2020年上海市交大附中高一期中数学试卷及答案(2020.04)

上海交大附中高一上学期期中数学试卷一. 填空题1. 集合{|03}M x x =<≤，{|02}N x x =<≤，则“a M ∈”是“a N ∈” 条件2. 已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，{2,3}B =，则()()U U A C B C A B =3. 函数1()2f x x=-的定义域为 4. 已知集合{|||1,}A x x a x R =-<∈，2{|1,}1x aB x x R x -=<∈+，且A B =∅，则实数a 的取值范围是5. 已知()y f x =，()y g x =是两个定义在R 上的二次函数，其x 、y 的取值如下表所示：则不等式(())0f g x ≥的解集为 6. 关于x 的不等式23208kx kx ++<的解集不为空集，则k 的取值范围为 7. 已知本张试卷的出卷人在公元2x 年时年龄为8x -岁，则出卷人的出生年份是 （假设出生当年的年龄为1岁）8. 若对任意x R ∈，不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是9. 设常数0a >，若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 10. 设函数22220()0x x x f x xx ⎧++≤=⎨->⎩，若(())2f f a =，则a = 11. 若二次函数()y f x =对一切x R ∈恒有2224()245x x f x x x -+≤≤-+成立，且(5)27f =，则(11)f =12. 已知22()(5)22f x a x x =-++，若不等式()f x x >的解集为A ，已知(0,1)A ⊆，则a 的取值范围为二. 选择题13. 设P 、Q 为两个非空实数集，定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{0,2,5}P =，{1,2,6}Q =，则P Q +中元素的个数是（ ）A. 9B. 8C. 7D. 6 14. 不等式(1)(1||)0x x +->的解集是（ ）A. {|01}x x ≤<B. {|0x x <且1}x ≠-C. {|11}x x -<<D. {|1x x <且1}x ≠- 15. 已知三个不等式0ab >，0bc ad ->，0c da b->（其中a 、b 、c 、d 均为实数）， 用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命 题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 16. 设0a >，0b >，则以下不等式中不恒成立的是（ ） A. 11()()4a b a b++≥ B. 3322a b ab +≥ C. 22222a b a b ++≥+≥三. 解答题17. 已知ABC ∆为直角三角形，记其两条直角边长分别为,a b R +∈，记面积为S ，周长为C ，若三角形面积为定值，其周长是否有最值，最大值还是最小值，何时取到，为多少？（结果用S 表示）.18. 已知a R ∈，若关于x 的方程21||||04x x a a ++-+=有实根，求a 的取值范围.19. 阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题. 证明：2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++证：令A =，B =2222112211221122222211()()22a b a b a b a b a b a b AB AB A B A B A B A B =+=⋅+⋅≤+++ 222212122211()22a ab b A B ++=+=，故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++. （1）若1212,,,x x y y R +∈，利用上述结论，证明：21212()()x x y y ++≥；（2）若121212,,,,,x x y y z z R +∈，模仿上述证法并结合（1）的证法，证明：3121212()()()x x y y z z +++≥. （提示：若,,a b c R +∈，有3333a b c abc ++≥）20. 公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混 合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结 果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合 后结果不发生改变.（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性， 则再在该分组内逐个检测排査，设每个组x 个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排査的方法并不是很好， 或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排査，仍然考虑最坏的 情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行 若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案.21. 函数21()2f x ax x c =-+（,a c R ∈），满足(1)0f =，且()0f x ≥在x R ∈时恒成立. （1）求a 、c 的值； （2）若231()424b h x x bx =-+-，解不等式()()0f x h x +<； （3）是否存在实数m ，使函数()()g x f x mx =-在区间[,2]m m +上有最小值5-？若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由.参考答案一. 填空题1. 必要非充分2. {1,3}3. [1,2)(2,)-+∞ 4. 若2a ≤-5. {|1x x ≤}或{|3}x x ≥6. 3k >或0k <7. 1989年8. [1,1]-9. 15a ≥(,[2,)-∞+∞二. 选择题13. B 14. D 15. D 16. B三. 解答题17. 当a b=时，min C =+18. 1[0,]4. 19. 略.20.（1）45人；（2）第一次每组159人，第二次每组13人；（3）略.21.（1）14a c ==；（2）11(,)2211(,)2212b b x b b b ⎧<⎪⎪⎪∈>⎨⎪⎪∅=⎪⎩；（3）3m =-或1m =.。

上海市交大高一下学期期中考试数学试题（满分100分，90分钟完成。

答案一律写在答题纸上）一、填空题（每题3分）1、 若1sincos225αα-=，则sin α=_________。

2、 函数tan(2)3=-y x π的周期为_________。

3、 如果tan csc 0αα⋅<，那么角α的终边在第____________象限。

4、 若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积为______ cm 25、 方程|sin |1x =的解集是_________________。

6、222cos cos (120)cos (240)θθθ++︒++︒的值是________。

7、 若2sin()3αβ+=，1sin()5αβ-=，则tan tan αβ=__________。

8、 设0<α<π，且函数f(x)=sin(x+α)+cos(x -α)是偶函数，则α 的值为_________。

9、 等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的大小为_____________。

（结果用反三角表示）。

10、 设函数f(x)是以2为周期的奇函数，且2()75f -=，若sin α，则(4cos2)f α的值为___________________。

11、 设tan α和tan β是方程mx 2+(2m -3)x+m -2=0的两个实根，则tan(α+β)的最小值为______________。

12、 下列命题：①终边在坐标轴上的角的集合是{α∣2=k πα，k ∈Z}；②若2sin 1cos =+x x ，则tan2x 必为12；③0≠ab ，sin cos ),()+=+<a x b x x ϕϕπ中，若0>a ，则arctan=ba ϕ；④函数1sin()26y x π=-在区间[3π-，116π]上的值域为[，2]；⑤方程sin(2)03x a π+-=在区间[0，2π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则126x x π+=。

交大附中高一期中数学试卷一. 填空题1. 若52arcsin 243x π-=（），则x =2. 在公差d 不为零的等差数列{}n a 中，617a =，且3a 、11a 、43a 成等比数列，则d =3. 已知等比数列{}n a 中，0n a >，164a a =，则22232425log log log log a a a a +++=4. 前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是5. 在△ABC 中，2220a b mc +-=（m 为常数），且cos cos cos sin sin sin A B CA B C+=，则m 的值是= 6. 已知等比数列{}n a 的各项都是正数，n S 为其前n 项和，若48S =，824S =，则16S = 7. 已知函数()3sin 4cos f x x x =+，12,[0,]x x π∈，则12()()f x f x -的最大值是 8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，ABC ∠平分线交AC 于点D ，且22BD =，则4a c +的最小值为9. 已知数列{}n a 的前n 项和2212n S n n =-，数列{||}n a 的前n 项和n T ，则nT n的最小值是 10. 在等差数列{}n a 中，若10100S =，100910S =，110S = 11. 设函数|sin |0()20xx x f x x <⎧=⎨≥⎩，函数2lg()0()0x x g x x x -<⎧=⎨≥⎩，则方程()()f x g x =根的 数量为 个12. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且7362n n S n T n +=+，则使得 2kka b 为整数的正整数k 有 个 13. 设等差数列{}n a 的各项都是正数，公差为d ，前n 项和为n S ，若数列{}n S 也是公差为d 的等差数列，则{}n a 的前6项和为14. 若等差数列{}n a 满足22120110a a +≤，则201202203401M a a a a =++++L 的最大值为二. 选择题15. 已知数列{}n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则28cos()a a +的值为（ ） A. 12- B. 32- C. 12D. 3216. △ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若6a =，23b =，B 、A 、C 成等差数列，则B =（ ） A.6π B. 56π C. 6π或56π D. 23π17. 若等差数列{}n a 和{}n b 的公差均为(0)d d ≠，则下列数列中不为等差数列的是（ ） A. {}n a λ（λ为常数） B. {}n n a b + C. 22{}n n a b - D. {}n n a b ⋅18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若15a =，24b =，60A =︒，则这样的三角形解的个数为（ ）A. 1B. 2C. 0D. 不确定 19. 已知函数()2tan()23f x x ππ=-+，下列说法中错误的是（ ） A. 函数()f x 的定义城是1{|2,}3x x k k ≠+∈ZB. 函数()f x 图象与直线123x k =+，k ∈Z 没有交点C. 函数()f x 的单调增区间是51(2,2)33k k -++，k ∈ZD. 函数()f x 的周期是220. 函数cos(2)3y x π=+，[0,]2x π∈的值域为（ ）A. [0,1]B. 1[1,]2-C. 31[]2D. 11[,]22-21. 函数sin y x =，3[,]22x ππ∈的反函数是（ ）A. arcsin y x =，[1,1]x ∈-B. arcsin y x =-，[1,1]x ∈-C. arcsin y x π=+，[1,1]x ∈-D. arcsin y x π=-，[1,1]x ∈- 22. 在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且2244S b c =+-，2a =，则△ABC 的外接 圆的面积为（ ） A.4π B. 2πC. 2πD. 4π 23. 已知曲线1:cos C y x =，22:sin(2)3C y x π=+，则下面结论正确的是（ ）A. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个 单位，得到曲线2CB. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π 个单位，得到曲线2CC. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个 单位，得到曲线2CD. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个 单位，得到曲线2C24. 已知()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>，02πϕ<<）的图象关于直线6x π=对称，若存在12,x x ∈R ，使得对于任意的x 都有12()()()f x f x f x ≤≤，且12||x x -的最小值为2π，则ϕ 等于（ ） A.12π B. 6π C. 4πD. 3π25. 若等比数列{}n a 的前n 项和3(2)n n S m =+，则22212n a a a +++=L （ ） A. 413n - B. 41n - C. 3(41)n - D. 无法确定26. 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为4，其前n 项和为n S ，则数列1{}nS 的前n 项和为（ ） A.2(1)n n + B. 12(1)n n + C. 2(1)n n + D. 2(1)nn +27. 已知函数()f x 是定义在R 上的单调递减函数，且()f x 为奇函数，数列{}n a 是等差数列，1580a >，则123313314315()()()()()()f a f a f a f a f a f a ++++++L 的值（ ）A. 恒为负数B. 恒为正数C. 恒为0D. 可正可负 28. 已知函数()sin cos f x a x x =+的一条对称轴为11x π=，则函数()sin cos g x x a x =-的一条对称轴可以为（ ） A. 922x π=B. 1322x π=C. 1011x π=D. 1311x π= 29. 《周碑算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，已知一丈为十尺，一尺为十寸．问芒种日影长为（ ） A. 一尺五寸 B. 二尺五寸 C. 三尺五寸 D. 四尺五寸 30. 已知等差数列{}n a 、{}n b ，其前n 项和分别为n S 、n T ，2331n n a n b n +=-，则1111S T =（ ）A.1517 B. 2532C. 1D. 231. 已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在m *∈N 满足29m m S S =，2511m m a m a m +=-，则 数列{}n a 的公比为（ ） A.2 B. 2 C. 22 D. 432. 已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A. 若120a a +>，则130a a +> B. 若130a a +>，则120a a +> C. 若10a >，则20210S > D. 若10a >，则20200S >33. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，给出下列结论：① 01q <<；② 2019202110a a ->；③ 2019T 是数列{}n T 中的最大项；④ 使1n T >成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（ ）A. ①②B. ①③C. ①③④D. ①②③④ 34. 对于无穷数列{}n a ，给出下列命题：① 若数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列，则数列{}n a 是常数列； ② 若等差数列{}n a 满足||2020n a ≤，则数列{}n a 是常数列； ③ 若等比数列{}n a 满足||2020n a ≤，则数列{}n a 是常数列；④ 若各项为正数的等比数列{}n a 满足12020n a ≤≤，则数列{}n a 是常数列． 其中正确的命题个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 三. 解答题35. 已知函数()(|sin ||cos |)4sin 29f x a x x x =+++，满足9()13924f π=-. （1）求a 的值；（2）求()f x 的最小正周期；（3）是否存在正整数n ，使得()0f x =在区间[0,)4n π内恰有2020个根，若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由.36. 已知数列{}n a 、{}n b ，前n 项和分别记为n S 、n T .（1）若{}n a 、{}n b 都是等差数列，且满足2n n b a n -=，4n n T S =，求30S ； （2）若{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，2n n b a n -=，11a =，求30T ；（3）数列{}n a 、{}n b 都是等比数列，且满足3n ≤时，2n n b a n -=，若符合条件的数列{}n a 唯一，则在数列{}n a 、{}n b 中是否存在相等的项，即(,)k l a b k l *=∈N ，若存在请找出所有对应相等的项，若不存在，请说明理由.。

上海交通大学附属中学2020学年度第二学期高一数学期终试卷（满分100分，90分钟完成，答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共计36分）1、已知m >0时)1lg()10lg(10mm x +=，则x 的值为_____________； 2、设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1[)](1[11=+⋅+--b fa f，则b a +的值为__________；3、已知f (x )是定义域为｛x |x ∈R 且x ≠0｝的偶函数，在区间（0，+∞）上是增函数，若 f (1)< f (lg x ) ，则x 的取值范围是_______________；4、已知A 、B 为两个锐角，且1tan tan tan tan ++=⋅B A B A ，则cos （A +B ）的值是______；5、已知钝角α的终边经过点P （θ2sin ，θ4sin ），且21cos =θ，则α的值为____________； 6、电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数I=)20,0,0)(sin(πϕωϕω<<>>+⋅A t A 的图象如图所示，则当501=t 秒时，电流强度是 安； 7、将函数x x f y sin )(=的图象向右平移4π个单位后，再作关于x 轴对称的曲线，得到函数x y 2sin 21-=，则()f x 是_____； 8、函数)arccos(2x x y -=的值域为______； 9、曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则 | P 2P 4 | 等于______；10、△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边。

如果a 、b 、c 成等差数列，30B ∠=o，△ABC 的面积为23，那么b =______； 11、根据右边的框图，请写出所打印数列的全部项的 和_____；12、已知等比数列{a n }及等差数列{b n }，其中b 1=0，公差0≠d 。

10．在锐角 中， ， ，则 的取值范围为____________.
11．函数 的值域是_______
12．设函数 ，其中 、 为已知实常数， .
下列所有正确命题的序号是____________．
①若 ，则 对任意实数 恒成立；
②若 ，则函数 为奇函数；
③若 ，则函数 为偶函数；
④当 时，若 ，则 .
17．在 ，角A，B，C所对的边分别为 ，b，c，已知 ， ，且 .
（1）当 ， 时，求 ，c的值；
（2）若B为锐角，求实数 的取值范围.
18．已知函数 ， .
（1）若直线 是函数 的图像的一条对称轴，求 的值；
（2）若 ，求 的值域.
19．如图，摩天轮上一点P在时刻t（单位:分钟)距离地面的高度y(单位:米)满足 ，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处.
5．函数 的单调递增区间是________
6．已知 ，将 从小到大排列___________
7．若 是偶函数,则有序实数对( )可以
是.
8．若函数 的图像与直线 有且仅有四个不同的交点，则 的取值范围是______
9．将 图像上所有点向右平移 个单位，再把所得的图像上各点横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），这样得到的图像对应的函数解析式为________
本题考查余弦定理的应用，考查基本运算求解能力，属于基础题．
4．
【分析】
利用诱导公式化简所给的式子，即可得答案．
【详解】
因为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查诱导公式应用，求解时注意函数名和符号问题，属于基础题．
5．
【分析】

