山东省2014届理科数学一轮复习试题选编：两角和与差的三角函数及二倍角公式(教师版)

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编8：三角函数的概念、基本关系式及诱导公式一、选择题1 ．(2012年高考(江西文))若sin cos 1sin cos 2αααα+=-,则tan2α=（ ）A ．-34B ．34C ．-43D ．43【答案】B【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以cos α可得tan 3α=-,带入所求式可得结果.2 ．已知角α的终边经过点)60cos 6,8(0--m P ,且54cos -=α,则m 的值为（ ）A ．21 B ．21-C ．23-D ．23【答案】A3 ．(广西桂林等四市2012届高三第一次联考试题)点P (o300cos ,o300sin )在直角坐标平面上位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D ．4 ．已知函数R ∈-=x x x x f ,cos sin 3)(,若1)(≥x f ,则x 的取值范围为（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,3 B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,232 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,656 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,65262【答案】B5 ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）若,(,),tan cot ,2παβπαβ∈<且那么必有（ ）A ．2παβ+<B ．32αβπ+<C ．αβ>D ．αβ<【答案】B【解析】因为3cot =tan =tan =tan 222πππββπββ-+--（）（）（）,因为2πβπ<<,所以2πβπ->->-,322ππβπ<-<,而函数tan y x =在(,)2x ππ∈上单调递增,所以由tan cot αβ<,即3tan tan 2παβ<-（）可得32παβ<-,即32παβ+<,选 B ． 6 ．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知角α的终边过点4(8,6sin 30),cos 5P m α--=- 且,则m 的值为（ ）A ．12B ．—12C ．2D ．—2【答案】A7 ．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）已知2sin 3α=,则()cos 32πα-等于 （ ）A ．B ．19C ．19-D【答案】C 【解析】()()2cos 32cos 2cos 2(12sin )παπααα-=-=-=--24112sin 1299α=-+=-+⨯=-,选C ．8 ．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）角α的终边经过点A ()a ,且点A在抛物线214y x =-的准线上,则sin α= （ ）A ．12-B ．12C．D 【答案】B9 ．(2012年东北三省四市教研协作体第二次调研测试文科数学试卷及答案(Word 版))已知α∈(π2,π),3tan 4α=-,则sin()απ+等于（ ）A ．35B ．35-C ．45 D ．45- 【答案】B ．由题意可知,3sin 5α=,3sin()sin 5απα+=-=-.故选B ．10．(2011-2012学年厦门市3月份高三数学质量检查试题(文科))已知锐角α满足3sin 5α=,则sin(2)πα+=（ ）A ．1225-B ．2425-C ．1225D ．2425【答案】B ．11．(广西桂林市、防城港市2012届高三第一次调研联合考试数学(理)试题及答案)在直角坐标平面内,（ ）A ．B ．C 分别是ABC ∆的三个内角,已知顶点(0,1),A B ,且顶点C 与点A 关于x 轴对称,则cos B 的值为 （） A ．12-B ．C ．12 D 【答案】C 12．sin(225)-︒的值是（ ）A．2B．2-C．2-D ．2【答案】A13．(2013大纲卷高考数学(文))已知a 是第二象限角,5sin ,13a=则cos a = （ ）A ．1213-B ．513-C ．513D ．1213【答案】 A 【解析】因为α是第二象限角,∴12cos 13α===-,故选（ ）A ．14．(2012年高考(大纲理))已知α为第二象限角,sin cos 3αα+=,则cos2α= （ ）A．3-B．9-C ．9D ．3【答案】 答案A【解析】sin cos αα+=,两边平方可得121sin 2sin 233αα+=⇒=- α 是第二象限角,因此sin 0,cos 0αα><,所以cos sin 3αα-===-22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )ααααααα∴=-=+-=法二:单位圆中函数线+估算,因为α是第二象限的角,又1sin cos2αα+所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故2cos α的“余弦线”应选A .15．(2012年高考(辽宁理))已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则tan α= （ ）A ．-1B ．2-C ．2D ．1【答案】 【答案】A【解析一】sin cos )sin()144ππαααα-=-=∴-=3(0),,tan 14παπαα∈∴=∴=- ，,故选A【解析二】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-33(0,),2(0,2),2,,tan 124ππαπαπααα∈∴∈∴=∴=∴=- ,故选A16．(辽宁省东北育才学校2012届高考数学模拟最后一卷试题+文+新人教A 版)已知tan α=2,则2sin 2α＋1sin2α=（ ）A ．53B ．-134C ．135D ．134【答案】 D ．17．(吉林省实验中学2012届高三第六次模拟(数学文))角α的终边经过点A ()a ,且点A 在抛物线214y x =-的准线上,则sin α=（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】B18．(2013广东高考数学(文))已知51sin()25πα+=,那么cos α=（ ） A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】C ．51sin sin()cos ()cos()cos 22225ππππααααα⎛⎫⎡⎤+=+=-+=-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦;二、填空题19．(北京市海淀区2012届高三5月查漏补缺试题(数学))以原点为顶点,以x 轴正半轴为始边的角α的终边与直线21y x =-垂直,则cos α=_____________.【答案】 20．(2013大纲版高考数学(理))已知α是第三象限角,1sin 3a=-,则cot a =____________.【答案】依题意有cos 3α==-,故cos cot sin ααα=. 21．(2012届顺义高三一模(文数))已知点()3,4P -在角α的终边上,则sin α=_____________【答案】45; 22．若(cos )cos 2f x x =,则(sin15)f ︒=____________.【答案】解析:(sin15)(cos 75)cos150cos(18030)cos302f f ︒=︒=︒=︒-︒=-︒=- 23．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）已知4sin cos (0)34πθθθ+=<<,则sin cos θθ-=__________.【答案】3-24．(2011年上海市普通高等学校春季招生考试数学卷)在ABC ∆中,若tan 3A =,则sin A =___ 【答案】【解】11.因为tan 03A =>,则A ∠是锐角,于是2221111tan 199cos A A+=+==, 则29cos 11A =,cos A =,sin tan cos 311A A A =⋅==. (或由29cos 11A =得22sin 11A =,因为sin 0A >,则sin 11A =.)25．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）15tan 4π=__________________________;【答案】1-26．已知sin α、sin β是方程286210x kx k -++=的两根,且,αβ终边互相垂直,则k 的值为________.【答案】解析:依题意有2,2k k Z πβαπ=++∈故sin sin(2)cos 2k πβαπα=++=而sin α、sin β是方程286210x kx k -++=的两根3sin sin 421sin sin 8k k αβαβ⎧+=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩,即3sin cos 421sin cos 8k k αααα⎧+=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩故22921(sin cos )2sin cos 164k k αααα++-=-即298200k k --= 解之得2k =或109k =-当2k =时,3sin cos 2αα+=,而sin cos )[4πααα+=+∈,故舍去当109k =-时,511111sin cos [cos sin 2[,]627222ααααα+=-∈==-∈-,符合要求故答案为:109k =-27．己知5sin cos 3cos 3sin =-+αααα,则αααcos sin sin 2-= ________________.【答案】2528．(2012年广西南宁市第三次适应性测试(理数))已知α为第二象限角,3cos()2πα-=则α2tan 的值为_________.【答案】-提示:由3cos()2πα-=可得sin α=,而α为第二象限角,故cos α==,故tan 2α=-,所以22tan tan 211tan 12ααα===---. 三、解答题29．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）已知π0,tan 2.2x x -=- (1)求sin cos x x -的值;(2)求22sin(360)cos(180)sin cos(180)cos(90)cos x x x x x x︒-︒--︒+︒-+ 的值. 【答案】解:πtan 2,02x x =-- 且cos x x ∴==(1)sin cos x x -=-=(2)原式=22(sin )(cos )sin (cos )sin cos x x xx x x-⋅---⋅+=222sin cos sin tan tan 242cos sin cos tan 121x x x x x x x x x ----===--+-++。

第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z .两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈Z . 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.考点一 三角函数公式的直接应用[典例] (1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－229B ．－429C.229D.429[解析] (1)因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45， 所以tan α＝sin αcos α＝－34. 所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429. [答案] (1)A (2)B[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为________． 解析：因为sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. 因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350. 答案：－24＋7350考点二 三角函数公式的逆用与变形用[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. (2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________. [解析] (1)∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，② ∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°·tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3. [答案] (1)－12(2) 3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22；sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α. [提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32， 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b . 2.已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. 答案：45 3.化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换[典例] (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________． [解析] 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45，得sin α＝－45，cos α＝－35. 由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213. 由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665. [答案] －5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． 考法(二) 三角公式中名的变换[典例] (2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法] 三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( ) A.12 B.13C.14D.15解析：选C 由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.2．(2018·济南一模)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210， ∴sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝45. 