2020-2021学年广东省清远市高三(上)期末数学测试卷

2020届广东省清远市高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．设复数1i z i i -=-，则||z =（ ）A ．BC ．2D ．1 【答案】A【解析】先利用复数运算法则化简，再求复数的模长.【详解】 利用复数运算法则，由11121i z i i i i i -⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭，故可得|z |=故选：A.【点睛】本题考查复数的运算，以及复数模长的求解，属复数基础题.2．已知集合{}2219,05x M x x N x x ⎧⎫+=>=⎨⎬-⎩⎭，则M N =（ ） A ．132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ B ．5{|}3x x -<≤ C ．5}|3{x x <≤ D ．{|35}x x <<【答案】D【解析】先求解二次不等式以及分式不等式，再求解交集即可.【详解】由29x >，可得3x <-或3x >； 由2105x x +≤-，可得152x -<. 故{|35}M N x x ⋂=<<．故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，涉及二次不等式求解以及分式不等式的求解，属基础题.3．已知向量()4,3,,13a m b m m ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭.若a //b ，则m =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．13【答案】B【解析】由向量平行的坐标公式，代值计算即可.【详解】因为a //b ，故可得 243(1)44023m m m m m m ⎛⎫⨯-=⨯-⇒-+=⇒= ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属基础题.4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为0y +=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B C ．D ．9 【答案】A【解析】由渐近线方程可知,a b 之间关系，将其转化为,a c 关系，即可得离心率.【详解】因为渐近线方程为0y +=故22222883b c b a c a a a a==⇒-=⇒=. 故选：A.【点睛】本题考查双曲线的,,a b c 之间的关系，本题涉及由渐近线斜率求解离心率的转换.5．已知0.60.60.5log 0.5,0.5,log 6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】将每个数据与0或者1进行比较，从而区分大小关系.【详解】函数0.6log y x =单调递减，故0,60.6log 0.5log 0.61a =>=.又0.60.500.51,log 60b c <=<=<，所以c b a <<.故选：B.【点睛】本题考查指数和对数比较大小，其方法是选择1或者0为基准进行比较.6．已知等差数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，等差数列{}n b 通项公式为31n b n =-.若将数列{}n a 与数列{}n b 的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的第10项为（ ）A ．52B ．55C ．59D ．65【答案】C【解析】列举两个数列，找出规律，从而进行计算.【详解】对数列{}n a 进行列举：1,3,5,7,9,11,13,15，17对数列{}n b 进行列举：2,5,8,11,14,17 不难发现这个新数列{}n c 是以5为首项，6为公差的等差数列，故61n c n =-故此数列的第10项为10c =59.故选：C.【点睛】本题考查数列新定义，本质是等差数列的应用，属基础题.7．已知ln(1)()x f x x-=，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为（ ） A ．220x y -+=B ．220x y --=C ．220x yD ．220x y --=【答案】D 【解析】根据导数的几何意义，即可求解切线方程.【详解】因为()()1In x f x x -=故2ln(1)1(2)0,()x x x f f x x ---'==， 所以1(2)2f '=， 所以曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为10(2)2202y x x y -=-⇒--=. 故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义，涉及求过曲线上一点的切线方程的求解，需要牢记结论即可. 8．我国古代在珠算发明之前多是用算筹为工具来记数、列式和计算的.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法有“纵式”和“横式”两种，规定个位数用纵式，十位数用横式，百位数用纵式，千位数用横式，万位数用纵式，…，以此类推，交替使用纵横两式.例如：627可以表示为“”.如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用7根小木棍的概率为（ ）A ．1114B ．1721C ．2021D ．7984【答案】D【解析】先计算至少要用7根木棍的对立事件的概率，用1减去该事件对立事件的概率即可.【详解】至少要用7根小木棍的对立事件为用5根小木棍和6根小木棍这两种情况， 用5根小木棍为126这一种情况的全排列，用6根小木棍为123，127，163，167这四种情况的全排列，故至少要用7根小木棍的概率为3339579184A A -=. 故选：D.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，涉及正难则反的求解思路；一般地，当需要讨论的情况超过三种，我们考虑用正难则反的思路进行计算.9．已知F 为抛物线2:4C x y =的焦点，直线21y x =+与抛物线C 交于点,A B ，则||AB =（ ）A．B ．16 C ．12 D．【答案】C【解析】联立直线方程与抛物线方程，利用焦点弦计算公式代入求解即可.【详解】由题意得(0,1)F，所以1y =+过焦点F .设()()1122,,,A x y B x y ，则12||2AB y y =++.联立24,1,x y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得240x --=，所以12x x +=又11221,1y y =+=+，所以)1212||2412AB y y x x =++=++=.故选：C.【点睛】本题考查抛物线中的弦长求解，本题涉及抛物线焦点弦的求解，属抛物线基础题. 10．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，(2)f x +也是奇函数，当(0,2)x ∈时，2()2f x x x =-，则(1),,()2f f f ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小关系是（ ） A ．(1)()2f f f ππ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭B ．()(1)2f f f ππ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭C ．(1)()2f f f ππ⎛⎫-<<⎪⎝⎭ D ．(1)()2f f f ππ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据题意，找出函数的周期，利用函数的单调性，奇偶性和周期性比较大小即可.【详解】由()f x 为奇函数，可知函数()f x 的一个对称中心为(0,0).由(2)f x +也是奇函数，可知()f x 的一个对称中心为(2,0).故函数()f x 的周期为4.当(0,2)x ∈时，2()2f x x x =-，故(1)(1)1f f -=-=-. 又122π<<，所以02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭. 又34π<<，所以0(4)()(3)1f f f π=>>=-，所以(1)()2f f f ππ⎛⎫-<<⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查利用函数的性质比较大小，涉及函数周期性、奇偶性、单调性，是函数性质综合应用题.11．已知函数()sin()0,0,0||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下述四个结论：①2ω=；②3πϕ=-；③12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数；④12f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数中，所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．①③④C ．②④D ．①②④【答案】D 【解析】根据图像的最值，周期，以及五点作图法，求得函数解析式，再对选项进行逐一分析即可.【详解】由图可知，1A =，又函数周期2T ππω==，求得 2ω= 根据五点作图法：206πϕ⨯+=，解得3πϕ=-故()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以①②正确； sin 2sin 2sin 212123636f x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 此时函数不是奇函数，所以③错误；sin 2sin 2sin 2cos212123632f x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故12f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以④正确. 综上所述，正确的有①②④.故选：D.【点睛】本题考查由函数图像求三角函数解析式，以及三角函数的奇偶性；注意本题中求初相的方法.12．已知O 为坐标原点，圆22:(1)1M x y +-=，圆22:(3)9N x y ++=，,A B 分别为M 和N 上的动点，则0A B 面积的最大值为（ ） A ．334 B ．93 C ．33 D ．93【答案】B【解析】根据题意，构造面积的函数，用角度作自变量，利用导数研究单调性即可.【详解】如图，设BON θ∠=，过点M 作BO 延长线的垂线，垂足为D ，与圆M 的一个交点为A ，则AD 为圆M 上的点到直线BO 的距离的最大值，这时相对于每一个确定的OB ，0A B 的面积最大.又90,6CBO OC ︒∠==，所以6cos OB θ=.又MOD COB ∠=∠，所以MOD θ∠=.又1OM =，所以sin MD θ=，所以1sin AD θ=+， 所以116cos (1sin )22AOB S OB AD θθ=⨯=⨯⨯+△ 13(cos cos sin )3cos sin 22θθθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭设1cos sin 22y θθ=+，则2sin cos21sin 2sin (12sin )(1sin )y θθθθθθ'=-+=--=-+，令0y '=，解得12sin θ=或1sin θ=-，因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()0,1sin θ∈ 故当10,?2sin θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos sin 22y θθ=+单调递增； 当1,12sin θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos sin 22y θθ=+单调递减； 故当1sin 2θ=，即30θ︒=时，y. 所以AOB故选：B【点睛】本题考查圆方程中的动点问题，涉及三角函数，恒等变换，利用导数求单调性，属综合困难题.二、填空题13．已知实数,x y 满足1,4,36,x y x y x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩则2z x y =-的最小值是________. 【答案】72- 【解析】画出可行域，找出目标函数取得最小值时的点，代入目标函数，即可求得.【详解】由题意可知，满足不等式组的可行域如下图所示：根据图像，若2z x y =-取得最小值， 则过点35,22A ⎛⎫⎪⎝⎭代入得：3572222z =-⨯=- 故答案为：72-. 【点睛】本难题考查简单线性规划问题，属基础题.14．若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x -的系数是80-，则a =________. 【答案】-2【解析】写出展开式的通项公式，结合题意，即可求得.【详解】 展开式的通项为553552C C r r r r r r a x a x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当534r -=-时，3r =，故33580C a =-，解得2a =-.故答案为：-2【点睛】本题考查由二项式中的某一项的系数，求解参数的问题，属基础题；其关键是写出通项公式.15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若111,2n n n a a a +=⋅=，则15S =________.【答案】509【解析】根据递推公式，求得数列的性质，再用分组求和求解即可.【详解】因为12n n n a a +=⋅，所以122a a ⋅=，故22a =.又1122n n n a a +++=⋅，所以12212n n n n n na a a a a a ++++⋅==⋅， 所以数列{}n a 的所有奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列，数列{}n a 的所有偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列.又其前15项中有8个奇数项，7个偶数项，所以()()87915112212235091212S ⨯-⨯-=+=-=--.故答案为：509.【点睛】本题考查数列求和，涉及递推公式的转换，以及等比数列求和，属综合中档题；其难点是利用递推公式，通过下标的缩减，获得数列的特征.16．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,ABC AB BC ⊥.若2PA AB BC ===，,E F 分别是,PB PC 的中点，则三棱锥P AEF -的外接球的表面积为__________.【答案】5π【解析】根据题意，结合题中几何体的结构，将题中棱锥的外接球问题转化为长方体外接球问题.【详解】因为PA ⊥底面ABC ，所以PA BC ⊥.又AB BC ⊥，所以BC ⊥平面PAB ，故BC AE ⊥.又PA AB =，故AE PB ⊥，所以AE ⊥平面PBC ，所以,AE EF AE PE ⊥⊥.又//EF BC ，所以EF PE ⊥，故,,EF PE AE 两两垂直.又11,22EF BC PE AE ====，故该三棱锥外接球的半径与一个棱长分别为1. 所以三棱锥P AEF -的外接球的半径为22=，故外接球的表面积为245ππ⨯=⎝⎭. 故答案为：5π. 【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，涉及线面垂直，线线垂直的性质和判定；本题的关键是将棱锥的外接球问题转化为长方体外接球问题.三、解答题 17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin c B Aa b B C-=+-. （1）求角A ； （2）若3,cos a B ==，求ABC 的面积.【答案】（1）60A ︒=；（2）ABC S =△【解析】（1）利用正弦定理，将角化边，反凑余弦定理，即可求得； （2）利用正弦定理求边，根据两个角求出第三角的正弦，代入面积公式即可. 【详解】（1）由正弦定理，得sin sin ()sin sin c B A b ab c a b B C b c--==≠+--， 所以222b a bc c -=-，所以222122b c a bc +-=.由余弦定理，得1cos 2A =.又0180A ︒︒<<， 所以角60A ︒=.（2）由（1）得角60A ︒=，由cos =B，可得sin B =，由正弦定理，得2sin sin b a b B A =⇒=⇒=. 又180A B C ︒++=，故323sin sin 180()sin()sin cos cos sin 6C A B A B A B A B ︒+⎡⎤=-+=+=+=⎣⎦，11323323sin 3222ABC S ab C ++==⨯⨯⨯=△. 故三角形ABC ∆的面积为323+. 【点睛】本题考查利用正弦定理将角化边，以及求三角形面积，涉及余弦定理的使用，是解三角形综合问题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，45,DAB PD ︒∠=⊥平面ABCD ，AP BD ⊥. （1）证明：BC ⊥平面PDB ； （2）若2,AB PB =与平面APD 所成角为45°，求二面角A PC B --的大小.【答案】（1）证明见详解；（2）6π【解析】（1）根据题意及几何关系，由线线垂直推证线面垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法求解即可. 【详解】（1）由PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD得,PD BD PD BC ⊥⊥. 又AP BD ⊥，PD ⊂平面APD ，AP ⊂平面APD ，所以BD ⊥平面APD ， 又AD ⊂平面APD ， 所以BD AD ⊥.又//AD BC ，∴BC BD ⊥,BD ⊂平面PBD ,PD ⊂平面PBD 故BC ⊥平面PDB .（2）由（1）可知BD AD ⊥，又2,45AB DAB ︒=∠=，所以1AD BD ==.又BD ⊥平面APD ，所以DP 为BP 在平面APD 内的射影， 故45BPD ︒∠=，所以1PD BD ==， 由（1）可知，,,PD AD BD 两两垂直，如图，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，DP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -.则(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)P A B C -所以()()()1,0,1,1,1,1,0,1,1PA PC PB =-=--=- 设()111,,n x y z =为平面APC 的法向量，则00n PC n PA ⎧⋅=⎨⋅=⎩即1111100x y z x z -+-=⎧⎨-=⎩，可取()1,2,1n =，设()222,,m x y z =为平面PCB 的法向量，则00m PC m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2222200x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩，可取()0,1,1m =，故3,?2m n cos m n m n ⋅==因为二面角A PC B --为锐二面角， 所以二面角A PC B --的大小为6π. 【点睛】本题考查线线垂直推证线面垂直，以及用向量法求解二面角，属综合中档题.19．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，点(2,0)N 椭圆的右顶点.（1）求椭圆的方程；（2）过点(0,2)H 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，直线NA 与直线NB 的斜率和为13-，求直线l 的方程.【答案】（1）22142x y +=；（2）22y x =+ 【解析】（1）根据椭圆离心率以及顶点坐标即可得,,a b c 方程，求解即可； （2）设出直线，联立椭圆方程，根据韦达定理，利用已知条件求解即可. 【详解】（1）因为点(2,0)N 是椭圆的右项点，所以2a =.又2c a =，所以c =又222b c a +=，所以22b =所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）若直线l 与x轴垂直，则(0,A B，则413NA NB N NB k k k k ==+≠-， 所以直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为()()11222,,,,y kx A x y B x y =+，联立222142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2221840k x kx +++=则有12122284,2121k x x x x k k -+==++()2221(8)421402k k k =-⨯+⨯>⇒>△ 直线NA 的斜率为112y x -，直线NB 的斜率为）222y x -， 所以()()()()122112121222122223y x y x y y x x x x -+-+==-----. 又11222,2y kx y kx =+=+()()()()()()122112121222222222kx x kx x y y x x x x +-++-+=----()()121212122(22)81243kx x k x x x x x x +-+-==--++，化简得()1212(61)(46)200k x x k x x ++-+-=.又12122284,2121k x x x x k k -+==++， 所以2248(61)(46)2002121kk k k k -+⨯+-⨯-=++， 化简得220--=k k ，解得12k =或21k =-， 又21k =-时，过点N ，故舍去， 所以直线l 的方程为22y x =+. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及直线与椭圆相交，利用韦达定理及其他条件求直线方程；本题中需要注意分类讨论直线的斜率是否存在. 20．设函数()ln af x x x=+. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若1a ，证明1()x f x e>恒成立. 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增；（2）证明见详解.【解析】（1）求导，对参数进行分类讨论，进而求得函数的单调区间； （2）将恒成立问题，转化两个函数最值之间的问题，进而求解. 【详解】（1）由题意得0x >，221()a x a f x x x x'-=-+=. ①当0a ≤时，()0f x '，故函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；②当0a >时，在区间(0,)a 上，()0f x '<，在区间(,)a +∞上，()0f x >， 故函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增. （2）证明：要证1()x f x e >，只需证1ln xa x x e+>. 又0x >，故只需证ln x xa x x e+>即可.设()ln g x a x x =+，则()1ln g x x '=+， 在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0g x '<，在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x '>， 故函数()g x 在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以11()g x g a e e⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设()x x h x e =，则1()xx h x e '-=，在区间(0,1)上，()0h x '>，在区间(1,)+∞上，()0h x '<， 故函数()h x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以1()(1)h x h e =. 又1a ≥，所以111a e e--. 又因为2e >，所以21e>，所以111e e->，故在(0,)+∞上，()()g x h x >， 综上，1()x f x e>恒成立. 【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，以及证明不等式恒成立的问题，属导数经典题型.21．某无缝钢管厂只生产甲、乙两种不同规格的钢管，钢管有内外两个口径，甲种钢管内外两口径的标准长度分别为30mm 和34mm ，乙种钢管内外两个口径的标准长度分别为60mm 和65mm .根据长期的生产结果表明，两种规格钢管每根的长度()x m 都服从正态分布()2,N μσ，长度在(3,3)μσμσ-+之外的钢管为废品，要回炉熔化，不准流入市场，其他长度的钢管为正品.（1）在该钢管厂生产的钢管中随机抽取10根进行检测，求至少有1根为废品的概率； （2）监管部门规定每种规格钢管的“口径误差”的计算方式为：若钢管的内外两个口径实际长分别为(),()a mm b mm ，标准长分别为(),()a mm b mm ，则“口径误差”为||||a a b b -+-，按行业生产标准，其中“一级品”“二级品”“合格品”的“口径误差”的范围分别是[0,0.1],(0.1,0.2],(0.2,0.4]（正品钢管中没有“口径误差”大于0.4mm 的钢管），现分别从甲、乙两种产品的正品中各随机抽取100根，分别进行“口径误差”的检测，统计后，绘制其频率分布直方图如图所示：甲种钢管 乙种钢管（ⅰ）若经销商对甲、乙两种钢管各进了10万元的货，1X 和2X 分别表示经销甲、乙两种钢管所获得的利润，求1X 和2X 的数学期望和方差，并由此分析经销商经销两种钢管的利弊；（ⅱ）若经销商计划对甲、乙两种钢管总共进100万元的货，则分别在甲、乙两种钢管上进货多少万元时，可使得所获利润的方差和最小？ 附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=，3309().974P X μσμσ-<<+=，1010100.68270.0220,0.95450.6277,0.99740.9743≈≈≈.【答案】（1）0.0257；（2）（ⅰ）()118E X =，()148D X =，()217E X =，()216D X =，利弊见解析；（ⅱ）甲种钢管上投资25万元，在乙种钢管上投资75万元 【解析】（1）结合题意，由正态分布的概率进行计算即可；（2）（ⅰ）根据题意，求解分布列，再根据分布列求解期望和方差即可； （ⅱ）构造方差和的函数，根据方差的运算性质，利用已知求函数的最小值即可. 【详解】（1）由正态分布可知，抽取的1根钢管的长度在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974， 则这10根钢管的长度全在(3,3)μσμσ-+内的概率为100.99740.9743≈， 则这10根中至少有1根为废品的概率约为10.97430.0257-=. （2）（ⅰ）由利润率和投额可得1X 可为30万元、18万元、10万元，2X 可为25万元、15万元、8万元.又由直方图可得对应的频率为0.2、0.5、0.3和0.2、0.8、0， 所以随机变量1X 的分布列为()1300.2180.5100.318E X =⨯+⨯+⨯=（万元），()2221(3018)0.2(1818)0.5(1018)0.348D X =-⨯+-⨯+-⨯=.随机变量2X 的分布列为()2250.2150.88017E X =⨯+⨯+⨯=（万元），()222(2517)0.2(1517)0.816D X =-⨯+-⨯=.经销商经销甲种钢管的平均利润18万元大于经销乙种钢管的平均利润17万元， 但经销甲种钢管的方差48也远大于经销乙种钢管的方差16. 所以经销甲种钢管的平均利润大，方差也大，相对不稳定； 而经销乙种钢管的平均利润小，方差也小，相对稳定.（ⅱ）设经销商进了x 万元的甲种钢管，则进了(100)x -万元的乙种钢管， 令()f x 为经销甲种钢管所获利润的方差与经销乙种钢管所获利润的方差的和，则12100()100100x x f x D X D X -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2212100100100x x D X D X -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222163(100)100x x ⎡⎤=+-⎣⎦()2216420010000100x x =-+. 当2002524x -=-=⨯时，()f x 的值最小. 故在甲种钢管上投资25万元，在乙种钢管上投资75万元时，可使经销甲种钢管所获利润的方差与经销乙种钢管所获利润的方差和最小. 【点睛】本题考查正态分布，分布列的求解，数学期望与方差的计算，涉及方差的运算性质，属综合题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2212,22x t ty t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线2C的参数方程为2,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩，（α为参数）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线2C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐极方程为4πθ=，直线l 与曲线1C 和2C 分别交于不同于原点的,A B两点，求||AB 的值.【答案】（1）24cos 20ρρθ-+=；（2）【解析】（1）将参数方程化简为普通方程，再利用公式转化为极坐标方程即可； （2）根据题意，利用,A B 在极坐标中对应的θ相同，将方程转化为极坐标进而求解. 【详解】（1）由2,,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩得2,,x y αα=-= 两式平方相加，得22(2)2x y -+=，又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 20ρρθ-+=.（2）由2212,22,x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得222221142,2,4y t x t x t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭消去t ，得24,4y x x =，曲线1C 的极坐标方程为22(sin )4cos sin 4cos ,42ρθρθρθθρ=⇒=. 设12,,,44A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以124cos4sin 4πρπ==(2222220ρρ-+==解得2ρ=12|||AB ρρ=-==故AB =. 【点睛】本题考查将参数方程转换为极坐标方程，以及在极坐标方程中求解两点之间的距离. 23．已知0a b >>，函数24()()f x x a x b a b =-++-.（1）若1,2b a ==，求函数()f x 的最小值； （2）证明：()8f x .【答案】（1）8；（2）证明见详解.【解析】（1）根据绝对值三角不等式，即可求得；（2）利用绝对值三角不等式，巧妙构造，进行证明.【详解】（1）当1,2b a ==时，()44f x x x =-++()()448x x ≥--+=当且仅当[]4,4x ∈-时取得故()f x 的最小值为8.（2）证明： ()222444()()()()f x x a x x a x a b a b b a b b a b ⎡⎤=-++--+=+⎢⎥---⎣⎦， 故24()()f x a b a b +-. 又()2(a b a b b a b =+--2416()b a b a -，22222416168()a a a b a b a a++⨯=-， 当且仅当2,1a b ==时等号成立，故()8f x .【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，构造利用的条件，是解决问题的关键.。