上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高一数学期中考试试卷(满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上)一、填空题(本大题共14题，每题4分，满分56分)1、若52arcsin(2),43xπ-=则x=____.2、在公差d不为零的等差数列{}n a中，617,a=且31143,,a a a成等比数列,则d=____3、已知等比数列{}n a中，160,4,na a a>=则22232425log log log loga a a a+++=____4、前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是____5、在△ABC中，2220a b mc+-=(m为常数)，且cos cos cos,sin sin sinA B CA B C+=则m的值是____6、已知等比数列{}n a的各项都是正数,n S为其前n项和,若488,24,S S==则16S=___7、已知函数f(x)=3sinx+4cosx12,[0,],x xπ∈则12()()f x f x-的最大值是_____8、在△ABC中,角A、B、C所对应边分别为a、b、c，∠ABC=90°,∠ABC的平分线交AC于点D,且22,BD=则a+4c的最小值为____9、已知数列{}n a的前n项和2212,nS n n=-数列{||}na的前n项和,nT则nTn的最小值____10、在等差数列{}n a中,若10100110100,910,S S S===___11、设函数|sin|,0(),2,0xx xf xx<⎧=⎨≥⎩函数2lg(),0(),0x xg xx x-<⎧=⎨≥⎩则方程f(x)=g(x)根的数量为___个.12、已知两个等差数列{}n a和{}n b的前n项和分别为n S和,n T且736,2nnS nT n+=+则使得2kkab为整数的正整数k有_____个.13、设等差数列{}n a的各项都是正数,公差为d,前n项和为,n S若数列{}n S也是公差为d的等差数列,则{}na的前6项和为_____14、若等差数列{}n a满足22120110,a a+≤则201202203401M a a a a=++++L的最大值为_____二、选择题(本大题共20题，每题3分，满分60分)15、已知数列{}n a为等差数列,若1598,a a aπ++=则28cos()a a+的值为()1.2A -.2B -1.2C2D16、△ABC 的内角A,B,C 所对应边分别为a,b,c 若a 6,,b B A ==，C 成等差数列,则B=().6A π5.6B π.6C π或56π2.3D π 17、若等差数列{}{}n n a b 和的公差均为d(d≠0),则下列数列中不为等差数列的是().{}n A a λ(λ为常数) .{}n n B a b +22.{}n n C a b -.{}n n D a b ⋅18、在△ABC 中,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c,若a=15,b=24,A=60°,则这样的三角形解的个数为()A.1B.2C.0D.不确定19、已知函数()2tan().23f x x ππ=-+下列说法中错误的是()A.函数f(x)的定义域是1{|2,}3x x k k Z ≠+∈ B.函数f(x)图象与直线12,3x k =+k ∈Z 没有交点 C.函数f(x)的单调增区间是51(2,2),33k k k -++∈Z D.函数f(x)的周期是2 20、函数cos(2),[0,]32y x x ππ=+∈的值域为()A.[0,1]1.[1,]2B -1.[]22C -11.[,]22D -21、函数y=sinx,3[,]22x ππ∈的反函数是()A.y=arcsinx,x ∈[-1,1]B.y=-arcsinx,x ∈[-1,1]C.y=π+arcsinx,x ∈[-1,1]D.y=π-arcsinx,x ∈[-1,1]22、在△ABC 中,若△ABC 的面积为S,且2244,S b c =+-a=2,则△ABC 的外接圆的面积为()4Aπ.2B πC.2πD.4π23、已知曲线122:cos ,:sin(2),3C y x C y x π==+则下面结论正确的是() A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6π个单位,得到曲线2C B.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12π个单位,得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移12π个单位,得到曲线2C D.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12π个单位,得到曲线2C 24、已知()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象关于直线6x π=对称,若存在12,,x x R ∈使得对于任意x 都有12()()(),f x f x f x ≤≤且12||x x -的最小值为,2π则φ等于().12A π.6B π.4C π.3D π25、若等比数列{}n a 的前n 项和3(2),nn S m =+则22212n a a a +++=L () 41.3n A - B.4n -1.3(41)n C -D.无法确定26、已知等差数列{}n a 的首项为4,公差为4,其前n 项和为,n S 则数列1{}nS 的前n 项和为() .2(1)nA n +1.2(1)B n n +2.(1)C n n +2.1nD n + 27、已知函数f(x)是定义在R 上的单调递减函数,且f(x)为奇函数,数列{}n a 是等差数列,1580,a >则123313314315()()()()()()f a f a f a f a f a f a ++++++L 的值()A.恒为负数B.恒为正数C.恒为0D.可正可负28、已知函数f(x)=asinx+cosx 的一条对称轴为,11x π=则函数g(x)=sinx-acosx 的一条对称轴可以为()9.22A x π=13.22B x π=10.11C x π=13.11D x π=29、《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，已知一文为十尺，一尺为十寸.问芒种日影长为()A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸30、已知等差数列{},{},n n a b 其前n 项和分别为23,,,31n n n n a n S T S n +=-则1111ST =() 15.17A25.32B C.1D.231、已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若存在m ∈N *满足22519,1m m m m S a m S a m +==-，则数列{}n a 的公比为()B.2CD.432、已知数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为,n S 则下列结论正确的是() A.若120,a a +>则130a a +> B.若130,a a +>则120a a +> C.若a>0,则20210S >D.若10,a >则20200S >33、设等比数列{}n a 的公比为q,其前n 项之积为,n T 并且满足条件:2019120192020202011,1,0,1a a a a a ->><-给出下列结论:①02019202120191;10;q a a T <<->②③是数列{}n T 中的最大项;④使1n T >成立的最大自然数等于4039;其中正确结论的序号为()A.①②B.①③C.①③④D.①②③④34、对于无穷数列{},n a 给出下列命题:①若数列{}n a 既是等差数列,又是等比数列,则数列{}n a 是常数列. ②若等差数列{}n a 满足||2020,n a ≤则数列{}n a 是常数列. ③若等比数列{}n a 满足||2020,n a ≤则数列{}n a 是常数列.④若各项为正数的等比数列{}n a 满足12020,n a ≤≤则数列{}n a 是常数列. 4.1B.2C.3D.4三、解答题(本大题共2题，满分34分)35、(本题满分16分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题6分) 已知函数f(x)=a(|sinx|+|cosx|)+4sin2x+9,满足9()134f π=- (1)求a 的值;(2)求f(x)的最小正周期;(3)是否存在正整数n,使得f(x)=0在区间[0,)4n π内恰有2020个根.若存在,求出n 的值,若不存在,请说明理由.36、(本题满分18分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分) 已知{},{},n n a b 前n 项和分别记为,.n n S T(1)若{},{}n n a b 都是等差数列，且满足2,4,n n n n b a n T S -==求30S ； (2)若{}n a 是等比数列,{}n b 是等差数列,1302,1,n n b a n a T -==求(3)数列{},{}n n a b 都是等比数列,且满足n≤3时,2,n n b a n -=若符合条件的数列{}n a 唯一,则在数列{}n a 、{}n b 中是否存在相等的项,即*1(,),k a b k l N =∈若存在请找出所有对应相等的项,若不存在,请说明理由.。

