二次根式教案(第一课时)

《二次根式》教案（第一课时）一、内容和内容解析1．内容二次根式的概念．2．内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念．它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础．本节课的教学重点是：根据算术平方根的意义了解二次根式的概念教学．二、目标和目标解析1．目标（1）根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，明白被开方数必须是非负数原因．（2）会用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能从具体数的算术平方根出发，过渡到含字母的情况，通过算术平方根的概念得到二次根式的概念，并根据算术平方根的意义得到二次根式被开方数和结果均为非负数的结论．达成目标（2）的标志是：学生能够根据实际问题，利用开平方运算的意义，列出二次根式．三、教学问题诊断分析二次根式概念的获得，要让学生经历其抽象的过程，借此培养学生的抽象概括能力，加深学生对二次根式概念的理解．教学时，要充分利用教材的“思考”栏目，从生活中的实际问题引入，以激发学生的学习兴趣，让学生体会由特殊到一般的过程，由此给出二次根式的定义．在二次根式的概念中，为什么要强调被开方数大于等于零？引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由以及二次根式的结果的非负性，所以二次根式的双重非负性是本节课的难点．四、教学过程设计（一）创设情景，提出问题电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r=其中地球半径，R≈6400km．如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之．你能化简这个式子吗？问题１式子表示什么？公式中r=的课题．设计意图：让学生借助已学的数和式子的运算，从数与式子运算的完整性角度引出要研究的问题让学生知道本章将要学习的内容，让学生提前做到心中有数．问题2用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：（1）面积为3的正方形的边长为_______，面积为S的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h （单位：m）满足关系h=5t2．如果用含有h的式子表示t，则t为=_____．设计意图：让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．（二）合作探究，形成知识（1）这些式子分别表示什么意义？（2）这些式子有什么共同特征？教师引导学生说出各式的意义．）概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．叫做二次根式．（学生总结）a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（师生共同总结）（4）提醒学生注意二次根式定义包含的内容．②被开方数a≥0．③a可以是数，也可以是含有字母的式子．（5）在二次根式的定义中，为什么要有条件“a≥0”？教师引导学生回想4、0的算术平方根分别是什么？-4有没有算术平方根？最后总结只有非负数才有算术平方根．设计意图：采用具体到抽象的方式，通过归纳得出二次根式的概念．（三）初步应用，巩固知识练习：二次根式和算术平方根有什么关系？学生通过小组合作交流得出：二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的算术平方根是二次根式．【例1】当x在实数范围内有意义，则应满足被开方数x－2≥0．解：由x－2≥0，得x≥2．当x≥2在实数范围内有意义．【例2】当x解：因为2x≥0，所以，当x在实数范围内都有意义．由3x≥0，得x≥0．当x≥0在实数范围内有意义．设计意图：通过练习、例1、例2，加深概念理解．（四）比较辨别，探索性质0的大小．先让学生独立思考，然后教师引导学生根据概念，分a＞0和a=0两种情况进行讨论．当a＞0a＞0；当a=0表示0=0；（a≥0）是一个非负数．设计意图：强化学生对二次根式双重非负性的认识．（五）综合应用，深化提高练习1判断下列各式哪些是二次根式：ax≥-（1（210)；（3（4≤0)．学生先独立完成，后小组展示确定二次根式有意义的条件（被开方数大于或等于零），所以（2）（3）（4）为二次根式．练习2当x是什么实数时，下列各式有意义．（1（2（3（4解：（1）由3-4x≥0，得x≤34．（2）由xx≥⎧⎨-≠⎩10，得≥0且1．x x≠（3）由x≤2-0，得x=0x≠0（4）由-2≥0且2-≥0x x ，得2x =．设计意图：辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件．（六）课堂小结（1）本节课你学到了哪一类新的式子？（a ≥0（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？中的a ≥0≥0． 二次根式的双重非负性．（3）二次根式与算术平方根有什么关系？二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根是二次根式．设计意图：回顾本节课所学的二次根式的概念，再次确定二次根式有意义的条件；理解二次根式的双重非负性以及二次根式与算术平方根的关系．（七）布置作业1x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．2≥x -C ．2≥xD ．2≤x2．已知y 3，则2xy 的值为（ ）A ．15-B ．15C ．152-D ．1523．求使下列各式有意义的x 的取值范围？ （1）2+x －x 23-；（2）x -－11+x ； （3）y =；（4）2||12--x x ． 4．已知12-a ＋a b 2-＋c b a ++＝0．求a 、b 、c 的值．作业答案：1．D 202≥得≤x x -．故选D ．2．B 解析：要使有意义，则25≥052≥0x x -⎧⎨-⎩，解得x ＝25，故y ＝3，∴2xy ＝2×25×3＝15．故选B ． 3．（1）322≤≤x -；（2）0≤x 且1x ≠-；（3）0≥x 且1x ≠．（4）12≥x 且2x ≠． 4．∵12-a ≥0，a b 2-≥0，c b a ++≥012-a ＋a b 2-＋c b a ++＝0∴2a -1=0，b -2a =0，a +b +c =0 ∴13122，，a b c ===-五、目标检测设计1．指出下列哪些是二次根式？（134（5≥2)；（6＜)．a a b设计意图：考查二次根式的概念．2．a 取何值时，下列根式有意义？（1 （23 （45 设计意图：考查二次根式的有意义的条件．3n 的值为___________．设计意图：考查二次根式的有意义的条件．目标检测答案：1．（1）（4）（5）是二次根式．2．解：（1）由a +1≥0，得a ≥-1；（2）由1-2a ＞0，得a ＜１２；（3）由()2-1a ≥0，得a 为任何实数；（4）a 为任何实数；（5）a =1．3．0，3，4．。

