2019届高三数学第一轮知识点课后强化训练题12

2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.3等比数列及其前n 项和课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A ．10 B ．20 C ．100D ．200解析：a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100. 答案：C2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D ．558解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案：A3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．15解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是公比q ＝3的等比数列． ∵a 5＋a 7＋a 9＝q 3(a 2＋a 4＋a 6)，∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(9×33)＝log 1335＝－5.答案：A4．(xx 届太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2解析：在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.答案：B5．(xx 届莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017解析：由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n， 所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.答案：D6．(xx 届海口市调研测试)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( )A.12 B ．1716 C ．2D ．17解析：设{a n }的公比为q ，依题意得a 5a 2＝18＝q 3，因此q ＝12.注意到a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，即有S 8－S 4＝q 4S 4，因此S 8＝(q 4＋1)S 4，S 8S 4＝q 4＋1＝1716，选B.答案：B7．(xx 届衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1解析：因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，因为数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.答案：C8．(xx 届广州市五校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2，则a 21＝( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝2，得b 1＝a 2a 1＝a 22，a 2＝2b 1；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，所以a 21＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比数列，所以a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211. 答案：C9．由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________. 解析：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝log 2(a 1a 10)·(a 2a 9)·…·(a 5a 6)＝log 2(a 3a 8)5＝log 2225＝25.答案：2510．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 解析：因为3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.答案：3n －111．(xx 届南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列， 所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5， 即2a 6－3a 5＋a 4＝0， 所以2q 2－3q ＋1＝0， 因为q ≠1， 所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，T n ＝34×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝94⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.12．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)．已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．解：(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝81＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．∵4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2符合上式，∴4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥1)， ∴a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 22a n ＋1－a n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．[能 力 提 升]1．若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 10＝T 20，则当T n 取最小值时，n 的值为________．解析：T 10＝T 20⇒a 11…a 20＝1⇒(a 15a 16)5＝1⇒a 15a 16＝1，又{a n }是正项递增等比数列，所以0<a 1<a 2<…<a 14<a 15<1<a 16<a 17<…，因此当T n 取最小值时，n 的值为15.答案：152．(xx 届山西吕梁质检)已知数列2,8,4，12，…，该数列的特点是从第2项起，每一项都等于它的前后两项之积，则这个数列的前2 018项之积T 2 018等于________．解析：数列2,8,4，12，…，该数列的特点是从第2项起，每一项都等于它的前后两项之积，这个数列的前8项分别为2,8,4，12，18，14，2,8，易得从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项积为2×8×4×12×18×14＝1.又因为2 018＝336×6＋2，所以这个数列的前2 018项之积T 2 018＝1336×2×8＝16. 答案：163．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． ∵a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n≠0，∴{a n －3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n.2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.4数列求和课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)na n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．2 015B ．－2 015C ．3 021D ．－3 022解析：由题知a 1＝tan(180°＋45°)＝1，∴a 5＝13 ∴d ＝a 5－a 15－1＝124＝3. ∴a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. 设b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(3n －2)，∴S 2 014＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－6 037＋6 040)＝3×1 007＝3 021.故选C. 答案：C2．设{a n }是公差不为零的等差数列，a 2＝2，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4 B ．n 22＋3n 2C.n 24＋3n4D ．n 22＋n2解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则 由a 23＝a 1a 9得(a 2＋d )2＝(a 2－d )(a 2＋7d )， 代入a 2＝2，解得d ＝1或d ＝0(舍)． ∴a n ＝2＋(n －2)×1＝n ， ∴S n ＝a 1＋a n n2＝1＋n n 2＝n 22＋n 2.故选D. 答案：D3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36解析：设等比数列{a n }的公比为q 则a 21q 3＝2a 1，①a 1q 3＋2a 1q 6＝52，②解得a 1＝16，q ＝12，∴S 5＝a 11－q 51－q＝31，故选B.答案：B4．已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，公比为q ；等差数列{b n }中，b 1＝3，且{b n }的前n 项和为S n ，a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2.(1)求{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝32S n ，求{c n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{b n }的公差为d ， ∵a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2＋3d ＝18，6＋d ＝q 2.求得q ＝3，d ＝3，∴a n ＝3n －1，b n ＝3n .(2)由题意得S n ＝n 3＋3n2，c n ＝32S n ＝32×23×1n n ＋1＝1n －1n ＋1. ∴T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.5．(xx 届广州综合测试)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2. 因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项， 所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 化简得q 2－2q ＝0. 因为公比q ≠0，所以q ＝2. 所以a n ＝a 2qn －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1， 所以a n b n ＝(2n －1)2n，则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n＋(2n －1)·2n ＋1.②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×41－2n －11－2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.6．S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3.7．已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *)． (1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n(n ∈N *)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立， 求实数λ的取值范围．解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5， 所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6， 所以{a n }是等差数列，首项为1，公差为6， 即a n ＝6n －5. (2)因为b n ＝2n， 所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2，当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2，由λa n >2n＋n ＋2λ得λ>2n＋n 2n ＋1＝12＋n 2n ＋1，令f (n )＝12＋n 2n ＋1，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12n ＋2－n 2n ＋1＝1－n 2n ＋2≤0， 所以12＋n2n ＋1在n ≥1时单调递减，所以当n ＝1,2时，2n＋n 2n ＋1取最大值34，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞. [能 力 提 升]1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由已知得S n n＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 所以S n ＝2n 2－n ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. a 1＝1＝4×1－3，所以a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)可得b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(4n －3)． 当n 为偶数时，T n ＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n －7)＋(4n －3)]＝4×n2＝2n ，当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1，综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *.2．在数列{a n }中，已知a n >1，a 1＝1＋3，且a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，记b n ＝(a n －1)2，n ∈N *.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：13≤1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <34.解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，所以a 2n ＋1－a 2n －2a n ＋1＋2a n ＝2， 即(a n ＋1－1)2－(a n －1)2＝2. 又b n ＝(a n －1)2，n ∈N *，所以b n ＋1－b n ＝2，数列{b n }是以b 1＝(1＋3－1)2＝3为首项，2为公差的等差数列， 故b n ＝2n ＋1，n ∈N *. (2)证明：由(1)得S n ＝n 3＋2n ＋12＝n (n ＋2)，所以1S n ＝1nn ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，n ∈N *， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<34.记T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n，因为1S n>0，n ∈N *，所以T n 单调递增．故T n ≥T 1＝1S 1＝13.综上13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <34.3．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2n ＋a n ＝2S n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.解：(1)因为当n ∈N *时，a 2n ＋a n ＝2S n ， 故当n >1时，a 2n －1＋a n －1＝2S n －1，两式相减得，a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1＝2S n －2S n －1＝2a n ， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1.因为a n >0，所以a n ＋a n －1>0，所以当n >1时，a n －a n －1＝1.又当n ＝1时，a 21＋a 1＝2S 1＝2a 1，得a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n ＝n .(2)证明：由(1)及等差数列的前n 项和公式知S n ＝n n ＋12，所以S n ＝ n n ＋12>n 22＝n2， 所以S 1＋S 2＋…＋S n >12＋22＋…＋n 2＝ 1＋2＋…＋n 2＝S n 2. 又S n ＝ n n ＋12<n ＋122＝n ＋12， 所以S 1＋S 2＋…＋S n <22＋32＋…＋n ＋12＝1＋2＋…＋n ＋12－12＝S n ＋1－12， 所以S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.。

