中考数学一模试卷(含解析)

2023年山东省临沂市沂水县中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．中线【答案】D【分析】根据折叠后使点性质即可求解．【详解】解：如图所示，折叠后使点C边落在BCC B E三点共线，∵,,⊥，∴AD EC的高线，即m是ABC故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质，3．已知2=-，QP x xA．在A的右边B．介于A 【答案】BA ．75︒B ．85︒【答案】D【分析】根据正六边形对边平行，得出【详解】解：∵四边形ABCDEF ∴AB DE ∥，∴175EQP ∠=∠=︒，∴180180PQD EQP ∠=︒-∠=故选：D ．【点睛】本题考查了正多边形的性质，平行线的性质，邻补角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．6．估计()123323+⨯的值应在A ．4和5之间B ．5和【答案】A【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小【详解】()123323+⨯=11233233⨯+⨯=2+6，∵4<6<9，A ．4cm 2B ．6cm 2C ．8cm 2【答案】D【详解】试题分析：根据题意，正方体的俯视图是矩形，它的长是积=4×3=12（cm 2），故选D ．考点：由三视图判断几何体．A ．49【答案】B【分析】根据DE BC ∥【详解】解：∵DE ∥∴ADE ABC △△∽，∴23AD DE AB BC ==∴12BD AD =,故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，题的关键．9．下表为某餐厅的价目表，今日每份餐点价格均为价目表价格的九折．若慧慧今日在此餐厅点了橙汁鸡丁饭后想再点第二份餐点，且两份餐点的总花费不超过A．16B．112C．110D．120【答案】C【分析】采用列表法列举即可求解．即总的情况有20种，满足条件的有2种，即：则小明抽中《满江红》和《流浪地球2》的概率是故选：C．【点睛】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，果是正确解答的关键．11．张老师在化学实验室做实验时，将一杯100是这杯水冷却时的温度变化图，根据图中所显示的信息，下列说法不正确的是（A．水温从100℃逐渐下降到35℃时用了6分钟B．15℃C．实验室的室内温度是15℃D．水被自然冷却到了【答案】C【分析】根据函数图像分析判断即可求解．【详解】解：A.水温从100℃逐渐下降到35℃时用了意；B.从开始冷却后14分钟时的水温是15℃，故该选项正确，不符合题意；C.实验室的室内温度是10℃，故该选项不正确，符合题意；D.水被自然冷却到了10℃，故该选项正确，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，数形结合是解题的关键．12．已知日升租车公司有甲、乙两个营业点，顾客租车后于当日营业结束前必须在任意一个营业点还车．某日营业结束清点车辆时，发现在甲归还的车辆比从甲出租的多4辆．若当日从甲出租且在甲归还的车辆为13辆，从乙出租且在乙归还的车辆为11辆，则关于当日从甲、乙出租车的数量下列比较正确的是（）A ．从甲出租的比从乙出租的多2辆B ．从甲出租的比从乙出租的少2辆C ．从甲出租的比从乙出租的多6辆D ．从甲出租的比从乙出租的少6辆【答案】B【分析】设当日从甲、乙出租的车数量分别为x 辆，y 辆，根据题意列方程解答即可．【详解】解：设当日从甲、乙出租的车数量分别为x 辆，y 辆，根据题意得：13(11)4y x +--=，所以2y x -=，即从甲出租的比从乙出租的少2辆．故选：B ．【点睛】此题主要考查了二元一次方程在实际生活中的应用，关键是找出题目中的等量关系，列出方程．二、填空题13．已知()()()()12233445a =-⨯-⨯-⨯-，()()()123234345b =-⨯-⨯-，则a ，b 的大小关系是______．【答案】a b >/b a<【分析】根据有理数的乘法法则得出，0,0a b ><即可求解．【详解】解：∵()()()()122334450a =-⨯-⨯-⨯->，()()()1232343450b =-⨯-⨯-<，∴a b >，故答案为：a b >．【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算中的符号问题是解题的关键．14．若多项式2936m m +-可因式分解成()()m a m b ++，其中a 、b 均为整数，则a b +的值是______．【答案】9【分析】根据因式分解的结果，进行多项式的乘法运算，进而即可求解．【详解】解：∵()()m a m b ++()2m a b m ab =+++，且,a b 为整数，∴9a b +=，故答案为：9．【点睛】本题考查了因式分解与多项式的乘法的关系，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键．15．如图，将ABC 先向右平移3个单位，再绕原点O 旋转180︒，得到A B C ''' ，则点A 的对应点A '的坐标是______．【答案】(1,3)--【分析】根据平移的性质，以及中心对称的性质画出图形，根据坐标系写出点的坐标即可求解．【详解】解：如图所示，∴(1,3)A '--，故答案为：(1,3)--．【点睛】本题考查了平移的性质，中心对称线的性质，根据题意作出图形是解题的关键．16．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，5AC BC ==．以点B 为圆心，以BC 的长为半径画弧交AB 于点D ，连接CD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交BC 于点E (异于点C )，连接DE ，则BE 的长为______．【答案】525-/552-+【分析】过点,D E 分别作AC 则四边形CEDG 是矩形，AED △根据等腰三角形的性质得出CG 【详解】解：如图所示，过点DG BC ⊥于点G ，则四边形CEDG 是矩形，∴ED CG =，∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒∴2252AB AC BC =+=，∠∴AED △，BEF △是等腰直角三角形，∴525AD AB DB =-=-，∴()2252522DE AD ==-根据作图可知,BD BC AC CD ==∴CG GE DE ==，∴2BE BC CE BC DE =-=-()2525255102=-⨯-=-+故答案为：525-．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握基本作图，以及以上知识是解题的关键．三、解答题17．（1）计算：4sin60°﹣12【答案】雕塑的高为7.2m【分析】先证明四边形DEFG 为平行四边形．得出DG Rt APG 中，sin PGA AG=，进而即可求解．【详解】解：AB CD ∥ ，CDG A∴∠=∠FEC A ∠=∠ ，FEC CDG ∴∠=∠．EF DG∴∥∴四边形DEFG 为平行四边形．过点G 作GP AB ⊥于P ，∵四边形DEFG 为平行四边形，∴6DG EF ==．∵ 1.5AD =，∴6 1.5AG DG AD =+=+在Rt APG 中，sin PGA AG=∴0.967.5PG=，∴7.50.967.2PG =⨯=（答：雕塑的高为7.2m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．20．如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到4-℃时制冷开始，(1)求t 的值；(2)当前冷柜的温度10-℃，经过多长时间温度下降到【答案】(1)20(2)当在温度下降过程中时，经过再经过16分钟温度可降至20-℃【分析】（1）由函数图像可知当时间为像上()4,20-点求出反比例函数的关系式，值即可；（2）分别求得10x =-时的函数值，分类讨论即可求解．【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为把()4,20-代入，得：204k -=∴80k =-．∴80y x-=．当4y =-时，804t--=，(1)求证：2BOC BCD ∠=∠；(2)延长CD 交O 于点E ，连接2AC CD =，求证：直线CF 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据AB 是O 出A ACO ∠=∠，根据三角形外交的性质得出（2）根据2AC CD =得出∠出60ECF ∠=︒，即可得出∠【详解】（1）证明：AB 是90ACB CDB ∴∠=∠=︒．∴90A B BCD B ∠+∠=∠+∠=A BCD ∴∠=∠．又OA OC = ，A ACO ∴∠=∠．2AC CD = ，∴1tan 2CD A AC ==30A ∴∠=︒．30E A ︒∴∠=∠=，60BOC ∠=︒30OCD ∴∠=︒．又CF EB ⊥ ，60ECF ∴∠=︒．90OCF OCD ECF ︒∴∠=∠+∠=CF ∴是O 的切线．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，根据特殊角的三角函数值求角度，熟练掌握以上知识是解题的关键．22．【问题情境】某超市销售一种进价为销售量（千克）与销售单价（元销售单价（元/千克）…25销售量（千克）…50【建立模型】(1)请你利用所学知识，分别建立能够刻画每天销售量与销售单价、价之间的关系式；【模型应用】(2)当销售单价为多少时，超市每天获利最多？每天最多获利是多少元？(3)超市本着“尽量让顾客享受实惠【答案】(1)答案见解析(2)销售单价定为35元/千克时，超市每天获利最多，最多获利450元(3)销售单价应为30元/千克【分析】（1）如图，设销售单价为x 元/千克，每天的销售量为y 千克，将表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点，并用平滑的曲线连接，发现各点都在同一直线上，故y 与x 可以用一次函数关系来表示，进而待定系数法求解析式即可求解；（2）设超市销售该商品每天的利润为w 元，根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质求得最值即可求解；（3）根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：如图，设销售单价为x 元/千克，每天的销售量为y 千克，将表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点，并用平滑的曲线连接，发现各点都在同一直线上，故y 与x 可以用一次函数关系来表示，设y kx b =+，则30404020k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2100k b =-⎧⎨=⎩，2100y x ∴=-+．设超市销售该商品每天的利润为w 元，则2(20)(2100)21402000w x x x =--+=-+-．（2）22214020002(35)450w x x x =-+-=--+，20a =-< ，∴当x ＝35时，w 取得最大值，450w =最大．因此销售单价定为35元/千克时，超市每天获利最多，最多获利450元．（3）超市利润400元时，221402000400x x -+-=，解得130x =，240x =．因为超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，30x ∴=．因此，销售单价应为30元/千克．【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．23．【操作发现】在实践活动课上，同学们对菱形和轴对称进行了研究．如图，在菱形ABCD 中，B ∠为锐角，E 为BC 中点，连接DE ，点A ，B 关于直线DE 的对称点分别为点A '，B '，连接A B ''，B C '．请补全图形解答下列问题：(1)直线B C '与DE 有怎样的位置关系，请说明理由；(2)延长DC 交A B ''于点G ．线段CG 与B G '相等吗？若相等，给出证明；若不相等，请说明理由；【拓展应用】(3)在（2）的条件下，连接EG ，请探究DEG ∠的度数，并说明理由．【答案】(1)直线B 'C 与DE 平行，理由见解析(2)线段CG 与B 'G 相等，证明见解析(3)90GED ∠=︒，理由见解析【分析】（1）连接B 'B ，交DE 的延长线于点H ，由轴对称的性质可得DE B ⊥B '，BE E =B '，得出BE EC E ==B '，根据等边对等角得出,EBB EB B EB C ECB ''''∠=∠∠=∠，进而根据三角形内角和定理得出90BB C '∠=︒，则B C DE'∥（2）根据菱形的性质得出DG AB ∥，则BCG ABC ∠=∠，根据轴对称得出ABC A B E ∠=∠''，则BCG A B E ∠=∠''，根据（1）的结论得出EB C ECB ''∠=∠，可得CB G B CG ∠='∠'，根据等角对等边即可求解；（3）根据GC GB '=，EC EB '=，得出GE BC ⊥，根据（1）的结论得出EG ED ⊥，即可求解．由轴对称的性质可得DE B ⊥BE EC = ，BE EC E ∴==B '．,EBB EB B EB C '''∴∠=∠∠=∴(12BB C EBB EB '''∠=∠+∠C ∴B 'B ⊥B '．∴B C DE '∥．（2）线段CG 与B 'G 相等．证明：∵DG AB ∥，∴BCG ABC ∠=∠．又∵ABC A B E ∠=∠''，∴BCG A B E ∠=∠''．又∵B E EC '=，∴EB C ECB ''∠=∠．∴CB G B CG ∠='∠'．∴GC GB '=．（3）90GED ∠=︒．∵GC GB '=，EC EB '=，∴GE BC ⊥，∵B C DE '∥，∴EG ED ⊥，∴90GED ∠=︒．【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．。

镇海区2024年初三模拟考试试卷数学 学科考生须知：1．全卷共三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为120分钟．2．请将学校、姓名、班级填写在答题卡的规定位置上．3．请在答题卡的规定区域作答，在试卷上作答或超出答题卡的规定区域作答无效．试题卷Ⅰ一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 在实数，中，最小的数是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了实数的大小比较，根据负数小于0，0小于正数，即可求解．【详解】解：∴最小，故选：D ．2. 据统计，2024年春节期间，国内旅游出行474000000人次，其中数474000000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】此题考查科学记数法表示较大的数的方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：数474000000用科学记数法表示为．故选：C ．3. 下列计算正确的是（ ）102-102-201-<<<2-74.7410⨯747.410⨯84.7410⨯90.47410⨯10n a ⨯1||10a ≤<n n a n 84.7410⨯A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查整式的运算．利用合并同类项法则，同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，平方差公式逐项判断即可．【详解】解：与不是同类项，无法合并，则选项A 不符合题意；，则选项B 不符合题意；，则选项C 符合题意；，则选项D 不符合题意；故选：C ．4. 一城市准备选购一千株高度大约为2m 的某种风景树来进行街道绿化， 有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）． 采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下：树苗平均高度（单位：m ）标准差甲苗圃1.8 0.2乙苗圃1.8 0.6丙苗圃2.0 0.6丁苗圃2.0 0.2请你帮采购小组出谋划策，应选购（ ）A. 甲苗圃的树苗B. 乙苗圃的树苗;C. 丙苗圃的树苗D. 丁苗圃的树苗【答案】D【解析】【分析】根据标准差和方差可以反映数据的波动大小，选出合适苗圃的树苗；再比较它们的高度，进而确32a a a-=326a a a ⋅=()236a a =()()2212121a a a +-=-3a 2a 3256a a a a ⋅=≠()236a a =()()2221214121a a a a +-=-≠-定选购哪家的树苗.【详解】由于标准差和方差可以反映数据的波动大小，所以甲苗圃与丁苗圃比较合适；又因为丁苗圃树苗平均高度大于甲苗圃，所以应选丁苗圃的树苗．故选D ．【点睛】考查了标准差，标准差也均称方差，方差是反映一组数据波动大小的特征数，方差越大，数据的波动性越大；方差越小，稳定性越好.5. 若点是第二象限的点，则a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】【分析】本题考查了象限内点的坐标特征，解不等式方程组，掌握第二象限内点的坐标特征是解题关键．根据第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0，列不等式组求解即可．【详解】解：点是第二象限的点，，解得：，故选：A ．6. 