3．已知sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2， ∴sin(α＋β)＝2cos [(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79. 3．(2018·山西名校联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( ) A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1. 4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A. 3 B. 2 C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33. 5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718. 6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选D cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23. 7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________．解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.答案：－12 8．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1. 答案：－111．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050.B 级1．(2019·广东五校联考)若tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan 2θ＝________.解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ，又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14， ∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157.答案：1572．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝________.解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π， 所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－45， 可得cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤(A ＋B )－⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－2425×⎝⎛⎭⎫－45＋725×35＝117125.答案：117125 3．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250.。

第20讲 两角和与差及二倍角的三角函数1.(原创)tan 15°＋1tan 15°＝( C ) A . 2 B ．2C ．4D ．2 2解析：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝sin 215°＋cos 215°sin 15°cos 15°＝2sin 30°＝4. 2.已知tan α＝4，tan β＝3，则tan (α＋β)＝( B )A .711B ．－711C .713D ．－713解析：tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3＋41－3×4＝－711. 3.(2013·广东省中山市期末)已知sin (π4＋θ)＝35，则sin 2θ的值为( B ) A ．－1925 B ．－725C ．－1625D .725解析：sin 2θ＝－cos (π2＋2θ)＝2sin 2(π4＋θ)－1＝－725. 4.(2012·辽宁鞍山高三五模)若cos 2αsin (α＋7π4)＝－22，则sin α＋cos α的值为( C ) A ．－22 B ．－12C .12D .72解析：由已知三角等式得cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－22， 整理得sin α＋cos α＝12. 5.(2012·桂林市、崇左市、百色市、防城港市高考联合调研)若3cos (π2－θ)＋cos (π＋θ)＝0，则tan 2θ的值为 34. 解析：由条件得3sin θ－cos θ＝0，所以tan θ＝13， 则tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝34. 6.(2013·南通市教研室全真模拟)已知π2≤θ≤π，且sin (θ－π6)＝12，则cos θ＝ －1 . 解析：由π2≤θ≤π，得π3≤θ－π6≤5π6，且sin (θ－π6)＝12， 所以π2<θ－π6≤5π6，则cos (θ－π6)＝－32， 此时cos θ＝cos [(θ－π6)＋π6] ＝－32×32－12×12＝－1.7.若sin α＝255，sin β＝31010，α，β都为锐角，则α＋β＝ 3π4. 解析：cos α＝1－45＝15＝55，cos β＝1－910＝110＝1010，则cos (α＋β)＝55×1010－255×31010＝－22，又因为α＋β∈(0，π)，故α＋β＝3π4.8.已知0<α<π2，sin α＝45.(1)求sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α的值；(2)求tan (α－5π4)的值．解析：cos α＝1－sin 2α＝35，所以tan α＝sin αcos α＝43. (1)原式＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝169＋2×432－169＝20.(2)tan (α－5π4)＝tan α－tan 5π41＋tan αtan 5π4＝43－11＋1×43＝17.9.(2013·广州一模)已知函数f(x)＝tan (3x ＋π4)． (1)求f(π9)的值；(2)设α∈(π，3π2)，若f(α3＋π4)＝2，求cos (α－π4)的值．解析：(1)f(π9)＝tan (π3＋π4)＝tan π3＋tan π41－tan π3tan π4＝3＋11－3＝－2－ 3.(2)因为f(α3＋π4)＝tan (α＋3π4＋π4)＝tan (α＋π)＝tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α，①因为sin 2α＋cos 2α＝1，②由①、②解得cos 2α＝15， 因为α∈(π，3π2)，所以cos α＝－55，sin α＝－255， 所以cos (α－π4)＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋(－255)×22＝－31010.。

【全程复习方略】（山东专用）2014版高考数学 第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时提升作业 理 新人教A 版一、选择题1.函数f(x)=1-2sin 2x 是( )(A)最小正周期为2π的奇函数(B)最小正周期为2π的偶函数(C)最小正周期为π的奇函数(D)最小正周期为π的偶函数2.在△ABC 中,tanA+tanB+=tanA ·tanB,则C 等于( ) ()()()()2A B CD 3364ππππ3.已知向量a =(sin(α+6π),1),b =(4,4cos α),若a ⊥b,则sin(α+43π)=( )()()(()11A B C D 44--4.函数cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则θ为( )(A)k π(k ∈Z) (B)k π+6π(k ∈Z)(C)k π+3π(k ∈Z) (D)-k π-3π(k ∈Z)5.(2013·临沂模拟)已知θ是第一象限角，且445sin cos 9θ+θ=，则sin 2θ=( )(A)-23 (B)23 (C)3 (D)-36.(2013·银川模拟)定义运算a ⊕b=ab 2+a 2b ，则sin 15°⊕cos 15°=( )(()()(A B C D 8844二、填空题7.(2013·东营模拟)化简sin 112°cos 322°-cos 112°sin 218°= .8.(2013·唐山模拟)已知:0°<α<90°,0°<α+β<90°,3sin β=sin(2α+β),则tan β的最大值是 .9.已知sin α=35,cos β=35,其中α,β∈(0,2π),则α+β= . 三、解答题10.(2013·济南模拟)已知a =(sin x,-cos x),b cos x),函数f(x)=a ·b (1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标. (2)当0≤x ≤2π时，求函数f(x)的值域. 11.(能力挑战题)已知函数f(x)=x x sin sin().222π+ (1)求函数f(x)在［-π,0］上的单调区间.(2)已知角α满足α∈(0,2π),2f(2α)+4f(2π-2α)=1,求f(α)的值.12.(能力挑战题)函数1cos 2x 1.22+- (1)若x ∈[4π,2π],求函数f(x)的最值及对应的x 的值. (2)若不等式[f(x)-m]2<1在x ∈[4π,2π]上恒成立,求实数m 的取值范围.答案解析1. 【解析】选D.∵f(x)=1-2sin 2x=cos2x, ∴22T .2ππ===πω ∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.2.【解析】选A.由题意得,∴tan A tan B 1tan Atan B+=-即∴tanC=tan[π∵0<C<π,∴C=3π.3.【解析】选B.∵a ⊥b ,∴a ·b =4sin(α+6π)+4cos α=0,即sin(α+6π)+cos α=,4即sin αcos6π+cos αsin 6π+cos αα+32cos α故12sin αcos α=14, 故sin(α+3π)=14, 又sin(α+43π)=-sin(α+3π)=-14. 故选B.4.【解析】选D.由已知得θ)-12sin(3x-θ)] =2sin(3π-3x+θ) =-2sin(3x-3π-θ). ∵f(x)是奇函数,∴-3π-θ=k π(k ∈Z). 故θ=-k π-3π(k ∈Z). 5.【解析】选C.∵sin 4θ+cos 4θ=(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ2151sin 2,29=-θ= ∴sin 22θ=89,∵2k π＜θ＜2k π+2π(k ∈Z), ∴4k π＜2θ＜4k π+π(k ∈Z),∴sin 2θ＞0,∴sin 2θ= 6.【解析】选A.根据新定义可得sin 15°⊕cos 15°=sin 15°(cos 15°)2+(sin 15°)2cos 15°,即sin 15°⊕cos 15°=sin 15°cos 15°(sin 15°+cos 15°),由sin 15°cos 15°=12sin 30°=14,且(sin 15°+cos 15°)2=1+sin 30°=32, 所以sin 15°+cos 15°=2sin 15°⊕cos 15°=8所以选A. 7.【解析】原式=sin 68°cos 38°-(-cos 68°)(-sin 38°)=sin 68°cos 38°-cos 68°sin 38°=sin 30°=12. 答案:128.【解析】由3sin β=sin(2α+β)得3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),化简得sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α, ∴tan(α+β)=2tan α,∴tan β=tan(α+β-α)= 2tan()tan tan 1.11tan()tan 12tan 2tan tan α+β-αα==+α+βα+α+αα由题意知,tan α>0,∴1tan α+2tanα≥ (当且仅当1tan α=2tan α,即tan α=2时等号成立), ∴tan4= 答案:【方法技巧】三角函数和差公式的灵活应用(1)三角函数和差公式在三角函数式的化简和求值中经常用到,因此公式的灵活应用非常关键,公式可以正用、逆用、变形应用.(2)逆用关键在于构造公式的形式,方法是通过三角恒等变换,出现和或差的形式,即出现能逆用公式的条件;有时通过两式平方相加减,利用平方关系式,切函数化成弦函数等技巧.9.【解析】∵α,β∈(0,2π),sin α=35,cos β=35, ∴cos α=45,sin β=45. ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β =43345555⨯-⨯=0. ∵α,β∈(0,2π),∴0<α+β<π.∴α+β=2π. 答案: 2π 10.【思路点拨】(1)将f(x)进行向量坐标运算后，利用三角公式转化为一个三角函数后即可求解.(2)利用x 的范围及三角函数的有界性可确定f(x)的值域.【解析】(1)由题意知2=12=12sin 2x-2cos 2x =sin(2x-3π). 所以f(x)的最小正周期为π.令sin(2x-3π)=0,得2x-3π=k π, ∴x=k 26ππ+,k ∈Z. 故所求对称中心的坐标为(k 26ππ+,0)(k ∈Z).(2)∵0≤x ≤2π, ∴-3π≤2x-3π≤23π,∴sin(2x-3π)≤1,即f(x)的值域为［-2,1］. 11.【思路点拨】(1)利用诱导公式及倍角公式化简f(x)的解析式后可求.(2)利用已知将条件代入，整理成单角α的三角函数关系式后可解.【解析】f(x)=sinx 2sin(2π+x 2) =sin x 2cos x 2=12sin x. (1)函数f(x)的单调递减区间为［-π,-2π］，单调递增区间为［-2π,0］. (2)2f(2α)+4f(2π-2α)=1⇒sin 2α+2sin(2π-2α) =1⇒2sin αcos α+2(cos 2α-sin 2α)=1⇒cos 2α+2sin αcos α-3sin 2α=0⇒(cos α+3sin α)(cos α-sin α)=0.∵α∈(0,2π),∴cos α-sin α=0⇒tan α=1得α=4π，故sin α=,2∴f(α)=1sin 24α=【变式备选】若向量m sin ωx,0),n =(cos ωx,-sin ωx)(ω>0),在函数f(x)=m ·(m +n )+t 的图象中,对称中心到对称轴的最小距离为4π,且当x ∈[0,3π]时,f(x)的最大值为1. (1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数f(x)的单调递增区间.【解析】(1)由题意得f(x)=m ·(m +n )+t=m 2+m ·n +t=3sin 2ωωx ·cos ωx+t=32-32cos2ωωx+tωx-3π)+32+t. ∵对称中心到对称轴的最小距离为4π, ∴f(x)的最小正周期为T=π. ∴22πω=π,∴ω=1.∴3π)+32+t, 当x ∈[0,3π]时,2x-3π∈[-3π,3π], ∴当2x-3π=3π,即x=3π时,f(x)取得最大值3+t. ∵当x ∈[0,3π]时,f(x)max =1,∴3+t=1,∴t=-2,∴3π)-12.(2)由(1)知3π)-12. 2k π-2π≤2x-3π≤2k π+2π,k ∈Z, 2k π-6π≤2x ≤2k π+56π,k π-12π≤x ≤k π+512π, ∴函数f(x)的单调递增区间为[k π-12π,k π+512π](k ∈Z). 12.【思路点拨】(1)先利用所学公式把f(x)变换成f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式.利用所给x 的范围,求得最值及对应x 的值.(2)利用不等式变换转化成不等式恒成立问题求解.【解析】1cos 2x 122+-=2sin 2x-12cos 2x-1=sin(2x-6π)-1,∵x ∈[4π,2π],∴3π≤2x-6π≤56π, 当2x-6π=2π,即x=3π时,f(x)max =0, 当2x-6π=56π,即x=2π时,f(x)min =-12. (2)方法一:∵[f(x)-m]2<1(x ∈[4π,2π])⇔f(x)-1<m<f(x)+1(x ∈[4π,2π]), ∴m>f(x)max -1且m<f(x)min +1, 故m 的取值范围为(-1,12).方法二:∵[f(x)-m]2<1⇔m-1<f(x)<m+1, ∴m-1<-12且m+1>0,故-1<m<12,故m 的取值范围是(-1,12).欢迎下载，资料仅供参考!!!。