数学（理）试题（本卷满分150分，时间120分钟）一、选择题（60分，每题5分）1.已知集合A二* x - 2x - 3 ：：：01 Z为整数集，则集合A Z中所有元素的和为（）A.1B. 2C. 3D. 42.已知复数z -3 i・3则z的虚部为（)A.-3B.3C.3i D . -3i3.某高中共有2000名学生，其中各年级男生、女生的人数如下表所示，已知在全校学生中随机抽取1人，抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则在高三年级中应抽取的学生人数是（）A. 8D. 32B. 164•如图所示，程序框图的输出值S二（）C. 284•如图所示，程序框图的输出值S二（）2 25.若双曲线"m y n胡（m o n）的渐近线方程是、二』2x。

则该双曲线的离心率为（）A. 2B. 3C.D.6.等差数列（a n ［的前n项和为S n，若公差d =-2 , S3 =21，则当S n取得最大值时, n的值为( )A. 10 B . 9 C . 6 D . 5I 心7.已知变量x、y满足约束条件y空x2x y -6 -0A. 112B. 8C.那么2x 3y的最小值为（D. 10&一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A. 12 B 24 C .40 D9.已知函数 且函数f x 12 f x 二sin ，x 亠匚］心 >0 , •二 是偶函数，下列判断正确的是（ ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 A.函数f x 的最小正周期为 B .函数 f x 的图象关于点 C.函数f x 的图象关于直线x - - ；2对称 D. 7 二—,012 ，二上单调递增 10.平行四边形ABCD 中，AB =4 , AD =2 , AB ・AD =4，点P 在边CD 上，贝U PA PB 的取 值范围是（ A. 1-1 , 8 1B . [ -1，…)11.三棱锥P - ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中ABC 是正三角形, PA _平面ABC,PA =2AB =6则该球的体积为（A. 16 3 二B. 32」3•二C. 48 二D. 64 3 12.已知点 P x,y 在不等式组 x -2 空0y -1—0 x 2y -2 -0表示的平面区域上运动，则 z = x -y的取值范围是（ A. 1,21 B . I -2,1 1 C . I -2, -1 1 .I-1,2 1二、填空题（20分，每题5分）x y _0 I 113. 若实数x , y 满足 x-y-2二0，贝U z — x y 的最小值为 _________________ .3y <1 14. 在数列 玄［中，已知 印=1 , a n2a n 1，则其通项公式为 Bn = _________________15. 三棱锥 P —ABC 中，平面 PAC _平面ABC ，PA 二 PC 二AB =2 3 , AC = 4，BAC =30 ，若三棱錐P _ABC 的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ________________16.若 sin （ a A 1，则 cos （； -2a ）二6 3 3三、解答题（70分） 17. （ 12 分）2 2 _1 如图，A, B 是椭圆x2 y 2 -1 a b 0的两个顶点，AB ，直线AB 的斜率为-.a b 2（1 ）求椭圆的方程;（2）设直线I 平行于AB ，与x,y 轴分别交与点 M , N ,与椭圆相交于C,D •证明：^OCM 的面积等于 ODN 的面积;18. (12 分) 在厶ABC 中，A , B , C 的对边分别为a , b , c ，已知二，且2 3sin AcosB +1 bsin 2A =3sin C（I ）求a 的值;2 Tf3若A = 3，求△ ABC 周长的最大值19. （本小题满分12分）如图（1）,在平行四边形 ABB 1A 中，ZABB 1 =60°，AB=4 , AA =2，C ，G 分别为AB ， AAQQ 沿CG 折起，如图（2）所示，连结BC ，BJ ，B4 •(I)求证：AB ! _CG ;（n ）若 AB = J 6，求二面角 C —AB 1 - A 的余弦值•AB !的中点，现把平行四边形20.（本小题满分 12 分）设 f x 二 xlnx ax a^ a -1 e x , a_ -2 . (1)若a = 0，求f x 的单调区间;21.( 12分)选修4-4 :坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是 T =4cosr .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正(I)若直线I 与曲线C 相交于A B 两点，且|AB|=-.14，试求实数 m 值.(n)设M x,y 为曲线C 上任意一点，求 x y 的取值范围22. (10分)选修4— 5:不等式选讲 已知函数f x 二x _a | , a = R .(I)当a =1时，求f x • |x 1 1的解集；(2)讨论f x 在区间1, n 上的极值点个数; e半轴，建立平面直角坐标系，直线数).(n)若不等式f x・3xz0的解集包含x岂—1，求a的取值范围算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，满分 12分.数学(理)答案、1-12 : CBBDC DBCDA BD18.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式等基础知识，考查运13. _114.___ 2^115.18兀 16.17. (1)解：依题意, b _ 1得 a 一 2，解得a = 2,b = 1 ,所以椭圆的方程为J -：a 2 - b 2 F 5x 2 y 2=11(2)证明：由于I //AB ，设直线I 的方程为y - - 1 x • m ，22将其代入 乞 + y 2 = 1，消去 y ,整理得 2x 2 —4mx + 4m 2 -4 = 0 ,设 C (%,y 1 )，D (x 2, y 2)，4I ■■- =16m 2 -32 m 2 -1所以x 1 x 2 2m %x 2 =2m 2 -2证法一：记■ OCM 的面积是SJODN 的面积是S ，，1由 M 2m,0 , N 0,m ，则 = S 2 亡 2因为x, +x 2 =2m ，所以2%从而S, = S 2 ；1-x -i m 2=+2m证法二：记 OCM 的面积是Si ， ODN 的面积是S 2， 则s =s 2二|MC | =|ND | =线段CD,MN 的中点重合 因为x ' x 2 =2m ，所以X 1 X 2y1—J X 1 X 2 m 」m ,2 2 2 2 2故线段CD 的中点为 m,1 m j,因为M (2m,0 ),N (0,m ),I 2丿所以线段MN 的中点坐标亦为1m, m ，从而 S | = S 2 - .2|2^|y J2 y11 = x2 ，X21解法一: (I)因为3sinAcos B 2bsin2^3sinC，A B C —所以3sinAcosB bsinAcosA=3sin A B , 即3sin AcosB 亠bsin AcosA =3sin AcosB 亠3cos Asin B , 即bsin AcosA =3cos Asin B .因为A二一，所以cosA M O ,2故bsin A =3sin B ,由正弦定理得ab =3b ,所以a =3 •2 TT(H)在△ ABC 中，A =2…，a =3 ,3由正弦定理得，b= c =23 ,si nB si nC所以 b =2 3sin B , c =2 3sinC , 所以 b c =2 3sin B 2 3sinC=2 3 sinB sinC=2 3 sinB sin —B- 31 3=2 3 sinB ——cosB (2 2=2 3sin B -.I 3丿因为0 £B ，所以3 n 丄兀::B -所以当B '二：二时,3 2JT即B 时，sin6解法二：1⑴由NAcosB 2bsin2A=3sinC，得3sin AcosB 亠bsin AcosA =3sinC ,由正弦定理，得3acosB，abcosA=3c ,3 2 3.IT故当B =时，△ ABC周长取得最大值6算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，满分12分.故厶ACG 是等边三角形,所以AO _CG , 同理可得BQ _CC ,,2 2 2 2 2 2由余弦定理，得3异2：「b 虻’be"灸， 整理得 b 2 ・c 2 _a 2a_3 =0 ,因为》二，所以b 2 c 2 —a 2 =0 ,2 所以a =3 .2仃(H)在△ ABC 中，A=- , a =3 ,3由余弦定理得，9二b 2 c 2 bc .2222因为 b c 亠 be = b c be ：： i b c 3 2=4 b c所以22(b +c )兰9，即(b +c )<12，所以 b +c 兰2^3 ,当且仅当b =c时，等号成立故当b =c = 3时，△ ABC 周长取得最大值3 2 3.19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及二 考查空间想象能力、推理认证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、 等，满分12分.证明：（I ）由已知可得，四边形 ACC 1A 1均为边长为2的菱形，.面角等基础知识， 函数与方程思想且.ACG 二.B 1C 1C =60 .在图（1）中，取CC 1中点O ,连结AO , B 1O , AG ,又因为Ap] BO =0 ,所以CC i _平面AOB i , 又因为AB i二平面AOB i，所以AB _ CG .(n)由已知得，OA =OB T = 3 , AB1 = 6 , 所以OA2• OB = AB2，故OA _ OB i,如图(2),分别以OB , OC1 , OA为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系,H得 C 0 , -1 ,0 , B1 3 , 0 ,0 , A 0 ,0 , 3 , A0 ,2, 3 .设平面CAB1的法向量m = X1 , y ,AB 二3 , 0 , - 3 , AC=0 , 由AB1 m =0得3为- 3Z1=0〕AC m — 0 ■ y^ - 3z1 — 0令儿二1，得z =1, y1 ~ _ 3, 所以平面CAB1的一个法向量设平面AAB的法向量n = X2 , y2 , Z2 ,AB1 二3 , 0 , - 3 , AA = 0 ,2 , 0 , 由AB1 n=0 得3禺 - 3Z2=0 ,|A A n =0 2y2 =0令X2 =1，得Z2 =1 , y2 =0 , 所以平面AAB1的一个法向量为n =(1 , 0 , 1).曰 m n 2 J 1o是 cos ::: m , n 二m ii n 辰血5因为二面角c —AB ! —A 的平面角为钝角, 所以二面角C — AB ! — A 的余弦值为—涇.5 20.解：(1 )当 a = 0时：f(x) =(xlnx -1)e x , ( x 0) 故 f (x) = (ln x +1 +x ln x —1)e x = ln x(x +1)e x 当 x =1 时：f (x) = 0，当 x 1 时：f (x) 0 ,当 x : 1 时：f (x) ：：： 0 .故f (x)的减区间为：(0,1)，增区间为(1,：：)2 x(2) f (x) = (ln x xln x ax a )e人 2' 1 - 1 1 令 g(x) = In x xln x ax a ，故 g (x) ln x 1 a - g (x)2 ■—xx x显然 g (1) = 0，又当 x : 1 时：g (x) ：： 0 .当 x 1 时：g (x) 0 .故 g (x)min = g (1) = 2 a , a 一 -2, . g (x) — g (x)min = 2 a — 0 .1故g(x)在区间(I •：：)上单调递增e1 注意到：当XT +田时，g(x) T +旳，故g(x)在(一，咼)上的零点个数由eg(1^(a -1)(a 1 ^)的符号决定.e e无极值点.1 1 1②当g( ) :： 0，即：-1 - ：:: a ：：： 1时：g(x)在区间(，=)上有唯一零点，即f (x)有唯e e e一极值点.1 1 综上：当一2兰a 兰一1一一或a ^1时：f(x)在(1,址)上无极值ee11①当 1 g(-)兰。

广东省清远市清城区高三第一学期期末统考（A ）卷数学（文）试题(本卷满分150分，时间120分钟)一、选择题（60分，每题5分）1．已知集合{}2,0,2A =-，{}220B x x x =--=，则A B ⋂= （ ） A ．∅ B ．{0} C ．{2} D ．{2-}2．若复数)(13R x iix z ∈-+=是实数，则x 的值为( ) A. 3-B. 3C. 0D.33. 数列{}n a 中，352,1,a a ==如果数列1{}1n a +是等差数列，则11a =（ ）A. 0B.111 C ．113-D.17-4．甲：函数()f x 是R 上的单调递增函数；乙：1212,()()x x f x f x ∃<<，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．如图所示，程序框图的输出值S =（ ）A ．21B ．21-C ．15D ．286．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是_________A ．43π B ．3πC ．23πD ．π 7．已知点(),P x y 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是（ ）A ．[]1,2-B ．[]2,1-C ．[]2,1--D ．[]1,28．双曲线12222=-by a x 的离心率为3,则它的渐近线方程是A ．x y 2±=B ．x y 22±= C ．x y 2±= D ．x y 21±= 9．已知函数()f x 满足)2()2(-=+x f x f ，(2)y f x =-关于y 轴对称，当)2,0(∈x 时，22()log f x x =，则下列结论中正确的是（ ）A ．(4.5)(7)(6.5)f f f <<B ．(7)(4.5)(6.5)f f f <<C ．(7)(6.5)(4.5)f f f <<D ．(4.5)(6.5)(7)f f f << 10．函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于点)0,6(π对称 B ．关于6π=x 对称C ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于12x π=对称11．已知矩形ABCD ,F E 、分别是BC 、AD 的中点，且22BC AB ==，现沿EF 将平面ABEF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC ，则三棱锥A FEC -的外接球的体积为（ ） A ．33π B ．32π C ．3π D ．23π 12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈-=)1,0[,1)1(1)0,1[,)(x x f x x x f ，若方程0)(=+-k kx x f 有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[)1,-+∞D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（20分，每题5分）13．已知数列{a n }满足a 1=33，a n+1﹣a n =2n ，则的最小值为 ．14．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1外接球半径，过AC 作外接球截面，当截面圆最小时，其半径为 ．15．若等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=3，BC=，∠ABC=45°，则•的值为 ．16．设n 为正整数，，计算得，f （4）＞2，，f （16）＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为 ．三、解答题（70分） 17．（本小题12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且222.b c a bc +-= （1）求角A 的大小；（2）设函数221()sin cos cos ,()2222x x x f x f B =+=当时，若3a =b 的值。

