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复变函数 复数及其几何表示

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复变函数第一章

复变函数第一章

z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或

复数与复变函数(修定)

复数与复变函数(修定)

05
复变函数的积分公式与全 纯函数
柯西积分公式与解析函数的性质
柯西积分公式
对于复平面上的封闭曲线C，如果f(z)在C的 内部是解析的，那么f(z)在C上的积分可以 用f(z)在C上的四个点处的函数值来表示。
解析函数的性质
如果f(z)是解析函数，那么它在复平面上处 处可导，且满足Cauchy-Riemann方程。
02
03
电气工程
在电气工程中，交流电的电压、电流 等参数通常用复数表示，方便进行计 算和分析。
在数学其他分支中的应用
01
代数
复数可以作为代数方程的根进行 求解，扩展了代数方程的解的范 围。
02
03
几何
分析学
复数域可以视为二维平面上的点 集，为几何学的研究提供了新的 视角和方法。
复变函数是分析学的一个重要分 支，为实数域上的函数分析提供 了更广泛的应用和理论基础。
复数是形如 a + bi 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是 虚数单位，满足 i^2 = -1。
几何定义
复数可以视为平面上的点或向量，实部是 x 坐标，虚部是 y 坐标。
复数的几何表示
1 2
平面坐标系
每个复数 z = a + bi 可以表示为平面上的一个点 (a, b)。
极坐标系
每个复数 z = r(cosθ + i sinθ) 可以表示为从原 点出发的一个向量，其模长为 r，幅角为 θ。
THANKS
感础 • 复变函数概念 • 复变函数的导数与积分 • 复变函数的级数与幂级数展开 • 复变函数的积分公式与全纯函数 • 复变函数的应用
01
复数基础
复数的定义
形式定义

复变函数(全)解析

复变函数(全)解析

1
2
1
2
1
2
乘法
z z (x x y y ) i(x y x y ),
12
12
12
21
12
商
z 1
xx 12
yy 12
i
xy 21
xy 12
z
x2 y2
x2 y2
2
2
2
2
2
第一节 复数及其代数运算
(2)性质
z z z z , zz zz;
1
2
2
1
12
21
z (z z ) (z z ) z ,z (z z ) (z z )z
1
2
3
1
2
3 1 23
12 3
z (z z ) z z z z
12
3
12
13
第二节 复数的几何表示
1.复平面 （ 1 ） 定 义 复 数 z x iy 与 有 序 实 数
(x, y) 一一对应，对于平面上给定的直角 坐标系，复数的全体与该平面上的点的全
体成一一对应关系，从而复数 z x iy 可
对复平面内任一点z ,用一条直线将N 与z 连结起来,该直线与球面交于异于N 的 唯一点P ,这样除了N 之外,复平面内点与 球面上的点存在一一对应的关系.这样的 球面称为复球面.
第三节 复数的乘幂与方根
1. 乘积与商
设有两个复数
（1）乘积
z1
r1 (cos 1
sin1 )
r e i1 1
,
z2
r2 (cos2
z2 r2
第二节 复数的几何表示
2.幂与根 (1) 幂 n个相同复数z 的乘积称为z 的n次幂,记作zn ,即

复变函数课件1-2复数的几何表示共26页文档

复变函数课件1-2复数的几何表示共26页文档
为 2的点的 . 轨迹 即表示 i,中 半心 径 2的 为 为 .圆 设 zxiy, x(y1)i2,
x2(y1)22, 圆方 x 2 (y程 1 )24 .
16
(2)z2iz2 表示所有 2i和 与 2距 点离相等的. 点的 故方程表示连 的接 曲2i点 线 和2就 的是 线 段的垂直 . 平 设 z分 x线 iy, x y 2 ii x y 2 i,化简后得 yx. (3 )Im i z)( 4 设 zxiy, i z x ( 1 y )i, Ii m z ) 1 ( y 4 , 所求曲线方y程为 3.
特 ,当 殊 z 0 时 ,地 z 0 , 辐角不确定.
4
辐角主值的定义:
在 z( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0 称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z . rg
z
0辐角的主值 arctan
y x
,
x0,
arg
z

