一个欧拉定理的推广及其应用

欧拉公式及其应用
欧拉公式是数学中的一条重要定理，被誉为数学中的“五角星
公式”。

它由瑞士数学家欧拉于1736年发现，形式为V-E+F=2。

其中，V表示多面体的顶点数，E表示多面体的边数，F表示多面
体的面数。

欧拉公式一般只用于欧几里得空间中的凸多面体，然而，它的
应用却不仅限于此。

在计算机图形学中，欧拉公式已经成为了一
个广泛使用的工具，可以用于计算各种复杂的图形的拓扑结构信息。

此外，在数学、力学、物理学中，欧拉公式也有着广泛的应用。

在数学中，它被广泛应用于代数拓扑、流形拓扑等领域，是许多
数学问题的重要手段。

在力学中，欧拉公式被用来证明固体力学
基本方程组的平衡条件；在物理学中，则被用于推导色散关系、
介质常数等常见物理量。

在计算机科学领域，欧拉公式也是一个非常有用的工具。

例如，在计算机图形学中，我们常常需要将一幅图像转换成由多边形拼
接而成的图形，而欧拉公式就是用来计算这些多边形的顶点、边
和面的个数的。

此外，在计算机网络领域中，欧拉公式也被广泛运用于网络拓扑的计算和分析。

总之，欧拉公式作为数学中的一条重要定理，不仅仅在几何学中有着广泛的应用，还在代数拓扑、流形拓扑、计算机图形学、力学、物理学等领域中发挥着不可替代的作用。

研究欧拉公式及其应用，不仅对求解实际问题有着重要的帮助作用，还对我们深入理解数学的本质和发展历程有着重要的启示作用。

平面图形的欧拉公式及其应用平面图形是我们日常生活中经常接触的，比如说纸片、路牌和地图等等。

欧拉公式是平面图形论中一个非常重要的定理，被誉为平面图形学的基石。

本文将简要介绍欧拉公式的定义及其应用。

一、欧拉公式的定义欧拉公式是平面图形中著名的数学定理，在平面图形中连通的多边形、边和顶点之间有着一个特殊的关系：设 $V$ 为图形的顶点数，$E$ 为边数，$F$ 为面数，则有：$$ V-E+F = 2 $$上式被称为欧拉公式，它将顶点、边和面三个要素联系起来，形成了一个完整而有机的系统。

二、欧拉公式的推导欧拉公式最初由瑞士数学家欧拉在18世纪发现。

它的推导可以通过数学归纳法得到。

对于任意一个简单的连通图，不需破坏它的连通性，可以连续剪掉边界上的一些三角形，最终得到一个由顶点、边和面构成的实体。

由于初次操作时，图形的 $V-E+F = 2$ 成立；每次移除一个三角形时，均使得 $V$ 和 $E$ 减少 $1$，但不改变 $F$，因此在这个过程中，$V-E+F$ 的值始终为 $2$。

当我们把它进行足够多次操作，在这个过程中，图形中的边界将会被全部消失，形成一个十分简单的连通图形。

在该过程中，$V-E+F$ 的值始终为 $2$，因此结论得证。

三、欧拉公式的应用欧拉公式不仅仅是数学定理，还有着广泛的应用，以下是关于欧拉公式的几个应用案例：1. 计算交叉点数对于任意一个由线段组成的平面图形，如果要求它所有线段的交叉点数 $I$，那么可以通过计算其欧拉示性数来求得。

首先，我们需要确定图形中面的数量 $F$，可以通过在图形中插入一条水平的直线，将图形划分成了若干个面。

然后，我们计算图形中有多少条边 $E$，每条边分别与多少条其他边相交，累加来得到被重复计算的交叉点数量 $J$，最后运用欧拉公式求解：$$ I = E - 2F + 2 - J $$2. 寻找多边形的边界在图形中，如果要寻找一个由多边形组成的边界，可以利用欧拉公式求解。

欧拉定理及其在数论中的应用欧拉定理（Euler's theorem），也称为费马-欧拉定理（Fermat-Euler theorem）是数论中非常重要的定理之一。