广东省清远市2020-2021学年高三上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．若复数421iz i+=-，则z z -=（ ）A ．1B ．2CD ．62．已知集合{}1215A x x =<-≤，{}240B x x =-≥，则()AB =R（ ）A ．{}23x x ≤≤B ．{}23x x <≤C ．{}12x x <<D ．{}12x x <≤3．已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则“2sin 23cos 0αα-=”是“3sin 4α=”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，现已知该四棱锥的高与斜高的比值为45，则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是（ ）A ．45B ．35C ．125D ．5125．已知0.4log 0.3a =，0.7log 0.4b =，0.70.3c =，则（ ） A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<6．已知数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的平均数是5，方差是9，则222222123456x x x x x x +++++=（ ） A ．159B ．204C ．231D ．6367．某地市场调查发现，35的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经该地市场监管局抽样调查发现，在网上购买的家用小电器的合格率为34，而在实体店购买的家用小电器的合格率为910.现该地市场监管局接到一个关于家用小电器不合格的投诉电话，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率是（ ） A ．320B ．1115C ．1519D ．348．已知函数()()π4cos 2206f x x ωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．313,26⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．313,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．313,412⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．313,412⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多选题9．下列函数中是偶函数，且值域为[)0,+∞的有（ ） A ．()()ln 1f x x =+ B ．1()f x x x=-C ．()x x f x e e -=+D ．42()21f x x x =-+10．已知0a >，0b >，且240a b ab ++-=，则（ ） A ．a b +的最大值为2 B ．a b +的最小值为2 C ．ab 的最大值是1D ．ab 的最小值是111．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，点E 是棱PC 的中点，PD AB =，则（ ） A ．AC PB ⊥B ．直线AE 与平面PABC ．异面直线AD 与PB 所成的角是4πD ．四棱锥P ABCD - 12．设A ，B 是抛物线C ：24y x =上两个不同的点，O 为坐标原点，若直线OA 与OB 的斜率之积为-4，则下列结论正确的有（ ） A ．4AB ≥B ．8OA OB +>C ．直线AB 过抛物线C 的焦点D ．OAB 面积的最小值是2三、填空题13．已知向量a ，b 的夹角为π6，且2=a ，3b =．则2a b +=______．14．在新冠肺炎疫情期间，为有效防控疫情，某小区党员志愿者踊跃报名参加值班工作.已知该小区共4个大门可供出入，每天有5名志愿者负责值班，其中1号门有车辆出入，需2人值班，其余3个大门各需1人值班，则每天不同的值班安排有___________种.15．已知函数()xf x e ax =+，当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，则a 的取值范围为______．四、双空题16．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 上一点，使得12F F ，2F P ，1F P 依次构成一个公差为2的等差数列，则双曲线C 的实轴长为___________，若12120F F P ∠=︒，则双曲线C 的离心率为___________.五、解答题17．在递增的等比数列{}n a 中，2532a a =，3412a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若1(1)nn n b a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．在①sin 2sin B C =，②3b c +=，③sin 8C =面问题中，并作答.问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a =，()cos 4cos a B c b A =-，且___________，求ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．如图，在多面体ABCDFE 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形ABEF 是直角梯形，其中90ABE ∠=︒，//AF BE ，且33DE AF BE ===.（1）证明：平面ABEF ⊥平面ABCD . （2）求二面角C DE F --的余弦值.20．科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂.当今世界，科学技术日益渗透到经济发展､社会发展和人类生活的方方面面，成为生产力中最活跃的因素，科学技术的重要性也逐渐突显出来.某企业为提高产品质量，引进了一套先进的生产线设备.为了解该生产线输出的产品质量情况，从中随机抽取200件产品，测量某项质量指数，根据所得数据分成[)17.5,18.0，[)18.0,18.5，[)18.5,19.0，[)19.0,19.5，[]19.5,20.0这5组，得到频率分布直方图如图所示.若这项质量指数在[)18.0,19.5内，则称该产品为优等品，其他的称为非优等品.（1）估计该生产线生产的产品该项质量指数的中位数(结果精确到0.01)；（2）按优等品和非优等品用分层抽样的方法从这200件产品中抽取10件产品，再从这10件产品中随机抽取3件，记优等品的数量为X ，求X 的分布列与期望.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆C 上的点到右焦点F 的距离最长为3.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，AB 的中垂线1l 与x 轴交于点G ，试问AB FG是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.22．已知函数()sin 2cos f x x x x x =++，()f x '为()f x 的导函数. （1）证明：()f x '在π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点.（2）当π,2π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤，求a 的取值范围.参考答案1．D 【分析】先通过除法运算求得z ，再得z ，进一步求6z z i -=，最后求模即可. 【详解】 由题意可得42(42)(1)131(1)(1)i i i z i i i i +++===+--+，所以13z i =-，所以6z z i -=，则6z z -=. 故选：D. 2．C 【分析】根据题意，分别求出集合A 、B ，即可得到()RA B .【详解】由题意可得{}13A x x =<≤，{2B x x =≥或}2x ≤- ， 则{}22R B x x =-<<， 故(){}12R A B x x ⋂=<<. 故选：C. 3．A 【分析】结合二倍角的正弦公式即可. 【详解】由2sin 23cos 0αα-=， 得4sin cos 3cos ααα=，因为,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos 0α≠，所以4sin 3α=，则3sin 4α=； 反之也成立.故“2sin 23cos 0αα-=”是“3sin 4α=”的充要条件. 故选：A 4．B【分析】根据题意，设四棱锥底面的边长为2a ，高为h ，斜高为1h .由四棱锥的高与斜高的比值为45，找出a 与1h 的关系式，结合面积公式，即可得到该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值. 【详解】设该四棱锥底面的边长为2a ，高为h ，斜高为1h ，根据题意得1222145h h h a h ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即135a h =，从而该四棱锥底面面积为22136425a h =，侧面面积为221111312424255ah h h ⨯⨯=⨯=，故该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是2211361232555h h ÷=. 故选：B. 5．B 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】解：0.40.40.41log 0.4log 0.3log 0.162a =<=<=，0.70.7log 0.4log 0.492b =>=，0.700.30.31c =<=，故c a b <<．故选：B 6．B 【分析】根据平均数和方差的概念进行计算即可. 【详解】由题意可得()()()()()()222222123456155555596x x x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣⎦， 则222222123456103015054x x x x x x +++++-⨯+=，故22222212345654150300204x x x x x x +++++=-+=.7．C 【分析】分别计算出在网上与实体店购买的家用小电器不合格的概率，即可得到答案. 【详解】在网上购买的家用小电器不合格的概率为3135420⨯=，在实体店购买的家用小电器不合格的概率为21151025⨯=，故这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率为3152031192025=+. 故选：C. 8．D 【分析】由题得πππ22666x ωωπ≤+≤+，解不等式组π5π263π7π263ωπωπ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩即得解.【详解】因为0πx ≤≤，所以πππ22666x ωωπ≤+≤+． 因为函数()f x 在[]0,π内有且仅有两个零点， 所以π5π263π7π263ωπωπ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得313412ω≤<． 故选：D 9．AD 【分析】先由奇偶性排除B ，再由值域排除C ，进而可得正确答案. 【详解】由题意可得1()f x x x=-是奇函数，故排除选项B ；()x x f x e e -=+是偶函数，但值域为[)2,+∞，故排除选项C ；()()ln 1f x x =+和42()21f x x x =-+都是偶函数，且值域均为[)0,+∞. 故选：AD. 10．BC 【分析】结合均值不等式即可求出a b +的最小值和ab 的最大值. 【详解】因为240a b ab ++-=，所以242422a b a b ab +⎛⎫+=-≥-⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，所以2()2()80a b a b +++-≥，解得4a b +≤-或2a b +≥.因为0a >，0b >，所以2a b +≥，故A 错误，B 正确；因为240a b ab ++-=，所以()244ab a b =-+≤-a b =时等号成立，所以240ab +≤，因为0ab >1，所以1ab ≤，故C 正确，D 错误. 故选：BC. 11．AB 【分析】对于选项A ，根据题意易得AC ⊥平面PBD ，故可得AC PB ⊥；对于选项BC ，可以通过建立空间直角坐标系，转化为向量问题来处理； 对于选项D ，根据题意可知，PB 即为外接球的直径，结合体积公式即可判断. 【详解】如图，连接BD .因为底面ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥， 因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AC ⊥， 所以AC ⊥平面PBD ，则AC PB ⊥，故A 正确.由题意易证AD ，CD ，PD 两两垂直，故建立如图所示的空间坐标系D xyz -.设2AB =，则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,0,0D ，()0,1,1E ，()002P ,,，从而()2,0,0AD =-，()0,2,0AB =，()2,1,1AE =-，()2,2,2PB =-.设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则202220n AB y n PB x y z ⎧⋅==⎨⋅=+-=⎩，令1x =，得()1,0,1n =.设直线AE 与平面PAB 所成的角为θ，则sin cos ,AE n θ-===B 正确. 设异面直线AD 与PB 所成的角为α，则cos cos ,AD PB α-==从而4πα≠，故C 错误.四棱锥P ABCD -的体积183V =，由题意可知四棱锥P ABCD -外接球的半径2PBR ==则其体积3324433V R ππ==⨯=，从而四棱锥P ABCD -的体积与其外接球的体积的比值是12V V =D 错误. 故选：AB. 【点睛】解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 12．ACD 【分析】对于选项B ，可以通过特殊点来判断，而对于选项ACD ，可以通过设直线AB ，再联立方程组，结合韦达定理一一判断即可. 【详解】取()1,2A -，()1,2B ，满足4OA OB kk ⋅=-，从而OA OB +=B 错误；由题意可知直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x my t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立24x my t y x=+⎧⎨=⎩，整理得2440y my t --=，则124y y m +=，124y y t .因为1212121644OA OB y y k k x x y y t⋅===-=-，所以1t =，所以直线AB 的方程为1x my =+， 则直线AB 过点()1,0，故C 正确；因为抛物线C 的焦点为()1,0F ，所以直线AB 过焦点F ， 则由抛物线的性质可知24AB p ≥=，故A 正确；由上可得直线AB 的方程为1x my =+，则()21241y y m AB =-=+， 原点O 到直线AB的距离d =则()21141222OABSAB d m ===⨯+≥，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 13．【分析】由数量积的性质可得22|2|44a b a ab b +=++，由已知及数量积的运算律可求结果. 【详解】∵ 22|2|44a b a ab b +=++又||2a =，||3b =，a ，b 的夹角为6π，∴|2|44a b +=+⨯ 故答案为：14．60 【分析】根据题意，分2步进行分析：先从5人中选2人安排到1号门值班，再将剩下的3人分别安排到其他3个门值班，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步进行分析：先从这5人中选取2人在1号门值班，共有25C 种情况， 再将剩下的3人分别安排到其他3个门值班，有33A 种情况，故每天不同的值班安排有235360C A =种.故答案为：60 15．[),e -+∞ 【分析】求导得到()x f x e a '=+，讨论10a +和10a +<两种情况，计算10a +<时，函数()f x 在()()0,ln a -上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增，因为()0f x ≥，所以()ln 0a a a -+-≥，解不等式即可得结果． 【详解】由题意可得()xf x e a '=+．因为0x ≥，所以()1f x a '≥+．当1a ≥-时，()0f x '≥，则()f x 在[)0,+∞上单调递增，从而()()min 010f x f ==>恒成立，故1a ≥-符合题意．当1a <-时，令()0f x '=，得()ln x a =-． 因为()f x '在R 上单调递增．所以()f x 在()()0,ln a -上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增， 则()()()()min ln ln f x f a a a a =-=-+-．因为()0f x ≥，所以()ln 0a a a -+-≥，即()ln 1a -≤，解得1e a -≤<-． 综上，a 的取值范围为[),e -+∞． 故答案为：[),e -+∞16．2 32【分析】由双曲线的定义可得实轴长，由余弦定理可求得c ，进一步就可以求得离心率. 【详解】结合题意知1222a F P F P =-=，即1a =，则双曲线C 的实轴长为22a =. 又122F F c =，222F P c =+，124F P c =+，由余弦定理知22212(2)(22)(24)1cos 22(22)2c c c F F P c c ++-+∠==-⋅⋅+，解得32c =，故32e =. 故答案为：32,2.17．（1）12n n a -=；（2）1(2)23n n S +-+=-. 【分析】(1)由题意可得数列的公比与首项，进而可得出通项公式. (2)由(1)得出n b ，结合等比数列前n 项求和公式法即可. 【详解】（1）由题意可得342534343212a a a a a a a a==⎧⎪+=⎨⎪<⎩，解得34a =，48a =，则11a =，2q.故1112n n n a a q --==.（2）由（1）可得12n n a +=，则(1)2n nn b =-⋅.故23123222(1)2n n n n S b b b b =++++=-+-++-121(2)(2)21(2)3nn +⎡⎤-⨯---+⎣⎦==---. 18【分析】选条件①结合余弦定理求出1c =，2b =，然后即可求解；选条件②，结合余弦定理求出2bc =，然后即可求解；选条件③，结合余弦定理求出1c =，2b =，然后即可求解【详解】解：因为cos (4)cos a B c b A =-，所以sin cos (4sin sin )cos A B C B A =-， 即sin cos sin cos sin()4sin cos A B B A A B C A +=+=.因为A B C π++=，所以()sin sin C A B =+，所以sin 4sin cos C C A =. 因为sin 0C ≠，所以14cos A =，即1cos 4A =. 若选①，因为sin 2sin B C =，所以2b c =.由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则22244c c c +-=， 故1c =，2b =.因为1cos 4A =，所以sin A则ABC 的面积为11sin 2122bc A =⨯⨯=若选②，由余弦定理可得222252cos ()2a b c bc A b c bc =+-=+-，则5942bc -=，解得2bc =.因为1cos 4A =，所以sin A则ABC 的面积为11sin 2122bc A =⨯⨯=若选③，因为1cos 4A =，所以sin A因为sin C =sin 2sin A C =，所以112c a ==.由余弦定理可得222212cos 142a b c bc A b b =+-=+-=，即2260b b --=，解得2b =或32b =-(舍去).则ABC 的面积为11sin 2122bc A =⨯⨯=19．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连接BD ，由勾股定理得逆定理可得BE BD ⊥，结合BE AB ⊥可得BE ⊂平面ABEF ，进而证得结果；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面DEF 和平面CDE 的法向量，结合图形进而可得结果. 【详解】（1）证明：连接BD .因为ABCD 是边长为2的正方形，所以BD =因为33DE BE ==，所以1BE =，3DE =，所以222BE BD DE +=，则BE BD ⊥. 因为90ABE ∠=︒，所以BE AB ⊥. 因为ABBD B =，所以BE ⊥平面ABCD ，因为BE ⊂平面ABEF ，所以平面ABEF ⊥平面ABCD .（2）解：由（1）知AB ，AF ，AD 两两垂直，故以A 为坐标原点，以射线AB ，AF ，AD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立如图所示的空问直角坐标系A xyz -. 则()0,0,2D ，()0,3,0F ，()2,1,0E ，()2,0,2C ，故()2,1,2DE =-，()2,0,0DC =，()0,3,2FD =-.设平面DEF 的法向量为()111,,m x y z =，则11111220320m DE x y z m FD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令13z =，则()2,2,3m =. 设平面CDE 的法向量为()222,,n x y z =，则222222020n DE x y z n DC x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，令21z =，则()0,2,1n =.4cos ,17m n m n m n⋅+=== 记二面角C DE F --的平面角为θ，由图可知θ为钝角，则cos θ=.20．（1）中位数为18.64；（2）分布列答案见解析，数学期望：125. 【分析】（1）根据频率分布直方图的数据进行估计该项质量指数的中位数即可；（2）首先确定抽取10件产品中有8件优等品，2件非优等品，最后根据超几何分布求解分布列和数学期望即可. 【详解】解：（1）因为()0.160.640.50.40.5+⨯=<，()0.160.640.720.50.760.5++⨯=>，所以该生产线生产的产品该项质量指数的中位数在[)18.5,19.0内. 设其中位数为m ，则()18.50.720.40.5m -⨯+=， 解得18.64m ≈，即该生产线生产的产品该项质量指数的中位数约为18.64.（2）由题意可知样本中非优等品有()2000.160.240.540⨯+⨯=件， 优等品有20040160-=件， 则优等品应抽取160108200⨯=件，非优等品应抽取40102200⨯=件. 故X 的取值可能是1，2，3.()1282310C C 811C 12015P X ====，()2182310C C 5672C 12015P X ====，()38310C 5673C 12015P X ====，则X 的分布列为故177121231515155EX =⨯+⨯+⨯=. 21．（1）22143x y +=；（2）是定值，定值为4.【分析】（1）由离心率，椭圆上的点到右焦点距离最大值为a c +和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得,a b ，进而得到椭圆标准方程；（2）当直线l 的斜率不为0时，设:1l x my =+，与椭圆联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可求得AB ，并利用中点坐标公式求得AB 中点H 坐标，由此可表示出1l 方程，从而求得G 点坐标，得到FG ，化简可得定值；当直线l 的斜率为0时，易求得满足所求定值；综合两种情况可得结论.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意可得：222312a c c a a b c+=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：2a =，b =1c =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,H x y .联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得：()2234690m y my ++-=，由题意可知：0m ≠，则122634my y m +=-+，122934y y m =-+，()2212134m AB m +∴==+.H 为AB 的中点，02334m y m -∴=+，0024134x my m =+=+，即2243,3434m H m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 直线1l 的方程可设为221343434m x y m m m ⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭， 令0y =得：2134x m =+，则()22231113434m FG m m +=-=++，()()22221213443134m ABm FG m m ++∴==++. 当直线l 的斜率为0时，24AB a ==，1FG c ==，则4ABFG=. 综上所述：AB FG为定值，且定值为4.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出所求量； ④化简所得式子，消元可得定值. 22．（1）证明见解析；（2）[)2,+∞. 【分析】（1）判断导函数()f x '在π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，结合零点存在定理进行证明即可；（2）因为()f x ax ≤在π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，至少需要πππ22f a ⎛⎫=≤⋅ ⎪⎝⎭，()2π2π22πf a =+≤成立，进而获得2a ≥，又由（1）知()f x 在0π,2x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]0,2πx 上单调递增，根据单调性最后证明2a ≥时，()f x ax ≤在π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立即可.【详解】证明：因为()sin 2cos f x x x x x =++， 所以()cos sin 1f x x x x '=-+. 记()()cos sin 1g x f x x x x '==-+， 则()sin g x x x '=-.当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<；当(]π,2πx ∈时，()0g x '>.()g x 在π,π2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]π,2π上单调递增，即()f x '在π,π2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]π,2π上单调递增.因为π02f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，()ππ10f =-'+<，()2π2π10f '=+>，所以存在唯一()0π,2πx ∈，使得()0f x '=， 即()f x '在π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点.解：由（1）可知当0π,2x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<；当(]0,2πx x ∈时，()0f x '>.所以()f x 在0π,2x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]0,2πx 上单调递增.因为当π,2π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则至少满足πππ22f a ⎛⎫=≤⋅ ⎪⎝⎭，()2π2π22πf a =+≤，即2a ≥，①当π3π,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()max ππ2f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，满足()2f x x ≤；②当3π,2π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()max 2π2π2f x f ==+，而3π223π2x ≥⋅=，满足()2f x x ≤.即当π,2π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，都有()2f x x ≤.又当2a ≥，π,2π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2ax x ≥，从而当2a ≥时，()f x ax ≤对一切π,2π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.故a 的取值范围为[)2,+∞. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。