如图是一架人字梯，已知米，AC 与地面BC 的夹角为，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】A【解析】(),2G a a -a<02a <02a <<a<02a > (),2G a a -020a a <⎧∴⎨->⎩a<02AB AC ==α4cos α4sin α4tan α4cos α【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案．【详解】过点A 作，如图所示：∵，，∴，∵，∴，∴，故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．7. 一次数学课上，老师让大家在一张长12cm ，宽5cm 的矩形纸片内，折出一个菱形；甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形见方案一，乙同学沿矩形的对角线AC 折出，的方法得到菱形见方案二，请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是（ ）．A. 甲B. 乙C. 甲乙相等D. 无法判断【答案】B【解析】【分析】方案一中，通过图可知四个小直角三角形全等，用矩形面积减去4个小直角三角形的面积，即可得菱形面积；方案二中，两个小直角三角形全等，设菱形边长为x ，在直角三角形中利用勾股定理可求x ，再利用底高可求菱形面积然后比较两者面积大小．12BD DC BC ==AD BC ⊥AB AC =AD BC ⊥BD DC =DC co ACα=cos 2cos DC AC αα=⋅=24cos BC DC α==(EFGH )CAE DAC ∠=∠ACF ACB ∠=∠(AECF )⨯.【详解】解：方案一中，、F 、G 、H 都是矩形ABCD 的中点，≌≌≌，，，，；方案二中，设，则，，，，≌，在中，，，，由勾股定理得，解得，，，，，，故甲乙．E HAE ∴ HDG △△FCG FBE 11111111551222222222HAE S AE AH AB AD =⋅=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 4HAE ABCD EFGH S S S =- 矩形菱形1512542=⨯-⨯30=BE x =12CE AE x ==-AF EC = AB CD =AE CF =ABE ∴ CDF Rt ABE 5AB =BE x =12AE x =-222(12)5x x -=+11924x =111195955222448ABE S BE AB =⋅=⨯⨯= 2ABE ABCD EFGH S S S =- 矩形菱形595125248=⨯-⨯6025≈-3530=><故选B ．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理以及矩形的性质．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．8. 甲乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可追上乙．设甲速度为x 米/秒，乙的速度为y 米/秒，则可列出的方程组为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，确定等量关系即甲行驶路程等于乙的两次行驶路程的和，列出方程即可，本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键．【详解】根据题意，得，故选B ．9. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，且，则．其中正确结论的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．依据题意，由抛物线开口向下，从而，又抛物线为，故，再结合抛物线与轴交于负半轴，可得，进而可以判断①；又，从而可以判断②；又当时，，又，故，进而可以判断的551046x y y x =+⎧⎨=⎩551046x y x y=+⎧⎨=⎩510546x y x y+=⎧⎨=⎩551046y x y x=+⎧⎨=⎩551046x y x y =+⎧⎨=⎩2(0)y ax bx c a =++≠0abc >40b a +=0b c +>()11,x y ()22,x y 1204x x <<<12y y <a<022b x a=-=40b a =->y 0c <4b a =-1x =0y a b c =++>a<00b c a +>->③；由抛物线的对称轴是直线，从而当时与当时函数值相等，进而可得当，则，故可以判断④．【详解】解：由题意，抛物线开口向下，．又抛物线为．．抛物线与轴交于负半轴，．，故①正确．又，，故②正确．由题意，当时，．又，，故③正确．抛物线的对称轴是直线，当时与当时函数值相等．当，则，故④错误．综上，正确的有：①②③．故选：C ．10. 如图，点E 、F 分别是正方形的边、上的点，将正方形沿折叠，使得点B 的对应点恰好落在边上，则的周长等于（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】.2x =0x =4x =1204x x <<<12y y > <0a ∴22b x a=-=40b a ∴=-> y 0c ∴<0abc ∴>4b a =-40b a ∴+=1x =0y a b c =++>a<00b c a ∴+>-> 2x =∴0x =4x =∴1204x x <<<12y y >ABCD AD BC ABCD EF B 'CD DGB '△2AB ABBF+【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，如图，作，连接，，可证，，根据全等三角形的性质可得，，等量代换即可求解．【详解】解：如图，作，连接，，∵四边形是正方形，∴，由折叠可得，∴，∵ ∴，∴，∴，在和中，∴∴，，在和中，BH A B ''⊥BG BB 'BB C BB H ''≌ BHG BAG ≌ HB CB ''=GH AG =BH A B ''⊥BG BB 'ABCD 90ABC C A ∠=∠=∠=︒BF B F '=90FB A ABC ''∠=∠=︒23∠∠=BHG ∠=90FB A ''∠=︒BH FB ∥24∠∠=3=4∠∠BCB 'V BHB ' 9034BHB C BB BB ∠=∠=︒⎧⎪∠==''∠⎨'⎪⎩()AAS BB C BB H ''≌ BC BH =HB CB ''=Rt BAG Rt BHG BG BG BH AB=⎧⎨=⎩∴，∴，∴，故选：A ．试题卷Ⅱ二、填空题（每小题4分，共24分）11. 若分式的值为0，则x 的值是______．【答案】2【解析】【分析】根据分式的值为0，即分母不为0，分子为0得到x-2=0，且x+3≠0，求出x 即可．【详解】解：∵分式的值为0，∴x-2=0，且x+3≠0，∴x=2．故答案为:2.【点睛】本题考查了分式的值为0的条件：分式的值为0，要满足分母不为0，分子为0．也考查了解方程和不等式．12. 分解因式：_____．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可，正确应用平方差公式是解题关键．【详解】解：，，故答案为：．13. 在平行四边形中，，的平分线交边于点E ，则的长为______．()HL BHG BAG ≌ GH AG =2DGB C DG GH B H B D AD CD AD '''=+++=+= 23x x -+23x x -+24mx m -=()()22m x x +-m ()2244mx m m x -=-()()22m x x =+-()()22m x x +-ABCD 58AB BC ==，B ∠BE AD DE【答案】3【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质可得，则，再由角平分线的定义可得，从而求得，则，从而求得结果．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵的平分线交于点E ，∴，∴，∴，∵，∴，故答案为：3．14. 一个圆锥的高为4，母线长为6，则这个圆锥的侧面积是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了圆锥的计算．先利用勾股定理计算出这个圆锥的底面圆的半径，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可．【详解】解：这个圆锥的底面圆的半径，所以这个圆锥的侧面积．故答案为：．15. 有三面镜子如图放置，其中镜子和相交所成的角，已知入射光线经反射后，反射光线与入射光线平行，若，则镜子和相交所成的角AD BC ∥AEB CBE ∠=∠ABE CBE ∠=∠AEB ABE ∠=∠AE AB =ABCD AD BC ∥AEB CBE ∠=∠B ∠BE AD ABE CBE ∠=∠AEB ABE ∠=∠AE AB =58AB BC ==，853DE AD AE BC AB =-=-=-===1262π=⨯⨯=AB BC 110ABC ∠=︒EF ,,AB BC CD EF AEF α∠=BC CD______．（结果用含的代数式表示）【答案】【解析】【分析】本题考查了入射角和反射角、平行线以及三角形内角和等知识，解题的关键在于正确画出辅助线【详解】根据入射光线画出反射光线，交于点，同理根据入射光线画出反射光线，交于点，根据入射光线画出反射光线，过点作的平行线，使得．入射角等于反射角入射角等于反射角根据入射角等于反射角，可知：的BCD ∠=α90α︒+FE EG BC G EG GH CD H GH HK G EF GP EF HK BEG AEF α∴∠=∠=1802GEF α∴∠=︒-110ABC ∠=︒18011070BGE αα∴∠=︒-︒-=︒- 70HGC BGE α∴∠=∠=︒-()180270402EGH αα∴∠=︒-⨯︒-=︒+GP EF HK180,180GEF EGP PGH GHK ∴∠+∠=︒∠+∠=︒402EGP PGH EGH α∠+∠=∠=︒+ 360GEF EGH GHK ∴∠+∠+∠=︒()()3601802402140GHK αα∴∠=︒-︒--︒+=︒()1180140202GHC KHD ∠=∠=︒-︒=︒18090BCD CGH GHC α∴∠=︒-∠-∠=︒+故答案为：．16. 如图，已知矩形，过点A 作交的延长线于点E ，若，则______．【解析】【分析】利用矩形的性质，证明，，，变形计算，结合勾股定理，解方程，正切函数解答即可．【详解】∵矩形，∴，∴，，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，90α︒+ABCD AE AC ⊥CB AED ACB ∠=∠2tan BAE ∠=1-ADF CEF △∽△ADE FEC ∽BAE BCA △△∽ABCD ,,90,AD BC AB CD ABC BCD AD BC ==∠=∠=︒ ADF CEF △∽△ADE CEF ∠=∠AED ACB ∠=∠ADE FEC ∽AD DF EC EF=EF EC AD ED =AD ED EF EC EF-=ED EC EF AD EC =+ ()·ED EC EC AD AD EC ED=+22ED AD AD EC =+根据勾股定理，得，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得，解得(舍去)，∵∴，．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，正切函数，直角三角形的性质，解方程，熟练掌握三角形相似的判定和性质，正切函数，勾股定理，解方程是解题的关键．三、解答题（第17－19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共66分）17. 计算：（1）222ED CD EC =+222CD EC AD AD EC +=+ ()()222·AB EB BC BC BC EB BC ++=++222222AB EB EB BC BC BC EB BC BC +++=++ 2220AB EB EB BC BC ++-= AE AC ⊥90BAE AEB BCA ∠︒-∠=∠=90ABE CBA ∠∠=︒=BAE BCA △△∽AB BE BC AB=2AB BE BC = 2220EB EB BC BC +-= (1EB BC ==-±1,1EB EB BC BC=-=tan BE BAE AB ∠=2222tan 1BE BE BE BAE AB BE BC BC ∠====- 102212024(3)33-+-⨯--（2）先化简，再求值：，其中【答案】（1） （2），2【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算，整式的化简求值，对于（1），根据，，，，再根据有理数运算法则计算；对于（2），先根据整式的乘法法则及公式化简，再代入求值即可．【小问1详解】；【小问2详解】原式．当时，原式．18. 某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分10分，成绩均记为整数分），并按测试成绩m （单位：分）分成四类：类，类，类，类，绘制出如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查的人数为______，并补全条形统计图：(1)(1)(2)x x x x +-++12x =5312x +020241=2(93)-=2139-=1133-=02212024(3)33-+-⨯--111993=+⨯-213=+53=2212x x x=-++12x =+12x =11222=+⨯=A (10)m =B (79)m ≤≤C (46)m ≤≤D (3)m ≤（2）扇形统计图中A 类所对的圆心角是______°，测试成绩的中位数落在______类；（3）若该校九年级男生有500名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为A 类或B 类的共有多少名？【答案】（1）50人，图见解析（2）72，B （3）估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为类或类的约有320名．【解析】【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，中位数；通过统计图之间的联系求出样本容量是解题的关键．（1）由统计图之间的联系求出样本容量，进一步求出组人数，补齐图形；（2）由组的占比求出对应圆心角；根据中位数定义，可知第25，26个数在组，故中位数在组；（3）由样本占比估计总本的人数．【小问1详解】解：本次抽样调查的人数为（人），组人数为（人），补全的条形统计图如图；故答案为：50人；【小问2详解】解：类所对的圆心角是；样本量为50，可知数据从大到小排列，第25，26个数在组，故中位数在类；故答案为：72，；小问3详解】解：类或类的共有（名），答：估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为类或类的共有320名．19. 如图，直线与双曲线相交于点．【A B C A B B 1020%50÷=C 501022315---=A 36020%72︒⨯=︒B B B A B 500(20%44%)320⨯+=A B y kx b =+(0)m y x x=>()()2,6,1A n B（1）求直线及双曲线对应的函数表达式；（2）直接写出关于x 的不等式的解集；（3）求的面积．【答案】（1）直线：，双曲线： （2）（3）8【解析】【分析】本题主要考查了一次函数，反比例函数的交点坐标，将点的坐标代入函数关系式是确定函数关系式的常用方法，理解交点坐标与不等式解集之间的关系是解本题的关键．（1）将代入到反比例函数解析式可得其解析式；先根据反比例函数解析式求得点的坐标，再由，坐标可得直线解析式；（2）根据图象得出不等式的解集即可；（3）设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于，根据题意可得，，从而求出，和，进而求出的值．【小问1详解】把代入，得：，∴反比例函数的解析式为；把代入，得：，∴，(0)m kx b x x +>>ABO 142y x =-+6(0)y x x =>26x <<()6,1B ()2,3A A B (0)m kx b x x+>>C D A B AE y ⊥E BF x ⊥F 2,1AE BF ==48OC OD ==，AOC S BOD S COD S △AOB S ()6,1B m y x=6m =6y x=()2,A n 6y x =3n =()2,3A把、代入，得：，解得：，∴一次函数的解析式为；故答案为：；．【小问2详解】由图象可知当时，，∴不等式的解集是，【小问3详解】设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于，∵、，∴，∵一次函数的解析式为，当时，，当当时，，解得，，∴点C 的坐标是，点D 的坐标是∴．∴，，()2,3A ()6,1B y kx b =+2361k b k b +=⎧⎨+=⎩124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩142y x =-+5y x =-+4y x =26x <<(0)m kx b x x+>>(0)m kx b x x+>>26x <<C D A B AE y ⊥E BF x ⊥F ()2,3A ()6,1B 2,1AE BF ==142y x =-+0x =4y =0y =1042x =-+8x =()0,4()8,048OC OD ==，114,422AOC BOD S OC AE S OD BF =⋅==⋅= 1162COD S OC OD =⋅=△∴．20. 