2019届高三数学一轮复习 函数的定义域1、下列函数中值域为（0，)∞+的是（ ） A ．x y -=1)31( B ．12-+=x x y C ．122+=x y D ．x y 21-= 2、函数)1lg(-=x y 的定义域为（ ） A ．{}0|<x x B ．{}1|>x x C ．{}10|<<x x D ．{ 0|<x x 或}1>x 3、若()2211f x x -=+，则()f x 的解析式为（ ）A ．()2254x x f x ++=B ．()2254x x f x -+=C ．()2234x x f x ++=D ．()2234x x f x -+=4、设函数的定义域为，的定义域为，则（ ） A.B.C. D.5、如果1()1xf xx=-，则当0x ≠且1x ≠时，()f x =（ ） A ．1x B ．11x - C ．11x - D ．11x-6、函数22(x)log (x 2x 3)f 的定义域是（ ）（A ）[3,1] （B ）(3,1) （C ）(,3][1,)-∞-+∞ （D ）(,3)(1,)-∞-+∞7、已知函数y ＝x 2的值域是[1，4]，则其定义域不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8、函数2()lg xf x x-=的定义域是 ． 9、若(1)f x x +=，则函数()f x 的解析式为()f x = ．10、函数()()3log 142xf x x =++-的定义域是____________________．11、函数()()2log 31x f x =+的值域为__________________．12、已知函数()1-=x f y 定义域是[]3,1-，则()12+=x f y 的定义域是 ． 13、函数223)(x x x f --=的定义域为_________，值域为_________． 14、已知函数f(x)的周期为1.5，且f(1)＝20，则f(13)的值是____ ____． 15、已知偶函数)(x f 在区间），∞+0[单调递增，则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围为 ________16、函数y=的值域是17、已知函数()1f x x =-的定义域为集合A ，函数()()0121≤≤-⎪⎭⎫⎝⎛=x x g x的值域为集合B ，U R =． （1）求()U C A B ⋂；（2）若{}|21C x a x a =≤≤-且B C ⊆，求实数a 的取值范围18、已知函数()1,[3,5]2x f x x x -=∈+．（1）判断函数()f x 的单调性并用定义证明你的结论． （2）求函数()f x 的最大值和最小值． 19、已知113a ≤≤，若函数()22f x ax x =-在[]1,3上的最大值为()M a ，最小值为()N a ．（1）求()N a 的表达式; （2）求()M a 的表达式并说出其最值．20、已知集合{}121212(,)0,0,D x x x x x x k =>>+=．其中K 为正常数．（1）若K=2，设12u x x =，求u 的取值范围． （2）若K=2，对任意12(,)x x D ∈，求)1)(1(2211x x x x --的最大值。