第5讲简单的三角恒等变换第1课时两角和、差及倍角公式[考纲解读] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．(重点)4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考内容，但很少独立命题．预测2021年高考仍是以两角和与差的公式为基础，结合辅助角公式及三角函数的相关性质，如周期性、单调性、最值、对称性求三角函数的值等．题型既可能是客观题，也可能是解答题，难度属中档.1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C(α－β)：cos(α－β)＝□01cosαcosβ＋sinαsinβ.C(α＋β)：cos(α＋β)＝□02cosαcosβ－sinαsinβ.(2)S(α＋β)：sin(α＋β)＝□03sinαcosβ＋cosαsinβ.S(α－β)：sin(α－β)＝□04sinαcosβ－cosαsinβ.(3)T(α＋β)：tan(α＋β)＝□05tanα＋tanβ1－tanαtanβ⎝⎛⎭⎪⎫α，β，α＋β≠π2＋kπ，k∈Z.T(α－β)：tan(α－β)＝□06tanα－tanβ1＋tanαtanβ⎝⎛⎭⎪⎫α，β，α－β≠π2＋kπ，k∈Z.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2α：sin2α＝□012sinαcosα.(2)C2α：cos2α＝□02cos2α－sin2α＝□032cos2α－1＝□041－2sin2α.(3)T2α：tan2α＝□052tanα1－tanα⎝⎛⎭⎪⎫α≠±π4＋kπ，且α≠kπ＋π2，k∈Z.3．公式的常用变形(1)tanα±tanβ＝□01tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．(2)cos 2α＝□021＋cos2α2，sin 2α＝□031－cos2α2.(3)1±sin2α＝(sin α±cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. (4)a sin α＋b cos α＝□04a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2，tan φ＝ba (a ≠0)．1．概念辨析(1)公式C (α±β)，S (α±β)，S 2α，C 2α中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小关系不确定．( ) (4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(5)对任意角α都有1＋sin α3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α6＋cos α62.( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2．小题热身(1)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－210 B.210 C ．－7210 D.7210答案 C解析 因为cos α＝－45，α是第三象限的角， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.(2)计算：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝() A ．sin(α＋2β) B ．sin α C ．cos(α＋2β) D ．cos α答案 D解析 cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. (3)已知cos x ＝34，则cos2x ＝( ) A ．－14 B.14 C ．－18 D.18 答案 D解析 cos2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.(4)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若tan α＝35，则tan(α－β)的值为( )A ．0 B.3034 C.916 D.158 答案 D解析 由角α与角β的始边相同，终边关于y 轴对称可知tan α＝－tan β.又tan α＝35，所以tan β＝－35，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝158，故选D.题型 一 两角和、差及倍角公式的直接应用1．(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝( ) A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 3答案 D解析 tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝2＋ 3.故选D. 2．(2019·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________.答案 －1解析 由已知条件，得cos θ＝12，sin θ＝32，所以cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－12，sin2θ＝2sin θcos θ＝32，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos2θcos π3－sin2θsin π3＝－12×12－32×32＝－1.3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值为________．答案3－4310解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.所以cos α＝－1－sin 2α＝－255. 所以sin2α＝2sin αcos α＝－45， cos2α＝cos 2α－sin 2α＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝sin 5π6cos2α－cos 5π6sin2α＝12×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝3－4310.应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．如举例说明2.(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．如举例说明1,3.(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.1.(2019·石家庄质检)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( ) A.－429 B ．－229 C.229 D.429答案 A解析 ∵sin(π－α)＝13，∴sin α＝13，又π2≤α≤π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－223，∴sin2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎪⎫－223＝－429. 2.(2019·武威模拟)已知角α在第二象限，若sin α＝35，则tan2α＝( ) A.23 B.247 C ．－247 D ．－34 答案 C解析 因为α是第二象限角，且sin α＝35， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45. 所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247. 3.若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β等于( )A.5 B ．－1 C ．6 D.16答案 A解析 由题意可得sin αcos β＋cos αsin β＝12， sin αcos β－cos αsin β＝13，解得sin αcos β＝512， cos αsin β＝112，∴tan αtan β＝5.题型 二 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用1.计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为( ) A.12 B.33 C.22 D.32 答案 A解析 －sin133°cos197°－cos47°cos73° ＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17° ＝sin(47°－17°)＝sin30°＝12.2.(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( ) A. 3 B ．1＋ 2C.2 D ．2(tan18°＋tan27°) 答案 C解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°) ＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2. 3.已知sin α＋cos α＝52，则cos4α＝________. 答案 78解析 由sin α＋cos α＝52，得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝54，所以sin2α＝14，从而cos4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．2.熟记三角函数公式的两类变式 (1)和差角公式变形sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan αtan β)．如举例说明2. (2)倍角公式变形降幂公式cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.1.若x ∈[0，π]，sin x 3sin 2x 3＝cos x 3cos 2x3，则x 的值是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 D解析 由已知得，cos x 3cos 2x 3－sin x 3sin 2x 3＝cos x ＝0.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2. 2.已知α，β，γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，那么β－α＝( )A.π6 B ．－π3 C.π3 D ．±π3答案 C解析 由已知得sin α－sin β＝－sin γ，① cos α－cos β＝cos γ，②由①2＋②2得2－2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1， 所以cos(β－α)＝12.因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，因为γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α－sin β＝－sin γ<0， 所以α<β，所以β－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β－α＝π3.3.已知a tan α＋b ＝(a －b tan α)tan β，且α＋π6与β的终边相同，则ba 的值为( ) A.23 B.33 C.223 D.34答案 B解析 已知等式可化为a tan α＋b ＝a tan β－b tan αtan β， 即b (1＋tan αtan β)＝a (tan β－tan α)， ∴b a ＝tan β－tan α1＋tan αtan β＝tan(β－α)，又α＋π6与β的终边相同， 即β＝2k π＋α＋π6(k ∈Z )，∴tan(β－α)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π6＝tan π6＝33， 即b a ＝33，故选B.题型 三 两角和、差及倍角公式的灵活应用角度1 角的变换1.(2019·南开区模拟)已知0<α＜π2<β<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值． 解 (1)sin2β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79.(2)因为0<α<π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0， 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×13＋45×223＝82－315.角度2 函数名称的变换 2.求值：(1)sin10°1－3tan10°＝________；(2)1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°＝________. 答案 (1)14 (2)32 解析 (1)sin10°1－3tan10°＝sin10°cos10°cos10°－3sin10°＝2sin10°cos10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°＝sin20°4sin (30°－10°)＝14.(2)原式＝2cos 210°2×2sin10°cos10°－sin10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos5°sin5°－sin5°cos5° ＝cos10°2sin10°－sin10°·cos 25°－sin 25°sin5°cos5° ＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10°＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10° ＝cos10°－2sin (30°－10°)2sin10°＝cos10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等．如举例说明1.(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．