《数字信号处理》第9章 信号的抽取与插值—多抽样率数字信号处理基础

数字信号处理的基础知识数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是指用数字技术对模拟信号进行处理和分析的一种信号处理方式。

它广泛应用于通信、音频处理、图像处理、雷达信号处理等领域。

本文将介绍数字信号处理的基础知识，包括离散信号和离散时间的概念、采样和量化、数字滤波器以及离散傅立叶变换等内容。

一、离散信号和离散时间在数字信号处理中，信号被看作是在特定时间点上取得离散值的序列，这样的信号称为离散信号。

离散时间则是指在一系列有限时间点上取样的时间。

采样是将连续信号转化为离散信号的过程，通过在一定时间间隔内对模拟信号进行采样，得到离散的信号值。

在采样过程中，采样频率的选择需要根据信号频率的特点来确定，以避免信息的损失。

采样后的信号经过量化，将离散信号的幅度近似表示为有限数量的离散值。

二、数字滤波器数字滤波器是数字信号处理的重要组成部分，用于通过增强或减弱信号的某些频率分量来处理信号。

常见的数字滤波器包括无限脉冲响应滤波器（Infinite Impulse Response，简称IIR）和有限脉冲响应滤波器（Finite Impulse Response，简称FIR）。

无限脉冲响应滤波器是一种反馈滤波器，其输出和输入之间存在无限多个时刻的依赖关系；有限脉冲响应滤波器则是一种前馈滤波器，其输出仅依赖于有限个时刻的输入。

数字滤波器的设计和参数选择需要根据应用的需求和信号特性进行。

三、离散傅立叶变换离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是数字信号处理中常用的分析工具。

它将离散信号变换为复数序列，反映了信号在不同频率上的成分。

DFT的快速计算算法即快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT），通过巧妙的运算方法大幅度降低了计算复杂度，使得实时处理大规模信号的应用成为可能。

离散傅立叶变换广泛应用于信号滤波、频谱分析、编码压缩等领域。

9.1　复习笔记一、用正整数D 的抽取——降低抽样率1. 从连续时域降低抽样率的分析由时域与频域的对应关系为利用序列的傅里叶变换与连续时间信号的傅里叶变换之间的关系式，可得图9-1表示了、和以及它们的频谱、、(t)a x (n)x (n)d x (j )a X ΩX(e )j T Ω以及用数字频率、表示的、，可以看出，抽样频率愈低，X (e )j T d 'Ωωω'X(e )j ωX (e )j d ω则周期延拓的各频谱分量靠得愈近。

图9-1 从模拟信号抽样的角度看序列的抽取2. 直接在序列域用正整数D 的抽取（1）抽取器的时域分析设x （n ）抽样率为f s ，则x d （n ）抽样率为f s ／D 。

把变成：将中每(n)x (n)d x(n)x 隔D －1个抽样点取出1个抽样点。

即实现这一过程的部件称为D 抽取器或抽样率压缩器，如图9-2所示。

图9-2 抽取器及其框图表示（2）抽取器的频域分析可表示成和一个脉冲串的相乘，即()p x n (n)x (n)p 频域间的关系为由于两序列乘积的傅里叶变换等于两序列各自的傅里叶变换的复卷积乘以，则有12 （3）通用抽取器在抽取器之前加上防混叠滤波器，防混叠滤波器的理想频率响应应满足图9-4 模拟信号、序列及抽取序列的频谱（D ＝２）二、用正整数I 的插值——提高抽样率每两个相邻抽样间插入（I －1）个抽样值的过程分为两步实现。

第一步是把两个相邻抽样值之间插入（I －1）个零值，第二步是用一个低通滤波器进行平滑插值，使这（I －1）个样点上经插值后出现相应的抽样值。

I 倍插值器系统如图9-3所示，图9-3 插值器系统的框图1．零值插入器零值插值器的输出为输出频谱为X (e )j I ω''图9-4画出了插值（I ＝3）全过程中的各信号及其频谱。

它不仅包含基带频谱，即之内的有用频谱，而且在的范围内还有基带信号的镜像，它们的中心频I ωπ'≤ωπ'≤率在，…处。

数字信号处理基础数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是一种将连续时间的模拟信号转换为离散时间的数字信号，并对其进行各种滤波、编码和解码等处理的技术。

