2020年上海市交大附中高一期中数学试卷及答案(2020.04)

上海交大附中高一上学期期中数学试卷一. 填空题1. 集合{|03}M x x =<≤，{|02}N x x =<≤，则“a M ∈”是“a N ∈” 条件2. 已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，{2,3}B =，则()()U U A C B C A B =3. 函数1()2f x x=-的定义域为 4. 已知集合{|||1,}A x x a x R =-<∈，2{|1,}1x aB x x R x -=<∈+，且A B =∅，则实数a 的取值范围是5. 已知()y f x =，()y g x =是两个定义在R 上的二次函数，其x 、y 的取值如下表所示：则不等式(())0f g x ≥的解集为 6. 关于x 的不等式23208kx kx ++<的解集不为空集，则k 的取值范围为 7. 已知本张试卷的出卷人在公元2x 年时年龄为8x -岁，则出卷人的出生年份是 （假设出生当年的年龄为1岁）8. 若对任意x R ∈，不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是9. 设常数0a >，若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 10. 设函数22220()0x x x f x xx ⎧++≤=⎨->⎩，若(())2f f a =，则a = 11. 若二次函数()y f x =对一切x R ∈恒有2224()245x x f x x x -+≤≤-+成立，且(5)27f =，则(11)f =12. 已知22()(5)22f x a x x =-++，若不等式()f x x >的解集为A ，已知(0,1)A ⊆，则a 的取值范围为二. 选择题13. 设P 、Q 为两个非空实数集，定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{0,2,5}P =，{1,2,6}Q =，则P Q +中元素的个数是（ ）A. 9B. 8C. 7D. 6 14. 不等式(1)(1||)0x x +->的解集是（ ）A. {|01}x x ≤<B. {|0x x <且1}x ≠-C. {|11}x x -<<D. {|1x x <且1}x ≠- 15. 已知三个不等式0ab >，0bc ad ->，0c da b->（其中a 、b 、c 、d 均为实数）， 用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命 题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 16. 设0a >，0b >，则以下不等式中不恒成立的是（ ） A. 11()()4a b a b++≥ B. 3322a b ab +≥ C. 22222a b a b ++≥+≥三. 解答题17. 已知ABC ∆为直角三角形，记其两条直角边长分别为,a b R +∈，记面积为S ，周长为C ，若三角形面积为定值，其周长是否有最值，最大值还是最小值，何时取到，为多少？（结果用S 表示）.18. 已知a R ∈，若关于x 的方程21||||04x x a a ++-+=有实根，求a 的取值范围.19. 阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题. 证明：2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++证：令A =，B =2222112211221122222211()()22a b a b a b a b a b a b AB AB A B A B A B A B =+=⋅+⋅≤+++ 222212122211()22a ab b A B ++=+=，故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++. （1）若1212,,,x x y y R +∈，利用上述结论，证明：21212()()x x y y ++≥；（2）若121212,,,,,x x y y z z R +∈，模仿上述证法并结合（1）的证法，证明：3121212()()()x x y y z z +++≥. （提示：若,,a b c R +∈，有3333a b c abc ++≥）20. 公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混 合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结 果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合 后结果不发生改变.（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性， 则再在该分组内逐个检测排査，设每个组x 个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排査的方法并不是很好， 或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排査，仍然考虑最坏的 情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行 若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案.21. 函数21()2f x ax x c =-+（,a c R ∈），满足(1)0f =，且()0f x ≥在x R ∈时恒成立. （1）求a 、c 的值； （2）若231()424b h x x bx =-+-，解不等式()()0f x h x +<； （3）是否存在实数m ，使函数()()g x f x mx =-在区间[,2]m m +上有最小值5-？若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由.参考答案一. 填空题1. 必要非充分2. {1,3}3. [1,2)(2,)-+∞ 4. 若2a ≤-5. {|1x x ≤}或{|3}x x ≥6. 3k >或0k <7. 1989年8. [1,1]-9. 15a ≥(,[2,)-∞+∞二. 选择题13. B 14. D 15. D 16. B三. 解答题17. 当a b=时，min C =+18. 1[0,]4. 19. 略.20.（1）45人；（2）第一次每组159人，第二次每组13人；（3）略.21.（1）14a c ==；（2）11(,)2211(,)2212b b x b b b ⎧<⎪⎪⎪∈>⎨⎪⎪∅=⎪⎩；（3）3m =-或1m =.。

上海市交大高一下学期期中考试数学试题（满分100分，90分钟完成。

答案一律写在答题纸上）一、填空题（每题3分）1、 若1sincos225αα-=，则sin α=_________。

2、 函数tan(2)3=-y x π的周期为_________。

3、 如果tan csc 0αα⋅<，那么角α的终边在第____________象限。

4、 若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积为______ cm 25、 方程|sin |1x =的解集是_________________。

6、222cos cos (120)cos (240)θθθ++︒++︒的值是________。

7、 若2sin()3αβ+=，1sin()5αβ-=，则tan tan αβ=__________。

8、 设0<α<π，且函数f(x)=sin(x+α)+cos(x -α)是偶函数，则α 的值为_________。

9、 等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的大小为_____________。

（结果用反三角表示）。

10、 设函数f(x)是以2为周期的奇函数，且2()75f -=，若sin α，则(4cos2)f α的值为___________________。

11、 设tan α和tan β是方程mx 2+(2m -3)x+m -2=0的两个实根，则tan(α+β)的最小值为______________。

12、 下列命题：①终边在坐标轴上的角的集合是{α∣2=k πα，k ∈Z}；②若2sin 1cos =+x x ，则tan2x 必为12；③0≠ab ，sin cos ),()+=+<a x b x x ϕϕπ中，若0>a ，则arctan=ba ϕ；④函数1sin()26y x π=-在区间[3π-，116π]上的值域为[，2]；⑤方程sin(2)03x a π+-=在区间[0，2π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则126x x π+=。

