201x版九年级数学下册24.2圆的基本性质24.2.3圆的基本性质导学案新版沪科版

2019版九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.2 圆的基本性质教案（新版）沪科版教学过程（一）、复习提问：1.你还记得我们学过图形中轴对称图形有哪些吗？分别有几条对称轴？（等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰三角形。

）2.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？3.你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．（可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．）教师板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．（二）、探究新知问题1：作⊙O的直径CD，然后沿着CD对折⊙O，会出现什么现象，说明了什么？（说明圆是轴对称图形，它的对称轴是任意一条过圆心的直线.）问题2：在⊙O上取一点A，作AB⊥CD，垂足为E，在图中，你猜想一下会有那些等量关系。

（AE=BE，=，=．）这些等量关系如果用语言来叙述的话，我们可以说成什么？垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

首先我们分析一下这个定理的题设和结论。

题设：垂直于弦的直径。

结论：平分弦和弦所对的弧。

（学生完成）根据题设和结论，结合图形，我们找出已知、求证，并进行证明。

已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。

求证：AE=BE，=，=分析：我们知道等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边垂线所在的直线，那么我们如何把等腰三角形和圆联系起来呢？连结OA，OB后我们可以得到一个等腰三角形，CD所在的直线既是等腰三角形的对称轴又是⊙O的对称轴，那么当把圆沿直径CD折叠时，会发现哪些部分重合（连结OA，OB, 并且有OA=OB。

两个半圆重合；A点、B点重合；弧AC、弧BC重合；弧AD、弧BD重合）既然AE，BE重合，我们就可以得到AE=BE；弧AC、弧BC重合，我们就可以得到=；弧AD、弧BD重合，我们就可以得到=。

《圆》第一节垂直于弦的直径导学案1主编人：占利华主审人：班级：学号：姓名：学习目标：【知识与技能】1理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论2学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题3了解拱高、弦心距等概念【过程与方法】经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其他结论的过程，锻炼思维品质，学习证明的方法【情感、态度与价值观】在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求对发现的性质进行证明，培养学生的新意识，良好的运用数学【重点】垂径定理及其推论【难点】垂径定理及其推论学习过程:一、自主学习（一）复习巩固判断：1、直径是弦，弦是直径。

（）2、半圆是弧，弧是半圆。

（）3、周长相等的两个圆是等圆。

（）4、长度相等的两条弧是等弧。

（）5、同一条弦所对的两条弧是等弧。

（）6、在同圆中，优弧一定比劣弧长。

（）7、请在图上画出弦CD，直径AB.并说明___________________________叫做弦；_________________________________ 叫做直径.8、在图上画出弧、半圆、优弧与劣弧并填出概念及表示方法.弧：___ _ 半圆：_________________________ 优弧：________________ _ 表示方法：__劣弧：______________________________ _,表示方法：______9、同心圆: __________________ _ _等圆: __________________________ _.10、同圆或等圆的半径_______.等弧: _______________________（二）自主探究请同学按下面要求完成下题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：相等的弧：表达式： 下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，弧AC=BC ，弧AD=BD.分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中∴Rt △OAM ≌Rt △OBM( ) ∴AM=∴点 和点 关于CD 对称 ∵⊙O 关于CD 对称 ∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，弧AC 与BC 重合，AD 与CD 重合．∴ ， ，表达式：（三）、归纳总结：1．圆是 图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理推论 ． （四）自我尝试：1、辨析题：下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？D AA2、赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m ，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？注：在半径r,弦a ，弦心距d,拱高h 四个量中，任意知道其中的 个量中，利用 定理，就可以求出其余的量。