如举例说明2.1.已知α是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝________. 答案 －210解析 因为α是第四象限角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝35>0，所以α＋π3是第一象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝22×35－22×45＝－210. 2.(2019·吉林第三次调研)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2＝________.答案 23解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13， 所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α2＝1＋132＝23. 3.(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α. 因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925， 因此，cos2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255， 因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan2α－tan (α＋β)1＋tan2αtan (α＋β)＝－211.思想方法 三角恒等变换中的拆角、凑角思想[典例1] (2019·濮阳模拟)设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－35，则sin(15°＋α)sin(75°－α)＝( )A.110 B.220 C．－110 D ．－220答案 B解析 因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α＜255°， 又因为sin(75°＋2α)＝－35<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－45. 所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝12sin(30°＋2α)＝12sin[(75°＋2α)－45°]＝12[sin(75°＋2α)cos45°－cos(75°＋2α)sin45°]＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋45×22＝220，故选B. [典例2] 若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝________. 答案 17解析 因为tan α＝13，tan(α＋β)＝12， 所以tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17. 方法指导 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.组 基础关1.(2019·潍坊模拟)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－33，则cos2α＝( ) A.－23 B ．－13C.13D.23 答案 C解析 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝－33，所以sin α＝33，所以cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×13＝13.2.(2020·武威摸底)已知角α的终边经过点P (－1，3)，则sin2α的值为( ) A.32 B ．－32 C ．－12 D ．－34答案 B解析 因为角α的终边经过点P (－1，3)，所以由任意角三角函数的定义知，sin α＝32，cos α＝－12，所以sin2α＝2sin αcos α＝－32.3.sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为( ) A. 2 B.22 C.12 D.32答案 B解析 原式＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)]＝sin45°＝22.4.(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin2x 在[0,2π]的零点个数为( ) A.2 B ．3 C ．4 D ．5答案 B解析 令f (x )＝0，得2sin x －sin2x ＝0，即2sin x －2sin x cos x ＝0，∴2sin x (1－cos x )＝0，∴sin x ＝0或cos x ＝1.又x ∈[0,2π]，∴由sin x ＝0得x ＝0，π或2π，由cos x ＝1得x ＝0或2π.故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个．故选B.5.sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°的值为( )A.2＋ 3 B ．2－ 3 C ．2 D.12答案 B解析 原式＝sin (15°－8°)＋cos15°sin8°cos (15°－8°)－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝2sin15°cos15°2cos 215°＝sin30°1＋cos30°＝121＋32＝2－ 3.6.(2019·六安模拟)已知sin α－2cos α＝102，则tan2α＝( ) A.－43 B.34 C.－34D.34或－43答案 B解析 因为sin α－2cos α＝102，所以(sin α－2cos α)2＝52，即sin 2α－4sin αcos α＋4cos 2α＝52.可得sin 2α－4sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝52，所以tan 2α－4tan α＋4tan 2α＋1＝52，解得tan α＝－3或tan α＝13.当tan α＝－3时，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－3)1－(－3)2＝34.当tan α＝13时，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34. 7.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝13，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝( )A.32B. 3C.12D.33答案 D解析 cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos π6＝33，故选D.8.(2019·河南六市联考)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，x 是第三象限角，则cos x ＝________.答案 －31010解析 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，所以tan x ＋11－tan x ＝2，解得tan x ＝13，即sin x ＝13cos x ，又sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以cos 2x ＝910，又x 是第三象限角，所以cos x ＝－31010.9.化简：2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________.答案 12解析 原式＝tan(90°－2α)·12sin2αcos2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12sin2αcos2α＝cos2αsin2α·12sin2αcos2α＝12.10.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β ＝3314，0<β<α<π2，则β＝________.答案 π3解析 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314.又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3.组 能力关1.(2019·辽宁五校协作体模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝( )A.79 B.23 C ．－23 D ．－79答案 D解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝－79.2.(2019·银川一中模拟)在数学解题中，常会碰到形如“x ＋y 1－xy”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a ，b 是非零实数，且满足a sin π5＋b cos π5a cos π5－b sin π5＝tan8π15，则ba ＝( )A.4B.15 C ．2 D. 3答案 D 解析 ∵tan 8π15＝tan π5＋b a1－b a tan π5＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＋θ，且tan θ＝b a ，∴π5＋θ＝k π＋8π15，∴θ＝k π＋π3，k ∈Z ，∴tan θ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3＝ 3.∴b a ＝ 3.3.已知α为第二象限角，且tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6等于( )A.－1010 B.1010 C ．－31010 D.31010答案 C解析 tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2⇒tan α＋tan π121－tan αtan π12＝－2⇒tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2，∵α是第二象限角，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝255，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－55，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12·sin π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12·cos π4＝－31010. 4.(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值． 解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35， 由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213. 由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.5.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝－12×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×32＝12. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，又由(1)知sin2α＝12，∴cos2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.。

第五节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式[备考方向要明了][归纳²知识整合]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos _αsin_β cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β[探究] 1.两角和与差的正切公式对任意角都适用吗？若出现不适用的情况如何化简？提示：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π2(k ∈Z )，可利用诱导公式化简．2．二倍角余弦公式的常用变形是什么？它有何重要应用？提示：二倍角余弦公式的常用变形是：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，这就是使用极其广泛的降幂扩角公式．在三角恒等变换中，这两个公式可以实现三角式的“次数”降低，利于问题的研究．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_αcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α tan 2α＝2tan α1－tan 2α[自测²牛刀小试]1．计算cos 28°cos 17°－sin 28°sin 17°的结果等于( ) A.12 B.22 C.32D.33解析：选B 原式＝cos(28°＋17°)＝cos 45°＝22. 2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( )A.2941 B.129C.141D ．1解析：选D tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6²ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37³25＝1.3．(教材习题改编)下列各式中，值为12的是( )A ．2sin 15°cos 15°B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°解析：选A 2sin15°cos 15°＝sin 30°＝12；cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32； 2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32；sin 215°＋cos 215°＝1.4．(教材习题改编)已知cos α＝35，0＜α＜π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝________. 解析：∵cos α＝35，0＜α＜π，∴sin α＝45，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos αcos π6＋sin αsin π6 ＝32cos α＋12sin α＝32³35＋12³45 ＝4＋3310. 答案：4＋33105．(教材习题改编)在△ABC 中，cos A ＝45，tan B ＝2，则tan(2A ＋2B )＝________.解析：在△ABC 中，∵cos A ＝45，0＜A ＜π，得sin A ＝35.∴tan A ＝sin A cos A ＝34.∴tan 2A ＝2tan A 1－tan 2A ＝247， tan 2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝－43，∴tan(2A ＋2B )＝tan 2A ＋tan 2B 1－tan 2A ²tan 2B ＝44117.