数学选修4-5(人教a版)：第一讲1.2-1.2.1绝对值三角不等式含解析

1.绝对值三角不等式基础巩固1已知|a-b|=1,b=(3,4),则|a|的取值范围是()A.[3,4]B.[4,5]C.[4,6]D.[3,6]||a-b|-|b||≤|a|=|a-b+b|≤|a-b|+|b|,∴4≤|a|≤6.2已知ab>0,有如下四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|.∴①④正确.3已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是() A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b|C.|a-b|<||a|-|b||D.|a-b|<|a|+|b|4已知|x-m|<ξ2,|ξ−ξ|<ξ2,则|4ξ+2ξ−4ξ−2ξ|小于()A.ξB.2ξC.3ξD.ξ25若不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为⌀,则a的取值范围为() A.(5,+∞) B.[5,+∞)C.(-∞,5)D.(-∞,5]6已知|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,则|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是.ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,又|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以3≤|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤13.7x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为.8不等式|ξ+ξ||ξ|-|ξ|≥1成立的充要条件是.⇔|ξ+ξ|-(|ξ|-|ξ|)|ξ|-|ξ|≥0.∵|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0.∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.9设|a|≤1,函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1),证明：|f(x)|≤54.(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-x2+|x|=−(|ξ|-12)2+54≤54,即|f(x)|≤54.10已知f(x)=ax2+bx+c,且当|x|≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)|b|≤1.由|f(0)|≤1,得|c|≤1.(2)由|f(1)|≤1,得|a+b+c|≤1,由|f(-1)|≤1,得|a-b+c|≤1,故|b|=|ξ+ξ+ξ+(-ξ+ξ-ξ)|2≤12(|ξ+ξ+ξ|+|ξ−ξ+ξ|)≤1.能力提升1已知x 为实数,且|x-5|+|x-3|<m 有解,则m 的取值范围是( )A.m>1B.m ≥1C.m>2D.m ≥2|x-5|+|x-3|≥|x-5+3-x|=2, ∴|x-5|+|x-3|的最小值为2. ∴要使|x-5|+|x-3|<m 有解,则m>2.2已知h>0,a ,b ∈R ,命题甲:|a-b|<2h ;命题乙:|a-1|<h ,且|b-1|<h ,则甲是乙的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a 与b 的距离可以很近,满足|a-b|<2h ,但此时a ,b 与1的距离可以很大,因此甲不能推出乙;若|a-1|<h ,|b-1|<h ,则|a-b|=|a-1+1-b|≤|a-1|+|b-1|<2h ,故乙可以推出甲.因此甲是乙的必要不充分条件.3已知|a|≠|b|,m =|ξ|-|ξ||ξ-ξ|,ξ=|ξ|+|ξ||ξ+ξ|,则ξ,ξ之间的大小关系是( )A.m>nB.m<nC.m=nD.m ≤n,知|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|,则|ξ|-|ξ||ξ-ξ|≤1≤|ξ|+|ξ||ξ+ξ|.4设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是( ) A.|a+b|+|a-b|>2 B.|a+b|+|a-b|<2 C.|a+b|+|a-b|=2 D.不能比较大小(a+b )(a-b )≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b )+(a-b )|=2|a|<2, 当(a+b )(a-b )<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b )-(a-b )|=2|b|<2.综上可知,|a+b|+|a-b|<2.5下列不等式恒成立的个数是()①x+1ξ≥2(x≠0);②ξξ<ξξ(ξ>ξ>ξ>0);③ξ+ξξ+ξ>ξξ(ξ,ξ,ξ>0,ξ<ξ);④|a+b|+|b-a|≥2a.A.4B.3C.2D.1,当x<0时不等式不成立;②成立,a>b>c>0⇒ξξξ>ξξξ即1ξ>1ξ,又由于c>0,故有ξξ>ξξ;③成立,因为ξ+ξξ+ξ−ξξ=(ξ-ξ)ξξ(ξ+ξ)>0(ξ,ξ,ξ>0,ξ<ξ),所以ξ+ξξ+ξ>ξξ;④成立,由绝对值不等式的性质可知|a+b|+|b-a|≥|(a+b)-(b-a)|=|2a|≥2a,故选B.6已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则实数a的取值范围为.-∞,32]7函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为.4|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2,当且仅当4≤x≤6时,等号成立.★8下列四个不等式:①log x10+lg x≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③|ξξ+ξξ|≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1.其中恒成立的是(只填序号).x>1,∴log x10+lg x=1lgξ+lg x≥2,①正确;当ab ≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确; ∵ab ≠0,ξξ与ξξ同号,∴|ξξ+ξξ|=|ξξ|+|ξξ|≥2,③正确; 由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上可知,①③④正确.★9对定义在区间[-1,1]上的函数f (x ),若存在常数A>0,使得对任意x 1,x 2∈[-1,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤A|x 1-x 2|,则称f (x )具有性质L .问函数f (x )=x 2+3x+5与g (x )=√|ξ|是否具有性质L ?试证明.f (x )具有性质L,函数g (x )不具有性质L . 证明如下:(1)对于函数f (x )=x 2+3x+5,任取x 1,x 2∈[-1,1],|f (x 1)-f (x 2)|=|ξ12−ξ22+3(ξ1−ξ2)|=|(x 1-x 2)(x 1+x 2+3)| =|x 1-x 2||x 1+x 2+3|≤|x 1-x 2|(|x 1|+|x 2|+3)≤5|x 1-x 2|. 故存在A=5,使f (x )具有性质L . (2)对于函数g (x )=√|ξ|,设它具有性质L,任取x 1,x 2∈[-1,1],当x 1,x 2不同时为0时, 则|g (x 1)-g (x 2)|=|√|ξ1|−√|ξ2||=√|ξ12≤√|ξ12≤A|x 1-x 2|,得A ≥√|ξ121ξ≤√|ξ1|+√|ξ2|≤2.得1ξ∈(0,2]. 取x 1=14ξ2≤1,x 2=116ξ2≤14,有√|ξ1|+√|ξ2|=12ξ+14ξ=34ξ<1ξ, 与√|ξ1|+√|ξ2|≥1ξ矛盾, 故函数g (x )=√|ξ|不具有性质L .。