初中数学九年级《圆的基本性质复习》公开课教学设计附导学案操作单附导学案操作单一、教学目标1. 理解并掌握圆的基本概念和性质。

2. 能够运用圆的基本性质解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。

二、教学重点1. 圆的构造方法和基本性质。

2. 圆的相关概念与术语的理解和运用。

三、教学难点圆的弦、弧、切线和割线的概念及其性质的理解和应用。

四、教学过程1. 导入（5分钟）引入圆的概念，与学生分享关于圆的日常生活中的例子，引起学生的兴趣并了解圆的基本特点。

2. 探究圆的基本性质（15分钟）让学生思考有关圆的性质，通过实际测量和分析，让学生发现圆的直径和半径的关系，并引出圆周长、弧长和面积的公式。

3. 讲解圆的构造方法（10分钟）讲解圆的构造方法，包括利用圆心和半径、直径和弦、切线和割线的方法，通过实例演示，并配以图示讲解，帮助学生理解。

4. 拓展应用（15分钟）通过一些实际问题的讨论和解决，将圆的基本性质应用到实际情境中，培养学生的数学建模和解决问题的能力。

5. 总结归纳（10分钟）对圆的基本性质进行总结归纳，帮助学生梳理知识点，加深理解，并回答学生的疑问。

6. 练习巩固（20分钟）布置练习题，让学生进行巩固练习，检验他们对圆的基本性质的掌握情况，并及时纠正他们的错误。

7. 作业布置（5分钟）布置适量的作业，要求学生能够独立完成，并在下节课之前提交。

五、教学资源1. 圆的模型和教具。

2. 教科书和课外参考资料。

六、教学评价1. 观察学生在课堂上的表现，包括学生的参与度、思维活跃度等。

2. 批改和评价学生的作业，对学生的掌握情况进行评估。

3. 针对学生在练习中的错误，进行集体或个别辅导，帮助他们改正错误并提高。

通过本节课的教学设计，学生将能够全面理解和掌握圆的基本性质，培养数学思维和解决实际问题的能力。

希望同学们能够积极参与课堂讨论和练习，提高数学学习的兴趣和效果。

期待同学们在数学学习中取得更好的成绩！。

本课课时安排数：总课时数：第二十四章圆24. 1. 1 圆（1）学习目标1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2. 理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．学习重难点重点：与圆有关的概念．难点：圆的有关概念的理解．学习过程一、激趣定标1、阅读课本第二十四章圆的引言2、板书课题，展示目标二、自学互动（适时点拨）互动1自学：研读课本P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．探究：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做____，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做____．②用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为____的所有的点的集合．③连接圆上任意两点的____叫做弦，经过圆心的弦叫做____；圆上任意两点间的部分叫做____；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半____，大于半圆的弧叫做____，小于半圆的弧叫做____．互动21．以点A为圆心，可以画____个圆；以已知线段AB的长为半径可以画____个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画____个圆．师点拨：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2．到定点O的距离为5的点的集合是以___为圆心，____为半径的圆．三、测评训练1．⊙O的半径为3 cm，则它的弦长d的取值范围是____．2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是____．3．一点和⊙O上的最近点距离为4 cm，最远点距离为10 cm，则这个圆的半径是___cm或___ cm．4．如图，图中有____条直径，____条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有____条，劣弧有____条．5、同步练习册对应的练习题四、小结学生总结本堂课的收获与困惑．1．圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件．2．圆的相关概念：(1)弦、直径；(2)弧及其表示方法；(3)等圆、等弧．本课课时安排数：总课时数：24.1.1圆（2）学习目标：1、初步了解圆的意义，初步理解并掌握圆的相关概念、圆的记法以及弦、弧、圆心角等概念；2会用圆规画图，并进一步感知圆是由圆心和半径确定的──圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小．学习重、难点重点：圆的意义，弦和弧的概念、弧的表示方法；难点：对弧及优弧、劣弧的概念的感知与理解。

2019版九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.4 圆的基本性质导学案 （新版）沪科版【学习目标】1．经历不在同一条直线上的三点确定一个圆的探索过程。

2．了解不在同一条直线上的三点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法。

了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念。

3.进一步体会解决数学问题的策略。

【学习重难点】重点：（1）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

（2）三角形的外接圆、外心。

难点：形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。

【课前预习】1、圆的定义：_______________________________________________________。

2、圆的位置由________决定，圆的大小由__________决定。

思考：要作一个圆的关键是什么？怎样确定圆心和半径？要确定一个圆需几个条件?过几点可以确定一个圆呢？【课堂探究】1.如图，已知点A ，经过点A 画圆，能画多少个？结论：经过一点能作__________个圆。

2.如图，经过两个点A 、B 是否可以作圆？如果能作，可以作几个？分析：经过两个已知点A 、B 所作的圆的圆心在怎样的直线上? 因为这两点A 、B 在要作的圆上， 所以它们到这个圆的圆心的距离要 ，并且 都等于这个圆的 ，因此要作过这两点的圆就是要找到这两点的距离相等的点作为圆心， 而这样的点应在这两点连线的 上， 而半径即为这条直线上的 到点A 或点B 的距离。

总结：经过两点能作_________个圆，这些圆的圆心在________________。

3.如图，作圆，使它经过已知点A 、B 、C ，（A 、B 、C A ．．B（图2） ．A三点不在同一条直线上），你能经过这三点作一个圆吗？假设经过A、B、C三点的⊙O存在（1）圆心O到A、B、C三点距离_______（填“相等”或”不相等”）。