广东省清远市高三上学期期末教学质量检测数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解出集合N，然后进行交集的运算即可．M＝{x|0≤x≤2}，N＝{0，1，2}；∴M∩N＝{0，1，2}．故选：D．2.设复数满足(其中为虚数单位)，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】先将已知条件化为，再利用复数除法运算化简求得的表达式.【依题意可知，故，故选C.3.等比数列中，满足，且成等差数列，则数列的公比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据，且成等差数列，列出关于公比的方程，从而可得的值.因为，且成等差数列，所以，即,解得或（舍去），所以数列的公比为，故选B.4.如图为某几何体的三视图，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据三视图判断出几何体是由一个正方体挖掉一个圆锥得到，由此计算几何体的体积.由三视图可知，该几何体是由一个正方体挖掉一个圆锥得到，正方体的体积为，圆锥的体积为，故所求几何体的体积为.故选B.5.从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，假设各项标准互不影响，从中任选一名学生，则该生恰有一项合格的概率为（ ） A.B.C. D.【答案】D【解析】先求得两项都合格以及两项都不合格的概率，用减去这两个概率求得恰有一项合格的概率.两项都合格的概率为，两项都不合格的概率为，故恰有一项合格的概率为.故选D.6.如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】利用定积分计算得阴影部分的面积，在利用几何概型概率计算公式求得所求的概率.依题意的阴影部分的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，故选A.7.世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把磅面包分给个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和是较小的三份之和，则最小的份为（）A. 磅 B. 磅 C. 磅 D. 磅【答案】D【解析】设出等差数列的首项和公差，利用已知条件列方程组并转化为的形式，由此求得最小分的磅数.由于数列为等差数列，设最小一份为，且公差为，依题意可知，即，解得.故选D.8.下列命题中正确的是（）A. 在中，是为等腰三角形的充要条件B. “”是“”成立的充分条件C. 命题“”的否定是“”D. 命题“若，则或”的逆否命题是“若或，则”【答案】B【解析】利用特殊的等腰三角形排除A选项，直接证明B选项正确，利用特称命题的否定是全称命题的知识排除C选项.利用逆否命题的知识排除D选项，由此得出正确选项.当时，三角形为等腰三角形，但是，排除A选项.构造函数，，故函数在上单调递增，所以当时，，即，故B选项正确.特称命题的否定是全称命题，不需要否定，故C选项错误.“或”的否定应该是“且”，故D选项错误.综上所述，本小题选B.9.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象如图所示，则函数的解析式是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据函数g （x ）的图象知， =﹣=，∴T =π， ∴ω==2； 由五点法画图知，x =时，ωx +φ=2×+φ=，解得φ=； ∴g （x ）=sin （2x +）；又f （x ）向左平移个单位后得到函数g （x ）的图象， ∴f （x ）=sin[2（x ﹣）+]=sin （2x ﹣）． 故选：A ． 10.已知，给出下列三个结论：①；②；③.中所有的正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③ 【答案】A 【解析】代入的特殊值，对错误序号进行排除，由此得到正确选项. 不妨设，满足.代入验证①成立，代入②成立，代入③错误，由此排除B,C,D 三个选项，本小题选A.11.在正方体中，分别在是线段的中点，以下结论：①直线丄直线；②直线与直线异面；③直线丄平面；④，其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C 【解析】在平面内作出的平行直线，根据中位线得到，由此得到②错误.根据平面得到①③正确，利用中位线及勾股定理证得④正确.由此得出正确的个数为个.过作交于，过作交于，连接.由于分别为的中点，故，故四边形为矩形，故，由于，故②判断错误.由于，所以平面，所以且直线丄平面，即①③正确.由勾股定理得，故，故④判断正确.综上所述，正确的个数为个，故选C.12.半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ）A. 2B. 0C. -2D. 4 【答案】C 【解析】将转化为，利用向量数量积运算化简，然后利用基本不等式求得表达式的最小值.画出图像如下图所示，,等号在，即为的中点时成立.故选C.二、填空题（每题5分，满分20分） 13.的常数项是__________．【答案】-7【解析】根据乘法的分配率，要乘以中的常数项，要乘以中含的项，将这两种情况相加，得到表达式的常数项.展开式中的常数项为，展开式中含的项为.由此.14.设向量，若单位向量．．．．满足，则__________．【答案】 【解析】根据，即它们的数量积为零列方程，化简后可求得的值.由于，故，即，解得. 15.某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），已知成绩在的学生人数为，且有个女生的成绩在中，则__________；现由成绩在的样本中随机抽取2名学生作指导工作，记所抽取学生中女生的人数为，则的数学期望是__________．【答案】 (1). (2).【解析】先利用频率和为求得的值.根据的学生人数及频率，计算出的值.根据的频率计算出该组的总人数，利用超几何分布概率计算公式求得分布列，由此求得的数学期望.由，解得.依题意，则.成绩在的人数为，其中个为女生，个为男生.的可能取值为.，故.16.对于三次函数有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.若点是函数的“拐点”，也是函数图像上的点，则函数的最大值是__________．【答案】【解析】求出函数的导数，二次导函数，通过函数的“拐点”，求出b，化简函数h（x）x为一个角的一个三角函数的形式，然后求解最大值．g'（x）＝3x2﹣2ax+b，g''（x）＝6x﹣2a，则a＝3，又g（1）＝﹣3，得b＝4，所以h（x）＝sin x+2cos2x＝sin x-2+2,令sinx=t,则t，即求y=+t+2 ，t时的最大值，当时，y有最大值．故答案为：.三、解答题（本大题共7小题，共70分，答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤。

广东省清远市2020届高三上学期期末教学质量检测数学试题（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知集合{}|6M x x =<，{}1,2,3,4,5,6,,7,8,9N =，则RM N ⋂=( )A. {}6,7,8,9B. {}7,8,9C. {}1,2,3,4,5D. {}1,2,3,4,5,6【答案】A 解析依题意{}R|6M x x =≥，所以M N ⋂=R {}6,7,8,9.故选：A. 2.设复数z =i 11i--，则|z |=( )A. 0B.C.2D. 1【答案】C 解析依题意()()111111222i i z i i i i i ++=-=-=-+-+，所以2z ==. 故选：C3.清远市教育教学研究院想了解清远市某所中学的学生是否赞成该学校的某个新政策，由于条件限制，教学研究院不能询问每位学生的意见，所以需要选择一个合适的样本.最好的方法是询问( ) A. 由该学校推选的学生 B. 在课间遇见的学生 C. 在图书馆学习的学生D. 从学校名单中随机选取的学生【答案】D解析按照随机的原则，即保证总体中每一个对象都有已知的、非零的概率被选入作为研究的对象，保证样本的代表性。

随机抽样法就是调查对象总体中每个部分都有同等被抽中的可能，是一种完全依照机会均等的原则进行的抽样调查，被称为是一种“等概率”。

ABC 三个抽样方法，不能保证等可能，D 选项可以保证等可能，所以最好的方法是D. 故选：D4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为0y +=，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 3B.C. D. 9【答案】A解析因为渐近线方程为0y +=故22222883b cb ac a a a a=⇒=⇒-=⇒=. 故选：A.5.已知0.60.60.5log 0.5,0.5,log 6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. a c b <<D. b c a <<【答案】B解析函数0.6log y x =单调递减，故0,60.6log 0.5log 0.61a =>=. 又0.60.500.51,log 60b c <=<=<，所以c b a <<. 故选：B.6.函数f （x ）322x x cosxx=+在[﹣π，π]上图象大致为( ) A. B.C. D.【答案】A解析由于()()32cos 2xx xf x f x x-=-=-+， 所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，由此排除BC 选项.由于()3322cos 022f ππππππππ⨯==-<++，故D 选项错误.正确的为A. 故选：A【点睛】本小题主要考查函数图象的的识别，属于基础题. 7.sin195°sin465°=( )A.4B.14C.4D. 14-【答案】D解析原式()()sin 18015sin 360105=+⋅+()sin15sin105sin15sin 9015=-⋅=-⋅+1111sin15cos15sin 302224=-⋅=-=-⨯=-.故选：D8.已知F 为抛物线2:4C x y =的焦点，直线1y =+与抛物线C 交于点,A B ，则||AB =（ ）A. B. 16C. 12D. 【答案】C解析由题意得(0,1)F ，所以1y =+过焦点F .设()()1122,,,A x y B x y ， 则12||2AB y y =++.联立24,1,x y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得240x --=，所以12x x +=.又11221,1y y =+=+，所以)1212||2412AB y y x x =++=++=.故选：C.9.已知函数()sin()0,0,0||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下述四个结论：①2ω=；②3πϕ=-；③12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数；④12f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数中，所有正确结论的编号是（ ）A. ①②B. ①③④C. ②④D. ①②④【答案】D解析由图可知，1A =，又函数周期2T ππω==，求得 2ω=根据五点作图法：206πϕ⨯+=，解得3πϕ=-故()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以①②正确； sin 2sin 2sin 212123636f x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，此时函数不是奇函数，所以③错误；sin 2sin 2sin 2cos212123632f x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故12f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以④正确.综上所述，正确的有①②④.故选：D.10.已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，且f （x ）=﹣f （x +2），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ﹣x 2，则f （﹣1），f （2π），f （π）的大小关系是( ) A. f （2π）<f （﹣1）<f （π） B. f （2π）<f （π）<f （﹣1） C. f （﹣1）<f （π）<f （2π）D. f （﹣1）<f （2π）<f （π）【答案】C解析由于()f x 是R 上的奇函数，且()()2=-+f x f x ，所以()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数. 当()0,2x ∈时，()2222f x x x x x =-=-+.()()()111210f f -=-=--+=-<.()224402244f πππππππ--⎛⎫⎛⎫=-+==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()()()244424f f f πππππ⎡⎤=-=--=---+-⎣⎦()()268240.98041ππππ=-+=--≈->-.所以()()12f f f ππ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭. 故选：C11.我国古代在珠算发明之前多是用算筹为工具来记数、列式和计算的.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法有两种，即“纵式”和“横式”，规定个位数用纵式，十位数用横式，百位数用纵式，千位数用横式，万位数用纵式……依此类推，交替使用纵横两式.例如：27可以表示为“”.如果用算筹表示一个不含“0”的两位数，现有7根小木棍，能表示多少个不同的两位数( )A. 54B. 57C. 65D. 69【答案】B解析当十位为1时，个位可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9种； 当十位为2时，个位可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9种； 当十位为3时，个位可以是1,2,3,4,6,7,8，共7种； 当十位为4时，个位可以是1,2,3,6,7，共5种； 当十位为5时，个位可以是1,2,6，共3种；当十位为6时，个位可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9种； 当十位为7时，个位可以是1,2,3,4,6,7,8，共7种； 当十位为8时，个位可以是1,2,3,6,7，共5种； 当十位为9时，个位可以是1,2,6，共3种； 所以总的有()99753257++++⨯=种. 故选：B12.如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC .若P A =AB =BC =2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，则三棱锥P ﹣AEF 的外接球的表面积为( )A. 3πB. 5πC. 6π【答案】B解析由于PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，由于,AB BC AB PA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面PAB ，所以,BC PB BC AE ⊥⊥，由于,E F 分别是,PB PC 的中点，所以//EF BC ，所以,EF PB EF AE ⊥⊥.而AB PA =，所以AE PB ⊥，所以,,EP EA EF 两两垂直.故可将三棱锥P AEF -补形成长方体，且111,22EF BC AE PE PB =====，所以长方体的对角线长为=，设三棱锥P AEF -外接球的半径为R ，则2R =245R ππ=.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量a =（m ，3），b =（m 43-，m ﹣1）.若a //b .则m =_____. 【答案】2解析由于a //b ，所以()4133m m m ⎛⎫⨯-=⨯- ⎪⎝⎭，即2440m m -+=，()220,2m m -==. 故答案为：214.已知实数x ，y 满足141x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则z =x +2y 的最大值是_____.【答案】132解析画出可行域如下图所示，向上平移基准直线20x y +=到可行域边界位置点35,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此求得2z x y =+的最大值为35132222+⨯=. 故答案为：13215.已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a n ⋅a n +1=2n ，则S 15=_____. 【答案】509解析由于111,15n n a a a +=⋅=，12nn na a +=，所以23413142277234514152672222222,2,2,2,,2,2122222a a a a a a ============，所以()()72715212122221212S ⨯-=+⨯+++=+⨯-509=.故答案为：50916.在△ABC 中，角A ，B ，C对边分别为a ，b ，c .已知a ，b 2+c 2=a2bc ，BD =2DC ，且∠BAD =90°，则△ABC 的面积为_____. 【答案】95解析∵b 2+c 2=a 2bc ，∴可得cos A 222222b c a bc bc +-===-， ∴由A ∈（0，π），可得A 34π=， ∵a ＝，BD =2DC， ∴CD =BD=，∵边BC 上一点D 满足BD=2DC ，且∠BAD=90°， ∴∠CAD 4π=，的在△ADC 中，4DCb sin ADC sinπ=∠bsin ADC =∠，可得b =2sin ∠ADC ，…①在△ADB 中，sin ∠ADB =②由①②可得b =. 在△ABC 中，BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB ⋅AC ⋅cos ∠BAC ， 可得18=c 2+b 22bc =c 212+c2c ，解得c =，b 5=， ∴△ABC 的面积为 S 12=bcsin 319425525π=⨯=. 故答案为：95三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1>0，a 8﹣a 4﹣a 3=1，a 4是a 1和a 13的等比中项. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：对一切正整数n .有1211134n S S S +++<. （1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，()12111121(3)120d a a d a a d a -=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，∴数列{a n }的通项公式为an =3+2（n ﹣1）=2n +1；（2）证明：由（1）知，()()12322n n n S n n n -⨯=+=+.∴()()()1211111111132435112n S S S n n n n +++=+++++⨯⨯⨯-++12=[111111111132435112n n n n -+-+-++-+--++]3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭.18.广东省的生产总值已经连续30年位居全国第一位，如表是广东省从2012年至2018年7年的生产总值以人民币（单位：万亿元）计算的数据：（1）从表中数据可认为x 和y 的线性相关性较强，求出以x 为解释变量、y 为预报变量的线性回归方程（系数精确到0.01）；（2）广东省2018年人口约为1.13亿，德国2018年人口约为0.83亿.从人口数量比较看，广东省比德国人口多，但德国2018年的生产总值为4.00万亿美元，以（1）的结论为依据，预测广东省在哪年的生产总值能超过德国在2018年的生产总值？ 参考数据：71i =∑y i =52.81，71i =∑x i y i =230.05，71i =∑y i 2=411.2153，71i =∑x i 2=140.货币兑换：1美元≈7.03元人民币参考公式：回归方程y b =x a +中斜率b 和截距a的最小二乘估计公式分别为：()()1122211()?nniii i i i nni ii i x x yy x ynx y b x x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，a y b x =-.解：（1）123456747x ++++++==，711 7i y ==∑y i =52.81=7.544，12221230.05547.544 2.8314074ni ii n i i x y nx y b xnx ==-⋅-⨯⨯==≈-⨯-∑∑，a y b x =-=7.544﹣2.83×4≈﹣3.78. ∴线性回归方程为 2.83 3.78y x =-；（2）由题意，德国2018年的生产总值为4.00万亿美元≈4.00×7.03=28.12万亿元. 由2.83x ﹣3.78>28.12，解得x ≈11.27.∴预测广东省在2023年的生产总值能超过德国在2018年的生产总值.19.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =45°，PD ⊥平面ABCD ，AP ⊥BD .（1）证明：BC ⊥平面PDB ，（2）若AB =PB 与平面APD 所成角为45°，求点B 到平面APC 的距离.（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC 在平面ABCD 内，BD 在平面ABCD 内，∴PD ⊥BC ，PD ⊥BD ，又AP ⊥BD ，AP ∩PD =P ，且AP ，PD 均在平面APD 内，∴BD ⊥平面APD ，又AD 在平面APD 内，∴BD ⊥AD ，又底面ABCD 为平行四边形，∴BC ⊥BD ，又PD ∩BD =D ，且都在平面PBD 内，∴BC ⊥平面PDB ；（2）解：由（1）知，PB 与平面APD 所成角即为∠BPD ，故∠BPD =45°，又AB=DAB =45°，∴1AD BD PD AP PC =======，AC ==， ∴AP 2+PC 2=AC 2，即AP ⊥CP ，∴122APC S ==，111222ABC S =⨯=， 又V P ﹣ABC =V B ﹣P AC ，∴1133ABC PAC S PD S h ⋅=⋅，即112⨯=，解得h =，即点B 到平面APC 的距离为20.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，点(2,0)N 椭圆的右顶点. （1）求椭圆的方程；（2）过点(0,2)H 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，直线NA 与直线NB 的斜率和为13-，求直线l 的方程.解：（1）因为点(2,0)N 是椭圆的右项点，所以2a =. 又c a =，所以c = 又222b c a +=，所以22b =所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）若直线l 与x 轴垂直，则(0,A B ，则413NA NB N NB k k k k ==+≠-， 所以直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为()()11222,,,,y kx A x y B x y =+，联立222142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2221840k x kx +++= 则有12122284,2121k x x x x k k -+==++ ()2221(8)421402k k k =-⨯+⨯>⇒>△ 直线NA 的斜率为112y x -，直线NB 的斜率为）222y x -， 所以()()()()122112121222122223y x y x y y x x x x -+-+==-----. 又11222,2y kx y kx =+=+()()()()()()122112121222222222kx x kx x y y x x x x +-++-+=----()()121212122(22)81243kx x k x x x x x x +-+-==--++， 化简得()1212(61)(46)200k x x k x x ++-+-=. 又12122284,2121k x x x x k k -+==++， 所以2248(61)(46)2002121k k k k k -+⨯+-⨯-=++， 化简得220--=k k ，解得12k =或21k =-，又21k =-时，过点N ，故舍去，所以直线l 的方程为22y x =+.21.设函数()ln a f x x x=+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a ，证明1()x f x e>恒成立. （1）解：由题意得0x >，221()a x a f x x x x '-=-+=. ①当0a ≤时，()0f x '，故函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；期末考试数学试题②当0a >时，在区间(0,)a 上，()0f x '<，在区间(,)a +∞上，()0f x >，故函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增.（2）证明： 要证1()x f x e >，只需证1ln xa x x e +> 又0x >，故只需证ln x x a x x e +>即可. 设()ln g x a x x =+，则()1ln g x x '=+， 在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0g x '<，在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x '>， 故函数()g x 在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以11()g x g a e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设()x x h x e =，则1()x x h x e '-=， 在区间(0,1)上，()0h x '>，在区间(1,)+∞上，()0h x '<， 故函数()h x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减， 所以1()(1)h x h e =. 又1a ≥，所以111a e e --. 又因为2e >，所以21e >， 所以111e e ->， 故在(0,)+∞上，()()g x h x >， 综上，1()x f x e >恒成立. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程 .22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2212,22x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为2,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩，（α为参数）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐极方程为4πθ=，直线l 与曲线1C 和2C 分别交于不同于原点的,A B 两点，求||AB 的值. 解：（1）由2,,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩得2,,x y αα=-= 两式平方相加，得22(2)2x y -+=，又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 20ρρθ-+=. （2）由2212,22,x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得222221142,2,4y t x t x t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 消去t ，得24,4y x x =，曲线1C 的极坐标方程为22(sin )4cos sin 4cos ,42ρθρθρθθρ=⇒=.设12,,,44A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以124cos4sin 4πρπ==(2222220ρρ-+=-=解得2ρ=12|||AB ρρ=-==故AB =选修4-5：不等式选讲23.已知0a b >>，函数24()()f x x a x b a b =-++-. （1）若1,2b a ==，求函数()f x 的最小值； （2）证明：()8f x .（1）解：当1,2b a ==时， ()44f x x x =-++()()448x x ≥--+= 当且仅当[]4,4x ∈-时取得故()f x 的最小值为8.（2）证明： ()222444()()()()f x x a x x a x a b a b b a b b a b ⎡⎤=-++--+=+⎢⎥---⎣⎦， 故24()()f x a b a b +-. 又()2(a b a b b a b =+--2416()b a b a -，22222416168()a a a b a b a a++⨯=-， 当且仅当2,1a b ==时等号成立，故()8f x .。