答案：44117[例1] (1)化简：1＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)；(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan 5°－tan 5°.[自主解答] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2²cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0，所以原式＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2³2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°²cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°²cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°－10°2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.———————————————————1.三角函数式化简的原则三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子结构与特征. 2.解决给角求值问题的基本思路对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： 1化为特殊角的三角函数值； 2化为正、负相消的项，消去求值；3化分子、分母出现公约数进行约分求值.1．化简下列各式：(1)sin α＋cos α－1sin α－cos α＋1sin 2α；(2)sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2－2sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2＋2sin 2α24sin α2cos α2cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2sin α2cos α2cos α＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2cos α＝cos αsinα2cos α2cos α＝tan α2.(2)∵sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°²cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°²2sin 40°cos 10°＝1，cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°. ∴sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.[例2] (2012²广东高考)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．[自主解答] (1)∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω>0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6，而α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617， 即2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝1617， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817， 于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45³817－35³1517＝－1385.———————————————————解决给值求值问题的方法三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”的关系．2．已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．解：∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝459， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝c os ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19³53＋459³23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2³49³5729－1＝－239729.[例3] 若sin A ＝55，sin B ＝1010，且A ，B 均为钝角，求A ＋B 的值． [自主解答] ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010，∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－25＝－255，cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－31010，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A si n B ＝－255³⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55³1010＝22，① 又∵π2＜A ＜π，π2＜B ＜π，∴π＜A ＋B ＜2π，② 由①②知，A ＋B ＝7π4.若将“A ，B 均为钝角”改为“A ，B 均为锐角”，如何求解？ 解：∵A ，B 均为锐角，且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝255，cos B ＝1－sin 2B ＝31010，∴cos A ＋B ＝cos A c os B －sin A sin B ＝255³31010－55³1010＝22.又∵A ，B ∈(0, π2)，∴A ＋B ∈0，π， ∴A ＋B ＝π4.———————————————————1．解决给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出要求的角．2．在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数 (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．3．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan 2α的值；(2)求β. 解：(1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.故tan α＝sin αcos α＝437³71＝4 3.于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2³431－432＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17³1314＋437³3314＝12. ∴β＝π3.1组关系——两角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角公式的关系2个技巧——拼角、凑角的技巧 (1)用已知角表示未知角2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)； α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；α＝α＋β2＋α－β2，β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．(2)互余与互补关系⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2；⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2；⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝π；⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝π； …3个变化——应用公式解决问题的三个变化角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．易误警示——三角函数求角中的易误点[典例] (2011²天津高考)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．[解] (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z .f (x )的最小正周期为π2. (2)法一：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.∴(co s α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α＝π6，即α＝π12.法二：∵由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≠0.∴1cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α. ∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝14.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，π4＋α＝π3.即α＝π3－π4＝π12.[易误辨析]1．解决本题易忽视“α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4”，由sin 2α＝12得出2α＝π6或2α＝56π，即α＝π12或α＝512π的错误结论或由cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝14得出cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12或cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－12，从而造成结论错误． 2．在解决三角函数中的问题时，要牢记：当求出某角的三角函数值，如果要求这角的取值时，一定要考虑角的范围，只有同时满足三角函数值及角的范围的角才是正确的．[变式训练]1．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，若α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝( )A.π3B.π3或－23π C ．－π3或23πD ．－23π解析：选D 由题意得tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4.所以tan α＜0，tan β＜0.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以－π＜α＋β＜0. 又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.故α＋β＝－2π3.2.如图所示，点B 在以PA 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，已知PA ＝5，PB ＝3，PC ＝1527，设∠APB ＝α，∠APC ＝β，α，β均为锐角，则角β的值为________．解析：因为点B 在以PA 为直径的圆周上，所以∠ABP ＝90°，所以cos α＝PB PA ＝35，sinα＝45，所以tan α＝43.因为cos ∠CPB ＝cos(α－β)＝PB PC ＝31527＝7210，所以sin(α－β)＝210，所以tan(α－β)＝17，tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan α－β1＋tan αtan α－β＝1.又β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.答案：π4一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012²辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1解析：选A 由sin α－cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，所以tan α＝tan 3π4＝－1.2．(2012²江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析：选D 法一：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2θ， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2 θ＋cos 2 θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12.法二：∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2sin 2θ，∴4＝2sin 2θ，故sin 2θ＝12.3．已知α为第二象限角，s in α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53解析：选A 将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝53.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)²(cos α＋sin α)＝－53. 4．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4B.3π4C.π3D.π6解析：选A tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝－－2＋131－－2³13＝1.故A ＝π4.5．已知α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．4 解析：选C ∵α＋β＝π4，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β ＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2.6．若cos 2αsin α＋7π4＝－22，则sin α＋cos α的值为( )A ．－22B ．－12C.12D.72解析：选C 由已知三角等式得cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝－22，整理得sin α＋cos α＝12. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7.3－sin 70°2－cos 210°＝________. 