交大附中高一期中数学试卷一. 填空题1. 若52arcsin 243x π-=（），则x =2. 在公差d 不为零的等差数列{}n a 中，617a =，且3a 、11a 、43a 成等比数列，则d =3. 已知等比数列{}n a 中，0n a >，164a a =，则22232425log log log log a a a a +++=4. 前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是5. 在△ABC 中，2220a b mc +-=（m 为常数），且cos cos cos sin sin sin A B CA B C+=，则m 的值是= 6. 已知等比数列{}n a 的各项都是正数，n S 为其前n 项和，若48S =，824S =，则16S = 7. 已知函数()3sin 4cos f x x x =+，12,[0,]x x π∈，则12()()f x f x -的最大值是 8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，ABC ∠平分线交AC 于点D ，且22BD =，则4a c +的最小值为9. 已知数列{}n a 的前n 项和2212n S n n =-，数列{||}n a 的前n 项和n T ，则nT n的最小值是 10. 在等差数列{}n a 中，若10100S =，100910S =，110S = 11. 设函数|sin |0()20xx x f x x <⎧=⎨≥⎩，函数2lg()0()0x x g x x x -<⎧=⎨≥⎩，则方程()()f x g x =根的 数量为 个12. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且7362n n S n T n +=+，则使得 2kka b 为整数的正整数k 有 个 13. 设等差数列{}n a 的各项都是正数，公差为d ，前n 项和为n S ，若数列{}n S 也是公差为d 的等差数列，则{}n a 的前6项和为14. 若等差数列{}n a 满足22120110a a +≤，则201202203401M a a a a =++++L 的最大值为二. 选择题15. 已知数列{}n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则28cos()a a +的值为（ ） A. 12- B. 32- C. 12D. 3216. △ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若6a =，23b =，B 、A 、C 成等差数列，则B =（ ） A.6π B. 56π C. 6π或56π D. 23π17. 若等差数列{}n a 和{}n b 的公差均为(0)d d ≠，则下列数列中不为等差数列的是（ ） A. {}n a λ（λ为常数） B. {}n n a b + C. 22{}n n a b - D. {}n n a b ⋅18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若15a =，24b =，60A =︒，则这样的三角形解的个数为（ ）A. 1B. 2C. 0D. 不确定 19. 已知函数()2tan()23f x x ππ=-+，下列说法中错误的是（ ） A. 函数()f x 的定义城是1{|2,}3x x k k ≠+∈ZB. 函数()f x 图象与直线123x k =+，k ∈Z 没有交点C. 函数()f x 的单调增区间是51(2,2)33k k -++，k ∈ZD. 函数()f x 的周期是220. 函数cos(2)3y x π=+，[0,]2x π∈的值域为（ ）A. [0,1]B. 1[1,]2-C. 31[]2D. 11[,]22-21. 函数sin y x =，3[,]22x ππ∈的反函数是（ ）A. arcsin y x =，[1,1]x ∈-B. arcsin y x =-，[1,1]x ∈-C. arcsin y x π=+，[1,1]x ∈-D. arcsin y x π=-，[1,1]x ∈- 22. 在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且2244S b c =+-，2a =，则△ABC 的外接 圆的面积为（ ） A.4π B. 2πC. 2πD. 4π 23. 已知曲线1:cos C y x =，22:sin(2)3C y x π=+，则下面结论正确的是（ ）A. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个 单位，得到曲线2CB. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π 个单位，得到曲线2CC. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个 单位，得到曲线2CD. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个 单位，得到曲线2C24. 已知()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>，02πϕ<<）的图象关于直线6x π=对称，若存在12,x x ∈R ，使得对于任意的x 都有12()()()f x f x f x ≤≤，且12||x x -的最小值为2π，则ϕ 等于（ ） A.12π B. 6π C. 4πD. 3π25. 若等比数列{}n a 的前n 项和3(2)n n S m =+，则22212n a a a +++=L （ ） A. 413n - B. 41n - C. 3(41)n - D. 无法确定26. 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为4，其前n 项和为n S ，则数列1{}nS 的前n 项和为（ ） A.2(1)n n + B. 12(1)n n + C. 2(1)n n + D. 2(1)nn +27. 已知函数()f x 是定义在R 上的单调递减函数，且()f x 为奇函数，数列{}n a 是等差数列，1580a >，则123313314315()()()()()()f a f a f a f a f a f a ++++++L 的值（ ）A. 恒为负数B. 恒为正数C. 恒为0D. 可正可负 28. 已知函数()sin cos f x a x x =+的一条对称轴为11x π=，则函数()sin cos g x x a x =-的一条对称轴可以为（ ） A. 922x π=B. 1322x π=C. 1011x π=D. 1311x π= 29. 《周碑算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，已知一丈为十尺，一尺为十寸．问芒种日影长为（ ） A. 一尺五寸 B. 二尺五寸 C. 三尺五寸 D. 四尺五寸 30. 已知等差数列{}n a 、{}n b ，其前n 项和分别为n S 、n T ，2331n n a n b n +=-，则1111S T =（ ）A.1517 B. 2532C. 1D. 231. 已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在m *∈N 满足29m m S S =，2511m m a m a m +=-，则 数列{}n a 的公比为（ ） A.2 B. 2 C. 22 D. 432. 已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A. 若120a a +>，则130a a +> B. 若130a a +>，则120a a +> C. 若10a >，则20210S > D. 若10a >，则20200S >33. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，给出下列结论：① 01q <<；② 2019202110a a ->；③ 2019T 是数列{}n T 中的最大项；④ 使1n T >成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（ ）A. ①②B. ①③C. ①③④D. ①②③④ 34. 对于无穷数列{}n a ，给出下列命题：① 若数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列，则数列{}n a 是常数列； ② 若等差数列{}n a 满足||2020n a ≤，则数列{}n a 是常数列； ③ 若等比数列{}n a 满足||2020n a ≤，则数列{}n a 是常数列；④ 若各项为正数的等比数列{}n a 满足12020n a ≤≤，则数列{}n a 是常数列． 其中正确的命题个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 三. 解答题35. 已知函数()(|sin ||cos |)4sin 29f x a x x x =+++，满足9()13924f π=-. （1）求a 的值；（2）求()f x 的最小正周期；（3）是否存在正整数n ，使得()0f x =在区间[0,)4n π内恰有2020个根，若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由.36. 已知数列{}n a 、{}n b ，前n 项和分别记为n S 、n T .（1）若{}n a 、{}n b 都是等差数列，且满足2n n b a n -=，4n n T S =，求30S ； （2）若{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，2n n b a n -=，11a =，求30T ；（3）数列{}n a 、{}n b 都是等比数列，且满足3n ≤时，2n n b a n -=，若符合条件的数列{}n a 唯一，则在数列{}n a 、{}n b 中是否存在相等的项，即(,)k l a b k l *=∈N ，若存在请找出所有对应相等的项，若不存在，请说明理由.。

