的7项分别为：a1+a2，a1+a3，a2+a3，a2+a4，a3+a4，a3+a5，a4+a5；则由a1+a3＜a1+a4＜a3+a4得：a1+a4＝a2+a3，即a4﹣a3＝a2﹣a1，同理a5﹣a4＝a3﹣a2，a3﹣a2＝a2﹣a1，即{a n}为等差数列．综上可得：{a n}为等差数列的充要条件是数列{b n}恰有7项．。

2018-2019学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知a.b 为常数.若 lim n→∞an 2+bn+42n+3 =1.则a+b=___ ．2.（填空题.3分）已知数列a n = 429−3n .若对任意正整数n 都有a n ≤a k .则正整数k=___ ． 3.（填空题.3分）已知cos （π-α）= 45 .且α为第三象限角.则tanα的值等于___ ． 4.（填空题.3分）将无限循环小数0.1 45•• 化为分数.则所得最简分数为___ ．5.（填空题.3分）已知△ABC 中.内角A.B.C 的对边a.b.c.若a 2=b 2+c 2-bc.bc=4.△ABC 的面积为___ ．6.（填空题.3分）已知数列{a n }满足： a11 +a22 +a33 +⋯+a nn=2n （n∈N*）.设{a n }的前n 项和为S n .则S 5=___ ．7.（填空题.3分）三角方程sin2x=cosx 在[0.π]内的解集为___ ．8.（填空题.3分）将正整数按图放松排列.2019出现在第i 行第j 列.则i+j=___ ．9.（填空题.3分）已知f （x ）=sin （2x+ π3）.若对任意x∈R .均有f （a ）≤f （x ）≤f （b ）.则|a-b|的最小值为___ ．10.（填空题.3分）已知数列{a n }满足（a n+1-a n -3）•（a n+1-2a n ）=0.若a 1=3.则a 4的所有可能值的和为___ ．11.（填空题.3分）如图△ABC 中.∠ACB=90°.∠CAB=30°.BC=1.M 为AB 边上的动点.MD⊥AC .D 为垂足.则MD+MC 的最小值为___ ．12.（填空题.3分）设0＜a ＜1.数列{a n }满足a 1=a.a n+1=a a n .将数列{a n }的前100项从大到小排列得到数列{b n }.若a k =b k .则k 的值为___ ．13.（单选题.3分）设无穷数列{a n }的前n 项和为S n .则“ lim n→∞a n =0”是“ lim n→∞S n =0”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题.3分）若数列{a n }是等比数列.且a n ＞0.则数列b n = √a 1a 2a n n （n∈N *）也是等比数列．若数列{a n }是等差数列.可类比得到关于等差数列的一个性质为（ ） A.b n = a 1a 2a nn是等差数列 B.b n =a 1+a 2+⋯+a nn是等差数列 C.b n = √a 1a 2a n n 是等差数列 D.b n = √a 1+a 2+⋯+a nnn是等差数列 15.（单选题.3分）下列四个函数中.与函数f （x ）=tanx 完全相同的是（ ） A.y=2tanx 21−tan 2x2B.y= 1cotx C.y=sin2x1+cos2x D.y=1−cos2xsin2x16.（单选题.3分）设a n = 1n cos nπ10 .S n =a 1+a 2+…+a n .在S 1.S 2….S 20中.正数的个数是（ ） A.15 B.16 C.8 D.2017.（问答题.0分）已知{a n }为等差数列.且a 1+a 3=8.a 2+a 4=12． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记的{a n }前n 项和为S n .若a 1.a k .S k+2成等比数列.求正整数k 的值．18.（问答题.0分）已知数列{a n }满足：a n +a n+1=4n. （1）若{a n }为等差数列.求{a n }的通项公式； （2）若{a n }单调递增.求a 1的取值范围．19.（问答题.0分）函数f （x ）=6cos 2 ωx2+√3 sinωx -3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示.A 为图象的最高点.B 、C 为图象与x 轴的交点.且△ABC 为正三角形． （Ⅰ）求ω的值及函数f （x ）的值域； （Ⅱ）若f （x 0）=8√35.且x 0∈（- 103，23）.求f （x 0+1）的值．20.（问答题.0分）如图是某神奇“黄金数学草”的生长图．第1阶段生长为竖直向上长为1米的枝干.第2阶段在枝头生长出两根新的枝干.