一、简介数字信号处理是利用计算机和数字技术对信号进行处理的一种方法。

它在通信、音频、图像和其他领域都有广泛应用。

数字信号处理最早出现在20世纪60年代，利用计算机的高速运算能力和数字技术的精准性，取代了传统的模拟信号处理方式。

二、原理和过程数字信号处理可以分为以下几个基本步骤：1. 采样（Sampling）：将连续时间的模拟信号转换为离散时间的数字信号。

采样频率要根据信号的频率特性来确定，通常需要满足奈奎斯特采样定理。

2. 量化（Quantization）：将采样得到的连续振幅的数字信号转换为离散的幅度信息。

量化级别的选择会影响到信号的保真度，通常使用均匀量化进行处理。

3. 编码（Encoding）：将量化后的数字信号进行编码，以便存储和传输。

常用的编码方式有脉冲编码调制（PCM）、差分编码调制（DM）等。

4. 数字滤波（Digital Filtering）：对信号进行滤波处理，以去除噪声和干扰，增强信号的质量和可靠性。

常用的数字滤波器包括FIR滤波器和IIR滤波器。

5. 解码（Decoding）：对编码后的信号进行解码，恢复成原始的采样信号。

6. 重构（Reconstruction）：将解码后的信号进行重构，得到与原始信号相似的模拟信号。

三、应用领域数字信号处理在现代通信、音频、图像处理等众多领域都有广泛应用。

以下是几个常见的应用领域：1. 通信系统：数字信号处理在通信系统中用于信号解调、解调、信道估计等各个方面，提高了通信质量和传输速率。

2. 音频处理：数字信号处理技术广泛应用于音频处理，如音频编码、音频增强、音频故障检测和修复等。

3. 图像处理：数字信号处理技术在图像处理中有着广泛的应用，如图像滤波、图像压缩、图像识别等。

信号的抽样与插值目前，我们讨论的信号处理的各种理论、算法及实现这些算法的系统都是把抽样频率视为恒定值，即在一个数字系统中只有一个抽样率。

但是，在实际工作中，我们经常会遇到抽样率转换的问题。

一方面，要求一个数字系统能工作在“多抽样率（multirate ）”状态，以适应不同抽样信号的需要；另一方面，对一个数字信号，要视对其处理的需要及其自身的特征，能在一个系统中以不同的抽样频率出现。

建立在抽样率转换理论及其系统实现基础上的“多抽样率数字信号处理”已成为现代信号处理的重要内容。

减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的“抽取（decimatim ）”，增加抽样率以增加数据的过程称为信号的“插值（interpolation ）。

抽取、插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。

例如：⑴ 一个数字传输系统，即可传输一般的语音信号，也可传输播视频信号，这些信号的频率成份相差甚远，因此，相应的抽样频率也相差甚远。

因此，该系统应具有传输多种抽样率信号的能力，并自动地完成抽样率的转换；⑵ 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字系统之间传递时，则要求该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而转换；⑶ 对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时，可用具有不同频带的低通、带通及高通滤波器对该信号作“子带”分解，对分解后的信号再作抽样率转换及特征提取，以实现最大限度减少数据量，也即数据压缩的目的；⑷ 对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造成数据的冗余，这时，希望能在该数字信号的基础上将抽样率减下来。

1 信号的抽取设()()|t nTs x n x t ==，欲使s f 减少M 倍，最简单的方法是将()x n 中的每M 个点中抽取 一个，依次组成一个新的序列()y n ，即()()y n x Mn = ~n =-∞+∞ （1.1）现在我们证明，()y n 和()x n 的DTFT 有如下关系：1(2)01()()M j j k Mk Y e X eMωωπ--==∑ （1.2）证明：由式2.1，()y n 的Z 变换为()()()nnn n Y z y n zx Mn z∞∞--=-∞=-∞==∑∑ （1.3）为了导出()Y z 和()X z 之间的关系，我们定义一个中间序列1()x n ：1()()0x n x n ⎧=⎨⎩ 0,,2,,n M M =±±其他 （1.4）注意，1()x n 的抽样率仍示s f ，而()y n 的抽样率是s f M 。

多速率信号处理及抽取和内插一：多速率信号处理1、在信号处理系统中有时需要不同的抽样率，这样做的目的有时是为了适应不同系统之间的级联，以利于信号的处理、编码、传输和存储，有时则是为了节省计算工作量。

数据速率的转换两种途径：1）数字信号→数模转换→模拟信号→模数转换→另一抽样率抽样2）数字信号处理→数字信号处理基本方法→抽样率转换目的：改变原有数字信号的频率方法：抽取和内插，低通滤波。