上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高一数学期中考试试卷（满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分） 1.若52arcsin(2),43x π-=则x =____.【答案】2 【解析】 【分析】由反三角函数的定义得5sin (2)64x π=-，即可求解x . 【详解】由题意，52arcsin(2)43x π-=，所以5arcsin(2)46x π-=，由反三角函数的定义，5sin 264x π=-，即15224x =-，解得2x =. 故答案为：2【点睛】本题主要考查反三角函数的应用，属于基础题. 2.在公差d 不为零的等差数列{}n a 中，617,a =且31143,,a a a 成等比数列，则d =____【答案】3 【解析】 【分析】由数列{}n a 是等差数列得61517a a d =+=，由31143,,a a a 成等比数列，所以234311a a a =，联立两式求出1a 和d 即可.【详解】由题意，数列{}n a 是等差数列，所以61517a a d =+=①， 又31143,,a a a 成等比数列，所以234311a a a =，即()()()211124210a d a d a d ++=+②， 联立①②式，解得，12a =，3d =. 故答案为：3【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和等比中项的应用，考查学生计算能力，属于基础题.3.已知等比数列{}n a 中，160,4,n a a a >=则22232425log log log log a a a a +++=____【答案】4 【解析】 【分析】由对数的运算性质，()2223242522345log log log log log a a a a a a a a +++=，再由等比数列的下标性质，1623454a a a a a a ===，即可得到答案.【详解】由对数的运算性质，()2223242522345log log log log log a a a a a a a a +++=， 由等比数列下标性质，1623454a a a a a a ===， 所以()222425234lo log g 4log 24a a a a ===，即22232425log log log log 4a a a a +++=. 故答案为：4【点睛】本题主要考查等比数列的性质和对数的运算性质，属于基础题. 4.前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是______. 【答案】765 【解析】 【分析】前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列，利用求和公式即可得出.【详解】解：前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列.令()100271n =+-，解得15n =.∴前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和为()1521007652⨯+=.故答案为：765.【点睛】本题考查了等差数列的求和，重点考查了等差数列的定义，属基础题.5.在ABC ∆中，2220a b mc +-=（m 为常数），且cos cos cos sin sin sin A B CA B C+=，则m 的值是______. 【答案】3 【解析】 【分析】由已知等式可得2sin sin sin cos C A B C =，再由正弦定理将角化边得到2cos c ab C =，最后由余弦定理求出cos C 代入化简，即可求出参数的值. 【详解】解：cos cos cos sin sin sin A B CA B C+= ()cos sin cos sin sin sin sin cos A B B A C A B C ∴+= ()sin sin sin sin cos A B C A B C ∴+=2sin sin sin cos C A B C ∴=由正弦定理可得2cos c ab C =①根据余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=②由①②得2223a b c += 又因为2220a b mc +-= 所以3m = 故答案为：3【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于基础题. 6.已知等比数列{}n a 的各项都是正数，n S 为其前n 项和，若488,24,S S ==则16S =___【答案】120 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，利用等比数列求和公式分别表示出4S 和8S ，再计算16S 即可.【详解】由题意，设等比数列{}n a 的公比为()0q q >且1q ≠，则()441811a q S q--==，()8814112a q Sq-=-=，所以48413S q S =+=，解得42q =， 又()41118a q q--=，所以181a q=--， ()()16141618121201a q S q-==-⨯-=-.故答案为：120【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查学生的计算能力，属于基础题. 7.已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是________． 【答案】9 【解析】 【分析】先将函数()f x 转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数()f x 在区间[]0,π上的最大值和最小值，从而得出结果．【详解】由题意可得：()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．由[0,]x π∈，[,]x ϕϕπϕ+∈+，3,2ππϕπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 4()5sin()5sin 545min f x πϕϕ∴=+=-=-⨯=-，()5sin 52max f x π==， 当12,[0,]x x π∈时，()()()12()5)49(max min f x f x f x f x -=-=--=． 故答案为：9【点睛】本题考查了三角函数的恒等变化，以及正弦函数图象的性质，正弦函数的最值，把函数化简()()5sin f x x ϕ=+是解题的关键，属于中档题．8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，∠ABC =90°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且22,BD =则a +4c 的最小值为____【答案】18 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式找到a 和c 的关系，再结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】根据题意，90ABC ∠=，所以12ABC S ac =△， 因为BD 是ABC ∠的平分线，所以45ABD CBD ∠=∠=， 由三角形面积公式，112sin 22222ABDSBD c ABD c c =⨯⨯⨯∠=⨯⨯=， 112sin 22222CBDSBD a CBD c a =⨯⨯⨯∠=⨯⨯=， 因为ABCABD CBD S SS=+，所以12ac a c =+， 化简得，221a c+=， 所以()222828*********a c a c a c a c a c c a c a ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当28a cc a=，即2a c =，即6a =，3c =时，等号成立， 故答案为：18【点睛】本题主要考查三角形面积公式的应用和基本不等式求最值的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.9.已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____ 【答案】5 【解析】由n S 和1n S -的关系求出数列{}n a 的通项公式，再根据正负表示出数列{||}n a 的通项公式为144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，求出n T ，并表示出n T n ，再分别求出13n ≤≤和4n ≥时的最小值，即可判断nT n的最小值. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和2212n S n n =-()n N*∈，所以1121210a S ==-=-，当2n ≥时，()()12221221121414n n n n n n n S n a S -⎡⎤-----=-⎣⎦=-=，当1n =时，1411410a ⨯-=-=， 所以414n a n =-，当13n ≤≤时，0n a <，当4n ≥时，0n a >，所以144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，数列{||}n a 的前n 项和n T ，所以22212,1321236,4n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨-+≥⎩，当13n ≤≤时，212n T n n =-+，当3n =时，n Tn 的最小值为6； 当4n ≥时，36212n n T n n=+-， 由对勾函数的性质，当4n =时，n Tn有最小值5；综上所述，n Tn的最小值为5故答案为：5【点睛】本题主要考查由n S 求数列通项公式的求法、等差数列前n 项和公式、对勾函数的应用，是一道综合性很强的题目，考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题. 10.在等差数列{}n a 中，若10100110100,910,S S S ===___【答案】990【分析】由等差数列前n 项和公式，利用1a 、d 来表示10S 和100S ，求出1a 和d ，再计算110S 即可. 【详解】由题意，设数列{}n a 公差为d ， 由等差数列前n 项和公式，101109101002S a d ⨯=+=， 1100109099100021a S d ⨯==+，解得，11009100a =，150d =-，所以11010091101091110990100250S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为：990【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，考查学生计算能力，属于基础题.11.设函数sin ,0(),2,0x x x f x x ⎧<=⎨≥⎩函数2lg(),0(),0x x g x x x -<⎧=⎨≥⎩则方程f （x ）=g （x ）根的数量为___个. 【答案】7 【解析】 【分析】作函数()f x 和()g x 的图象，利用数形结合的方法求解即可.【详解】由题意，作函数sin ,0()2,0x x x f x x ⎧<=⎨≥⎩和2lg(),0(),0x x g x x x -<⎧=⎨≥⎩的图象，当0x <时，0sin 1x ≤≤，()lg 101--=⎡⎤⎣⎦，所以10x <-时，()f x 和()g x 没有交点，100x -<<时，结合图像，()f x 和()g x 有5个交点；当0x ≥时，()2x f x =和2()g x x =有两个交点，分别为()2,4和()4,16；所以()()f x g x =根的数量为7个. 故答案为：7【点睛】本题主要考查方程的根的求法，涉及分段函数的表示，考查学生数形结合的能力，属于中档题.12.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和,n T 且736,2n n S n T n +=+则使得2k ka b 为整数的正整数k 有_____个. 【答案】3 【解析】 【分析】由等差数列前n 项和公式和7362n n S n T n +=+，设出n S ，求出n a ，设出n T ，求出n b ，再得到2k ka b 的表达式，即可求出2kka b 为整数的正整数k 的个数.【详解】由7362n n S n T n +=+，设()736n S mn n =+， 当1n =时，1143S a m ==，当2n ≥时，()11429n n n a S S m n -=-=+，1143S a m ==符合上式，所以()11429n n n a S S m n -=-=+；设()2n T mn n =+， 当1n =时，113T b m ==，当2n ≥时，()121n n n b T T m n -=-=+，113T b m ==符合上式，所以()121n n n b T T m n -=-=+；则()()2282915142121k k m k a b m k k +==+++， 当1,2,7k =时，2k ka b 为整数，所以使得2kka b 为整数的正整数k 有3个.故答案为：3【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.13.设等差数列{}n a 的各项都是正数，公差为d ，前n 项和为,n S若数列也是公差为d 的等差数列，则{}n a 的前6项和为_____ 【答案】9 【解析】 【分析】由题意，等差数列的前n 项和公式()112n n n S na d -=+，由数列为等差数列，表示出数列()1n d =-，联立两式求解出1a 和d ，即可计算{}n a 的前6项和.【详解】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n S na d -=+，又数列()1n d =-，所以)()22111n S a n d n d =+-+-，所以)()()22111112n n a n d n d na d -+-+-=+， 解得，()2112na n d d =-+-， 当2n =时，21a d d =+-，当3n =时，21322a d d =+-，联立两式，解得114a =，12d =， 所以{}n a 的前6项和6165169422S ⨯=⨯+⨯= 故答案为：9【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用和前n 项和公式，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.14.若等差数列{}n a 满足22120110,a a +≤则201202203401M a a a a =++++的最大值为_____【答案】1000 【解析】 【分析】由题意，()221120010a a d ++≤，令1x a =，1200y a d =+，则公差200y xd -=，再由等差数列前n 项和公式得301200a M =，则3011322a x y =-+，当301a 取最大值时，直线301320x y a -+=与圆相切，由点到直线的距离公式求出301a 的最大值，即可求出M 的最大值.【详解】由题意，22120110a a +≤，即()221120010a a d ++≤，令1x a =，1200y a d =+，则等差数列{}n a 的公差200y xd -=， 则()2014012012022301034012002002a a M a a a a a+⨯===++++，30111330030020022y x a a d x x y -=+=+⨯=-+，即301320x y a -+=， ()221120010a a d ++≤为半径的圆内（包含圆周）， 所以301a 取最大值时，直线301320x y a -+=与圆相切，=301a 的最大值为5，所以max 20051000M =⨯=. 故答案为：1000【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和公式的应用、直线与圆的位置关系，考查学生分析转化能力，综合性较强，属于难题.二、选择题（本大题共20题，每题3分，满分60分）15.已知数列{}n a 为等差数列，若1598a a a ++=π，则()28cos a a +的值为（ ） A. -12B. C.12【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可知,1952a a a += ,求出5a ,再由2852a a a +=即可求解. 【详解】∵数列{}n a 为等差数列，1598a a a ++=π， ∴由等差数列的性质可得,1952a a a +=， 所以538a π=，即583a π=, 因为2852a a a +=,所以28163a a π+=， ∴281621cos()cos cos 332a a ππ+===-. 故选：A【点睛】本题考查等差数列的性质和三角函数的诱导公式;属于基础题. 16.ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c若6,a b ==，,,B A C 成等差数列，则B =（ ） A.6πB.56πC.6π或56π D.23π【答案】A 【解析】 【分析】B ，A ，C 成等差数列，可得2A ＝B +C ＝π﹣A ，解得A ．利用正弦定理可得sin B bsinAa=，即可得出．【详解】∵B ，A ，C 成等差数列，∴2A ＝B +C ＝π﹣A ， 解得A 3π=．则sinB1332sinbsinAaπ===， 又a ＞b ，∴B 为锐角． ∴B 6π=．故选：A ．【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数求值、等差数列的性质、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.若等差数列{}n a 和{}n b 的公差均为()0d d ≠，则下列数列中不为等差数列的是（ ） A. {}n a λ（λ为常数） B. {}n n a b + C. {}22n n a b - D. {}n n a b ⋅【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的定义对选项逐一进行判断，可得出正确的选项. 【详解】数列{}n a 和{}n b 是公差均为()0d d ≠的等差数列，则()11n a a n d +-=，()11n b b n d =+-，11n n a b a b ∴-=-.对于A 选项，()11n n n n a a a a d λλλλ++-=-=，数列{}n a λ（λ为常数）是等差数列； 对于B 选项，()()()()11112n n n n n n n n a b a b a a b b d +++++-+=-+-=，数列{}n n a b +是等差数列； 对于C 选项，()()()()222222221111n n n n n n n n ab a b a a b b ++++---=---()()()()()()111111112n n n n n n n n n n n n a a a a b b b b d a b a b d a b ++++++=-+--+=-+-=-，所以，数列{}22n n a b -是等差数列；对于D 选项，()()()211n n n n n n n n n n a b a b a d b d a b d d a b ++-=++-=++，不是常数，所以，数列{}n n a b 不是等差数列. 故选：D .【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式，注意等差数列定义的应用，考查推理能力，属于中等题.18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若15a =，24b =，60A =︒，则这样的三角形解的个数为（ ） A. 1B. 2C. 0D. 不确定【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理求出sin B 即可判断出解的个数 【详解】因为15a =，24b =，60A =︒所以由正弦定理得：sin sin a b A B= 即1524sin 60sin B=︒解得sin 1B =>，故无解 故选：C【点睛】本题考查的是正弦定理的运用，较简单. 19.已知函数()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭.下列说法中错误的是（ ）A. 函数()f x 的定义域是12,3x x k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.B. 函数()f x 图象与直线12,3x k k Z =+∈没有交点C. 函数()f x 的单调增区间是5232,3,1k k k Z ⎛⎫-++∈⎪⎝⎭D. 函数()f x 的周期是2 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的性质逐个判定即可. 【详解】对A,()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域满足122323x k x k ππππ+≠+⇒≠+,k Z ∈. 故A 正确.对B,由A 可知B 正确. 对C, ()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递增区间即tan 23x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭的单调递减区间.即3,2232k x k k Z ππππππ+<+<+∈,化简得1722,33k x k k Z +<<+∈.故C 错误. 对D, ()f x 的周期是22ππ= ,故D 正确.故选：C【点睛】本题主要考查了正切型函数的性质判定.属于基础题.20.函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为（ ）. A. []0,1 B. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B 【解析】 【分析】 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到42333x πππ≤+≤，现利用余弦函数的的图象和性质求解. 【详解】因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以42333x πππ≤+≤所以11cos 232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ 所以cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B【点睛】本题主要考查了余弦函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21.函数y =sinx ，3[,]22x ππ∈的反函数是（ ）A. y =arcsinx ，x ∈[-1，1]B. y =-arcsinx ，x ∈[-1，1]C. y =π+arcsinx ，x ∈[-1，1]D. y =π-arcsinx ，x ∈[-1，1]【答案】D 【解析】 【分析】先由诱导公式得到()sin ,,22y x x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，再根据反函数的定义求解即可. 【详解】由题意，3sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则[]1,1y ∈- 所以()sin ,,22y x x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以arcsin x y π-=，[]1,1y ∈-， 所以arcsin x y π=-，[]1,1y ∈-，即3sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的反函数是arcsin y x π=-，[]1,1x ∈- 故选：D【点睛】本题主要考查反函数的求法，属于基础题.22.在ABC 中，若ABC 的面积为S ，且2244,2S b c a =+-=，则ABC 的外接圆的面积为（ ）A.4π B.2π C. 2πD. 4π【答案】C 【解析】 【分析】利用2244,2S b c a =+-=求得A ，由此利用正弦定理求得ABC ∆外接圆的半径，进而求得外接圆的面积. 【详解】由2244,2S b c a =+-=得2222sin bc A b c a ⋅=+-，所以222sin cos 2b c a A A bc+-==，由于A 是三角形的内角，所以π4A =.设三角形ABC 外接圆半径为r，由正弦定理得2sin a r r A ====，所以外接圆的面积为2π2πr ⋅=. 故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.23.已知曲线122:cos ,:sin(2),3C y x C y x π==+则下面结论正确的是（ ） A. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位，得到曲线2CB. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位，得到曲线2CC. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位，得到曲线2CD. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位，得到曲线2C 【答案】D【解析】 【分析】由诱导公式将cos y x =化为sin 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据图像变换规律，即可得到答案. 【详解】由题意，1C ：cos sin 2y x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭， 故将1C 上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 再把得到的曲线向左平移12π个单位，得到2sin 2sin 21223y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即曲线2C 的图像. 故选：B【点睛】本题主要考查诱导公式的应用和三角函数图像变换规律，属于基础题. 24.已知()()2sin (0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象关于直线6x π=对称，若存在12,x x R ∈，使得对于任意的x 都有()()()12f x f x f x ≤≤，且12x x -的最小值为2π，则ϕ等于（ ） A.12π B.6π C.4π D.3π 【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的最大值和最小值对应的横坐标的距离，求得()f x 的半周期，由此求得ω的值，结合根据()f x 的对称轴列方程，求得ϕ的值.【详解】依题意存在12,x x R ∈，使得对于任意的x 都有()()()12f x f x f x ≤≤，所以()()12,f x f x 分别是()f x 的最小值和最大值，而12x x -的最小值为2π，所以π,π22T T ==，由()2ππ0T ωω==>解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+.由于()f x 的图象关于直线6x π=对称，所以ππ2sin 63f ϕ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为2或2-，即πsin 3ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为1或1-，由于ππ50,2336ππϕϕ<<<+<，所以πππ,326ϕϕ+==. 故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性和对称性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.25.若等比数列{}n a 的前n 项和3(2),n n S m =+则22212n a a a +++=（ ）A.413n - B. 4n -1C. 3(41)n-D. 无法确定【答案】C 【解析】 【分析】利用1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-，以及数列{}n a 为等比数列求出m 的值，再得到数列2{}n a 是等比数列，再由等比数列前n 项和公式求解即可.【详解】当1n =时，1113(2)63m m a S =⨯+=+=，当2n ≥时，1113(2)3(2)32n n n n n n m S S m a ---+-+⨯-===，因为数列{}n a 为等比数列，所以当1n =时，13632n m -⨯+=，解得1m =-， 所以数列{}n a 是以3为首项，2为公比的等比数列，当2n ≥时，()()212222132432n n n n aa---⨯==⨯，数列2{}n a 是以239=为首项，4为公比的等比数列， 所以()()2221291434114n n n a a a ⨯-+++==--.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的定义、通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.26.已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为4，其前n 项和为n S ，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A. 2(1)n n +B. 12(1)n n +C. 2(1)n n +D.21nn + 【答案】A 【解析】 【分析】由题得出数列前n 项和n S ，再用裂项相消法即可求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【详解】等差数列前n 项和公式为()112n n n S na d -=+，又14a =，4d =，所以()242122=+-=+n n n n n S n ，所以()2111111=22212+1⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n n n n n n S n ，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()111111111+12122312121⎛⎫⎛⎫=--++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭n nT n n n n . 故选：A【点睛】本题主要考查求数列前n 项和，解题的关键是会用裂项相消求数列前n 项和. 27.已知函数f （x ）是定义在R 上的单调递减函数，且f （x ）为奇函数，数列{}n a 是等差数列，1580,a >则123313314315()()()()()()f a f a f a f a f a f a ++++++的值（ ）A. 恒为负数B. 恒为正数C. 恒为0D. 可正可负【答案】A 【解析】 【分析】函数f （x ）是定义在R 上的单调递减函数，且f （x ）为奇函数，所以(0)0f =，当0x >时，()0f x <，所以可得158()0a f <，由等差数列{}n a 的性质可得131515820a a a +=>，即1315()()0f a f a +<，同理可以得到2314()()0f a f a +<，3313()()0f a f a +<，⋅⋅⋅，进而可以得到所求式子的符号.【详解】由题意，函数f （x ）是定义在R 上的单调递减函数，且f （x ）为奇函数， 所以(0)0f =，当0x >时，()0f x <；因为数列{}n a 是等差数列，且1580a >，所以158()0a f <， 又131515820a a a +=>，所以1315()()0f a f a +<， 同理，2314()()0f a f a +<，3313()()0f a f a +<，⋅⋅⋅， 所以123313314315()()()()()()0f a f a f a f a f a f a ++++++<故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的性质，函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于中档题. 28.已知函数f （x ）=asinx +cosx 的一条对称轴为,11x π=则函数g （x ）=sinx -acosx 的一条对称轴可以为（ ） A. 922x π=B. 1322x π=C. 1011x π=D. 1311x π=【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式化简()()f x x α=+，其中1tan aα=，由()f x 的一条对称轴是11x π=求出α，再根据辅助角公式化简()()g x x β=-，其中tan a β=，利用tan tan 1αβ⋅=，求出α和β的关系，即可求出()g x 的一条对称轴.【详解】由题意，()()sin cos f x a x x x α=+=+，其中1tan aα=， 因为()f x 的一条对称轴是11x π=，所以1,112ππαπ+=+∈k k Z ，解得119,22αππ=+∈k k Z ，函数()()sin cos g x x a x x β=-=-，其中tan a β=， 所以()g x 的对称轴是22,2πβπ=++∈x k k Z ，因为1tan tan 1a aαβ⋅=⋅=，所以sin sin 1cos cos αβαβ=， 即()cos cos sin sin cos 0αβαβαβ-=+=， 所以33,2παβπ+=+∈k k Z ，所以()()33131,211ππβπαπ=+-=+--∈k k k k k Z ，所以()g x 的一条对称轴()()3123121313,2112222πππππππ=++-+=+-+=+∈x k k k k k k k k Z ， 当0k =时，1322x π=. 故选：B【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，两角和差的余弦公式和三角函数的性质，考查学生的分析转化能力，属于中档题.29.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A. 一尺五寸 B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸【答案】B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高一数学期中考试试卷（满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）（5 、霏1、若2arcsin —工一2 二一，则工二〔4 ）3【答案】:22、在公差d不为零的等差数列｛%｝中，气=】7,且％, %,七3成等比数列，则〃= 【答案】：33、己知等比数列｛□"｝中，a n>Q f a^a6 =4, KO log2a2+ log2a3 + log2a4 + log2a5 = 【答案】：44、前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是.【答案】:7655、在AABC中，a2 + b2-mc2= 0为常数），且竺4 +竺旦=竺£,则小的值是一sin/ sing sinC【答案】：36、已知等比数列｛%｝的各项都是正数，％为其前〃项和，若$4 = 8, 58 = 24 ,则Sy=【答案】：1207、已知函数，（x）= 3sinx + 4cosK , \x2e[0,^]» 则f（x l）~f（x2）的最大值是_______ .【答案】：98、在AABC中，角处、8、C所对应边分别为1、b、c , ZABC=9Q°, ZAB C的平分线交0C于点O,且BD^2^2,则a + 4c的最小值为.【答案】；18T9、已知数列｛%｝的前&项和S H=2«2-12n,数列｛|%|｝的前〃项和L，则土的最小值是. 4【答案】：510、在等差数列｛%｝中，若二100, A。

二910, S“Q=【答案】：990lg （—x ）,x<0 ,、 ，、' 7则方程/（x ） = g （X ）根的数量为个.x 2,x > 0【答案】：712、己知两个等差数列｛%｝和｛如｝的前此项和分别为S,,和，，且?=芸；6，则使得芒为整数的正整数左有.个• 【答案】:313、设等差数列｛a,,｝的各项都是正数，公差为d,前弗项和为S”，若数列｛属｝也是公差为d 的等差数列，则｛a,,｝的前6项和为.【答案】：914、若等差数列｛%｝满足a ； + a ；oiWl 。