新枝干的长度是原来的 √5−12.且与旧枝成120°.第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干.新枝干的长度是原来的 √5−12.且与旧枝成120°.…….依次生长.直到永远．（ √5 =2.236）（1）求第3阶段“黄金数学草”的高度；（精确到0.01米）（2）求第13阶段“黄金数学草”的所有枝干的长度之和；（精确到0.01米） （3）该“黄金数学草”最终能长多高？（精确到0.01米）21.（问答题.0分）设数列{a n}的前n项和为S n.{a n}满足a1=1.a n+1-a n=d n.n∈N*．（1）若d n=3n.求数列{a n}的通项公式；（2）若d n=4+cos（nπ）.求数列{S n}的通项公式（3）若D={x|x=d n.n∈N*}={1.2}.是否存在数列{d n}使得a17=20.S17=195？若存在.写出{d n}前16项的值.若不存在.说明理由．2018-2019学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知a.b为常数.若limn→∞an2+bn+42n+3=1.则a+b=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【解答】：解：a.b为常数.若limn→∞an2+bn+42n+3=1.可得：a=0.并且limn→∞an2+bn+42n+3= limn→∞b+4n2+3n= b2=1.所以b=2.所以a+b=2．故答案为：2．【点评】：本题考查数列极限的运算法则的应用.考查计算能力．2.（填空题.3分）已知数列a n= 429−3n.若对任意正整数n都有a n≤a k.则正整数k=___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：利用数列的递推关系式没去成数列的最大项.得到k即可．【解答】：解：数列a n= 429−3n.当n逐渐增大到9时.a n取得最大值：2.当n≥10时.a n＜0. 所以对任意正整数n都有a n≤a k.则正整数k=9．故答案为：9．【点评】：本题考查数列的函数的特征.考查分析问题解决问题的能力．3.（填空题.3分）已知cos（π-α）= 45.且α为第三象限角.则tanα的值等于___ ．【正确答案】：[1] 34【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式即可求值得解．【解答】：解：∵cos （π-α）=-cosα= 45 .且α为第三象限角. ∴cosα=- 45 .sinα=- √1−cos 2α =- 35 . ∴tanα= sinαcosα = 34 ． 故答案为： 34 ．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用.考查了转化思想.属于基础题．4.（填空题.3分）将无限循环小数0.1 45••化为分数.则所得最简分数为___ ． 【正确答案】：[1] 855【解析】：0.1 45••=0.1+0.045+0.00045+……=0.1+45×（0.001+0.00001+……）.利用无穷等比数列的求和公式即可得出．【解答】：解：0.1 45•• =0.1+0.045+0.00045+……=0.1+45×（0.001+0.00001+……） =0.1+45× 0.0011−0.01 = 855 ． 故答案为： 855 ．【点评】：本题考查了无穷等比数列的求和公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题． 5.（填空题.3分）已知△ABC 中.内角A.B.C 的对边a.b.c.若a 2=b 2+c 2-bc.bc=4.△ABC 的面积为___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：利用余弦定理表示出cosA.将已知等式变形后代入求出cosA 的值.确定出A 的度数.再由bc 的值.利用三角形面积公式求出三角形ABC 面积即可．【解答】：解：∵△ABC 中.a 2=b 2+c 2-bc.即b 2+c 2-a 2=bc. ∴cosA=b 2+c 2−a 22bc = 12. ∴A=60°. ∵bc=4.∴S △ABC = 12 bcsinA= √3 .故答案为： √3【点评】：此题考查了余弦定理.以及三角形面积公式.熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6.（填空题.3分）已知数列{a n }满足： a 11 +a 22 +a33 +⋯+a nn=2n （n∈N*）.设{a n }的前n 项和为S n .则S 5=___ ． 