13
例6 将通过 z1两 x1i点 y1与 z2x2iy2的直 线用复数形 表式 .示的方程来 解 通过 (x1两 ,y1)与 点 (x2,y2)的直线的
xy xy11tt((xy22yx11)) 参t 数 (, ), 所以它的复数形式的参数方程为 z z 1 t( z 2 z 1 )参t 数 (, ),
z
5i
4e 6
.
(2)zsi nicos
55
sin5cos25
cos
3 10
,
co5ssin25

sin
3 10
,
故三角表示式为 zco3sisi3 n,
10 Байду номын сангаас0

复变函数论

复变函数论

arg
z

arctg
3 1


3



2 3

，
Argz arg z 2k 2 2k ,
3
(k 0,1,2,3)
z

2(cos(
2

)

sin(
2

))

i(
2e
2 3
)
3
3
二、复数的运算：
1．相等： x1 iy1 x2 iy2 x1 x2, y1 y2 2.四则运算：运算规律
复数形式的方程表示时更简明。
2
2i
实数形式复数形式
z xiy
例 6: 连接 z1及 z2两点的线段的参数方程为：
z z1 t(z2 z1) (o t 1)
过 z1及z2两点直线的参数方程为：
z z1 t(z2 z1) ( t )
例 7: 求下列方程所表示的曲线
2
2
当 x 0, y 0 时，
x 0, y 0, arg z 0

x

0,
y

0, arg
z


当 x 0 时，
一象限 二象限
arg z( (0, )) arctan y ( (0, ))
2
x
2
arg
z (

(
,
))

arctan
y
(
(

,0))
(x 2)2 y2 9 .
2）几何上，该方程表示到复平面上点 2 和点 4
距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接

复变函数课件

复变函数课件
第一章 复数与复平面
1. 复数域
目录
2. 复平面
3.复球面及无穷大
§1 复数及其几何表示
1、复数域
(1)复数的概念 形如 z x iy 的数称为复数 复数
或
z x yi
如果两个复数z1和z2的实部和虚部分别相等，那么 称这两个复数为相等。
x及y分别称为z的实部和虚部，分别记作 y Im z x Re z 及
o
r

1

z1

r1
2


r2
z2
x
结论：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
即先把 z1 按逆时针方向 旋转一个角 2 , 再把它的模扩大到 r2 倍, 就得到z1 z2 .
由除法定义，我们还有
z1 | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 ) z2 | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | (cos 2 Argz2 sin 2 Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | z1 | z1 | Arg z1 Argz Argz , 1 2 z z2 | z2 | 2

复变函数-第一章-复数与复变函数


y
28
1 i
2
q

4
w0
r 2
q 2k
n i sin
w2
q 2k
n )
o
w3
x
wk n r (cos
16
例 2. 求
4
-1
解 : 1 cos i sin
4
1 cos
2k
4
i sin
2k
4
, (k 0,1,2,3).
z1

z2
z0 内点
P
D-区域
(6) 连通 D中任意两点可用一条全在D
中的曲线连接起来。
21
外点
z1

z2
z0 内点
P
(7) 区域
连通的开集.
D-区域
区域D与它的边界一起构成闭区域, 或闭域. D
22
(8) 有界区域 如果存在正数M，使得对于一切D中的点z， z M, 有 则称 D为有界区域,否则称为无界区域。 例如
设 w e , 由w z , 有 ne in re iq ,
i n
则 n r , n q 2k
(k为整数 ).
即 w = n z = n re
r (cos
n
i
θ + 2 kπ n
，
q 2k
n )
q 2k
n
i sin
(k为整数).
14
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
z. 共轭 x iy为x iy的共轭复数，记为
注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同； (2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数； (3)实部为0，虚部不为0，为纯虚数。

复变函数复数及其几何表示

从绞架走到橡树，并记住走了多少步；到了橡 树向右转个直角再走这么多步，在这里打个桩。
回到绞架，朝松树走，同时记住所走的步数， 到了松树向左拐个直角再走这么多步，在这里 也打个桩。 在两个桩中间挖，就可以找到宝藏！
问题是绞架年代久远烂掉了，还能找到宝藏吗？
第一根桩位置 [+1]i (1)
第二根桩位置 [ 1](i) 1
则| z1z2 || z1 || z2 |，
集合相等
Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2
对除法，有
z1 z1 z2 z2
(z2 0),
Arg( z1 z2
)

Argz1

Argz2
乘法的几何意义
将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，
再将其伸缩到|z2|倍。 y
(z)
a bi
1
-1 {[1 ]i (1) [1 ](i) 1} / 2 i
三点a , b, c所决定的圆上任意点z应满足和
相等或互补
c
arg z a arg c a 0或 a
zb
cb
z
即：arg z a c a 0或
例4 设z1, z2为两复数, 证明 1) z1 z2 z1 z2 2) z1 z2 z1 z2
四、复数的几何意义 z x iy 复平面上的点P( x，y)
易见，z x iy 一对实数( x, y), 在平面上取定直角坐标系， 点P 一对实数( x, y) z x iy 平面上的点P( x, y)
复数的模： | z | x2 y2 0
复数相等
z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2