1.2 绝对值不等式庖丁巧解牛知识·巧学一、绝对值三角不等式1。

定理1 如果a，b是实数，则|a+b|≤|a｜+｜b｜，当且仅当ab≥0时，等号成立.定理1的等号成立的情况具体来说，当a=0或b=0时，或a>0、b>0时，或a<0，b〈0时，等号都是成立的，即有｜a+b|=｜a｜+|b｜.除此之外，就是｜a+b｜<｜a|+｜b｜了.如果把定理1中的实数a，b分别替换为向量a，b，则定理1的形式仍旧成立。

即有｜a+b|≤|a|+｜b|成立，当且仅当向量a，b不共线时，有｜a+b｜<｜a｜+|b｜成立。

联想发散根据定理1，我们可以得到许多正确的结论.其中比较常用的结论有：（1）如果a，b是实数，那么｜a|—|b｜≤｜a±b|≤|a|+|b｜。

（2）|a1+a2+a3+…+a n｜≤｜a1|+｜a2|+|a3｜+…+｜a n｜（n∈N*）.2.绝对值三角不等式所谓绝对值三角不等式就是指把定理1中的实数a,b分别替换为向量a，b，且向量a，b不共线时，所成立的不等式|a+b｜〈|a｜+|b|。

绝对值三角不等式即向量不等式｜a+b|〈｜a｜+|b｜的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边（如下图所示）.记忆要诀由于绝对值三角不等式其形式与定理1是完全类似的,所以只要记住定理1，那么这个绝对值三角不等式也就记住了。

3.定理 2 如果a,b，c是实数，那么｜a—c｜≤|a-b｜+|b—c|,当且仅当(a-b）（b-c)≥0时，等号成立。

对于定理2，同学们不但要记住它的形式,还应注意它的特点，尤其要注意它的不等号左边没有字母b,只有右边才有。

学法一得要注意|a—c｜可以变形为｜（a—b）+(b-c）|，熟悉这种变形,那么在具体解题时就可以通过变形来巧妙地利用定理2了。

二、绝对值不等式的解法要熟记简单绝对值不等式的解法,它是解较复杂的绝对值不等式的基础，即要记住：一般地，如果a〉0，则有:｜x｜<a⇔-a〈x〈a，因此，不等式|x｜〈a的解集是（-a，a）；|x｜>a⇔x〈-a或x〉a，因此，不等式｜x|>a的解集是（-∞，-a）∪(a，+∞）.1.｜ax+b｜≤c和｜ax+b｜≥c型不等式的解法.求解这类绝对值不等式，只要将ax+b看成一个整体，然后套用|x|<a或|x｜〉a的不等式的解法即可.2。