（2）连结AB、BC，过O点分别作直线MN⊥AB，EF⊥BC，则MN是AB的_______ ；EF是BC的_______。

CBAODOBAMN24.1.1 圆一、学习目标：1.了解圆的基本概念，并能准确地表示出来；2.理解并掌握与圆有关的概念：弦.直径.圆弧.等圆.同心圆等； 二、学习重.难点： 圆的定义及与圆有关的概念； 三、学习过程：（一）课前预习：１．圆的定义： 在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，•另一个端点所形成的______叫做圆．固定的端点O 叫做______，线段OA 叫做_______． 以点O 为圆心的圆，记作“______”，读作“______”． 2．确定圆有两个要素：一是________，二是__________；____________确定圆的位置,__________确定圆的大小 3.思考下面的两个问题：问题1：圆上各点到定点（圆心O ）的距离有什么规律？ 问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？（1）圆上各点到定点（圆心O ）的距离_____________________________（半径r ）； （2）到定点的距离等于定长的点__________________________．因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是：_________ ____________________________________________________的点组成的图形． ☆圆的两种（动态/静态）定义是什么？为什么车轮是圆的？4.圆的有关概念：弦（直径）、弧（半圆、优弧、劣弧）、等圆、等弧； ⑴ 弦：连接圆上 叫做弦；经过圆心的弦叫做 ； ★ 直径是圆中 的弦⑵ 弧：圆上 叫做圆弧，简称弧；以A ，B 为端点的弧记作： ①圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做 ； ②大于半圆的弧（用三个字母表示）叫做 ，•小于半圆的弧叫做 ． ⑶ 等圆： 叫做等圆 ；即半径 的两个圆是等圆。

⑷ 等弧：在同圆或等圆中， 叫做等弧。

⑸ 同心圆： 相同， 不等的一些圆叫做同心圆。

24.2圆的基本性质
第一课时
教学目标
【知识与能力】
1.探索圆的两种定义，理解掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，并能够从图形中识别；
2.理解并掌握点和圆的三种位置关系及数量关系。

【过程与方法】
体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系，通过实际问题的探究，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

【情感态度价值观】
在解决问题的过程中，使学生体会数学知识在生活中的普遍性。

教学重难点
【教学重点】
圆的两种定义的探索，利用圆的性质解释一些生活问题，点与圆的位置关系。

【教学难点】
圆的描述性定义，用不同的方法判断点与圆的位置关系。

课前准备
课件、圆规、三角板等。

教学过程。

, 则该三角形是 ______.
3. △ABC的三边为 2,3, 13 , 设其外心为 O,三条高的交点为 H, 则 OH的长为 _____.
4. 三角形的外心是 ______的圆心 , 它是 _______的交点 , 它到 _______的距离相等 .
5. 已知⊙ O的直径为 2, 则⊙ O的内接正三角形的边长为 _______.
为△ ABC的外接圆 , 如果 BD的长为 6, 求△ ABC的外接圆⊙ O的面积 .
A
B
C D
O
16．已知△ ABC内接于⊙ O， OD⊥ BC，垂足为 D，若 BC=2 3 ， OD=1，求∠ BAC的度数．（注意：分类讨
论）
24.2.2 直线和圆的位置关系（ 1）
新知导学
1．直线与圆的位置关系
（二）新知导学
圆与圆的五种位置关系的性质与判定
如果两圆的半径为 R、r ，圆心距为 d，那么
则∠ EDF等于（
）A.45 0
B.55
0 C.65 0
D.70
0
3. 边长分别为 3、 4、5 的三角形的内切圆与外接圆半径之比为（
）
A.1:5
B.2:5
C.3:5
D.4:5
4. 如图， PA、 PB是⊙ O的两条切线，切点是 A、B. 如果 OP＝ 4， PA 2 3 ，那么∠ AOB等于（
A. 90 °
；
直线与圆相切
；
直线与圆相离
.
【合作探究】 1．在△ ABC中，∠ A=450， AC=4,以 C 为圆心， r 为半径的圆与直线 AB有交点，试确定
r 的范围 .
【自我检测】
一、选择题
1．命题：“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（