上海交通大学附属中学2020学年度第二学期高一数学期终试卷（满分100分，90分钟完成，答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共计36分）1、已知m >0时)1lg()10lg(10mm x +=，则x 的值为_____________； 2、设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1[)](1[11=+⋅+--b fa f，则b a +的值为__________；3、已知f (x )是定义域为｛x |x ∈R 且x ≠0｝的偶函数，在区间（0，+∞）上是增函数，若 f (1)< f (lg x ) ，则x 的取值范围是_______________；4、已知A 、B 为两个锐角，且1tan tan tan tan ++=⋅B A B A ，则cos （A +B ）的值是______；5、已知钝角α的终边经过点P （θ2sin ，θ4sin ），且21cos =θ，则α的值为____________； 6、电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数I=)20,0,0)(sin(πϕωϕω<<>>+⋅A t A 的图象如图所示，则当501=t 秒时，电流强度是 安； 7、将函数x x f y sin )(=的图象向右平移4π个单位后，再作关于x 轴对称的曲线，得到函数x y 2sin 21-=，则()f x 是_____； 8、函数)arccos(2x x y -=的值域为______； 9、曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则 | P 2P 4 | 等于______；10、△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边。

如果a 、b 、c 成等差数列，30B ∠=o，△ABC 的面积为23，那么b =______； 11、根据右边的框图，请写出所打印数列的全部项的 和_____；12、已知等比数列{a n }及等差数列{b n }，其中b 1=0，公差0≠d 。

上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高一数学期中考试试卷(满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上)一、填空题(本大题共14题，每题4分，满分56分)1、若52arcsin(2),43xπ-=则x=____.2、在公差d不为零的等差数列{}n a中，617,a=且31143,,a a a成等比数列,则d=____3、已知等比数列{}n a中，160,4,na a a>=则22232425log log log loga a a a+++=____4、前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是____5、在△ABC中，2220a b mc+-=(m为常数)，且cos cos cos,sin sin sinA B CA B C+=则m的值是____6、已知等比数列{}n a的各项都是正数,n S为其前n项和,若488,24,S S==则16S=___7、已知函数f(x)=3sinx+4cosx12,[0,],x xπ∈则12()()f x f x-的最大值是_____8、在△ABC中,角A、B、C所对应边分别为a、b、c，∠ABC=90°,∠ABC的平分线交AC于点D,且22,BD=则a+4c的最小值为____9、已知数列{}n a的前n项和2212,nS n n=-数列{||}na的前n项和,nT则nTn的最小值____10、在等差数列{}n a中,若10100110100,910,S S S===___11、设函数|sin|,0(),2,0xx xf xx<⎧=⎨≥⎩函数2lg(),0(),0x xg xx x-<⎧=⎨≥⎩则方程f(x)=g(x)根的数量为___个.12、已知两个等差数列{}n a和{}n b的前n项和分别为n S和,n T且736,2nnS nT n+=+则使得2kkab为整数的正整数k有_____个.13、设等差数列{}n a的各项都是正数,公差为d,前n项和为,n S若数列{}n S也是公差为d的等差数列,则{}na的前6项和为_____14、若等差数列{}n a满足22120110,a a+≤则201202203401M a a a a=++++L的最大值为_____二、选择题(本大题共20题，每题3分，满分60分)15、已知数列{}n a为等差数列,若1598,a a aπ++=则28cos()a a+的值为()1.2A -.2B -1.2C2D16、△ABC 的内角A,B,C 所对应边分别为a,b,c 若a 6,,b B A ==，C 成等差数列,则B=().6A π5.6B π.6C π或56π2.3D π 17、若等差数列{}{}n n a b 和的公差均为d(d≠0),则下列数列中不为等差数列的是().{}n A a λ(λ为常数) .{}n n B a b +22.{}n n C a b -.{}n n D a b ⋅18、在△ABC 中,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c,若a=15,b=24,A=60°,则这样的三角形解的个数为()A.1B.2C.0D.不确定19、已知函数()2tan().23f x x ππ=-+下列说法中错误的是()A.函数f(x)的定义域是1{|2,}3x x k k Z ≠+∈ B.函数f(x)图象与直线12,3x k =+k ∈Z 没有交点 C.函数f(x)的单调增区间是51(2,2),33k k k -++∈Z D.函数f(x)的周期是2 20、函数cos(2),[0,]32y x x ππ=+∈的值域为()A.[0,1]1.[1,]2B -1.[]22C -11.[,]22D -21、函数y=sinx,3[,]22x ππ∈的反函数是()A.y=arcsinx,x ∈[-1,1]B.y=-arcsinx,x ∈[-1,1]C.y=π+arcsinx,x ∈[-1,1]D.y=π-arcsinx,x ∈[-1,1]22、在△ABC 中,若△ABC 的面积为S,且2244,S b c =+-a=2,则△ABC 的外接圆的面积为()4Aπ.2B πC.2πD.4π23、已知曲线122:cos ,:sin(2),3C y x C y x π==+则下面结论正确的是() A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6π个单位,得到曲线2C B.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12π个单位,得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移12π个单位,得到曲线2C D.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12π个单位,得到曲线2C 24、已知()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象关于直线6x π=对称,若存在12,,x x R ∈使得对于任意x 都有12()()(),f x f x f x ≤≤且12||x x -的最小值为,2π则φ等于().12A π.6B π.4C π.3D π25、若等比数列{}n a 的前n 项和3(2),nn S m =+则22212n a a a +++=L () 41.3n A - B.4n -1.3(41)n C -D.无法确定26、已知等差数列{}n a 的首项为4,公差为4,其前n 项和为,n S 则数列1{}nS 的前n 项和为() .2(1)nA n +1.2(1)B n n +2.(1)C n n +2.1nD n + 27、已知函数f(x)是定义在R 上的单调递减函数,且f(x)为奇函数,数列{}n a 是等差数列,1580,a >则123313314315()()()()()()f a f a f a f a f a f a ++++++L 的值()A.恒为负数B.恒为正数C.恒为0D.可正可负28、已知函数f(x)=asinx+cosx 的一条对称轴为,11x π=则函数g(x)=sinx-acosx 的一条对称轴可以为()9.22A x π=13.22B x π=10.11C x π=13.11D x π=29、《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，已知一文为十尺，一尺为十寸.问芒种日影长为()A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸30、已知等差数列{},{},n n a b 其前n 项和分别为23,,,31n n n n a n S T S n +=-则1111ST =() 15.17A25.32B C.1D.231、已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若存在m ∈N *满足22519,1m m m m S a m S a m +==-，则数列{}n a 的公比为()B.2CD.432、已知数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为,n S 则下列结论正确的是() A.若120,a a +>则130a a +> B.若130,a a +>则120a a +> C.若a>0,则20210S >D.若10,a >则20200S >33、设等比数列{}n a 的公比为q,其前n 项之积为,n T 并且满足条件:2019120192020202011,1,0,1a a a a a ->><-给出下列结论:①02019202120191;10;q a a T <<->②③是数列{}n T 中的最大项;④使1n T >成立的最大自然数等于4039;其中正确结论的序号为()A.①②B.①③C.①③④D.①②③④34、对于无穷数列{},n a 给出下列命题:①若数列{}n a 既是等差数列,又是等比数列,则数列{}n a 是常数列. ②若等差数列{}n a 满足||2020,n a ≤则数列{}n a 是常数列. ③若等比数列{}n a 满足||2020,n a ≤则数列{}n a 是常数列.④若各项为正数的等比数列{}n a 满足12020,n a ≤≤则数列{}n a 是常数列. 4.1B.2C.3D.4三、解答题(本大题共2题，满分34分)35、(本题满分16分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题6分) 已知函数f(x)=a(|sinx|+|cosx|)+4sin2x+9,满足9()134f π=- (1)求a 的值;(2)求f(x)的最小正周期;(3)是否存在正整数n,使得f(x)=0在区间[0,)4n π内恰有2020个根.若存在,求出n 的值,若不存在,请说明理由.36、(本题满分18分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分) 已知{},{},n n a b 前n 项和分别记为,.n n S T(1)若{},{}n n a b 都是等差数列，且满足2,4,n n n n b a n T S -==求30S ； (2)若{}n a 是等比数列,{}n b 是等差数列,1302,1,n n b a n a T -==求(3)数列{},{}n n a b 都是等比数列,且满足n≤3时,2,n n b a n -=若符合条件的数列{}n a 唯一,则在数列{}n a 、{}n b 中是否存在相等的项,即*1(,),k a b k l N =∈若存在请找出所有对应相等的项,若不存在,请说明理由.。