如图，已知和均是等边三角形，F 点在上，延长交于点D ，连接．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当点D 在线段上什么位置时，四边形是矩形？请说明理由．【答案】（1）见解析（2）当点D 在中点时，四边形是矩形，见解析【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定是解题的关键．（1）由和均是等边三角形，可得，则，进而可证四边形是平行四边形；（2）由，点D 在中点，可得，则，可证四边形是平行四边形，由，可证四边形是矩形．【小问1详解】证明：∵和均是等边三角形，∴，∴，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】解：当点D 在中点时，四边形是矩形，理由如下；∵，点D 在中点，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，16448AOB COD AOC BOD S S S S =--=--= ABC AEF △AC EF BC AD CE ，ABDE BC ADCE BC ADCE ABC AEF △6060BAC AFE ACB FAE ∠=∠=︒∠=∠=︒，AB DE AE BD ∥，∥ABDE AB AC =BC AD BC BD CD ⊥=，AE CD =ADCE AD BC ⊥ADCE ABC AEF △6060BAC AFE ACB FAE ∠=∠=︒∠=∠=︒，AB DE AE BD ∥，∥ABDE BC ADCE AB AC =BC AD BC BD CD ⊥=，ABDE AE BD =AE CD =AE CD ∥∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形．21. 如图的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的各个顶点都在格点上．（1）在边上作一点，使得的面积是，并求出的值；（2）作出边上的高，并求出高的长．（说明：只能使用没有刻度尺的直尺进行作图，并保留画图痕迹）【答案】（1）画图见解析，； （2）见解析，．【解析】【分析】（）根据网格特征作即可；（）根据网格特征作即可，本题考查了无刻度尺的直尺作图—作垂线，熟练掌握无刻度尺的直尺作图的方法是解题的关键．【小问1详解】如图，由网格的特征可知：，∴，∴，∴面积为，∴即为所求；ADCE AD BC ⊥ADCE 1ABC BC M ABM 83BM CMAC BD BD 12BM CM =165BD =112BM CM =2BD AC ⊥BG CH ∥CHM BGM ∽12BG BM CH CM ==ABM 1118443323ABC S =⨯⨯⨯= ABM【小问2详解】如图，根据网格作垂线的方法即可，∴即为所求，由网格的特征可知：，∴，∴．22. 星期日上午，小明从家里出发步行前往离家的镇海书城参加读书会活动，他以的速度步行了后发现忘带入场券，于是他停下来．打电话给家里的爸爸寻求帮助，爸爸骑着自行车从家里出发，沿着同一路线以的速度行进，同一时刻小明继续按原速步行赶往目的地．爸爸追上小明后载上他以相同的车速前往书城（停车载人时间忽略不计），到达书城后爸爸原速返回家．爸爸和小明离家的路程与小明所用时间的函数关系如图所示．（1）求爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s 关于t 的函数表达式及a 的值．（2）爸爸出发后多长时间追上小明？此时距离镇海书城还有多远？【答案】（1），（2）爸爸出发3分钟后追上小明，此时距离镇海书城1275米【解析】【分析】本题考查一次函数的应用以及路程、速度、时间之间关系的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式．（1）根据爸爸行驶的路程和爸爸的速度，求出爸爸到达书城所用时间，再根据待定系数法求函数解析式，再求出的值；BD 5AC ==1144522ABC S BD =⨯⨯=⨯⨯ 165BD =9:00 2.4km 75m/min 12min 9:15375m/min ()m s ()min t 3755625s t =-27.8a =a（2）设爸爸出发后分钟追上小明，根据两人路程相等列出方程，解方程求出，并求出距离书城的距离．【小问1详解】解：爸爸到达达镇海书城所用时间为，设爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程关于的函数表达式为，把，代入，得：，解得，爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程关于的函数表达式为；爸爸的速度不变，他返回家的时间和到达书城的时间均为，；【小问2详解】设爸爸出发后分钟追上小明，则，解得，此时，，答：爸爸出发后3分钟追上小明，此时距离镇海书城还有1275米．23. 根据以下素材，探索完成任务．设计跳长绳方案素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：（1）每班需报名跳绳同学9人，摇绳同学2人；（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．素材2：某班进行赛前训练，发现：（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线．已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图x x 2400 6.4(min)375=s t s kt b =+(15,0)(21.4,2400)s kt b =+15021.42400k b k b +=⎧⎨+=⎩3755625k b =⎧⎨=-⎩∴s t 3755625s t =- ∴ 6.4min 152 6.427.8a ∴=+⨯=x 37575(12)x x =+3x =240037531275(m)-⨯=6m 2m 1m2；（2）9名跳绳同学身高如右表．【答案】任务1：；任务2：当绳子在最高点时，长绳不会触碰到位于最边侧的同学；任务3：方案可行【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，任务1：建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式，即可求解；任务2，得出最右侧同学横坐标为代入解析式，结合按照排列方式可知最右（左）侧同学屈膝后身高即可求解；任务3，求得平移后的抛物线解析式，进而将代入，结合题意，即可求解．【详解】解：任务1：以两个摇绳人的中点所在直线与地面的交点为原点，地面所在直线为轴，建立直角坐标系，如图：由已知可得，在抛物线上，且抛物线顶点的坐标为，设抛物线解析式为，∴，解得：，∴抛物线的函数解析式为：任务2：∵抛物线的对称轴为直线，名同学，以轴为对称轴，分布在对称轴两侧，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，则最右边侧的同学的坐标为即，当时，的21129y x =-+()1.8,1.7 1.8x =x ()()3,1,3,1-()0,222y ax =+192a =+19a =-21129y x =-+3x =9y 0.45m ()0.454,1.70⨯()1.8,1.71.8x =211.82 1.649y =-⨯+=按照排列方式可知最右（左）侧同学屈膝后身高：∴当绳子在最高点时，长绳不会触碰到位于最边侧的同学；任务3：∵当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线．设开口向上的抛物线解析式为，对称轴为直线，则的顶点坐标为，∵，的开口大小不变，开口方向相反，∴当绳子摇至最低处时，抛物线的解析式为：∵将出手高度降低至．∴抛物线向下平移∴改变方案后的抛物线解析式为将，代入因此，方案可行24. 如图1，已知四边形内接于，且为直径．作交于点E ，交于点F ．（1）证明：；（2）若，，求半径r ；（3）如图2，连接并延长交于点G ，交于点H ．若，．①求；②连接，设，用含x 的式子表示的长．（直接写出答案）【答案】（1）见解析 （2） （3）①；②191.70 1.615 1.6420⨯=<2y1y =2y ()0,01y 2y 2219y x =-0.85m 10.850.15-=2310.159y x =--1.8x =223110.15 1.80.150.210.2599y x =-=⨯-=<ABCD O BD AF BC ∥CD O AF CD ⊥4cos 5DAF ∠=4AC =BE DF O AF CD =AEB BDC ∠=∠tan BDC ∠OE OE x =GH 52r =1tan 2BDC ∠=GH x =【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出，根据平行线的得出，即可证明结论；（2）证明，得出，根据，得出，根据，求出结果即可；（3）①过点O 作于点P ，于点Q ，证明矩形是正方形，设，，得出，，证明，得出，求出，得出；②连接，证明，得出，即，求出，证明，得出，根据，得出，证明，得出，证明，得出【小问1详解】证明：∵为直径，∴，∵，∴，即．【小问2详解】解：∵，∴，又∵，∴，90BCD ∠=︒90AED BCD ∠=∠=︒AEC DAB ∽ AC AE BD AD =4cos 5AE DAF AD ∠==45AC BD =4AC =OP DC ⊥OQ AF ⊥OPEQ OP a PE ==CE b =2BC a =()22CD PC a b ==+BEC DBC ∽ 2BC CE CD =⋅1b a =1tan 2OP a BDC DP a b ∠===+HF ODP MDE ∽OP DP ME DE ==ME x =AMN CBN ∽ 37AN AC x ==ODP MDE ∽CEB CBD ∠∠=DEG DAN ∽ AN AD EG DE ==EG AN ==ABE HFE ∽ EH AE ==BD 90BCD ∠=︒AF BC ∥90AED BCD ∠=∠=︒AF CD ⊥AF BC ∥EAC ACB ∠=∠ACB ADB Ð=ÐEAC ADB ∠=∠∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即．【小问3详解】①如图2，过点O 作于点P ，于点Q ，如图所示：∵，∴四边形是矩形，∵，∴，∴矩形是正方形设，，∵，∴，∵，90AEC BAD ∠=∠=︒AEC DAB ∽ AC AE BD AD=4cos 5AE DAF AD ∠==45AC BD =4AC =5BD =52r =OP DC ⊥OQ AF ⊥90OPE PEQ OQE ∠=∠=∠=︒OPEQ AF CD =OP OQ =OPEQ OP a PE ==CE b =OP CD ⊥DP CP =DO OB =∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即：，解得：，∴；②如图，连接，由（3）①得，四边形为正方形，2BC a =()22CD PC a b ==+AF BC ∥AEB EBC ∠=∠AEB BDC ∠=∠EBC BDC ∠=∠BCE BCD ∠=∠BEC DBC ∽ BC EC DC BC=2BC CE CD =⋅()()222a b a b =⋅+1b a=1tan 2OP a BDC DP a b ∠===+HF OPEQ∵，∴，由，得，∴，∴，，∵，，∴为等腰直角三角形，∴，，∴，∵，，∴，∴，，解得：，∴，∵，∴，∴，∴，OE x =OP PE QE x ===1tan 2BDC ∠=DP =CP DP ==CE CP EP x =-=CD =AF CD =AF CD ⊥ADE V x AE DE ==EF CE x ==AC ==90OPD DEM ∠=∠=︒ODP MDE ∠=∠ODP MDE ∽OP DP ME DE==ME x =AM AE ME x x x =-==AF BC ∥AMN CBN ∽ 34AN AM NC BC ===37AN AC x ==∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴∴，∵，∴，∵，∴，∴∴，∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，ODP MDE ∽CEB CBD∠∠= CDCD =CBD CAD ∠=∠CEB DEG ∠=∠DAN DEG ∠=∠ CFCF =EDG CAE ∠=∠AF BC ∥CAE ACB ∠=∠ AB AB =ADN ACB ∠=∠ADN EDG ∠=∠DEG DAN ∽ AN AD EG DE==EG AN x == BFBF =EAB EHF ∠=∠AEB HEF ∠=∠ABE HFE ∽ EH EF AE BE ==EH AE ==GH EH EG x =-=解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合，作出辅助线．。

2024年山东省枣庄市滕州市滕南中学中考数学一模试卷一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列实数π3、−227、9、−7、3.14中，无理数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.我国航天事业发展越来越吸引人们关注，刚返回地面的神州17号三名航天员接受采访的短视频最近在短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为( )A. 1.5×105B. 0.15×105C. 1.5×106D. 1.5×1073.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简a2+2a+1−b2−4b+4的结果正确的是( )A. −a−b+1B. −a+b+1C. a−b−1D. a+b−14.“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称美惊艳了千年的时光.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是( )A. B. C. D.5.2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1次，达到400元可抽奖2次，…，依次类推.抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样；抽奖1次，随机从四个小球抽取一个；抽奖2次时，记录第1次抽奖的结果后放回箱子中再进行第2次抽取，…，依次类推.小明和妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会，则小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率为( )A. 16B. 14C. 38D. 126.已知下列各图中的四边形是平行四边形，根据各图中保留的作图痕迹，能得到菱形的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.马面裙(图1)，又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，如图2，马面裙可以近似地看作扇环ABCD(AD和BC的圆心为点O)，A为OB的中点，BC=OB=8dm，则该马面裙裙面(阴影部分)的面积为( )A. 4πdm2B. 8πdm2C. 12πdm2D. 16πdm28.如图，等边△ABC的边长为1，D是BC边上的一动点，过点D作AB边的垂线，交AB于点G，设线段AG的长度为x，△GBD的面积为y，则y关于x的函数图象正确的是( )A.B.C.D.9.已知P1(x1,y1)P2(x2,y2)是抛物线y=ax2+4ax+3(a是常数，a≠0)上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=−2；②点(0,3)在抛物线上；③若x1>x2>−2，则y1>y2；④若y1=y2，则x1+x2=−2，其中，正确结论的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

2024年海南省海口市美兰区海府实验学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑。