该定理描述了整数的幂与模运算之间的关系，具体地说，它说明了如果正整数a与正整数n互质，那么a的欧拉函数值与n的模运算结果余数的幂是相等的。

欧拉函数φ(n)指的是小于或等于n且与n互质的正整数的个数。

欧拉定理的数学表达式如下：如果a与n互质，那么a^φ(n)与1对模n同余。

其中，^表示乘方运算，φ(n)表示欧拉函数的值。

欧拉定理具有广泛的应用，特别在密码学和安全领域中发挥重要作用。

例如，在RSA（一种非对称加密算法）中，欧拉定理用于实现密钥的生成和加密过程。

此外，它还在数学证明和计算机科学中有诸多应用。

让我们进一步深入探讨欧拉定理在数论中的应用。

首先，欧拉定理提供了一种有效的方法来计算整数的模逆元素。

模逆元素是指在模意义下乘法的逆元素。

根据欧拉定理，如果a与n互质，那么a的欧拉函数值与n的模运算结果余数的幂是相等的。

因此，我们可以使用欧拉定理来计算整数a模n的逆元素。

具体地说，如果a与n互质，那么a^φ(n)与1对模n同余；所以, a^(φ(n)-1)与a的乘法逆元素对模n同余。

这种方法在RSA算法以及其他需要计算模逆元素的情况下非常有用。

其次，欧拉定理在素数测试中也有重要的应用。

根据费马定理（Fermat's theorem），如果p是一个素数，那么对于任意整数a，a^(p-1)与1对模p同余。

然而，对于合数n，a^(n-1)与1对模n同余的性质不一定成立。

欧拉定理的推广版本，即欧拉-费马定理（Euler-Fermat theorem），描述了当a和n互质时，a的欧拉函数值与n的模运算结果余数的幂是相等的。

这一定理可以有效用于检验一个数是否为素数，从而在素数测试中起到重要的作用。

此外，欧拉定理在分解整数的质因数和求解同余方程中也有广泛应用。

欧拉公式是数学中的一项重要定理，由瑞士数学家欧拉在18世纪中期提出。

它描述了数学中三个重要的数学常数：e（自然对数的底数）、i（虚数单位）和π（圆周率）之间的关系。

欧拉公式的形式是e^iπ + 1 = 0。

这个看似简单的公式实际上蕴含着极其深刻的数学意义，并被广泛应用于许多不同的领域。

首先，欧拉公式与复数和三角函数之间的关系密切相关。

复数是由实数与虚数合成的，其中虚数单位i定义为根号下-1。

通过欧拉公式，我们可以将复数表示为e的幂次函数形式，例如a+bi = re^(iθ)，其中a、b、r和θ分别是实数，a+bi是复数的一种常见表示形式。

这种表示方式可以简化复数的运算，提供了一个更方便的工具，使我们能够更加轻松地研究和解决数学问题。

其次，欧拉公式在几何学中也有广泛的应用。

欧拉公式表明，反射特性可通过欧拉公式中的矩阵表示来描述。

此外，欧拉公式还可以用来分析二维和三维空间中的旋转和变换。

通过欧拉公式，我们可以更直观地理解和研究空间中的变换过程，从而有助于解决一些几何学问题。

欧拉公式还与微积分和级数展开等数学工具密切相关。

通过欧拉公式的展开式，我们可以推导出许多重要的级数展开，如欧拉级数。

欧拉级数是一种以欧拉公式中的e为底数的级数展开，可以表示为e^(ix) = cos(x) + i * sin(x)。

这个级数展开在解决微分方程、求和问题、傅里叶分析等数学领域中发挥着重要作用。

最后，欧拉公式还在物理学中发挥着不可忽视的作用。

例如，欧拉公式在量子力学中的应用被广泛研究和应用。

量子力学是研究微观粒子行为的物理学分支，其中复数和虚数是不可或缺的元素。

欧拉公式提供了一种数学工具，使得我们能够更好地理解和描述量子力学中的各种现象和物理过程。

总之，欧拉公式是数学中的一项重要定理，它将三个重要的数学常数e、i和π联系在一起，为我们提供了一种便利的数学工具。

欧拉公式在复数、几何学、微积分和物理学等不同领域中都有广泛的应用，帮助我们更好地理解和解决问题。

关于欧拉定理问题及其应用摘要：从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。

关键词：欧拉定理，数学思想方法，应用。

在初等数论中，关于欧拉定理问题的理解、应用以及体现出的数学思想方法是理解数学中其他知识的基础，但目前各种教材对这类问题的提出和总结的不够，尤其对它所体现的数学思想方法。

为了加深对欧拉定理的有关理解，本文从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。

一、欧拉定理和其推论的证明（一）欧拉定理的证明及其体现的数学思想方法1.定理(Euler):设n是大于1的整数，（a,n）=1,则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)证明：首先证明下面这个命题：对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是φ(n)个n的素数，且两两互素，即n的一个化简剩余系，（或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 则S = Zn1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj 则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。

所以，很明显，S=Zn既然这样，（a*x1 ×a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n) = （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)= （x1 × x2 × ... ×xφ(n)）(mod n)考虑上面等式左边和右边左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)右边等于x1 × x2 × ... ×xφ(n)）(mod n)而x1 × x2 × ... ×xφ(n)(mod n)和n互质根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：a^φ(n)≡ 1 (mod n)证明：设集合{A1,A2,...,Am}为模n的一个缩系（若整数A1,A2,...,Am模n分别对应0,1,2,...,n-1中所有m个与n互素的自然数,则称集合{A1,A2,...,Am}为模n的一个缩系）则{a A1,a A2,...,a Am}也是模n的一个缩系（如果a Ax与a Ay (x不等于y)除以n余数相同，则a(Ax-Ay)是n的倍数，这显然不可能）即A1*A2*A3*……Am≡aA1*aA2*……aAm(mod n) （这里m=φ(n)）两边约去A1*A2*A3*……Am即得1≡a^φ(n)（mod n）2.（例题）设(a, m) = 1, d是（d，a）≡1（mod m）成立的最小正整数，则（i）d/ mϕ(ii)对于任意的 I , j , 0 ≤ I , j ≤，d-1 , I ≠ j , 有j i aa≡ (mod m)解：(i) 由Euler 定理，0d≤)(mϕ（因)(mϕ满足同于式，而0d是最小的）因此，由带余除法，有)=(mϕ= qd+r，q∈Z, q>0 ,0≤r<0d. 因此，由上式及0d的定义，利用定理1，我们得到 1≡r(mod m) 即整数r满足1≡ra(mod m) , 0 0dr<≤由0d的定义可知必是r=0 ,即)(/0mdϕ(ii): 若式（3）不成立，则存在I , j, 0i≤, j 10-≤d, 使得jiaa≡(mod m). 因ij≠, 所以不妨设i<j . 由jiaa≡(mod m). m/(jiaa≡) m/() 1--jijaa,因为(a,m)=1, 所以m/( )1--j ia ,即 1≡-jia(mod m) , 0<i-j<0d . 这与0d的定义矛盾，所以式（二）欧拉定理的推论的证明及其体现的数学思想方法1.推论（Fermat定理）若p是素数，则(a ，p ) ≡.(modpa)证明：若(a,p)=1 ,由定理1及￡3定理5即得(a ，p ) ≡.(modpa)若(a,p)≠1,则p/a,故a p ).(modpa≡2.（例题）1841 1777(mod41),a≡求a在0到41的值解：因为41是素数，所以由费马定理有40 17771(mod41)≡，而1841=46*40+1，所以1841，1777177714(mod41)≡≡，a=14二、有关于欧拉定理的应用问题（一）欧拉定理对循环小数的应用定理1.有理数a/b,0<a<b ,(a ,b)=1 ,能表成纯循环小数的充分必要条件是（b ，10）=1证明：(i)若a/b能表成纯循环小数，则由0<a/b<1及定义知 a/b=0.1a2a …….ta1a2ata…..因而t10a/b=110-t1a+210-t2a+……..+101-ta+ta+0.1a2a…….ta1a2a….ta…..=q+a/b,q>0.故a/b=q/(t 10-1) 即a(t 10-1)=bq .由 (a ,b)=1 即得b/(t 10-1), 因而（b ，10）=1 (ii) 若（b ，10）=1，则由定理1知有一正整数 t使得 t 10≡1(modb), 0<t≤(b) 成立，因此t 10 a=qb+a,且 0<q<t 10a/≤t 10(1-1/b)< t10-1 故t10a/b=q+a/b 令 q=10q+ta,q=102q+1-ta,…………,1-t q=10tq+1a,09≤≤ia,则q= tttttaaaq++++--11110.......1010.由0<q<1101--t,即得tq=0，且1a2a …….ta不全是9，也不全是0。