上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高一数学期中考试试卷（满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分） 1.若52arcsin(2),43x π-=则x =____.【答案】2 【解析】 【分析】由反三角函数的定义得5sin (2)64x π=-，即可求解x . 【详解】由题意，52arcsin(2)43x π-=，所以5arcsin(2)46x π-=，由反三角函数的定义，5sin 264x π=-，即15224x =-，解得2x =. 故答案为：2【点睛】本题主要考查反三角函数的应用，属于基础题. 2.在公差d 不为零的等差数列{}n a 中，617,a =且31143,,a a a 成等比数列，则d =____【答案】3 【解析】 【分析】由数列{}n a 是等差数列得61517a a d =+=，由31143,,a a a 成等比数列，所以234311a a a =，联立两式求出1a 和d 即可.【详解】由题意，数列{}n a 是等差数列，所以61517a a d =+=①， 又31143,,a a a 成等比数列，所以234311a a a =，即()()()211124210a d a d a d ++=+②， 联立①②式，解得，12a =，3d =. 故答案为：3【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和等比中项的应用，考查学生计算能力，属于基础题.3.已知等比数列{}n a 中，160,4,n a a a >=则22232425log log log log a a a a +++=____【答案】4 【解析】 【分析】由对数的运算性质，()2223242522345log log log log log a a a a a a a a +++=，再由等比数列的下标性质，1623454a a a a a a ===，即可得到答案.【详解】由对数的运算性质，()2223242522345log log log log log a a a a a a a a +++=， 由等比数列下标性质，1623454a a a a a a ===， 所以()222425234lo log g 4log 24a a a a ===，即22232425log log log log 4a a a a +++=. 故答案为：4【点睛】本题主要考查等比数列的性质和对数的运算性质，属于基础题. 4.前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是______. 【答案】765 【解析】 【分析】前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列，利用求和公式即可得出.【详解】解：前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列.令()100271n =+-，解得15n =.∴前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和为()1521007652⨯+=.故答案为：765.【点睛】本题考查了等差数列的求和，重点考查了等差数列的定义，属基础题.5.在ABC ∆中，2220a b mc +-=（m 为常数），且cos cos cos sin sin sin A B CA B C+=，则m 的值是______. 【答案】3 【解析】 【分析】由已知等式可得2sin sin sin cos C A B C =，再由正弦定理将角化边得到2cos c ab C =，最后由余弦定理求出cos C 代入化简，即可求出参数的值. 【详解】解：cos cos cos sin sin sin A B CA B C+= ()cos sin cos sin sin sin sin cos A B B A C A B C ∴+= ()sin sin sin sin cos A B C A B C ∴+=2sin sin sin cos C A B C ∴=由正弦定理可得2cos c ab C =①根据余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=②由①②得2223a b c += 又因为2220a b mc +-= 所以3m = 故答案为：3【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于基础题. 6.已知等比数列{}n a 的各项都是正数，n S 为其前n 项和，若488,24,S S ==则16S =___【答案】120 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，利用等比数列求和公式分别表示出4S 和8S ，再计算16S 即可.【详解】由题意，设等比数列{}n a 的公比为()0q q >且1q ≠，则()441811a q S q--==，()8814112a q Sq-=-=，所以48413S q S =+=，解得42q =， 又()41118a q q--=，所以181a q=--， ()()16141618121201a q S q-==-⨯-=-.故答案为：120【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查学生的计算能力，属于基础题. 7.已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是________． 【答案】9 【解析】 【分析】先将函数()f x 转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数()f x 在区间[]0,π上的最大值和最小值，从而得出结果．【详解】由题意可得：()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．由[0,]x π∈，[,]x ϕϕπϕ+∈+，3,2ππϕπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 4()5sin()5sin 545min f x πϕϕ∴=+=-=-⨯=-，()5sin 52max f x π==， 当12,[0,]x x π∈时，()()()12()5)49(max min f x f x f x f x -=-=--=． 故答案为：9【点睛】本题考查了三角函数的恒等变化，以及正弦函数图象的性质，正弦函数的最值，把函数化简()()5sin f x x ϕ=+是解题的关键，属于中档题．8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，∠ABC =90°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且22,BD =则a +4c 的最小值为____【答案】18 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式找到a 和c 的关系，再结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】根据题意，90ABC ∠=，所以12ABC S ac =△， 因为BD 是ABC ∠的平分线，所以45ABD CBD ∠=∠=， 由三角形面积公式，112sin 22222ABDSBD c ABD c c =⨯⨯⨯∠=⨯⨯=， 112sin 22222CBDSBD a CBD c a =⨯⨯⨯∠=⨯⨯=， 因为ABCABD CBD S SS=+，所以12ac a c =+， 化简得，221a c+=， 所以()222828*********a c a c a c a c a c c a c a ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当28a cc a=，即2a c =，即6a =，3c =时，等号成立， 故答案为：18【点睛】本题主要考查三角形面积公式的应用和基本不等式求最值的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.9.已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____ 【答案】5 【解析】由n S 和1n S -的关系求出数列{}n a 的通项公式，再根据正负表示出数列{||}n a 的通项公式为144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，求出n T ，并表示出n T n ，再分别求出13n ≤≤和4n ≥时的最小值，即可判断nT n的最小值. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和2212n S n n =-()n N*∈，所以1121210a S ==-=-，当2n ≥时，()()12221221121414n n n n n n n S n a S -⎡⎤-----=-⎣⎦=-=，当1n =时，1411410a ⨯-=-=， 所以414n a n =-，当13n ≤≤时，0n a <，当4n ≥时，0n a >，所以144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，数列{||}n a 的前n 项和n T ，所以22212,1321236,4n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨-+≥⎩，当13n ≤≤时，212n T n n =-+，当3n =时，n Tn 的最小值为6； 当4n ≥时，36212n n T n n=+-， 由对勾函数的性质，当4n =时，n Tn有最小值5；综上所述，n Tn的最小值为5故答案为：5【点睛】本题主要考查由n S 求数列通项公式的求法、等差数列前n 项和公式、对勾函数的应用，是一道综合性很强的题目，考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题. 10.在等差数列{}n a 中，若10100110100,910,S S S ===___【答案】990【分析】由等差数列前n 项和公式，利用1a 、d 来表示10S 和100S ，求出1a 和d ，再计算110S 即可. 【详解】由题意，设数列{}n a 公差为d ， 由等差数列前n 项和公式，101109101002S a d ⨯=+=， 1100109099100021a S d ⨯==+，解得，11009100a =，150d =-，所以11010091101091110990100250S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为：990【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，考查学生计算能力，属于基础题.11.设函数sin ,0(),2,0x x x f x x ⎧<=⎨≥⎩函数2lg(),0(),0x x g x x x -<⎧=⎨≥⎩则方程f （x ）=g （x ）根的数量为___个. 【答案】7 【解析】 【分析】作函数()f x 和()g x 的图象，利用数形结合的方法求解即可.【详解】由题意，作函数sin ,0()2,0x x x f x x ⎧<=⎨≥⎩和2lg(),0(),0x x g x x x -<⎧=⎨≥⎩的图象，当0x <时，0sin 1x ≤≤，()lg 101--=⎡⎤⎣⎦，所以10x <-时，()f x 和()g x 没有交点，100x -<<时，结合图像，()f x 和()g x 有5个交点；当0x ≥时，()2x f x =和2()g x x =有两个交点，分别为()2,4和()4,16；所以()()f x g x =根的数量为7个. 故答案为：7【点睛】本题主要考查方程的根的求法，涉及分段函数的表示，考查学生数形结合的能力，属于中档题.12.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和,n T 且736,2n n S n T n +=+则使得2k ka b 为整数的正整数k 有_____个. 【答案】3 【解析】 【分析】由等差数列前n 项和公式和7362n n S n T n +=+，设出n S ，求出n a ，设出n T ，求出n b ，再得到2k ka b 的表达式，即可求出2kka b 为整数的正整数k 的个数.【详解】由7362n n S n T n +=+，设()736n S mn n =+， 当1n =时，1143S a m ==，当2n ≥时，()11429n n n a S S m n -=-=+，1143S a m ==符合上式，所以()11429n n n a S S m n -=-=+；设()2n T mn n =+， 当1n =时，113T b m ==，当2n ≥时，()121n n n b T T m n -=-=+，113T b m ==符合上式，所以()121n n n b T T m n -=-=+；则()()2282915142121k k m k a b m k k +==+++， 当1,2,7k =时，2k ka b 为整数，所以使得2kka b 为整数的正整数k 有3个.故答案为：3【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.13.设等差数列{}n a 的各项都是正数，公差为d ，前n 项和为,n S若数列也是公差为d 的等差数列，则{}n a 的前6项和为_____ 【答案】9 【解析】 【分析】由题意，等差数列的前n 项和公式()112n n n S na d -=+，由数列为等差数列，表示出数列()1n d =-，联立两式求解出1a 和d ，即可计算{}n a 的前6项和.【详解】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n S na d -=+，又数列()1n d =-，所以)()22111n S a n d n d =+-+-，所以)()()22111112n n a n d n d na d -+-+-=+， 解得，()2112na n d d =-+-， 当2n =时，21a d d =+-，当3n =时，21322a d d =+-，联立两式，解得114a =，12d =， 所以{}n a 的前6项和6165169422S ⨯=⨯+⨯= 故答案为：9【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用和前n 项和公式，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.14.若等差数列{}n a 满足22120110,a a +≤则201202203401M a a a a =++++的最大值为_____【答案】1000 【解析】 【分析】由题意，()221120010a a d ++≤，令1x a =，1200y a d =+，则公差200y xd -=，再由等差数列前n 项和公式得301200a M =，则3011322a x y =-+，当301a 取最大值时，直线301320x y a -+=与圆相切，由点到直线的距离公式求出301a 的最大值，即可求出M 的最大值.【详解】由题意，22120110a a +≤，即()221120010a a d ++≤，令1x a =，1200y a d =+，则等差数列{}n a 的公差200y xd -=， 则()2014012012022301034012002002a a M a a a a a+⨯===++++，30111330030020022y x a a d x x y -=+=+⨯=-+，即301320x y a -+=， ()221120010a a d ++≤为半径的圆内（包含圆周）， 所以301a 取最大值时，直线301320x y a -+=与圆相切，=301a 的最大值为5，所以max 20051000M =⨯=. 故答案为：1000【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和公式的应用、直线与圆的位置关系，考查学生分析转化能力，综合性较强，属于难题.二、选择题（本大题共20题，每题3分，满分60分）15.已知数列{}n a 为等差数列，若1598a a a ++=π，则()28cos a a +的值为（ ） A. -12B. C.12【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可知,1952a a a += ,求出5a ,再由2852a a a +=即可求解. 【详解】∵数列{}n a 为等差数列，1598a a a ++=π， ∴由等差数列的性质可得,1952a a a +=， 所以538a π=，即583a π=, 因为2852a a a +=,所以28163a a π+=， ∴281621cos()cos cos 332a a ππ+===-. 故选：A【点睛】本题考查等差数列的性质和三角函数的诱导公式;属于基础题. 16.ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c若6,a b ==，,,B A C 成等差数列，则B =（ ） A.6πB.56πC.6π或56π D.23π【答案】A 【解析】 【分析】B ，A ，C 成等差数列，可得2A ＝B +C ＝π﹣A ，解得A ．利用正弦定理可得sin B bsinAa=，即可得出．【详解】∵B ，A ，C 成等差数列，∴2A ＝B +C ＝π﹣A ， 解得A 3π=．则sinB1332sinbsinAaπ===， 又a ＞b ，∴B 为锐角． ∴B 6π=．故选：A ．【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数求值、等差数列的性质、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.若等差数列{}n a 和{}n b 的公差均为()0d d ≠，则下列数列中不为等差数列的是（ ） A. {}n a λ（λ为常数） B. {}n n a b + C. {}22n n a b - D. {}n n a b ⋅【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的定义对选项逐一进行判断，可得出正确的选项. 