解析：3－sin 70°2－cos 210°＝3－cos 20°2－cos 210°＝3－2cos 210°－12－cos 210°＝2. 答案：28．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．解析：因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.答案：139．(2013²南通模拟)设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.解析：f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.依题意有2＋a 2＝2＋3，故a ＝± 3. 答案：± 3三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域．(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． 解：(1)因为f (x )＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为[－1,3]． (2)因为f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，所以1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.又因为α为第二象限角， 所以sin α＝223.因为cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin αcos α－sin α2cos αcos α－sin α＝cos α＋sin α2cos α，所以原式＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.11．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)∵由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝45，于是sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425.又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β，∴cos 2β＝－2425. 又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 2β＝725.又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos α＝255，sin α＝55.∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255³⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55³725＝－11525. 12．(2013²岳阳模拟)已知向量a ＝(sin ωx ，cos ωx )，b ＝(cos φ，sin φ)，函数f (x )＝a²b ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，π3＜φ＜π的最小正周期为2π，其图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213， 求f (2α－β)的值．解：(1)依题意有f (x )＝a²b ＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin(ωx ＋φ)．∵函数f (x )的最小正周期为2π，∴2π＝T ＝2πω，解得ω＝1. 将点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32代入函数f (x )的解析式， 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝32.∵π3＜φ＜π，∴π6＋φ＝2π3，∴φ＝π2. 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .(2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，sin β＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513，∴sin 2α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝925－1625＝－725，∴f (2α－β)＝cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝－725³1213＋2425³513＝36325.1．化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .解：原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，求sin α及tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(sin α－cos α)． 又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，所以sin α－cos α＝75.① 由题设条件，应用二倍角的余弦公式，得cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α) ＝－75(cos α＋sin α)．又cos 2α＝725，故cos α＋sin α＝－15.②联立①②，解得sin α＝35，cos α＝－45，因此tan α＝－34.由两角和的正切公式，得tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan α＋31－3tan α＝48－25311. 3．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值； (2)若sin(θ－φ)＝1010，0＜φ＜π2，求cos φ的值． 解：(1)∵a⊥b ，∴sin θ－2cos θ＝0， 又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝255，c os θ＝55.(2)∵sin(θ－φ)＝1010， ∴cos(θ－φ)＝31010或－31010.当cos(θ－φ)＝31010时，cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θ²cos(θ－φ)＋sin θ²sin(θ－φ)＝55³31010＋255³1010＝22. 当cos(θ－φ)＝－31010时，cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θ²cos(θ－φ)＋sinθ²sin(θ－φ)＝－55³31010＋255³1010＝－210＜0.∵φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos φ＜0不合题意，舍去．∴cos φ的值等于22. 4．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12³17＝13>0，∴0<α<π2.又tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2³131－19＝34>0， ∴0<2α<π2.此时tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34³17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π.则－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4.。

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编11：三角函数图象的变换问题一、选择题1 ．（2009高考(山东理)）将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 （ ）A ．cos 2y x =B ．22cos y x =C ．)42sin(1π++=x y D ．22sin y x =2 ．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）将函数 ()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位后,所得的图象对应的解析式为 （ ）A ．y =sin 2xB ．y =cos 2xC ．y =2sin(2)3x π+D ．y =sin(2)6x π- 3 ．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0,2A πϕ><)的图象如图所示,为了得到()sin 2g x x =的图象,则只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移12π个长度单位4 ．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）函数()sin(2),(||)2f x x πϕϕ=+<向左平移6π个单位后是奇函数,则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 （ ）A ．B ．12-C ．12D 5 ．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（ ）A ．）要得到函数)23sin(-=x y 的图象,只要将函数x y 3sin =的图象（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移32个单位 D ．向右平移32个单位 6 ．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A >0,ϕ<π2的图象如图所示,为了得到()sin 3g x x =的图象,只需将()f x 的图象 （ ）C ．向右平移π12个单位长度D ．向左平移π12个单位长度7 ．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）右图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5[,]66ππ-上的图象.为了得到这个函数的图象,只需将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）A ．向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 B ．向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 C ．向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 D ．向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变8 ．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）函数f (x )A sin(x )ωϕ=+(其中A>0,2||πϕ<)的部分图象如图所示,为了得到2g(x )cos x =的图象,则只要将f (x )的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度9 ．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）为了得到函数)322sin(π+=x y 的图像,只需把函数)62sin(π+=x y 的图像（ ）A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度10．（山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考(数学理)）将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位,再向上平移1个单位,所得函数图象对应的解析式为 （ ）A ．1)42sin(+-=πx yB ．x y 2cos 2=C ．x y 2sin 2=D ．x y 2cos -=11．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的 部分图象如图示,则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后,得到的图象解析式为（ ）A ．x y 2sin =B ．x y 2cos = C．)322sin(π+=x yD ．)62sin(π-=x y12．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）函数()()sin f x x ωϕ=+(ω其中>0,ϕ<2π)的图象如图所示,为了得到()sin g x x ω=的图象,可以将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度13．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）要得到函数sin(2)3π=-y x 的图像,只需将函数sin 2y x =的图像 （ ）A ．向左平移12π个单位B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移6π个单位D ．向右平移12π个单位14．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）函数)sin()(ϕω+=x A x f (0,>ωA )的图象如右图所示,为了得到x A x g ωcos )(-=的图象,可以将)(x f 的图象（ ）C ．向左平移12π个单位长度D ．向左平移125π个单位长度15．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象,只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）A ．向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 B ．向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变C ．向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变D ．向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变16．（山东省莱芜市第一中学2013届高三12月阶段性测试数学（理）试题）已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-,将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的21,纵坐标不变,再将所得图象向右平移π4个单位,得到函数()y g x =的图象,则函数()y g x =的解析式为 （ ）A ．()g x x =B ．()g x x =C ．3π())4g x x =-D ．()4g x x =17．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）将函数x x x f 2sin 2cos )(-=的图象向左平移8π个单位后得到函数)(x F 的图象,则下列说法中正确的是 （ ）A ．