上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.3.已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.5.函数y =的定义域是______.6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.11.已知函数)()lg f x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.【答案】{}1【解析】【分析】通过全集，计算出{}0,1,4B =，根据交集的定义即可．【详解】因为{}0,1,2,3,4U =，{}2,3B =，所以{}0,1,4B =所以{}1A B ⋂=．故答案为：{}1．2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.【答案】()2020,2023-【解析】【分析】根据01(0,1)a a a =>≠，结合条件，即可求得答案.【详解】 01(0,1)a a a =>≠，令20200x +=，得2020x =-，020222023y a =+=，∴函数20202022(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点()2020,2023-，故答案为：()2020,2023-.3.已知幂函数()()22322n n f x n n x -=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.【答案】1【解析】【分析】根据函数是幂函数得2221+-=n n ，求得3n =-或1，再检验是否符合题意即可.【详解】因为()()22322n n f x n n x -=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=.故答案为：1.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.【答案】()2,3--【解析】【分析】将函数化成ky b x a=++，根据的对称中心为(,)a b -，即可得出答案.【详解】1373(2)73222x x y x x x --+===-+++，因为函数72y x =+的图象的对称中心是()2,0-，所以函数732y x =-+的图象的对称中心是()2,3--.故答案为：()2,3--.【点睛】对称性的3个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称；（2）若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或(2)()f a x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称.5.函数y =的定义域是______.【答案】(7,)+∞【解析】【分析】根据被开方数非负且分母不为零可得132log 05x ⎛⎫>⎪-⎝⎭，解对数不等式即可求得定义域.【详解】1322log 00155x x ⎛⎫>⇒<<⎪--⎝⎭，()()271075055x x x x x -<⇒>⇒-->--且5x ≠，解得5x <或7x >，2055x x <⇒>-，∴函数y =(7,)+∞.故答案为：(7,)+∞6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据幂函数的定义域和单调性得到关于a 的不等式，解之可得实数a 的取值范围.【详解】由题意知，3322(21)(1)a a --->+，>由于幂函数32y x =的定义域为[0,)+∞，且在[0,)+∞上单调递增，则2101121110a a a a ->⎧⎪⎪>⎨-+⎪+>⎪⎩，即：()()12202111a a a a a ⎧>⎪⎪-⎪>⎨-+⎪⎪>-⎪⎩，所以1221a a a ⎧>⎪⎪<⎨⎪>-⎪⎩，所以实数a 的取值范围是：122a <<．故填：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域和单调性，属于基础题．7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.【答案】0【解析】【分析】原式化为64(6)166x x -++-，结合基本不等式即可求解最大值．【详解】6x < ，所以60x ->，2244(6)16(6)6464(6)16666x x x x x x x x ++-+-+==-++---因为64(6)6x x -+-64[(6)]166x x =--+-=--，当且仅当2x =-时，取等号；∴2244(6)16(6)6464(6)160666x x x x x x x x ++-+-+==-++---．即2446x x x ++-的最大值为0．故答案为：0．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.【答案】3737±【解析】【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得137log 37log b acc b a==±【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以1137log log log 37log b c c acc b b a a===±-.故答案为：3737±【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【解析】【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,4-∞-【解析】【分析】利用换元法，设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，分离参数，求最值.【详解】设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，即221(2)4(2)55[(2)]4222t t t a t t t t ++-++=-=-=-++++++，022t t >∴+> ，，则5[(2)4442t t -+++≤-+=-+当且仅当5(2)2t t +=+，即2t =时取等，(,4a ∴∈-∞-故答案为：(,4-∞-11.已知函数)()lgf x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[1,1]-【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0，得出+ax ＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a 的取值范围．【详解】解：函数f （x ）＝lg （+ax ）的定义域为R ，+ax ＞0恒成立，-ax 恒成立，设y =，x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ；令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y =的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．【答案】24S <≤【解析】【详解】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y xyS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分、必要条件定义判定即可.【详解】解：当33a b >时，根据指数函数3x y =是定义域内的增函数可得a b >，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以充分性成立，当33a b >时，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以a b >，又指数函数3x y =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以必要性成立，综上：“33a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.【点睛】充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据,p q q p ⇒⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据,p q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素【答案】C 【解析】【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立．【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B ，若{|M x Q x =∈<，{|N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断.【详解】解：对于①：3x y =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，所以函数3x y =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =，故③正确；故选：C.【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ .【解析】【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？【答案】（1）466；（2）3倍.【解析】【分析】（1）将05x =，0v =代入函数解析式，计算得到答案．（2）根据题意得到方程组13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减化简即可求出答案．【详解】（1）将05x =，0v =代入函数301log lg 2100x v x =-，得：31log lg 502100x-=，即()3log 2lg 521lg 2 1.40100x==-=，所以1.403 4.66100x==，所以466x =．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟耗氧量为2x ，由题意可得：13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减可得：13211log 22x x =，所以132log 1x x =，即123x x =，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得222()(()a b x y a b x y +++，从而证明222()a b a b x yx y+++成立；（2）由121n x x x ++=…+，得121(1)(1)(1)n n x x x +=++++⋯++，然后利用柯西不等式，即可证明12212211111x x xx x x n++⋯⋯+++++成立．【详解】（1）对任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得()()()()222222222a b a b x y a b x y ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++=++⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当x y a b=时取等号，∴222()a b a b x y x y+++．（2）121n x x x ++⋯+= ，121(1)(1)(1)n n x x x ∴+=++++⋯++，2221212()(1)111n nx x x n x x x ++⋯+++++222121212()[(1)(1)(1)]111n n nx x x x x x x x x =++⋯+++++⋯+++++212()1n x x x ++⋯+=，当且仅当121n x x x n==⋯==时取等号，∴222121211111n nx x x x x x n ++⋯+++++．【点睛】方法点睛：利用柯西不等式求最值或证明不等式时，关键是对原目标代数式进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件,配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标代数式进行配凑后利用柯西不等式解答.20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.【答案】（1）()2x f x =；（2）[]3,1-；（3）2log 3-.【解析】【分析】（1）由2211(2)4f aa --===可得答案.（2）由条件可得()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤，即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，可得答案.（3）由条件121x k =-，221x k =+，即12121x x k k --=+，以及431221xk k +=+或3+1221x k k =+，所以341312x x k k -+=+，从而可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++，求出最大值可得答案.【详解】（1）由2211(2)4f a a --===，所以2a =所以()2xf x =（2）()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解即设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤所以()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解当[]1,4t ∈时，[]2134,1t t ∈--+所以31m -≤≤（3）由()10f x k --=，即21x k =+或21x k=-由方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，则121x k =-，221x k=+所以12121x x k k--=+由()1021k f x k --=+，即31212121x k k k k +=+=++或+1212121xk k k k =-=++方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，则431221x k k +=+或3+1221xk k =+所以341312x xk k -+=+所以()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++函数431133y k =++-在113k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，上单调递减，当13k =时，431133y k =++-有最大值13.所以()()1234123x x x x -+-≤，则1322421log log 33x x x x -=-+≤-所以1234x x x x -+-的最大值为2log 3-【点睛】关键点睛：本题考查指数的运算和方程有解求参数，方程根的关系，解答本题的关键是由题意可得()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解，设2x t =，分类参数即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，以及根据方程的根的情况可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅===-++++，属于中档题.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.【答案】（1）集合{}1,2,3,4不是，集合{}1,3,5,7,9,11,13是；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②7.【解析】【分析】（1）根据“可分集合”定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，分去掉的元素是1a 时得5234a a a a =++①，或2534a a a a +=+②，去掉的元素是2a 得5134a a a a =++③，或1534a a a a +=+④，进而求解得矛盾，从而证明结论.（3）①设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，进而分类讨论M 为奇数和M 为偶数两类情况，分析可得集合A 中的元素个数为奇数；②结合（1）（2）问依次验证3,5,7n n n ===时集合A 是否为“可分集合”从而证明.【详解】解：（1）对于集合{}1,2,3,4，去掉元素1，剩余的元素组成的集合为{}12,3,4A =，显然不能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，1B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，故{}1,2,3,4不是“可分集合”对于集合{}1,3,5,7,9,11,13，去掉元素1，{}13,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}11,13,3,5,7,9B C ==，满足题意；去掉元素3，{}21,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,13,5,7,11B C ==，满足题意；去掉元素5，{}31,3,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,3,7,11,9,13B C ==，满足题意；去掉元素7，{}41,3,5,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,11,3,5,13B C ==，满足题意；去掉元素9，{}51,3,5,7,11,13A =，显然可以分为{}{}7,13,1,3,5,11B C ==，满足题意；去掉元素11，{}61,3,5,7,9,13A =，显然可以分为{}{}3,7,9,1,5,13B C ==，满足题意；去掉元素13，{}71,3,5,7,9,11A =，显然可以分为{}{}1,3,5,9,7,11B C ==，满足题意；故{}1,3,5,7,9,11,13是可分集合.（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，若去掉的是1a ，则集合{}12345,,,A a a a a =可以分成{}{}5234,,,B a C a a a ==或{}{}2534,,,B a a C a a ==，即：5234a a a a =++①或2534a a a a +=+②若去掉的是2a ，则集合{}21345,,,A a a a a =可以分成{}{}5134,,,B a C a a a ==或{}{}1534,,,B a a C a a ==，即：5134a a a a =++③或1534a a a a +=+④，由①③得21a a =，矛盾；由①④21a a =-，矛盾；由②③得21a a =-，矛盾；由②④21a a =，矛盾；所以五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）①证明：设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，若M 为奇数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为奇数，由于12n M a a a =+++ ，所以n 为奇数；若M 为偶数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为偶数，此时设()21,2,3,,i i a b i n == ，则{}12,,,n b b b 也是“可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”，此时各项之和也为奇数，集合A 中的元素个数为奇数.综上所述，集合A 中的元素个数为奇数.②当3n =时，显然任意集合{}123,,A a a a =不是“可分集合”；当5n =时，第二问已经证明集合{}12345,,,,A a a a a a =不是“可分集合”；当7n =时，第一问已验证集合{}1,3,5,7,9,11,13A =是“可分集合”.所以集合A 中元素个数的最小值为7.【点睛】本题考查集合新定义的问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义依次验证，证明即可.注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力，分析能力.本题第二问解题的关键在于假设123450a a a a a <<<<<，以去掉元素1a 和2a 两种情况下的可分集合推出矛盾，进而证明，是难题.。

上海交通大学附属中学2020-2021学年度第二学期高一数学期中试卷（本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一、填空题（本题满分54分，其中1~6每题4分，7~12每题5分）1.已知平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，其终边上有一点()512P -，，则=αtan ．2.计算：=+)31arctan 21tan(arctan ____________. 3.若53sin =α，且)2,0(πα∈，则tan α= ．4.已知2tan =α，则=+αααcos sin sin 22___________．5.把ααcos 3sin -化为)),(,0)(sin(ππϕϕα-∈>+A A 其中的形式：_________．6.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 2πx y 的最小正周期为___________. 7.已知：32)3sin(-=+πθ，则 tan(5)cos(2)sin(3)2tan(6)cos()7tan()sin(4)cot()22πθθππθπθπθππθπθθ--⋅-⋅--+-⋅-++⋅-+⋅--=______.8.若54)sin(=+βα，43)sin(=-βα，则=βαtan tan ． 9.小瑗在解决问题“已知锐角α与锐角β的值，求βα+的正弦值”时误将两角和的正弦公式错记成了“βαβαβαsin sin cos cos )sin(+=+ ”，解得的结果为426+ . 发现恰好与标准答案一致. 那么原题中的锐角α的值为__________（写出所有的可能值）. 10.如右图，平面上有一条走廊宽为3米，夹角为120°，地面是水平的，走廊两端足够长. 那么能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为_________米. 11.设对任意]2,0[πθ∈，不等式046cos 3sin 2<--+m m θθ恒成立，则实数m 的范围是____________.12.如右图，已知等腰三角形ABC 的顶角7π=A ，D 是腰AB 上一点. 若1=AD ，2=CD ，则=BC ____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分.13.一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是 （ ） A.2弧度B.3弧度C.4弧度D.5弧度 14.方程2tan =x 的解集是（ ）A.},2arctan 2|{Z k k x x ∈+=πB. },2arctan 2|{Z k k x x ∈±=πC.},2arctan |{Z k k x x ∈+=πD. },2arctan )1(|{Z k k x x k∈⋅-+=π 15.角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限16.已知定义域是全体实数的函数()y f x =满足(2)()f x f x π+=，且()g x =()()2f x f x +-，()()()2f x f x h x --=，现定义函数(),()y p x y q x ==为：()p x =()()()()()()2cos 22sin 22,(),0()0()22g x g x h x h x k x k x x x q x k x k x ππππππππ-+++⎧⎧≠+≠⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩其中k Z ∈，那么下列关于(),()y p x y q x ==叙述正确的是（ ）A.都是偶函数且周期为πB.都是奇函数且周期为πC.都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数D.都不是周期函数三、解答题（本大题满分76分）17.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）设(0,)3πα∈，(,)62ππβ∈，且,αβ满足5cos 82ααββ⎧+=⎪+=，（1）求cos()6πα+的值；（2）求cos()αβ+的值．18.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，一条河的两岸相互平行. 两岸边各有一个小镇A与B，它们的直线距离为2千米，河宽AC为1千米.根据规划需在线段BC上选择一个点D，沿AD铺设水下电缆，沿BD 铺设地下电缆．建立数学模型寻找如何铺设电缆费用最低．（1）模型建立：我们假设：1. B、D之间的地下电缆沿________铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为1；2. A、D之间的水下电缆沿________铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍；∠=；则θ的取值范围为_____________．可以将该项工程的总费用如果设ADCθy表示为θ的函数，这个函数的解析式为_____________．因此，原实际问题的数学模型为：求___________，该项工程的总费用y最低．（2）模型求解：请求解上述模型．AC D B19.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）已知三角形ABC 中，A tan 、B tan 是方程042=++ax x 的两个实数根.（1）若8-=a ，求C tan 的值；（2）求C tan 的最小值，并指出此时对应的实数a 的值.20.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分） 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中D C B A ,,,是抛物线2x y =上的四个不同的点，且BD AC ⊥（点A 、B 在第二象限，且点A 在点B 的左上方）．AC 、BD 交于点1(0,)4F ．点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．设线段AF 的长为m ． (1) 用m 与α表示点A 的横坐标； (2) 将m 表示为α的函数；(3) 求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小？21.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 设()y f x =是定义在D 上的函数，若对任何实数(0,1)α∈以及D 中的任意两数1x 、2x ，恒有()1212(1)()(1)()fx x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义域上的C 函数．（1）判断函数1,(,0)y x x=∈-∞是否为定义域上的C 函数，请说明理由； （2）函数3,(,)y x x M =∈+∞是定义域上的C 函数，求实数M 的最小值；（3）若()y f x =是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为T ．试判断()y f x =是否可能为定义域上的C 函数．如果可能，请给出至少一个符合条件的函数()y f x =；如果不可能，请说明理由.上海交通大学附属中学2020-2021学年度第二学期高一数学期中试卷（本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一、填空题（本题满分54分，其中1~6每题4分，7~12每题5分）1.【答案】512-2.计算：=+)31arctan 21tan(arctan ____________.【解析】1111tan arctan tan arctan 112323tan arctan arctan 111112311tan arctan tan arctan 2323⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+=== ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3.【答案】434.已知2tan =α，则=+αααcos sin sin22___________．【解析】2222222sin sin cos 2tan tan 2sin sin cos 2sin cos tan 1ααααααααααα+++===++. 5.【答案】)3sin(2πα-6.【答案】π7.已知：2sin(3)3θπ+=-，则 tan(5)cos(2)sin(3)2tan(6)cos()7tan()sin(4)cot()22πθθππθπθπθππθπθθ--⋅-⋅--+-⋅-++⋅-+⋅--=______.【解析】由2sin(3)3θπ+=-得2sin 3θ=，所以原式tan cos sin 2(tan )(cos )3sin 2cot sin tan θθθθθθθθθ-⋅⋅=+--==-⋅⋅.8.若54)sin(=+βα，43)sin(=-βα，则=βαtan tan ． 【解析】由题意得3sin cos cos sin ,sin cos cos sin 544αβαβαβαβ+=-=， 解得1sin cos ,cos 31sin 4040αβαβ==，所以tan sin cos 31tan cos sin ααββαβ==. 9.小瑗在解决问题“已知锐角α与锐角β的值，求βα+的正弦值”时误将两角和的正弦公式错记成了“βαβαβαsin sin cos cos )sin(+=+”，解得的结果为426+. 发现恰好与标准答案一致. 那么原题中的锐角α的值为__________（写出所有的可能值）. 【解析】由题意得sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ+=+， 所以sin cos cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ-=-， 所以(sin cos )(sin cos )0ααββ--=，又α和β为锐角，所以4πα=或4πβ=，若4πα=，满足题意； 若4πβ=，则6257sin sin sin441212πππα+⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，所以6πα=或3π， 综上，原题中的锐角α的值为6π或4π或3π. 10.如右图，平面上有一条走廊宽为3米，夹角为120°，地面是水平的，走廊两端足够长. 那么能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为_________米. 【解析】如图，设能通过走廊的钢筋的长度为AB ，设0,60BAQ ABQ αα∠=∠=-， 则033sin sin(60)AB AP PB αα=+=+- 0001166sin sin(60)1[cos(260)cos60]2ααα≥=⋅---2612112≥=-，当且仅当030α=时取等号，故能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为12米.11.设对任意]2,0[πθ∈，不等式046cos 3sin 2<--+m m θθ恒成立，则实数m 的范围是__________.【解析】由题意得21cos3cos 640m m θθ-+--<对任意20,πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以2cos 373cos 24cos 2cos 2m θθθθ+>=-++--恒成立， 令[]cos 22,1t θ=-∈--，因为7()4f t t t=++在[2,1]--上严格减， 所以max3()2f t =-，所以332m >-，故21->m .12.如右图，已知等腰三角形ABC 的顶角7π=A ，D 是腰AB 上一点. 若1=AD ，2=CD ，则=BC ____________.【解析】设ACD α∠=，则7sin 21sin πα=BCD ∆中，ααπ3sin )7sin(+=CD BC ，按计算器得=BC 1.证明；因为7A π=，设14πα=，则2A α=，且72πα=，即342παα=-，所以ααπα4cos )42sin(3sin =-=（1），设,,AD m AC n BC a ===，则m CD 2=， 在ACD ∆中由余弦定理得22222)2cos 2cos 22n m m n mn mnαα-=+-⇒=（2）在等腰三角形ABC 中，na AC BC221sin ==α （3）将（1）整理为()22321sin 213sin 4sin ααα--=-，展开得4328sin 4sin 8sin 3sin 10αααα+--+=，()32(sin 1)8sin 4sin 10ααα+-+=，所以24sin cos 24sin10ααα--+=，将（2），（3）代入上式得()222220()0am an ma mn m a am n m a --+=⇒-+=⇒=，即AD BC =. 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分.13.一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是 （ A ） A.2弧度B.3弧度C.4弧度D.5弧度【解析】设半径为r ，圆心角为θ，弧长为l ， 由题意得224lr l r =⎧⎨+=⎩，解得21l r =⎧⎨=⎩，所以2lr θ==，故选A.14.方程2tan =x 的解集是（ C ）A.},2arctan 2|{Z k k x x ∈+=πB. },2arctan 2|{Z k k x x ∈±=πC.},2arctan |{Z k k x x ∈+=πD. },2arctan )1(|{Z k k x x k∈⋅-+=π15.角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是 （ D ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】根据等分象限法，得3α的终边在第一、二、三象限，故选D. 16.已知定义域是全体实数的函数()y f x =满足(2)()f x f x π+=，且()g x =()()2f x f x +-，()()()2f x f x h x --=，现定义函数(),()y p x y q x ==为：()p x =()()()()()()2cos 22sin 22,(),0()0()22g x g x h x h x k x k x x x q x k x k x ππππππππ-+++⎧⎧≠+≠⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩其中k Z ∈，那么下列关于(),()y p x y q x ==叙述正确的是（ A ）A.都是偶函数且周期为πB.都是奇函数且周期为πC.都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数D.都不是周期函数【解析】因为()()()2f x f x g x +-=，所以()()()()2f x f xg x g x -+-==， 且()()()()()()22f x f x f x f xg x g x ππππππ++---+-++===-， 即()g x 的一个周期为2π， 当2x k ππ≠+时，()()()()()2cos()2cos g x g x g x g x p x x xππ---+---==-()()2cos g x g x xπ-+=()p x =，且()(2)()2cos()g x g x p x x ππππ+-++=+()()()2cos g x g x p x x π+-==-，当2x k ππ=+时，()0p x =，所以()y p x =是偶函数且周期为π；同理，()()()2f x f x h x --=，所以()()()()2f x f x h x h x ---==-，且()()()()()()22f x f x f x f x h x h x ππππππ+------++===-，即()h x 的一个周期为2π， 当2x k ππ≠+时，()()()()()2sin 2()2sin 2h x h x h x h x q x x xππ---+-+--==--()()()()()2sin 22sin 2h x h x h x h x q x x xππ---+===，且()(2)()()()()2sin 2()2sin 2h x h x h x h x q x q x x xπππππ++++++===+，当2x k ππ=+时，()0q x =，所以()y q x =是偶函数且周期为π；综上所述，选A.三、解答题（本大题满分76分）17.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）设(0,)3πα∈，(,)62ππβ∈，且,αβ满足5cos 82ααββ⎧+=⎪+=，（1）求cos()6πα+的值；（2）求cos()αβ+的值．【解析】（1）因为，所以 因为，所以，所以．5cos 8αα+=4sin()65πα+=(0,)3πα∈(,)662πππα+∈3cos()65πα+=（2,所以，因为，所以，所以所以sin cos cos sin 636310ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以 18.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，一条河的两岸相互平行. 两岸边各有一个小镇A 与B ，它们的直线距离为2千米，河宽AC 为1千米.根据规划需在线段BC 上选择一个点D ，沿AD 铺设水下电缆，沿BD 铺设地下电缆．建立数学模型寻找如何铺设电缆费用最低． （1）模型建立：我们假设：1. B 、D 之间的地下电缆沿________铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为1；2. A 、D 之间的水下电缆沿________铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍；如果设ADC θ∠=；则θ的取值范围为_____________． 可以将该项工程的总费用y 表示为θ的函数，这个函数的解析式为_____________．因此，原实际问题的数学模型为：求___________，该项工程的总费用y 最低．2ββ+=sin()32πβ+=(,)62ππβ∈5(,)326πππβ+∈cos()3πβ+=cos()sin[()]sin[()()]263πππαβαβαβ+=++=+++cos()αβ+=（2）模型求解：请求解上述模型．【解析】（1）由题设cot CD θ=，1sin AD θ=，223CB AB AC =-=，3cot DB θ=- 所以θθθθsin cos 23)cot 3(sin 212-+=-+=⋅+=BD AD y （]2,6[ππθ∈）1. B 、D 之间的地下电缆沿线段BD （直线）铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为1；2. A 、D 之间的水下电缆沿线段AD （直线）铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍； 如果设ADC θ∠=；则θ的取值范围为]2,6[ππθ∈. 可以将该项工程的总费用y 表示为θ的函数，这个函数的解析式为θθsin cos 23-+=y .因此，原实际问题的数学模型为：求θ，该项工程的总费用y 最低. （2）设tan2t θ=(tan151)t ︒≤≤，则22sin 1t t θ=+，22tan 1tt θ=-代入（1）的结论，得ACDB222121123sin cos 23t t t t y ++--+=-+=θθ32321232122322≥++=+-++=tt t t t当且仅当3122t t=时取等号，即t =时，32min =y再由tan 2t θ=得3πθ=答：当3πθ=时，工程总费用y 最低为32.19.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）已知三角形ABC 中，A tan 、B tan 是方程042=++ax x 的两个实数根.（3）若8-=a ，求C tan 的值；（4）求C tan 的最小值，并指出此时对应的实数a 的值. 【解析】（1）8tan tan =-=+a B A ，4tan tan =B A .所以38418tan tan 1tan tan )tan())(tan(tan =--=-+-=+-=+-=B A B A B A B A C π（2）因为方程有两个实数根，所以0162≥-=∆a ，又因为4tan tan =B A ，所以A tan 与B tan 同号，而三角形中不可能有两个钝角. 所以A tan 与B tan 都大于0，所以0tan tan >-=+a B A . 解得4-≤a .34341tan tan 1tan tan )tan())(tan(tan ≥-=---=-+-=+-=+-=a a B A B A B A B A C π当且仅当4-=a ，即2tan tan ==B A 时，C tan 取到最小值为34. 20.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分） 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中D C B A ,,,是抛物线2x y =上的四个不同的点，且BD AC ⊥（点A 、B 在第二象限，且点A 在点B 的左上方）．AC 、BD 交于点1(0,)4F ．点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．设线段AF 的长为m ． （1）用m 与α表示点A 的横坐标； （2）将m 表示为α的函数；（3）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小？ 【解析】（1）作AH 垂直y 轴于H ，则αsin m AH =，所以点A 的纵坐标为αsin m -（2）点)41cos ,sin (+-ααm m A所以)cos 41()sin (2ααm m +=-，即041cos sin 22=--ααm m ，解得αα2sin 21cos ±=m ，由于0m ＞， 所以))2,0((sin 21cos 2πααα∈+=m（3）同理αα2cos 2sin 1-=BF ，αα2cos 2sin 1+=DF ，αα2sin 2cos 1-=CF “蝴蝶形图案”的面积：))2,0(()cos (sin 4cos sin 121212πααααα∈-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令]21,0(,cos sin ∈=t t αα, 所以),2[1+∞∈t则161211414122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t t t S ，所以21=t ，即4πα=时，“蝴蝶形图案”的面积取最大值为21. 21.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 设是定义在D 上的函数，若对任何实数()y f x =(0,1)α∈以及D 中的任意两数1x 、2x ，恒有()1212(1)()(1)()f x x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义域上的C 函数． （1）判断函数1,(,0)y x x=∈-∞是否为定义域上的C 函数，请说明理由； （2）函数3,(,)y x x M =∈+∞是定义域上的C 函数，求实数M 的最小值；（3）若()y f x =是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为T ．试判断()y f x =是否可能为定义域上的C 函数．如果可能，请给出至少一个符合条件的函数()y f x =；如果不可能，请说明理由. 【解析】（1）()()210f x x x=<不是C 函数， 说明如下(举反例)： 取13x =-，21x =-，12α=， 则()()()()()121211f x x f x f x αααα+----()()()11111231022262f f f =-----=-++>， 即()()()()()121211f x x f x f x αααα+->+-， 所以()()210f x x x=<不是C 函数； （2）0M =时，对任何实数(0,1)α∈以及(0,)+∞中的任意两数1x 、2x ，有33311x x αα<，33311(1)(1)x x αα-<-，所以()33322223312112122(1)3(1)3(1)(1)x x x x x x x x αααααααα+-=+-+-+-3333331212(1)(1)x x x x αααα<+-<+-即()1212(1)()(1)()f x x f x f x αααα+-≤+-， 所以3,(,)y x x M =∈+∞是定义域上的C 函数； 而0M <时，取12M x =，20x =，12α=， 则311(1)022264M M f ⎛⎫⋅+-⋅= ⎪⎝⎭，311()(1)(0)22216M M f f +-=，由于0M <，所以336416M M >，故3,(,)y x x M =∈+∞不是定义域上的C 函数；综上，实数M 的最小值为0. （3）假设()y f x =是R 上的C 函数，若存在m n <且[),0,m n T ∈，使得()()f m f n ≠. （i ）若()()f m f n <，记1x m =，2x m T =+，1n mTα-=-，则01α<<，且()121n x x αα=+-，那么()()()()()()121211f n f x x f x f x αααα=+-≤+-()()()()1f m f m T f m αα=+-+=，这与()()f m f n <矛盾； （ii ）若()()f m f n >， 记1x n =，2x n T =-，1n mTα-=-，同理也可得到矛盾； 所以()f x 在[)0,T 上是常数函数， 又因为()f x 是周期为T 的函数，所以()f x 在R 上是常数函数，这与()f x 的最小正周期为T 矛盾.f x不是R上的C函数.所以()。