【详解】数列{}n a 和{}n b 是公差均为()0d d ≠的等差数列，则()11n a a n d +-=，()11n b b n d =+-，11n n a b a b ∴-=-.对于A 选项，()11n n n n a a a a d λλλλ++-=-=，数列{}n a λ（λ为常数）是等差数列； 对于B 选项，()()()()11112n n n n n n n n a b a b a a b b d +++++-+=-+-=，数列{}n n a b +是等差数列； 对于C 选项，()()()()222222221111n n n n n n n n ab a b a a b b ++++---=---()()()()()()111111112n n n n n n n n n n n n a a a a b b b b d a b a b d a b ++++++=-+--+=-+-=-，所以，数列{}22n n a b -是等差数列；对于D 选项，()()()211n n n n n n n n n n a b a b a d b d a b d d a b ++-=++-=++，不是常数，所以，数列{}n n a b 不是等差数列. 故选：D .【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式，注意等差数列定义的应用，考查推理能力，属于中等题.18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若15a =，24b =，60A =︒，则这样的三角形解的个数为（ ） A. 1B. 2C. 0D. 不确定【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理求出sin B 即可判断出解的个数 【详解】因为15a =，24b =，60A =︒所以由正弦定理得：sin sin a b A B= 即1524sin 60sin B=︒解得sin 1B =>，故无解 故选：C【点睛】本题考查的是正弦定理的运用，较简单. 19.已知函数()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭.下列说法中错误的是（ ）A. 函数()f x 的定义域是12,3x x k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.B. 函数()f x 图象与直线12,3x k k Z =+∈没有交点C. 函数()f x 的单调增区间是5232,3,1k k k Z ⎛⎫-++∈⎪⎝⎭D. 函数()f x 的周期是2 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的性质逐个判定即可. 【详解】对A,()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域满足122323x k x k ππππ+≠+⇒≠+,k Z ∈. 故A 正确.对B,由A 可知B 正确. 对C, ()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递增区间即tan 23x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭的单调递减区间.即3,2232k x k k Z ππππππ+<+<+∈,化简得1722,33k x k k Z +<<+∈.故C 错误. 对D, ()f x 的周期是22ππ= ,故D 正确.故选：C【点睛】本题主要考查了正切型函数的性质判定.属于基础题.20.函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为（ ）. A. []0,1 B. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B 【解析】 【分析】 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到42333x πππ≤+≤，现利用余弦函数的的图象和性质求解. 【详解】因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以42333x πππ≤+≤所以11cos 232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ 所以cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B【点睛】本题主要考查了余弦函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21.函数y =sinx ，3[,]22x ππ∈的反函数是（ ）A. y =arcsinx ，x ∈[-1，1]B. y =-arcsinx ，x ∈[-1，1]C. y =π+arcsinx ，x ∈[-1，1]D. y =π-arcsinx ，x ∈[-1，1]【答案】D 【解析】 【分析】先由诱导公式得到()sin ,,22y x x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，再根据反函数的定义求解即可. 【详解】由题意，3sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则[]1,1y ∈- 所以()sin ,,22y x x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以arcsin x y π-=，[]1,1y ∈-， 所以arcsin x y π=-，[]1,1y ∈-，即3sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的反函数是arcsin y x π=-，[]1,1x ∈- 故选：D【点睛】本题主要考查反函数的求法，属于基础题.22.在ABC 中，若ABC 的面积为S ，且2244,2S b c a =+-=，则ABC 的外接圆的面积为（ ）A.4π B.2π C. 2πD. 4π【答案】C 【解析】 【分析】利用2244,2S b c a =+-=求得A ，由此利用正弦定理求得ABC ∆外接圆的半径，进而求得外接圆的面积. 【详解】由2244,2S b c a =+-=得2222sin bc A b c a ⋅=+-，所以222sin cos 2b c a A A bc+-==，由于A 是三角形的内角，所以π4A =.设三角形ABC 外接圆半径为r，由正弦定理得2sin a r r A ====，所以外接圆的面积为2π2πr ⋅=. 故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.23.已知曲线122:cos ,:sin(2),3C y x C y x π==+则下面结论正确的是（ ） A. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位，得到曲线2CB. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位，得到曲线2CC. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位，得到曲线2CD. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位，得到曲线2C 【答案】D【解析】 【分析】由诱导公式将cos y x =化为sin 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据图像变换规律，即可得到答案. 【详解】由题意，1C ：cos sin 2y x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭， 故将1C 上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 再把得到的曲线向左平移12π个单位，得到2sin 2sin 21223y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即曲线2C 的图像. 故选：B【点睛】本题主要考查诱导公式的应用和三角函数图像变换规律，属于基础题. 24.已知()()2sin (0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象关于直线6x π=对称，若存在12,x x R ∈，使得对于任意的x 都有()()()12f x f x f x ≤≤，且12x x -的最小值为2π，则ϕ等于（ ） A.12π B.6π C.4π D.3π 【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的最大值和最小值对应的横坐标的距离，求得()f x 的半周期，由此求得ω的值，结合根据()f x 的对称轴列方程，求得ϕ的值.【详解】依题意存在12,x x R ∈，使得对于任意的x 都有()()()12f x f x f x ≤≤，所以()()12,f x f x 分别是()f x 的最小值和最大值，而12x x -的最小值为2π，所以π,π22T T ==，由()2ππ0T ωω==>解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+.由于()f x 的图象关于直线6x π=对称，所以ππ2sin 63f ϕ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为2或2-，即πsin 3ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为1或1-，由于ππ50,2336ππϕϕ<<<+<，所以πππ,326ϕϕ+==. 故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性和对称性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.25.若等比数列{}n a 的前n 项和3(2),n n S m =+则22212n a a a +++=（ ）A.413n - B. 4n -1C. 3(41)n-D. 无法确定【答案】C 【解析】 【分析】利用1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-，以及数列{}n a 为等比数列求出m 的值，再得到数列2{}n a 是等比数列，再由等比数列前n 项和公式求解即可.【详解】当1n =时，1113(2)63m m a S =⨯+=+=，当2n ≥时，1113(2)3(2)32n n n n n n m S S m a ---+-+⨯-===，因为数列{}n a 为等比数列，所以当1n =时，13632n m -⨯+=，解得1m =-， 所以数列{}n a 是以3为首项，2为公比的等比数列，当2n ≥时，()()212222132432n n n n aa---⨯==⨯，数列2{}n a 是以239=为首项，4为公比的等比数列， 所以()()2221291434114n n n a a a ⨯-+++==--.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的定义、通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.26.已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为4，其前n 项和为n S ，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A. 2(1)n n +B. 12(1)n n +C. 2(1)n n +D.21nn + 【答案】A 【解析】 【分析】由题得出数列前n 项和n S ，再用裂项相消法即可求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【详解】等差数列前n 项和公式为()112n n n S na d -=+，又14a =，4d =，所以()242122=+-=+n n n n n S n ，所以()2111111=22212+1⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n n n n n n S n ，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()111111111+12122312121⎛⎫⎛⎫=--++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭n nT n n n n . 故选：A【点睛】本题主要考查求数列前n 项和，解题的关键是会用裂项相消求数列前n 项和. 27.已知函数f （x ）是定义在R 上的单调递减函数，且f （x ）为奇函数，数列{}n a 是等差数列，1580,a >则123313314315()()()()()()f a f a f a f a f a f a ++++++的值（ ）A. 恒为负数B. 恒为正数C. 恒为0D. 可正可负【答案】A 【解析】 【分析】函数f （x ）是定义在R 上的单调递减函数，且f （x ）为奇函数，所以(0)0f =，当0x >时，()0f x <，所以可得158()0a f <，由等差数列{}n a 的性质可得131515820a a a +=>，即1315()()0f a f a +<，同理可以得到2314()()0f a f a +<，3313()()0f a f a +<，⋅⋅⋅，进而可以得到所求式子的符号.【详解】由题意，函数f （x ）是定义在R 上的单调递减函数，且f （x ）为奇函数， 所以(0)0f =，当0x >时，()0f x <；因为数列{}n a 是等差数列，且1580a >，所以158()0a f <， 又131515820a a a +=>，所以1315()()0f a f a +<， 同理，2314()()0f a f a +<，3313()()0f a f a +<，⋅⋅⋅， 所以123313314315()()()()()()0f a f a f a f a f a f a ++++++<故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的性质，函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于中档题. 28.已知函数f （x ）=asinx +cosx 的一条对称轴为,11x π=则函数g （x ）=sinx -acosx 的一条对称轴可以为（ ） A. 922x π=B. 1322x π=C. 1011x π=D. 1311x π=【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式化简()()f x x α=+，其中1tan aα=，由()f x 的一条对称轴是11x π=求出α，再根据辅助角公式化简()()g x x β=-，其中tan a β=，利用tan tan 1αβ⋅=，求出α和β的关系，即可求出()g x 的一条对称轴.【详解】由题意，()()sin cos f x a x x x α=+=+，其中1tan aα=， 因为()f x 的一条对称轴是11x π=，所以1,112ππαπ+=+∈k k Z ，解得119,22αππ=+∈k k Z ，函数()()sin cos g x x a x x β=-=-，其中tan a β=， 所以()g x 的对称轴是22,2πβπ=++∈x k k Z ，因为1tan tan 1a aαβ⋅=⋅=，所以sin sin 1cos cos αβαβ=， 即()cos cos sin sin cos 0αβαβαβ-=+=， 所以33,2παβπ+=+∈k k Z ，所以()()33131,211ππβπαπ=+-=+--∈k k k k k Z ，所以()g x 的一条对称轴()()3123121313,2112222πππππππ=++-+=+-+=+∈x k k k k k k k k Z ， 当0k =时，1322x π=. 故选：B【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，两角和差的余弦公式和三角函数的性质，考查学生的分析转化能力，属于中档题.29.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A. 一尺五寸 B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸【答案】B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高一数学期中考试试卷（满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）（5 、霏1、若2arcsin —工一2 二一，则工二〔4 ）3【答案】:22、在公差d不为零的等差数列｛%｝中，气=】7,且％, %,七3成等比数列，则〃= 【答案】：33、己知等比数列｛□"｝中，a n>Q f a^a6 =4, KO log2a2+ log2a3 + log2a4 + log2a5 = 【答案】：44、前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是.【答案】:7655、在AABC中，a2 + b2-mc2= 0为常数），且竺4 +竺旦=竺£,则小的值是一sin/ sing sinC【答案】：36、已知等比数列｛%｝的各项都是正数，％为其前〃项和，若$4 = 8, 58 = 24 ,则Sy=【答案】：1207、已知函数，（x）= 3sinx + 4cosK , \x2e[0,^]» 则f（x l）~f（x2）的最大值是_______ .【答案】：98、在AABC中，角处、8、C所对应边分别为1、b、c , ZABC=9Q°, ZAB C的平分线交0C于点O,且BD^2^2,则a + 4c的最小值为.【答案】；18T9、已知数列｛%｝的前&项和S H=2«2-12n,数列｛|%|｝的前〃项和L，则土的最小值是. 4【答案】：510、在等差数列｛%｝中，若二100, A。