欧拉公式的几个具体形式及其应
用
欧拉公式是数学中一个重要的定理，它描述了一个复杂的几何图形的表面积和边界线的长度之间的关系。

它的几个具体形式及其应用如下：
首先，欧拉公式的最基本形式是：表面积S和边界线长度L 之间的关系是S=2πL。

这个公式可以用来计算一个几何图形的表面积，只要知道它的边界线的长度。

其次，欧拉公式的另一个形式是：表面积S和曲率半径R之间的关系是S=2πR。

这个公式可以用来计算一个几何图形的表面积，只要知道它的曲率半径。

此外，欧拉公式还有一个更复杂的形式：表面积S和曲率半径R1、R2之间的关系是S=2π(R1+R2)。

这个公式可以用来计算一个几何图形的表面积，只要知道它的两个曲率半径。

欧拉公式的应用非常广泛，它可以用来计算几何图形的表面
积，也可以用来计算曲线的长度。

此外，它还可以用来计算曲面的表面积，以及求解曲面的曲率半径。

欧拉公式在工程计算中也有着重要的应用，比如在建筑物的设计中，可以用欧拉公式来计算建筑物的表面积，以及建筑物的曲率半径。

总之，欧拉公式是一个重要的数学定理，它的几个具体形式及其应用非常广泛，在工程计算中也有着重要的应用。

数论中的欧拉定理和费马小定理的应用案例在数学领域中，欧拉定理（Euler's theorem）和费马小定理（Fermat's little theorem）是两个重要的定理。

它们有广泛的应用，在密码学、组合数学、计算机科学等领域都有重要的地位。

本文将着重介绍欧拉定理和费马小定理的应用案例，让读者更深入了解它们的意义。

一、欧拉定理的应用案例欧拉定理是欧拉在18世纪提出的定理，它表述了：如果a和n是正整数，且a与n互质，则有以下等式成立:a^φ(n) ≡ 1 mod n其中，φ(n)表示n的欧拉函数。

欧拉函数φ(n)的定义是: 小于n的正整数中与n互质的数的个数。

例如，φ(10)=4，因为小于10，与10互质的数有1、3、7、9这四个数。

欧拉定理的应用非常广泛，其中一个著名的应用是RSA算法。

RSA算法是一种非对称加密算法，利用了欧拉定理和费马小定理的原理。

它的核心思想是：找到两个大质数p和q，然后计算出n=pq，再计算出n的欧拉函数φ(n)=(p-1)(q-1)，选取一个整数e，使得1 < e < φ(n)，且e与φ(n)互质，然后计算出一个整数d，满足ed ≡ 1mod φ(n)，那么d就是e的模φ(n)乘法逆元。

最后，将n和e公开，而将p、q和d保密，这样就可以进行加密和解密操作。

二、费马小定理的应用案例费马小定理是由法国数学家费马提出的定理，它表述了：如果p是一个质数，且a是不是p的倍数的整数，则有以下等式成立:a^(p-1) ≡ 1 mod p也就是说，如果a除以p余数不为0，那么a的p-1次方模p的余数为1。

这个定理非常强有力，因为它可以检验一个数是不是质数。

费马小定理在素数检验和模幂运算等方面都有广泛的应用。

素数检验是指判断一个给定的数是否是质数。

一种常见的方法是费马测试。

它的思想是：随机选择一个较小的正整数a，如果a^(n-1)mod n=1，那么n有可能是质数。

欧拉定理在生活中的应用
欧拉定理是数学家狄拉克(Leonhard Euler)发现的绝妙定理，它描述了把任意一个多边形分割成三角形的有效步骤。

欧拉定理的数学表达式为：F + V - E = 2（F代表多边形内部的面数， V 代表多边形内部的顶点数，E代表多边形内部的边数），因此又被称为“面点边定理”。

一. 抽象数学上的应用
1. 绘制图形：欧拉定理可以用来定义可以构成多边形的最少顶点数，例如加入边数为5的多边形，则顶点数最少为5+2-5=2，从而可以构成正多边形。

2. 解方程：对于任意一个多边形，它的面点边定理的变形可以用来求解方程，例如可以用来解决解析几何问题。

二. 英语学习方面
1. 词汇学习：欧拉定理可以用来帮助学生掌握更多词汇知识，比如多边形、面数、边数等。

2. 语法学习：欧拉定理也可以用来帮助学生掌握一些语法结构，比如“if-then statements”，因为欧拉定理的表达式是一个if-then statement，即如果F + V - E = 2，那么多边形内有2个面。