[课时跟踪检测][基础达标]1．(2018届邯郸质检)“x>3”是“1x<13”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析：“x>3”⇒“1x<13”；反之不成立，例如取x＝－1.因此“x>3”是“1x<13”的充分不必要条件．故选A.答案：A2．已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝3”是“A∩B＝{4}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若A∩B＝{4}，则m2＋1＝4，∴m＝±3，故“m＝3”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．答案：A3．(2017届山东重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的() A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：命题p：“正数a的平方不等于0”写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．答案：B4．命题p：“若x2<1，则x<1”的逆命题为q，则p与q的真假性为() A．p真q真B．p真q假C．p假q真D．p假q假解析：q：若x<1，则x2<1.令x＝－2，∴x2＝4，∴q假．∵p：x2<1，则－1<x<1，∴p真，故选B.答案：B5．(2018届鹤壁模拟)已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1，命题q：∀x∈R，x2>0，下面结论正确的是()A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧綈q”是假命题C．命题“綈p∧q”是真命题D．命题“綈p∧綈q”是假命题解析：因为tan45°＝1，所以p：∃x0∈R，使tan x0＝1是真命题，所以綈p 是假命题．因为x＝0，x2＝0，所以命题q：∀x∈R，x2>0是假命题，所以綈q 是真命题，所以p∧q是假命题，綈p∧q是假命题，綈p∧綈q是假命题，故选择D.答案：D6.(2017届江西新余调研)设p：∀x∈R，x2－4x＋m>0；q：函数f(x)＝－1 3x3＋2x2－mx－1在R上是减函数，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若p为真，则Δ＝16－4m<0，解得m>4；若q为真，则f′(x)＝－x2＋4x－m≤0在R上恒成立，则Δ＝16－4m≤0，解得m≥4，所以p是q的充分不必要条件．答案：A7．(2018届河北唐山二模)已知a，b为实数，则“a3<b3”是“2a<2b”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：由于函数y＝x3，y＝2x在R上单调递增，所以a3<b3⇔a<b⇔2a<2b，即“a3<b3”是“2a<2b”的充要条件．答案：C8．(2017届河南三市调研)若x，y∈R，则x>y的一个充分不必要条件是() A．|x|>|y| B．x2>y2C.x>y D．x3>y3解析：由|x|>|y|，x2>y2未必能推出x>y，排除A、B；由x>y可推出x>y，反之，未必成立，而x3>y3是x>y的充要条件，故选C.答案：C9．(2017届浙江宁波一模)若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4解析：若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．因为当x >1时，f (x )>3，所以a >3.答案：A10．(2018届河北唐山月考)已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．解析：p ：由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1.由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．又q ：x >a ，故a ≥1.答案：[1，＋∞)11．(2017届河南濮阳第二次检测)若“m >a ”是“函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为________．解析：由于f (0)＝m ＋23，因为函数y ＝f (x )的图象不过第三象限，所以m ＋23≥0，即m ≥－23.由于“m >a ”是“m ≥－23”的必要不充分条件，因此a <－23，故实数a 能取的最大整数为－1.答案：－112．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 13．(2018届江西九江地区高三七校联考)命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax －1<0，命题q ：3a －1＋1<0. (1)若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；(2)若“綈q ”是“a ∈[m ，m ＋1]”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：(1)关于命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax －1<0，a >0时，显然不成立，a ＝0时成立，a <0时只需Δ＝a 2＋4a <0即可，解得－4<a <0，故p 为真时，a ∈(－4,0]；关于命题q ：3a －1＋1<0，解得－2<a <1， 命题“p 或q ”为假命题，即p ，q 均为假命题，则a ≤－4或a ≥1.(2)綈q ：a ≤－2或a ≥1，所以m ＋1≤－2或m ≥1，所以m ≤－3或m ≥1.14．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．求：(1)若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件；(3)若綈p 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：(1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P ，则⎩⎨⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．(2)若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S .∴⎩⎨⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9.即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，(3)P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S P ，∴[－2,10][1－m,1＋m ]，∴⎩⎨⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． [能 力 提 升]1．(2017届济南模拟)若a ＝log 2x ，b ＝2x ，则“a >b ”是“x >1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：函数a ＝log 2x ，b ＝2x 的图象如图所示，由图象可知，若a >b ，则x >2，即x >1成立，反之，若x >1，当x ＝32时，a <b .答案：A2．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎨⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.答案：[－3,0]3．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0.答案：(－∞，0]4．已知命题p ：|x －2|<a (a >0)，命题q ：|x 2－4|<1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：由题意p ：|x －2|<a ⇔2－a <x <2＋a ，q ：|x 2－4|<1⇔－1<x 2－4<1⇔3<x 2<5⇔－5<x <－3或3<x < 5.又由题意知p 是q 的充分不必要条件，所以有⎩⎨⎧ －5≤2－a ，2＋a ≤－3，a >0，①或⎩⎨⎧ 3≤2－a ，2＋a ≤5，a >0，② 由①得a 无解；由②解得0<a ≤2－ 3.。

芯衣州星海市涌泉学校第三课时空间向量及其运算强化训练一、复习目的：1、理解空间向量的概念，理解空间向量的根本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3、掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的一一共线与垂直；4、通过本课强化训练，使学生进一步纯熟理解和掌握上述概念和运算方法，进步学生的灵敏和综合运用才能。

二、重难点：空间向量及其运算的综合运用。

三、教学方法：讲练结合，探析归纳。

四、教学过程〔一〕、根底自测〔分组训练、一一共同交流〕 1.有4个命题：①假设p=xa+yb ，那么p 与a 、b 一一共面；②假设p 与a 、b 一一共面，那么p=xa+yb ；③假设MP =x MA +y MB ，那么P 、M 、A 、B 一一共面；④假设P 、M 、A 、B 一一共面，那么MP =x MA +y MB . 其中真命题的个数是〔B 〕。

A.1 B.2C.3D.42.以下命题中是真命题的是(D)。

A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，那么这两个向量不是一一共面向量B.假设|a|=|b|，那么a ，b 的长度相等而方向一样或者者相反C.假设向量AB ，CD 满足|AB |＞|CD |，且AB 与CD 同向，那么AB ＞CDD.假设两个非零向量与满足+=0，那么∥ 3.假设a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，那么 〔C 〕。