[二次根式]教案（第一课时）教学目的：1．使学生了解二次根式的概念2．使学生掌握二次根式的简单性质：①a≥0)总是一个非负实数。

②2=a(a≥0)3．培养学生观察能力，抽象概括能力，渗透分类的思想方法。

教学重点：二次根式概念以及二次根式的性质：2=a(a≥0)教学难点：公式2－a(a≥0)教学用具：投影仪和投影胶片教学过程：一、复习提问：观察以下各式分别表示什么？他们在形式上有什么共同特征？在被开方数方面有什么共同特征？二、引入新课：①如果用字母a②引导学生讨论：a可以取哪些实数？③引入课题三、讲解新课1．二次根式概念：⑴板书二次根式定义。

⑵学生讨论：这里为什么规定a≥0？⑶强调二次根式的两个特征（其中a≥0用红粉笔强调）。

⑷结合复习题举例说明。

2．练习（投影出示）选择题（1x≤0)x>2)中属于二次根式的是（）A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④（2）当x=-2时，在实数范围内没有意义的式子是（）a≥03．例1：x（1）学生讨论解题思路；（2）师生共同完成解题过程并强调书写各式的规范。

4．巩固练习（投影出示）x取什么实数时，下列各式在实数范围内有意义？请三位学生上黑板板演，然后学生评讲刚才我们研究了二次根式的概念，下面我们来共同研究二次根式的性质5a≥0)的非负性（1）判断题：1°当a>0（），2°当a=0（）3°对于任何实数a0（）（2a≥0)≥0（3）学生讨论：前面还学过那些具有非负性的数？=(a≥0)6．公式：2a（1）实例：因为(±2)2=4，所以±2是4的平方根，其中2是4的算术平方根。

由此可知当2时4的算术平方根时，他们应该满足22=43的算术平方根，根据平方根意义可知，他们应满足的关系是( )2=5的算术平方根，同样有( )2=你能举出一个类似的例子吗？（2）学生观察归纳：2a =（3）提问：这个公式在什么条件下成立呢？为什么a ≥0？（4）公式2a =(a ≥0)7．例2，计算①2 ②2 ③2师生共同完成解题过程，并说明表示3135不同，遇到52确写法。

二次根式第一课时教案[6篇]以下是网友分享的关于二次根式第一课时教案的资料6篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