【正确答案】：[1]130 【解析】： a11 +a22 +a33 +⋯+a nn=2n （n∈N*）.n≥2时. a11 +a 22 +a 33 +……+ an−1n−1 =2n-1（n∈N*）.相减可得 ann =2n-1.即a n =n•2n-1（n≥2）．进而得出结论．【解答】：解： a11 +a22 +a33 +⋯+a nn=2n （n∈N*）. ∴n≥2时. a11+a 22+a 33 +……+a n−1n−1=2n-1（n∈N*）. ∴ an n =2n-1.即a n =n•2n-1（n≥2）．设{a n }的前n 项和为S n .则S 5=2+2×2+3×22+4×23+5×24=130． 故答案为：130．【点评】：本题考查了数列递推关系、求和公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题． 7.（填空题.3分）三角方程sin2x=cosx 在[0.π]内的解集为___ ． 【正确答案】：[1] {π6，π2，5π6} 【解析】：由sin2x=cosx.得2sinxcosx=cosx.则 {2sinx =1cosx ≠0 .或cosx=0.然后解方程即可．【解答】：解：由sin2x=cosx.得2sinxcosx=cosx. ∴ {2sinx =1cosx ≠0.或cosx=0. ∵x∈[0.π].∴x= π6 .或x= 5π6 .或 x =π2 ． 即方程的解集为： {π6，π2，5π6} ． 故答案为： {π6，π2，5π6} ．【点评】：本题考查了三角方程的解法和三角函数求值.属基础题．8.（填空题.3分）将正整数按图放松排列.2019出现在第i 行第j 列.则i+j=___ ．【正确答案】：[1]128【解析】：由归纳推理得：2019为第45行的第2019-1936=83个数.即i=45.j=83.即i+j=128.得解．【解答】：解：设2019在第n行中.则（n-1）2＜2019≤n2.所以n=45.即2019在第45行中.又第44行最后一个数为442=1936.即2019为第45行的第2019-1936=83个数.即i=45.j=83.即i+j=128.故答案为：128．【点评】：本题考查了归纳推理.属中档题．）.若对任意x∈R.均有f（a）≤f（x）≤f（b）.则|a-9.（填空题.3分）已知f（x）=sin（2x+ π3b|的最小值为___ ．【正确答案】：[1] π2【解析】：由已知可知f（a）是f（x）中最小值.f（b）是值域中的最大值.它们分别在最高和最低点取得.它们的横坐标最少相差半个周期.由三角函数式知周期的值.结果是周期的值的一半．【解答】：解：∵对任意x∈R都有f（a）≤f（x）≤f（b）.∴f（a）是最小值.f（b）是最大值；∴|a-b|的最小值为函数的半个周期.∵f（x）=sin（2x+ π）.的周期T=π.3．∴|a-b|的最小值为π2．故答案为：π2【点评】：本题考查了正弦型三角函数的图象即性质的运用.考查了数形结合思想.属基础题．10.（填空题.3分）已知数列{a n}满足（a n+1-a n-3）•（a n+1-2a n）=0.若a1=3.则a4的所有可能值的和为___ ．【正确答案】：[1]69【解析】：由题意可得a n+1=2a n .或a n+1-a n =3.运用等差数列和等比数列的通项公式.计算可得所求和．【解答】：解：（a n+1-a n -3）•（a n+1-2a n ）=0. 可得a n+1=2a n .或a n+1-a n =3. 由a 1=3.可得a 2=6. a 3=12或a 3=9.a 4=24或15或18或12.则a 4的所有可能值的和为24+15+18+12=69． 故答案为：69．【点评】：本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用.考查化简运算能力.属于基础题． 11.（填空题.3分）如图△ABC 中.∠ACB=90°.∠CAB=30°.BC=1.M 为AB 边上的动点.MD⊥AC .D 为垂足.则MD+MC 的最小值为___ ．【正确答案】：[1] 32【解析】：作点C 关于直线AB 的对称点C′.连接AC′.过点C′作C′D⊥AC .垂足为D.则C′D=CM+MD 为最小.求出即可．【解答】：解：作点C 关于直线AB 的对称点C′.连接AC′. 过点C′作C′D⊥AC .垂足为D.C′D 交AB 与点M.此时CM+MD 最小.如图所示； 由对称的定义知AC=AC′.且∠C′AB=∠CAB=30°. ∴∠CAC′=60°.∴△ACC′是等边三角形.且AC= √3 . ∴C′D= √32 AC= √32 × √3 = 32 ； 即MD+MC 的最小值为 32 ．故答案为：32．【点评】：本题考查了点关于直线的对称问题.也考查了数形结合的应用问题.是基础题．12.