所以 24 ab 3a b 2 3 ab
当且仅当 3a b 时，即 a 2,b 6 时，等号成立.
2
整理得 ab 2 3 ab 24 0 ，
解得 4 3 ab 2 3 ，所以 0 ab 2 3 ，
即 0 ab 12 ，
所以可得 1 1 . ab 12 1
故答案为： .
-5-
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可得 g x 的最大值点和最小值点关于原点对称，
g x f x 3 10 3 7 ，
max
max
所以
g
x
min
g
x
max
7
，
所以
f
x
min
g
x
min
3
7
3
4 .
故答案为： 4 .
【点睛】本题考查利用函数奇偶性的性质求函数的最值，属于中档题.
10.设正实数 a 、 b 满足 3a ab b 24 ，那么 1 的最小值为________ ab
1
【答案】
12
【解析】
【分析】
由 3a ab b 24 ，可得 24 ab 3a b 2 3 ab ，从而得到关于 ab 的不等式，解出
ab 的范围，得到 ab 的范围，进而得到答案. 【详解】因为 3a ab b 24 ，
综上所述，符合要求的 a 的取值范围为 (3,1] .
故答案为： (3,1] .
【点睛】本题考查二次函数根的分布求参数的范围，属于中档题.
二. 选择题
13.下列命题中，正确的是（ ） A. x 4 的最小值是 4
x
C. 如果 a b ， c d ，那么 a c b d
B. x

2019-2020学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．下列命题中，正确的是（ ）A.4xx+的最小值是4 +的最小值是2C.如果a b >，c d >，那么a c b d ->-D.如果22ac bc >，那么a b >【答案】D【解析】利用基本不等式和对勾函数的性质，以及不等式的性质，分别对四个选项进行判断，得到答案. 【详解】选项A 中，若0x <，则无最小值，所以错误；选项B 中，2t ，则函数y =1y t t=+，在[)2,+∞上单调递增，所以最小值为52，所以错误；选项C 中，若,a c b d ==，则a c b d -=-，所以错误；选项D 中，如果22ac bc >，则0c ≠，所以20c >，所以可得a b >. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式，对勾函数的性质，不等式的性质，判断命题是否正确，属于简单题.2．设甲为“05x <<”，乙为“|2|3x -<”，那么甲是乙的（ ）条件 A.充分非必要 B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 【答案】A【解析】对命题乙进行化简，然后由命题甲和命题乙的范围大小关系，得到答案. 【详解】命题乙：|2|3x -<，解得15x -<<； 命题甲：05x <<；显然命题甲的范围比命题乙的范围要小，故由命题甲可以推出命题乙，而由命题乙不能推出命题甲， 所以甲是乙的充分非必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查解绝对值不等式，充分非必要条件，属于简单题. 3．非空集合A 、B 满足，A B =∅，{|}P x x A =⊆，{|Q x x =}B ，则下列关系一定成立的是（ ） A.A B P Q =U U B.PQ =∅ C.{}P Q =∅I D.A B P Q U【答案】B【解析】根据集合P 是集合A 的子集所构成的集合，集合Q 是集合B 的真子集所构成的集合，以及非空集合A 、B 满足A B =∅，从而可以得到集合P 与集合Q 没有相同元素，从而得到答案. 【详解】因为{|}P x x A =⊆，{|Q x x=}B所以可得集合P 是集合A 的子集所构成的集合， 集合Q 是集合B 的真子集所构成的集合 而非空集合A 、B 满足，AB =∅，可知集合A 与集合B 中没有相同元素， 则其各自的子集或真子集也不会由相同的集合， 所以可得P Q =∅，故选：B. 【点睛】本题考查元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系，属于简单题. 4．已知函数(1)y f x =+为偶函数，则下列关系一定成立的是（ ） A.()()f x f x =- B.(1)(1)f x f x +=-+ C.(1)(1)f x f x +=-- D.(1)()f x f x -+=【答案】B【解析】函数(1)y f x =+为偶函数，可得函数()y f x =的图像关于1x =对称，在四个选项中选择能表示函数()y f x =的图像关于1x =对称的，得到答案. 【详解】函数(1)y f x =+为偶函数，可得()y f x =的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称， 所以()y f x =的图像关于1x =对称，在所给四个选项中，只有选项B. (1)(1)f x f x +=-+也表示()y f x =的图像关于1x =对称，故选：B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性，属于简单题.二、填空题 5．函数y=的定义域为 . 【答案】()0,+∞【解析】试题分析：函数y=的定义域为0{0x x ≥≠所以0x > 【考点】函数定义域的求法．6．已知{|12}A x x =-<<，2{|30,}B x x x x =-<∈R ，则A B =________【答案】(0,2)【解析】对集合B 中的不等式求出其解集，然后利用集合的交集运算，得到答案. 【详解】集合2{|30,}{|03}B x x x x x x =-<∈=<<R ， 而集合{|12}A x x =-<< 所以{|02}A B x x ⋂=<< 故答案为：(0,2) 【点睛】本题考查解不含参的二次不等式，集合的交集运算，属于简单题.7．当0x >时，函数1()f x x x -=+的值域为________ 【答案】[2,)+∞【解析】根据基本不等式，求出当0x >时，函数1()2f x x x -=+≥，得到答案.【详解】 因为0x >，所以函数1()2f x x x -=+=≥， 当且仅当1x x -=，即1x =时，等号成立. 所以函数1()f x x x -=+的值域为[2,)+∞， 故答案为：[2,)+∞ 【点睛】本题考查求具体函数的值域，基本不等式求和最小值，属于简单题. 8．设{|52U x x =-≤<-或25,}x x <≤∈Z ，2{|2150}A x x x =--=，{3,3,4}B =-，则U A B =I ð__【答案】{5}【解析】先对集合U 进行化简，然后根据集合U 和集合B ，由集合的补集运算计算出U B ð，再对集合A 进行化简，然后利用集合的交集运算，得到答案.【详解】集合{|52U x x =-≤<-或25,}x x <≤∈Z ， 所以{}5,4,3,3,4,5U =--- 集合{3,3,4}B =-， 所以{}5,4,5U B =--ð，集合{}{}2|21503,5A x x x =--==-,所以{}5U A B =I ð， 故答案为：{}5. 【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，属于简单题.9．已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若A B A ⋃=，则实数a 值集合为________ 【答案】{0,1,2}-【解析】由A B A ⋃=可得B A ⊆，然后分为B =∅和B ≠∅进行讨论，得到答案. 【详解】因为A B A ⋃=，所以得到B A ⊆， 集合{2,1}A =-，{|2}B x ax == 当B =∅时，0a =，当B ≠∅时，0a ≠，则2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭所以有22a =-或21a=，则1a =-或2a =， 综上0a =或1a =-或2a = 故答案为：{0,1,2}- 【点睛】本题考查由集合的包含关系求参数的值，属于简单题.10．满足条件{1,3,5}{3,5,7}{1,3,5,7,9}A =U U 的所有集合A 的个数是________个 【答案】16【解析】先计算{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7=，由结果可知集合A 中应有元素9，然后元素9与集合{}1,3,5,7的子集中的元素一起，构成集合A ，从而得到答案. 【详解】因为{1,3,5}{3,5,7}{1,3,5,7,9}A =U U ， 而{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7=，所以可得集合A 中一定有元素9，所以元素9与集合{}1,3,5,7的子集中的元素一起，构成集合A ， 而集合{}1,3,5,7的子集有42=16个， 故满足要求的集合A 的个数是16. 故答案为：16. 【点睛】本题考查根据集合的运算结果求满足要求的集合个数，根据集合元素个数求子集的个数，属于简单题.11．已知不等式2202x xx a+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围是________ 【答案】3[,1)2-- 【解析】由题意可知，代入2x =可满足不等式，代入3x =则不满足不等式，从而得到关于a 的不等式组，解得a 的取值范围. 【详解】因为不等式2202x xx a+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉，所以可得代入2x =，不等式成立，即2022222a≤+⨯+，解得1a <-，代入3x =，不等式不成立，即2323032a+⨯>+，解得32a >-，且当32a =-时，3x =也不满足不等式， 综上，a 的范围为3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭， 故答案为：3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查根据分式不等式的解集中的元素求参数的范围，属于中档题.12．若函数()f x =a 的取值范围为________ 【答案】1a >【解析】首先满足函数()f x 的定义域关于原点对称，得到a 的取值范围，再验证此时函数()f x 为偶函数而非奇函数，从而得到答案. 【详解】由函数()f x =0a ≥，函数()f x 要为偶函数， 则其定义域需关于原点对称，22100x a x ⎧-≥⎨-≥⎩，解得11x x x ≤-≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或1≥，即1a ≥ 当1a =时，函数()0f x =。