第一篇二次根式教学目标:(1) 了解二次根式的概念,初步理解二次根式有意义的条件.(2) 通过具体问题探求并掌握二次根式的基本性质：当a≥0时，a= a；能运用这个性质进行一些简单的计算。

(3) 通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法。

教学重点：二次根式的概念以及二次根式的基本性质教学难点：经历知识产生的过程，探索新知识．教学方法：讨论法教学过程：一.情景创设1．回顾：什么叫平方根? 什么叫算术平方根?2．计算:.(2)如图,在Rt∆ABC中,AB=50m,BC=am,则()2(3)圆的面积为S,则圆的半径是 .(4)正方形的面积为b-3,则边长为 .3.对上面（2）~（4）题的结果,你能发现它们有什么共同的特征吗?二、探索与实践1、二次根式的定义.__________________________________________________ ____ 说说对二次根式a 的认识,好吗?__________________________________________________ ______2、练习:说一说,下列各式是二次根式吗? (1)32 (2)6 (3)-12 (4)-m(m≤0) (5)xy(x、y异号) (6)a2+1 (7)53、例1: x是怎样的实数时,式子x-5在实数范围内有意义?4、二次根式性质的探索：22=4，即（4）2= 4；32=9，即（9）2= 9；…… 观察上述等式的两边，你得到什么启示？揭示：当a≥0时，5、例2。

计算：（1）(3)2；（2）(（3）(a+b)2 （a+b≥0）6、练习.（1）(22)= （2）(-23)2 3a) = a。

222)； 3 三、课堂练习P59页练习1、2.四、课堂小结引导学生总结1. 什么叫做二次根式?你们能举出几个例子吗?2. 二次根式有哪两个形式上的特点?3．当a≥0时，五、作业教后感：a) = ？2第二篇二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标1.a≥0）的意义解答具体题目．2.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入在第11章我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个符号a.这里的a表示什么？a应满足什么条件？当aa表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根．当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．当a是负数时，a没有意义．即：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根.二、新知探究a≥0）•的式子叫做二次根式，注意：1. 其中的a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式.2.在二次根式a中，字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数．(这里可以让学生自己举几个二次根式的例子，有助于学生的理解)例1．下列式子，哪些是二次根式，11x>0）x≥0，y•≥0）．xx+y分析二，被开方数是正数或0，即非负数．；第x>0）x≥0，y≥0）1x1．x+y例2．x是怎样的实数时，二次根式x-1在实数范围有意义？分析要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．解被开方数x-1≥0，即x≥1．所以，当x≥1时，二次根式x-1有意义．例3．当x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥当x≥三、巩固练习1313教材P练习第2题．四、应用拓展例4．当x分析：要使+0和1在实数范围内有意义？x+11在实数范围内有意义，必须同时满足x+11中的x+1≠0．x+1解：依题意，得⎨由①得：x≥-由②得：x≠-1 32⎧2x+3≥0 ⎩x+1≠0当x≥-且x≠-1+321在实数范围内有意义．x+1例5. (1) 已知，求的值．(答案: )(2)=0，求a2004+b2004的值．(答案:2)五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1a≥0）的式子叫做二次根式，号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业xy251.教材习题中的对应题目.2.导学案中的对应习题. 教学反思：第三篇16.1 二次根式（一）骆诗龙学习目标：1、知道什么叫二次根式，理解被开方数是非负数；2、掌握二次根式在实数范围内有、无意义的条件。