复变函数


§ 1.1 复数及其运算
2
复数的几何表示 复数的几何表示对于了解复变函数理论中的 一些概念，例如多值函数、解析延拓等，很有帮助，其中一个 重要应用时——保角变换。 复数z=x+iy可以用平面上的点表示。在平上作一个直角坐标系， 取横轴OX为实轴，单位为1，纵轴OY为虚轴，单位为i。复数 全体与平面上的点都是一一对应的关系，这样的平面称为复平 面。 若引入极坐标变量（ρ，φ ）则 x= ρ cosφ y= ρsinφ 于是 z= ρcosφ +i ρsinφ （1） z=ρρeiφ （2） （1）、（2）式分别称为复数z的三角表示式和指数表示式。式中ρ 为复数z的模或绝对值。记作 ∣z∣=ρ=√(x² 实数（x,y）定义 为复数，通常表示为z=x+iy。式中i满足i2=1， 称为虚单位；而x和y都是实数，分别称为复 数z的实部和虚部，常记为： x=Rez;y=Im z。 虚部为零的复数就可以看做是实数，即 x+i0=x.实部为零的复数称为纯虚数。 两个复数相等指的是实部虚部分别相等， 即x1+iy1=x2+iy2必须且只需x1=x2;y1=y2. 复数x+iy和x-iy互称为共轭复数。
• §1.2 复变函数 • 1. 复变函数的概念 设E为复数平面的 一点集（复数的集合），若按一定的规 律，使E内每一个复数z都有一个或者多 个的w=u+iv(u,v为实数)与之对应，则称 w为z的复变函数，定义域为E，记作： w=f(z)，
• • • • • • • • • • • •
而φ为向量oz与x轴的夹角，称为复数z的辅角，记作 Arg z=φ; tanφ =y/x 任一复数z不等于零都有无穷多个辅角。以arg z表示其中在2ππ 范围内 变化的一个特定值，称之为辅角的主值，通常取 -π <arg z≦ π 于是 Arg z=arg z+2kπ(k=0; ±1; ±2…) 3 复数的运算法则 (1)两复数z1=x1+iy1及z2=x2+iy2相加(减),可将他们的实部与实部，虚部 与虚部分别相加（减），即 z1±z2=（x1±x2）+i（y1±y2） (2)两复数z1=x1+iy1及z2=x2+iy2相乘可按多项式乘法法则进行，只需将 结果中的i2换成-1，即 z1.z2=（x1x2-y1y2）+i（x1y2+x2y1） (3)两复数z1=x1+iy1及z2=x2+iy2相除，先写成分式形式，然后分子分母 同乘以分母的共轭复数，化简级 z1÷z2= （x1x2＋y1y2）/(x22+y22)+i(y1x2－x1y2)/(x22+y22)

复变函数(全)