三. 日常生活
1. 图形学：欧拉定理可以用来分析直线图形和三角形图形，同时可以计算出多边形、多角形等图形的周长和面积。

2. 工程学：由于多边形可以分割成更小单元，所以欧拉定理也可以用
来解决一些结构力学问题，例如屋顶的建造、玻璃操作、电力传输线等。

3. 图书馆管理：图书馆的情况被描述为一个多边形，每边代表一行书架，使用欧拉定理可以帮助准备好每本书的顺序。

欧拉转动定理详解
一、定理定义
欧拉转动定理：在一个平面中，对于一个刚性图形，通过一个固定点进行旋转，其旋转前后的两个图形可以通过一系列的位似变换得到。

二、定理证明
证明过程：
第一步，将刚性图形绕固定点旋转θ角度，得到旋转后的图形。

第二步，根据位似变换的定义，我们可以将旋转后的图形通过一系列的位似变换回到原来的位置，这个过程中，每一个点都进行了相应的平移和缩放。

第三步，由于位似变换不改变图形间的相对位置和大小，因此，旋转前后的两个图形可以通过一系列的位似变换得到。

三、定理应用
欧拉转动定理在几何学中有广泛的应用，如平面几何、解析几何等领域。

它可以用于证明一些几何性质和定理，如平面几何中的三角形重心定理等。

同时，欧拉转动定理也是计算机图形学中的重要概念，用于描述图形变换和动画效果。

四、定理推广
欧拉转动定理的推广包括三维空间中的旋转和更高维度的几何空间中的转动。

在三维空间中，可以通过一个固定轴进行旋转，同样满足欧拉转动定理。

此外，在更高维度的几何空间中，也存在类似的转动定理。

这些推广在理论研究和实际应用中都有重要的意义。

五、相关定理
与欧拉转动定理相关的定理有很多，如平面几何中的平行线性质定理、相似三角形判定定理等。

此外，还有一些与欧拉转动定理相关的重要概念，如中心对称、轴对称等。

这些概念和定理都与欧拉转动定理有着密切的联系。

欧拉公式的应用绪论本文首先介绍了一下欧拉公式以及推广的欧拉公式，对欧拉公式的特点作了简要的探讨．欧拉公式形式众多，在数学领域内的应用范围很广，本文对欧拉公式在三角函数中的应用作了详细的研究，欧拉公式在求三角级数中的应用中、在证明三角恒等式时、解三角方程的问题时、探求一些复杂的三角关系时，可以避免复杂的三角变换，利用较直观的代数运算使得问题得到解决．另一方面,利用欧拉公式大降幂，能够把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和,克服了高次幂函数在运算上的不方便．关键词：欧拉公式三角函数降幂级数三角级数目录绪论........................................... 错误!未定义书签。