低通滤波：抽取和内插的前提条件是信号频带内没有频谱混叠，实现这一点需要用到低通滤波。

2、多速率滤波器-->具有线性相位的FIR滤波器。

常用的多速率滤波器：多速率FIR滤波器，积分梳状滤波器（CIC）和半带滤波器(HB);3、常用多速率信号处理结构第一级：CIC滤波器。

用于实现抽取和低通滤波第二级：fir实现的半带滤波器优点：工作在较低频率下，且滤波器参数得到优化，更容易以较低阶数实现，达到节省资源，降低功耗的目的。

二：抽取概念：使抽样率降低的转换。

1、整数倍抽取当信号的抽取数据量太大时，为了减少数据量以便于处理和计算，我们把抽样数据每隔（D-1）个取一个，这里D是一个整数。

这样的抽取称为整数抽取，D称为抽取因子。

2、抽取后结果：信号的频谱：信号的频谱周期降低1/D;信号的时域：信号的时域每D个少了（D-1）信号。

3、抗混叠滤波：在抽取前，对信号进行低通滤波，把信号的频带限制在抽样后频率的一半以下，这样，整数倍抽取的的问题就变成了一个低通滤波的问题。

信号时域图信号频域图程序运行后所得到的滤波前后信号的时域图，滤波器的频率响应图如上图。

从图中可以看出，经半带滤波器滤波后的信号，与原信号相比，波形没有改变，但抽样速率降低了一半；半带滤波器通阻带容限相同，具有严格线性相位。

三：内插概念：使抽样率升高的转换。

1、整数倍内插：在已知的相邻抽样点之间等间隔插入（I-1）个零值点。

然后进行低通滤波，即可求得I倍内插的结果。

2、内插后结果：信号的时域：已知抽样序列的两相邻抽样点之间等间隔多了I-1个值信号的频谱：信号的频谱周期增加了I倍。

9.3　名校考研真题详解1．以20kHz 的采样率对最高频率为l0kHz 的带限信号采样，然后计算x（n ）的N ＝1000个采样点的DFT ，即：（1）求k ＝150对应的模拟频率是多少？k ＝800呢？（2）求频谱采样点之间的间隔为多少？[华南理工大学2007研]解：（1）根据数字频率与模拟频率的关系得：N 点的离散傅里叶变换DFT 是对离散信号的傅里叶变换DFT 在N 个频率点上的采样，即：所以，X （k ）对应的模拟频率为：所以，当N ＝1000时，序号k ＝150对应的模拟频率是f ＝3kHz 。

当k ＝800时，当N ＝1000时，，此时对应的模拟频率为：（2）由N 可得频谱采样点之间的间隔为：2．用DFT 对模拟信号进行谱分析，设模拟信号的最高频率为200Hz ，其频谱如图所示。

现以奈奎斯特频率采样得到时域离散序列，要求频率分辨率为10Hz 。

（1）求离散序列x （n ）的傅里叶变换，并画出其幅度频谱示意图；（2）求，并画出其谱线示意图；（3）求每个k值所对应的数字频率和模拟频率的取值，并在图中标出。

[中南大学2007研]解：（1）由题意知，最高频率，频率分辨率，所以采样频率为：所以：记录时间为：则采样点数为：对采样得：x （n）的傅里叶变换为：其幅度频谱示意图：（2）由（1）得：谱线示意图为：（3）的图示如下；由上分析可得：当时，对应的，由于得当时，对应的数字频率，与的对应关系为，其中。

3．已知连续时间信号为对该信号进行抽样，抽样频率为4kHz ，得到抽样序列x[n]，求x[nJ 的表达式。

[北京大学2005研]解：已知连续时间信号为：抽样频率后，直接令t ＝n ，代入x a （t ）得x （n ），即：s T4．利用数字系统处理模拟信号的框图如图所示，其中X （jw ）为连续信号x （t ）的频谱，是离散系统h[k]的频率响应。

当抽样间隔时，试画出信号x[k]、)(Ωj e H s T 401=y[k]、y （t ）的频谱。

目录一、课程设计的性质与目的 (1)二、课程设计题目 (1)1. 设计目的 (1)2. 设计要求 (1)3. 设计步骤 (2)三、课程设计要求 (2)四、设计进度安排 (2)五、设计原理 (3)1. 巴特沃斯滤波器 (3)2. 采样定理............................................. 错误！未定义书签。

3. 椭圆滤波器........................................... 错误！未定义书签。

4. 抽取与内插 (5)六、实验步骤及效果图 (6)1. 信源的时域和频域分析 (6)2. 对原始信号进行滤波 (7)3. 对滤波后的信号采样 (8)4. 椭圆滤波器滤波 (9)5. 对语音信号进行抽取和内插处理 (10)6. 语音信号的恢复 (11)7. 信号波形图对比 (12)七、问题及解决办法 (14)1. 信源的时域和频域分析原代码 (14)2. 对原始信号进行滤波原代码 (15)3. 椭圆滤波器滤波原代码 (16)八、心得体会 (17)一、课程设计的性质与目的《数字信号处理》课程是通信专业的一门重要专业基础课，是信息的数字化处理、存储和应用的基础。

通过该课程的课程设计实践，使学生对信号与信息的采集、处理、传输、显示、存储、分析和应用等有一个系统的掌握和理解；巩固和运用在《数字信号处理》课程中所学的理论知识和实验技能，掌握数字信号处理的基础理论和处理方法，提高分析和解决信号与信息处理相关问题的能力，为以后的工作和学习打下基础。