0 0 0
0
0
0
0
第二章
第一节 解析函数的概念
1.复变函数的导数与微分 (1) 导数的定义 设函数 w f ( z ) 定义于区域 D , z 为D 中的一点,点 z z 不超出 D 的范围,如 f ( z z ) f ( z ) 果极限 lim 存在, 那么就说 f ( z ) z z 的导数,记作 在 z 可导.这个极限值就称 f ( z ) 在 dw f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim . dz z
第一节 复数及其代数运算
1 复数的概念 对 任 意 二 实 数 x, y , 称 z x iy 或
z x yi 为复数 , 其中x, y 分别称为 z 的实部 和虚部,记作 x Re( z ), y Im( z ) . 当 x 0, y 0 时 , z iy 称 为 纯 虚 数 ; 当 y 0 时, x x i 0 可看作实数x .
如果存在z0 的一个邻域,该邻域内的所有点
G 的内点.如果 G 内的 z0 为 都属于G ,那么称 G 为开集. 每个点都是G 的内点,那么称
第四节 区
域
(3) 区域 D 满足下列 平面点集D 称为一个区域, 如果 两个条件: 1)D 是一个开集;
2)D 是连通的, 即D 中任意两点都可以
用完全属于D 的折线连接起来.
第一节 解析函数的概念
(3)求导法则:
f ( z) g ( z ) f ( z ) f ( z ) g ( z ) ] 5) [ g ( z) g 2 ( z)
6) { f [ g ( z )]} f ( w) g ( z ) , 其中 w g ( z ) 7)
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《复变函数》
N
A
zห้องสมุดไป่ตู้
O
A
－理学院数学系－
《复变函数》 主讲教师：赵景霞
E-mail:
课程基本介绍
研究对象 复变函数（自变量为复数的函数） 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分。 主要内容 复数与复变函数、解析函数、
复变函数的积分、级数、留数等。
学习方法
复变函数中许多概念、理论、和方法是 实变函数在复数域内的推广和发展，它 们之间有许多相似之处。但又有不同之 处，在学习中要善于比较、区别、特别 要注意复数域上特有的那些性质与结果。
复变函数的发展过程
复数是十六世纪人们在解代数方程时引 进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩 大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八 世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得 不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾， 所以，在历史上长时期人们把复数看作不能 接受的“虚数”。
复变函数的发展过程
直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783) 与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的 几何意义和物理意义，澄清了复数的概念， 并且应用复数和复变函数研究了流体力学等 方面的一些问题，复数才被人们广泛承认接 受，复变函数论才能顺利建立和发展。
复变函数的发展过程
复变函数论的全面发展是在十九世纪， 就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数 学那样，复变函数这个新的分支统治了十九 世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论 是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的 数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和 谐的理论之一。
复变函数的发展过程
二十世纪以来，复变函数已被广泛地应 用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面， 与数学中其它分支的联系也日益密切。
哈
尔 滨
复 数 的 幅 角 (A rg u m en t)： 向 量 与 正 实 轴 之 间
工
程
大 学
的 夹 角 记 作 A rg z(o p ,x )y
(z) P(x,y)
y
复 变 函 数
tan(Argz) y x
z r
z=0时，幅角无意义。 o
xx
幅角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，
1)(z1z2)z1z2,(z1z2)z1z2,
( z1 z2
)
z1 z2
,
z2
0
数 2) z z
3 )z z R e ( z ) 2 I m ( z ) 2 x 2 y 2 | z |2
4 )z z 2 R e ( z ) , z z 2 i I m ( z )
哈 例 1 设z155i,z234i,求zz12,(zz12)
尔
滨 工
易 见 ， z x i y 一 对 实 数 ( x , y ) ,
程
大 学
在平面上取定直角坐标系，
复 点P一对实数(x,y)
变 函
zxiy平面上的点P(x,y)
数
所 以 复 数 z x iy 可 用 平 面 上 坐 标 为 (x ， y )
的 点 P 表 示 .
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴； 复平面一般称为z-平面，w-平面等。
哈 可以用复数的模与辐角来表示非零复数z
尔
滨 工 程 大 学
由xy
rcos rsin
得
z r ( c o s is in )
复 变
2. 指数表示法
函
数
再 由 E u le r公 式 :ei c o s isin可 得
非 零 复 数 z的 指 数 表 示 式 : z rei y
程
大 学
一般, 任意两个复数不能比较大小。
复 变
二、 四则运算
函
数 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
• z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
• z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
哈
z1 x1 iy1
尔 滨
满 足 0 的 0 称 为 幅 角 A r g z 的 主 值
哈
尔 滨
记 作 0 a r g z .
工 程 大 学
复 变 函 数
argz
arctan
2，
y，x0, yR（z在一、四象限） x
x0, y0（z在虚轴）
arctan
y x
，x
0,
y0（z在二、三象限）
arctany
2
x2
1. 三角表示法
z2 x2 iy2
工
程 大 学
复
x1x2y1y2ix2y1x1y2
x22y22
变
函 数
(z2 0)
复数的运算满足加法交换律、结合律；
乘法交换律、结合律和分配律。
三、 共轭复数
哈 尔
定义
若zx + iy , 称zx iy 为z 的共轭复数.
滨 工
程 • 共轭复数的性质
大
(conjugate)
学
复 变 函
第一章 复数及复平面
哈
尔 滨
§1.1 复数及其几何表示
工
程
大 学
学习要点
复
变 函
掌握复数的意义与复数的表示方法
数
掌握复数的代数运算
熟练掌握复数的方根
一、 复数的概念
哈
尔
滨 工
对 任 意 两 实 数 x 、 y, 称 z x iy 或 z x y i
程 大
为 复 数 。 其 中 i2 1 , i称 为 虚 单 位 。
学
复
变 函
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y .
数
(real part) (imaginary part)
复 数 的 模 ： |z|x 2 y 2 0
复数相等 z1z2 x1x2,y1y2,
哈 尔
其 中 z1x1iy1,z2x2iy2
滨
工
z 0 R e ( z ) I m ( z ) 0
尔 滨
及它们的实部, 虚部.
工 程 大 学
例2 求
1i 4 1i
复
变 函
例 3 已 知 x i y ( 2 x 1 ) y 2 i , 求 z x i y .
数
例4 设 z1,z2为 两 复 数 ,证 明
1) z1z2z1z2 2) z1z2z1z2
四、复数的几何意义
哈 z x i y 复 平 面 上 的 点 P ( x ， y )
因 为 z x i y 点 p ( x ， y ) o p { x , y }
哈
尔 滨
所 以 可 用 向 量 o p 表 示 z x i y 。
工
程 我们可以得到两个重要的不等式
大
学
复
z2z1z2z1
z2z1z2z1
变 函
y
(z)
y
(z)
数
z1
o
z2
x
z1
o
z2
x
复 数 的 模 ： 向 量 的 长 度 , | z | | o p | r x 2 y 2 ,