广东省清远市2021届高三数学上学期期末教学质量检测试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知集合{}|6M x x =<，{}1,2,3,4,5,6,,7,8,9N =，则RM N ⋂=( )A. {}6,7,8,9B. {}7,8,9C. {}1,2,3,4,5D. {}1,2,3,4,5,6【答案】A 【解析】 【分析】 先求得RM ，然后再求其与集合N 的交集.【详解】依题意{}R|6M x x =≥，所以R M N ⋂={}6,7,8,9.故选：A【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题. 2.设复数z =i 11i--，则|z |=( )A. 0D. 1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z ，再求z .【详解】依题意()()111111222i i z i i i i i ++=-=-=-+-+，所以2z ==.故选：C【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数模的计算，属于基础题.3.清远市教育教学研究院想了解清远市某所中学的学生是否赞成该学校的某个新政策，由于条件限制，教学研究院不能询问每位学生的意见，所以需要选择一个合适的样本.最好的方法是询问( )A. 由该学校推选的学生B. 在课间遇见的学生C. 在图书馆学习的学生D. 从学校名单中随机选取的学生 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽样的原则，确定正确选项.【详解】按照随机的原则，即保证总体中每一个对象都有已知的、非零的概率被选入作为研究的对象，保证样本的代表性。

随机抽样法就是调查对象总体中每个部分都有同等被抽中的可能，是一种完全依照机会均等的原则进行的抽样调查，被称为是一种“等概率”。

ABC 三个抽样方法，不能保证等可能，D 选项可以保证等可能，所以最好的方法是D. 故选：D【点睛】本小题主要考查随机抽样的等可能性，属于基础题.4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为0y +=，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 3 C. D. 9【答案】A 【解析】 【分析】由渐近线方程可知,a b 之间关系，将其转化为,a c 关系，即可得离心率.【详解】因为渐近线方程为0y +=故22222883b cb ac a a a a=⇒=⇒-=⇒=. 故选：A.【点睛】本题考查双曲线的,,a b c 之间的关系，本题涉及由渐近线斜率求解离心率的转换.5.已知0.60.60.5log 0.5,0.5,log 6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. a c b <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】将每个数据与0或者1进行比较，从而区分大小关系.【详解】函数0.6log y x =单调递减，故0,60.6log 0.5log 0.61a =>=. 又0.60.500.51,log 60b c <=<=<，所以c b a <<. 故选：B.【点睛】本题考查指数和对数比较大小，其方法是选择1或者0为基准进行比较.6.函数f （x ）322x x cosxx=+在[﹣π，π]上的图象大致为( ) A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点排除错误选项，由此得出正确选项.【详解】由于()()32cos 2xx xf x f x x-=-=-+， 所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，由此排除BC 选项.由于()3322cos 022f ππππππππ⨯==-<++，故D 选项错误.正确的为A.故选：A【点睛】本小题主要考查函数图象的的识别，属于基础题. 7.sin195°sin465°=( )A.4B.14C.4D. 14-【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简求得表达式的值. 【详解】原式()()sin 18015sin 360105=+⋅+()sin15sin105sin15sin 9015=-⋅=-⋅+1111sin15cos15sin 302224=-⋅=-=-⨯=-.故选：D【点睛】本小题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简求值，属于基础题.8.已知F 为抛物线2:4C x y =的焦点，直线1y =+与抛物线C 交于点,A B ，则||AB =（ ）A. B. 16C. 12D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立直线方程与抛物线方程，利用焦点弦计算公式代入求解即可.【详解】由题意得(0,1)F ，所以1y =+过焦点F .设()()1122,,,A x y B x y ， 则12||2AB y y =++.联立24,21, x yy x⎧=⎪⎨=+⎪⎩得24240x x--=，所以1242x x+=.又112221,21y x y x=+=+，所以()1212||22412AB y y x x=++=++=.故选：C.【点睛】本题考查抛物线中的弦长求解，本题涉及抛物线焦点弦的求解，属抛物线基础题.9.已知函数()sin()0,0,0||2f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下述四个结论：①2ω=；②3πϕ=-；③12f xπ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数；④12f xπ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数中，所有正确结论的编号是（）A. ①②B. ①③④C. ②④D. ①②④【答案】D【解析】【分析】根据图像的最值，周期，以及五点作图法，求得函数解析式，再对选项进行逐一分析即可. 【详解】由图可知，1A=，又函数周期2Tππω==，求得2ω=根据五点作图法：206πϕ⨯+=，解得3πϕ=-故()sin23f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以①②正确；sin2sin2sin212123636f x x x xππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，此时函数不是奇函数，所以③错误；sin 2sin 2sin 2cos212123632f x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故12f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以④正确.综上所述，正确的有①②④. 故选：D.【点睛】本题考查由函数图像求三角函数解析式，以及三角函数的奇偶性；注意本题中求初相的方法.10.已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，且f （x ）=﹣f （x +2），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ﹣x 2，则f （﹣1），f （2π），f （π）的大小关系是( ) A. f （2π）<f （﹣1）<f （π） B. f （2π）<f （π）<f （﹣1） C. f （﹣1）<f （π）<f （2π）D. f （﹣1）<f （2π）<f （π）【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件判断出函数()f x 的周期性、奇偶性，由此化简()()1,,2f f f ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，并比较出三者的大小关系.【详解】由于()f x 是R 上的奇函数，且()()2=-+f x f x ，所以()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数.当()0,2x ∈时，()2222f x x x x x =-=-+.()()()111210f f -=-=--+=-<.()224402244f πππππππ--⎛⎫⎛⎫=-+==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()()()244424f f f πππππ⎡⎤=-=--=---+-⎣⎦()()268240.98041ππππ=-+=--≈->-.所以()()12f f f ππ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、周期性，考查运算求解能力，属于中档题. 11.我国古代在珠算发明之前多是用算筹为工具来记数、列式和计算的.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法有两种，即“纵式”和“横式”，规定个位数用纵式，十位数用横式，百位数用纵式，千位数用横式，万位数用纵式……依此类推，交替使用纵横两式.例如：27可以表示为“”.如果用算筹表示一个不含“0”的两位数，现有7根小木棍，能表示多少个不同的两位数( )A. 54B. 57C. 65D. 69【答案】B 【解析】 【分析】按十位数为1,2,3,4,5,6,7,8,9进行分类讨论，求得所有符合题意的两位数的数量. 【详解】当十位为1时，个位可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9种； 当十位为2时，个位可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9种； 当十位为3时，个位可以是1,2,3,4,6,7,8，共7种； 当十位为4时，个位可以是1,2,3,6,7，共5种； 当十位为5时，个位可以是1,2,6，共3种；当十位为6时，个位可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9种； 当十位为7时，个位可以是1,2,3,4,6,7,8，共7种； 当十位为8时，个位可以是1,2,3,6,7，共5种；当十位为9时，个位可以是1,2,6，共3种； 所以总的有()99753257++++⨯=种. 故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查列举法与分类加法计数原理，属于基础题. 12.如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC .若PA =AB =BC =2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，则三棱锥P ﹣AEF 的外接球的表面积为( )A. 3πB. 5πC. 6π3【答案】B 【解析】 【分析】证得,,EP EA EF 两两垂直，由此将三棱锥P AEF -补形成长方体，利用长方体的对角线求得三棱锥P AEF -外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】由于PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，由于,AB BC AB PA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面PAB ，所以,BC PB BC AE ⊥⊥，由于,E F 分别是,PB PC 的中点，所以//EF BC ，所以,EF PB EF AE ⊥⊥.而AB PA =，所以AE PB ⊥，所以,,EP EA EF 两两垂直.故可将三棱锥P AEF -补形成长方体，且111,222EF BC AE PE PB =====，所以长方体的对角线长为()()2221225++=，设三棱锥P AEF -外接球的半径为R ，则25R =245R ππ=.故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积有关计算，考查空间想象，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量a =（m ，3），b =（m 43-，m ﹣1）.若a //b .则m =_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据两个向量共线的坐标表示列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由于a //b ，所以()4133m m m ⎛⎫⨯-=⨯-⎪⎝⎭，即2440m m -+=，()220,2m m -==.故答案为：2【点睛】本小题主要考查向量共线的坐标表示，属于基础题.14.已知实数x ，y 满足141x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则z =x +2y 的最大值是_____.【答案】132【解析】 【分析】画出可行域，向上平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得2z x y =+的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线20x y +=到可行域边界位置点35,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，由此求得2z x y =+的最大值为35132222+⨯=.故答案为：132【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a n ⋅a n +1=2n ，则S 15=_____. 【答案】509 【解析】 【分析】根据递推关系式求得23451415,,,,,,a a a a a a ，然后求得15S .【详解】由于111,15n n a a a +=⋅=，12nn na a +=，所以23413142277234514152672222222,2,2,2,,2,2122222a a a a a a ============，所以()()72715212122221212S ⨯-=+⨯+++=+⨯-509=.故答案为：509【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的项，考查数列求和的方法，考查合情推理，属于基础题.16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a b2+c2=a2bc，BD=2DC，且∠BAD=90°，则△ABC的面积为_____.【答案】95【解析】【分析】利用余弦定理求得cos A，进而求得A的大小.利用正弦定理求得b=，结合余弦定理求得,b c的值，再由三角形的面积公式求得三角形ABC的面积.【详解】∵b2+c2=a2bc，∴可得cosA2222b c abc+-===∴由A∈（0，π），可得A34π=，∵a＝，BD=2DC，∴CD=BD=，∵边BC上一点D满足BD=2DC，且∠BAD=90°，∴∠CAD4π=，在△ADC中，4DC bsin ADCsinπ=∠2bsin ADC=∠，可得b=2sin∠ADC，…①在△ADB中，sin∠ADB=②由①②可得b2=c.在△ABC中，BC2=AB2+AC2﹣2AB⋅AC⋅cos∠BAC，可得18=c2+b22bc=c21 2 +c222c c+⨯⨯，解得c65=，b310=，∴△ABC的面积为S12=bc sin316531029425525π=⨯⨯⨯=.故答案为：95【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a1>0，a8﹣a4﹣a3=1，a4是a1和a13的等比中项. （1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对一切正整数n.有1211134nS S S+++<.【答案】（1）a n=2n+1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等比中项的性质，结合等差数列通项公式的基本量计算，求得1,a d，由此求得数列{}na的通项公式.（2）先求得n S，然后利用裂项求和法证得不等式成立.【详解】（1）解：设等差数列{a n}的公差为d，由题意，()12111121(3)12d aa d a a da-=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩，解得132ad=⎧⎨=⎩，∴数列{a n }的通项公式为a n =3+2（n ﹣1）=2n +1；（2）证明：由（1）知，()()12322n n n S n n n -⨯=+=+. ∴()()()1211111111132435112n S S S n n n n +++=+++++⨯⨯⨯-++ 12=[111111111132435112n n n n -+-+-++-+--++]3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等比中项的性质，考查裂项求和法，考查数列不等式的证明，属于中档题.18.广东省的生产总值已经连续30年位居全国第一位，如表是广东省从2012年至2021年7年的生产总值以人民币（单位：万亿元）计算的数据：（1）从表中数据可认为x 和y 的线性相关性较强，求出以x 为解释变量、y 为预报变量的线性回归方程（系数精确到0.01）；（2）广东省2021年人口约为1.13亿，德国2021年人口约为0.83亿.从人口数量比较看，广东省比德国人口多，但德国2021年的生产总值为4.00万亿美元，以（1）的结论为依据，预测广东省在哪年的生产总值能超过德国在2021年的生产总值？参考数据：71 i =∑y i =52.81，71i =∑ x i y i =230.05，71i =∑ y i 2=411.2153，71i =∑ x i 2=140. 货币兑换：1美元≈7.03元人民币参考公式：回归方程y b =x a +中斜率b 和截距a 的最小二乘估计公式分别为：()()1122211 ()? n n i i iii i n n iii i x x y y x y nx y b x x x nx ====---⋅==--∑∑∑∑，a y b x =-.【答案】（1） 2.83 3.78y x=-；（2）2023年.【解析】【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程. （2）求得4万亿美元对应的人民币，然后根据回归直线方程列不等式，由此求得所求的年份. 【详解】（1）123456747x++++++==，7117iy==∑y i=52.81=7.544，12221230.05547.5442.8314074ni iiniix y nx ybx nx==-⋅-⨯⨯==≈-⨯-∑∑，a y b x=-=7.544﹣2.83×4≈﹣3.78.∴线性回归方程为 2.83 3.78y x=-；（2）由题意，德国2021年的生产总值为4.00万亿美元≈4.00×7.03=28.12万亿元.由2.83x﹣3.78>28.12，解得x≈11.27.∴预测广东省在2023年的生产总值能超过德国在2021年的生产总值.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于中档题.19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，AP⊥BD.（1）证明：BC⊥平面PDB，（2）若AB2=PB与平面APD所成角为45°，求点B到平面APC的距离.【答案】（1）证明见解析；（26.【解析】【分析】（1）通过证明BD ⊥平面APD 证得BD AD ⊥，即有BC BD ⊥，结合BC PD ⊥，证得BC ⊥平面PBD .（2）利用等体积法，由P ABC B PAC V V --=列方程，解方程求得点B 到平面APC 的距离.【详解】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC 在平面ABCD 内，BD 在平面ABCD 内，∴PD ⊥BC ，PD ⊥BD ，又AP ⊥BD ，AP ∩PD =P ，且AP ，PD 均在平面APD 内，∴BD ⊥平面APD ，又AD 在平面APD 内，∴BD ⊥AD ，又底面ABCD 为平行四边形，∴BC ⊥BD ，又PD ∩BD =D ，且都在平面PBD 内，∴BC ⊥平面PDB ；（2）由（1）知，PB 与平面APD 所成角即为∠BPD ，故∠BPD =45°，又AB =DAB =45°，∴1AD BD PD AP PC =======，AC == ∴AP 2+PC 2=AC 2，即AP ⊥CP ，∴122APC S ==，11122ABC S =⨯=， 又V P ﹣ABC =V B ﹣PAC ，∴1133ABC PAC S PD S h ⋅=⋅，即1122⨯=，解得6h =，即点B 到平面APC 【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查点到面的距离的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，点(2,0)N 椭圆的右顶点.（1）求椭圆的方程；（2）过点(0,2)H 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，直线NA 与直线NB 的斜率和为13-，求直线l 的方程.【答案】（1）22142x y +=；（2）22y x =+【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率以及顶点坐标即可得,,a b c 方程，求解即可；（2）设出直线，联立椭圆方程，根据韦达定理，利用已知条件求解即可.【详解】（1）因为点(2,0)N 是椭圆的右项点，所以2a =.又c a =，所以c =又222b c a +=，所以22b = 所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）若直线l 与x轴垂直，则(0,A B，则413NA NB N NB k k k k ==+≠-，所以直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为()()11222,,,,y kx A x y B x y =+， 联立222142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2221840k x kx +++= 则有12122284,2121kx x x x k k -+==++()2221(8)421402k k k =-⨯+⨯>⇒>△直线NA 的斜率为112y x -，直线NB 的斜率为）222y x -，所以()()()()122112121222122223y x y x y y x x x x -+-+==-----. 又11222,2y kx y kx =+=+()()()()()()122112121222222222kx x kx x y y x x x x +-++-+=----()()121212122(22)81243kx x k x x x x x x +-+-==--++， 化简得()1212(61)(46)200k x x k x x ++-+-=. 又12122284,2121k x x x x k k -+==++， 所以2248(61)(46)2002121k k k k k -+⨯+-⨯-=++， 化简得220--=k k ，解得12k =或21k =-，又21k =-时，过点N ，故舍去，所以直线l 的方程为22y x =+.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及直线与椭圆相交，利用韦达定理及其他条件求直线方程；本题中需要注意分类讨论直线的斜率是否存在.21.设函数()ln a f x x x=+. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若1a ，证明1()x f x e >恒成立. 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）求导，对参数进行分类讨论，进而求得函数的单调区间；（2）将恒成立问题，转化两个函数最值之间的问题，进而求解.【详解】（1）由题意得0x >，221()a x a f x x x x'-=-+=. ①当0a ≤时，()0f x '，故函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；优质资料\word 可编辑②当0a >时，在区间(0,)a 上，()0f x '<，在区间(,)a +∞上，()0f x >，故函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增.（2）证明： 要证1()x f x e >，只需证1ln xa x x e +>. 又0x >，故只需证ln x x a x x e +>即可. 设()ln g x a x x =+，则()1ln g x x '=+， 在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0g x '<，在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x '>， 故函数()g x 在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以11()g x g a e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设()x x h x e =，则1()xx h x e '-=， 在区间(0,1)上，()0h x '>，在区间(1,)+∞上，()0h x '<，故函数()h x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减， 所以1()(1)h x h e =. 又1a ≥，所以111a e e --. 又因为2e >，所以21e>， 所以111e e ->， 故在(0,)+∞上，()()g x h x >，综上，1()x f x e>恒成立. 【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，以及证明不等式恒成立的问题，属导数经典题型.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2212,22x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为2,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩，（α为参数）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐极方程为4πθ=，直线l 与曲线1C 和2C 分别交于不同于原点的,A B 两点，求||AB 的值.【答案】（1）24cos 20ρρθ-+=；（2）【解析】【分析】（1）将参数方程化简为普通方程，再利用公式转化为极坐标方程即可；（2）根据题意，利用,A B 在极坐标中对应的θ相同，将方程转化为极坐标进而求解. 【详解】（1）由2,,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩得2,,x y αα=-=两式平方相加，得22(2)2x y -+=，又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 20ρρθ-+=. （2）由2212,22,x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得222221142,2,4y t x t x t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 消去t ，得24,4y x x =，曲线1C 的极坐标方程为22(sin )4cos sin 4cos ,42ρθρθρθθρ=⇒=.设12,,,44A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以124cos4sin 4πρπ==(2222220ρρ-+==解得2ρ=12||||AB ρρ=-==故AB =【点睛】本题考查将参数方程转换为极坐标方程，以及在极坐标方程中求解两点之间的距离. 选修4-5：不等式选讲23.已知0a b >>，函数24()()f x x a x b a b =-++-. （1）若1,2b a ==，求函数()f x 的最小值；（2）证明：()8f x .【答案】（1）8；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）根据绝对值三角不等式，即可求得；（2）利用绝对值三角不等式，巧妙构造，进行证明.【详解】（1）当1,2b a ==时， ()44f x x x =-++()()448x x ≥--+=当且仅当[]4,4x ∈-时取得故()f x 的最小值为8.（2）证明： ()222444()()()()f x x a x x a x a b a b b a b b a b ⎡⎤=-++--+=+⎢⎥---⎣⎦，优质资料\word 可编辑- 21 - / 21- 21 - 故24()()f x a b a b +-. 又()2(a b a b b a b =+--故2416()b a b a -，22222416168()a a a b a b a a ++⨯=-， 当且仅当2,1a b ==时等号成立，故()8f x .【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，构造利用的条件，是解决问题的关键.。