A.x=1,y=1B.x=21，y=-21C.x=61，y=-23D.x=-61，y=234.A 〔1，2，3〕，B 〔2，1，2〕，P 〔1，1，2〕，点Q 在直线OP 上运动，当QA ·QB 取最小值时，点Q 的坐标是.答案⎪⎭⎫ ⎝⎛38,34,345.在四面体O-ABC 中，OA =a,OB =b,OC =c,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点，那么OE =(用a,b,c 表示).答案21a+41b+41c 〔二〕、典例探析例1、如下列图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设1AA =a ，AB =b ，AD =c ，M ，N ，P 分别是AA1，BC ，C1D1的中点， 试用a ，b ，c 表示以下各向量：〔1〕AP ；〔2〕N A 1；〔3〕MP +1NC .解〔1〕∵P 是C1D1的中点，∴AP =1AA +11D A +P D 1=a+AD +2111C D =a+c+21AB =a+c+21b. 〔2〕∵N 是BC 的中点，∴N A 1=A A 1+AB +BN =-a+b+21BC =-a+b+21AD =-a+b+21c. 〔3〕∵M 是AA1的中点，∴MP =MA +AP =21A A 1+AP =-21a+(a+c+21b)=21a+21b+c ， 又1NC =NC +1CC =21BC +1AA =21AD +1AA =21c+a ，∴MP +1NC =(21a+21b+c)+(a+21c)=23a+21b+23c. 例2、如下列图，空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点.〔1〕求证：MN⊥AB，MN⊥CD；〔2〕求MN 的长； 〔3〕求异面直线AN 与CM 夹角的余弦值. 〔1〕证明设AB =p,AC =q ，AD =r.由题意可知：|p|=|q|=|r|=a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.MN =AN -AM =21〔AC +AD 〕-21AB =21〔q+r-p 〕，∴MN ·AB =21〔q+r-p 〕·p =21〔q·p+r·p -p2〕=21〔a2·cos60°+a2·cos60°-a2〕=0.∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD. 〔2〕解由〔1〕可知=21〔q+r-p 〕∴||2=2=41〔q+r-p 〕2=41［q2+r2+p2+2〔q·r -p·q -r·p〕］=41[a2+a2+a2+2〔22a -22a -22a 〕] =41×2a2=22a .∴||=22a,∴MN 的长为22a. (3)解设向量与的夹角为θ. ∵=21(+)=21(q+r),=-=q-21p, ∴·=21〔q+r 〕·〔q-21p 〕=21〔q2-21q·p+r·q -21r·p〕 =21(a2-21a2·cos60°+a2·cos60°-21a2·cos60°)=21〔a2-42a +22a -42a 〕=22a .又∵||=||=a 23， ∴·=||·||·cos θ=a 23·a 23·cos θ=22a .∴cos θ=32， ∴向量与的夹角的余弦值为32，从而异面直线AN 与CM 夹角的余弦值为32.例3、〔1〕求与向量a=(2,-1,2)一一共线且满足方程a·x=-18的向量x 的坐标；〔2〕A 、B 、C 三点坐标分别为〔2，-1，2〕，〔4，5，-1〕，〔-2，2，3〕，求点P 的坐标使得=21〔-〕；〔3〕a=〔3，5，-4〕，b=〔2，1，8〕，求：①a·b；②a 与b 夹角的余弦值； ③确定λ，μ的值使得λa+μb 与z 轴垂直，且〔λa+μb 〕·〔a+b 〕=53. 解〔1〕∵x 与a 一一共线，故可设x=ka ，由a·x=-18得a·ka=k|a|2=k〔414++〕2=9k ，∴9k=-18，故k=-2. ∴x=-2a=〔-4，2，-4〕.〔2〕设P 〔x ，y ，z 〕，那么=〔x-2，y+1，z-2〕， AB =〔2，6，-3〕，=〔-4，3，1〕，∵AP =21〔AB -〕. ∴〔x-2，y+1，z-2〕=21［〔2，6，-3〕-〔-4，3，1〕］=21〔6，3，-4〕=(3，23，-2)∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+=-2223132z y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0215z y x ∴P 点坐标为(5，21，0).〔3〕①a·b=〔3，5，-4〕·〔2，1，8〕=3×2+5×1-4×8=-21. ②∵|a|=222)4(53-++=52,|b|=222812++=69,∴cos〈a,b 〉=b b a a ⋅=692521⋅-=-2301387.∴a 与b 夹角的余弦值为-2301387.③取z 轴上的单位向量n=〔0，0，1〕，a+b=〔5，6，4〕.依题意()()()⎩⎨⎧=+⋅+=⋅+530b b b a a a a μλμλ即()()()()⎩⎨⎧=⋅+-++=⋅+-++534,6,584,5,2301,0,084,5,23μλμλμλμλμλμλ 故⎩⎨⎧=+=+-531829084μλμλ解得⎪⎩⎪⎨⎧==211μλ. 〔三〕、强化训练：如下列图，正四面体V —ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M. 〔1〕求证：AO 、BO 、CO 两两垂直； 〔2〕求〈DM ,AO 〉.(1)证明设VA =a,VB =b,VC =c,正四面体的棱长为1, 那么VD =31(a+b+c),AO =61(b+c-5a), BO =61(a+c-5b),CO =61(a+b-5c) ∴AO ·BO =361〔b+c-5a 〕·〔a+c-5b 〕=361〔18a·b -9|a|2〕 =361〔18×1×1·cos60°-9〕=0.∴AO ⊥BO ，∴AO⊥BO，同理AO⊥CO，BO⊥CO， ∴AO、BO 、CO 两两垂直.〔2〕解DM =DV +VM =-31〔a+b+c 〕+21c=61(-2a-2b+c).∴|DM |=()22261⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--c b a =21，|AO |=()2561⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+a c b =22，DM ·AO =61〔-2a-2b+c 〕·61〔b+c-5a 〕=41，∴cos〈DM ,AO 〉=222141⋅=22，∵〈DM ,AO 〉∈(0,π),∴〈DM ,AO 〉=45°. 〔四〕、小结：本节主要有空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法那么.一个向量在不同空间的表达方式不一样，本质没有改变.因此运算的方法和运算规律结论没变。