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一、绪论 (1)二、欧拉公式的证明、特点、作用 (1)三、欧拉公式在三角函数中的应用 (4)(一) 倍角和半角的三角变换 (4)(二) 积化和差与差化积的三角变换 (4)(三) 求三角表达式的值 (5)(四) 证明三角恒等式 (6)(五) 解三角方程 (7)(六) 利用公式求三角级数的和 (7)(七) 探求一些复杂的三角关系式 (8)(八) 解决一些方程根的问题 (9)(九) 欧拉公式大降幂 (10)结束语 (15)一、绪论欧拉公式形式众多，有多面体欧拉公式、欧拉求和公式、cos sin i e i θθθ=+、欧拉积分等多种形式、立体几何、工程方面等方面．由于欧拉公式有多种形式，在数学领域中的应用范围很广，本文只介绍欧拉公式的一种形式“cos sin i e i θθθ=+”以及这种形式在数学中的应用．二 、欧拉公式的证明、特点、作用1748年，欧拉在其著作中陈述出公式cos sin i e i θθθ=+，欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中，有着广泛的应用．它将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁．同时我们知道三角函数的恒等变换是中学数学中的一个重要内容，也是一个难点，但由于三角恒等变换所用公式众多，这便给解决三角变换问题带来了诸多不便．下面将通过欧拉公式，将三角函数化为复指数函数，从而将三角变换化为指数函数的代数运算，从而使得问题简单化，并给出了欧拉公式在其它几个方面的应用，在高等数学中的部分应用．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+它的证明有各种不同的证明方法，好多《复变函数》教科书上，是以复幂级数为工具，定义复变指数函数和复变三角函数来进行证明的．下面我们介绍一种新的证明方法：极限法．证明 令()1nf z i n θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (),R n N θ∈∈．首先证明 ()lim cos sin n f z i θθ→∞=+．因为 arg 1ni narctg n n θθ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 22211cos sin n ni i narctg i narctg n n n n θθθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭．从而222lim 1lim 1cos sin nnn n i narctg i narctg n n n n θθθθ→∞→∞⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭．()i 令222(1)nn p n θ=+，则2ln ln 12n n p n θ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．把1nξ=视为连续变量，由洛必达法则有 ()2201lim ln lim ln 12n n p ξξθξ→∞→=+2220lim01ξξθξθ→==+． 即 0lim 1n n p e →∞==．()ii 令arg 1nn i n θϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭narctg n θ=，则 ()lim limn n arctg ξξθϕθξ→∞→==．故 ()lim lim 1cos sin nn n f z i i n θθθ→∞→∞⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．其次证明 ()lim i n f z e θ→∞=．因为 ln 11n n i n i e n θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭的主值支，所以 ln1arg 1ln 1lim 1lim lim nn i in i n i n n n n n n i e en θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦→∞→∞→∞⎛⎫+== ⎪⎝⎭， 而 ,lim ln 10lim arg 1n n n i n i n n θθθ→∞→∞⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，故 ()lim lim 1ni n n f z i e n θθ→∞→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．于是便证得： cos sin i e i θθθ=+． 欧拉公式还可以推广到以下形式：已知 欧拉公式()cos sin 1i e i θθθ=+其中θ为实数，则cos R θ∈sin R θ∈由()1式得cos sin i e i θθθ-=- ()2则()()12+得：2cos cos 2i i i i e e e eθθθθθθ--++=⇒=()()12-得：2sin sin 2i i i i e e eei iθθθθθθ----=⇒=又因为()sin tan cos i i i i e e i e e θθθθθθθ---==+ ()3 ()cos cot sin i i i i i e e e eθθθθθθθ--+==- ()4 由此便得出最重要的四个公式．这些公式具有以下特点：()1实质上，这些公式给出了三角函数的复指数形式，故代入三角变换中，便将三角运算化为指数函数的代数运算，使三角运算从多种思考方法化为单一思考方法，从而降低了三角变换的难度．()2观察这几个公式，i e θ与i e θ-互为倒数，积为1，这一过程常常在证明过程中被应用．()3在以上公式的推导过程中，分别令2,,,,22πθππππ=--，得到以下式子：221,1,,iiie e e i πππ==-=221,1,i iieee i πππ---==-=-．欧拉公式的桥梁作用:(1) 纯虚指数值可以通过三角函数值来计算例如 cos1sin1ie i =+，2cossin22iei i πππ=+=，cos sin 1ie i πππ=+=-，3233cossin 22i ei i πππ=+=-， ()2cos2sin 210,1,2k i e k i k k πππ=+==±±．由欧拉公式可以看出，在复数域内，指数函数是周期函数，具有基本周期2i π．(2) 任何实数的三角函数可以用纯虚指数表示，从而通过指数函数来研究三角函数的性质．在欧拉公式中用θ-代替θ，则cos sin i e i θθθ-=-． 由cos sin i e i θθθ=+，cos sin i e i θθθ-=-得到cos ,sin 22i i i i e e e e iθθθθθθ--+-==，由上式容易看出正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．(3) 引出复数的指数表示法，从而使得复数的表示法增加为代数形式、三角形式和指数形式三种形式，便于我们酌情使用．三 欧拉公式在三角函数中的应用(一) 倍角和半角的三角变换 在此类型的题目中，大都用到以下两个技巧：()2222i i i i e e e e θθθθ--+-=-及21i =-．例1 求证sin 21cos 2θθ-cot θ=证 左()2222i i i ie e i e e θθθθ---=-+2222sin 221cos 212i i i i e e i e e θθθθθθ---==+--()()()()()21i i i i i i i i i i e e e e i e e e e i e e θθθθθθθθθθ------+-+==--cot θ==右 所以原式成立．(二) 积化和差与差化积的三角变换 例2 计算：1cos cos 2cos 2s x x nx =++++ 解 1cos cos 2cos 2s x x nx =++++()()120212n xi nxi xi xi xi xi nxi e e e e e e e e -----=++++++++1222ix ix nix nixe e e e --++=++ ()1122112211221n xi n xi nix ix nixixix ix ee e e e e ee⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭==--=1sin 212sin 2n xx⎛⎫+ ⎪⎝⎭ . 所以原式等于1sin 212sin 2n xx⎛⎫+ ⎪⎝⎭． (三) 求三角表达式的值 例3 已知tgx a =，求3sin sin 33cos cos3x xx x++的值:解 原式()()()()333331223122xi xi ix ix xi xi ix ix e e e e i i e e e e -----+-=+++ ()()()()()223113()3xi xi xi xi xi xi xi xi xi xi xi xi e e e e e e i e e e e e e ------⎡⎤-+-+-⎢⎥⎣⎦=⨯⎡⎤++++-⎢⎥⎣⎦由tgx a =()xi xi xi xi e e ai e e --⇒-=+代入上式消去xi xi e e -+原式()()222xi xi xi xi a e e e e --⎡⎤++⎢⎥⎣⎦=+ 2112cos a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对2222221cos 1cos cos 1x a tg x x x a-==⇒=+所以原式2112a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．