（填空题.3分）设0＜a＜1.数列{a n}满足a1=a.a n+1=a a n .将数列{a n}的前100项从大到小排列得到数列{b n}.若a k=b k.则k的值为___ ．【正确答案】：[1]67【解析】：计算数列{a n}的前几项.观察规律；结合函数y=a x的单调性.判断数列{a n}前100项的大小关系.进而可求得k的值．【解答】：解：由已知.a1=a.0＜a＜1；并且函数y=a x单调递减；∵ a2=a a1＞a∴a2＞a1∵ a3=a a2＜a a1 .且a3=a a2＞a∴a2＞a3＞a1∵ a4=a a3＞a a2 .且a4=a a3＜a a1∴a2＞a4＞a3＞a1至此.通过观察并结合函数y=a x（0＜a＜1）的单调性.可发现数列{a n}的偶数项总是大于奇数项. 且有a2＞a4＞a6＞…＞a100＞a99＞a97＞…＞a3＞a1；可见若有a k=b k.则一定在后50项中.并满足方程99-2（k-51）=k；解得k=67；故答案为：67．【点评】：本题考查了数列递推式与函数单调性相结合.题型新颖.计算复杂.难度较大．13.（单选题.3分）设无穷数列{a n}的前n项和为S n.则“ limn→∞a n=0”是“ limn→∞S n=0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：B【解析】：根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】：解：无穷数列{a n }的前n 项和为S n .若“ lim n→∞a n =0”则“ lim n→∞S n = lim n→∞(a 1+a 2+⋯an ）= lim n→∞a 1 + lima 2n→∞+…+ lim n→∞a n ”不一定为0；故：“ lim n→∞a n =0”推不出“ lim n→∞S n =0”；若“ lim n→∞S n =0”则： lim n→∞S n = lim n→∞(a 1+a 2+⋯an ）= lim n→∞a 1 + lima 2n→∞+…+ lim n→∞a n =0”.所以“ lim n→∞a n =0”；故：“ lim n→∞S n =0“能推出 lim n→∞a n =0”“ lim n→∞a n =0”是“ lim n→∞S n =0”的必要不充分条件；故选：B ．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．14.（单选题.3分）若数列{a n }是等比数列.且a n ＞0.则数列b n = √a 1a 2a n n （n∈N *）也是等比数列．若数列{a n }是等差数列.可类比得到关于等差数列的一个性质为（ ） A.b n = a 1a 2a nn是等差数列 B.b n =a 1+a 2+⋯+a nn是等差数列 C.b n = √a 1a 2a n n 是等差数列 D.b n = √a 1+a 2+⋯+a nnn是等差数列 【正确答案】：B【解析】：等差数列与等比数列有很多地方相似.因此可以类比等比数列的性质猜想等差数列的性质.因此几何平均数与算术平均数正好与等比数列的二级运算及等差数列的一级运算可以类比.因此我们可以大胆猜想.数列b n = a 1+a 2+⋯+a nn是等差数列．再根据等差数列的定义对猜想进行论证．【解答】：解：类比等比数列的性质.可以得到等差数列的一个性质是： 若数列{a n }是等差数列.则数列b n =a 1+a 2+⋯+a nn是等差数列．故选：B ．【点评】：解答的关键是熟悉类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质.得出一个明确的命题（猜想）． 15.（单选题.3分）下列四个函数中.与函数f （x ）=tanx 完全相同的是（ ） A.y=2tanx 21−tan 2x2B.y= 1cotx C.y= sin2x1+cos2x D.y=1−cos2xsin2x 【正确答案】：C【解析】：根据两个函数的定义域相同.对应关系也相同.即可判断这两个函数是相同函数．【解答】：解：对于A.函数y=2tanx 21−tan 2(x 2) =tanx （x≠ π2+2kπ.且x≠π+2kπ.k∈Z ）.与函数f （x ）=tanx （x≠ π2+kπ.k∈Z ）的定义域不同.不是相同函数； 对于B.函数y= 1cotx =tanx （x≠kπ.k∈Z ）.与函数f （x ）=tanx （x≠ π2 +kπ.k∈Z ）的定义域不同.不是相同函数； 对于C.函数y= sin2x1+cos2x =2sinxcosx 2cos 2x =tanx （x≠ π2 +kπ.k∈Z ）. 与函数f （x ）=tanx （x≠ π2 +kπ.k∈Z ）的定义域相同.对应关系也相同.是相同函数； 对于D.