考点50 椭圆1．（市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在某某卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为A．125B．340C．18D．35【答案】B 【解析】如下图，F为月球的球心，月球半径为：12×3476＝1738，依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，｜BF｜＝400＋1738＝2138. 2a＝1838＋2138，a＝1988，a＋c＝2138，c＝2138－1988＝150，椭圆的离心率为：1503198840cea==≈，选B.2．（某某省实验中学等四校2019届高三联合考试理）已知椭圆C ：22221x y a b+=，()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，12MF F ∆的内心为I ，直线MI 交x 轴于点E ，若2MI IE=，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．22B ．12C ．32D ．13【答案】B 【解析】解：12MF F ∆的内心为I ，连接1IF 和2IF ， 可得1IF 为12MF F ∠的平分线，即有11MF MI F EIE=，22MF MI F EIE=，可得12122MF MF MI F E F E IE===，即有1212222MF MF aF EEF c===， 即有12e =， 故选：B ．3．（某某2019届高三高考一模试卷数学理）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为( )A ．32-B ．31-C ．22D ．32【答案】B 【解析】解：设椭圆的两个焦点为1F ,2F ,圆与椭圆交于A ,B ,C ,D 四个不同的点, 设122F F c =,则1DF c =,23DF c =． 椭圆定义,得122||||3a DF DF c c =+=+, 所以23131c e a ===-+, 故选：B ．4．（某某省某某市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．23C ．83D ．32或83【答案】A 【解析】 如图设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M 三点共线,MF QF k k =000022y y x a c x c -∴=++-, 即00002y y c x x a c=++-, 002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A. 5．（某某省某某市2019届高三全真模拟考试数学理）已知1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，则椭圆C 的离心率为_________.【解析】1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，可得2AF 的方程为x c =，1AF 的方程()a y x c b =+，可得2(,)acA c b， 1AF 的中点为(0,)acb ，代入直线bx ay ab +=，可得：222ac b c a ==-，1c e a=<， 可得210e e --=，解得12e =．6．（某某省某某市2018-2019学年高二5月质量检测（期末)数学（理）已知F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，直线AF 与椭圆另一交点为B ，且2AF FB =，则椭圆的离心率为______.【答案】33【解析】设()0,A b -，(),0F c ，作BC y ⊥轴，垂足为C ，如下图所示：则：22AF b c a =+=由2AF FB =得：23AF c ABBC==32BC c ∴=，即：32B x c = 由椭圆的焦半径公式可知：B BF a ex =-232B AF a ac c a ex FBa a ∴===--⋅，整理可得：223a c =213e ∴=，即3e =本题正确结果：337．（某某省某某市2019届高三第三次教学质量检测数学理）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为3和1，球心距离128OO =,截面分别与球1O ，球2O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．25【解析】如图，圆锥面与其内切球1O ，2O 分别相切与B,A ，连接12,O B O A 则1O BAB ，2O A AB ，过1O 作12O D O A 垂直于D ，连接12,O F O E ，EF 交12O O 于点C设圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β 在12Rt O O D 中，2312DO ，22182215O D11221515cos84O O O D 128O O = 218CO O C21EO CFO C11218O C O CO E O F 解得1=2O C 222211213CFO FO C即13cos2CF O C则椭圆的离心率3cos 252cos 5154e8．（某某省某某市师X 大学某某市附属中学2019届高三第四次模拟考试）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>与y 轴正半轴交于点(3M ，离心率为12．直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ．且与椭图E 交于A 、B 两点（点A 在第二象限）． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）若AP PB λ=，当230t <≤时，求λ的取值X 围． 【答案】（1）22143x y +=（2）35λ⎛+∈ ⎝⎦【解析】解析：（1）．由题意，12c e a ==且3b =2a =，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）．因为直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ，所以直线l 的斜率为1t -，设1:1l y x t=-+，将其代入椭圆方程22143x y +=中，消去x 得()22223463120t y t y t +-+-=，当∆>0时，设()11,A x y 、()22,B x y ，则2122634t y y t +=+……①，212231234t y y t -=+……②因为AP PB λ=，所以()()1122,,t x y x t y λ--=-，所以12y y λ=-……③ 联立①②③，消去1y 、2y ，整理得()222124141t λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-．当0t <≤时，()[)2221241412,1t λλ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭-，解351,2λ⎫⎛+∈⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦由()2122261034t y y y t λ+=-=>+且20y <，故1λ>，所以λ⎛∈ ⎝⎦． 9．（某某省威海市2019届高三二模考试数学理）在直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ,短轴的两个端点分别为,A B ，且160AF B ∠=︒，点1)2在C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线:(0)l y kx m k =+>与椭圆C 和圆O 分别相切于P ,Q 两点，当OPQ ∆面积取得最大值时，求直线l 的方程.【答案】(Ⅰ) 2214x y +=.(Ⅱ) y x =【解析】(Ⅰ)由160AF B ∠=︒，可得2a b =，①由椭圆C经过点1)2，得2231144b b+=，② 由①②得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(Ⅱ)由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 整理得()222148440k x kmx m +++-=（*），由直线l 与椭圆相切得，()()222264161140k m m k ∆=--+=，整理得2241m k =+，故方程（*）化为2228160m x kmx k ++=，即2(4)0mx k +=， 解得4kx m-=， 设()11,P x y ，则124414km k x k m--==+，故111y kx m m =+=， 因此41(,)k P m m-． 又直线:(0)l y kx m k =+>与圆O相切，可得||OQ =所以||PQ ==所以1||||2OPQS PQ OQ ∆=⋅= 将2241m k =+式代入上式可得OPQS ∆===21321k k =⋅+3112k k=⋅+， 由0k >得12k k+≥，所以313124OPQ S k k∆=⋅≤+，当且仅当1k =时等号成立，即1k =时OPQ S ∆取得最大值．由22415m k =+=，得5m =±， 所以直线l 的方程为5y x =±．10．（某某省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）如图，已知椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞，()4,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且213213cos OA CA OC OB BC BA 〈〉=-=-，，．（1）求椭圆E 的方程．（2）过椭圆E 右焦点F 的直线，交椭圆E 于11,A B 两点，交直线8x =于点M ，判定直线11,,CA CM CB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．【答案】（1）2211612x y +=；（2）是，理由见详解. 【解析】 （1）由2OC OB BC BA -=-，得2B A C C =，即2O A C C =，所以AOC ∆是等腰三角形， 又4a OA ==，∴点C 的横坐标为2；又213cos OACA 〈〉=，， 设点C 的纵坐标为C y 222132C y =+，解得3C y =±， 应取(2,3)C ，又点C 在椭圆上，∴22222314b +=，解得212b =，∴所求椭圆的方程为2211612x y +=；（2）由题意知椭圆的右焦点为(2,0)F ，(2,3)C ， 由题意可知直线11,,CA CM CB 的斜率存在， 设直线11A B 的方程为(2)y k x =-，代入椭圆2211612x y +=并整理，得2222(34)1616480k x k x k +-+-=；设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线11,,CA CM CB 的斜率分别为123,,k k k ，则有21221634k x x k+=+，2122164834k x x k -=+， 可知M 的坐标为(8,6)M k ；∴()()12121312122323332222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+---- 1212124232142()x x k k x x x x +-=-•=-+-+，又263222182k k k -=•=--； 所以1322k k k +=，即直线11,,CA CM CB 的斜率成等差数列．11．（某某市某某区2019届高三一模数学理）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1，且离心率为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQ 为等边三角形，求直线1l 的方程。