函数)(x F 是奇函数,最小值是2-B ．函数)(x F 是偶函数,最小值是2-C ．函数)(x F 是奇函数,最小值是2-D ．函数)(x F 是偶函数,最小值是2-18．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）要得到函数()cos(2)3f x x =+π的图象,只需将函数()sin(2)3g x x =+π的图象（ ）A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度19．（2013山东高考数学（理））将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为 （ ）A ．34πB ．4πC ．0D ．4π-二、填空题 三、解答题20．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知函数21()s i nc o s s i n c o sc o sc o s ()(0)2f x x x x ϕϕπϕϕπ=+++<<,其图象过点1(,).34π(1)求ϕ的值;(2)将函数)(x f y =图象上各点向左平移6π个单位长度,得到函数)(x g y =的图象,求函数)(x g 在2[,]43ππ-上的单调递增区间.21．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））若函数2()22cos f x x x m =++在区间[0,]2π上的最大值为2,将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将图象上所有的点向右平移6π个单位,得到函数()g x 的图象.(1)求函数()f x 解析式;(2)在△AB C 中,角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c,又8(),225g A b π-==,△ABC 的面 积等于3,求边长a 的值,22．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）已知平面向量 a=(cosϕ,sin ϕ),b=(cosx,sinx),c=(sin ϕ,-cos ϕ),其中0<ϕ<π,且函数f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx 的图像过点(6π,1).(1)求ϕ的值;(2)先将函数y=f(x)的图像向左平移12π个单位,然后将得到函数图像上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求函数y=g(x)在[0,2π]上的最大值和最小值.23．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）设函数a x x x x f ++=2cos cos sin 3)(.(Ⅰ)写出函数的最小正周期及单调递减区间;(Ⅱ)当]3,6[ππ-∈x 时,函数)(x f 的最大值与最小值的和为23,求)(x f 的解析式;(Ⅲ)将满足(Ⅱ)的函数)(x f 的图像向右平移12π个单位,纵坐标不变横坐标变为原来的2倍,再向下平移21,得到函数)(x g ,求)(x g 图像与x 轴的正半轴、直线2π=x 所围成图形的面积.24．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知向量22(cos sin ,sin )a x x x ωωω=- ,2cos )b x ω= ,设函数()(R)f x a b x =⋅∈ 的图象关于直线2x π=对称,其中ω为常数,且(0,1)ω∈.(Ⅰ)求函数()f x 的表达式;(Ⅱ)若将()y f x =图象上各点的横坐标变为原来的16,再将所得图象向右平移3π个单位,纵坐标不变,得到()y h x =的图象, 若关于x 的方程()0h x k +=在区间[0,]2π上有且只有一个实数解,求实数k 的取值范围.25．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）已知函数()cos()cos()sin cos 44f x x x x x ππ=+-+.(I)求()f x 的最小正周期和最大值;(Ⅱ)在给出的坐标系中画出函数()y f x =在[]0,π上的图象,并说明()y f x =的图象 是由sin 2y x =的图象怎样变换得到的.26．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知函数()()21cos cos 02f x x x x ωωωω=+-> ,其最小正周期为.2π(I)求()f x 的表达式;(II)将函数()f x 的图象向右平移8π个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象,若关于x 的方程()0g x k +=,在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解,求实数k 的取值范围.山东省2014届理科数学一轮复习试题选编11：三角函数图象的变换问题参考答案一、选择题1. 【解析】:将函数s i n 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos 22sin y x x =+=,故选D.答案:D2. 【答案】D【 解析】将函数()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位得到()sin[2()]sin(2)666f x x x πππ=-+=-,选D.3. 【答案】A【解析】由图象可知1A =,741234T πππ=-=,即周期2T ππω==,所以2ω=,所以函数为()()sin 2f x x ϕ=+.又77()sin(2)11212f ππϕ=⨯+=-,即sin()16πϕ+=,所以2,62k k Z ππϕπ+=+∈,即2,3k k Z πϕπ=+∈,因为2πϕ<,所以当0k =时,3πϕ=,所以()sin(2)3f x x π=+.()sin 2sin[2()]63g x x x ππ==-+,所以只需将()f x 的图象向右平移6π,即可得到()sin 2g x x =的图象,所以选A. 4. 【答案】A 函数()sin(2),(||)2f x x πϕϕ=+<向左平移6π个单位后得到函数为()sin[2()]sin(2)663f x x x πππϕϕ+=++=++,因为此时函数为奇函数,所以,3k k Z πϕπ+=∈,所以,3k k Z πϕπ=-+∈.因为||2πϕ<,所以当0k =时,3πϕ=-,所以()sin(2)3f x x π=-.当02x π≤≤,所以22333x πππ-≤-≤,即当233x ππ-=-时,函数()sin(2)3f x x π=-有最小值为sin()3π-=,选A. 5. 【答案】D【解析】因为2sin(32)sin 3()3y x x =-=-,所以只需将函数x y 3sin =的图象向右平移32个单位,即可得到)23sin(-=x y 的图象,选D.6. 【答案】C 由图象可知,51,41246T A πππ==-=,即223T ππω==,所以3ω=,所以()sin(3)f x x ϕ=+,又555()sin(3)sin()112124f πππϕϕ=⨯+=+=-,所以532,42k k Z ππϕπ+=+∈,即2,4k k Z πϕπ=+∈,又ϕ<π2,所以4πϕ=,即()sin(3)4f x x π=+.因为()sin 3sin(3)sin[3()]44124g x x x x ππππ==-+=-+,所以只需将()f x 的图象向右平移π12个单位长度,即可得到()sin 3g x x =的图象,选C.7. 【答案】A由图象知1A =,5()66T πππ=--=,2T ππω==,所以2ω=.所以()sin(2)y f x x ϕ==+.由2()06πϕ⨯-+=,得3πϕ=,所以()sin(2)3y f x x π==+.所以为了得到这个函数的图象,只需将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,选A.8. 【答案】A 由图象可知1A =,741234T πππ=-=,所以T π=.又2T ππω==,所以2ω=,即()sin(2)f x x ϕ=+.又777()sin(2)sin()112126f πππϕϕ=⨯+=+=-,所以732,62k k Z ππϕπ+=+∈,即2,3k k Z πϕπ=+∈,所以3πϕ=,即()sin(2)3f x x π=+.因为()cos 2sin(2)sin[2()]2123g x x x x πππ==+=++,所以直线将()f x 向左平移12π个单位长度即可得到()g x 的图象,选A.9. C 【解析】依题意,把函数sin(2)6y x π=+左右平移a 各单位长得函数sin(22)6y x a π=++的图象,即函数2sin(2)3y x π=+的图象,∴2263a ππ+=,解得4a π=,故选C. 10. C 【解析】函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位得到sin 2()sin(2)cos 242y x x xππ=-=-=-,再向上平移1个单位,所得函数图象对应的解析式为22cos 21(12sin )12sin y x x x =-+=--+=,选C.11. D 【解析】由图象知A=1,T=,262,2,234)61211(πφπωωππππ=+⨯=∴==⨯- 6πφ=∴),62sin()(π+=∴x x f 将)(x f 的图象平移6π个单位后的解析式为)..62sin(]6)6(2sin[πππ-=+-=x x y 故选D.12. A 【解析】由图象知741234T πππ=-=,所以周期T π=,又2T ππω==,所以2ω=,所以()()sin 2f x x ϕ=+,又77()sin(2)11212f ππϕ=⨯+=-,即7sin()16πϕ+=-,所以732,62k k Z ππϕπ+=+∈,即2,3k k Z πϕπ=+∈,所以当0k =时,3πϕ=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,又()sin 2sin[2]sin[2()]3363g x x x x ππππ==-+=-+,所以要得到()sin g x x ω=的图象只需将()f x 的图象向右平移6π个单位长度,选A.13. C 【解析】因为sin(2)sin 2()36y x x ππ=-=-,所以将函数sin 2y x =的图像向右平移6π个单位,即可得到函数sin(2)3π=-y x 的图像,选C.14. B 解析:123A πωϕ===由图像可求得，，，将选项代入检验即可。

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编9：两角和与差的三角函数及二倍角公式一、选择题1 ．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知,135)4sin(-=+πx 则x 2sin 的值等于（ ）A ．169120B ．169119C ．169120-D ．119169-【答案】D【解析】因为,135)4sin(-=+πx所以5cos )13x x +=-,两边平方得125(1sin 2)2169x +=,解得119sin 2169x =-,选 D ． 2 ．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,1tan ,sin ()47παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭则（ ）A ．35B ．45C ．35-D ．45-【答案】A 【解析】由1tan ,47πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得11tan()tan3744tan tan()14441tan()tan 1447ππαππααππα-+-=+-===-+++,所以解得3sin 5α=,选A 3 ．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）已知3cos ,05ααπ=<<,则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．15B ．17C ．1-D ．7-【答案】D 【解析】因为3cos 0,05ααπ=><<,所以0,sin 02παα<<>,所以4sin ,5α=故4tan ,3α=所以41tan tan34tan()7441tan tan 143παπαπα+++===--⋅-,选D 4 ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）一已知倾斜角为α的直线l 与直线220x y -+=平行,则tan 2α的值为（ ） A ．45 B ．43 C ．34 D ．23【答案】B【解析】直线的斜率为12,即直线l 的斜率为1tan 2k α==,所以22122tan 142tan 2131tan 31()24ααα⨯====--,选 B ．5 ．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理A ．）已知34(,),cos ,25αππα∈=-则)4tan(απ-等于 （ ）A ．7B ．71C ．71-D ．7-【答案】B【解析】因为34(,),cos ,25αππα∈=-所以sin 0α<,即33sin tan 54αα=-=，.所以311tan 14tan()341tan 71+4πααα---===+,选 B ． 6 ．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知向量a=(sin α,1),b=(2,2cos α2παπ<<),若a⊥b,则sin(4πα-)= （ ）A ．B ．-12 C ．12D【答案】D7 ．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）若3)4tan(=-απ,则αcot 等于（ ）A ．2B ．21-C ．21 D ．-2【答案】D 【解析】由3)4tan(=-απ得,tantan()13144tan tan[()]441321tan()4ππαππααπα---=--===-++-,所以1cot 2tan αα==-选 D ． 8 ．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）已知ααsin 2sin -=,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2,则=αtan（ ）A ．23-B ．53- C ．33- D ．3- 【答案】D9 ．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知α为第二象限角,3sin 5α=,则sin 2α= （ ）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425【答案】A 【解析】因为α为第二象限角,所以4c o s 5α=-,所以3424s i n 22s i n c o s 2()5525ααα==⨯⨯-=-,选A ． 10．（2012年山东理）(7)若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,sin 2θ,则sin θ=（ ）A ．35B ．45CD ．34【答案】解析:由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得],2[2ππθ∈,812sin 12cos 2-=--=θθ,4322cos 1sin =-=θθ,答案应选D ． 