2021-2022学年广东省清远市某校高三（上）期末考试数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|2x <8}，集合B ={x|x >a }，若A ∩B =⌀，则实数α的取值范围为（ ） A.(−∞,2) B.(2,+∞) C.(−∞,3] D.[3,+∞）2. 我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类．全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类．题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1500石，为验得米夹谷，抽样取米一把，数得304粒夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ） A.148石 B.149石 C.150石 D.151石3. 设a ∈R ，则“a =1”是“直线x +ay +1=2与x −ay −3=0垂直”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 若实数a ．b ，c 满足a 3=2,b =log 125,2c =5，则（ ）A.c <b <aB.b <c <aC.a <c <bD.b <a <c5. 五脊殿是宋代传统建筑中的一种屋顶形式，如图所示．其屋顶上有一条正脊和四条垂脊，可近似看作一个底面为矩形的五面体．若某一五脊殿屋顶的正脊长4米，底面矩形的长为6米，宽为4米，正脊到底面矩形的距离为2米，则该五脊殿屋顶的体积的估计值为（ ）A.323 B.643C.32D.646. 设E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 上的点，且AE =13AB,BF =12BC ，如果EF →=mAB →+nAC →(m,n 为实数），那么m +n 的值为（ ）A.−13B.1 C.23D.07. 已知直线3x−4y−1=0与圆C:(x−1)2+(y+2)2=16相交于A，B两点，P为圆C上的动点，则△PAB面积的最大值为（）A.8√3B.10√3C.12√3D.16√38. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意两个不相等的正数x1,x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0，记a=f(1),b=f(−2)2,c=f(3)3，则（）A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a二、多选题已知m∈R，若(m−mi)4=−64，则m的值可取（）A.−2B.−√2C.2D.√2已知F1,F2分别是椭圆C:x225+y216=1的左、右焦点，点A是椭圆C上一点，则下列说法正确的是（）A.|AF1|+|AF2|=10B.椭圆C的离心率为45C.存在点A使得AF1⊥AF2D.ΔAF1F2面积的最大值为12若函数f(x)=√3sin2x+3sin2x+cos2x在[−a,a]上为增函数，则（）A.实数a的取值范围为(0,π6]B.实数a的取值范围为(0,π3]C.点(π12,2)为曲线y=f(x)的对称中心D.直线x=π3为曲线y=f(x)的对称轴已知函数f(x)=−x3+2x2−3x，若过点P(−1, m)（其中m是整数）可作曲线y= f(x)的三条切线，则m的所有可能取值为( )A.2B.3C.4D.5三、填空题在(√x−2x )5的展开式中，x的系数为________．（用数字作答）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点在直线l:x−3y−√10=0上，且C的一条渐近线与l平行，则a=________.已知15sinθtanθ+16=0,θ∈(0,π)，则cos(θ−π4)=________.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1,AA1=2,AD=√2，E、F分别为棱AA1,BB1的中点，动点P在长方体的表面上．若P为平面A1B1C1D1的中心，则三棱锥P−BCF的体积为________；若EP⊥CF，则点P的轨迹的长度为________．四、解答题在①sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC，②bcos A2=asinB，③asinB=bcos(A−π6)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2,b+c=2√2________，求△ABC的面积．注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分．在公比为q的等比数列{a n}中，已知a1=1，且a2,a3,a4−a2成等差数列．(1)求q,a n；(2)若b n=(−1)n a n，数列{b n}的前n项和为S n，求满足S n>1024的最小的正整数n的值．如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=√2.(1)若M，N分别为PC，AB的中点，求证：MN//平面PAD；(2)求二面角B −PC −D 的正弦值．为了解A 、B 生产车间的产品的质量，从A 、B 生产车间随机抽取100件产品进行检验，检验结果分为合格品与不合格品，其中有20%产品为不合格品．(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为产品是否为合格品与生产车间有关？(2)从（1）中A ，B 生产车间的不合格品中，用分层抽样的方法从样本中抽取5件产品，再从这5件不合格品中随机抽取3件产品，记抽到A 生产车间的产品的件数为X ，求X 的分布列与数学期望． 附：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )，其中n=a +b +c +d已知抛物线C:x 2=2py (p >0)上一点P (6,y 0)到焦点F 的距离|PF|=2y 0. (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 且倾斜角为5π6的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，点M 为抛物线C 准线上一点，且MA →⋅MB →=3，求△MAB 的面积．已知函数f (x )=x 2e x −lnx,g (x )=(2x −1)ln (x −2)+lnx−1x+1.(1)求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程；(2)求证：f (x )的最小值与g (x )的最大值相等．参考答案与试题解析2021-2022学年广东省清远市某校高三（上）期末考试数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】∵ A={x|2x<8}={x|2x<23}={x|x<3},B={x|x>a}，又A∩B=⌀，∴a的取值范围为[3,+∞）.2.【答案】A【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征【解析】此题暂无解析【解答】≈148（石）.由题意可知这批米内夹谷约为1500×303043.【答案】A【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】直线x+ay+1=2与x−ay−3=0垂直，则1−a2=0,a=±1，∴ “a=1”是“直线x+ay+1=2与x−ay−3=0垂直”的充分不必要条件．4.【答案】D【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】此题暂无解析【解答】∵ a 3=2，∴ 1<a =√23<√83=2;b =log 125<0；∵ 2c =5，∴ c =log 25>log 24>2，∴ b <a <c . 5. 【答案】 B【考点】组合几何体的面积、体积问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】如图所示，将屋顶分割为一个三棱柱和两个相同的四棱锥，三棱柱的底面是底边长为4， 高为2的等腰三角形，三棱柱的高为4.V =12×4×2×4+2×13×4×1×2=6436. 【答案】 C【考点】向量的线性运算性质及几何意义 【解析】 此题暂无解析 【解答】由题意得EF →=EA →+AC →+CF →=−13AB →+AC →−12BC →=−13AB →+AC →−12(BA →+AC →)=16AB →+12AC →． ∴ m =16,n =12，∴ m +n =23. 7. 【答案】 C【考点】点到直线的距离公式 直线与圆相交的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】圆心C到直线AB距离d=|3+8−1|5=2，∴|AB|=2√r2−d2=4√3，∴(S△PAB)max=12|AB|⋅(r+d)=12√3.8.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】不妨设0<x1<x2，则x1−x2<0，∵ x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0，∴x2f(x1)−x1f(x2)<0，即f(x1)x1<f(x2)x2,f(x)x在(0,+∞)单调递增，∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(−x)−x=f(x)−x =−f(x)x，f(x)x是(−∞,0),(0,+∞)上的奇函数，又a=f(1)=f(1)1，b=f(−2)2=f(2) 2,c=f(3)3，∴a<b<c.二、多选题【答案】A,C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】∵ (m−mi)4=m4(1−i)4=−4m4=−64，∴m4=16，∴m=±2. 【答案】A,D【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】由椭圆的定义知|AF1|+|AF2|=2a=10；椭圆C的离心率e=ca =√25−165=35；设A(m,n)，则m225+n216=1，若AF1⊥AF2，则F1A→⋅F2A→=0，即(m−3)(m+3)+n2=0，m，n无解，故不存在点A使得AF1⊥AF2；当点A在上下顶点时，ΔAF1F2面积的最大值，即(SΔAF1F2)max=12⋅2c⋅b=bc=12.【答案】 A,C,D【考点】三角函数中的恒等变换应用 正弦函数的对称性 【解析】 此题暂无解析 【解答】f(x)=√3sin2x +3sin 2x +cos 2x=√3sin2x +2sin 2x +1=√3sin2x −cos2x +2=2sin(2x −π6)+2， 令−π2≤2x −π6≤π2，得−π6≤x ≤2π3，故0<a ≤π6. 【答案】 A,B,C,D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的极值 【解析】求导，求得过点P 的切线方程，再利用导数求得函数g(x)的极值，根据题意求得实数m 的取值范围，进而得解． 【解答】解：f ′(x)=−3x 2+4x −3，设切点为(x 0, f(x 0))，则切线方程为y +x 03−2x 02+3x 0=(−3x 02+4x 0−3)(x −x 0)， 将x =−1，y =m 代入得，m =2x 03+x 02−4x 0+3， 令g(x)=2x 3+x 2−4x +3，则g ′(x)=6x 2+2x −4=2(x +1)(3x −2)， ∴ 当x >23或x <−1时，g′(x)>0， 当−1<x <23时，g′(x)<0，∴ g(x)的极大值为g(−1)=6，极小值为g(23)=3727， 由题意知，3727<m <6，又m 为整数，∴ m =2，3，4，5．故选ABCD . 三、填空题 【答案】 −10【考点】二项展开式的特定项与特定系数 【解析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于−2，求得r的值，即可求得展开式中的x−2项系数．【解答】−10【答案】3【考点】双曲线的标准方程双曲线的渐近线【解析】此题暂无解析【解答】设双曲线的焦距为2c，则c=√10,ba =13，又c2=a2+b2，所以a=3.【答案】√210【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】由15sinθtanθ+16=0得sin2θ=−1615cosθ，又sin2θ+cos2θ=1，所以cosθ=−35，又θ∈(0,π)，所以sinθ=45,cos(θ−π4)=√210.【答案】√212;2+√6【考点】柱体、锥体、台体的体积计算棱柱的结构特征截面及其作法【解析】此题暂无解析【解答】V P−BCF=13×12×√2×1×12=√212；过E构造一个平面α，使得CF⊥α，当点P在平面α与正方体的表面的交线上时，就有EP⊥CF成立．连接EF，则在正方体中E、F分别为棱AA1,BB1的中点．则EF⊥CF ,在侧面BCC1B1内过点F作CF⊥FG，交B1C1于点G．则平面EFG就是需要的平面α．则平面EFG截正方体得到截面为矩形EFGH．如图则动点P的轨迹为矩形EFGH的四条边组成的图形．CF⊥FG，则∠GFB1+∠CFB=90∘．所以tan∠FCB=BFBC =1√2=tan∠GFB1=B1GB1F,所以B1G=√22，则FG=√1+(√22)2=√62,EF=AB=1,所以矩形EFGH的周长为：1×2+2×√62=2+√6.四、解答题【答案】解：（1）选择条件①，由sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC及正弦定理得，b2+c2−a2=bc；由余弦定理可得，cosA=b 2+c2−a22bc=bc2bc=12；又∵A∈(0,π)，∴A=π3．又a=2,b+c=2√2,b2+c2−a2=bc，∴bc=43,S△ABC=12bcsinA=√33．（2）选择条件②，bcos A2=asinB及正弦定理知，sinBcos A2=sinAsinB=2sin A2cos A2sinB；又sinB>0,cos A2≠0，可得sin A2=12；又∵A∈(0,π)，∴A2=π6，故A=π3．又a=2,b+c=2√2,b2+c2−a2=bc，∴bc=43,S△ABC=12bcsinA=√33．（3）选择条件③，由asinB=bcos(A−π6)及正弦定理知，sinAsinB=sinBcos(A−π6)又sinB>0，从而sinA=cos(A−π6)=√32cosA+12sinA，解得tanA=√3；又∵A∈(0,π)，∴A=π3．又a=2,b+c=2√2,b2+c2−a2=bc，∴bc=43,S△ABC=12bcsinA=√33．【考点】正弦定理余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）选择条件①，由sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC及正弦定理得，b2+c2−a2=bc；由余弦定理可得，cosA=b 2+c2−a22bc=bc2bc=12；又∵A∈(0,π)，∴A=π3．又a=2,b+c=2√2,b2+c2−a2=bc，∴bc=43,S△ABC=12bcsinA=√33．（2）选择条件②，bcos A2=asinB及正弦定理知，sinBcos A2=sinAsinB=2sin A2cos A2sinB；又sinB>0,cos A2≠0，可得sin A2=12；又∵A∈(0,π)，∴A2=π6，故A=π3．又a=2,b+c=2√2,b2+c2−a2=bc，∴bc=43,S△ABC=12bcsinA=√33．（3）选择条件③，由asinB=bcos(A−π6)及正弦定理知，sinAsinB=sinBcos(A−π6)又sinB>0，从而sinA=cos(A−π6)=√32cosA+12sinA，解得tanA=√3；又∵A∈(0,π)，∴A=π3．又a=2,b+c=2√2,b2+c2−a2=bc，∴bc=43,S△ABC=12bcsinA=√33．【答案】解：（1）由a2,a3,a4−a2成等差数列得a4=2a3，所以公比q=2，又a1=1，所以a n=2n−1．（2）∵ b n=(−1)n a n=(−1)n2n−1，∴b1=−1,b n+1=(−1)n+12n，∴b n+1b n=−2，∴{b n}是以−1为首项公比为−2的等比数列，S n=−(1−(−2)n)1−(−2)=13((−2)n−1)，由S n>1024得(−2)n>1024×3+1，∴n为偶数，又(−2)10=1024,(−2)12=1024×4=1024×3+1， ∴ 正整数n 的最小值为12． 【考点】等比数列的通项公式 等差中项 数列的函数特性 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）由a 2,a 3,a 4−a 2 成等差数列得a 4=2a 3， 所以公比q =2，又a 1=1，所以a n =2n−1．（2）∵ b n =(−1)n a n =(−1)n 2n−1，∴ b 1=−1,b n+1=(−1)n+12n ， ∴b n+1b n=−2，∴ {b n }是以−1为首项公比为−2的等比数列，S n =−(1−(−2)n )1−(−2)=13((−2)n −1)，由 S n >1024得(−2)n >1024×3+1，∴ n 为偶数， 又(−2)10=1024,(−2)12=1024×4=1024×3+1， ∴ 正整数n 的最小值为12． 【答案】（1）证明：取CD 中点E ，连接ME ，EN ， ∵ M ，E 分别为PC,DC 中点，∴ MF//PD ， ∵ ME ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴ ME//平面PAD ，∵ E ，N 分别为正方形DC ，AB 中点，∴ EN//AD 同理可证 EN//平面PAD ，又EN ∩ME =E,EN ⊂平面MNE ，ME ⊂平面MNE ， ∴ 平面MNE//平面PAD ，∵ MN ⊂平面MNE ，∴ MN//平面PAD ；（2）解：取AD 中点O ，连结OP ，∵ AP =PD =√2,AD =2， ∴ OP ⊥AD,OP =1，又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴ OP ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，分别以OA →，AB →，OP →方向为x,y,z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则有B(1,2,0),C(−1,2,0),D(−1,0,0),P(0,0,1）, 可得CB →=(2,0,0),CD →=(0,−2,0),CP →=(1,−2,1)，设m =(x 1,y 1,z 1)为平面PBC 的一个法向量， 则有{m ⋅CB →=0m ⋅CP →=0 即{2x 1=0,x 1−2y 1+z 1=0, 不妨令 y 1=1，则m =(0,1,2)，设n =(x 2,y 2,z 2)为平面PCD 的一个法向量， 则有{n ⋅CD →=0n ⋅CP →=0 即{−2y 2=0,x 2−2y 2+x 2=0, 不妨令x 2=1，则n =(1,0,−1)， ∴ cos⟨m,n⟩=m⋅n |m||n|=√105,sin(m,n⟩=√155，即二面角B −PC −D 的正弦值为√155. 【考点】直线与平面平行的判定用空间向量求平面间的夹角 【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）证明：取CD 中点E ，连接ME ，EN ， ∵ M ，E 分别为PC,DC 中点，∴ MF//PD ， ∵ ME ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴ ME//平面PAD ，∵ E ，N 分别为正方形DC ，AB 中点，∴ EN//AD 同理可证 EN//平面PAD ，又EN ∩ME =E,EN ⊂平面MNE ，ME ⊂平面MNE ， ∴ 平面MNE//平面PAD ，∵ MN ⊂平面MNE ，∴ MN//平面PAD ；（2）解：取AD 中点O ，连结OP ，∵ AP =PD =√2,AD =2， ∴ OP ⊥AD,OP =1，又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴ OP ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，分别以OA →，AB →，OP →方向为x,y,z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则有B(1,2,0),C(−1,2,0),D(−1,0,0),P(0,0,1）, 可得CB →=(2,0,0),CD →=(0,−2,0),CP →=(1,−2,1)， 设m =(x 1,y 1,z 1)为平面PBC 的一个法向量， 则有{m ⋅CB →=0m ⋅CP →=0即{2x 1=0,x 1−2y 1+z 1=0,不妨令y1=1，则m=(0,1,2)，设n=(x2,y2,z2)为平面PCD的一个法向量，则有{n⋅CD→=0n⋅CP→=0即{−2y2=0,x2−2y2+x2=0,不妨令x2=1，则n=(1,0,−1)，∴cos⟨m,n⟩=m⋅n|m||n|=√105,sin(m,n⟩=√155，即二面角B−PC−D的正弦值为√155.【答案】解：（1）2×2列联表所以K2=100(44×8−36×12)280×20×56×44≈0.162<2.706，故没有90%的把握认为产品是否为合格品与生产车间有关．（2）A，B车间的不合格品分别有12，8件，用分层抽样抽取5件，其中从A车间抽取3件不合格品，从B车间抽取2件不合格品．X的所有可能取值为1，2，3.P(X=1)=C31C22C83=310,P(X=2)=C32C21C53=35,P(X=3)=C33C53=110，所以X的分布列为：E(X)=1×310+2×35+3×110=1.8．【考点】独立性检验离散型随机变量的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）2×2列联表所以K2=100(44×8−36×12)280×20×56×44≈0.162<2.706，故没有90%的把握认为产品是否为合格品与生产车间有关．（2）A ，B 车间的不合格品分别有12，8件，用分层抽样抽取5件，其中从A 车间抽取3件不合格品，从B 车间抽取2件不合格品． X 的所有可能取值为1，2，3. P(X =1)=C 31C 22C 83=310,P(X =2)=C 32C 21C 53=35,P(X =3)=C 33C 53=110，所以X 的分布列为：E (X )=1×310+2×35+3×110=1.8． 【答案】解：(1)由抛物线的定义得|PF|=y 0+p2,由题意得 {2y 0=y 0+p236=2py 0,解得{y 0=3p =6,所以抛物线的方程为x 2=12y（2）由(1)知点F (0,3)，所以直线l 的方程为x +√3y −3√3=0, 由{x +√3y −3√3=0x 2=12y可得y 2−10y +9=0， 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则y 1=1,y 2=9,y 1+y 2=10, 点A ,B 的坐标分别为(2√3,1),(−6√3,9),设点M 的坐标为(t,−3)，则MA →=(2√3−t,4),MB →=(−6√3−t,12), 则MA →⋅MB →=(2√3−t)(−6√3−t)+4×12=3，解得t =−√3或−3√3 , 所以|AB|=|AF|+|BF|=(y 1+p2)+(y 2+p2)=y 1+y 2+p =10+6=16.点M 到直线l 的距离为d =|t−6√3|2，故d =7√32或9√32， 当d =7√32时，△MAB 的面积为S =12d ⋅|AB|=28√3．当d =9√32时，△MAB 的面积为S =12d ⋅|AB|=36√3【考点】抛物线的标准方程与抛物线有关的中点弦及弦长问题 平面向量数量积的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由抛物线的定义得|PF|=y 0+p2, 由题意得 {2y 0=y 0+p236=2py 0,解得{y 0=3p =6,所以抛物线的方程为x 2=12y（2）由(1)知点F (0,3)，所以直线l 的方程为x +√3y −3√3=0, 由{x +√3y −3√3=0x 2=12y可得y 2−10y +9=0， 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则y 1=1,y 2=9,y 1+y 2=10, 点A ,B 的坐标分别为(2√3,1),(−6√3,9),设点M 的坐标为(t,−3)，则MA →=(2√3−t,4),MB →=(−6√3−t,12), 则MA →⋅MB →=(2√3−t)(−6√3−t)+4×12=3，解得t =−√3或−3√3 , 所以|AB|=|AF|+|BF|=(y 1+p2)+(y 2+p2)=y 1+y 2+p =10+6=16. 点M 到直线l 的距离为d =|t−6√3|2，故d =7√32或9√32， 当d =7√32时，△MAB 的面积为S =12d ⋅|AB|=28√3．当d =9√32时，△MAB 的面积为S =12d ⋅|AB|=36√3【答案】解：（1）函数f (x )的导函数f ′(x )=e x (x 2+2x )−1x ，所以 f ′(1)=3e −1,f (1)=e ，所以切线方程为 y −e =(3e −1)(x −1)即y =(3e −1)x −2e +1.（2）由（1）可知：函数f (x )的导函数f ′(x )=e x (x 2+2x )−1x ,易知y =f ′(x )在(0,+∞)上是增函数，且f ′(1)=3e −1>0,f ′(13)=79√e −3<0，所以，在(13,1)上存在一个实数m ，使得f ′(m )=0，且f (x )在(0,m )上递减，在(m,+∞)上递增．于是其极小值点x =m 满足e m (m 2+2m )−1m=0,也即m +2lnm +ln (m +2)=0 ①， 函数f (x )的极小值，亦为最小值为f (m )=m 2e m −lnm =m 2⋅1m 2(m+2)−lnm =1m+2−lnm . 另一方面，令t =x −2>0，函数g (x )的最大值即函数ℎ(x )=−xlnx+ln (x+2)+x+1x+2的最大值．函数ℎ(x )的导函数ℎ′(x )=−x+2lnx+ln (x+2)(x+2)2, 记φ(x )=x +2lnx +ln (x +2)，易知φ(x )在(0,+∞)上递增，又φ(1)=1+ln3>0,φ(e −2)=1e 2−4+ln (1e 2+2)<0,所以，存在唯一一个数n ∈(e −2,1)，使得ℎ′(n )=0，且当x ∈(0,n )时,ℎ′(x )>0，当x ∈(n,+∞)时,ℎ′(x )< 0．于是其极大值点x =n 满足n +2lnn +ln (n +2)=0 ②， 函数ℎ(x )的极大值，亦为最大值为ℎ(n )=−nlnn+ln (n+2)+n+1n+2=−nlnn−(n+2lnn )+n+1n+2=1n+2−lnn ，由于函数φ(x )=x +2lnx +ln (x +2)单调递增，由①②得m =n ，从而f (m )=ℎ(n )， 即f (x )的最小值与g (x )的最大值相等． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的最值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）函数f (x )的导函数f ′(x )=e x (x 2+2x )−1x ，所以 f ′(1)=3e −1,f (1)=e ，所以切线方程为 y −e =(3e −1)(x −1)即y =(3e −1)x −2e +1.（2）由（1）可知：函数f (x )的导函数f ′(x )=e x (x 2+2x )−1x ,易知y =f ′(x )在(0,+∞)上是增函数，且f ′(1)=3e −1>0,f ′(13)=79√e −3<0，所以，在(13,1)上存在一个实数m ，使得f ′(m )=0，且f (x )在(0,m )上递减，在(m,+∞)上递增．于是其极小值点x =m 满足e m (m 2+2m )−1m =0, 也即m +2lnm +ln (m +2)=0 ①，函数f (x )的极小值，亦为最小值为f (m )=m 2e m −lnm =m 2⋅1m 2(m+2)−lnm =1m+2−lnm . 另一方面，令t =x −2>0，函数g (x )的最大值即函数ℎ(x )=−xlnx+ln (x+2)+x+1x+2的最大值．函数ℎ(x )的导函数ℎ′(x )=−x+2lnx+ln (x+2)(x+2)2, 记φ(x )=x +2lnx +ln (x +2)，易知φ(x )在(0,+∞)上递增， 又φ(1)=1+ln3>0,φ(e −2)=1e 2−4+ln (1e 2+2)<0,所以，存在唯一一个数n ∈(e −2,1)，使得ℎ′(n )=0，且当x ∈(0,n )时,ℎ′(x )>0，当x ∈(n,+∞)时,ℎ′(x )< 0．于是其极大值点x=n满足n+2lnn+ln(n+2)=0②，函数ℎ(x)的极大值，亦为最大值为ℎ(n)=−nlnn+ln(n+2)+n+1n+2=−nlnn−(n+2lnn)+n+1n+2=1n+2−lnn，由于函数φ(x)=x+2lnx+ln(x+2)单调递增，由①②得m=n，从而f(m)=ℎ(n)，即f(x)的最小值与g(x)的最大值相等．。