基础达标检测 一、选择题1．到点F(0,4)的距离比它到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x2 B ．y ＝－16x2 C ．x2＝16y D ．x2＝－16y[答案] C[解析] ∵动点M 到点F(0,4)的距离比它到直线y ＝－5的距离小1，∴动点M 到点F(0,4)的距离与它到直线y ＝－4的距离相等．根据抛物线的定义可得点M 的轨迹是以F(0,4)为焦点，以直线y ＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x2＝16y ，故选C.2．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P 满足PM →·PN →＝0，则点P 的轨迹方程为( )A.x216＋y2＝1 B ．x2＋y2＝4 C ．y2－x2＝8 D ．x2＋y2＝8 [答案] B[解析] 设点P 的坐标为(x ，y)，即PM →·PN →＝(－2－x ，－y)·(2－x ，－y)＝－4＋x2＋y2＝0，即得点P 的轨迹为x2＋y2＝4.3．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[答案] A[解析] 直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．4．已知抛物线C ：y2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A 、B 两点，则cos ∠AFB ＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45 [答案] D[解析] 设点A(x1，yy)、B(x2，y2)．由题意得点F(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝4xy ＝2x －4消去y 得x2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，因此点A(1，－2)、B(4,4)，FA →＝(0，－2)，FB →＝(3,4)， cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →||FB →|＝0×3＋－2×5＝－45，选D.5．一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一个定点，点A 是圆周上一动点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后展开纸片，折痕CD 与OA 交于点P ，当点A 运动时，点P 轨迹为( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 [答案] A[解析] ∵折痕所在的直线是AQ 的垂直平分线， ∴|PA|＝|PQ|，又∵|PA|＋|OP|＝r ，∴|PQ|＋|OP|＝r>|OQ|. 由椭圆的定义知点P 的轨迹是椭圆．6．已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(－12，－15)，则E 的方程为( )A.x23－y26＝1B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1D.x25－y24＝1 [答案] B[解析] ∵kAB ＝0＋153＋12＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －3.由于双曲线的焦点为F(3,0)，∴c ＝3，c2＝9. 设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)， 则x2a2－－b2＝1.整理，得(b2－a2)x2＋6a2x －9a2－a2b2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6a2a2－b2＝2×(－12)．∴a2＝－4a2＋4b2，∴5a2＝4b2. 又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5. ∴双曲线E 的方程为x24－y25＝1. 二、填空题7．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________. [答案] 55[解析] 本题考查了椭圆的定义与离心率的求法． 由已知|F1F2|＝2c ，|AF1|＝a －c ，|BF1|＝a ＋c ， 因为|F1F2|2＝|AF1||BF1|，所以(2c)2＝(a －c)(a ＋c)， ∴5c2＝a2，∴e ＝55.8．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C(x ，y)满足AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹方程是________． [答案] x2＋y24＝1[解析] 由题意设A(xA,0)，B(0，yB)，AC →＝(x －xA ，y)，CB →＝(－x ，yB －y)，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －xA ＝－2x ，y ＝－⇒⎩⎨⎧xA ＝3x ，yB ＝32y.由x2A ＋y2B ＝9⇒9x2＋94y2＝9⇒x2＋y24＝1.9．(2018·东北三校联考)已知双曲线方程是x2－y22＝1，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P(2,1)为P1P2的中点，则此直线方程是________． [答案] 4x －y －7＝0[解析] 设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由x21－y212＝1，x22－y222＝1，得k ＝y2－y1x2－x1＝＋y2＋y1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x ＋51＝0，Δ>0，故此直线满足条件． 三、解答题 10.(2018·青岛一中期中)如图，两条过原点O 的直线l1，l2分别与x 轴、y 轴成30°的角，点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动，且线段PQ 的长度为2. (1)求动点M(x1，x2)的轨迹C 的方程；(2)设过定点T(0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围． [解析] (1)由已知得直线l1⊥l2，＝33x ，＝－3x ，∵点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动， ∴y1＝33x1，y2＝－3x2，由|PQ|＝2，得(x21＋y21)＋(x22＋y22)＝4， 即43x21＋4x22＝4⇒x213＋x22＝1，∴动点M(x1，x2)的轨迹C 的方程为x23＋y2＝1. (2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2，将其代入x23＋y2＝1，化简得(1＋3k2)x2＋12kx ＋9＝0， 设A(x3，y3)、B(x4，y4)，∴Δ＝(12k)2－36×(1＋3k2)>0⇒k2>1， 且x3＋x4＝－12k 1＋3k2，x3x4＝91＋3k2，∵∠AOB 为锐角，∴OA →·OB →>0，即x3x4＋y3y4>0⇒x3x4＋(kx3＋2)(kx4＋2)>0， ∴(1＋k2)x3x4＋2k(x3＋x4)＋4>0.将x3＋x4＝－12k 1＋3k2，x3x4＝91＋3k2代入上式，化简得13－3k21＋3k2>0⇒k2<133.由k2>1且k2<133，得k ∈(－393，－1)∪(1，393). 能力强化训练 一、选择题1．平面直角坐示系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线 [答案] A[解析] 设C(x ，y)，则OC →＝(x ，y)，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)， ∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝3x ＋y 10，y2＝3y －x 10.又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．2．△ABC 的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x29－y216＝1 B .x216－y29＝1C.x29－y216＝1(x>3)D.x216－y29＝1(x>4) [答案] C[解析] 如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2， |CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x>3)． 二、填空题3．设P 为双曲线x24－y2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________． [答案] x2－4y2＝1[解析] 设M(x ，y)，P(x1，y1)，则0＋x12＝x ，0＋y12＝y ，∴x1＝2x ，y1＝2y ， 又P(x1，y1)在双曲线上， ∴4－(2y)2＝1，∴x2－4y2＝1.4．(2018·安徽高考)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x2于A 、B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． [答案] a≥1[解析] 本题考查了直角三角形的性质．抛物线的范围以及恒成立问题，不妨设A(a ，a)，B(－a ，a)，C(x0，x20)，则CB →＝(－a －x0，a －x20)，CA →＝(a －x0，a －x20)，∵∠ACB ＝90°.∴CA →·CB →＝(a －x0，a －x20)·(－a －x0，a －x20)＝0. ∴x20－a ＋(a －x20)2＝0，则x20－a≠0.∴(a －x20)(a －x20－1)＝0，∴a －x20－1＝0. ∴x20＝a －1，又x20≥0. ∴a≥1. 三、解答题5．(2018·新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，己知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． [解析] (1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.由题意知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而得y2＋2＝x2＋3. ∴点P 的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设与直线y ＝x 平行且距离为22的直线为l ：x －y ＋c ＝0，由平行线间的距离公式得c ＝±1. ∴l ：x －y ＋1＝0或x －y －1＝0.与方程y2－x2＝1联立得交点坐标为A(0,1)，B(0，－1)． 即点P 的坐标为(0,1)或(0，－1)，代入y2＋2＝r2得r2＝3. ∴圆P 的方程为x2＋(y ＋1)2＝3或x2＋(y －1)2＝3.6．(2018·临川调研)已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点F1，F2在y 轴上，它的一个顶点为A(2，0)，且中心O 到直线AF1的距离为焦距的14，过点M(2,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，点N 在线段PQ 上．(1)求椭圆的标准方程；(2)设|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，求动点N 的轨迹方程．[解析] (1)设椭圆的标准方程是y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．由于椭圆的一个顶点是A(2，0)，故b2＝2.根据题意得，∠AF1O ＝π6，sin ∠AF1O ＝b a ，即a ＝2b ，a2＝8，所以椭圆的标准方程是y28＋x22＝1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x ，y)，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k(x －2)．直线l 的方程与椭圆方程联立消去y 得：(k2＋4)x2－4k2x ＋4k2－8＝0.由Δ＝16k2－4(k2＋4)(4k2－8)>0，得－2<k<2.根据根与系数的关系得x1＋x2＝4k24＋k2，x1x2＝4k2－84＋k2. 又|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，即(2－x1)(x2－x)＝(x －x1)(2－x2)．解得x ＝1，代入直线l 的方程得y ＝－k ，y ∈(－2,2)． 所以动点N 的轨迹方程为x ＝1，y ∈(－2,2)．。