第24章圆24.2 圆的基本性质第1课时圆的定义及与圆有关的概念教学目标教学反思1.认识圆，理解圆的本质属性.2.理解弦、弧、直径、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.3.会判断点与圆的位置关系，并应用这一关系进行解题.教学重难点重点：认识圆，理解圆的本质属性.难点：理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.教学过程导入新课问题情境：观察下列图片，从图片中找出共同的图形.教师追问：你还能举出生活中的圆形吗？师生活动：学生列举生活中的圆形，教师适当引导.思考：车轮为什么做成圆形? 做成三角形、正方形可以吗？师生活动：如果把车轮做成圆形，车轴安装在圆心上，当车轮在地面滚动的时候，车轴离开地面的距离总是等于车轮半径长.因此车厢里坐的人都将平稳地被车子拉着走.假设车轮是个破的，已经不成圆形了，轮缘上高一块低一块的，也就是说从轮缘到轮子圆心的距离不相等，那么这种车子行驶起来一定很颠簸.同样道理，如果车轮设计成三角形或是正方形，因为其中心点到周边各点的距离不等长，所以行驶起来也一定会很颠簸！探究新知1.圆的定义教师提问：同学们，你们知道怎样画一个圆吗？你有哪些方法？师生活动：学生畅所欲言，教师圆规演示画圆的过程，总结圆的定义.1.定好半径长（即圆规两脚间的距离）；2.固定圆心（即把有针尖的脚固定在一点）；教学反思3.旋转一圈（使铅笔在纸上画出封闭曲线）；4.用字母表示圆心、半径、直径.【归纳总结】圆的旋转定义：在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.问题情境：1.以1 cm为半径能画几个圆，以点O为圆心能画几个圆？2.如何画一个确定的圆？师生活动：学生独立思考并回答，教师引导.教师追问：从画圆的过程可以看出什么呢？【归纳总结】①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于半径.②平面内到定点的距离等于定长的所有点都在同一个圆上.【归纳总结】圆的集合定义：平面内到定点（圆心O ）的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形.探究：确定一个圆的要素.教师提问：当圆的圆心确定时，这个圆唯一确定吗？当圆的半径确定时，这个圆唯一确定吗？师生活动：学生小组讨论，举出反例，思考确定圆的要素，教师引导.①②【解】如图①，圆心相同，半径不同，能画出无数个同心圆；如图②，半径相同，圆心不同，能画出无数个等圆.【归纳总结】确定一个圆的要素一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小.圆的基本性质：同圆的半径相等.【新知应用】例1 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O .求证：A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上.师生活动：（学生思考，教师引导）要使A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一圆上，结合圆的集合性定义，点A ，B ，C ，D 与点O 的距离有什么关系？【证明】∵ 四边形ABCD 为矩形， ∴ OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD ，∴ OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴ A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心，OA 为半径的圆上.【归纳总结】（学生总结，老师点评）由圆的集合性定义可知，圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）. 2.点与圆的位置关系圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.请你用集合的语言描述下面的两个概念：（1）圆的内部是到圆心的距离小于圆的半径r 的所有点的集合； （2）圆的外部是到圆心的距离大于圆的半径r 的所有点的集合. 【新知讲解】点与圆的位置关系： 1.点P 在圆上⇔OP ＝r （如图①）. 2.点P 在圆内⇔OP <r （如图②）. 3.点③练一练：1.正方形ABCD 的边长为3 cm ，以A 为圆心，３cm 长为半径作⊙A ，则点A 在⊙A ，点B 在⊙A ，点C 在⊙A ，点D 在⊙A .2.一点和⊙O 上的最近点距离为4 cm ，最远距离为10 cm ，则这个圆的半径是 cm.3.与圆有关的概念 （1）弦连接圆上任意两点的线段（如图中的AB ）叫做弦.图中的弦还有 .经过圆心的弦（如图中的AC ）叫做直径.注意：①弦和直径都是线段.②直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. （2）弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A ，B 为端点的弧记作AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”. （3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.教学反思（4）劣弧与优弧小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的AC .