2019-2020学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷一.填空题1. 函数y=√x的定义域为________．【答案】(0, +∞)【考点】函数的定义域及其求法【解析】要使函数有意义，则需x≥0且x≠0，解得即可得到定义域．【解答】要使函数有意义，则需x≥0且x≠0，即x>0，则定义域为(0, +∞)．2. 已知A＝{x|−1<x<2}，{x|x2−3x<0, x∈R}，则A∩B＝________．【答案】(0, 2)【考点】并集及其运算【解析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{x|−1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，∴A∩B＝(0, 2)．3. 当x>0时，函数f(x)＝x+x−1的值域为________．【答案】[2, +∞)【考点】函数的值域及其求法【解析】直接利用基本不等式求得函数f(x)＝x+x−1的最小值得答案．【解答】∵x>0，∴f(x)＝x+x−1＝x+1x ≥2√x⋅1x=2．当且仅当x＝1时，上式“＝”成立．∴函数f(x)＝x+x−1的值域为[2, +∞)．4. 设U＝{x|−5≤x<−2或2<x≤5, x∈Z}，A＝{x|x2−2x−150}，B＝{−3, 3, 4}，则A∩∁U B＝________．【答案】{5}交、并、补集的混合运算【解析】先分别求出集合U，A，B，由此能求出结果．【解答】∵U＝{x|−5≤x<−2或2<x≤5, x∈Z}＝{−5, −4, −3, 3, 4, 5}，A＝{x|x2−2x−150}＝{−3, 5}，B＝{−3, 3, 4}，∴∁U B＝{−5, −4, 5}，∴A∩∁U B＝{5}．5. 已知集合A＝{−2, 1}，B＝{x|ax2}，若A∪B＝A，则实数a值集合为________．【答案】{0, −1, 2}【考点】并集及其运算【解析】根据A∪B＝A即可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集：B＝⌀时，a＝0；B≠⌀时，2a=−21，解出a即可．【解答】∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴ ①B＝⌀时，a＝0；②B≠⌀时，B={2a }，则2a=−2或2a=1，解得a＝−1或2，∴实数a值集合为{0, −1, 2}．6. 满足条件{1, 3, 5}∪A∪{3, 5, 7}＝{1, 3, 5, 7, 9}的所有集合A的个数是________个．【答案】16【考点】并集及其运算【解析】根据条件可得出，集合A一定含有元素9，而可能含有元素1，3，5，7，从而得出集合A的个数为C40+C41+C42+C43+C44=24＝16个．【解答】∵{1, 3, 5}∪A∪{3, 5, 7}＝{1, 3, 5, 7, 9}，∴集合A一定含元素9，可能含元素1，3，5，7，∴集合A的个数为24＝16个．7. 已知不等式x2+2xx+2a≤0的解集为A，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是________．【答案】[−32,−1)【考点】元素与集合关系的判断由题意可得4+42+2a ≤0 ①，且 9+63+2a >0 ②，3+2a ＝0③，分别求得①、②、③的解集，再取交集，可得所求． 【解答】 因为x 2+2x x+2a ≤0的解集为A ，且2∈A ，3∉A ，所以4+42+2a ≤0，①9+63+2a>0，②3+2a ＝0，③ 解①得：a <−1． 解②得：a >−32， 解③得：a =−32，故实数a 的取值范围为[−32,−1)．8. 若函数f(x)=√x 2−1+√a −x 2为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为________． 【答案】 a >1 【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】利用函数f(x)=√x 2−1+√a −x 2为偶函数且非奇函数，结合函数的定义域，即可求出实数a 的取值范围． 【解答】∵ 函数f(x)=√x 2−1+√a −x 2为偶函数且非奇函数， ∴ f(−x)＝f(x)，且f(−x)≠−f(x)， 又{x 2−1≥0a −x 2≥0，∴ a ≥1． a ＝1，函数f(x)=√x 2−1+√a −x 2为偶函数且奇函数，9. 已知a 、b 是常数，且ab ≠0，若函数f(x)=ax 3+bx√1−x 2+3的最大值为10，则f(x)的最小值为________． 【答案】 −4【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】利用函数的奇偶性，求出g(x)的最小值即可． 【解答】函数f(x)=ax 3+bx√1−x 2+3定义域为[−1, 1]，设g(x)=ax 3+bx√1−x 2为奇函数，f(x)max ＝g(x)max +3＝10，所以g(x)min ＝−g(x)max ＝−7， 所以f(x)min ＝−7+3＝−4，10. 设正实数a 、b 满足3a +ab +b ＝24，那么1ab 的最小值为________． 【答案】112【考点】基本不等式及其应用 【解析】由条件正实数a 、b 满足3a +ab +b ＝24，利用基本不等式3a +b ≥2√3ab ，从而得到关于ab 的不等式，解出ab 的取值范围，进一步求出1ab 的取值范围即可． 【解答】因为a ，b 为正数，满足3a +ab +b ＝24， 所以24＝3a +b +ab ≥2√3ab +ab ； 令√ab =t ，t >0， 则t 2+2√3t −24≤0；解得0<t ≤2√3，即0<ab ≤12， 所以，1ab ≥112； 所以1ab 的最小值为112．11. 已知函数f(x)={(x −a)2,x ≤0x +4x+3a,x >0，且f(0)为f(x)的最小值，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 [0, 4] 【考点】分段函数的应用 【解析】若f(0)为f(x)的最小值，则当x ≤0时，函数f(x)＝(x −a)2为减函数，当x >0时，函数f(x)=x +4x +3a 的最小值4+3a ≥f(0)，进而得到实数a 的取值范围． 【解答】若f(0)为f(x)的最小值，则当x ≤0时，函数f(x)＝(x −a)2为减函数， 则a ≥0，当x >0时，函数f(x)=x +4x +3a 的最小值4+3a ≥f(0)， 即4+3a ≥a 2， 解得：−1≤a ≤4，综上所述实数a 的取值范围是[0, 4]，12. 若方程ax2−(4−a2)x+2＝0在(0, 2)内恰有一解，则实数a的取值范围为________．【答案】(−3, 1]【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】对a进行讨论，结合二次函数的图象，得出结果．【解答】设f(x)＝ax2−(4−a2)x+2，若a＝0时，f(x)＝0，得x=1成立，2若a≠0，ax2−(4−a2)x+2＝0在(0, 2)内恰有一解，因为f(0)＝2>0，所以只需f(2)＝4a−2(4−a2)+2≤0，则a2+2a−3≤0，得a∈[−3, 1]，不成立，当a＝−3时，−3x2+5x+2＝0的根为x＝2或者x=−13所以a∈(−3, 1]，二.选择题下列命题中，正确的是（）A.x+4的最小值是4xB.√x2+4+的最小值是22C.如果a>b，c>d，那么a−c<b−dD.如果ac2>bc2，那么a>b【答案】D【考点】基本不等式及其应用【解析】A．x<0时，函数值小于0；B.√x2+4+>2，最小值不为2；2C．a>b，c>d，那么a+c>b+d即a−d>b−c；D．由于ac2>bc2，可得c2>0，可得a>b．A．x<0时，不正确；>2，最小值不为2，不正确；B.√x2+4+√x2+4C．a>b，c>d，那么a+c>b+d即a−d>b−c，因此不正确；D．∵ac2>bc2，∴c2>0，∴a>b，正确．设p:0<x<5，q:|x−2|<3，那么p是q的（）条件．A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由|x−2|<3，得：−3<x−2<3，即−1<x<5，即q:−1<x<5，故p是q的充分不必要条件，非空集合A、B满足，A∩B＝⌀，P＝{x|x⊆A}，Q＝{x|x⫋B}，则下列关系一定成立的是（）A.A∪B＝P∪QB.P∩Q＝⌀C.P∩Q＝{⌀}D.A∪B⫋P∪Q【答案】C【考点】交集及其运算【解析】由A∩B＝⌀得A与B无公共元素，而P、Q分别是由集合A的子集、集合B的真子集构成的集合，空集是任何非空集合的真子集．【解答】∵A∩B＝⌀，∴A与B没有任何公共元素，∵P＝{x|x⊆A}，Q＝{x|x⫋B}，⌀是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，∴P∩Q＝{x|x⊆A且x⫋B}＝{⌀}，已知函数y＝f(x+1)为偶函数，则下列关系一定成立的是（）A.f(x)＝f(−x)B.f(x+1)＝f(−x+1)C.f(x+1)＝f(−x−1)D.f(−x+1)＝f(x)【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断根据偶函数的定义进行判断即可．【解答】∵y＝f(x+1)为偶函数，∴f(−x+1)＝f(x+1)，故B正确，三.解答题已知集合A={x|2x−1x+1≤1,x∈R}，集合B＝{x|x2−2ax+a2−1≤0, x∈R}．（1）求集合A；（2）若B∩(∁U A)＝B，求实数a的取值范围．【答案】由2x−1x+1≤1得，x−2x+1≤0；解得−1<x≤2；∴A＝{x|−1<x≤2}；∁U A＝{x|x≤−1, 或x>2}；∵B∩(∁U A)＝B；∴B⊆∁U A；且B＝{x|a−1≤x≤a+1}；∴a−1>2，或a+1≤−1；∴a>3，或a≤−2；∴实数a的取值范围为{a|a≤−2, 或a>3}．【考点】集合关系中的参数取值问题交、并、补集的混合运算【解析】（1）解分式不等式2x−1x+1≤1即可得出集合A＝{x|−1<x≤2}；（2）可求出∁U A＝{x|x≤−1, 或x>2}，根据B∩(∁U A)＝B即可得出B⊆∁U A，且B＝{x|a−1≤x≤a+1}，从而得出a−1>2或a+1≤−1，解出a的范围即可．【解答】由2x−1x+1≤1得，x−2x+1≤0；解得−1<x≤2；∴A＝{x|−1<x≤2}；∁U A＝{x|x≤−1, 或x>2}；∵B∩(∁U A)＝B；∴B⊆∁U A；且B＝{x|a−1≤x≤a+1}；∴a−1>2，或a+1≤−1；∴a>3，或a≤−2；∴实数a的取值范围为{a|a≤−2, 或a>3}．己知函数f(x)＝|x−a|+|x+b|．（1）若a＝1，b＝2，求不等式f(x)≤5的解；（2）对任意a >0，b >0，试确定函数y ＝f(x)的最小值M （用含a ，b 的代数式表示），若正数a 、b 满足a +4b ＝2ab ，则a 、b 分别取何值时，M 有最小值，并求出此最小值． 【答案】数f(x)＝|x −a|+|x +b|．由于a ＝1，b ＝2，所以|x −1|+|x +2|≤5，令x −1＝0，解得x ＝1，令x +2＝0，解得x ＝−2， 故：①当x ≤−2时，不等式转换为1−x −x −2≤5，解得−3≤x ≤−2． 当②−2<x <1时，不等式转换为x +2−1−x ≤5，即1≤5， 故不等式的解为−2<x <1．当③x ≥1时，不等式转换为x −1+x +2≤5，解得x ≤2， 由①②③得：不等式的解集为：x ∈[−3, 2]；对任意a >0，b >0，所以）|x −a|+|x +b|≥|a +b|＝a +b ． 所以函数y ＝f(x)的最小值M ＝a +b ，由于正数a 、b 满足a +4b ＝2ab ，整理得12b +2a =1， 所以a +b =(a +b)(12b +2a )=a2b +2b a+52≥2√a 2b ⋅2b a +52=92当a ＝43，b =23时，M 最小值为92．【考点】绝对值不等式的解法与证明 函数的最值及其几何意义 【解析】（1）直接利用分类讨论思想的应用和绝对值不等式的应用求出结果． （2）利用关系式的恒等变换的应用及均值不等式的应用求出结果． 【解答】数f(x)＝|x −a|+|x +b|．由于a ＝1，b ＝2，所以|x −1|+|x +2|≤5，令x −1＝0，解得x ＝1，令x +2＝0，解得x ＝−2， 故：①当x ≤−2时，不等式转换为1−x −x −2≤5，解得−3≤x ≤−2． 当②−2<x <1时，不等式转换为x +2−1−x ≤5，即1≤5， 故不等式的解为−2<x <1．当③x ≥1时，不等式转换为x −1+x +2≤5，解得x ≤2， 由①②③得：不等式的解集为：x ∈[−3, 2]；对任意a >0，b >0，所以）|x −a|+|x +b|≥|a +b|＝a +b ． 所以函数y ＝f(x)的最小值M ＝a +b ，由于正数a 、b 满足a +4b ＝2ab ，整理得12b +2a =1， 所以a +b =(a +b)(12b+2a)=a 2b +2b a+52≥2√a 2b⋅2b a+52=92当a ＝43，b =23时，M 最小值为92．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C(x)=k 3x+5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式．(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【答案】解：(1)设隔热层厚度为xcm，由题知，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5．再由C(0)=8，得k=40，因此C(x)=403x+5．而建造费用为C1(x)=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10).(2)f′(x)=6−2400(3x+5)2，令f′(x)=0，即2400(3x+5)2=6．解得x=5，x=−253（舍去）．当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0，故x=5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．【考点】利用导数研究函数的最值函数模型的选择与应用【解析】（1）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C(x)=k3x+5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C(0)=8，得k=40，进而得到C(x)=403x+5．建造费用为C1(x)=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)，我们不难得到f(x)的表达式．（2）由①中所求的f(x)的表达式，我们利用导数法，求出函数f(x)的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f(x)的最小值．【解答】解：(1)设隔热层厚度为xcm，由题知，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5．再由C(0)=8，得k=40，因此C(x)=403x+5．而建造费用为C1(x)=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10).(2)f′(x)=6−2400(3x+5)2，令f′(x)=0，即2400(3x+5)2=6．解得x=5，x=−253（舍去）．当0<x <5时，f′(x)<0，当5<x <10时，f′(x)>0，故x =5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70． 当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．已知函数f(x)=|x−a|x(a >0)，且满足f(12)＝1．（1）判断函数f(x)在(1, +∞)上的单调性，并用定义证明；（2）设函数g(x)=f(x)x，求g(x)在区间[12,4]上的最大值；（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程2(x −a)2−x|x −a|+2mx 2＝0恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围． 【答案】 由f(12)=|12−a|12=1，得a ＝1或0．因为a >0，所以a ＝1，所以f(x)=|x−1|x．当x >1时，f(x)=x−1x=1−1x为增函数，任取x 1，x 2∈(1, +∞)，且x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)＝1−1x 1−1+1x 2=x 1−x 2x 1x 2，因为1<x 1<x 2，则x 1−x 2<0，x 1x 2>0，f(x 1)−f(x 2)<0， 所以f(x)在(1, +∞)上为增函数；g(x)=f(x)x=|x−1|x 2={x−1x 2,1≤x ≤41−x x 2,12≤x <1，当1≤x ≤4时，g(x)=x−1x 2=1x −1x 2=−(1x −12)2+14，因为14≤1x ≤1，所以当1x =12时，g(x)max =14； 当12≤x <1时，g(x)=1−x x 2=(1x −12)2−14，因为12≤x <1时，所以1<1x ≤2，所以当1x =2时，g(x)max ＝2； 综上，当x =12时，g(x)max ＝2；由（1）可知，f(x)在(1, +∞)上为增函数，当x >1时，f(x)＝1−1x ∈(0, 1)． 同理可得f(x)在(0, 1)上为减函数，当0<x <1时，f(x)=1x −1∈(0, +∞)． 方程2(x −1)2−x|x −1|+2mx 2＝0可化为2⋅|x−1|2x 2−|x−1|x+2m ＝0，即2f 2(x)−f(x)+2m ＝0，设t ＝f(x)，方程可化为2t 2−t +2m ＝0，要使原方程有4个不同的正根，则方程2t 2−t +2m ＝0在(0, 1)有两个不等的根t 1，t 2， 则有{1−16m >02m >02×12−1+2m >0 ，解得0<m <116， 所以实数m 的取值范围为(0, 116)． 【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）由f(12)＝1，解方程可得a ，再由单调性的定义，即可证得f(x)在(1, +∞)上为增函数；（2）运用分段函数写出g(x)，讨论1≤x ≤4，12≤x <1，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值；（3）由题意可得方程2(x −1)2−x|x −1|+2mx 2＝0可化为2⋅|x−1|2x 2−|x−1|x+2m ＝0，即2f 2(x)−f(x)+2m ＝0，设t ＝f(x)，方程可化为2t 2−t +2m ＝0，由题意可得方程2t 2−t +2m ＝0在(0, 1)有两个不等的根t 1，t 2，可得m 的不等式，解不等式即可得到所求范围． 【解答】 由f(12)=|12−a|12=1，得a ＝1或0．因为a >0，所以a ＝1，所以f(x)=|x−1|x．当x >1时，f(x)=x−1x=1−1x 为增函数，任取x 1，x 2∈(1, +∞)，且x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)＝1−1x 1−1+1x 2=x 1−x 2x 1x 2，因为1<x 1<x 2，则x 1−x 2<0，x 1x 2>0，f(x 1)−f(x 2)<0， 所以f(x)在(1, +∞)上为增函数；g(x)=f(x)x=|x−1|x 2={x−1x 2,1≤x ≤41−x x 2,12≤x <1 ，当1≤x ≤4时，g(x)=x−1x 2=1x −1x 2=−(1x −12)2+14，因为14≤1x ≤1，所以当1x =12时，g(x)max =14； 当12≤x <1时，g(x)=1−x x 2=(1x −12)2−14，因为12≤x <1时，所以1<1x ≤2，所以当1x =2时，g(x)max ＝2； 综上，当x =12时，g(x)max ＝2；同理可得f(x)在(0, 1)上为减函数，当0<x <1时，f(x)=1x −1∈(0, +∞)． 方程2(x −1)2−x|x −1|+2mx 2＝0可化为2⋅|x−1|2x 2−|x−1|x+2m ＝0，即2f 2(x)−f(x)+2m ＝0，设t ＝f(x)，方程可化为2t 2−t +2m ＝0， 要使原方程有4个不同的正根，则方程2t 2−t +2m ＝0在(0, 1)有两个不等的根t 1，t 2， 则有{1−16m >02m >02×12−1+2m >0 ，解得0<m <116， 所以实数m 的取值范围为(0, 116)．已知函数f(x)＝mx +3，g(x)＝x 2+2x +m ． （1）求证：函数f(x)−g(x)必有零点；（2）设函数G(x)＝f(x)−g(x)−1．①若|G(x)|在[−1, 0]上是减函数，求实数m 的取值范围；②是否存在整数a 、b ，以及实数m ，使得不等式a ≤G(x)≤b 的解集恰好是[a, b]？若存在，求出a 、b 的值，若不存在，请说明理由． 【答案】证明：f(x)−g(x)＝−x 2+(m −2)x +3−m ． 令f(x)−g(x)＝0．则△＝(m −2)2−4(m −3)＝m 2−8m +16＝(m −4)2≥0恒成立， ∴ 方程f(x)−g(x)＝0有解， 即函数f(x)−g(x)必有零点；①G(x)＝f(x)−g(x)−1＝−x 2+(m −2)x +2−m ， 令G(x)＝0，△＝(m −2)2−4(m −2)＝(m −2)(m −6)． 当△≤0，即2≤m ≤6时，G(x)＝−x 2+(m −2)x +2−m ≤0恒成立， ∴ |G(x)|＝x 2−(m −2)x +m −2． ∵ |G(x)|在[−1, 0]上是减函数， ∴m−22≥0，解得m ≥2．∴ 2≤m ≤6．当△>0，即m <2或m >6时， |G(x)|＝x 2−(m −2)x +m −2． ∵ |G(x)|在[−1, 0]上是减函数，∴ x 2−(m −2)x +m −2＝0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零 且x =m−22≤−1．∴ {m −2>0m−22>0 或{m −2<0m−22≤−1解得m >2或m ≤0． ∴ m ≤0或m >6．消m ，得ab −2a −b ＝0， 显然b ≠2．∴ a =bb−2=1+2b−2．∵ a ，b 为整数，所以b −2＝±1或b −2＝±2． 解得{a =3b =3 或{a =−1b =1 或{a =2b =4 或{a =0b =0 ， ∵ a <b ，且a ≤4(2−m)+(m−2)24≤b ，∴ {a =−1b =1 或{a =2b =4．【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）利用一元二次函数存在零点求解；（2）①利用对折变换函数图象的特征，分△大于零，小于等于零两种情况讨论； ②利用a ≤G(x)≤b 的解集恰好是[a, b]得到{G(a)=aG(b)=b 再进行求解．【解答】证明：f(x)−g(x)＝−x 2+(m −2)x +3−m ． 令f(x)−g(x)＝0．则△＝(m −2)2−4(m −3)＝m 2−8m +16＝(m −4)2≥0恒成立， ∴ 方程f(x)−g(x)＝0有解， 即函数f(x)−g(x)必有零点；①G(x)＝f(x)−g(x)−1＝−x 2+(m −2)x +2−m ， 令G(x)＝0，△＝(m −2)2−4(m −2)＝(m −2)(m −6)． 当△≤0，即2≤m ≤6时，G(x)＝−x 2+(m −2)x +2−m ≤0恒成立， ∴ |G(x)|＝x 2−(m −2)x +m −2． ∵ |G(x)|在[−1, 0]上是减函数， ∴m−22≥0，解得m ≥2．∴ 2≤m ≤6．当△>0，即m <2或m >6时， |G(x)|＝x 2−(m −2)x +m −2． ∵ |G(x)|在[−1, 0]上是减函数，∴ x 2−(m −2)x +m −2＝0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零 且x =m−22≤−1．∴ {m −2>0m−22>0 或{m −2<0m−22≤−1解得m >2或m ≤0． ∴ m ≤0或m >6．消m ，得ab −2a −b ＝0， 显然b ≠2．∴ a =bb−2=1+2b−2．∵ a ，b 为整数，所以b −2＝±1或b −2＝±2． 解得{a =3b =3 或{a =−1b =1 或{a =2b =4 或{a =0b =0 ， ∵ a <b ，且a ≤4(2−m)+(m−2)24≤b ，∴ {a =−1b =1 或{a =2b =4．。