(四) 证明三角恒等式 例4 证明32sin 22cos cos 2x x x tgtg x x -=+为方便计算令2xθ=, 原式变为2sin 23cos 2cos 4tg tg θθθθθ-=+证明 左边()()3333i i i ii ii i e e e e i e e i e e θθθθθθθθ------=-++ ()()()()()()3333331ii i i i i i i i i i i e e e e e e e e ie e e e θθθθθθθθθθθθ------+--+=⨯++右边22224422i ii i i ie e e e e e θθθθθθ----=+++2242242i ii i i i e e i e e e eθθθθθθ----=⨯+++=左边． 例5 求证：sin 21cos tgααα=+证明 22222ii i i e etgi e e ααααα---=⎛⎫+ ⎪⎝⎭而()sin 21cos 212i ii i i i i i e e e e i e e i e e αααααααααα-----+==+++++2222222i i i i i i e e e e i e e αααααα---⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭2222iiii e ei e e αααα---=⎛⎫+ ⎪⎝⎭2tgα=．(五) 解三角方程 例6 解方程 120x y += ()1sin 2sin xy= ()2 解 把120y x =-代入()2得：()sin 2sin 120xx =-．由欧拉公式得：223322i x i x ix ix eee e iππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---=⨯，经整理得：222331212i i ixe e e ππ-⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，21xi e =-，xi e i =, cos sin x i x i +=，cos 0,sin 1x x ==．所以18090x k =+，代入()1式得到18030y k =-+，由此即得到方程的解．(六) 利用公式求三角级数的和在三角级数中，按常规方法求和常常是很麻烦的，有时甚至求不出结果．而欧拉公式：sin 2i i e e i θθθ--=，cos 2i i e e θθθ-+=很好的解决了这类问题．例7 求三角级数sin sin 2sin3sin x x x nx ++++的前几项和．解 1sin nn k s kx ==∑12ikx ikx nk e e i -=-=∑1112n n ikx ikx k k e e i -==⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑∑()()11112121ix inx ix inxix ix e e e e i e i e----=⨯-⨯-- 22222212n n n i x i x i x ixx x x i i i e e e e i e e e --⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭22222212n n ni x i x i x ixx x xi i i e e e e i e e e ----⎛⎫- ⎪⎝⎭-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭22221122222211222222nxnx nx nx i i i i n n i x i xx x x x iiiie e e e iie e iie e e e ii--++-----=⨯⨯-⨯⨯--1122sin sin 112222sin sin 22n n i x i x n n x x e e x x i i ++-=⨯⨯-⨯⨯ 1122sin22sin 2n n i x i xn x e e x i ++--=⨯ 1sin sin 22sin 2n n x x x +⨯=． (七) 探求一些复杂的三角关系式 例8 试把2cos n θ和2sin n θ分别表示成1,cos 2,cos 4,,cos 2n θθθ的线形组合．解 ()222222201cos 22ni i ni n k nk nn k e e Ce θθθθ--=⎛⎫+== ⎪⎝⎭∑，注意到()()212222221nn i n k i n k k m nn k n m CeC e θθ----=+==∑∑，得到 ()()()12222222201cos 2n i n k i n k nn k n n nk C C e e θθθ----=⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑，故有()1222201cos 2cos 22n nn k n n nk C C n k θθ-=⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑ ()3在()3式中用2πθ-代替θ得到()()1222201sin 21cos 22n n k nn k n n nk C C n k θθ--=⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦∑(八) 解决方程根的问题 例9 证明 方程()cos arccos 0n t = ()0,1,2n =至多有n 个根．证明 令0ϕπ≤≤，设cos t ϕ=，则sin ϕ=，()cos sin nin ei ϕϕϕ=+(nt =+,那么：()(cos cos cos Re n n naro t t ϕ==+()()222244211n n n n n t C t t C t t --=+-+-+故()cos arccos n t 是关于t 的n 次多项式，所以由代数学基本定理知：方程()cos arccos 0n t =至多有n 个根． 例10 设1,2,3,,n a a a a 都是实常数，()()()()12111sin sin sin 22n n f a a a θθθθ-=++++++， 若12,θθ是方程()0f θ=的两个根，1θ，2θ不全为零．证明：()12k k θθπ-=为整数．证明()()()()()()()11222222n n i a i a i a i a i a i a n e e e e e ef i iiθθθθθθθ+-++-++-+---=+++121222222222nn ia ia ia ia ia ia i i nne e e e e e i e i e θθ----⎛⎫⎛⎫=-+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令 122222nia ia ia ne e e i α⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭， 122222n ia ia ia ne e e i β---⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．则()0f θ=化为0i i e e θθαβ-+=．由三角不等式知121222222222n nia ia ia ia ia ia n n e e e e e e α=+++≥-- 2111222n=---， 所以复常数0,α≠同理复常数0,β≠ 又12,θθ分别满足方程()0f θ=，即()1110i i f e e θθθαβ-=+=，()2220i i f e e θθθαβ-=+=．可见,αβ的系数行列式()()()1212122sin 0i i e e i θθθθθθ----=-=，从而必存在整数k 使得12k θθπ-=．(九) 欧拉公式大降幂在高等数学中常会遇到高次幂的正余弦函数，这些函数在计算上很不方便，欧拉公式可把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和，克服了高次幂函数在运算上的不方便．首先我们先介绍一下欧拉公式在三角函数中的降幂使用．1 正弦大降幂：33sin 2ix ix e e x i -⎛⎫-= ⎪⎝⎭()322331332i x i x ix ix i x i x e e e e e e i ---⎡⎤=-⨯+⨯-⎣⎦()33213222i x i x ix ix e e e e i i i --⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦()()21sin 3sin 2x x i =-．44sin 2ixixe e x i -⎛⎫-=⎪⎝⎭()432234414642i x i x ix i x i x ix i x i x e e e e e e e e i ----⎡⎤=-⨯+⨯-⨯+⎣⎦()421cos 44cos 2622x x i ⎡⎤=-+⨯⎢⎥⎣⎦． 