1．（3分）下列实数：﹣1，0，，﹣其中最小的是（）A．﹣1B．0C．D．﹣2．（3分）地球离太阳约有一亿五千万千米，一亿五千万用科学记数法表示是（）A．1.5×108B．1.5×107C．15×107D．0.15×109 3．（3分）下列计算正确的是（）A．5a﹣3a＝2B．a6÷a3＝a2C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（a2b）3＝a6b34．（3分）如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．5．（3分）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（）A．5B．7C．10D．﹣136．（3分）某班9名学生参加定点投篮测试，每人投篮10次，投中的次数统计如下：3，6，4，6，4，3，6，5，7．这组数据的中位数和众数分别是（）A．5，4B．5，6C．6，5D．6，67．（3分）方程的解是（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝5D．x＝﹣58．（3分）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1 9．（3分）如图，l∥AB，∠A＝2∠B．若∠1＝108°，则∠2的度数为（）A．36°B．46°C．72°D．82°10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°11．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA=60°，则的值是（）A．B．C．D．12．（3分）如图，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A 按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m，3），则m的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）13．（3分）分解因式：x3﹣4x＝．14．（3分）已知a，b为两个连续整数，且，则a+b＝．15．（3分）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为．16．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，①∠DAC＝°；②当PE+PF取得最小值时，的值是．三、解答题（本大题满分72分）17．（12分）（1）计算：；（2）解不等式组：．18．（10分）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A．B 两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元，求两种型号垃圾桶的单价．19．（10分）某校在评选“劳动小能手”活动中，随机调查了部分学生的周末家务劳动时间，根据调查结果，将劳动时长划分为A，B，C，D四个组别，并绘制成如下不完整统计图表（如图）学生周末家务劳动时长分组表组别t（小时）A t＜0.5B0.5≤t＜1C1≤t＜1.5D t≥1.5请根据图表中的信息解答下列问题：（1）这次抽样调查共抽取名学生，条形统计图中的a＝，D组所在扇形的圆心角的度数是；（2）请补全条形统计图；（3）已知该校有900名学生，根据调查结果，请你估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有多少人？（4）班级准备从周末家务劳动时间较长的三男一女四名学生中，随机抽取两名学生参加“我劳动，我快乐”的主题演讲活动，则恰好选中两名男生的概率为．20．（10分）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA 交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，CD＝1.2米，AD＝0.8米，∠AGC＝32°．（1）∠GAC＝°，∠ADE＝°；（2）求支架CG的长（精确到0.01）；（3）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）21．（15分）点E在矩形ABCD的对角线BD上，DF⊥AE于点G，交AB于点F．（1）如图1，若DB平分∠CDF，求证：AD＝AE；（2）如图2，取AD的中点M，若∠AMF＝∠ABM，求的值；（3）如图3，过BD的中点O作PQ⊥AB于点P，延长PO交CD于点Q，连接EF交OP于点N．若NE＝NF，求证：．22．（15分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内的抛物线上的一个动点，①当P为抛物线的顶点时，求证：△PBC直角三角形；②求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；③过点P作PN⊥x轴，垂足为N，PN与BC交于点E．当的值最大时，求点P的坐标．2024年海南省海口市美兰区海府实验学校中考数学一模试卷参考答案一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑。

2024年广东省珠海市香洲区九洲中学中考数学一模试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．1. 的倒数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．【详解】解：∵，∴的倒数是，故选：D ．2.有意义，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据被开方数为非负数求解即可．【详解】解：∵有意义，∴，解得：．故选A ．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题关键．3. 今年哈尔滨旅游火出圈了，截止元旦假日第3天，哈尔滨市累计接待游客3047900人次，其中3047900这个数字用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，将原数写成（，n 为整数）的形式，确定a 和n 20242024-202412024-120241202412024⨯=202412024x 3x ≥3x ≤3x >3x <30x -≥3x ≥530.47910⨯53.047910⨯63.047910⨯73.047910⨯10n a ⨯110a <<的值是解答本题的关键．将3047900写成（，n 为整数）的形式即可．【详解】解：，故选：C ．4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C 、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：C ．5. 下列运算中，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的加法、二次根式的除法、同底数幂的除法的运算法则和完全平方公式逐项判断即可．【详解】解：A10n a ⨯110a <<63047900 3.047910=⨯180︒==623a a a ÷=()222a b a b +=+B，正确，符合题意；C 、，故此选项计算错误，不符合题意；D 、，故此选项计算错误，不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的加法、二次根式的除法、同底数幂的除法、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键．6. 若反比例函数在每个象限内的函数值y 随x 的增大而减小，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数的性质，k ＞0时，在每个象限内y 随x 增大而减小列不等式求解．【详解】解：∵反比例函数在每个象限内的函数值y 随x 增大而减小，∴k-1＞0，解得k ＞1．故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数中k 的正负对函数增减性的影响．7. 石家庄市某中学为了解八年级1200名学生期中数学考试情况，从中抽取了200名学生的数学成绩进行统计．给出下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②1200名学生是总体；③每名学生的数学成绩是个体；④200名学生是总体的一个样本；⑤200是样本容量．其中正确的判断有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象,从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【详解】解：①这种调查方式是抽样调查故①正确；②1200名学生的数学成绩是总体，故②错误；③每名学生的数学成绩是个体，故③正确；==62624a a a a -÷==()2222a b a ab b +=++1k y x -=k <0k >1k >1k <1k y x-=④200名学生的数学成绩是总体的一个样本，故④错误；⑤200是样本容量，故⑤正确；故选：C ．【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．8. 如图，在中，，按以下步骤作图：分别以为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，连结．若，，则的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法及性质，三角形的周长，根据作图过程可知，是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的作法及性质是解题的关键．【详解】解：根据作图过程可知，是线段的垂直平分线，∴，∴的周长为．故选：．9. 如图，这是由10个全等的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，我们把三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，是格点三角形，将平移后仍为格点三角形（本身除外）的方法有（ ）A. 5种B. 6种C. 7种D. 8种【答案】C ABC AB AC >B C ，BC M N CD 8AB =4AC =ACD 9101112MN BC CD BD =ACD AC CD AD AC BD AD AC AB ++=++=+MN BC CD BD =ACD 4812AC CD AD AC BD AD AC AB ++=++=+=+=D ABC ABC【解析】【分析】根据菱形的性质画出图形解答即可．【详解】解：如图所示：故选：C ．【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的四边相等解答．10. 如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（﹣1，0），与y 轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x ＝1，则下列结论中：①a +c ＝b ；②方程ax 2+bx +c ＝0的解为﹣1和3；③2a +b ＝0；④c ﹣a ＞2，其中正确的结论为（ ）A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④【答案】D【解析】【分析】将点代入解析式可判断；由对称性可得另一个交点，可判断；由，可判断，由可判断，即可求解．【详解】解：抛物线经过点，，，故正确；对称轴为x ＝1，一个交点为，另一个交点为，方程的解为﹣1和3，故正确；为10-（，）①30（，）②12b a-=③20c a ＝，＜④① 2y ax bx c ++＝10-（，）0a b c ∴+﹣＝a c b ∴+＝①② 10-（，）∴30（，）∴20ax bx c ++＝②由对称轴为x ＝1，，，则，故正确；抛物线与y 轴交于，c ＝2，a ＜0，，故正确，故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，根与系数关系，二次函数图象与系数关系，二次函数图象上点的坐标特征，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）将正确答案写在答题卡相应的位置上．11. 单项式的系数是______．【答案】【解析】【分析】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果．【详解】解：单项式的系数是-1．故答案是：-1．【点睛】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义．12. 如果，那么代数式的值为_____．【答案】7【解析】【分析】此题考查了代数式求值问题，用整体代入法求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：7．③∴12b a-=∴2b a ＝﹣20a b +＝③④ 2y ax bx c ++＝02（，）∴ 2c a ∴﹣＞④ab -1-ab -23x y -=421x y -+23x y -=426x y -=421617x y -+=+=13. 已知是方程一个根，则另一个根为________．【答案】##【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案．【详解】解：∵是方程的一个根，∴∴；∴方程的另一个根为；故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．14. 如图，直线与直线相交于点，则关于x ，y 的方程组的解为______．【答案】【解析】【分析】先把代入直线即可求出b 的值，从而得到P 点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数解析式组成的二元一次去方程组的解可得答案．【详解】解：∵直线经过点，∴，解得，的1x =20x m +=1x =-1x =-+1x =20x m +=21x +==21x =-1x =-1x =-1:31l y x =+2:l y mx n =+()1,P b 31y x y mx n =+⎧⎨=+⎩14x y =⎧⎨=⎩()1,P b 1:31l y x =+1:31l y x =+()1,P b 31b =+4b =∴，∴关于x ，y 的方程组的解为，故答案为：．【点睛】此题考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点的横纵坐标就是两函数组成的二元一次去方程组的解．15. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为___________．【答案】75°##75度【解析】【分析】利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．【详解】解：如图，∵∠2=90°-30°=60°，∴∠3=180°-45°-60°=75°，∵a ∥b ，∴∠1=∠3=75°，故答案为：75°．【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．16. 如图，在⊙O 中，半径OA ⊥OB ，过OA 的中点C 作FD ∥OB 交⊙O 于D 、F 两点，且CD，以O 为圆心，OC 为半径作，交OB 于E 点．则图中阴影部分的面积为______________．(1),4P 31y x y mx n =+⎧⎨=+⎩14x y =⎧⎨=⎩14x y =⎧⎨=⎩CE【解析】【详解】分析：（1）首先证明OA ⊥DF ，由垂径定理求出，由OD=2CO 推出∠CDO=30°，设OC=x ，则OD=2x，利用勾股定理求得OD 的长，再根据S 阴=S △CDO +S 扇形OBD -S 扇形OCE 计算即可．详解：连接OD ，∵OA ⊥OB ，∴∠AOB=90°，∵CD ∥OB ，∴∠OCD=90°，∴OA ⊥DF ，∴CD=，在Rt △OCD 中，∵C 是AO 中点，∴OA=OD=2CO ，设OC=x ，则x 22=(2x)2，解得：x=1，∴OA=OD=2，∵OC=OD ∠OCD=90°,∴∠CDO=30°，∵FD ∥OB ，,121212∴∠DOB=∠ODC=30°，∴S 阴=S △CDO +S 扇形OBD −S 扇形OCE=+−.点睛：本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n 0，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则或，（其中l 为扇形的弧长）三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）17. 计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握相关运算的法则．根据特殊角三角函数值，零指数幂，绝对值的代数意义，二次根式的化简分别计算即可得到答案．【详解】解：．18. 图，E 是正方形内一点，是等边三角形，连接，，延长交于点F ．（1）求证：；（2）求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得，由等边三角形的性质可得，再证明，即可证明；（2）证明，，，可得，再利用等腰三角形的性质与平行线的性质可得答案．【小问1详解】122302360π⨯2901360π⨯π122360n r S π=1=2S lR 扇形)04sin 451︒+604sin 451)5︒+-+--415=++-6=ABCD BCE DE AE DE AB ABE DCE ≌△△AFD ∠75︒AB DC =BE CE =ABE DCE ∠=∠ABE DCE ≌△△CE BC BE ==CD BC =AB CD ∥CE CD =证明：在正方形中，，，∵ 为等边三角形，∴ ，，∴ ，即：，在和中， ，∴，【小问2详解】∵是等边三角形，∴，∵四边形是正方形∴，，∴，∴，∵，∴．19. 先化简，再求值：，其中．【答案】【解析】【分析】由题意先利用分式的运算法则进行计算化简，进而代入计算即可.【详解】解：ABCD AB DC =90ABC BCD ∠=∠=︒BCE BE CE =60EBC ECB ∠=∠=︒ABC EBC BCD ECB ∠-∠=∠-∠30ABE DCE ∠=∠=︒ABE DCE △AB DC ABE DCE BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE DCE ≌ BCE CE BC BE ==ABCD CD BC =AB CD ∥CE CD =()118030752CDE ∠=︒-︒=︒AB CD ∥75AFD CDE ∠=∠=︒2211121x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭1x =+11x -2211121x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭22111121x x x x x x x +-⎛⎫=-÷ ⎪++++⎝⎭()()()211111x x x x +=⋅++-当时，原式.