第一篇：应用题专题知识框架体系
一、和差倍问题
（一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差，求这两个数。棵数总距离棵距；总距离棵数棵距；棵距总距离棵数．
较大数方法①：（和－差）2较小数，和较小数四、方阵问题
在方阵问题中，横的排叫做行，竖的排叫做列，如果
较小数
方法②：（和差）2较大数，和较大数行数和列数都相等，则正好排成一个正方形，就是所
谓的“方阵”。
例如：两个数的和是15，差是5，求这两个数。
方法：(15 5) 2 5 ，(15 5) 2 10 .
（二）和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关
系，求这两个数。
方法：和（倍数 1 ）1倍数（较小数）
1 倍数（较小数）倍数几倍数（较大数）
或和 1 倍数（较小数）几倍数（较大数）例如：两个数的和为50，大数是小数的 4 倍，求这两个数。
方法：50 (4 1) 10 10 4 40
（三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系，
求这两个数。
方法：差（倍数 1 ）1倍数（较小数）
1 倍数（较小数）倍数几倍数（较大数）
或和1倍数（较小数）几倍数（较大数）例如：两个数的差为80，大数是小数的 5 倍，求这两个数。
方法：80 (5 1) 20 20 5 100
二、年龄问题年龄问题的三大规律：
1．两人的年龄差是不变的；
2．两人年龄的倍数关系是变化的量；
3．随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的
量．解答年龄问题的一般方法是：
几年后年龄大小年龄差倍数差小年龄，
几年前年龄小年龄大小年龄差倍数差．
三、植树问题
（一）不封闭型（直线）植树问题
3 直线两端都不植树：棵数段数 1 全长株
距1；株距全长（棵数1）；
（二）封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题
方阵的基本特点是：
①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）
数量都相同．每向里一层，每边上的人数就
少2 ，每层总数就少8 ．
②每边人（或物）数和每层总数的关系：每层
总数[ 每边人（或物）数1] 4 ；每
边人（或物）数=每层总数 4 1．
③实心方阵：总人（或物）数=每边人（或
物）数×每边人（或物）数．
五、还原问题
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加
减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙
述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来
相反；二是运算方法与原来相反．
六、盈亏问题
按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就
叫亏，这就是盈亏问题的含义．
一般地，一批物品分给一定数量的人，第一种
分配方法有多余的物品( 盈) ，第二种分配方法
则不足( 亏) ，当两种分配方法相差n 个物品时，
那就有：
盈数亏数人数n ，这是关于盈亏问题
很重要的一个关系式．解盈亏问题的窍门可以
用下面的公式来概括：( 盈亏) 两次分
得之差人数或单位数，( 盈盈) 两次分
得之差人数或单位数，( 亏亏) 两次分
得之差人数或单位数．
解盈亏问题的关键是要找到：什么情况下会盈，盈多少？什么情况下“亏”，“亏”多少？找到盈亏
的根源和几次盈亏结果不同的原因．
1直线两端植树：棵数
全长段数
株距
1全长
（棵数
株距 1 ；
1 ）；
株距全长（棵数1）；2直线一端植树：全长株距棵数；
棵数全长株距；
株距全长棵数；
1 另外在解题后，应进行验算．
七、假设问题 鸡兔同笼，这是一个古老的数学问题，在
现实生活 中也是普遍存在的． 重点掌握鸡兔同笼问题的解法
——假设法， 并会将这种方法应用到一些实际问题 中 .
2.利用常见的数学思想方法， 如代换法、 比例法、 列表法、
方程法等。抛开“工作总量” ，和“时间” ，抓住题目 给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关 的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成 一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求 的是时间。
解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 鸡数 =（每只兔子脚数×鸡兔总数 - 实际脚数）÷ （每只兔子脚数 - 每只鸡的脚数） 兔数 =鸡兔总数 - 鸡数
当然，也可以先假设全是鸡，那么就有： 兔数 =（实际脚数 - 每只鸡脚数×鸡兔总数）
÷（每
只兔子脚数 - 每只鸡的脚数）
鸡数 =鸡兔总数 - 兔数 八、
牛吃草问题
（一）牛吃草的由来
在英国伟大的科学家牛顿所著的《普通算术》一书 中有一道非常有名的关于牛在牧场上吃草的题目： “ 12 有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路 筑桥、开挖河渠” ，甚至会表现为“行程问题” 、“经济价
格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解 题方法。
十、浓度问题
将糖溶于水就得到了糖水，糖水甜的程度是由糖 与糖水二者重量的比值决定的．糖与糖水重量的比值 叫糖水的浓度，这个比值一般我们将它写成百分 数．其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液．不光是 糖水中存在着浓度，我们日常生活中的盐水、酒精等 头牛 4 周吃牧草 3 格尔 ( 格尔： 牧场面积单位 ) ，同样的
3
溶液只能够都存在着浓度的问题． ⑴浓度问题相关公式： 牧草， 21 头牛 9 周吃 10 格尔．问 24 格尔牧草，多少头 牛吃 18 周吃完？”后来人们就把这类题目称为“牛顿问 溶液 溶质 溶剂 ；
溶质 溶质
题”，也称为“牛吃草”问题．
浓度
100%
溶液
溶质 溶剂
100% ．
（二）牛吃草的解题步骤
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总 结为：
⑴设定 1 头牛 1 天吃草量为“ 1”； ⑵草的生长速度 ( 对应牛的头数 较多天数 对应 牛的头数 较少天数 ) ( 较多天数 较少天数 ) ；
⑶原来的草量 对应牛的头数 吃的天数 草的生 长速度 吃的天数；
⑷吃的天数 原来的草量 ( 牛的头数 草的生长 速度 ) ；
⑸牛的头数 原来的草量 吃的天数 草的生长速 度．
（三）牛吃草的变式题 “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票
口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和 解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．
（四）多块草地的牛吃草问题 多块草地的“牛吃草”问题，一般要将草地面积变
得统一， 一般情况下可以找多块草地面积的最小公倍数， 这样可以避开小数分数运算，但如果数据较大时我们一 般把面积统一为“
1”相对会简单些。
九、工程问题
工程问题， 究其本质是运用分数应用题的量率对应 ⑵常用方法：
①抓不变量： 一般情况下在经济问题中成本是不变
量，浓度问题中溶剂是不变量，我们可以用画图来分 析； ②方程法：对于经济浓度问题，采用方程来求解是 简便、有效的方法；
③十字交叉法： ( 甲溶液浓度大于乙溶液浓度 ) ；形 象表达：
④浓度三角：浓度三角在解决浓度问题时非常有 用．
十一、利润问题 商店出售商品时，为了获得最大的利润，商家总是 “低进高出” ，只有这样才能赚取差价， 这个差价就 会产生利润．实际上，在商品贸易上的许多数学问 题都会涉及到三个量：成本、利润及定价． 成本——购进商品所需的本钱， 又叫进价或成本价； 定价——商品出售的价格，又叫售价或卖卖价； 利润——产品定价中高于成本以上的那一部分． 为了衡量获得利润的大小， 通常采用：“ 利润百分数” 或“利润率”这个量：
利润
售价成本 售价 关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方 售价 成本 利润，利润率
100% 100% 1 100%
法可以称作是一种“工程习惯” ，这一类问题称之为“工
程问题”。 1.解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用
公式：
工作效率×工作时间 =工作总量，表示出各个工程队 （人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。
成本 成本 成本
由上面的公式还可以引申出下面两个公式：
售价
售价 =成本 （1+利润率）， 成本
． 1+利润率