——教学资料参考参考范本——高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法学案含解析新人教A版选修4_5______年______月______日____________________部门1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥a(a>0)型不等式求解．|ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法：先化为－c≤ax＋b≤c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax＋b|≥c(c>0)的解法：先化为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．②以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c>0)型的不等式的解法解下列不等式：(1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4.利用|x|>a及|x|<a(a>0)型不等式的解法求解．(1)|5x －2|≥8⇔5x －2≥8或5x －2≤－8⇔x≥2或x≤－， ∴原不等式的解集为.(2)原不等式价于⎩⎨⎧|x－2|≥2， ①|x－2|≤4. ②由①得x －2≤－2，或x －2≥2，∴x≤0或x≥4. 由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6.∴原不等式的解集为{x|－2≤x ≤0或4≤x ≤6}．|ax ＋b|≥c 和|ax ＋b|≤c 型不等式的解法：①当c>0时，|ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，|ax ＋b|≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c.②当c ＝0时，|ax ＋b|≥c 的解集为R ，|ax ＋b|<c 的解集为∅. ③当c<0时，|ax ＋b|≥c 的解集为R ，|ax ＋b|≤c 的解集为∅.1．解下列不等式：(1)|3－2x|<9；(2)|x －x2－2|>x2－3x －4；(3)|x2－3x －4|>x ＋1.解：(1)∵|3－2x|<9，∴|2x－3|<9.∴－9<2x －3<9. 即－6<2x<12.∴－3<x<6.∴原不等式的解集为{x|－3<x<6}． (2)∵|x－x2－2|＝|x2－x ＋2|， 而x2－x ＋2＝2＋>0，∴|x －x2－2|＝|x2－x ＋2|＝x2－x ＋2.故原不等式等价于x2－x ＋2>x2－3x －4⇔x>－3.∴原不等式的解集为{x|x>－3}．(3)不等式可转化为x2－3x－4>x＋1或x2－3x－4<－x－1，∴x2－4x－5>0或x2－2x－3<0.解得x>5或x<－1或－1<x<3，∴不等式的解集是(5，＋∞)∪(－∞，－1)∪(－1,3)．2．已知常数a满足－1＜a＜1，解关于x的不等式：ax＋|x＋1|≤1.解：若x≥－1，则ax＋x＋1≤1，即(a＋1)x≤0.因为－1＜a＜1，所以x≤0.又x≥－1，所以－1≤x≤0.若x＜－1，则ax－x－1≤1，即(a－1)x≤2.因为－1＜a＜1，所以x≥.因为－1＜a＜1，所以－(－1)＝＜0.所以≤x＜－1.综上所述，≤x≤0.故不等式的解集为.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法解不等式|x－3|－|x＋1|<1.解该不等式，可采用三种方法：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用各绝对值的零点分段讨论；(3)构造函数，利用函数图象分析求解．法一：在数轴上－1,3，x对应的点分别为A，C，P，而B点对应的实数为，B点到C点的距离与到A点的距离之差为1.由绝对值的几何意义知，当点P 在射线Bx 上(不含B 点)时不等式成立，故不等式的解集为.法二：原不等式⇔①⎩⎨⎧x<－1，或②⎩⎨⎧ －1≤x<3， 或③⎩⎨⎧x≥3，①的解集为∅，②的解集为， ③的解集为{x|x ≥3}．综上所述，原不等式的解集为.法三：将原不等式转化为|x －3|－|x ＋1|－1<0， 构造函数y ＝|x －3|－|x ＋1|－1，即y ＝x≤－1，－1<x<3，x≥3.作出函数的图象(如下图所示)，它是分段函数，函数与x 轴的交点是，由图象可知， 当x>时，有y<0，即|x －3|－|x ＋1|－1<0， 所以原不等式的解集是.|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．3．解不等式|2x－1|＋|3x＋2|≥8.解：①当x≤－时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x－(3x＋2)≥8⇔－5x≥9⇔x≤－，∴x≤－；②当－<x<时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x＋3x＋2≥8⇔x＋3≥8⇔x≥5，∴x∈∅；③当x≥时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔5x＋1≥8⇔5x≥7⇔x≥，∴x≥.∴原不等式的解集为∪.4．设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．解：(1)证明：由a＞0，得f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2，所以f(x)≥2.(2)f(3)＝＋|3－a|.当a＞3时，f(3)＝a＋，由f(3)＜5，得3＜a＜.当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋，由f(3)＜5，得＜a≤3.综上所述，a的取值范围是.