【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则以及分母有理化的方法是解题的关键.四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）20. 2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了，同样用2400元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？【答案】40元【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元钱，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元，根据该商场第二次同样用2400元购进的数量比第一次少10件，列出分式方程，解方程即可．【详解】解：设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元钱，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，答：第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是40元．21. 如图，在中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，若是的切线．（1）求证：；（2）若，，求半径的长．11x =-1x =+==20%x (120%)x +x (120%)x +2400240010(120%)x x-=+40x =40x =Rt ABC △90ACB ∠=︒D AC AD O BD E CE O CE BC =4CD =1tan 2BEC ∠=O【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，得到，根据，得到，证明，根据等腰三角形的判定定理证明结论；（2）根据正切的定义求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．本题考查的是切线的性质、正切的定义、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．【小问1详解】证明：连接，是的切线，，，，，，，，，；【小问2详解】解：设的半径为，，，，，，，，OE OE EC ⊥90OED BEC ∠+∠=︒OE OD =OED ODE ∠=∠BEC CBE ∠=∠BC OE CE O OE EC ∴⊥90OED BEC ∴∠+∠=°90ACB ∠=︒ 90CDB CBE ∴∠+∠=︒OE OD = OED ODE ∴∠=∠ODE CDB ∠=∠ BEC CBE ∴∠=∠CE BC ∴=O r BEC CBE ∠=∠ 1tan 2BEC ∠=1tan 2CBD ∴∠=∴12CD BC =4CD = 8BC ∴=8EC ∴=在中，，即，解得：，即的半径为6．22. 幸福成都，美在文明！为助力成都争全国文明典范城市，某校采用四种宣传形式：A ．宣传单宣传，B ．电子屏宣传，C ．黑板报宣传，D ．志愿者宣传．每名学生从中选择一种最喜欢的宣传形式，学校就最喜欢的宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图；（2）扇形统计图中，“D ．志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为______；（3）本次调查中，在最喜欢“志愿者宣传”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，若从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的志愿者活动，请用列表或画树状图的方法，求选出两人恰好是甲和乙的概率【答案】（1）50，图见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据C 项目的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数A 、C 、D 项目的人数即可解决问题；（2）用乘以 “D .志愿者宣传”的学生所占的比例即可；（3）列出表格，共有12种等可能的情况，其中被选取的两人恰好是甲和乙的有2种情况，再由概率公式求解即可．【小问1详解】本次调查的学生共有：（人），Rt OEC △222OC OE EC =+222(4)8r r +=+6r =O 108︒16360︒1020%50÷=喜欢B ．电子屏宣传的人数有：（人），补全条形统计图如图所示：故答案为：50【小问2详解】“D ．志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为；故答案为：；【小问3详解】列表得：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）共有12种等可能的结果，其中恰好是甲和乙的有2种，∴被选取的两人恰好是甲和乙的概率是．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ,再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）23. 在学习《圆》这一单元时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，也是一个真命题．在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形，那么，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：已知：是等边三角形，点是内一点，连接，将线段绕逆时针旋转得到线502010155---=1536010850︒⨯=︒108︒21==126ABC D ABC ∆CD CD C 60︒段，连接，，，并延长交于点．当点在如图所示的位置时：（1）观察填空：与全等的三角形是 ；（2）利用（1）中的结论，求的度数；（3）判断线段之间的数量关系【答案】（1）△BCE（2）60° （3）【解析】【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，四点共圆等，构造全等三角形是解题的关键．（1）根据等边三角形的性质得，，可知，再说明是等边三角形，可得，，进而得出，即可得出答案；（2）先说明点，，，四点共圆，可得，再根据，可得答案；（3）先证明三角形是等边三角形，再根据证明，得出，进而得出答案．【小问1详解】解：是等边三角形，，，．由旋转可知，，，是等边三角形，，，，∴故答案为：CE BE DE AD AD BE F D ACD AFB ∠FD FE FC ，，FC FE FD=+AB BC =60ACB ∠=︒60ACD DCB ∠+∠=︒A DCE 60BCE DCB ∠+∠=︒CD CE =ACD BCE ∠=∠C D F E 180AFE DCE ∠+∠=︒180AFB AFE ∠+∠=︒EFG AAS CEG DEF △≌△CG FD -ABC AB AC BC ∴==60BAC ACB ABC ∠=∠=∠=︒60ACD DCB ∴∠+∠=︒CE CD =60DCE ∠=︒DCE ∴60BCE DCB ∠+∠=︒ACD BCE ∠=∠CD CE =()SAS ACD BCE △≌△Δ:BCE【小问2详解】由（1）知．，，点，，，四点共圆，．，；【小问3详解】解：由（1）知是等边三角形，．由（2）得，点，，，四点共圆，．在上取一点，使，是等边三角形，，，．：点，，，四点共圆，，∴，，24. 已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点C()SAS ACD BCE △≌△ADC BEC ∠∠∴=180ADC FDC ∠+∠=︒ BEC C ∴∠+180FDC =︒∴C D F E 180AFE DCE ∴∠+∠=︒180AFB AFE ∴∠+∠=︒60AFB DCE ∴∠=∠=︒DCE △CE DE ∴=180120DFE DCE ∠=︒-∠-︒C D F E 60CFE CDE ∴∠=∠=︒FC G FG FE =∴EFG EG FE ∴=60EGF ∠-︒120CGE DFE ∴∠=︒=∠ C D F E ECG EDF ∴∠=∠()AAS CEG DEF ≌CG FD ∴=FC FG CG FE FD∴=+=+24(0)y ax bx a =++>x (1,0)A (4,0)B y（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，的坐标为或．【解析】【分析】（1）用待定系数法可得；（2）由，可得直线解析式为，设，由，有，即可解得；（3）可得直线的表达式为，知在直线上，，过点作轴于点，过作轴于，根据，可得直线和直线关于直线对称，有，，，从而可得直线的表达式为，点的坐标为，即得，，故P BC B C P x Q OQ OCPQ Q D OC Q E 2DQE ODQ ∠=∠QE F BEF △ADC △F 257y x x =-+()22Q ，-F (4,2)(1.6, 2.8)-254y x x =-+(4,0)B (0,4)C BC 4y x =-+(,4)P m m -+OC PQ =244m m -+=(2,2)Q -DQ 22y x =-+A DQ AD =AC =Q QH x ⊥H E EK x ⊥K 2DQE ODQ ∠=∠AQ QE QH DAO QAH QGH EGB ∠=∠=∠=∠1GH AH ==(3,0)G QE 26y x =-E (5,4)EKB COA ∽V V EBK CAO ∠=∠，与相似，点与点是对应点，设点的坐标为，当时，有解得；当时，，解得．【小问1详解】解：把，代入得：，解得：，；【小问2详解】解：由，可得直线解析式为，设，则，，，要使四边形恰好是平行四边形，只需，，解得，；【小问3详解】解：在直线上存在点，使得与相似，理由如下：是的中点，点，点，由（2）知，直线表达式为，的DAC GEB ∠=∠BEF △ADC △E A F (,26)t t -BEF CAD ∽V V =(4,2)F BEF DAC ∽V V =(1.6, 2.8)F -(1,0)A (4,0)B 24y ax bx =++4016440a b a b ++=⎧⎨++=⎩15a b =⎧⎨=-⎩254y x x ∴=-+(4,0)B (0,4)C BC 4y x =-+(,4)P m m -+2(,54)Q m m m -+224(54)4PQ m m m m m ∴=-+--+=-+OC PQ OCPQ OC PQ =244m m ∴-+=2m =(2,2)Q ∴-QE F BEF △ADC △D OC (0,4)C ∴(0,2)D (2,2)Q -∴DQ 22y x =-+，直线上，，过点作轴于点，过作轴于，如图：，故，，，直线和直线关于直线对称，，，，由点，可得直线的表达式为，联立，解得或，点的坐标为，，，，，，，，，即，与相似，点与点是对应点，设点的坐标为，则当时，有，在(1,0)A A ∴DQ AD =AC =Q QH x ⊥H E EK x ⊥K QH CO Q P AQH ODQ ∠=∠2DQE ODQ ∠=∠ HQA HQE ∴∠=∠∴AQ QE QH DAO QAH QGH EGB ∴∠=∠=∠=∠1GH AH ==(3,0)G ∴(2,2)Q -(3,0)G QE 26y x =-25426y x x y x ⎧=-+⎨=-⎩54x y =⎧⎨=⎩22x y =⎧⎨=-⎩∴E (5,4)(4,0)B 1BK ∴=4EK =BE =∴14BK OA EK OC==90EKB COA ∠=︒=∠Q EKB COA ∴∽V V EBK CAO ∴∠=∠CAO DAO EBK EGB ∴∠-∠=∠-∠DAC GEB ∠=∠BEF ∴ ADC △E A F (,26)t t -EF =BEF CAD ∽V V BE EF AC AD =解得或（在右侧，舍去），；当时，，解得（舍去）或，，综上所述，的坐标为或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行四边形，相似三角形等知识，难度较大，综合性较强，解题的关键是证明，从而得到与相似，点与点是对应点．∴=4t =6t =E (4,2)F ∴BEF DAC ∽V V BE EF AD AC=∴=8.4t = 1.6t =(1.6, 2.8)F ∴-F (4,2)(1.6, 2.8)-DAC GEB ∠=∠BEF △ADC △E A。

2024年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.能与−2相加得0的数是( )A. 2B. −2C. 12D. −122.下列正确的是( )A. 4+9=2+3B. 4×9=2×3C. 94=32D. 4.9=0.73.整数372310…0用科学记数法表示为3.7231×1011，则原数中0的个数为( )A. 5B. 6C. 7D. 84.下列图形是三棱柱展开图的( )A. B.C. D.5.若m≠n，则下列化简一定正确的是( )A. m+3n+3=mnB. m−3n−3=mnC. m3n3=mnD. 3m3n=mn6.如图为某射击场35名成员射击成绩的条形统计图(成绩均为整数)，其中部分已破损.若他们射击成绩的中位数是5环，则下列数据中无法确定的是( )A. 3环以下(含3环)的人数B. 4环以下(含4环)的人数C. 5环以下(含5环)的人数D. 6环以下(含6环)的人数二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

7.若x+2y=5，则3x+6y−1的值是______．8.若分式xx−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．9.计算3+12的结果是______．10.若圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则它的侧面积是______．11.若a n+a n⋯+a na个a n=a4(a为大于1的整数)，则n的值是______．12.一组数据x，2，3的平均数是3，这组数据的方差是______．13.如图，四边形ABCD是矩形，根据尺规作图痕迹，计算∠1的大小为______．14.如图，正八边形ABCDEFGH的半径为4，则它的面积是______．15.关于x的方程(x−n)2+2(x−n)+2=m(m>1)的两根之和是______．16.如图，已知点A(1,0)、B(5,0)，点C在y轴上运动.将AC绕A顺时针旋转60°得到AD，则BD的最小值为______．三、解答题：本题共11小题，共88分。

2024年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2023的倒数是（）A．2023B．C．﹣2023D．2．（3分）2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，数据150万用科学记数法表示为（）A．1.5×105B．0.15×105C．1.5×106D．1.5×1073．（3分）计算的结果是（）A．2B．﹣2C．0D．2b﹣2a4．（3分）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A．2，4，7B．3，3，6C．5，8，2D．4，5，66．（3分）为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（）A．此次调查属于全面调查B．样本容量是300C．2000名学生是总体D．被抽取的每一名学生称为个体7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，任意长为半径画弧，分别交AC，N，再分别以M，N为圆心长为半径画弧，两弧交于点O，交BC于点E．已知CE＝3，AB＝6（）A．6B．9C．12D．188．（3分）如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且a∥b，则∠2的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．25°9．（3分）关于一次函数y＝﹣2x+4，下列说法不正确的是（）A．图象不经过第三象限B．y随着x的增大而减小C．图象与x轴交于（﹣2，0）D．图象与y轴交于（0，4）10．（3分）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B 也进入．”B说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，则进入前三强的三个人是（）A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：x3﹣4x＝．12．（3分）不等式组的解集是．13．（3分）已知m是﹣1，0，1，2，3中的一个数，则关于x的方程x2﹣x+m＝0有解的概率为．14．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，已知点B，C关于原点对称．15．（3分）如图，在⊙O中，CD是直径，垂足为E，若∠C＝30°，则⊙O的半径为cm．16．（3分）若扇形的圆心角为135°，半径为4，则它的弧长为．（结果保留π）三、解答题（本大题共9个小题，共72分）17．（6分）18．（6分）先化简，再求值：（a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣2b），其中a＝202419．