参考答案二、填空题13.（2，-2）; 14. 2或-1 ； 15.14.1或10； 16.．16试题分析：∵，∴8239a b ab ab +=≥⇒≥，当且仅当时，等号成立，∴()()501222429a b ab a b ab ++=+++=+=，即的最小值是． 三、解答题17.（本小题满分12分）已知函数)(21cos 2sin 23)(2R x x x x f ∈--=,设的内角的对应边分别为，且.（1）求C 的值.（2）若向量与向量共线，求的面积.解：（1）∵12cos 212sin 23)(--=x x x f …………….1分 1)62sin()(--=πx x f …………….2分由得，…………………………..3分又∵……………………….4分∴，……………………….5分即C=……………………….6分（2）∵向量与向量共线∴，………………………7分∴，①………………………8分由余弦定理，得②……………………….9分∴由①②得……………………….10分∴的面积为……………………….12分18. 已知: 如图，等腰直角三角形的直角边AC=BC=2，沿其中位线将平面折起，使平面⊥平面，得到四棱锥，设、、、的中点分别为、、、.（1）求证：、、、四点共面； （2）求证：平面⊥平面； （3）求异面直线B E与MQ 所成的角.AD EC B A DE B Q A D E BM N P解：(1)由条件有PQ 为的中位线，∥……………………….1分又∵ MN 为梯形BCDE 的中位线∥，……………………….2分PQ ∥MN ……………………….3分M 、N 、P 、Q 四点共面．。

4分（2）证明:在等腰直角三角形中，其中位线，则有AC ⊥BC,DE ∥BC ，沿其中位线将平面折叠后有，CDDE 。

5分又，面ACD ， ………………….6分又∥ 平面， ……………7分又∵平面， 平面平面………………….8分(3) 解法一由条件知AD=1，DC=1，BC=2，延长ED 到R ，使DR ＝ED ，连结RC 则ER ＝BC ，ER ∥BC ，故BCRE 为平行四边形 。