函数y= 1−cos2x sin2x = 2sin 2x 2sinxcosx =tanx （x≠ 12 kπ.k∈Z ）.与函数f （x ）=tanx （x≠ π2 +kπ.k∈Z ）的定义域不同.不是相同函数． 故选：C ．【点评】：本题考查了判断两个函数的相同函数的应用问题.是基础题．16.（单选题.3分）设a n = 1ncos nπ10.S n =a 1+a 2+…+a n .在S 1.S 2….S 20中.正数的个数是（ ） A.15 B.16 C.8 D.20【正确答案】：D【解析】：首先求出函数的周期.结合正弦函数的图象可得前4项为正.第5项为0.由诱导公式可得第6至9项为负.第10项为负.再由f （n ）= 1n 单调递减可得数列的S 1.S 2.….S 10都为正.同理可得S 1.S 2.….S 20均为正．【解答】：解：y=cos nπ10 的周期T=2ππ10=20．a 1=cos π10 ＞0.a 2= 12 cos 2π10 ＞0.…….a 5= 15 cos 5π10 =0. a 6= 16 cos 6π10 ＜0.…….a 10= 110 cos 10π10 ＜0. a 11= 111 cos 11π10 ＜0.…….a 15= 115 cos 15π10 =0. a 16= 116cos16π10 ＞0.…….a 20= 120 cos 20π10＞0． 利用诱导公式：-cos 6π10 =cos 4π10 .-cos 7π10 = 3π10 .…….a 10= 110 cos 10π10 ＜0. 而f （n ）= 1n单调递减.a 6….a 9都为负数.但是|a 6|＜a 1.|a 7|＜a 2.….|a 9|＜a 4. ∴S 1.S 2.….S 5中都为正.而S 6.S 7.….S 10都为正. 同理S 11.S 12.….S 20都为正.可得S 1.S 2….S 20中.正数的个数是20． 故选：D ．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式及其性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题． 17.（问答题.0分）已知{a n }为等差数列.且a 1+a 3=8.a 2+a 4=12． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记的{a n }前n 项和为S n .若a 1.a k .S k+2成等比数列.求正整数k 的值．【正确答案】：【解析】：（1）设数列{a n } 的公差为d.由等差数列的通项公式可得{2a 1+2d =8(a 1+d )+(a 1+3d )=12.解可得a 1与d 的值.代入等差数列的通项公式中即可得答案； （2）由（1）可得a 1与d 的值.代入等差数列的前n 项和公式可得S n =n （n+1）.又由a 1.a k .S k+2成等比数列.可得（a k ）2=2（k+2）（k+3）.解可得k 的值.即可得答案．【解答】：解：（1）根据题意.设数列{a n } 的公差为d. 由题意知 {2a 1+2d =8(a 1+d )+(a 1+3d )=12 .解得a 1=2.d=2.则a n =a 1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n ； （2）由（1）可得a 1=2.a n =2n. 则S n =(a 1+a n )n2=n 2+n=n （n+1）.若a 1.a k .S k+2成等比数列. 则有（a k ）2=2（k+2）（k+3）. 即4k 2=2k 2+10k+12. 变形可得：k 2-5k-6=0. 解可得k=6或k=-1（舍）； 故k=6．【点评】：本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式.关键是求出等差数列的通项公式． 18.（问答题.0分）已知数列{a n }满足：a n +a n+1=4n. （1）若{a n }为等差数列.求{a n }的通项公式； （2）若{a n }单调递增.求a 1的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）{a n }为公差为d 的等差数列.分别令n=1.2.解方程可得d.首项.即可得到所求通项公式；（2）由数列的单调性可得a n+1＞a n .可令n=1.2.即可得到所求首项的范围．【解答】：解：（1）{a n }为公差为d 的等差数列. a n +a n+1=4n.可得a 1+a 2=4.a 2+a 3=8. 相减可得a 3-a 1=2d=4.即d=2. 可得a 1+a 1+2=4.即a 1=1.可得a n =1+2（n-1）=2n-1； （2）{a n }单调递增.