上海市交大附中2019-2020学年下学期高一期中考试数学试卷2020.05一. 填空题 1. 41lim 1x n n n →∞+−=+ 2. 函数()2sin sin()2f x x x π=+的最小正周期 3. 三角方程tan23x =在(0,)3π的解x = 4. 用数学归纳法证明22n n >对任意n k ≥，*,n k ∈N 自然数都成立，则k 的最小值为5. 已知数列{}n a ，11a =且满足1211n n a a a a +++⋅⋅⋅+=−，则n a =6. 已知12lim()n x x x→∞−存在，则x 的取值范围是 7. 已知无穷等比数列各项的和等于2，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是8. 已知函数11()|sin cos |(sin cos )22f x x x x x =+−−，则()f x 的值域是 9. 将函数sin (0)y x ωω=>的图像向左平移6π个单位， 平移后的图像如图所示，则平移后的图像所对应函数的解析式是y =10. 在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，都满足12313()32n n a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯−，则2222123lim()n x a a a a →∞+++⋅⋅⋅+= 11. 已知正数数列{}n a 满足132n n a a +≥+，且13n n a +<对*n ∈N 恒成立，则1a 的范围为12. 我们规定：对于任意实数A ，若存在数列{}n a 和实数x （0x ≠），使得 1A a =+2123n n a x a x a x −++⋅⋅⋅+，则称数A 可以表示成x 进制形式，简记为 123~()()()()n A x a a a a =⋅⋅⋅，如：2~(1)(3)(2)(1)A =−−则表示A 是一个2进制形式 的数，且23132(2)2125A =−+⨯+−⨯+⨯=，若数列{}n a 满足12a =，111k ka a +=−， *k ∈N ，123323133~()()()()()(n n n nb a a a a a a −−=⋅⋅⋅），*n ∈N 且n b 是一个等比数列的前n 项和，则这个等比数列的公比为二. 选择题13. 明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯 三百八十一，请问尖头几盏灯？”你的答案是（ ）A. 2盏B. 3盏C. 4盏D. 7盏14. 已知△ABC ，且222a b c =+，则△ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定15. 函数()sin(2))f x x x θθ=++的图像关于原点对称，且在[0,]4π上是减函 数，则θ的取值可以是（ ） A. 3π B. 23π C. 53π D. π 16. 已知等差数列{}n a ，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a 、4a 、8a 成等比数列， 则（ ）A. 10a d >，50dS >B. 10a d >，50dS <C. 10a d <，50dS <D. 10a d <，50dS >三. 解答题17. 已知等差数列{}n a 满足：311a =，798S =.（1）求数列{}n a 的通项公式n a 以及前n 项和n S ；（2）若从数列{}n a 中依次取出第2,4,8,,2,n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项，按原来的顺序构成一个新数列 {}n b ，试求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 已知函数2()2sin (0)2xf x x ωωω=−>的最小正周期为3π.（1）求函数()f x 在区间[]3,4ππ−上的最大值和最小值； （2）若函数()y f x =满足方程()(01)f x k k =<<，求此方程在[70,]2π内所有实数根之和的取值范围.19. 某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图 所示，已知已有两面墙的夹角为3π（即3ACB π∠=），墙AB 的长度为6米（已有两面墙 的可利用长度足够大），记ABC θ∠=.（1）若4πθ=，求△ABC 的周长（结果精确到0.01米）； （2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积即△ABC 的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积.20. 设函数()sin()f x mx =，x ∈R .（1）若1(,1)2m ∈，且函数()f x 与lg y x =图像有正格点（横、纵坐标均为正整数）交点， 求m 的值；（2）已知882()33n n a nf =−（*n ∈N ），对于满足（1）中条件的m 的值，求数列{}n a 的 前2020项和2020S ；（3）若正实数m 使得()sin()f x mx =的图像关于直线4x π=对称，所有满足条件的m 构成 的数列记为{}n b ，且{}n b 单调递增，求12233411111lim()x n n b b b b b b b b →∞++++⋅⋅⋅+的值.21. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n ∈N ，都有(1)4(0)n n n m S ma m −=−+>.（1）若4m =，求证：数列1{}4n n a −是等差数列，并求此时数列{}n a 的通项公式； （2）若4m =，是否存在正整数p 、q （1p q <<），使得1a 、p a 、q a 成等差数列？ 若存在，求出所有p 、q 的值；若不存在，请说明理由；（3）设4n n na b =（*n ∈N ），若||2n b ≤，求实数m 的取值范围.上海市交大附中2019-2020学年下学期高一期中考试数学试卷参考答案一. 填空题1. 12. π3. 6π4. 55. 12n −6. 1[,1)37. (0,2)(2,4)8. [2 9. sin(2)3x π+10. 3 11. (0,8] 12. 27二. 选择题 13. B 14. A 15. B 16. D三. 解答题17.（1）32n a n =+，2372n n n S +=；（2）322n n b =⋅+，6262n n T n =⋅−+. 18.（1）2()2sin()136f x x π=+−，最大值为1，最小值为3−；（2）9(4,)2ππ. 19.（1）周长为617.6+≈米；（2）当θ为60°时，该活动室面积最大，最大面积为.20.（1）4π；（2）−；（3）42n b n =−，122311111lim()8x n n b b b b b b →∞+++⋅⋅⋅+=. 21.（1）11434n n n a a −−=+⋅，数列1{}4n n a −公差为3，1(31)4n n a n −=+⋅； （2）114(31)424(31)q p q p −−++=⋅+，即142(31)4(31)4q p p p q −−=+−+，左边为正，右边为负（或者左边非偶，右边为偶），等式不成立，即不存在；（3）11b =，11333()44444n n n n m m b b b b m m −−=+⇒+=+−−，113()444n n m m b m m −−=−−−. ∴014m <<，由||2n b ≤，可知3224m −≤−≤−，∴502m <≤。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 4 小题，共12.0 分）1.ABC中，“cosA cosB sinA sinB）条件△＞”是“＜”的（A. 充要B. 充足不用要C. 必需不充足D. 既不充足也不用要2. 已知函数 f（ x）=sin x-sin3x，x∈[0，2π]，则函数 f（ x）的全部零点之和等于（）A. 0B. 3πC. 5πD. 7π3.ABC中，ABC的形状是（）在△，则△A.等腰三角形但必定不是直角三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形但必定不是等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形4. 已知函数，g（ x） =2x，若 f[g（ x） ] ≥0，对 x∈（ -∞， 0]恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A. B. C. （-∞，-1] D. [-1，+∞）二、填空题（本大题共12 小题，共 36.0 分）5. 已知α是第一象限角，那么是第 ______象限角．6. 半径为 1 的扇形面积也为1，则其圆心角的弧度数是 ______7.函数 y=sin xcosx 的最小正周期是 ______．8. 已知角α，其终边上有一点P x y y=4，则x=______ 知足（，），若9. 三角方程知足x [0 2π]______（用反正弦表示）∈ ，的解组成的解集为10.ABC中，若b=2，a=2，且三角形有解，则A的取值范围是______．在△11. 若 2sin α =1+cos，则α tan α = ．12. 将函数的图象向右平移个单位长度后，获得函数 g（ x）的图象，则函数 g（ x）的图象的对称轴方程为x=______13.△ABC 中， AB=5，BC=4， CA=3， D 为 AB 边上的中点，则△ACD 与△BCD 的外接圆的面积之比为 ______14.以下是相关△ABC 的几个命题：①若 tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC 是锐角三角形；②若 acosA=bcosB，则△ABC 是等腰三角形；③若acosB+bcosA=b，则△ABC 是等腰三角形；④若cosA=sinB，则△ABC 是直角三角形，此中全部正确命题的序号是 ______15. 已知函数y=asinx+cosx，，其最小值为a，则实数 a 的取值范围是 ______16. 设 a1、 a2 ∈R，且，则 |10 π-a1-a2 |的最小值等于 ______．17.设α，β∈（0，π），且，．（Ⅰ）求 cosα的值；（Ⅱ）求 cosβ的值．18.已知函数 f（ x） =Asin（ωx+φ）（ A＞ 0，ω＞0， | φ|＜）的部分图象如下图．（1）求函数 f（ x）的分析式；（2）将函数 y=f（ x）的图象向右平移个单位获得函数 g（x），当时，求函数h（x） =f（ x） +g（ x）的值域．19.如图，已知⊙O 的半径为 1，点 C 在直径 AB 的延伸线上， BC=1，点 P 是半圆上的一个动点，以PC 为边作正三角形PCD ，且点 D 与圆心分别在PC 双侧．（1）若∠POB =θ，试将四边形 OPDC 的面积 y 表示成θ的函数并写出定义域；（2）求出四边形 OPDC 面积的最大值，并写出头积获得最大值时的θ的值．20.若函数f（x）知足且，则称f（x）为“ M函数”．（ 1）试判断能否为“ M函数”，并说明原因；（ 2）函数 f（ x）为“ M 函数”，且当时，f（x）=sinx，求y=f（x）的解析式，并写出在上的单一递加区间；3 2 k N x的方程f x =a a为常（）在（）条件下，当（∈ ）时，对于（）（数）有解，记该方程全部解的和为S，恳求出S．21.若函数f（x）=sin（ωx+φ），ω＞0，，f（x）+f（-x）的最大值为1．（1）求φ的值；（2）若函数 f（ x）在 [1， 2]内没有对称轴，求ω的取值范围；（3）若函数 f（ x）知足 f（ x） =f（ x+12）恒成立，且在随意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在起码两个零点，求ω的最小值．答案和分析1.【答案】A【分析】解：解：充足性：在△ABC 中，“ cosA＞ cosB”，由余弦函数在（ 0，π）是减函数，故有 A＜B，若 B 不是钝角，明显有“ sinA＜sinB”成立，若 B 是钝角，因为 A+B＜π，故有 A＜π-B＜，故有 sinA＜ sin（π-B） =sin B，综上，“ cosA＞ cosB”能够推出“ sinA＜ sinB”，必需性：由“sinA＜ sinB”，若 B 是钝角，在△ABC 中，明显有 0＜A＜ B＜π，可得，“ cosA＞ cosB”，若 B 不是钝角，明显有 0＜A＜ B＜，此时也有 cosA＞ cosB，综上，“ sinA＜ sinB”推出“ cosA＞ cosB”成立，故，“ cosA＞ cosB”是“ sinA＜ sinB”的充要条件，应选： A．本题观察充足条件必需条件的判断，由“cosA＞cosB”推出“ sinA＜ sinB”证充足性，“ sinA＜ sinB”推出“ cosA＞ cosB”证必需性．本题观察必需条件、充足条件与充要条件的判断，属中档题．2.【答案】D【分析】解：（f x）=sinx-sin3x=sinx（- sinxcos2x+cosxsin2x）=sinx（- sinxcos2x+2sinxcosxcosx）=sin x-sinx（ cos2x+2cos2x）=sin x（ 1-cos2x-2cos2x）=sin x（ -cos2x-cos2x） =-2sinxcos2x，由 f（ x） =0，得 sinx=0 或 cos2x=0，由 sinx=0 得 x=kπ， k∈Z，∵x∈[0， 2π]，∴x=0 或 x=π或 x=2 π，由 cos2x=0 得 2x=kπ+= ， k∈Z，即 x= ，∵x∈[0， 2π]，∴x= 或 x= 或 x= 或 x= ，则全部零点之和为0+π+2π++ +=7π，应选： D．利用两角和差的正弦公式将sin3x 睁开，联合f（x）=0，利用三角函数值进行求解即可．本题主要观察函数零点的求解，利用两角和差的正弦公式将sin3x 睁开，联合三角函数的性质求出全部的零点是解决本题的重点．3.【答案】C【分析】解：由，，得（a2+b2） sin（ A-B）=（ a2-b2）?sin （A+B）（ a≠b），∴（ a2+b2）（ sinAcosB-cosAsinB） =（ a2-b2）（ sinAcosB+cosAsinB）（ a≠b），2222∴（ a2+b2）（ a-b）=（a2-b2）（a+b）（a≠b），∴a2=b2或 a2+b2=c2，且 a≠b，∴△ABC 是直角三角形但必定不是等腰三角形．应选： C．先利用两角和与差的正弦公式睁开，再利用正弦和余弦定理化简，获得 a2=b2或 a2+b2=c2且a≠b，从而获得答案．本题观察了正弦、余弦定理，以及特别角的三角函数值，娴熟掌握余弦定理是解本题的重点，属基础题．4.【答案】B【分析】解：=∵g（ x） =2 x，令 k=g（ x），则当x∈（ -∞， 0]时， k∈（ 0， 1]，令，则 t∈，∴f[g（ x）]= f（ k）=f（ t） =1-2sin2t-sint+a（ sint+1）∵f[g（ x）] ≥0，对 x∈（ -∞，0]恒成立，∴只要 a≥令， t∈，则，∵t∈，∴，∴a≥，应选： B．利用换元法将问题简化后再分了参数转变为求函数的最大值即可．本题观察了函数的图象与性质，观察了换元法和分别参数法，观察了转变思想，属中档题．5.【答案】一或三【分析】解：∵α是第一象限角，∴α的取值范围是（2kπ， +2kπ）（k∈Z）∴的取值范围是（kπ， +kπ）（k∈Z）分类议论①当 k=2 i+1（此中 i∈Z）时，的取值范围是（π+2iπ，+2 i π）即属于第三象限角．②当 k=2 i（此中 i∈Z）时，的取值范围是（2i π， +2 iπ）即属于第一象限角．故答案为：一或三．由题意α是第一象限角可知α的取值范围（2kπ， +2 kπ），求出的取值范围，而后分类议论则答案可求．本题观察了象限角的应用问题，是基本知识的观察与应用问题，是基础题．6.【答案】2【分析】解：设扇形圆心角的弧度数为α，则扇形面积为 S= αr2= α =1，解之，得α=2．故答案为： 2．半径为 r 的扇形圆心角的弧度数为α，则它的面积为S= αr2，由此联合题中数据，成立对于圆心角的弧度数α的方程，解之即得该扇形的圆心角的弧度数．本题在已知扇形的面积和半径的状况下，求该扇形圆心角的弧度数．侧重观察了弧度制的定义和扇形面积公式等知识，属于基础题．7.【答案】π【分析】解：函数y=sin xcosx= sin2x，它的最小正周期是：=π．故答案为：π．把函数 y=sinxcosx 化为一个角的一个三角函数的形式，而后求出它的最小正周期．本题观察三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，观察计算能力，是基础题．8.【答案】-3【分析】解：由三角函数的定义得cosα==- ，则 x＜ 0，平方得=，得 25x2=9x2+9×16，即 16x2=9×16，得x2=9 ，得 x=-3 ，故答案为： -3．联合三角函数的定义成立方程进行求解即可．本题主要观察三角函数的定义的应用，联合三角函数的定义成立方程是解决本题的重点．注意 x 的符号．9.【答案】或【分析】解：∵，x∈[0，2π]，∴x=aracsin 或 x=，故答案为：或．利用正弦函数的图象与性质即可求得答案．本题观察了三角方程的解法，属基础题．10.【答案】（0，]【分析】解：∵b=2，a=2，且三角形有解，∴A，且bsinA≤a，即sinA≤ ．0＜A．故答案为（ 0， ]．由 b＞ a 可知 A，故而bsinA≤a．本题观察了三角形有解的条件，属于基础题．11.【答案】0，或2 2【分析】解：∵2sin α=1+cos，α sin α +cosα =1，∴可得： sin2α+（ 2sin α-1）2=1，可得： 5sin2α =4sin，α∴解得： sin α =0，或，∴cos α=-1，或，∴tan α= =0 ，或．故答案为：0，或．由已知利用同角三角函数基本关系式即可解得sin α， cosα的值，从而可求tan α的值．本题主要观察了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，观察了方程思想的应用，属于基础题．【答案】， k∈Z12.【分析】解：函数的图象向右平移个单位长度后，得g（ x） =，由，∴x=，故答案为：．依据变换获得g（ x）的分析式，而后依据余弦函数的对称轴求出g（x）的对称轴即可．本题观察了函数的图象变换和三角函数的性质，属基础题．13.【答案】：169【分析】解：由△ABC 中， AB=5， BC=4， CA=3，知∴CD=，设△ACD 与△BCD 的半径分别为R， r则由正弦定理得R=，r =，△ACD 与△BCD 的外接圆的面积之比为R2：r 2=9：16，故答案为： 9： 16．依据条件可得△ABC为直角三角形，而后利用正弦定理求出△ACD与△BCD的外接圆的半径即可得其面积比．本题观察了勾股定理的逆定理和正弦定理，属基础题．14.【答案】①③【分析】解：①． tanA+tanB=tan（ A+B）（ 1-tanAtanB），∴tanA+tanB+tanC=tan（ A+B）（ 1-tanAtanB） +tanC=tanAtanBtanC＞ 0，又 A， B，C 是△ABC 的内角，∴内角 A、 B、 C 都是锐角，①正确；②． acosA=bcosB，则 sinAcosA=sin BcosB，则sin2A=sin2B，∴sin2A-sin2B=cos（A+B） sin （A-B） =0，∴cos（ A+B） =0 或 sin（ A-B） =0，∴A+B= 或 A=B，∴△ABC 是等腰三角形或是直角三角形，②错误；③．若 acosB+bcosA=b，则 sinAcosB+sin BcosA=sinB，∴sin（A+B）=sin C=sinB，则 C=B，即 c=b，则△ABC 是等腰三角形；③正确；④．若 cosA=sinB，则 sinB=cosA=sin（ -A），∴B= -A， B+ -A=π．即 A+B= 或 B-A= ，∴△ABC 不必定为直角三角形，④错误，综上，全部正确命题的序号是①③．故答案为：①③．①依据两角和差的正切公式判断正误；②依据正弦定理、三角函数的倍角公式进行化简判断即可；③依据正弦定理、和差公式、等腰三角形的定义判断即可；④依据三角函数的引诱公式进行化简判断正误．本题观察认识三角形、简略逻辑的判断方法，观察了推理能力与计算能力，属中档题．15.【答案】（-∞，1]【分析】解：由条件知当x= 时， y=a，因为函数y=asinx+cosx 的周期为，因此此函数在，的右端处获得最小值a，因此必有a≤1，故答案为（ -∞，1]．函数 y=asinx+cosx 的周期为，依据当x= 时， y=a 可得不等关系．本题观察了三角函数最值的求法，重点是当x= 时， y=a，属基础题．16.【答案】【分析】解：依据三角函数的性质，可知sin αsin2 α[-1 1]1，2的范围在，，要使+=2，∴sin α1=-1 ， sin2 α2=-1 ．则：， k1∈Z．，即， k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π-α1-α2|=|10π-（ 2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．由题意，要使+ =2，可得 sin αα2=-1．求出α1 和α2，即可求出1=-1，sin2|10 π-α1-α2|的最小值本题主要观察三角函数性质，有界线的范围的灵巧应用，属于基本知识的观察．17.【答案】解：（Ⅰ）α，β∈（0，π），．因此：=，即： -cot α=，因此：，则：．（Ⅱ）因为：，且：，故：，且，故：，因此： cos（α+β）=-，则： cosβ=cos[（α+β） -α]，=cos（α +β） cos α +sin（α +β） sin α，=，=．【分析】（Ⅰ ）直接利用三角函数关系式的恒等变变换和倍角公式求出结果．（Ⅱ ）利用（Ⅰ ）的结论，进一步利用角的恒等变换的应用求出结果．本题观察的知识重点：三角函数关系式的恒等变变换，角的恒等变换的应用，主要观察学生的运算能力和转变能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）∵，∴（2分）则 f（ x） =Asin （ 2x+φ），由五点对应法得 2×+φ=π，∴φ=，即 f （ x） =Asin（ 2x+ ）（ 4 分）又 f（ 0） =Asin = ，即 A= ，则 A=2（ 6 分）∴（7分）（ 2）依题意g（ x）=2sin2x（ 9 分）=（ 11 分）∵，∴2x+ ∈[ ，]，∴，∴h（ x）的值域为（15分）【分析】（ 1）依据三角函数的图象求出A，ω和φ的值即可（2）依据三角函数的平移关系求出 g（ x）和 h（ x）的分析式，联合三角函数的有界性进行求解即可本题主要观察三角函数的图象和性质，依据条件求出函数的分析式是解决本题的重点．19.【答案】解：（1）在△OPC中，由余弦定理得：22 2∴y=S△OPC+S△PDC= × 1× 2× sin （θ+5-4cos θ）=sin θ- cos θ+=2sin （θ- ） + ,．（ 2）∵0＜θ＜π，∴- ＜θ- ＜，∴当θ- = 即θ=时， y 获得最大值2+．∴当θ=时，四边形OPDC 面积的最大值为2+．【分析】（ 1）先利用余弦定理求出 PC 的值，再将四边形 OPDC 的面积分解成两个三角形的面积的和，从而获得 y 对于θ的函数；（ 2）依据θ的范围和正弦函数的性质求出头积的最大值及对应的θ的值．本题将三角函数与解三角形联合起来，重点是利用余弦定理求边，再求面积，三角函数求最值应注意角的范围．20.【答案】解：（1）f（x）=sin x不是“M函数”．∵f（ +x） =sin （ +x） =sin（ + x）， f（ -x） =sin （ -x） =sin（ - x），∴f（ +x）≠f（ -x）（ x∈R），∴f（x） =sin x 不是“ M 函数”．（2）∵函数 f （x）知足 f（ x） =f（ x+ ），∴函数 f（ x）的周期 T= ，∵f（ +x） =f（ -x）（ x∈R），∴f（ x） =f（ -x）（ x∈R），①当 x∈[ + ，+π]时， f（ x） =f（ x-）=sin（x-）②当 x∈[ - ，+ ] 时， f（ x） =f[ -（x- kπ） ]=cos （ x-）．∴f（x） =，k∈Z；在 [0，]上的单一递加区间：[ ， ] ， [ π，] ；（ 3）由（ 2）可得函数f（ x）在 [- ，π]上的图象为：①当 0≤a＜或a=1时，f（x）=a（a为常数）有 2 个解，其和为；②当 a=时，f（x）=a（a为常数）有 3 个解，其和为π；第11 页，共 13页③当 a 1 f x =a （ a 为常数）有 4π＜ ＜ 时，（） 个解，其和为 ．∴当x ∈[- ， 4π]时，记对于 x 的方程 f （ x ） =a （ a 为常数）全部解的和为 S ，则S=．【分析】 （ 1）由“ M 函数”的定义，即可判断f （ x ） =sin x 不是“ M 函数”；（ 2）由“ M 函数”的定义，联合函数的周期， 即可获得所求函数的分析式和单一区间；（ 3）可得函数 f （ x ）在 [- ， π]上的图象，联合图象和单一性、值域，可得所乞降．本题观察三角函数的图象、性质，观察三角恒等变形和函数的周期性，属于中档题． 21.【答案】 解：（ 1 ）∵（ ）=sin （ ）， ＞ ， ， f x ωx+φ ω 0∵f （x ） +f （ -x ） =sin （ωx+φ）+sin （ -ωx+φ） =sin ωxcos φ +cosxsin ω φ +sin （-ωx ） cos φ +cos（ -ωx ）sin φ=2sin φcosx ω的最大值为1， ∴2sin φ ，=1∴sin φ=， ∴φ=．（ 2） ∵f （ x ） =sin （ ωx+ ）在 [1， 2]内没有对称轴，∴，或 ．解得： 0＜ ω＜ ，或 ＜ ω＜ ，即 ω的取值范围为．（ 3） ∵f （ x ） =sin （ ωx+ ）， f （ x ） =f （ x+12）恒成立，∴12 为 f （ x ）的一个周期，即 k? =12 ， k ∈N * ，①且在随意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在起码两个零点，∴0＜ ω+≤π，且 3ω+≥ 2，π解得： ω≤ ，② ω≥ ，③①②③连立， ∴ω的最小值为 ．【分析】 这道题目第一小问利用正弦函数的值域获得答案；第二小问，将括号内的式子当作一个整体，而后利用正弦函数图象获得；第三小问主要利用周期的性质．本题综合观察三角函数图象的性质，波及到值域、对称轴、周期等方面，学生需要将正第12 页，共 13页弦函数的图象熟记于心，需要时直接拿来用．第13 页，共 13页。