含绝对值不等式的恒成立问题已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅，分别求出m的取值范围．解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m 的取值范围．法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.又(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值范围为(－∞，1)；(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x ＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的取值范围为(－∞，－1)；(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为．6．把本例中的“－”改成“＋”，即|x＋2|＋|x＋3|>m时，分别求出m的取值范围．解：|x ＋2|＋|x ＋3|≥|(x＋2)－(x ＋3)|＝1，即|x ＋2|＋|x ＋3|≥1.(1)若不等式有解，m 为任何实数均可，即m∈R； (2)若不等式解集为R ，即m∈(－∞，1)； (3)若不等式解集为∅，这样的m 不存在，即m∈∅.课时跟踪检测(五)1．不等式|x ＋1|>3的解集是( ) A ．{x|x<－4或x>2} B ．{x|－4<x<2} C ．{x|x<－4或x≥2}D ．{x|－4≤x<2}解析：选A |x ＋1|>3，则x ＋1>3或x ＋1<－3，因此x<－4或x>2.2．满足不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<5的所有实数解的集合是( ) A ．(－3,2)B ．(－1,3)C ．(－4,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，72解析：选C |x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|<5解集是(－4,1)．3．不等式1≤|2x－1|<2的解集为( )A.∪B.∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32C.∪D.∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32解析：选D 由1≤|2x－1|<2，得1≤2x－1<2或－2<2x －1≤－1，因此－<x≤0或1≤x<.4．若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|＞3的解集为R，则实数m 的取值范围是( )A．(－∞，－4)∪(2，＋∞) B．(－∞，－4)∪(1，＋∞)C．(－4,2) D．解析：选A 由题意知，不等式|x－1|＋|x＋m|＞3恒成立，即函数f(x)＝|x－1|＋|x＋m|的最小值大于3，根据绝对值不等式的性质可得|x－1|＋|x＋m|≥|(x－1)－(x＋m)|＝|m＋1|，故只要满足|m＋1|＞3即可，所以m＋1＞3或m＋1＜－3，解得m＞2或m＜－4，故实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．5．不等式|x＋2|≥|x|的解集是________．解析：∵不等式两边是非负实数，∴不等式两边可以平方，两边平方，得(x＋2)2≥x2，∴x2＋4x＋4≥x2，即x≥－1，∴原不等式的解集为{x|x≥－1}．答案：{x|x≥－1}6．不等式|2x－1|－x<1的解集是__________．解析：原不等式等价于|2x－1|<x＋1⇔－x－1<2x－1<x＋1⇔⇔0<x<2.答案：{x|0<x<2}7．已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－|a2－2a|，若函数f(x)的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围为________．解析：因为|x＋1|＋|x－2|≥|x＋1－(x－2)|＝3，所以f(x)的最小值为3－|a2－2a|.由题意，得|a2－2a|＜3，解得－1<a<3.答案：(－1,3)8．解不等式：|x2－2x＋3|<|3x－1|.解：原不等式⇔(x2－2x＋3)2<(3x－1)2⇔<0⇔(x2＋x＋2)(x2－5x＋4)<0⇔x2－5x＋4<0(因为x2＋x＋2恒大于0)⇔1<x<4.所以原不等式的解集是{x|1<x<4}．9．解关于x的不等式|2x－1|<2m－1(m∈R)．解：若2m－1<0，即m≤，则|2x－1|<2m－1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m－1>0，即m>，则－(2m－1)<2x－1<2m－1，所以1－m<x<m.综上所述：当m≤时，原不等式的解集为∅；当m>时，原不等式的解集为{x|1－m<x<m}．10．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x，x＜12，－x－2，12≤x≤1，3x－6，x＞1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y ＜0， 所以原不等式的解集是{x|0＜x ＜2}． (2)当x∈时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3， 所以x≥a－2对x∈都成立． 故－≥a－2，即a≤. 从而a 的取值范围是.本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年的高考试题来看，绝对值不等式主要考查解法及简单的应用，题目难度中档偏下，着重考查学生的分类讨论思想及应用能力．解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，化成不含绝对值的不等式，其一是依据绝对值的意义；其二是先令每一个绝对值等于零，找到分界点，通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值．