可得a n+1＞a n . 即有2a n ＜4n.即a n ＜2n. 若a 1=0.则a 2=a 3不符题意；若a 1＜0.可得a 3=4+a 1＜a 2=4-a 1.不符题意． 可得0＜a 1＜2．【点评】：本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式.以及数列的单调性.考查化简运算能力.属于基础题．19.（问答题.0分）函数f （x ）=6cos 2ωx 2+√3 sinωx -3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示.A 为图象的最高点.B 、C 为图象与x 轴的交点.且△ABC 为正三角形． （Ⅰ）求ω的值及函数f （x ）的值域； （Ⅱ）若f （x 0）=8√35.且x 0∈（- 103，23 ）.求f （x 0+1）的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）将f （x ）化简为f （x ）=2 √3 sin （ωx+ π3 ）.利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f （x ）的值域； （Ⅱ）由 x 0∈(−103，23) .知 π4 x 0+ π3 ∈（- π2 . π2）.由 f (x 0)=8√35.可求得即sin （ π4 x 0+ π3 ）= 45 .利用两角和的正弦公式即可求得f （x 0+1）．【解答】：解：（Ⅰ）由已知可得.f （x ）=3cosωx+ √3 sinωx=2 √3 sin （ωx+ π3 ）. 又正三角形ABC 的高为2 √3 .从而BC=4. ∴函数f （x ）的周期T=4×2=8.即 2πω =8.ω= π4 . ∴函数f （x ）的值域为[-2 √3 .2 √3 ]．（Ⅱ）∵f （x 0）=8√35.由（Ⅰ）有f （x 0）=2 √3 sin （ π4 x 0+ π3 ）=8√35. 即sin （ π4 x 0+ π3 ）= 45 .由 x 0∈(−103，23) .知 π4 x 0+ π3 ∈（- π2 . π2）. ∴cos （ π4 x 0+ π3 ）= √1−(45)2 = 35 ．∴f （x 0+1）=2 √3 sin （ π4 x 0+ π4 + π3 ）=2 √3 sin[（ π4 x 0+ π3 ）+ π4 ]=2 √3 [sin （ π4 x 0+ π3 ）cos π4 +cos （ π4 x 0+ π3 ）sin π4 ] =2 √3 （ 45 × √22 + 35 × √22 ） = 7√65．【点评】：本题考查由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式.着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质.考查分析转化与运算能力.属于中档题．20.（问答题.0分）如图是某神奇“黄金数学草”的生长图．第1阶段生长为竖直向上长为1米的枝干.第2阶段在枝头生长出两根新的枝干.新枝干的长度是原来的 √5−12.且与旧枝成120°.第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干.新枝干的长度是原来的 √5−12.且与旧枝成120°.…….依次生长.直到永远．（ √5 =2.236）（1）求第3阶段“黄金数学草”的高度；（精确到0.01米）（2）求第13阶段“黄金数学草”的所有枝干的长度之和；（精确到0.01米） （3）该“黄金数学草”最终能长多高？（精确到0.01米）【正确答案】：【解析】：找出“黄金数学草”的高度关于n 的关系式.代入f （n ）．【解答】：解：（1）依题意.f （3）=1+ √5−14 +(√5−1)28≈1.50；（2）f （13）=1×(1−(3−√54)7)+√5−14×(1−(3−√54)6)1−3−√54=1.62；（3） lim n→∞f (n )=1−3−√54+√5−141−3−√54．【点评】：本题考查归纳推理.属于中档题．21.（问答题.0分）设数列{a n }的前n 项和为S n .{a n }满足a 1=1.a n+1-a n =d n .n∈N*． （1）若d n =3n .求数列{a n }的通项公式； （2）若d n =4+cos （nπ）.求数列{S n }的通项公式（3）若D={x|x=d n .n∈N*}={1.2}.是否存在数列{d n }使得a 17=20.S 17=195？若存在.写出{d n }前16项的值.若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）若a n+1-a n =d n =3n .利用累加法可得a n -a 1= 3n −32 .