二910, S“Q=【答案】：990lg （—x ）,x<0 ,、 ，、' 7则方程/（x ） = g （X ）根的数量为个.x 2,x > 0【答案】：712、己知两个等差数列｛%｝和｛如｝的前此项和分别为S,,和，，且?=芸；6，则使得芒为整数的正整数左有.个• 【答案】:313、设等差数列｛a,,｝的各项都是正数，公差为d,前弗项和为S”，若数列｛属｝也是公差为d 的等差数列，则｛a,,｝的前6项和为.【答案】：914、若等差数列｛%｝满足a ； + a ；oiWl 。

上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.3.已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.5.函数y =的定义域是______.6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.11.已知函数)()lg f x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.【答案】{}1【解析】【分析】通过全集，计算出{}0,1,4B =，根据交集的定义即可．【详解】因为{}0,1,2,3,4U =，{}2,3B =，所以{}0,1,4B =所以{}1A B ⋂=．故答案为：{}1．2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.【答案】()2020,2023-【解析】【分析】根据01(0,1)a a a =>≠，结合条件，即可求得答案.【详解】 01(0,1)a a a =>≠，令20200x +=，得2020x =-，020222023y a =+=，∴函数20202022(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点()2020,2023-，故答案为：()2020,2023-.3.已知幂函数()()22322n n f x n n x -=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.【答案】1【解析】【分析】根据函数是幂函数得2221+-=n n ，求得3n =-或1，再检验是否符合题意即可.【详解】因为()()22322n n f x n n x -=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=.故答案为：1.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.【答案】()2,3--【解析】【分析】将函数化成ky b x a=++，根据的对称中心为(,)a b -，即可得出答案.【详解】1373(2)73222x x y x x x --+===-+++，因为函数72y x =+的图象的对称中心是()2,0-，所以函数732y x =-+的图象的对称中心是()2,3--.故答案为：()2,3--.【点睛】对称性的3个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称；（2）若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或(2)()f a x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称.5.函数y =的定义域是______.【答案】(7,)+∞【解析】【分析】根据被开方数非负且分母不为零可得132log 05x ⎛⎫>⎪-⎝⎭，解对数不等式即可求得定义域.【详解】1322log 00155x x ⎛⎫>⇒<<⎪--⎝⎭，()()271075055x x x x x -<⇒>⇒-->--且5x ≠，解得5x <或7x >，2055x x <⇒>-，∴函数y =(7,)+∞.故答案为：(7,)+∞6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据幂函数的定义域和单调性得到关于a 的不等式，解之可得实数a 的取值范围.【详解】由题意知，3322(21)(1)a a --->+，>由于幂函数32y x =的定义域为[0,)+∞，且在[0,)+∞上单调递增，则2101121110a a a a ->⎧⎪⎪>⎨-+⎪+>⎪⎩，即：()()12202111a a a a a ⎧>⎪⎪-⎪>⎨-+⎪⎪>-⎪⎩，所以1221a a a ⎧>⎪⎪<⎨⎪>-⎪⎩，所以实数a 的取值范围是：122a <<．故填：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域和单调性，属于基础题．7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.【答案】0【解析】【分析】原式化为64(6)166x x -++-，结合基本不等式即可求解最大值．【详解】6x < ，所以60x ->，2244(6)16(6)6464(6)16666x x x x x x x x ++-+-+==-++---因为64(6)6x x -+-64[(6)]166x x =--+-=--，当且仅当2x =-时，取等号；∴2244(6)16(6)6464(6)160666x x x x x x x x ++-+-+==-++---．即2446x x x ++-的最大值为0．故答案为：0．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.【答案】3737±【解析】【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得137log 37log b acc b a==±【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以1137log log log 37log b c c acc b b a a===±-.故答案为：3737±【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【解析】【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,4-∞-【解析】【分析】利用换元法，设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，分离参数，求最值.【详解】设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，即221(2)4(2)55[(2)]4222t t t a t t t t ++-++=-=-=-++++++，022t t >∴+> ，，则5[(2)4442t t -+++≤-+=-+当且仅当5(2)2t t +=+，即2t =时取等，(,4a ∴∈-∞-故答案为：(,4-∞-11.已知函数)()lgf x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[1,1]-【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0，得出+ax ＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a 的取值范围．【详解】解：函数f （x ）＝lg （+ax ）的定义域为R ，+ax ＞0恒成立，-ax 恒成立，设y =，x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ；令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y =的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．【答案】24S <≤【解析】【详解】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y xyS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分、必要条件定义判定即可.【详解】解：当33a b >时，根据指数函数3x y =是定义域内的增函数可得a b >，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以充分性成立，当33a b >时，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以a b >，又指数函数3x y =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以必要性成立，综上：“33a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.【点睛】充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据,p q q p ⇒⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据,p q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素【答案】C 【解析】【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立．【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B ，若{|M x Q x =∈<，{|N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断.【详解】解：对于①：3x y =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，所以函数3x y =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =，故③正确；故选：C.【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ .【解析】【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？【答案】（1）466；（2）3倍.【解析】【分析】（1）将05x =，0v =代入函数解析式，计算得到答案．（2）根据题意得到方程组13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减化简即可求出答案．【详解】（1）将05x =，0v =代入函数301log lg 2100x v x =-，得：31log lg 502100x-=，即()3log 2lg 521lg 2 1.40100x==-=，所以1.403 4.66100x==，所以466x =．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟耗氧量为2x ，由题意可得：13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减可得：13211log 22x x =，所以132log 1x x =，即123x x =，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得222()(()a b x y a b x y +++，从而证明222()a b a b x yx y+++成立；（2）由121n x x x ++=…+，得121(1)(1)(1)n n x x x +=++++⋯++，然后利用柯西不等式，即可证明12212211111x x xx x x n++⋯⋯+++++成立．【详解】（1）对任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得()()()()222222222a b a b x y a b x y ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++=++⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当x y a b=时取等号，∴222()a b a b x y x y+++．（2）121n x x x ++⋯+= ，121(1)(1)(1)n n x x x ∴+=++++⋯++，2221212()(1)111n nx x x n x x x ++⋯+++++222121212()[(1)(1)(1)]111n n nx x x x x x x x x =++⋯+++++⋯+++++212()1n x x x ++⋯+=，当且仅当121n x x x n==⋯==时取等号，∴222121211111n nx x x x x x n ++⋯+++++．【点睛】方法点睛：利用柯西不等式求最值或证明不等式时，关键是对原目标代数式进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件,配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标代数式进行配凑后利用柯西不等式解答.20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.【答案】（1）()2x f x =；（2）[]3,1-；（3）2log 3-.【解析】【分析】（1）由2211(2)4f aa --===可得答案.（2）由条件可得()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤，即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，可得答案.（3）由条件121x k =-，221x k =+，即12121x x k k --=+，以及431221xk k +=+或3+1221x k k =+，所以341312x x k k -+=+，从而可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++，求出最大值可得答案.【详解】（1）由2211(2)4f a a --===，所以2a =所以()2xf x =（2）()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解即设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤所以()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解当[]1,4t ∈时，[]2134,1t t ∈--+所以31m -≤≤（3）由()10f x k --=，即21x k =+或21x k=-由方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，则121x k =-，221x k=+所以12121x x k k--=+由()1021k f x k --=+，即31212121x k k k k +=+=++或+1212121xk k k k =-=++方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，则431221x k k +=+或3+1221xk k =+所以341312x xk k -+=+所以()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++函数431133y k =++-在113k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，上单调递减，当13k =时，431133y k =++-有最大值13.所以()()1234123x x x x -+-≤，则1322421log log 33x x x x -=-+≤-所以1234x x x x -+-的最大值为2log 3-【点睛】关键点睛：本题考查指数的运算和方程有解求参数，方程根的关系，解答本题的关键是由题意可得()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解，设2x t =，分类参数即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，以及根据方程的根的情况可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅===-++++，属于中档题.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.【答案】（1）集合{}1,2,3,4不是，集合{}1,3,5,7,9,11,13是；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②7.【解析】【分析】（1）根据“可分集合”定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，分去掉的元素是1a 时得5234a a a a =++①，或2534a a a a +=+②，去掉的元素是2a 得5134a a a a =++③，或1534a a a a +=+④，进而求解得矛盾，从而证明结论.（3）①设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，进而分类讨论M 为奇数和M 为偶数两类情况，分析可得集合A 中的元素个数为奇数；②结合（1）（2）问依次验证3,5,7n n n ===时集合A 是否为“可分集合”从而证明.【详解】解：（1）对于集合{}1,2,3,4，去掉元素1，剩余的元素组成的集合为{}12,3,4A =，显然不能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，1B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，故{}1,2,3,4不是“可分集合”对于集合{}1,3,5,7,9,11,13，去掉元素1，{}13,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}11,13,3,5,7,9B C ==，满足题意；去掉元素3，{}21,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,13,5,7,11B C ==，满足题意；去掉元素5，{}31,3,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,3,7,11,9,13B C ==，满足题意；去掉元素7，{}41,3,5,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,11,3,5,13B C ==，满足题意；去掉元素9，{}51,3,5,7,11,13A =，显然可以分为{}{}7,13,1,3,5,11B C ==，满足题意；去掉元素11，{}61,3,5,7,9,13A =，显然可以分为{}{}3,7,9,1,5,13B C ==，满足题意；去掉元素13，{}71,3,5,7,9,11A =，显然可以分为{}{}1,3,5,9,7,11B C ==，满足题意；故{}1,3,5,7,9,11,13是可分集合.（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，若去掉的是1a ，则集合{}12345,,,A a a a a =可以分成{}{}5234,,,B a C a a a ==或{}{}2534,,,B a a C a a ==，即：5234a a a a =++①或2534a a a a +=+②若去掉的是2a ，则集合{}21345,,,A a a a a =可以分成{}{}5134,,,B a C a a a ==或{}{}1534,,,B a a C a a ==，即：5134a a a a =++③或1534a a a a +=+④，由①③得21a a =，矛盾；由①④21a a =-，矛盾；由②③得21a a =-，矛盾；由②④21a a =，矛盾；所以五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）①证明：设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，若M 为奇数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为奇数，由于12n M a a a =+++ ，所以n 为奇数；若M 为偶数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为偶数，此时设()21,2,3,,i i a b i n == ，则{}12,,,n b b b 也是“可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”，此时各项之和也为奇数，集合A 中的元素个数为奇数.综上所述，集合A 中的元素个数为奇数.②当3n =时，显然任意集合{}123,,A a a a =不是“可分集合”；当5n =时，第二问已经证明集合{}12345,,,,A a a a a a =不是“可分集合”；当7n =时，第一问已验证集合{}1,3,5,7,9,11,13A =是“可分集合”.所以集合A 中元素个数的最小值为7.【点睛】本题考查集合新定义的问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义依次验证，证明即可.注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力，分析能力.本题第二问解题的关键在于假设123450a a a a a <<<<<，以去掉元素1a 和2a 两种情况下的可分集合推出矛盾，进而证明，是难题.。