55sin 2ix ix e e x i -⎛⎫-= ⎪⎝⎭()54322345515101052i x i x ix i x i x i x i x ix i x i xe e e e e e e e e e i -----⎡⎤=-⨯+⨯-⨯+⨯-⎣⎦()[]41sin 55sin 310sin 2x x x i =-+．综上：正弦大降幂规则如下()1 括号前的系数视n 的奇偶而定；当2n m =时系数为22(2)m i ，当21n m =+时系数为()212mi ． ()2 括号内符号正负相同； ()3当2n m =时括号内各项均为余弦，依次为()1122cos2,cos 22cos2,m m mmx C m xC x --212m m C ． 当21n m =+时，括号内各项均为正弦，依次为()()()121212121sin 21,sin 21,sin 23,sin3m m m m m x C m x C m x C x -++++--，21sin m m C x +． 2余弦大降幂33cos 2ix ix e e x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭3331332i x ix ix i x e e e e --⎡⎤=+++⎣⎦ []21cos33cos 2x x =+． 44cos 2ixixe ex -⎛⎫+=⎪⎝⎭1244311cos 4cos 222x C x C ⎡⎤=++⨯⎢⎥⎣⎦55cos 2ix ix e e x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭125541cos5cos3cos 2x C x C x ⎡⎤=++⎣⎦ 综上：余弦大降幂规则如下： ()1括号前的系数为112n -；()2括号内全部是+号； ()3括号内各项均为余弦；当2n m =时，依次为()()12122221cos 2,cos 22,cos 24,cos 2,,2m m m m mm mx C m x C m x C x C --- 当21n m =+时，依次为()()()12212121cos 21,cos 21,cos 23,cos mm m m m x C m x C m x C x ++++--．3 正余弦大降幂的应用 (1) 求傅里叶级数 例11 求12sin x 的傅立叶级数解()112234561212121212121221sin cos12cos10cos8cos6cos4cos222x x x C x C x C x C x C i c ⎛⎫=-+-+-+ ⎪⎝⎭由于12sin x 是2π为周期的连续函数，所以它的傅立叶级数展开式唯一，即：12123412121212111111111111111sin cos12cos10cos8cos6cos 422222x x C x C x C x C x =---+ 561212111111cos 222C x C -+． (2) 求n 阶导数例12 求7cos x 的n 阶导数解 712377761cos cos7cos5cos3cos 2x x C x C x C x ⎡⎤=+++⎣⎦()()()()71237776cos 1cos 7cos 5cos 3cos 2n n n n n n d x x C x C x C x dx ⎡⎤=+++⎣⎦ 123777617cos 75cos 53cos 3cos 22222n n n n n n n x C x C x C x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(3) 求积分例13 求11sin xdx ⎰()()11123451111111111101sin sin11sin 9sin 7sin 5sin 3sin 2x x Cx C x C x C x C x i =-+-+-()123451111111111101sin11sin 9sin 7sin 5sin 3sin 2x C x C x C x C x C x =--+-+- ()2()123451111111111101sin11sin 9sin 7sin 5sin 3sin 2x Cx C x C x C x C x dx =--+-+-⎰123451111111111101cos11cos9cos 7cos5cos3cos 2119753x x x x x C C C C C x c ⎛⎫=-+-+-+ ⎪⎝⎭例14 求0⎰解 令sin x a t =，则：x a →，2t π→，662cos a tdt π=⎰⎰612226665011cos 6cos 4cos 222at C t C t C dt π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰612665sin 6sin 4sin 2102642a t t t C C t ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值， 6100322a π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦6532a π=． （十）三角函数的求积 例15 不查表，计算cos 20cos 40cos80P =解 24coscoscos 999P πππ=2244999999222ii i i i i e e ee ee ππππππ---+++=⨯⨯7533579999999918i i i i i i i i e e e e e e e e ππππππππ----⎛⎫=+++++++ ⎪⎝⎭72799929181i i i i e e e e ππππ-⎛⎫⨯- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭29291181i i i e e e πππ-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭=⨯- 18=． （十一）条件等式的证明 例16 已知,αβ均为锐角且223sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=．求证 22παβ+=．证明 由223sin 2sin 1αβ+=，得到2231222i i i i e e e e i i ααββ--⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2221322i i i ie e e e i ααββ--⎛⎫-⇒=+ ⎪⎝⎭()122223sin 22sin 203222i i i ie e e e i iααββαβ-----=⇒⨯-⨯0=()()2232ii i i i ie e e e e e iiααααββ---+--⇒⨯=()2 ()()12÷得：()()2222i i i ii i i i i e e e e e e i e e ββααββαα----+-=-+．由三角变换得：2tg ctg αβ=，因为,αβ均为锐角，所以2β也为锐角，即知22πβα+=，所以原式得证．结束语欧拉公式在数学的许多定理和计算中,有着广泛的应用．它将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来,为我们研究这两种函数的相关运算及其性质架起了一座桥梁．本文通过实例的形式说明欧拉公式在三角函数中的应用,在求三角表达式的值、证明三角恒等式、解决一些方程根的问题、求三角级数的和、解决高次幂的三角函数时,都应用到了欧拉公式,从而避免了复杂的三角变换,使得问题迎刃而解,在三角中的应用能够利用较为直观代数运算使得问题得到解决．在探求一些复杂的三角关系时,如果不借助欧拉公式,而试图通过纯三角运算直接推导这些关系是相当麻烦的．本文在介绍欧拉公式时给出了欧拉公式的证明,应用到了极限的方法,不同于其它的定义复变指数函数和复变三角函数进行证明的方法． 但不可避免的是：欧拉公式在证明某些恒等式时，却相对增加了计算量．因此，在证明三角恒等式时，要具体问题具体分析．参考文献[1] 裴礼文．《数学分析中的典型问题与方法》．高等教育出版社．1984． [2] 姜淑美． 欧拉公式的应用[J]．丹东纺专学报．1997．[3] 辛华．欧拉公式在三角恒等变换中的推广应用[J]．雁北师范学院院报．2002． [4] 姜志基．欧拉公式及其应用[J]．甘肃教育学院学报(自然科学版)．1997．[5] 赵永强,申玉发,何文杰,易炜．欧拉公式的一个应用[J]．河北省科学学院院报．2006． [6] 陈明．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+在三角中的应用[J]．达县师范专科学校学报1996． [7] 苏炳松．关于欧拉公式的推广及其应用[J]．徐州师范大学学报(自然科学版)．1992． [8] 胡学平．欧拉常数及其应用[J]．安庆师范学院学报(自然科学版)． 2002． [9] 周本虎．欧拉公式的简单应用[J]．高等数学研究．2003． [10] 钟玉泉．《复变函数论》．高等教育出版社．2003．[11] 孔立．关于欧拉公式的一个应用[J]．山东电大学报．2004．[12] 茹淑叶,温瑞萍．三角变换与欧拉公式[J]．新疆教育学院学报．1995．[13] To M. 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Euler定理引言欧拉定理是数论中的一项重要定理，由瑞士数学家欧拉于18世纪提出。