上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题）A.4xx+的最小值是4 的最小值是2C.如果a b >，c d >，那么a c b d ->-D.如果22ac bc >，那么a b >2.设甲为“05x <<”，乙为“|2|3x -<”，那么甲是乙的（ ）条件 A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要3.非空集合A 、B 满足，A B =∅，{|}P x x A =⊆，{|Q x x = }B ，则下列关系一定成立的是（ ） A.AB P Q = B.P Q =∅ C.{}P Q =∅ D.A B P Q4.已知函数(1)y f x =+为偶函数，则下列关系一定成立的是（ ） A.()()f x f x =- B.(1)(1)f x f x +=-+ C.(1)(1)f x f x +=--D.(1)()f x f x -+=第II 卷（非选择题）二、解答题5.已知集合1{|1,}1A x x x =≤∈+R ，集合22{|210,}B x x ax a x =-+-≤∈R . （1）求集合A ；（2）若集合U =R ，()UBA B =，求实数a 的取值范围.6.己知函数()||||f x x a x b =-++（1）若1a =，2b =，求不等式()5f x ≤的解；（2）对任意0a >，0b >，试确定函数()y f x =的最小值M （用含a ，b 的代数式表示），若正数a 、b 满足42a b ab +=，则a 、b 分别取何值时，M 有最小值，并求出此最小值.7.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。

某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。