上海交通大学附属中学2020-2021学年度第二学期高一数学期中试卷（本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一、填空题（本题满分54分，其中1~6每题4分，7~12每题5分）1.已知平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，其终边上有一点()512P -，，则=αtan ．2.计算：=+)31arctan 21tan(arctan ____________. 3.若53sin =α，且)2,0(πα∈，则tan α= ．4.已知2tan =α，则=+αααcos sin sin 22___________．5.把ααcos 3sin -化为)),(,0)(sin(ππϕϕα-∈>+A A 其中的形式：_________．6.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 2πx y 的最小正周期为___________. 7.已知：32)3sin(-=+πθ，则 tan(5)cos(2)sin(3)2tan(6)cos()7tan()sin(4)cot()22πθθππθπθπθππθπθθ--⋅-⋅--+-⋅-++⋅-+⋅--=______.8.若54)sin(=+βα，43)sin(=-βα，则=βαtan tan ． 9.小瑗在解决问题“已知锐角α与锐角β的值，求βα+的正弦值”时误将两角和的正弦公式错记成了“βαβαβαsin sin cos cos )sin(+=+ ”，解得的结果为426+ . 发现恰好与标准答案一致. 那么原题中的锐角α的值为__________（写出所有的可能值）. 10.如右图，平面上有一条走廊宽为3米，夹角为120°，地面是水平的，走廊两端足够长. 那么能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为_________米. 11.设对任意]2,0[πθ∈，不等式046cos 3sin 2<--+m m θθ恒成立，则实数m 的范围是____________.12.如右图，已知等腰三角形ABC 的顶角7π=A ，D 是腰AB 上一点. 若1=AD ，2=CD ，则=BC ____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分.13.一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是 （ ） A.2弧度B.3弧度C.4弧度D.5弧度 14.方程2tan =x 的解集是（ ）A.},2arctan 2|{Z k k x x ∈+=πB. },2arctan 2|{Z k k x x ∈±=πC.},2arctan |{Z k k x x ∈+=πD. },2arctan )1(|{Z k k x x k∈⋅-+=π 15.角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限16.已知定义域是全体实数的函数()y f x =满足(2)()f x f x π+=，且()g x =()()2f x f x +-，()()()2f x f x h x --=，现定义函数(),()y p x y q x ==为：()p x =()()()()()()2cos 22sin 22,(),0()0()22g x g x h x h x k x k x x x q x k x k x ππππππππ-+++⎧⎧≠+≠⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩其中k Z ∈，那么下列关于(),()y p x y q x ==叙述正确的是（ ）A.都是偶函数且周期为πB.都是奇函数且周期为πC.都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数D.都不是周期函数三、解答题（本大题满分76分）17.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）设(0,)3πα∈，(,)62ππβ∈，且,αβ满足5cos 82ααββ⎧+=⎪+=，（1）求cos()6πα+的值；（2）求cos()αβ+的值．18.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，一条河的两岸相互平行. 两岸边各有一个小镇A与B，它们的直线距离为2千米，河宽AC为1千米.根据规划需在线段BC上选择一个点D，沿AD铺设水下电缆，沿BD 铺设地下电缆．建立数学模型寻找如何铺设电缆费用最低．（1）模型建立：我们假设：1. B、D之间的地下电缆沿________铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为1；2. A、D之间的水下电缆沿________铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍；∠=；则θ的取值范围为_____________．可以将该项工程的总费用如果设ADCθy表示为θ的函数，这个函数的解析式为_____________．因此，原实际问题的数学模型为：求___________，该项工程的总费用y最低．（2）模型求解：请求解上述模型．AC D B19.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）已知三角形ABC 中，A tan 、B tan 是方程042=++ax x 的两个实数根.（1）若8-=a ，求C tan 的值；（2）求C tan 的最小值，并指出此时对应的实数a 的值.20.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分） 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中D C B A ,,,是抛物线2x y =上的四个不同的点，且BD AC ⊥（点A 、B 在第二象限，且点A 在点B 的左上方）．AC 、BD 交于点1(0,)4F ．点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．设线段AF 的长为m ． (1) 用m 与α表示点A 的横坐标； (2) 将m 表示为α的函数；(3) 求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小？21.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 设()y f x =是定义在D 上的函数，若对任何实数(0,1)α∈以及D 中的任意两数1x 、2x ，恒有()1212(1)()(1)()fx x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义域上的C 函数．（1）判断函数1,(,0)y x x=∈-∞是否为定义域上的C 函数，请说明理由； （2）函数3,(,)y x x M =∈+∞是定义域上的C 函数，求实数M 的最小值；（3）若()y f x =是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为T ．试判断()y f x =是否可能为定义域上的C 函数．如果可能，请给出至少一个符合条件的函数()y f x =；如果不可能，请说明理由.上海交通大学附属中学2020-2021学年度第二学期高一数学期中试卷（本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一、填空题（本题满分54分，其中1~6每题4分，7~12每题5分）1.【答案】512-2.计算：=+)31arctan 21tan(arctan ____________.【解析】1111tan arctan tan arctan 112323tan arctan arctan 111112311tan arctan tan arctan 2323⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+=== ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3.【答案】434.已知2tan =α，则=+αααcos sin sin22___________．【解析】2222222sin sin cos 2tan tan 2sin sin cos 2sin cos tan 1ααααααααααα+++===++. 5.【答案】)3sin(2πα-6.【答案】π7.已知：2sin(3)3θπ+=-，则 tan(5)cos(2)sin(3)2tan(6)cos()7tan()sin(4)cot()22πθθππθπθπθππθπθθ--⋅-⋅--+-⋅-++⋅-+⋅--=______.【解析】由2sin(3)3θπ+=-得2sin 3θ=，所以原式tan cos sin 2(tan )(cos )3sin 2cot sin tan θθθθθθθθθ-⋅⋅=+--==-⋅⋅.8.若54)sin(=+βα，43)sin(=-βα，则=βαtan tan ． 【解析】由题意得3sin cos cos sin ,sin cos cos sin 544αβαβαβαβ+=-=， 解得1sin cos ,cos 31sin 4040αβαβ==，所以tan sin cos 31tan cos sin ααββαβ==. 9.小瑗在解决问题“已知锐角α与锐角β的值，求βα+的正弦值”时误将两角和的正弦公式错记成了“βαβαβαsin sin cos cos )sin(+=+”，解得的结果为426+. 发现恰好与标准答案一致. 那么原题中的锐角α的值为__________（写出所有的可能值）. 【解析】由题意得sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ+=+， 所以sin cos cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ-=-， 所以(sin cos )(sin cos )0ααββ--=，又α和β为锐角，所以4πα=或4πβ=，若4πα=，满足题意； 若4πβ=，则6257sin sin sin441212πππα+⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，所以6πα=或3π， 综上，原题中的锐角α的值为6π或4π或3π. 10.如右图，平面上有一条走廊宽为3米，夹角为120°，地面是水平的，走廊两端足够长. 那么能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为_________米. 【解析】如图，设能通过走廊的钢筋的长度为AB ，设0,60BAQ ABQ αα∠=∠=-， 则033sin sin(60)AB AP PB αα=+=+- 0001166sin sin(60)1[cos(260)cos60]2ααα≥=⋅---2612112≥=-，当且仅当030α=时取等号，故能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为12米.11.设对任意]2,0[πθ∈，不等式046cos 3sin 2<--+m m θθ恒成立，则实数m 的范围是__________.【解析】由题意得21cos3cos 640m m θθ-+--<对任意20,πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以2cos 373cos 24cos 2cos 2m θθθθ+>=-++--恒成立， 令[]cos 22,1t θ=-∈--，因为7()4f t t t=++在[2,1]--上严格减， 所以max3()2f t =-，所以332m >-，故21->m .12.如右图，已知等腰三角形ABC 的顶角7π=A ，D 是腰AB 上一点. 若1=AD ，2=CD ，则=BC ____________.【解析】设ACD α∠=，则7sin 21sin πα=BCD ∆中，ααπ3sin )7sin(+=CD BC ，按计算器得=BC 1.证明；因为7A π=，设14πα=，则2A α=，且72πα=，即342παα=-，所以ααπα4cos )42sin(3sin =-=（1），设,,AD m AC n BC a ===，则m CD 2=， 在ACD ∆中由余弦定理得22222)2cos 2cos 22n m m n mn mnαα-=+-⇒=（2）在等腰三角形ABC 中，na AC BC221sin ==α （3）将（1）整理为()22321sin 213sin 4sin ααα--=-，展开得4328sin 4sin 8sin 3sin 10αααα+--+=，()32(sin 1)8sin 4sin 10ααα+-+=，所以24sin cos 24sin10ααα--+=，将（2），（3）代入上式得()222220()0am an ma mn m a am n m a --+=⇒-+=⇒=，即AD BC =. 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分.13.