进而可得数列{a n }的通项公式；（2）若a n+1-a n =d n =4+cos （nπ）.利用累加法可得a n -a 1= {4(n −1)−1，n 为偶数4(n −1)，n 为奇数 .进而可得数列{S n }的通项公式；（3）若a n+1-a n =d n .D={x|x=d n .n∈N*}={1.2}.可得：{d n }={2.1.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1}满足题意．【解答】：解：（1）若a n+1-a n =d n =3n . 则a 2-a 1=3. a 3-a 2=32. a 4-a 3=33. …… a n -a n-1=3n-1.累加得：a n -a 1= 3×(1−3n−1)1−3=3n −32. 又由a 1=1. ∴a n =3n −12； （2）若a n+1-a n =d n =4+cos （nπ） 则a 2-a 1=4-1. a 3-a 2=4+1. a 4-a 3=4-1. ……a n -a n-1=4+（-1）n . 累加得：a n -a 1= {4(n −1)−1，n 为偶数4(n −1)，n 为奇数.又由a 1=1.∴a n = {4n −4，n 为偶数4n −3，n 为奇数 .则S n = {2n 2−32n ，n 为偶数2n 2−32n +12，n 为奇数 （3）若D={x|x=d n .n∈N*}={1.2}.则存在数列{d n }={2.1.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1}数列{a n }的前17项为{1.3.4.6.7.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20} 满足a 17=20.S 17=195．【点评】：本题考查的知识点是累加法求数列的通项公式.本题涉及新定义.故难度比较大．。

上海交通大学附属中学2017-2018学年度第二学期高一数学期末考试试卷（满分150分，120分钟完成. 答案一律写在答题纸上）命题：刘亚丽 审核：杨逸峰一、 填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1、已知12lim()13n an n n→∞-+=，则____________a = 答案：12、一个等差数列的前4项是1,,,2x a x ，则x 等于________ 答案：23、关于x 、y 的二元线性方程组25,32x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110301，则x y += 答案：44、函数sin y x =和tan y x =的图像在[2,2]ππ-上的交点个数是_______ 答案：55、在数列}{n a 中，1a ＝2，)(1*1N n a a n n ∈=++，设n S 为数列}{n a 的前n 项和，则2019201820172S S S -+的值为答案：3 解：法－当n 为偶数时，114321=+==+=+-n n a a a a a a Λ，故2n S n =当n 奇数时，21=a ，115432=+==+=+-n n a a a a a a Λ，故23212+=-+=n n S n 故201920182017210112100910103S S S -+=-⨯+= 法二由1a ＝2，)(1*1N n a a n n ∈=++，可得()()21n n a n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数故2019201820172019201820182017201920182()3S S S S S S S a a -+=---=-=6、把函数22sin 2cos )(+-=x x x f 的图象沿x 轴向左平移m 个单位（m>0），所得函数的图象关于直线π817=x 对称，则m 的最小值为 答案：4π7、给出下列等式：π2cos 4=，π2cos 8=，π2cos 16=， ……请从中归纳出第n ()n ∈*N2n 个答案：12cos n +π28、等差数列{a n }中，a 1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是第 项．答案：设抽取的是第n 项．∵S 11＝55，S 11－a n ＝40，∴a n ＝15，又∵S 11＝11a 6 a 6＝5．由a 1＝－5，得d ＝21616=--a a ，令15＝－5＋（n －1）×2，∴n ＝119、ABC ∆中，a b c 、、分别为A B C 、、对边，已知,2a c ==，且sin sin 0020cos 01C B b c A -=，则ABC ∆的面积= 。