它涉及到整数幂与模运算的关系，被广泛应用于密码学、数论和代数学等领域。

本文将深入探讨欧拉定理的定义、证明及应用。

欧拉定理的定义欧拉定理是欧拉在1760年提出的一个重要数论定理，它为整数的模幂运算提供了一个重要的性质。

欧拉定理的表述若a与n互质（即a和n的最大公约数为1），则有以下恒等式成立：aϕ(n)≡1modn，其中ϕ(n)表示n的欧拉函数值。

欧拉函数的定义欧拉函数ϕ(n)是小于等于n且与n互质的正整数的个数。

例如，ϕ(8)=4，因为小于等于8且与8互质的正整数有1、3、5、7四个。

欧拉定理的证明欧拉定理的证明是基于数论的一些重要概念和定理的推导。

概念1：互质两个数a和b，如果它们的最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）为1，则称a和b互质。

定理1：费马小定理若p为素数，a为不是p的倍数的整数，则有a p−1≡1modp。

费马小定理为欧拉定理的一个重要推论。

定理2：欧拉函数与素数的关系若p为素数，则ϕ(p)=p−1。

定理3：欧拉函数的乘性若a和b互质，则ϕ(a⋅b)=ϕ(a)⋅ϕ(b)。

推导欧拉定理的证明根据定理2，若n为素数，则ϕ(n)=n−1。

因此，我们只需要考虑当n为合数时，欧拉定理是否成立。

设n为合数，可以将n分解为不同的素数的幂的乘积，即n=p1a1⋅p2a2⋅p3a3⋅...⋅p k a k。

根据定理3，对于任意两个互质的正整数a和b，有ϕ(a⋅b)=ϕ(a)⋅ϕ(b)。

因此，我们可以将问题转化为考虑n=p a的情况。

设n = p是一个素数的幂，则根据质数的性质，小于等于n且与n互质的正整数是n−n/p个。

因此，ϕ(n)=n−n/p=n(1−1/p)。

由此可见，当n为素数的幂时，欧拉定理也成立。

综上所述，无论n是素数还是合数，欧拉定理都成立。

欧拉定理的应用欧拉定理在密码学、数论和代数学等领域有广泛的应用。

欧拉公式θθθsin cos i ei +=的证明方法和应用摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθsin cos i e i +=，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。

关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数1.欧拉公式意义简说在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被θθθsin cos i e i +=这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当πθ=时，有1-=e i π，即01=+e i π，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i 、e 、π联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e 是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]，π是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比”。

它们在数学中各自都有发展的方面。

因此e i π+1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。

了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。

2.欧拉公式的证明简述在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。

2.1幂级数展开式的证明法引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式θθθsin cos i e i +=， 2.2复指数定义法用复指数定义)sin (cos y i y e e e x iyx z+==+，证明欧拉公θθθsin cos i e i +=2.3类比法求导法通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造xi x x f eixsin cos )(+=，0)(='x f 用lagrange 微分中值定理推论[3]，从而证明1)(=x f ,使得x i x e ixsin cos +=2.4分离变量积分法假设x i x z sin cos +=，求导得iz dx dz =，通过分离变量得,idx zdz =，然后两边取积分得ix z L n =，所以得x i x e ixsin cos +=.3.欧拉公式的证明方法3.1幂级数展开式的证明方法：3.1.1三角函数的“麦克劳林级数”[1] ：,)!1(!5!3)sin(12153)1( +-+++-=---zn z z z zz n n,)!2(!4!21)cos(242)1( ++++-=-n z zzznn3.1.2指数函数的“麦克劳林级数”：[1],!!212+++++=n z zze nz当用iz 代替 z 时，那么+++++=!!21)()(2n iz iz iz eniz)!4!21(42++-=zz)!5!3(53 ++-+zz z iz i z sin cos +=当θ=z 时，得到θθθsin cos i e i +=。

学院学术论文关于欧拉定理问题及其应用Euler theorem about application and application姓名所在学院专业班级学号指导教师日期关于欧拉定理问题及其应用摘要：从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。

关键词：欧拉定理，数学思想方法，应用。

Abstract: from the proof of the theorem of related euler, euler theorem proving mathematical way of thinking, which reflected on the basis of the application.Keywords: Euler Set Daniel, number and fixed thoughts, should use to party.在初等数论中，关于欧拉定理问题的理解、应用以及体现出的数学思想方法是理解数学中其他知识的基础，但目前各种教材对这类问题的提出和总结的不够，尤其对它所体现的数学思想方法。

为了加深对欧拉定理的有关理解，本文从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。

一、欧拉定理的证明及其体现的数学思想方法（一）定理［1］(Euler)[]1: 设n是大于1的整数，（a,n）=1,则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)证明1：首先证明下面这个命题：对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是φ(n)个n的素数，且两两互素，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}则S = Zn1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。

欧拉定理及其应用欧拉函数phi(m)表示小于等于|m|的自然数中，和m互质的数的个数。

phi(m)=mΠ(1-1/p)//《算法导论》第531页p|m证明：若m为一素数p，则phi(m)=p-1。

若m为合数，存在p，使m=pd。

1、若p整除d，对任意a，(a, d) = 1，//注意a属于[1,d)那么(a + d, d) = 1，(a + d, p) = 1，所以(a + d, m) = 1，所以(a + kd, m) = 1，k = 0, 1, 2, ... , p - 1，所以phi(m) = p phi(d)。

//则有任意和d互质的数加上kd继续互质，所以共有p*phi(d)个2、若p不能整除d，那么(p, d) = 1，在小于|m|的自然数里，和d互质的有p phi(d)个，其中phi(d)个是p的倍数，所以phi(m) = (p - 1) phi(d)。

//显然，除d、2d、3d……pd能整除外，其余都不能整除由数学归纳法得到结论。

欧拉定理：如果(a, m) = 1，那么a ^ phi(m) = 1 (mod m)。

//可以参考《算法导论》证明：设R(m) = {r[1], r[2], ... , r[phi(m)]}为和m互质的数的等价类的集合。

那么有(ar[i], m) = 1，ar[i] = ar[j]当且仅当i = j。

所以aR(m) = {ar[i]} = R(m)，a ^ phi(m) Πr[i] = Πar[i] = Πr[i] (mod m)，a ^ phi(m) = 1 (mod m)。

欧拉定理的一个重要意义就是计算a ^ b mod m的时候，若b是一个很大的数时，可以化成a ^ (b mod phi(m)) mod m来计算，明显地，b mod phi(m)是一个比较小的数。

当(a, m)≠1时，设对m分解质因数得到m = Πpi ^ ri，d = (a, m)，m = m1 * m2，其中m1 = Πpi ^ri，那么(m1, m2) = 1，(a, m2) = 1，pi|d所以a ^ phi(m2) = 1 (mod m2)。