2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．若函数()21=f x x ax x ++在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是 (A)[-1,0] (B)[1,)-+∞ (C)[0,3] (D)[3,)+∞（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是B(A)24 (B)4 (C) 22 (D)2(2006浙江理)【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积。

3．(2005全国2文)抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为４，则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）（A ）２ （B ）３（C ）４ （D ）５4．从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为 （ ）A ．24B ．18C ．12D ．6（2012北京理）5．直线032=+-y x l ：关于x y -=，对称的直线方程是（ ） A ．032=+-y x B ．032=-+x y C ．032=--y x D ．032=--y x 6．不等式14-x ≤x －1的解集是----------------------------------------------------------( )(A ）(－∞,－]1∪[)∞+ 3, (B) [)1,1-∪[)∞+ 3,(C) [－1,3] (D) ( －∞,－3) ∪[)∞+ 1,7．1 ．（2013年高考湖南（文））已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,的矩形,则该正方体的正视图的面积等于______（ ）AB ．1 CD二、填空题8．若b a b a b a -=+==2,1,2，则a 与b的夹角的余弦值为9．已知()x f 是定义在()+∞,0的等调递增函数，()()(),y f x f xy f +=且()12=f ，则不等式()()23≤-+x f x f 的解集为10．某小卖部为了了解冰糕销售量y (箱)与气温x (C ︒)之间的关系，随机统计了某4天卖出的冰糕的箱数与当天气温，并制作了对照表（如左所示）：由表中数据算得线性回归方程a bx y+=ˆ中的2b ≈，预测当气温为25C ︒时，冰糕销量为___________箱．11．四棱锥P-ABCD 的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是D ，其三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD 的表面积为(22aB12．若函数)(x f 满足4)()1(+=+n f n f ，且2)1(=f ，则)100(f =______13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1= ▲ ；14．已知直线12:(1)20,:280l x m y m l mx y +++-=++=，若1l 与2l 相交，则m 的取值范围是_____15．设等比数列{a n }的公比q = 12，前n 项和为S n ，则 S 4a 4= ____▲_______.16．已知集合}{12A x x =-<<，集合}{31B x x =-<≤，则B A = ★ .17．2．9个学生排成前后两排，前排4人，后排5人，若其中A B 、两人必须相邻，则共有______种不同排法18．如图，已知圆O 的弦AB 交半径OC 于点D ．若3=AD ，2=BD ，且D 为OC 的中点，则=CD ．19．方程x x 28lg -=的根)1,(+∈k k x ，k ∈Z ，则k = ．20．若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则()()3πsin 5πsin 2θθ-⋅-= ▲ .21．函数2()21f x kx kx =++在区间[3,2]-上的最大值为4，则实数k 的值为_ ▲____. 22．下列计算正确的．．．是 ▲ .（把你认为正确的序号全部写上） ①1221[(2)]2--=- ②822log (log 16)3=③3sin 6002= ④0AB BD AC CD +--=23．已知点()()4,2,6,4-B A ，则直线A B 的方程为24．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为___▲___.25．已知函数22sin π,10,()e ,0,x x x f x x -⎧-⎪=⎨>⎪⎩≤≤则满足0()1f x =的实数0x = ．26． 函数)54ln(2-+=x x y 的单调递增区间是 ▲ ．27． 已知3log (1),()(2) (1),x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩则(3)f -= 1 28． 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋n －1，则a 1＋a 3＝__________.7 29．已知i 为虚数单位，计算2(12i)(1i)+-= ▲ ．30．一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为 ▲ ．31． 某校举行2011年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如右上茎叶统计图所示，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数 据的平均值为 ▲ .32．设γβα,,是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题： ①若αββα//,,l l 则⊥⊥； ②若βαβα⊥⊥则,//,l l ； ③若l 上有两点到α的距离相等，则l //α； ④若βγγαβα⊥⊥则,//,． 其中正确命题的序号是___▲___. 33．在二项式8(ax 的展开式中，若含2x 项的系数为70，则实数a =_____________.三、解答题34．已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3c 1，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. (1) 求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量；(2) 若向量m ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－4，求A 4m .35．如图所示，半圆O 的直径为2，A 为直线延长线上的一点，OA=2,B 为半圆上的任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC 。