真题体验1．(湖南高考)若实数a ，b 满足＋＝，则ab 的最小值为( ) A. B ．2 C ．2D ．4解析：选C 由＋＝，知a ＞0，b ＞0， 所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a ＝，b ＝2时取“＝”，所以ab 的最小值为2. 2．(重庆高考)设a ，b>0，a ＋b ＝5，则＋的最大值为________． 解析：令t ＝＋，则t2＝a ＋1＋b ＋3＋2＝9＋2≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，此时a ＝，b ＝. ∴tmax ＝＝3. 答案：3 23．(重庆高考)若函数f(x)＝|x ＋1|＋2|x －a|的最小值为5，则实数a ＝________.解析：由于f(x)＝|x ＋1|＋2|x －a|，当a>－1时，f(x)＝⎩⎨⎧作出f(x)的大致图象如图所示，由函数f(x)的图象可知f(a)＝5，即a ＋1＝5，∴a＝4.同理，当a≤－1时，－a－1＝5，∴a＝－6.答案：－6或44.(全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．解：(1)由题意得f(x)＝错误!故y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}，f(x)<－1的解集为.所以|f(x)|>1的解集为.5．(江苏高考)设a＞0，|x－1|＜，|y－2|＜，求证：|2x＋y－4|＜a.证明：因为|x－1|＜，|y－2|＜，所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×＋＝a.6．(全国丙卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3，即＋≥.又min＝，所以≥，解得a≥2.所以a的取值范围是“a＋c>b＋d”是“a>b 且c>d”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件易得a>b且c>d时必有a＋c>b＋d.若a＋c>b＋d时，则可能有a>b且c>d.A基本不等式的应用利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：①和为定值时，积有最大值；②积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．已知x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．由x－2y＋3z＝0，得y＝，则y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz≥6xz＋6xz4xz＝3，当且仅当x＝3z时，等号成立．3设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得＋＋≥3.即＋＋≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．所以＋＋＋abc≥＋abc，而＋abc≥2＝2.所以＋＋＋abc≥2，当且仅当abc＝时，等号成立.含绝对值的不等式的解法1.公式法|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)；|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)．2．平方法|f(x)|>|g(x)|⇔2>2.3．零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．解下列关于x的不等式：(1)|x＋1|>|x－3|；(2)|x－2|－|2x＋5|>2x.(1)法一：|x＋1|>|x－3|，两边平方得(x＋1)2>(x－3)2，∴8x>8.∴x>1.∴原不等式的解集为{x|x>1}．法二：分段讨论：当x≤－1时，有－x－1>－x＋3，此时x∈∅；当－1<x≤3时，有x＋1>－x＋3，即x>1，此时1<x≤3；当x>3时，有x＋1>x－3成立，∴x>3.∴原不等式的解集为{x|x>1}．(2)分段讨论：①当x<－时，原不等式变形为2－x＋2x＋5>2x，解得x<7，∴原不等式的解集为.②当－≤x≤2时，原不等式变形为2－x－2x－5>2x，解得x<－.∴原不等式的解集为.③当x>2时，原不等式变形为x－2－2x－5>2x，解得x<－，∴原不等式无解．综上可得，原不等式的解集为.不等式的恒成立问题对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法如下：(1)分离参数法运用“f(x)≤a ⇔f(x)max≤a，f(x)≥a ⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．(2)更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简便的解法．(3)数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观地解决问题．设有关于x 的不等式lg(|x ＋3|＋|x －7|)>a. (1)当a ＝1时， 解此不等式．(2)当a 为何值时，此不等式的解集是R? (1)当a ＝1时， lg(|x ＋3|＋|x －7|)>1， ⇔|x ＋3|＋|x －7|>10，⇔或⎩⎨⎧ －3<x<7，10>10或⎩⎨⎧x≤－3，4－2x>10，⇔x>7或x<－3.∴不等式的解集为{x|x<－3或x>7}． (2)设f(x)＝|x ＋3|＋|x －7|， 则有f(x)≥|(x＋3)－(x －7)|＝10， 当且仅当(x ＋3)(x －7)≤0，即－3≤x≤7时，f(x)取得最小值10.∴lg(|x＋3|＋|x－7|)≥1.要使lg(|x＋3|＋|x－7|)>a的解集为R，只要a<1.。