（6分）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，小亮想测量某大厦楼顶上的一个广告牌CD 的高度，从与大厦BC相距30m的A处观测广告牌顶部D的仰角∠BAD＝30°，如图所示．（1）求大厦BC的高度；（结果精确到0.1m）（2）求广告牌CD的高度．（结果取整数）（参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）20．（8分）打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据以上信息，解答下列问题：（1）此次被调查的学生人数为名，并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是度；（3）若该校有3000名学生，请你估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数；（4）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．21．（8分）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．（1）求证：△ABC≌△CDE；（2）已知AB＝2，DE＝4，求△ACE的面积．22．（9分）为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价贵8元，且用720元购买A文具的数量与用480元购买B文具的数量相同．（1）求A，B两种文具的单价；（2）若年级组需要购买A，B两种文具共100件，且购买这两种文具的总费用不超过2080元23．（9分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝2，∠AFB＝60°，求CF的长．24．（10分）在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为他们的“密接点”．例如：y＝3x﹣1与y＝﹣x+3有且只有一个交点（1，2），则称这两个函数为“亲密函数”，点（1，2）（1）判断下列几组函数，是“亲密函数”的在_____内记“√”，不是“亲密函数”的在______内记“×”；①y＝2x﹣1与y＝﹣x+2；②与；③y＝x2﹣x+1与y＝x．（2）一次函数y＝kx+b与反比例函数（其中k，b为常数，且他们的“密接点”P到原点的距离等于3，求b的值．（3）两条直线l1与l2都是二次函数y＝x2+c的“亲密函数”，且“密接点”分别为M，N．记直线l1与l2的交点的纵坐标为m，直线MN与y轴的交点的纵坐标为n．试判断m与n的关系，并证明你的判断．25．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，∠DMC＝∠DAB．（1）求证：AB＝BC．（2）当k≥1时，记，记．①当时，求t的值；②求t的最大值．（3）当AD为直径时，连接OB交AC于点E，满足以下条件：①S△BCM＝3；②S△BEM＝2m﹣n；③S△DCM ＝3m+n（m，n均为正整数）；求⊙O的半径r的值．参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2023的倒数是（）A．2023B．C．﹣2023D．【解答】解：∵﹣2023×（﹣）＝1，∴﹣2023的倒数是﹣，故选：B．2．（3分）2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，数据150万用科学记数法表示为（）A．1.5×105B．0.15×105C．1.5×106D．1.5×107【解答】解：150万＝1500000＝1.5×105．故选：C．3．（3分）计算的结果是（）A．2B．﹣2C．0D．2b﹣2a【解答】解：＝＝﹣＝﹣7，故选：B．4．（3分）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形．故选：D．5．（3分）以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A．2，4，7B．3，3，6C．5，8，2D．4，5，6【解答】解：A、4+2＝5＜7；B、3+6＝6；C、5+5＝7＜8；D、3+5＝9＞7．故选：D．6．（3分）为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（）A．此次调查属于全面调查B．样本容量是300C．2000名学生是总体D．被抽取的每一名学生称为个体【解答】解：A、此次调查属于抽样调查；B、样本容量是300；C、2000名学生的视力情况是总体；D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体；故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，任意长为半径画弧，分别交AC，N，再分别以M，N为圆心长为半径画弧，两弧交于点O，交BC于点E．已知CE＝3，AB＝6（）A．6B．9C．12D．18【解答】解：由基本作图得到AE平分∠BAC，∴点E为AC和AB的距离相等，∴点E到AB的距离等于AC，即点E到AB的距离为3，∴S△ABE＝×6×3＝3．故选：B．8．（3分）如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且a∥b，则∠2的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．25°【解答】解：∵a∥b，∠1＝55°，∴∠3＝∠6＝55°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣55°＝35°．故选：A．9．（3分）关于一次函数y＝﹣2x+4，下列说法不正确的是（）A．图象不经过第三象限B．y随着x的增大而减小C．图象与x轴交于（﹣2，0）D．图象与y轴交于（0，4）【解答】解：∵y＝﹣2x+4，k＝﹣2＜0，∴图象经过一、二、四象限，故A，B不符合题意；当y＝0时，﹣7x+4＝0，∴图象与x轴交于（7，0）；当x＝0时，y＝3，∴图象与y轴交于（0，4）；故选：C．10．（3分）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B 也进入．”B说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，则进入前三强的三个人是（）A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A【解答】解：若A进入前三强，那么进入前三强的有A、B、C、D，显然不合题意，同理，当B进入前三强时，所以应从C开始进入前三强，D，E．故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）．【解答】解：x3﹣4x，＝x（x4﹣4），＝x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．12．（3分）不等式组的解集是﹣≤x＜5．【解答】解：由x﹣1＜得：x＜5，由2x+3≥0得：x≥﹣，则不等式组的解集为﹣≤x＜4，故答案为：﹣≤x＜5．13．（3分）已知m是﹣1，0，1，2，3中的一个数，则关于x的方程x2﹣x+m＝0有解的概率为．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x+m＝0有解，∴b6﹣4ac＝1﹣5m≥0，解得：k≤，∴满足条件的m的值有﹣1，0，∴关于x的方程x3﹣x+m＝0有解的概率为．故答案为：．14．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，已知点B，C关于原点对称3．【解答】解：∵点A在反比例函数的图象上，∴S△ABO＝，∵点B，C关于原点对称，∴BO＝CO，∴S△ABC＝2S△ABO＝2×＝3．故答案为：3．15．（3分）如图，在⊙O中，CD是直径，垂足为E，若∠C＝30°，则⊙O的半径为4cm．【解答】解：连接DA，如图所示则∠DAC＝90°，∵AB⊥CD，∠C＝30°，∴cos30°＝＝，∴AC＝5cm，∴CD＝4cm，故答案为：4．16．（3分）若扇形的圆心角为135°，半径为4，则它的弧长为3π．（结果保留π）【解答】解：l＝＝＝3π．故答案为：7π．三、解答题（本大题共9个小题，共72分）17．（6分）【解答】解：＝．18．（6分）先化简，再求值：（a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣2b），其中a＝2024【解答】解：（a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣6b）＝a2﹣2ab+b7+a2﹣b2﹣3a2+4ab＝3ab，当a＝2024，b＝﹣1时，原式＝2×2024×（﹣7）＝﹣4048．19．（6分）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，小亮想测量某大厦楼顶上的一个广告牌CD 的高度，从与大厦BC相距30m的A处观测广告牌顶部D的仰角∠BAD＝30°，如图所示．（1）求大厦BC的高度；（结果精确到0.1m）（2）求广告牌CD的高度．（结果取整数）（参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）【解答】解：（1）由题意得：DB⊥AB，在Rt△ABC中，AB＝30m，∴BC＝AB•tan27°≈30×0.510＝15.3（m），∴大厦BC的高度约为15.2m；（2）在Rt△ABD中，∠DAB＝30°，∴BD＝AB•tan30°＝30×＝10，∵BC＝15.3m，∴CD＝BD﹣BC＝10﹣15.6≈2（m），∴广告牌CD的高度约为2m．20．（8分）打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据以上信息，解答下列问题：（1）此次被调查的学生人数为100名，并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是144度；（3）若该校有3000名学生，请你估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数；（4）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．【解答】解：（1）（名），D的人数＝100﹣10﹣20﹣40﹣5＝25（名），（2），故答案为：144；（3）3000×＝600（人），答：估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数约为600人；（4）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有7种、CC，∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．21．（8分）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．（1）求证：△ABC≌△CDE；（2）已知AB＝2，DE＝4，求△ACE的面积．【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，∴∠BAC＝∠DCE＝90°﹣∠ACB，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS）．（2）解：∵△ABC≌△CDE，AB＝2，∴AC＝CE，AB＝CD＝2，∴∠D＝90°，∴CE4＝CD2+DE2＝22+42＝20，∵∠ACE＝90°，∴S△ACE＝AC•CE＝2＝×20＝10，∴△ACE的面积为10．22．（9分）为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价贵8元，且用720元购买A文具的数量与用480元购买B文具的数量相同．（1）求A，B两种文具的单价；（2）若年级组需要购买A，B两种文具共100件，且购买这两种文具的总费用不超过2080元【解答】解：（1）设A种文具的单价是x元，则B种文具的单价是（x﹣8）元，根据题意得：＝，解得：x＝24，经检验，x＝24是所列方程的解，∴x﹣6＝24﹣8＝16，答：A种文具的单价是24元，B种文具的单价是16元；（2）设年级组购买B种文具m件，则购买A种文具（100﹣m）件，根据题意得：24（100﹣m）+16m≤2080，解得：m≥40，答：年级组至少购买B种文具40件．23．（9分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝2，∠AFB＝60°，求CF的长．【解答】（1）证明：∵D是BC的中点，E是AD的中点，∴BD＝CD，AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，在△AFE和△DCE中，，∴△AFE≌△DCE（AAS），∴F A＝CD，∴F A∥BD，F A＝BD，∴四边形ADBF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝BD＝BC，∴四边形ADBF是菱形．（2）解：作FG⊥CB交CB的延长线于点G，则∠G＝90°，∵四边形ADBF是菱形，∴AF＝BF＝AD＝BD，∠ADB＝∠AFB＝60°，∴△ADB和△AFB都是等边三角形，∴CD＝BD＝BF＝AB＝3，∠ABF＝∠ABD＝60°，∴∠GBF＝180°﹣∠ABF＝∠ABD＝60°，∴＝sin∠GBF＝sin60°＝，，∴FG＝BF＝，BG＝×2＝5，∴CG＝CD+BD+BG＝2+2+6＝5，∴CF＝＝＝2，∴CF的长是2．24．（10分）在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为他们的“密接点”．例如：y＝3x﹣1与y＝﹣x+3有且只有一个交点（1，2），则称这两个函数为“亲密函数”，点（1，2）（1）判断下列几组函数，是“亲密函数”的在_____内记“√”，不是“亲密函数”的在______内记“×”；①y＝2x﹣1与y＝﹣x+2；√②与；×③y＝x2﹣x+1与y＝x．√（2）一次函数y＝kx+b与反比例函数（其中k，b为常数，且他们的“密接点”P到原点的距离等于3，求b的值．（3）两条直线l1与l2都是二次函数y＝x2+c的“亲密函数”，且“密接点”分别为M，N．记直线l1与l2的交点的纵坐标为m，直线MN与y轴的交点的纵坐标为n．试判断m与n的关系，并证明你的判断．【解答】解：（1）①∵y＝2x﹣1与y＝﹣x+2有且只有一个交点（1，1），∴这两个函数是“亲密函数”，故答案为：√；②∵y＝与y＝，∴这两个函数不是“亲密函数”，故答案为：×；③y＝x2﹣x+5与y＝x有且只有一个交点（1，1），∴这两个函数是“亲密函数”，故答案为：√；（2）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣（其中k，k＞3是“亲密函数”，∴方程kx+b＝﹣有且只有一个实数根，∴kx2+bx+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b5﹣4k2＝3，∴b＝2k或＝2k，当b＝7k时，kx2+2kx+k＝6，解得x＝﹣1，∴P（﹣1，k），∵“密接点”P到原点的距离等于6，∴＝3（负值舍去），∴b＝5；当b＝﹣2k时，kx8﹣2kx+k＝0，解得x＝4，∴P（1，﹣k），∵“密接点”P到原点的距离等于3，∴＝8（负值舍去），∴b＝﹣4；当b＝2k时，kx2+2kx+k＝0，解得x＝﹣1，∴P（﹣5，k），∵“密接点”P到原点的距离等于3，∴＝3（负值舍去），∴b＝4；综上，b的值为5；（3）m+n＝3c．证明：设直线l1：y＝k1x+b3，直线l2：y＝k2x+b4，∵两条直线l1与l2都是二次函数y＝x4+c的“亲密函数”，且“密接点”分别为M，N．∴k1x+b1＝x2+c，即x2﹣k1x+c﹣b7＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝﹣4（c﹣b1）＝8，∴b1＝，∴x8＝x2＝，∴M（，+c），同理：b6＝，N（，，设直线MN的解析式为y＝k3x+b3，∴k3+b8＝+c①，k4+b3＝+c②，①k1×﹣②×k5得k1b3﹣k6b3＝（k2﹣k8）+（k1﹣k1）c，∴b7＝﹣+c，令x＝0，则n＝b3＝﹣+c，∵m＝k5x m+b1＝k2x m+b3，∴x m＝＝，∴＝，∴m＝+c，∴m+n＝+c+（﹣．25．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，∠DMC＝∠DAB．（1）求证：AB＝BC．（2）当k≥1时，记，记．①当时，求t的值；②求t的最大值．（3）当AD为直径时，连接OB交AC于点E，满足以下条件：①S△BCM＝3；②S△BEM＝2m﹣n；③S△DCM ＝3m+n（m，n均为正整数）；求⊙O的半径r的值．【解答】（1）证明：∵∠DMC＝∠DAC+∠ADB，∠DAB＝∠DAC+∠CAB，∴∠CAB＝∠ADB，∴，（2）解：①由（1）知：∠CAB＝∠ADB，∵∠ABM＝∠DBA，∴△ABM∽△DBA，∴，∴AB2＝DB•BM．∵＝k，，∴＝，∴设DM＝3a，AB＝2a，BM＝x，∴（2a）8＝x（x+3a），∴x＝﹣4a（不合题意，舍去）或x＝a．∴BM＝a．∴t＝＝．②∵，∴DM＝kAB，∵AB3＝DB•BM，∴AB2＝（BM+DM）•BM＝（BM+kAB）•BM．∴BM＝AB（负数不合题意，∴BM＝AB．∴t＝＝＝＝，∵k≥1，∴当k＝1时，t取得最大值为．（3）由（1）知：，∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∴DC⊥AC，∴OB∥DC．∴△BEM∽△DCM，∴，∴＝．∵＝，∴＝，∴（3m+n）（4m﹣n）＝9，∵m，n均为正整数，∴或或，∴或（不合题意（不合题意，∴S△BEM＝1，S△DCM＝9．∴S△BEC＝7．∴＝，∴＝，设BE＝b，则DC＝3b．∵OB∥DC，OA＝OD，∴OE＝DC＝b，∴OA＝OB＝OE+BE＝b．∵BE•EM，∴b•EM＝5，∴EM＝，∴CM＝，∴AE＝CE＝．∵OA2＝AE2+OE5，∴，∴b8＝16，∵b＞0，∴b＝2，∴OA＝＝5．∴⊙O的半径r的值为5．。