2021-2022学年广东省清远市高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x||x|<3}，B ={x|−2≤x ≤4}，则A ∩B =( )A. [−4,3)B. [−2,3)C. (−3,2]D. (3,4]2. 已知i 为虚数单位，复数z 的共轭复数z −满足(1+i)z −=|1+√3i|，则z =( )A. 1−iB. 1+iC. 2−2iD. 2+2i3. 若椭圆C ：x 24+y 2m=1的焦距为6，则实数m =( )A. 13B. 40C. 5D. 2√134. 直线l ：ax +y −1=0被圆C ：x 2+y 2+6x −4y −3=0截得的最短弦长为( )A. √6B. 2√5C. 4√2D. 2√65. 在三棱锥P −ABC 中，AC =1，PB =2，M ，N 分别是PA ，BC 的中点，若MN =√22，则异面直线AC ，PB 所成角的余弦值为( )A. 35B. 14C. 34D. 256. 果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果的新鲜度F 与其采摘后时间t(天)近似满足的函数关系式为F =1−m ⋅a t ，若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.若要这种水果的新鲜度不能低于60%，则采摘下来的这种水果最多可以保存的天数为( )A. 30B. 35C. 40D. 457. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2021这2021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为( )A. 58B. 59C. 60D. 618. 已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2−2λ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ) A. 16B. 12C. 5D. 4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示(按得分分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]这五组)，则下列结论正确的是()A. 直方图中a=0.005B. 此次比赛得分不及格的共有40人C. 以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5D. 这100名参赛者得分的中位数为6510.将函数y1=cos(ωx+π6)(ω>0)图象上所有的点向右平移π6个单位长度后，得到函数y2=cos(2x+φ)(|φ|<π2)的图象，若函数f(x)=y1+y2，则()A. f(x)的最小值是−√3B. f(x)的图象关于直线x=π4对称C. f(x)的最小正周期是πD. f(x)的单调递增区间是[kπ−π2,kπ](k∈Z)11.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上位于第一象限的点，过点F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A，若O为坐标原点，b=2|OA|，则()A. 双曲线C的渐近线方程为y=±2xB. 双曲线C的渐近线方程为y=±12xC. 双曲线C的离心率为√5D. 双曲线C的离心率为√5212.已知函数f(x)=x+2x −2，若方程af(|e x−1|)+2|e x−1|+3=0恰有三个不同的实数根，则实数a的取值可能是()A. −5B. −4C. −3D. −2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tanα=2，则sin(α−π4)cos(α+π4)sin2α=______．14.已知曲线f(x)=(ax+b)e x在点(0,2)处的切线方程为x+y−2=0，则a−b=______．15.为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护土，则不同的分配方法共有______种．16.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，P为DD1的中点，过PB的平面α分别与棱AA1，CC1交于点E，F，且AC//α，则平面α截长方体所得上下两部分的体积比值为______；所得的截面四边形PEBF的面积为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在平面四边形ABCD中，∠ADB=∠BDC=π6，∠BCD=π2，AD=4，CD=3．(1)求AB；(2)求△ABC的面积．18.某市为积极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对抗疫进行了深入的宣传，帮助全体市民深入了解新型冠状病毒，增强战胜疫情的信心．为了检验大家对新型冠状病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关的问卷调查，随机抽取了年龄在18～99岁之间的200人进行调查，把年龄在[18,65]和[66,99]内的人分别称为“青年人”和“中老年人”.经统计，“青年人”和“中老年人”的人数之比为2：3，其中“青年人”中有50%的人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和了解不全面的人数之比是2：1．(1)根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据统计结果判断是否有95%的把握认为“中老年人”比“青年人”更加了解防控的相关知识．(2)用频率估计概率从该市18～99岁市民中随机抽取3位市民，记抽出的市民对防控相关知识了解全面的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．，其中n=a+b+c+d．附表及公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n，从下面①②③中选择两个作为条件，证明另外一个成立．)n−1．①a n=n−S n，②b n=a n−1，③T n=(1220.已知正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB=2，D，E，F分别为AC，CC1，AA1的中点．(1)证明：平面BDF⊥平面BDE．(2)求二面角D−BE−A1的正弦值．21.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，若AB的中点到准线l的距离为4．(1)求抛物线C的方程；(2)设P为l上任意一点，过点P作C的切线，切点为Q，试判断F是否在以PQ为直径的圆上．22.已知函数f(x)=e x−1−a(x−1)．(1)讨论f(x)的零点个数；(2)若f(x)有两个不同的零点x1，x2，证明：x1+x2>4．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A ={x||x|<3}={x|−3<x <3}， B ={x|−2≤x ≤4}， 则A ∩B ={x|−2≤x <3}． 故选：B ．先求出集合A ，再利用并集定义求解．本题考查集合的运算，考查交集不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：由已知，可得z −=|1+√3i|1+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ，则z =1+i ， 故选：B ．利用复数的运算性质以及共轭复数的定义即可求解．本题考查了复数的运算性质，考查了共轭复数的定义，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：椭圆C ：x 24+y 2m=1的焦距为6，可得√|4−m|=3，m >0且m ≠4， 解得m =13． 故选：A ．利用椭圆的焦距，列出方程求解即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．4.【答案】D【解析】解：直线l ：ax +y −1=0经过定点(0,1)，圆的方程即(x +3)2+(y −2)2=16， 则圆心与定点之间的距离d =√(0+3)2+(1−2)2=√10， 故最短的弦长为2√16−10=2√6． 故选：D ．首先确定直线经过的定点，然后计算最短的弦长即可．本题主要考查直线恒过定点问题，圆的弦长的最值问题等知识，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：取AB(或PC)中点Q ，连接QM.QN ，Q 是AB 中点，N 是BC 中点，⇒QN//AC ，QN =12AC =12， 同理，可得QM//BP ，QM =12PB =1，所以∠MQN 就是异面直线AC 、PB 所成的角或其补角， 在△MQN 中，QM =1，QN =12，MN =√22，cos∠MQN =12+(12)2−(√22)22×1×12=34，∴异面直线AC ，PB 所成角的余弦值为34． 故选：C ．取AB 中点Q ，连接QM.QN ，∠MQN 就是异面直线AC 、PB 所成的角或其补角，通过解三角形求解即可．本题考查异面直线所成角的求法，考查计算能力，是中档题．6.【答案】A【解析】解：由题意可得，{1−ma 10=90%1−ma 20=80%，解得a =2110，m =0.05， 所以1−0.05⋅(2110)t ≥60%，解得t ≤30， 故采摘下来的这种水果最多可以保存的天数为30． 故选：A ．由题意可得，{1−ma 10=90%1−ma 20=80%，解得a =2110，m =0.05，解出函数的关系式F ，再结合1−0.05⋅(2110)t ≥60%，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：被5除余3且被7除余2的数构成首项为23，公差为35的等差数列，记为{a n }， 则a n =23+35(n −1)=35n −12， 令a n =35n −12≤2021，解得n ≤58335．∴将1到2021这2021个自然数中满足被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是58． 故选：A ．根据“被5除余3且被7除余2的数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n 项和公式，可得结果．本题考查数列的项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】C【解析】解：如图，延长AC 到D ，使得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2−2λ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以点P 在直线BD 上， 取线段AC 的中点O ，连接OP ，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |²−|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |²=|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |²−4， 显然当OP ⊥BD 时，|PO⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值， 因为BO =2√3，OD =6，则BD =4√3， 所以|PO⃗⃗⃗⃗⃗ |最小值为√3×64√3=3，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为3²−4=5， 故选：C ．延长AC 到D ，使得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得点P 在直线BD 上，化简可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |²−4，即可求出最小值．本题考查平面向量数量积的运算性质，数形结合思想，属于中档题．9.【答案】ABC【解析】解：对于A ，由频率分布直方图得： (a +0.035+0.030+0.020+0.010)×10=1， 解得a =0.005，故A 正确；对于B ，此次比赛得分不及格的频率为：(0.005+0.035)×10=0.4， ∴此次比赛得分不及格的人数为：0.4×100=40人，故B 正确； 对于C ，得分在[60,80)的频率为(0.030+0.020)×10=0.5，∴以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5，故C 正确；对于D ，[40,60)的频率为(0.005+0.035)×10=0.4，[60,70)的频率为：0.030×10=0.3， ∴这100名参赛者得分的中位数为60+0.5−0.40.3×10=1903，故D 错误．故选：ABC ．对于A ，由频率分布直方图列出方程组，能求出a ；对于B ，先求出此次比赛得分不及格的频率，由此能求出此次比赛得分不及格的人数；对于C ，求出得分在[60,80)的频率，以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，能求出其得分在[60,80)的概率；对于D ，[40,60)的频率为0.4，[60,70)的频率为0.3，由此能求出这100名参赛者得分的中位数．本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力，是基础题．10.【答案】ACD【解析】解：由题意知，y1=cos(2x+π6),y2=cos[2(x−π6)+π6]=cos(2x−π6)，则f(x)=cos(2x+π6)+cos(2x−π6)=cos2x⋅√32−sin2x⋅12+cos2x⋅√32+sin2x⋅12=√3cos2x,f(x)的最小值是−√3，最小正周期是π，故A，C正确；令2x=kπ(k∈Z)，得x=kπ2(k∈Z)，若kπ2=π4，则k=12∉Z，故B错误；令2kπ−π≤2x≤2kπ(k∈Z)，得kπ−π2≤x≤kπ(k∈Z)，即f(x)的单调递增区间是[kπ−π2,kπ](k∈Z)，故D正确．故选：ACD．根据题意先求出y2，进而求出f(x)，然后通过两角和与差的余弦公式进行化简，最后结合三角函数值的图象和性质求得答案．本题考查了三角函数的性质，属于基础题．11.【答案】AC【解析】解：设F2A的延长线交PF1于B，则由题意可得A为BF2的中点，因为O为F1F2的中点，所以|OA|=|BF1|2，因为PA为∠F1PF2的角平分线，PA⊥BF2，所以可得|PB|=|PF2|，所以|OA|=|BF1|2=|PF1|−|PB|2=|PF1|−|PF2|2=2a2=a，所以2|OA|=2a，而b=2|OA|=2a，可得渐近线的方程为y=±bax=±2x，所以A正确，B不正确；双曲线的离心率e =c a=√1+b 2a 2=√1+22=√5，所以C 正确，D 不正确；故选：AC ．延长F 2A 交PF 1于B ，则由题意可得A 为BF 2的中点，可得|OA|=|BF 1|2，由题意可得|OA|=|BF 1|2=|PF 1|−|PB|2=|PF 1|−|PF 2|2=2a 2=a ，则b =2a ，进而可得渐近线的方程及离心率的值，判断AC 正确，BD 不正确．本题考查双曲线的性质的应用及角平分线的性质的应用，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：原方程可化为a|e x −1|²−(2a −3)|e x −1|+2a +2=0，令t =|e x −1|，则t ∈(0,+∞)，其图象如下图所示： 由题意可得at²−(2a −3)t +2a +2=0有2个不同的实数解t 1，t 2，且0<t 1<1，t 2≥1， 记φ(t)=at²−(2a −3)t +2a +2，当φ(1)=0时，解得a =−5，此时两根分别为1，85，不符合题意；则{a <0φ(0)<0φ(1)>0或{a >0φ(0)>0φ(1)<0，解得−5<a <−1，即a 的取值范围是(−5,−1)． 故选：BCD ．先化简方程，再通过换元并利用根的分布分类讨论即可求解．本题考查方程根与函数零点的关系，数形结合思想，换元思想，属于中档题．13.【答案】−18【解析】解：因为sin(α−π4)cos(α+π4)sin2α=√22(sinα−cosα)⋅√22(cosα−sinα)2sinαcosα=−sin 2α−2sinαcosα+cos 2α2sinαcosα×12=−tan 2α−2tanα+14tanα=−22−2×2+14×2=−18，故答案为：−18．利用正余弦的和差角公式以及正弦的倍角公式化简所求关系式，然后再利用弦化切即可求解．本题考查了两角和与差的三角函数的应用，涉及到倍角公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．14.【答案】−5【解析】解：求导得f′(x)=e x(ax+b+a)，曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为x+ y−2=0．f′(0)=−1，f(0)=2，b+a=−1，b=2，∴a=−3，a−b=−5．故答案为：−5．求导函数，利用曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为x+y−2=0，建立方程，可求a、b的值．本题考查导数知识的运用，考查函数导数的几何意义，切线方程的求法，解题的关键是正确求导，是中档题．15.【答案】540【解析】解：根据题意，第一个学校选1名医生和2名护土，有C31C62种选法，第二个学校选1名医生和2名护土，有C21C42种选法，第三个学校只有1种选法，则有C31C62C21C42=540种选法，故答案为：540．三所学校依次选1名医生、2名护士，同一个学校没有顺序，可得不同的分配方法数．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】32√6【解析】解：如图，过点B作AC的平行线分别与DA，DC的延长线交于G，H，连接PG ，PH ，并分别与AA 1，CC 1交于E ，F ， ∵AC//GH ，且AC ⊄平面PGH ，GH ⊂平面PGH ， ∴AC//平面PGH ，∴平面PGH 即为平面α， ∵AB =AD =2，AA 1=4，∴AE =1， ∴V 下=2V B−ADPE =2×13×(1+2)×22×2=4，∴平面α截长方体所得上下两部分的体积比值为V 上V 下=2×2×4−44=3．∵四边形PEBF 是菱形，且EF =2√2，PB =2√3， ∴S PEBF =12×EF ×PB =2√6． 故答案为：3；2√6．过点B 作AC 的平行线，分别与DA ，DC 的延长线交于G ，H ，连接PG ，PH ，并分别与AA 1，CC 1交于点E ，F ，可得平面PGH 即平面α，利用体积公式求出V 下，进而求出平面α截长方体所得上下两部分的体积比值；根据四边形PEBF 为菱形，利用面积公式，求出所得的截面四边形PEBF 的面积．本题考查几何体的体积、截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)因为△BCD 为直角三角形，∠BDC =π6,CD =3，所以BC =√3,BD =2√3,∠DBC =π3. (2分) 在△ABD 中，AD =4,BD =2√3,∠ADB =π6，由余弦定理得AB 2=AD 2+BD 2−2AD ⋅BDcos π6=4，(4分) 所以AB =2. (5分)(2)因为AB 2+BD 2=AD 2，所以△ABD 为直角三角形，且∠ABD =π2，(7分) 故S △ABC =12AB ⋅BCsin5π6=√32. (10分)【解析】(1)通过三角形的形状，结合余弦定理，求解AB 即可． (2)利用三角形的面积公式求解即可．本题考查三角形的几何计算，余弦定理的应用，三角形的面积的求法，是中档题．18.【答案】解：(1)因为“青年人”和“中老年人”的人数之比为2：3，所以“青年人”和“中老年人”的人数分别为80和120， 因为“青年人”中有50%的人对防控的相关知识了解全面，所以“青年人”中对防控的相关知识了解全面的有40人，了解不全面的有40人， 因为“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和了解不全面的人数之比是2：1， 所以“中老年人”中对防控的相关知识了解不全面的有80人，了解不全面的有40人， 故2×2列联表如下：因为K 2=200×(40×40−40×80)2120×80×80×120=509≈5.556>3.841，所以有95%的把握认为“中老年人”比“青年人”更加了解防控的相关知识． (2)用样本估计总体可知，从该市18～99岁市民中随机抽取1人，抽到的市民对防控相关知识了解全面的概率为35，所以随机变量X ～B(3,35)，X 所有可能取值为0，1，2，3，因为P(X =0)=C 30×(1−35)3=8125,P(X =1)=C 31×35×(1−35)2=36125，P(X =2)=C 32×(35)2×(1−35)=54125,P(X =3)=C 33×(35)3=27125，所以X 的分布列为：E(X)=np =95．【解析】(1)根据已知条件，结合列联表中数据的关系，以及独立性检验公式，即可求解．(2)用样本估计总体可知，从该市18～99岁市民中随机抽取1人，抽到的市民对防控相关知识了解全面的概率为35，所以随机变量X ～B(3,35)，X 所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X 的分布列，并结合期望公式，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．19.【答案】解：选①②作为条件证明③，因为a n =n −S n ，所以当n =1时，a 1=12． 当n ≥2时，a n−1=n −1−S n−1，两式相减得a n −a n−1=1−a n ，所以2a n =a n−1+1， 所以2(a n −1)=a n−1−1． 因为b n =a n −1，所以2b n =b n−1， 即b nbn−1=12，所以数列{b n }是首项为−12，公比为12的等比数列． 因为b n =−(12)n ， 所以T n =−12[1−(12)n ]1−12=(12)n −1．选①③作为条件证明②，因为a n =n −S n ，所以当n =1时，a 1=12． 当n ≥2时，a n−1=n −1−S n−1，两式相减得a n −a n−1=1−a n ，所以2a n =a n−1+1， 所以2(a n −1)=a n−1−1，所以a n −1an−1−1=12， 所以数列{a n −1}是首项为−12，公比为12的等比数列． 因为a n −1=−(12)n ，所以a n =1−(12)n ．因为T n =(12)n −1，所以当n =1时，b 1=T 1=−12； 当n ≥2时，b n =T n −T n−1=(12)n −(12)n−1=−(12)n ． 因为当n =1时也满足上式，所以b n =−(12)n ， 故b n =a n −1．选②③作为条件证明①，因为T n =(12)n −1，所以当n =1时，b 1=T 1=−12； 当n ≥2时，b n =T n −T n−1=(12)n −(12)n−1=−(12)n ． 因为当n =1时也满足上式，所以b n =−(12)n ．因为b n =a n −1，所以a n =1−(12)n ， 所以S n =n −[(12)1+(12)2+⋯+(12)n ]=n −12[1−(12)n ]1−12=n −[1−(12)n ]=n −a n ，故a n =n −S n ．【解析】利用数列的递推关系，构造新的特殊数列即可求得结果． 本题考查了数列的递推关系，数列的求和等问题，属于基础题．20.【答案】(1)证明：在正△ABC 中，D 为AC 的中点，则BD ⊥AC ，因为AA 1⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BD ，而AA 1∩AC =A ，所以BD ⊥面AA 1C 1C ，又DF ，DE ⊂面AA 1C 1C ， 所以BD ⊥DF ，BD ⊥DE ，所以∠FDE 为二面角F −BD −E 的平面角，D ，E ，F 分别为AC ，CC 1，AA 1的中点．AA 1=AB =2， 所以AF =AD ，CD =CE ，所以∠ADF =∠CDE =45°， 所以∠FDE =90°所以二面角F −BD −E 为直二面角， 所以平面BDF ⊥平面BDE ．(2)以D 为坐标原点，DA ，DB ，为x ，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,2)，B(0,√3,0)，E(−1,0,1)，F(1,0,1)， 所以A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,−1)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,−2)， 由(1)知，平面BDE 的一个法向量为DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)， 设面A 1BE 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x −z =0n ⃗ ⋅A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y −2z =0，令x =1，得n ⃗ =(1,−√3,−2)，所以cos <DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ ∣DF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣×∣n⃗⃗ ∣=−1√2×2√2=−14， 所以二面角D −BE −A 1的正弦值为√154．【解析】(1)由等边三角形，线面垂直的性质可得BD ⊥AC ，AA 1⊥BD ，根据线面垂直的判定有BD ⊥平面ACC 1A 1，从而∠FDE 为二面角F −BD −E 的平面角，再证明∠FDE 为直角即可．(2)建立空间直角坐标系，求面BDE ，面A 1BE 的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求法向量夹角的余弦值，进而求二面角D −BE −A 1的正弦值． 本题考查面面垂直的证明，以及面面角的求法，属中档题．21.【答案】解：(解法一)(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{y 12=2px 1,y 22=2px 2,所以y 12−y 22=2p(x 1−x 2)，整理得y 1−y 2x1−x 2=2py1+y 2=1，(1分)所以y 1+y 2=2p. (2分)因为直线AB 的方程为y =x −p2，所以x 1+x 2=y 1+y 2+p =3p. (3分) 因为AB 的中点到准线l 的距离为4，所以x 1+x 22+p2=2p =4，得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x. (5分) (2)设P(−1,t)，可知切线PQ 的斜率存在且不为0， 设切线PQ 的方程为x =m(y −t)−1，联立方程组{x =m(y −t)−1,y 2=4x,得y 2−4my +4mt +4=0，(7分)由Δ=16m 2−16(mt +1)=0，得t =m −1m ，即P(−1,m −1m )，(8分) 所以方程y 2−4my +4t +4=y 2−4my +4m 2=0的根为y =2m ， 所以x =m 2，即Q(m 2,2m). (10分)因为FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,m −1m),FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m 2−1,2m)，所以FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2(m 2−1)+2m(m −1m)=0，所以FP ⊥FQ ，即F 在以PQ 为直径的圆上． (12分) 解法二：(1)联立方程组{y =x −p2,y 2=2px,得x 2−3px +p 24=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=3p. (3分) 因为AB 的中点到准线l 的距离为4，所以x 1+x 22+p2=2p =4，得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x. (5分) (2)设P(−1,t)，可知切线PQ 的斜率存在且不为0， 设切线PQ 的方程为y −t =k(x +1)，联立方程组{y −t =k(x +1),y 2=4x,得ky 2−4y +4t +4k =0，(7分)由Δ=16−4k(4t +4k)=0，得t =1k −k ，即P(−1,1k −k)，(8分)所以方程ky 2−4y +4t +4k =ky 2−4y +4k =0的根为y =2k ， 所以x =1k 2，即Q(1k 2,2k ). (10分)因为FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1k −k),FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1k 2−1,2k )，所以FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2(1k 2−1)+(1k −k)2k=0， 所以FP ⊥FQ ，即F 在以PQ 为直径的圆上． (12分)【解析】(解法一)(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用平方差法，求解p ，得到抛物线C 的方程．(2)设P(−1,t)，可知切线PQ 的斜率存在且不为0，设切线PQ 的方程为x =m(y −t)−1，联立方程组{x =m(y −t)−1,y 2=4x,通过△=0，求出P 的坐标，通过向量的数量积推出FP ⊥FQ ，得到结果．解法二：(1)联立方程组{y =x −p2,y 2=2px,设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用韦达定理求解p ，然后求解抛物线方程．(2)设P(−1,t)，可知切线PQ 的斜率存在且不为0，设切线PQ 的方程为y −t =k(x +1)，联立方程组{y −t =k(x +1),y 2=4x,由Δ=0，求解P 的坐标，求出Q 的坐标，利用向量的数量积求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】(1)解：因为f(1)=1≠0，所以1不是f(x)的零点．令g(x)=e x−1x−1，则f(x)的零点个数即直线y =a 与g(x)图象的交点个数．因为g′(x)=e x−1(x−2)(x−1)2，所以g(x)在(−∞,1)，(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增． 因为g(2)=e ，且当x <1时，g(x)<0， 所以当a ∈[0,e)时，f(x)没有零点； 当a ∈(−∞,0)∪{e}时，f(x)有一个零点； 当a ∈(e,+∞)时，f(x)有两个零点．(2)证明：由(1)知，当a ∈(e,+∞)时，f(x)有两个零点． 设x 1<x 2，则x 1∈(1,2)，x 2∈(2,+∞)，由{e x 1−1−a(x 1−1)=0,e x 2−1−a(x 2−1)=0,得e x 1−x 2=x 1−1x 2−1，所以x1−x2=ln(x1−1)−ln(x2−1)，即x1−ln(x1−1)=x2−ln(x2−1)．令ℎ(x)=x−ln(x−1)，x∈(1,+∞)，则ℎ′(x)=1−1x−1=x−2x−1，所以ℎ(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增．要证x1+x2>4，即证x2>4−x1．因为x2>2，4−x1>2，且ℎ(x)在(2,+∞)上单调递增，所以只需证ℎ(x2)>ℎ(4−x1).因为ℎ(x1)=ℎ(x2)，所以即证ℎ(x1)>ℎ(4−x1).令F(x)=ℎ(x)−ℎ(4−x)=x−ln(x−1)−(4−x)+ln(3−x)=2x−4−ln(x−1)+ln(3−x)，x∈(1,2)，则F′(x)=2−1x−1+1x−3=2(x−2)2(x−1)(x−3)<0，所以F(x)在(1,2)上单调递减．因为F(x)>F(2)=0，所以ℎ(x)−ℎ(x−4)>0．因为x1∈(1,2)，所以ℎ(x1)>ℎ(4−x1)，故x1+x2>4．【解析】(1)因为f(1)=1≠0，所以1不是f(x)的零点，构造函数g(x)=e x−1x−1，则f(x)的零点个数即直线y=a与g(x)图象的交点个数，对g(x)求导，结合导数分析函数的性质可求；(2)证明：由(1)知，当a∈(e,+∞)时，f(x)有两个零点．设x1<x2，则x1∈(1,2)，x2∈(2,+∞)，代入已知函数中，结合对数运算进行变形，然后构造函数，结合导数及函数性质可证．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解函数零点及证明不等式，考查了一定的逻辑推理的能力，属于中档题．。