另解:由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，及sin 2θ可得434716776916761687312sin 1cos sin +=++=+=+=+=+θθθ,而当42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时θθcos sin >,结合选项即可得47cos ,43sin ==θθ.答案应选 D ．11．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）已知2)tan(-=-απ,则221sin 2cos αα=- （ ）A ．2B ．52 C ．3 D ．25【答案】D12．（山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学（理））已知,54cos ,23,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈αππα则)4tan(απ-等于 （ ）A ．7B ．71C ．71-D ．7-【答案】B【 解析】因为 ,54cos ,23,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈αππα所以3sin 5α=-,3tan 4α=.所以3tan tan 1144tan()3471tan tan 144παπαπα---===++,选 B ．13．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）已知4cos 5α=-,且π(,π)2α∈,则πtan()4α-等于（ ）A ．-17B ．-7C ．17D ． 7【答案】D14．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-=,若a b ⊥ ,则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于 （ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．3【答案】B【解析】因为a b⊥ ,所以2cos sin 0a b αα=-=,即tan 2α=.所以tan 1211tan()41tan 123πααα---===++,选 B ．15．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知53)4sin(=+x π,则x 2sin 的值为 （ ）A ．2524-B ．2524 C ．257-D ．257 【答案】C【 解析】27sin 2sin[2()]cos 2()[12sin ()]424425x x x x ππππ=+-=-+=--+=-,选 C ．16．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）已知25242sin -=α,⎪⎭⎫⎝⎛-∈04，πα,则ααcos sin +等于（ ） A ．51- B ．51 C ．57- D ．57【答案】B 【解析】由⎪⎭⎫⎝⎛-∈04，πα知|,cos ||sin |0cos ,0sin αααα<><，ααcos sin +∴ .512sin 1=+=x 故选B二、填空题 17．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）在ABC ∆中,若sin 2cos cos A B C =,则tan tan B C +=__________.【答案】2 【解析】在ABC ∆中,C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=,cos cos 2C B =两边.同除以cos cos B C 得tan tan 2B C +=.18．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）若α是锐角,且1sin(),cos 63παα-=则的值是__________.【答案】【解析】∵α是锐角,∴02πα<<,663πππα-<-<,所以cos()63πα-==,cos cos[()]cos()cos sin()sin 666666ππππππαααα=-+=---1132=-⨯= 19．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）若tan()2α-=π,则sin 2α=___________.【答案】45-由tan()2α-=π得tan =2α-,所以22222sin cos 2tan 2(2)4sin 2sin cos 1tan 1(2)5ααααααα⨯-====-+++-. 三、解答题20．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）已知函数f(x)=2 sin 63x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭(0≤x≤5),点A 、B 分别是函数y=f(x)图像上的最高点和最低点.(1)求点A 、B 的坐标以及OA ·OB的值;(2)设点A 、B 分别在角α、β的终边上,求tan(2αβ-)的值.【答案】解:(1)50≤≤x , ππ7π3636x π∴≤+≤, ∴1ππsin()1263x -≤+≤当πππ632x +=,即1=x 时,ππsin()163x +=,)(x f 取得最大值2; 当ππ7π636x +=,即5=x 时,ππ1sin()632x +=-,)(x f 取得最小值1-. 因此,点A 、B 的坐标分别是(1,2)A 、(5,1)B - 152(1)3OA OB ∴⋅=⨯+⨯-=(2) 点)2,1(A 、)1,5(-B 分别在角α、β的终边上,tan 2α∴=,51tan -=β,212()55tan 21121()5β⨯-==---, ∴52()2912tan(2)5212()12αβ---==+⋅- 21．（山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知函数()5sin cos 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(I)求()f x 的单调递增区间;(II)已知()()()33cos ,cos ,0,552f παβαβαββ-=+=-<<≤求. 【答案】22．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）已知 .471217,53)4(cos πππ<<=+x x(1) 求x 2sin 的值. (2)求 xxx tan 1sin 22sin 2-+的值【答案】解: (1) ∵x x x 2sin )22cos()4(2cos -=+=+ππ1)4(cos 2)4(2cos 2-+=+x x ππ又25712592-=-⨯= ∴2572sin =x )4tan(2sin tan 1)tan 1(2sin tan 1)cos sin 1(2sin tan 1sin 22sin )2(2x x x x x xxxx xxx +=-+=-+=-+π∵.471217ππ<<x ∴πππ2435<+<x ∴54)4(cos 1)4sin(2-=+--=+x x ππ∴34)4tan(-=+x π∴ x x x tan 1sin 22sin 2-+7528)34(257-=-⨯=(此题也可先求出x x cos ,sin 再进行计算)。

2014届高考数学（理）一轮复习 4 两角和与差的正弦一、选择题 1．已知cos 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A.1318 B.1118C.79D ．－1解析：∵cos 2θ＝23，∴sin 22θ＝79. ∴sin 4θ＋cos 4θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝1－12(sin 2θ)2＝1118.答案：B2．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3解析：因为sin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 2α＝14，sin 2α＝1－cos 2α＝34，∵α∈(0，π2)，∴cos α＝12，sin α＝32，tan α＝sin αcos α＝ 3.答案：D3．已知α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析：∵α＋β＝π4，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β ＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2. 答案：C4．若sin α－π4cos 2α＝－2，则sin α＋co s α的值为( )A ．－72B ．－12C.12D.72解析：∵22(sin α－cos α)＝－2(cos 2α－sin 2α) ∴sin α＋cos α＝12.答案：C5．已知tan α＝14，tan(α－β)＝13，则tan β＝( )A.711B ．－117C ．－113D.113解析：tan β＝tan[α－(α－β)] ＝tan α－tan α－β1＋tan αtan α－β＝14－131＋112＝－113. 答案：C6． sin －250°cos 70°cos 2155°－sin 225°的值为( ) A ．－32B ．－12C.12D.32解析：－sin 270°－20°cos 90°－20°cos 225°－sin 225°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝sin 40°2cos 50°＝sin90°－50°2cos 50°＝12.答案：C 二、填空题7．已知sin α＝12＋cos α，且α∈(0，π2)，则cos 2αsin α－π4的值为____．解析：依题意得sin α－cos α＝12，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋(12)2＝2，故(sin α＋cos α)2＝74；又α∈(0，π2)，因此有sin α＋cos α＝72，所以cos 2αsin α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 答案：－1428．已知tan(x ＋π4)＝2，则tan xtan2x的值为________．解析：因为tan(x ＋π4)＝2，所以tan x ＝13，tan2x ＝2×131－19＝2389＝34，即tan x tan 2x ＝49.答案：499．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－513，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是35，则cos α＝________.解析：由题意知，cos β＝－513，sin(α＋β)＝35，又∵α，β∈(0，π)，∴sin β＝1213，cos(α＋β)＝－45.∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－45×(－513)＋1213×35＝2065＋3665 ＝5665. 答案：5665三、解答题10．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值；(2)求3sin 2x 2－2sin x 2cos x2＋cos2x2tan x ＋1tan x的值．解：(1)由sin x ＋cos x ＝15两边平方得1＋2sin x cos x ＝125，所以2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又∵－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，∴sin x －cos x <0. 故sin x －cos x ＝－75.(2)3sin 2x 2－2sin x 2cos x2＋cos2x2tan x ＋1tan x＝2sin 2x2－sin x ＋1sin x cos x ＋cos xsin x＝cos x (2－cos x －sin x )＝(－1225)×(2－15)＝－108125.11．已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值． 解：(1)由cos β＝55，β∈(0，π)，得sin β＝255，即tan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.(2)∵tan α＝－13，α∈(0，π)，∴sin α＝110，cos α＝－310.∴f (x )＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x＝－5sin x . ∴f (x )的最大值为 5.12．已知函数f (x )＝2sin(13x －π6)，x ∈R.(1)求f (5π4)的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65， 求cos(α＋β)的值．解：(1)f (5π4)＝2sin(13×54π－π6)＝2sin π4＝ 2.(2)∵1013＝f (3α＋π2)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13×3α＋π2－π6＝2sin α，65＝f (3β＋2π)＝2sin[13×(3β＋2π)－π6] ＝2sin(β＋π2)＝2cos β，∴sin α＝513，cos β＝35，又∵α，β∈[0，π2]， ∴cos α＝1－sin 2α＝ 1－5132＝1213， sin β＝ 1－cos 2β＝1－352＝45， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝35×1213－513×45＝1665.。

第4课两角和与差及倍角公式（二）【考点导读】1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值；2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角”．【基础练习】1．写出下列各式的值：（1）_________；（2）_________；（3）_________；（4）____1_____．2．已知则=_________．3．求值：（1）_______；（2）_________．4．求值：____1____．5．已知，则________．6．若，则_________．【范例解析】例1.求值：（1）；（2）．分析：切化弦，通分．解：（1）原式==．（2），又．原式=．点评：给角求值，注意寻找所给角与特殊角的联系，如互余，互补等，利用诱导公式，和与差公式，二倍角公式进行转换．例2.设，，且，，求，．分析：，．解：由，，得，同理，可得，同理，得．点评：寻求“已知角”与“未知角”之间的联系，如：，等．例3.若，，求的值．分析一：．解法一：，，又，，．，，．所以，原式=．分析二：．解法二：原式= 又27sin 2sin[2()]cos 2()[2cos ()1]424425x x x x ππππ=+-=-+=--+-=， 所以，原式．点评：观察“角”之间的联系以寻找解题思路．【反馈演练】1．设，若，则=__________．2．已知tan =2，则tanα的值为_______，tan 的值为___________ ．3．若，则=___________．4．若，则 ．5．求值：_________．6．已知．求的值解：又从而，。