2024年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）某假期铁路南京站、南京南站共计发送旅客1610000人次，用科学记数法表示1610000是（）A．0.161×107B．1.61×107C．1.61×106D．16.1×1052．（2分）下列计算正确的是（）A．a4+a5＝a9B．2a4•a5＝2a9C．（2a4）5＝32a9D．a8÷a2＝a43．（2分）下列整数中，与最接近的是（）A．﹣6B．﹣5C．﹣4D．﹣34．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（）A．a+b+c＞0B．b﹣a＞c﹣b C．ab＞ac D．5．（2分）已知某函数图象经过点A（m﹣1，1）、B（m，1）和C（m+1，4），则其大致图象可能是（）A．B．C．D．6．（2分）小丽在半径为100m的圆形广场内（包含边界）散步，从圆周上的点A处出发，沿直线行走到点B处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点C处时停止行走，则小丽行走的路程AB+BC的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）若式子有意义，则x的取值范围是．8．（2分）分解因式：x3﹣4x2y+4xy2＝．9．（2分）计算的结果是．10．（2分）设x1，x2是方程x2+mx﹣2＝0的两个根，且x1+x2＝x1x2+1，则m＝．11．（2分）方程的解是．12．（2分）如图，点A，B分别在反比例函数的图象上，点C在x轴的负半轴上，若平行四边形ACOB的面积是4，则k的值为．13．（2分）圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为2.8m，地面入口的宽度为1m，门枕的高度为0.3m，则该圆弧所在圆的半径为m．14．（2分）如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，过点E作EF⊥BC，垂足为F．若AE＝3，EF＝4，则菱形的边长为．15．（2分）如图，在正六边形ABCDEF中，经过点E，F的⊙O与边AB，CD分别相切于点G，H，与边DE交于点M，连接GM，FH交于点N，则∠GNF的度数为°．16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F，连接AP，若PE2＝PD•PF，则AP的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算：．18．（8分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．19．（7分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，G是BD的中点，连接EG并延长，与CB的延长线交于点F，且BF＝AE．求证CA＝CB．20．（8分）图①是A，B两款新能源汽车在2023年6月到12月期间月销量（单位：辆）的折线统计图．现网上随机调查网友对A，B两款汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务等四个项目进行评分（单位：分），整理评分数据，绘制成条形统计图（图②）．（1）下列结论中，所有正确结论的序号是．①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势；②2023年6月到12月，A款汽车的月平均销量高于B款汽车；③2023年6月到12月，A款汽车月销量中位数小于B款汽车；④2023年6月到12月，A款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定．（2）若将汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务这四个项目的评分按2：3：3：2的比例计算平均得分，求出B款汽车的平均得分．（3）由图①可以看出，2023年6月～12月期间A款汽车月销量呈下降趋势．请根据上述信息，对生产A款汽车的厂家提出一条改进建议．21．（7分）如表，从A市到B市的飞机航班中，每天有三趟去程航班，两趟返程航班．甲、乙两人计划从A市出发，分别随机选择航班，同一天往返A、B两市．（1）在去程航班中，求甲、乙两人恰好选择相同航班的概率；（2）在往返航班中，若甲已选定往返航班，则乙选择的往返航班与甲均相同的概率为．航线航班号起落时间A市→B市MU28117：50﹣9：45 CA86028：00﹣10：00 CA18208：45﹣10：40B市→A市MU283218：05﹣20：20 CA860120：10﹣22：0022．（8分）在▱ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，连接AF、CH、AG、CE，AF、CE相交于点M，AG、CH相交于点N．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）若四边形AMCN是矩形，连接AC、BD，则AC、BD满足的数量关系是．23．（7分）为测量某建筑物BC的高度，在坡脚A处测得顶端C的仰角∠CAB为45°，沿着倾斜角∠DAB 为18°的斜坡AD前行30m到达D处，此时测得顶端C的仰角∠CDE为58°，求建筑物BC的高度．（参考数据：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）24．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+2（m﹣4）x+m2﹣1（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）求证：当﹣1＜m＜1时，该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方．25．（9分）小美驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小美往返均以80km/h的速度匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，往返全程一共用时6.5小时，汽车剩余电量Q （kw•h）与时间t（h）的函数关系如图①所示．（1）该电动汽车每小时的充电量为kw•h；（2）求线段AB所表示的Q与t之间的函数表达式；（3）在图②中，画出小美离家的距离S（km）与t的函数图象．26．（8分）在△ABC中，BA＝BC，D是BC边上的动点，经过点A的⊙O与BC边相切于点D，与AB，AC边分别交于点E，F，连接AD．（1）如图①，连接DF，求证△CDA∽△CFD；（2）如图②，AD是⊙O的直径，连接EF，若，AC＝2，求EF的长．27．（11分）在△ABC中，∠C＝2∠B．（1）设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：c2﹣ab﹣b2＝0．小明的思路如图①，延长BC至点D，使CD＝CA，连接AD．小红的思路如图②，将△ABC沿直线l翻折，使点B与点C重合，l与AB，BC分别交于点D，E，连接CD．在小明和小红的思路中，请选择一种继续完成证明．（2）如图③，已知线段m，n．求作：满足已知条件的△ABC，且AB＝m，AC＝n．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．）（3）若△ABC有一条边的长度为4，设，△ABC的周长为l，直接写出l关于k的函数表达式，以及l的取值范围．2024年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：1610000＝1.61×106，故选：C．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．2．【分析】利用合并同类项的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、a4与a5不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；B、2a4•a5＝2a9，故B符合题意；C、（2a4）5＝32a20，故C不符合题意；D、a8÷a2＝a6，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3．【分析】由20.25＜21＜25，可知4＜＜5然后作答即可．【解答】解：∵16＜21＜25，∴＜＜，即4＜＜5，∵4.52＝20.25，∴﹣5＜﹣＜﹣4.5∴与﹣最接近的整数为﹣5，故选：B．【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数在哪两个整数之间．4．【分析】由数轴可知，a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，由此判断各选项即可．【解答】解：由数轴可知，a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，A、∵a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴a+b+c＞0，故选项A不符合题意；B、∵a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴b﹣a＞c﹣b，故选项B不符合题意；C、∵a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴ab＞ac，故选项C不符合题意；D、∵a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是实数与数轴，从数轴上获取已知条件是解题的关键．5．【分析】先根图象过点A（m﹣1，1）、B（m，1）可求出其对称轴为x＝，故可排除A、B，再由C（m+1，4）在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，得出抛物线开口向上，由此可得出结论．【解答】解：∵图象经过点A（m﹣1，1）、B（m，1），∴图象关于x＝对称，∴可排除A、B．∵m+1＞m，4＞1，∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，∴抛物线开口向上，∴D错误，C正确．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出抛物线的对称轴及增减性是解答此题的关键．6．【分析】根据题意可知：从圆周上的点A处出发，沿直线行走到点B处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点C处，则∠ABC＝90°，AC是直径，如图，根据题意确定运动轨迹为a+c，进而求解即可．【解答】解：根据题意图形如下：设AB＝c，BC＝a，AC＝b，∵AB+BC＞AC，∴此时当AC最大时，AB+BC才能取得最大值，AC为直径时，AC＝200，AB2+BC2＝AC2，∵（a﹣c）2≥0，∴a2﹣2ab+c2≥0，∴a2+c2≥2ac，即2ac≤2002，∴2ac+2002≤2002+2002，即：2ac+2002≤2×2002，∴（a+c）2≤2×2002，∵a，c为正数，∴a+c≤200，故选：C．【点评】本题考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．【解答】解：由题可知，x﹣2≠0时式子有意义，即x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．8．【分析】先提取公因式x，然后利用完全平方差公式进行二次分解即可．【解答】解：x3﹣4x2y+4xy2＝x（x2﹣2xy+4y2）＝x（x﹣2y）2．故答案为：x（x﹣2y）2．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．9．【分析】先算除法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式．【解答】解：原式＝3﹣＝3﹣2＝；故答案为：．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．10．【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2，再代入所给的条件运算即可．【解答】解：由题意得：x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2，∵x1+x2＝x1x2+1，∴﹣m＝﹣2+1，解得：m＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系：x1+x2＝，x1x2＝．11．【分析】方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得出2（x+1）+（x+1）（x﹣1）＝x（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：，方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x+1）+（x+1）（x﹣1）＝x（x﹣1），2x+2+x2﹣1＝x2﹣x，2x+x2﹣x2+x＝﹣2+1，3x＝﹣1，x＝﹣，检验：当x＝﹣时，（x+1）（x﹣1）≠0，所以分式方程的解是x＝﹣．故答案为：x＝﹣．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．12．【分析】延长BA交y轴于点D，连接OA，根据题意可知S△AOB＝2，S△AOD＝＝1，据此可计算＝2+1＝3，继而可得k值．出S△BOD【解答】解：如图，延长BA交y轴于点D，连接OA，∵平行四边形ACOB的面积是4，＝2，∴S△AOB∵A在反比例函数y＝的图象上，＝＝1，∴S△AOD＝2+1＝3，∴S△BOD＝2×3＝6．∴k＝2S△BOD故答案为：6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键．13．【分析】设该门洞的半径的半径为r m，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，则CD＝2.8﹣0.3＝2.5m，OC＝（2.5﹣r）m，由垂径定理得AC＝BC＝AB＝0.5m，然后在Rt△AOC 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设该门洞的半径的半径为r m，如图，过点圆心O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，则CD＝2.8﹣0.3＝2.5m，AC＝BC＝AB＝×1＝0.5（m），∴OC＝（2.5﹣r）m，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA2＝OC2+AC2，0.52+（2.5﹣r）2＝r2，解得：r＝1.3，即该门洞的半径为1.3m，故答案为：1.3．【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．14．【分析】根据菱形的性质证明cos∠EAD＝cos∠CEF，列式得AD＝3DE，然后根据勾股定理求出DE，即可解决问题．【解答】解：在菱形ABCD中，AD＝CD，AD∥BC，∴∠ADE＝∠C，∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∵AE⊥CD，∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°﹣∠C＝∠CEF，∴cos∠EAD＝cos∠CEF，∴＝，∴＝，∵AD＝CD，∴AD＝3DE，在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD2﹣DE2＝AE2，∴（3DE）2﹣DE2＝32，∴DE＝，∴AD＝3DE＝．故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，解决本题的关键是得到AD＝3DE．15．【分析】连接FG、OG、OH，根据切线的性质求出∠OGB，∠OHC，再求出∠O＝60°，再在圆内接四边形EFGM中，求出∠FGM＝60°，再根据内角和定理解答即可．【解答】解：连接FG、OG、OH，如图，∵⊙O与边AB，CD分别相切于点G，H，∴OG⊥AB，OH⊥CD，∴∠OGB＝90°，∠OHC＝90°，∵∠B＝∠C＝120°，∵五边形OGBCH的内角和为540°，∴∠O＝120°，在圆内接四边形EFGM中，∵∠E＝120°，∴∠FGM＝60°，∴∠GNF＝60°．故答案为：60．【点评】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质是解题关键．16．【分析】当AP⊥BC时，AP取得最小值，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得AE，利用已知条件得到PD＝PE，设PD＝PE＝x，则AP＝AE﹣PE＝4﹣x，利用相似三角形的判定与性质剪刀剪开得出结论．