大于半圆的弧叫做优弧，如图中的ABC .（5）等圆能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆. （6）等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 3.概念辨析（1）长度相等的弧是等弧吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）长度相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.（2）直径是弦吗？弦是直径吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）直径是弦，但弦不一定是直径，只有在弦经过圆心时，这条弦才叫直径，因此直径是圆中最长的弦.（3）半圆是弧吗？弧是半圆吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）半圆是弧，但弧不一定是半圆，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧才是半圆.【新知应用】例2 下列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦.其中正确的是________.（填序号）师生活动：（引发学生思考）优弧、劣弧、等圆、直径、等弧的定义分别是什么？圆上的弧可以分为哪几类？【答案】②【归纳总结】（学生总结，老师点评）由圆的有关概念可知，连接圆上任意两点的线段是弦；过圆心的弦是直径；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧；圆上的弧分为优弧、半圆、劣弧.例3 如图.（1）请写出以点B 为端点的劣弧及优弧； （2）请写出以点B 为端点的弦及直径； （3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.师生活动：发对优弧、劣弧概念的思考.【解】（1）劣弧：BD ，BF ，BC ，BE .优弧：BFE ，BFC ，BCD ，BCF .（2）弦BD ， AB ， BE .其中弦AB 又是直径.（3）答案不唯一.如：弦DF ，它所对的弧是DF 和DEF . 【归纳总结】大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.要按照一定的顺序书写，不要遗漏.【拓展延伸】 例4 下列说法：①经过点P 的圆有无数个；②以点P 为圆心的圆有无数个；③半径为3 cm ，且经过点P 的圆有无数个；④以点P 为圆心，以3 cm 为半径的圆有无数个.其中错误的有（ ）A .1个 B.2个 C.3个 D.4个师生活动：（引发学生思考）结合圆的定义分析怎样确定一个圆？确定一个圆的条件有哪些？【答案】A教学反思【归纳总结】（学生总结，老师点评）确定一个圆需要两个要素：一是圆心，确定圆的位置；二是半径，确定圆的大小.两者缺一不可.例5A，B是半径为5的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（）A.AB＞0B.0＜AB＜5C.0＜AB＜10D.0＜AB≤10师生活动：（引发学生思考）连接圆上任意两点的线段是弦，求弦AB的取值范围，就要知道连接圆上任意两点构成的最长线段和最短线段分别是什么.【答案】D【归纳总结】（学生总结，老师点评）圆上最长的弦是直径，则圆上不同两点构成的弦长大于0且小于等于直径长.课堂练习1.填空：（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍.（2）如图所示，图中有条直径，条非直径的弦.2.一点和⊙O上的点最近距离为6 cm，最远距离为12 cm，则这个圆的半径是 .3.判断下列说法的正误.（1）弦是直径. （）（2）过圆心的线段是直径. （）（3）半圆是弧. （）（4）过圆心的直线是直径. （）（5）直径是最长的弦. （）（6）半圆是最长的弧. （）（7）长度相等的弧是等弧. （）（8）同心圆也是等圆. （）4.给出下列说法：①直径是弦；②优弧是半圆；③半径是圆的组成部分；④两个半径不相等的圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长.其中正确的是.（填序号）5.如图，点A，B，C，E在⊙O上，点A，O，D与点B，O，C分别在同一直线上，图中有几条弦？分别是哪些？第5题图6.如图，点A，N在半圆O上，四边形ABOC和四边形DNMO均为矩形，求证：BC＝MD.参考答案1.（1）直径半径（2）两三2.9 cm或3 cm3.（1）×（2）×（3）√（4）×（5）√（6）×（7）×（8）×4.①5.解：图中有3条弦，分别是弦AB，BC，CE.6.证明：如图，连接ON，OA.∵点A，N在半圆O上，∴ON＝OA.∵四边形ABOC和四边形DNMO均为矩形，∴ON＝MD，OA＝BC，∴BC＝MD. 教学反思第6题答图课堂小结学生独立思考，进行总结，教师补充概括. ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩圆的旋转定义圆的定义圆的集合定义弦—直径劣弧圆弧半圆圆的有关概念优弧等圆等弧 布置作业教材第14页练习板书设计24.2 圆的基本性质第1课时 圆的定义及与圆有关的概念1.圆的定义（1）圆的旋转定义 （2）圆的集合定义2.与圆有关的概念：弦；直径；弧；半圆；等圆；等弧.3.点与圆的位置关系： 点P 在圆上⇔OP ＝r ； 点P 在圆内⇔OP <r ； 点P 在圆外⇔OP >r. 教学反思。