数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。

根据其单位冲激响应函数的时域特性可分为两类：无限冲激响应（IIR）滤波器和有限冲激响应（FIR）滤波器。

二、课程设计题目多采样率数字信号处理在数字语音系统中的应用1、设计目的学习多采样率数字信号处理原理，采用整数因子抽取与整数因子内插来解决数字语音系统中的信号采样过程中存在的问题，并用MATLAB编程实现，加深对多采样率数字信号处理的理解。

9.2　课后习题详解9-1 图9-1所示系统输入为x （n ），输出为y（n ），零值插入系统在每一序列x （n ）值之间插入2个零值点，抽取系统定义为其中w（n ）是抽取系统的输入序列。

若输入试确定下列∞值时的输出y （n ）：图9-1解:（1）序列x （n ）的频谱为根据零值插入系统的性质，可知本题中I ＝3，由教程（9-3-4）式可知插值后序列x （n ）的频谱为当，此时输入序列频谱完全通过防混叠低通滤波器，因此有w （n ）的频谱为根据教程（9-2-22）式，可知输出序列对应的频谱为代入D ＝5和w （e jw）可得因此输 出序列y （n ）为（2）当w 1＞3/5π时，由（1）的解答过程可知，为由于通过截止频率叫w＝π/5的防混叠低通滤波器后频谱受到压缩，此时w （n）对应的频谱为根据教程（9-2-22）式，抽取后输出序列y （n ）对应的频谱为因此输出序列y （n ）为9-2 用两个离散时间系统T 1和T 2来实现理想低通滤波器（截止频率为π/4）。

系统T 1如图9-2（a ）所示，系统T 2如图9-2（b ）所示。

在此二图中，T A 表示一个零值插入系统，它在每一个输入样本之后插入一个零值点；T 表示一个抽取系统，它在每两个输入中取出一个。

问：（1）T1相当于所要求的理想低通滤波器吗?（2）T 2相当于所要求的理想低通滤波器吗?图9-2解:（1）对系统T 1，设输入序列x （n ）的频谱为（其中w ＞π/4）则经过T A 零插值系统后的输出信号频谱为这里I ＝2，所以有经过理想低通滤波器后信号频谱为再经过抽取系统T 后输出信号频谱为其中D ＝2，所以有对比输入输出信号的频谱，可知输出信号频谱被限制在w ＝π/4范围内，且幅度只相差一个常数，因此T 。

系统相当于所要求的理想低通滤波器。

（2）对T 系统，同样设输入x （n ）的频谱为其中w 0＞π/4。

则经过TB 抽取系统后的输出信号的频谱为这里D ＝2，所以有其中，当2w 0＜2π－2w 0，即w 0＜π/2时，无频谱混叠此时相当于所要求的理想低通。

现代信号处理基础课程报告信号的抽取与插值姓名：闫庆焕学号：2013022238专业：电子与通信工程一、引言为简单起见，很多时候我们在讨论信号处理的各种理论、算法及实现这些算法的系统时，都把抽样频率视为恒定值，即在一个数字系统中只有一个抽样率。

但是，在实际工作中，我们经常会遇到抽样率转换的问题。

一方面，要求一个数字系统能工作在“多抽样率（multirate）”状态，以适应不同抽样信号的需要；另一方面，对一个数字信号，要视对其处理的需要及其自身的特征，能在一个系统中以不同的抽样频率出现。

例如：•多种媒体（语音、图片、视频、数据）• 减少数据冗余——降采样• 两系统时钟频率不同• 子带编码• 同步• 软件无线电⇒要求转换抽样率，或要求系统工作在多抽样率状态。

⇒多率信号处理以上几个方面都是希望能对抽样率进行转换，或要求数字系统能工作在多抽样率状态。

近20年来，建立在抽样率转换理论及其系统实现基础上的“多抽样率数字信号处理” 已成为现代信号处理的重要内容。

其核心内容是信号抽样率的转换及滤波器组。

减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的抽取(decimatim)，增加抽样率以增加数据的过程称为信号的插值(interpolation)。

抽取、插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。

实现抽样率转换的一种方法：离散时间信号变换为模拟信号；模拟信号以新的抽样频率抽样，得到另一个离散时间序列。

这种方法的缺点：失真和量化误差⇒影响精度这种方法如下图所示。

现在主要研究直接在数字域对抽样序列x(n)做抽样率转换，得到新的抽样信号。

二、信号的抽取1、从连续时域改变抽样率，从原信号)(txa中每D个点抽取一个，依次组成一个新的序列)(nxd，即) (n xd =)(Dtxa,),(∞-∞∈n（1）图2-1 连续信号抽取过程图2-2 连续信号抽取后频谱变化2、直接在序列域用整数D的抽取2.1抽取器的时域、频域分析时域：对原信号每D点抽1点。