一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是 （ A ） A.2弧度B.3弧度C.4弧度D.5弧度【解析】设半径为r ，圆心角为θ，弧长为l ， 由题意得224lr l r =⎧⎨+=⎩，解得21l r =⎧⎨=⎩，所以2lr θ==，故选A.14.方程2tan =x 的解集是（ C ）A.},2arctan 2|{Z k k x x ∈+=πB. },2arctan 2|{Z k k x x ∈±=πC.},2arctan |{Z k k x x ∈+=πD. },2arctan )1(|{Z k k x x k∈⋅-+=π15.角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是 （ D ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】根据等分象限法，得3α的终边在第一、二、三象限，故选D. 16.已知定义域是全体实数的函数()y f x =满足(2)()f x f x π+=，且()g x =()()2f x f x +-，()()()2f x f x h x --=，现定义函数(),()y p x y q x ==为：()p x =()()()()()()2cos 22sin 22,(),0()0()22g x g x h x h x k x k x x x q x k x k x ππππππππ-+++⎧⎧≠+≠⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩其中k Z ∈，那么下列关于(),()y p x y q x ==叙述正确的是（ A ）A.都是偶函数且周期为πB.都是奇函数且周期为πC.都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数D.都不是周期函数【解析】因为()()()2f x f x g x +-=，所以()()()()2f x f xg x g x -+-==， 且()()()()()()22f x f x f x f xg x g x ππππππ++---+-++===-， 即()g x 的一个周期为2π， 当2x k ππ≠+时，()()()()()2cos()2cos g x g x g x g x p x x xππ---+---==-()()2cos g x g x xπ-+=()p x =，且()(2)()2cos()g x g x p x x ππππ+-++=+()()()2cos g x g x p x x π+-==-，当2x k ππ=+时，()0p x =，所以()y p x =是偶函数且周期为π；同理，()()()2f x f x h x --=，所以()()()()2f x f x h x h x ---==-，且()()()()()()22f x f x f x f x h x h x ππππππ+------++===-，即()h x 的一个周期为2π， 当2x k ππ≠+时，()()()()()2sin 2()2sin 2h x h x h x h x q x x xππ---+-+--==--()()()()()2sin 22sin 2h x h x h x h x q x x xππ---+===，且()(2)()()()()2sin 2()2sin 2h x h x h x h x q x q x x xπππππ++++++===+，当2x k ππ=+时，()0q x =，所以()y q x =是偶函数且周期为π；综上所述，选A.三、解答题（本大题满分76分）17.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）设(0,)3πα∈，(,)62ππβ∈，且,αβ满足5cos 82ααββ⎧+=⎪+=，（1）求cos()6πα+的值；（2）求cos()αβ+的值．【解析】（1）因为，所以 因为，所以，所以．5cos 8αα+=4sin()65πα+=(0,)3πα∈(,)662πππα+∈3cos()65πα+=（2,所以，因为，所以，所以所以sin cos cos sin 636310ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以 18.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，一条河的两岸相互平行. 两岸边各有一个小镇A 与B ，它们的直线距离为2千米，河宽AC 为1千米.根据规划需在线段BC 上选择一个点D ，沿AD 铺设水下电缆，沿BD 铺设地下电缆．建立数学模型寻找如何铺设电缆费用最低． （1）模型建立：我们假设：1. B 、D 之间的地下电缆沿________铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为1；2. A 、D 之间的水下电缆沿________铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍；如果设ADC θ∠=；则θ的取值范围为_____________． 可以将该项工程的总费用y 表示为θ的函数，这个函数的解析式为_____________．因此，原实际问题的数学模型为：求___________，该项工程的总费用y 最低．2ββ+=sin()32πβ+=(,)62ππβ∈5(,)326πππβ+∈cos()3πβ+=cos()sin[()]sin[()()]263πππαβαβαβ+=++=+++cos()αβ+=（2）模型求解：请求解上述模型．【解析】（1）由题设cot CD θ=，1sin AD θ=，223CB AB AC =-=，3cot DB θ=- 所以θθθθsin cos 23)cot 3(sin 212-+=-+=⋅+=BD AD y （]2,6[ππθ∈）1. B 、D 之间的地下电缆沿线段BD （直线）铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为1；2. A 、D 之间的水下电缆沿线段AD （直线）铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍； 如果设ADC θ∠=；则θ的取值范围为]2,6[ππθ∈. 可以将该项工程的总费用y 表示为θ的函数，这个函数的解析式为θθsin cos 23-+=y .因此，原实际问题的数学模型为：求θ，该项工程的总费用y 最低. （2）设tan2t θ=(tan151)t ︒≤≤，则22sin 1t t θ=+，22tan 1tt θ=-代入（1）的结论，得ACDB222121123sin cos 23t t t t y ++--+=-+=θθ32321232122322≥++=+-++=tt t t t当且仅当3122t t=时取等号，即t =时，32min =y再由tan 2t θ=得3πθ=答：当3πθ=时，工程总费用y 最低为32.19.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）已知三角形ABC 中，A tan 、B tan 是方程042=++ax x 的两个实数根.（3）若8-=a ，求C tan 的值；（4）求C tan 的最小值，并指出此时对应的实数a 的值. 【解析】（1）8tan tan =-=+a B A ，4tan tan =B A .所以38418tan tan 1tan tan )tan())(tan(tan =--=-+-=+-=+-=B A B A B A B A C π（2）因为方程有两个实数根，所以0162≥-=∆a ，又因为4tan tan =B A ，所以A tan 与B tan 同号，而三角形中不可能有两个钝角. 所以A tan 与B tan 都大于0，所以0tan tan >-=+a B A . 解得4-≤a .34341tan tan 1tan tan )tan())(tan(tan ≥-=---=-+-=+-=+-=a a B A B A B A B A C π当且仅当4-=a ，即2tan tan ==B A 时，C tan 取到最小值为34. 20.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分） 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中D C B A ,,,是抛物线2x y =上的四个不同的点，且BD AC ⊥（点A 、B 在第二象限，且点A 在点B 的左上方）．AC 、BD 交于点1(0,)4F ．点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．设线段AF 的长为m ． （1）用m 与α表示点A 的横坐标； （2）将m 表示为α的函数；（3）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小？ 【解析】（1）作AH 垂直y 轴于H ，则αsin m AH =，所以点A 的纵坐标为αsin m -（2）点)41cos ,sin (+-ααm m A所以)cos 41()sin (2ααm m +=-，即041cos sin 22=--ααm m ，解得αα2sin 21cos ±=m ，由于0m ＞， 所以))2,0((sin 21cos 2πααα∈+=m（3）同理αα2cos 2sin 1-=BF ，αα2cos 2sin 1+=DF ，αα2sin 2cos 1-=CF “蝴蝶形图案”的面积：))2,0(()cos (sin 4cos sin 121212πααααα∈-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令]21,0(,cos sin ∈=t t αα, 所以),2[1+∞∈t则161211414122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t t t S ，所以21=t ，即4πα=时，“蝴蝶形图案”的面积取最大值为21. 21.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 设是定义在D 上的函数，若对任何实数()y f x =(0,1)α∈以及D 中的任意两数1x 、2x ，恒有()1212(1)()(1)()f x x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义域上的C 函数． （1）判断函数1,(,0)y x x=∈-∞是否为定义域上的C 函数，请说明理由； （2）函数3,(,)y x x M =∈+∞是定义域上的C 函数，求实数M 的最小值；（3）若()y f x =是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为T ．试判断()y f x =是否可能为定义域上的C 函数．如果可能，请给出至少一个符合条件的函数()y f x =；如果不可能，请说明理由. 【解析】（1）()()210f x x x=<不是C 函数， 说明如下(举反例)： 取13x =-，21x =-，12α=， 则()()()()()121211f x x f x f x αααα+----()()()11111231022262f f f =-----=-++>， 即()()()()()121211f x x f x f x αααα+->+-， 所以()()210f x x x=<不是C 函数； （2）0M =时，对任何实数(0,1)α∈以及(0,)+∞中的任意两数1x 、2x ，有33311x x αα<，33311(1)(1)x x αα-<-，所以()33322223312112122(1)3(1)3(1)(1)x x x x x x x x αααααααα+-=+-+-+-3333331212(1)(1)x x x x αααα<+-<+-即()1212(1)()(1)()f x x f x f x αααα+-≤+-， 所以3,(,)y x x M =∈+∞是定义域上的C 函数； 而0M <时，取12M x =，20x =，12α=， 则311(1)022264M M f ⎛⎫⋅+-⋅= ⎪⎝⎭，311()(1)(0)22216M M f f +-=，由于0M <，所以336416M M >，故3,(,)y x x M =∈+∞不是定义域上的C 函数；综上，实数M 的最小值为0. （3）假设()y f x =是R 上的C 函数，若存在m n <且[),0,m n T ∈，使得()()f m f n ≠. （i ）若()()f m f n <，记1x m =，2x m T =+，1n mTα-=-，则01α<<，且()121n x x αα=+-，那么()()()()()()121211f n f x x f x f x αααα=+-≤+-()()()()1f m f m T f m αα=+-+=，这与()()f m f n <矛盾； （ii ）若()()f m f n >， 记1x n =，2x n T =-，1n mTα-=-，同理也可得到矛盾； 所以()f x 在[)0,T 上是常数函数， 又因为()f x 是周期为T 的函数，所以()f x 在R 上是常数函数，这与()f x 的最小正周期为T 矛盾.f x不是R上的C函数.所以()。