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24.２。

2圆的基本性质【学习目标】1.利用圆的轴对称性,通过观察使学生能归纳出垂径定理的主要内容。

2.要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明,计算问题.3．运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明．4．经历探索圆的对称性及相关性质的过程,进一步体会研究几何图形的各种方法.5.培养学生独立探索、相互合作交流的精神.6．通过例题（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育;并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想。

【学习重难点】重点：垂径定理及其推论在解题中的应用.难点:如何进行辅助线的添加,构造直角三角形解决一些的计算问题。

【课前预习】１.在Ｒt△ABC中，∠Ｃ=90°,AＣ=2,BC=4,CM是中线,以C为圆心,错误!为半径画圆，则Ａ、B、Ｍ与圆的位置关系是( ).Ａ．A在圆外,B在圆内，M在圆上Ｂ. A在圆内,Ｂ在圆上，M在圆外C.A在圆上,B在圆外，M在圆内D.A在圆内,B在圆外，M在圆上解析：R t△ABC中,AB=错误!=错误!＝2错误!，CM＝错误!AB＝错误!,又2<错误!＜4，故A 在圆内,Ｂ在圆外，M在圆上.答案：Ｄ2.已知平面上一点到⊙O的最长距离为8 ｃｍ，最短距离为2 cm，则⊙O的半径是___＿＿_＿___．解析：本题分两种情况:(1)点P在⊙O内部时，如图①所示,PA=８cm，PB=2 cｍ，直径ＡＢ＝8+2=10(cm),半径r＝错误!AB=错误!×10=5(cm）;(２)点P在⊙O外部时,如图②所示,直径AB＝PA－PＢ=8－2＝6(cm），半径r＝12×6＝3（cｍ)．答案:３cｍ或5 cm３.圆是轴对称图形,对称轴是任意一条过圆心的直线.4.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧．5．定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．６．圆心到弦的距离叫做弦心距.【课堂探究】1.垂径定理【例1】赵州桥是我国古代劳动人民勤劳智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，半径为２7。

24.2.4 圆的基本性质课
法。

了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念。

设情境
．定点即为圆心，定长即为半径，根据定义大家觉得作圆的关键是什么
作圆，只要圆心确定下来，半径
等，则圆心应在线段的垂直平分线上任意取一点，都能满足到
径．圆就确定下来了．由于线段
三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．1．连结AB、BC
为圆心
符合要求．
作的垂直平
此这样的画法满足条件．
由上可知，过已知一点可作无数个圆，过已知两点也可作无数个
作出它们的外接圆．它们外心的位
锐角三角形直角三角形钝角三角形
接圆的圆心，即外心．
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在
点作圆的方法．。

24.2.1圆的基本性质导学案
2、圆中的有哪些概念？
一、教材第12页
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转，另一个端点所形成的图形叫做．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
二、教材第12页
思考
从画图的过程中，你能说出圆上的点有什么特性吗？
(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于 (半径r)
(2) 到定点的距离都等于定长的点都在上.
因此，圆可以被看成：。

三、教材第12页
交流
观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？。

设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？
反过来，由d 与r 的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
点P 在⊙O 内 。

点P 在⊙O 上 。

点P 在⊙O 外 。

四、教材第13页 圆的有关概念
圆弧:连接圆上任意两点间的部分叫做 ,简称弧.
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成 ,每一条弧叫做 .
大于半圆的弧（用三个点表示，如：CBA ̂ 或ABC ̂ ），叫做 ； 小于半圆的弧叫做 . 如:AC
෢、BC ෢
弦： (图中的线段AB 、AC ）。

经过圆心的弦是 （图中的AB ）。

注意：凡直径都是弦,是圆中最长的弦,但弦不一定是直径.
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做 .
由弦及其所对弧组成的图形叫做 。

长度相等的弧是等弧吗？。

1．下列说法错误的是( )。

24.2.3圆的确定教材分析：“圆的确定”是沪科版初中数学教材九年级下册第24章《圆》的内容之一，它是在学生学习了圆的基本性质等相关知识之后的延续学习，也为后面深入学习圆周角定理等相关内容奠定基础。

其重点内容是“过不在同一直线上三个点作圆”和反证法，本节课的学习，对于培养学生规范地操作技能、探索问题能力及条理地思维能力具有重要作用。

从解决问题的思想方法来看，渗透了分类讨论、类比、化归等数学思想方法。

所以本课时无论从知识性还是思想性来讲，在教学中都占有重要的地位，起着承上启下的作用。

学情分析：学生已经学习了确定圆的条件是圆心和半径，还学习了线段的垂直平分线的性质、判定和画法，这些知识的学习会为本节课的学习打下良好的基础。

而作一个符合要求的圆，发现圆心的分布规律是学生不易发现的，因此会产生一定的思维障碍，另外在圆心的找取上，由于学生不能建立圆与垂直平分线两者之间的关联而产生知识生成的困难；用反证法证明命题时，学生在运用反证法证明命题的过程中，可能会存在很大的困难。