【解答】解：当AP⊥BC时，AP取得最小值，如图，∵AB＝AC＝5，AP⊥BC，∴BE＝EC＝BC＝3，∠BAE＝∠CAE，∴AE＝＝4．∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴PD＝PF，∵PE2＝PD•PF，∴PE2＝PD2，∴PD＝PE．设PD＝PE＝x，则AP＝AE﹣PE＝4﹣x，∵∠ADP＝∠AEB＝90°，∠DAP＝∠EAB，∴△ADP∽△AEB，∴，∴，∴x＝．∴AP＝4﹣＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再把分子，分母分解因式约分．【解答】解：原式＝÷＝•＝．【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式相关运算的法则．18．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得x≥﹣2；由②得x＜4，∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜4，则不等式组的整数解有﹣2，﹣1，0，1，2，3．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及不等式组的整数解，熟练掌握不等式取解集的方法是解本题的关键．19．【分析】由AAS可证△DEG≌△BFG，可得BF＝DE＝AE，由等腰三角形三角形的性质和平行线的性质可得∠A＝∠ABC，即可求解．【解答】证明：∵G是BD的中点，∴DG＝BG，∵DE∥BC，∴∠DEG＝∠BFG，∠ADE＝∠ABC，又∵∠DGE＝∠BGF，∴△DEG≌△BFG（AAS），∴BF＝DE，又∵AE＝BF，∴DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，∴∠A＝∠ABC，∴CA＝CB．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．20．【分析】（1）根据统计图数据判断即可；（2）根据加权平均数公式计算即可；（3）答案不唯一，合理即可．【解答】解：（1）由题意得：①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势，说法正确；②2023年6月到8月，A款汽车的月平均销量高于B款汽车；9月到12月，A款汽车的月平均销量低于B款汽车，原说法错误；③2023年6月到12月，A款汽车月销量中位数小于B款汽车，说法正确；④2023年6月到12月，A款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定，说法正确；所以正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④；（2）＝84.7（分），答：B款汽车的平均得分为84.7分；（3）由图①可以看出，2023年6月～12月期间A款汽车月销量呈下降趋势，建议生产A款汽车的厂家加大汽车宣传力度，必要时提高降价速销（答案不唯一）．【点评】本题考查了中位数，扇形统计图，折线统计图以及加权平均数，掌握中位数，加权平均数等概念是关键．21．【分析】（1）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人恰好选择相同航班的结果数，再利用概率公式可得出答案．（2）根据题意列出乙选择的往返航班的所有结果，由题意知乙选择的往返航班与甲均相同的结果有1种，利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）将去程航班的三个航班分别记为a，b，c，列表如下：a b ca（a，a）（a，b）（a，c）b（b，a）（b，b）（b，c）c（c，a）（c，b）（c，c）共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好选择相同航班的结果有3种，∴甲、乙两人恰好选择相同航班的概率为＝．（2）将返程航班的两个航班分别记为d，e，乙选择的往返航班的所有情况列表如下：d ea（a，d）（a，e）b（b，d）（b，e）c（c，d）（c，e）共有6种等可能的结果．∵甲已选定往返航班，∴乙选择的往返航班与甲均相同的结果有1种，∴乙选择的往返航班与甲均相同的概率为．故答案为：．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．22．【分析】（1）依据四边形AFCH是平行四边形，可得AM∥CN，依据四边形AECG是平行四边形，可得AN∥CM，进而得出四边形AMCN是平行四边形；（2）根据矩形的性质得出AC＝MN，进而利用BD＝2MN＝2AC解答即可．【解答】（1）证明：∵点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，∴AH∥CF，AH＝CF，∴四边形AFCH是平行四边形，∴AM∥CN，同理可得，四边形AECG是平行四边形，∴AN∥CM，∴四边形AMCN是平行四边形；（2）解：连接AC，∵四边形AMCN是矩形，∴AC＝MN，∵BD＝3MN，∴BD＝3AC，故答案为：BD＝3AC．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是掌握平行四边形的判定方法．23．【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DE交CB于点G，根据题意可得：DG⊥CB，DF＝BG，DG＝BF，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出DF和AF的长，再设DG＝BF＝x m，则AB＝（28.5+x）m，最后分别在Rt△DCG和Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出CG和CB的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DE交CB于点G，由题意得：DG⊥CB，DF＝BG，DG＝BF，在Rt△ADF中，∠DAF＝18°，AD＝30m，∴DF＝AD•sin18°≈30×0.30＝9（m），AF＝AD•cos18°≈30×0.95＝28.5（m），∴DF＝BG＝9m，设DG＝BF＝x m，∴AB＝AF+BF＝（28.5+x）m，在Rt△DCG中，∠CDG＝58°，∴CG＝DG•tan58°≈1.6x（m），在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，∴CB＝AB•tan45°＝（28.5+x）m，∵CG+BG＝CB，∴1.6x+9＝28.5+x，解得：x＝32.5，∴BC＝1.6x+9＝61（m），∴建筑物BC的高度约为61m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．24．【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝8（m﹣2）2+28，则利用非负数的性质可判断Δ＞0，然后利用根的判别式的意义得到结论；（2）计算自变量为0对应的函数值得到二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，m2﹣1），然后利用﹣1＜m＜1可判断二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．【解答】证明：（1）∵Δ＝4（m﹣4）2﹣4×（﹣1）×（m2﹣1）＝8（m﹣2）2+28，而8（m﹣2）2≥0，∴Δ＞0，∴不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2（m﹣4）x+m2﹣1＝y＝m2﹣1，∴二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，m2﹣1），∵﹣1＜m＜1，∴m2﹣1＜0，∴二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，即当﹣1＜m＜1时，该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．25．【分析】（1）列式计算可得电动汽车每小时的充电量为100kw•h；（2）求出汽车行驶时每小时耗电＝20（kw•h），可知到达景点时汽车剩余电量为70（kw•h），再用待定系数法可得线段AB所表示的Q与t之间的函数表达式为Q＝﹣20t+130（1.5≤t≤3）；（3）求出S与t的函数图象过（0，0），（1，80），（1.5，80），（3，200），（4，200），（6.5，0），再描点画出图象即可．【解答】解：（1）∵＝100（kw•h），∴电动汽车每小时的充电量为100kw•h；故答案为：100；（2）∵到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同，∴汽车行驶时每小时耗电＝20（kw•h），∴到达景点时汽车剩余电量为100﹣20×（3﹣1.5）＝70（kw•h），设线段AB所表示的Q与t之间的函数表达式为Q＝kt+b，则，解得，∴线段AB所表示的Q与t之间的函数表达式为Q＝﹣20t+130（1.5≤t≤3）；（3）根据题意，小美在景区游玩了6.5﹣2[1+（3﹣1.5）]﹣（1.5﹣1）＝1（小时），∴当t＝4时，小美游玩结束开始返回，∴当0≤t≤1时，S＝80t，图象过（0，0），（1，80），当1＜t≤1.5时，S＝80，图象过（1.5，80），当1.5＜t≤3时，S＝80+80（t﹣1.5）＝80t﹣40，图象过（3，200），当3＜t≤4时，S＝200；图象过（4，200），当4＜t≤6.5时，S＝200﹣80（t﹣4）＝﹣80t+520，图象过（6.5，0），画出图象如下：【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．26．【分析】（1）连接DF、OD、OF，则∠ODF＝∠OFD＝90°﹣∠DOF，由切线的性质得∠ODC＝90°，则∠FDC＝90°﹣∠ODF＝∠DOF，而∠DAC＝∠DOF，所以∠DAC＝∠FDC，而∠C＝∠C，即可证明△CDA∽△CFD；（2）连接DF、EF，由AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，且AB＝BC＝，AC＝2，得（）2﹣（﹣CD）2＝22﹣CD2，求得CD＝，则AD2＝AC2﹣CD2＝，再证明△DAF∽△CAD，得＝，求得AF＝，再证明∠AEF＝∠BAC，所以EF＝AF＝．【解答】（1）证明：如图①，连接DF、OD、OF，则OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD＝（180°﹣∠DOF）＝90°﹣∠DOF，∵⊙O与BC边相切于点D，∴BC⊥OD，∴∠ODC＝90°，∴∠FDC＝90°﹣∠ODF＝90°﹣（90°﹣∠DOF）＝∠DOF，∵∠DAC＝∠DOF，∴∠DAC＝∠FDC，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CFD．（2）解：如图②，连接DF、EF，∵AB是⊙O的直径，⊙O与BC边相切于点D，∴∠AFD＝90°，BC⊥AD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∵AB＝BC＝，AC＝2，∴（）2﹣（﹣CD）2＝22﹣CD2，解得CD＝，∴AD2＝AC2﹣CD2＝22﹣＝，∵∠ADF＝∠C＝90°﹣∠CAD，∠DAF＝∠CAD，∴△DAF∽△CAD，∴＝，∴AF＝＝＝，∵∠AEF＝∠ADF＝∠C＝∠BAC，∴EF＝AF＝，∴EF的长是．【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．27．【分析】（1）选择小明的思路：首先证得△ACD∽△BAD，推导出，即AD2＝CD•BD，代入即可得证；选择小红的思路：首先证得△ACD∽△ABC，进而得到，代入数据即可得证；（2）作CD＝n；以C为圆心，n为半径作圆，以D为圆心，m为半径作圆，两圆相交于点A；以A为圆心，m为半径作圆，交DC的延长线于点B，则△ABC即为所求．据此作图即可；（3）设AC＝x，则AB＝kx，首先推导出k＞1；依据（1）中：AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0，分三种情况：①当AB＝4时，推导出AC＝，解得BC＝，l＝4k+4；②当BC＝4时，代入得（kx）2﹣4x﹣x2＝0，解得：x＝，推导出l＝+4；③当AC＝4时，则AB＝4k，解得：BC＝4k2﹣4，推导出l＝4k2+4k．【解答】（1）证明：选择小明的思路：∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D，∵∠ACB＝∠CAD+∠D，∴∠ACB＝2∠CAD＝2∠D．∵∠ACB＝2∠B，∴∠CAD＝∠D＝∠B．又∵∠D＝∠D，∴△ACD∽△BAD．∴，∴AD2＝CD•BD，∵BC＝a，CD＝AC＝b，AD＝AB＝c，∴c2＝b（a+b），即c2﹣ab﹣b2＝0；选择小红的思路：由翻折可知，∠B＝∠DCB，BD＝CD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠ACB＝2∠DCB．∴∠ACD＝∠DCB＝∠B．又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．∴，∵BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴，，∵AD+BD＝AB，∴，即a2﹣ab﹣b2＝0；（2）解：如图，△ABC即为所求（答案不唯一）．①作CD＝n；②以C为圆心，n为半径作圆，以D为圆心，m为半径作圆，两圆相交于点A；③以A为圆心，m为半径作圆，交DC的延长线于点B，则△ABC即为所求．（3）解：∵，设AC＝x，则AB＝kx，∵∠C＝2∠B，∴AB＞AC，即kx＞x，∴k＞1；由（1）知：AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0，分三种情况：①当AB＝4时，即kx＝4，∴x＝，即AC＝，代入AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0得：42﹣•BC﹣（）2＝0，解得：BC＝，∴l＝AB+AC+BC＝++4＝4k+4，∴l＞8；②当BC＝4时，代入AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0得：（kx）2﹣4x﹣x2＝0，解得：x＝，∴l＝AB+AC+BC＝4++＝+4，∴l＞4；③当AC＝4时，则AB＝4k，代入AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0得：（4k）2﹣4BC﹣42＝0，解得：BC＝4k2﹣4，∴l＝AB+AC+BC＝4k+4+4k2﹣4＝4k2+4k，∴l＞8；综上，当AB＝4时，l＝4k+4，此时l＞8；当BC＝4时，l＝+4，此时l＞4；当AC＝4时，l＝4k2+4k，此时l＞8．【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的周长公式的应用，利用周长公式得出结论是解答本题的关键。

2024年浙江省台州市中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列是几个城市地铁标志，其中是轴对称图形的是( )A. B. C. D.2.下列能使x−2有意义的是( )A. x=−5B. x=−3C. x=1D. x=33.下列运算正确的是( )A. a2⋅a3=a5B. (a2)4=a6C. a8÷a2=a4D. a5+a5=2a104.一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形是( )A. 七边形B. 六边形C. 五边形D. 四边形5.下列收集数据的方式合理的是( )A. 为了解残疾人生活、就业等情况，在某网站设置调查问卷B. 为了解一个省的空气质量，调查了该省省会城市的空气质量C. 为了解某校学生视力情况，抽取该校各班学号为5的整数倍的同学进行调查D. 为了解某校学生每天的平均睡眠时间，对该校学生周末的睡眠时间进行调查6.如图，若∠1=∠2=75°，∠3=108°，则∠4的度数是( )A. 75°B. 102°C. 105°D. 108°7.一辆出租车从甲地到乙地，当平均速度为v(km/ℎ)时，所用时间为t(ℎ)，则t关于v的函数图象大致是( )A. B.C. D.8.如图，数轴上三个不同的点A.B，P分别表示实数a，b，a+b，则下列关于数轴原点位置的描述正确的是( )A. 原点在点A的左侧B. 原点在A，B两点之间C. 原点在B，P两点之间D. 原点在点P的右侧9.某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯.阶梯电费计价方式如下：阶梯档次年用电量电价(单位：元/度)第一阶梯2760度及以下部分0.538第二阶梯2761度至4800度部分0.588第三阶梯4801度及以上部分0.838小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为( ) A. 5250度 B. 5100度 C. 4900度 D. 4850度10.如图，在矩形ABCD中，BC>AB，先以点A为圆心，AB长为半径画弧交边AD于点E；再以点D为圆心，DE长为半径画弧交边DC于点F；最后以点C为圆心，CF长为半径画弧交边BC于点G.求BG的长，只需要知道( )A. 线段AB的长B. 线段AD的长C. 线段DE的长D. 线段CF的长二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。