专题11 极值点与零点一、选择题1. 【2018江西省南昌检测】函数在内存在极值点，则（）A． B．C．或 D．或【答案】A2．【2018安徽省定远模拟】设函数，若x=1是函数是极大值点，则函数的极小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∵是函数的极大值点，∴，解得，∴，∴当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；∴当时，有极小值，且极小值为．故选A．3．【2018广东东莞考前冲刺】若是函数的极值点，则（）A．有极大值 B．有极小值C．有极大值0 D．有极小值0【答案】A4．【2019重庆市中山外国语学校开学考试】已知函数，若 x＝2 是函数 f(x)的唯一的一个极值点，则实数 k的取值范围为( )A． (－∞，e] B． [0，e] C． (－∞，e) D． [0，e)【答案】A【解析】函数，∴函数f（x）的定义域是（0，+∞）∴，∵x=2是函数f（x）的唯一一个极值点∴x=2是导函数f′（x）=0的唯一根．∴e x-kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=e x-kxg′（x）=e x-k①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解②k＞0时，g′（x）=0有解为：x=lnk0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减lnk＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增∴g（x）的最小值为g（lnk）=k-klnk∴k-klnk＞0∴k＜e，由y=e x和y=ex图象，它们切于（1，e），综上所述，k≤e．故选：A．5．【2018福建省厦门高考适应性考试】已知函数，则（）A．有个零点 B．在上为减函数C．的图象关于点对称 D．有个极值点【答案】B【解析】它们在上有且仅有一个交点，故在上有且仅有一个实数根，且在其左右两侧，导数的符号发生了变化，故有一个极值点，所以D错.综上，选B.6．【2018江西省南昌模拟】设，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A7．【2018河南省巩义市模拟】若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数有两个极值点，所以有两个不同的正零点，因为，当时，在恒成立，则在上单调递增，不可能有两个正根（舍），当时，令，得，令，得，即在上单调递增，在上单调递减，若有两个不同的正根，则，解得.8．【2018河南省安阳核心押题卷】函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D9．【2018河南省最后一次模拟】若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D10．【2018湖北省华中师范大学第一附属中学5月押题】已知函数（其中无理数），关于的方程有四个不等的实根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得函数的定义域为，且.令得或，则函数在，上单调递增；令得，则函数在上单调递减.∵∴函数的图象如图所示：令，则的增减性与相同，.∵关于的方程有四个不等的实根∴有四个不等的实根，即在和上分别有根.令，则.∴，即∴，故选C.11．【2018陕西省咸阳5月信息专递】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B12．【2018江西师范大学附属中学三模】已知函数有两个零点，且，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数,所以,当a≤0时，所以f(x)在（0，+∞）上单调递增，所以不可能有两个零点.当a>0时，时，，函数f(x)单调递增，时，，函数f(x)单调递减.所以因为函数f(x)有两个零点，所以又又令则所以函数g(x)在上为减函数，=0，又，又，∴，即.故答案为：B13．【2018滨海新区七所重点学校联考】已知函数()()210{21(0)xxxf x ex x x+≥=++<，若函数()()1y f f x a=--有三个零点，则实数a的取值范围是（）A ． (]11123e ⎛⎫+⋃ ⎪⎝⎭，， B ． (]1111233e e ⎛⎫⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，， C ． [)1111233e e ⎛⎫⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，， D ． (]21123e ⎛⎫+⋃ ⎪⎝⎭，，【答案】B 【解析】()()10f f x a --=，即()()1f f x a -=，结合函数解析式，可以求得方程()1f x =的根为2x =-或0x =，从而得到()2f x a -=-和()0f x a -=一共有三个根，即()(),2f x a f x a ==-共有三个根，当0x ≥时， ()1x xf x e=+， ()21'x x xx e xe x f x e e --==，从而可以确定函数()f x 在(),1-∞-上是减函数，在()1,1-上是增函数，在()1,+∞上是减函数，且()()110,11f f e-==+，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于20{ 111a a e -<<<+或20{ 11a a e -==+或20{ 01a a -=<≤或021{ 11a a e<-≤>+或121{ 11a e a e-=+>+，解得111a e <<+或23a <≤或13a e =+，所以所求a 的范围是(]111,12,33e e ⎛⎫⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，故选B.二、填空题14．【2018】黑龙江仿真模拟十一】已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________． 【答案】【解析】15．【2018江苏盐城仿真模拟】若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】，，.①当时，恒成立，即在R上递增，若时，则.若时，则.故函数在递增，在递减，故在处取得极小值，符合题意；③当时，使得，即，但当时，即，在递减，故，即在递减，不符合题意.综上所述：m的范围是.故答案为：.16．【2018华大新高考联盟4月教学质量检测】若函数有两个极值点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】17．【2018苏锡常镇四市调研2】已知函数若存在实数，满足，则的最大值是____．【答案】.【解析】详解: 作出f（x）的函数图象如图所示：18．【2018天津市实验中学期中】对于函数()(),f x g x ，设(){}(){}0,0x f x x g xαβ∈=∈=，若存在,αβ，使得1αβ-≤，则称()(),f x g x 互为“零点相邻函数”.若函数()12x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是__________.【解析】()12x f x e x -=+-为单调递增函数, ()10f = ,所以()g x 零点在[0,2]当02a ≤时()()700,203,3g g a ≤≥⇒≤≤ 舍去; 当22a ≥时()()700,203,3g g a ≥≤⇒≥≥ 舍去; 当022a ≤≤时()()0,2000322a g g g a ⎛⎫≤≥≥⇒≥≥ ⎪⎝⎭或 综上实数a 的取值范围是[]2,3三、解答题19. 【2018广东汕头5月冲刺】已知函数.（1）讨论函数在上的单调性；（2）令函数，是自然对数的底数，若函数有且只有一个零点，判断与的大小，并说明理由.【解析】2°当时，令，，解得,当时，函数在上单调递减，在上单调递增；3°当时，令，解得,当时，函数在上单调递减.（2）函数,则,则，所以在上单调增,当，所以所以在上有唯一零点,当，所以为的最小值由已知函数有且只有一个零点，则所以则则，得,令，所以则，所以,所以在单调递减，因为,所以在上有一个零点，在无零点,所以 .20．【2018山西太原三模】已知函数的最大值为. （1）若关于的方程的两个实数根为，求证：；（2）当时，证明函数在函数的最小零点处取得极小值. 【解析】（1），由，得；由，得；所以，的增区间为，减区间为，所以，不妨设，∴，∴，∴，∴，∴，设，则，所以，在上单调递增，，则，因，故，所以；（2）由（1）可知，在区间单调递增，又时，，易知，在递增，，∴，且时，；时，，当时，，于是时，，所以，若证明，则证明，记，则，∵，∴，∴在内单调递增，∴，∵，∴在内单调递增，∴，于是时，. 所以在递减.当时，相应的.所以在递增.故是的极小值点.21．【2018福建百校临考冲刺】已知函数（1）讨论的单调性；（2）设是的两个零点，证明：．（2）证明：由得，设，则．由，得；由，得．故的最小值．当时，，当时，，不妨设，则，等价于，且在上单调递增，要证：，只需证，，只需证，即，即证；设，则，令，则，，在上单调递减，即在上单调递减，，在上单调递增，，从而得证．22．【2018江西赣州5月模拟】已知函数（）. （1）若，证明：函数有且只有一个零点；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.（2）解：由（1）知：当时，函数在上最多有一个零点，由（），得，令分离参数法得记的图像如图所示，故当，当，所以又，，故实数的取值范围是.。