大多数的学生在遇到困难懒于思索，在课堂活动中习惯性充当旁观者，而不是积极主动的探究者。

教学目标：知识技能目标：1、理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

2、了解三角形的外接圆和三角形外心的概念及相关知识。

3、理解和掌握反证法的证明方法。

数学思考与问题解决目标：1、经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程和三角形的外心的性质、培养学生的探索能力。

2、通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略。

3、经历用反证法证明命题成立的方法，体会辩证的数学方法。

情感态度价值观1、形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神。

2、感知数学来源于生活并服务于生活，树立探究数学问题的意识，通过问题解决过程中的相互合作和独立思考能力，体验成功的喜悦。

教学重点：1、过不在同一条直线上的三个点作圆的方法及其运用。

24.2.3圆的基本性质【学习目标】1．使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；2．使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并学会运用这些关系解决有关问题；3．培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律．【学习重难点】重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理的推论；难点：从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点．【课前预习】1．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )．A．8 B．2 C．10 D．5答案：D2．圆是旋转对称图形，对称中心为圆心．3．顶点在圆心的角叫做圆心角．4．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．5．定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都相等．这个定理可简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等．【课堂探究】1．弧与它所对的圆心角之间的关系【例1】如图(1)，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以C点为圆心，CA的长为半径的圆交AB于D，求AD的度数．分析：要求AD的度数，根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数，故只需求出∠DCA 的度数．解：连接CD，如图(2)．∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°.∵CD＝CA，∴∠CDA＝65°.∴∠DCA＝180°－65°×2＝50°.∴AD的度数为50°.点拨：在同圆或等圆中，解决有关弦、弧、圆心角的问题时，常常用到此三组量之间的对应关系．2．弧、圆心角、弦、弦心距之间的关系定理【例2】如图(1)，M、N分别为⊙O的非直径弦AB、CD的中点，AB＝CD.求证：∠AMN ＝∠CNM.分析：利用弧、圆心角、弦、弦心距之间的关系定理．因为M、N分别是AB、CD的中点，连接OM、ON，则有OM⊥AB，ON⊥CD，OM＝ON，故易得结论．证明：连接OM、ON，如图(2)．∵M、N分别是⊙O的非直径弦AB、CD的中点，∴OM⊥AB，ON⊥CD.由AB＝CD，得OM＝ON.∴∠OMN＝∠ONM.∵∠AMN＝90°－∠OMN，∠CNM＝90°－∠ONM，∴∠AMN＝∠CNM.点拨：在解决弦、弧、弦心距的问题时，常要作出半径或弦心距，构造弦的一半、弦心距、半径组成的直角三角形．【课后练习】1．下列说法中不正确的是( )．A ．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个B ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形D ．当圆绕它的圆心旋转35°17′42″时，不会与原来的圆重合答案：D2．如图，MN 为⊙O 的弦，∠M＝50°，则∠MON 等于( )．A ．50°B ．55°C ．65°D ．80°答案：D3．在半径不相等的⊙O 1和⊙O 2中，11A B 与22A B 所对的圆心角都是60°，则下列说法正确的是( )．A. 11A B 与22A B 的弧长相等B. 11A B 和22A B 的度数相等C. 11A B 与22A B 的弧长和度数都相等D. 11A B 与22A B 的弧长和度数都不相等答案：B4．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE 上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE 是( )．A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°答案：C5．如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF ＝BE.求证：∠B＝∠D.证明：如图，连接OE、OF. ∵DF=BE，∴∠DOF=∠BOE.∵OD=OF=OB=OE，∴△ODF≌△OBE.∴∠B=∠D.。

圆的基本性质复习（1）一、开门见山，引入课题圆是我们初中数学学习的一个重要内容，它涉及到较多的性质和定理，今天我想与同学们一起来重温一下圆的基本性质。

（板书课题）二、师生交流，提升认知（一）圆的轴对称性师生交流，深化认识师：⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，OE=4,CD=6,你能求出⊙O的半径吗？生：能，不能师：那就你给它添加一个条件，再来求求看（思考片刻让学生回答）生1：AB⊥CD……因为，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

生讲，教师板书过程，强调构造Rt三角形生2：CE=DE……生3：⌒BC=⌒BD或⌒AC=⌒AD……因为，平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

师：刚才这个问题，我们同学们添加了三个不同的条件，都顺利地解决了问题。

那你有没有想过这三种方法实际上就是我们学过的什么定理？生：垂径定理及推论师：垂径定理及推论关系较多，其实同学们要记住它们所对应的图形基本上就是我们刚才题目中的图形，我们发现他是怎样的一个图形呢？生：轴对称师：是的，垂径定理的实质就是圆的轴对称性，可见问题抓住实质理解起来往往会比较简单。

（二）圆的旋转不变性1.师生交流，深化认识师：我们将刚才图形中的两条弦稍作移动，并让他们相等，你还能找出哪些相等的量？生1：弧AB=弧CD生2：弧AC=弧BD生3：弧CAD=弧BDA生4：AE=DE生5：BE=CE（以上学生回答后，马上追问为什么？）师：这么多的等量关系，我们都是通过什么定理得到的？生：圆心角定理及推论师：这些等量关系实际上我们可以让这个圆通过旋转来证明（演示）师：可见圆心角定理和推论的实质是圆的哪个性质？生：圆的旋转不变性2.及时练习，基础巩固师：如果告诉你∠DEB=60°,你能求出弧DB的度数吗？（学生练习3分钟，拿两个学生作品展示，或两位上来讲解）师：通过本题我觉得在同圆或等圆当中，有许多的量都是对应捆绑的，因此，一定要学会通过圆的旋转不变性来找等量关系，以便帮助我们解题。

第二十四章《圆》小结一、本章知识结构框图二、本章知识点概括4、圆周角的性质①定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

②在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

③推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

（三）与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，OP=d则：点P在圆内d<r；点P在圆上d=r；点P在圆外d>r.2、直线与圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到l的距离为d则：直线l与⊙O相交 d<r 直线和圆有两个公共点；直线l与⊙O相切 d=r 直线和圆只有一个公共点；直线l与⊙O相离d>r 直线和圆没有公共点。

3、圆与圆的位置关系①如果两圆没有公共点，那么这两个圆相离，分为外离和内含；如果两圆只有一个公共点，那么这两个圆相切，分为外切和内切；如果两个圆有两个公共点，那么这两个圆相交。

②设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，圆心距为d，则：两圆外离d＞r2＋r1；两圆外切d＝r2＋r1；两圆相交r2－r1＜d＜r2＋r1（r2≥r1）；两圆内切d＝r2－r1（r2＞r1）；两圆内含0≤d＜r2－r1（r2＞r1）。

（四）圆的切线（五）圆与三角形1、三角形的外接圆（1）定义：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

（2）三角形外心的性质：①是三角形三条边垂直平分线的交点；②到三角形各顶点距离相等；③外心的位置：锐角三角形外心在三角形内，直角三角形的外心恰好是斜边的中点，钝角三角形外心在三角形外面。

2、三角形的内切圆（1）定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

（2）三角形内心的性质：①是三角形角平分线的交点；②到三角形各边的距离相等；③都在三角形内。

（六）圆与四边形1、由圆周角定理可以得到：圆内接四边形对角互补。

*2、由切线长定理可以得到：圆的外切四边形两组对边的和相等。

圆的基本性质圆的定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．这个定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，以点O为圆心，OA的长为半径的圆记作⊙O圆的确定不在同一直线上的三点确定一个圆．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小角圆心角顶点在______的角，如图中的∠AOC，∠COB圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，如图中的∠BAC 弦定义连接圆上任意两点的线段，如线段AC、AB是⊙O的弦直径过圆心的弦，如线段AB是⊙O的直径弦心距圆心到弦的距离弧定义圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧半圆圆上任意一条直径的两个端点把圆分成能够完全重合的两条弧，每一条弧都叫做半圆优弧大于半圆的弧，如劣弧小于半圆的弧，如等弧能够完全重合的弧圆的性质对称性 1.圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴；2．圆也是中心对称图形，________是它的对称中心旋转不变性圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合名称内容定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，如图，若∠AOB＝∠COD，则，AB＝CD推论在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角________，所对的弦________，如图，若，则∠AOB＝_______，AB＝________在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角________，所对的弧________，如图，若AB＝CD，则∠AOB＝______，»»=AB CD»»=AB CDAB CD=»»1. 定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________．2. 推论：(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________；(2)半圆(或直径)所对的圆周角是________，90°的圆周角所对的弦是________．5圆内接四边形考点1. 正多边形与圆的关系(1)正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心； (2)正多边形的半径：外接圆的半径；(3)正多边形的中心角：正多边形的每一条边所对的圆心角； (4)正多边形的边心距：正多边形的中心到一边的距离．1. 概念： 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形．2. 性质：(1)圆内接四边形的对角______，如图，∠A ＋∠BCD ＝______，∠B ＋∠D ＝______；(2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，如图，∠DCE ＝________．正多边形与圆考点6。