16.1 二次根式教案第一课时二次根式的概念教学目标知识与技能 1 理解二次根式的概念2a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围．过程与方法从具体实例中建立二次根式模型，探索二次根式被开方数中字母的取植范围情感态度与价值观经历观察比较总结和应用等数学活动，体验发现的快乐教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以，．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得.二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平a≥0）•的式子叫做二次根式，”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0老师点评:有意义的条件例1．下列式子，哪些是二次根式，、1xx>0）、、、1x y+x≥0，y•≥0）．分析”；第二，被开方数是正数或0．x>0）、x≥0，y≥0）；不是二、1x、1x y+．例2．当x是多少时，2-x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x-2≥0，2-x•才能有意义．解：由x-2≥0，得：x≥2当x≥2时，2-x在实数范围内有意义．三、巩固练习教材练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x11x+在实数范围内有意义？分析11x+在实数范围内有意义，必须同时满足0和11x+中的x+1≠0．解：依题意，得23010xx+≥⎧⎨+≠⎩由①得：x≥-3 2由②得：x≠-1当x≥-32且x≠-111x+在实数范围内有意义．例4(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)+=0，求a2004+b2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评）1a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．七板书设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A． B C．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（）A B．1 x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（） A．5 B C．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x+x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值．16..1 二次根式教案教学内容 1．a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）． 教学目标知识与技能a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．过程与方法 经历探索二次根式的性质的过程，培养学生从简单到复杂从一般到特殊的思 维过程情感 态度与价值观 通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣 教学重难点关键1a ≥0）是一个非负数；2=a （a ≥0）及其运用．2a ≥0）是一个非负数；•用探究的方2=a （a ≥0）． 教学过程一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；2=_______；2=______；2=_______；）2=______；）2=_______；）2=_______．是4的算术平方根，是一个平方等于4）2=4．同理可得：）2=2，2=9，）2=3，）2=13，）2=72，）2=0，所以例1计算1．（5.1）2 2．（2 3．24．（2）2分析：我们可以直接利用（2=a （a ≥0）的结论解题．解：（5.1）2 =1.5，（2 =22·2=22×5=20，2=56，（2）2=22724=．三、巩固练习计算下列各式的值：2）2 （4）2）2（）2 22-四、应用拓展例2 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．24． 2 分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以2=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥02+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥02=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 五、归纳小结本节课应掌握：1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、布置作业1．教材P8复习巩固2．（1）、（2） P97．七板书设计第二课时作业设计一、选择题1个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2（2）-）2（3）（12）2（4）（）2(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）16（4）x（x≥0）3=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-516.1 二次根式教案第三课时教学内容a（a≥0）教学目标知识与技能（a≥0），（a≥0）并利用它进行计算和化简．过程与方法经历探索二次根式的性质的过程，培养学生分类的数学思想情感态度与价值观通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣及发散思维能力教学重难点关键1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：；=________=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：110=23=37．例1化简（1（2（3（4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a≥0）•去化简．解：（1（2（3（4三、巩固练习教材P7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？（学生讨论）分析：（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0时，，即使a>a所以a不存在；当a<0，，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2分析：(略) 五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业板书设计第三课时作业设计一、选择题1的值是（）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．AC．-二、填空题1．=________．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+。

《16.1 二次根式（第1课时）》教学设计一、内容和内容解析1．内容二次根式的概念.2．内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；二、目标和目标解析1.教学目标（1）体会研究二次根式是实际的需要．（2）了解二次根式的概念．2. 教学目标解析（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性.四、教学过程设计1．创设情境，提出问题问题1你能用带有根号的的式子填空吗？（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t?，如果用含有h 的式子表示t ，则t= _____．师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．问题 2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．2．抽象概括，形成概念问题3你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．3．辨析概念，应用巩固例1当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．例2当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？师生活动:先让学生独立思考，再追问．【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．问题4你能比较与0的大小吗？师生活动：通过分和这两种情况的讨论，比较与0的大小，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力.4．综合运用，巩固提高练习1 完成教科书第3页的练习.练习2当x 是什么实数时，下列各式有意义.（1）；（2）；（3）；（4）.【设计意图】辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.5．总结反思教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）本节课你学到了哪一类新的式子？（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？（3）二次根式与算术平方根有什么关系？师生活动：教师引导，学生小结.【设计意图】：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.6．布置作业：教科书习题16.1第1，3，5，7，10题．五、目标检测设计1. 下列各式中，一定是二次根式的是（）A. B.C.D.【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数．2. 当时，二次根式无意义．【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题．3.当时，二次根式有最小值，其最小值是．【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用．4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．【设计意图】考查二次根式的被开方数为非负数和一个式子的分母不能为0，解题时需要综合考虑．。

二次根式的乘除第一课时教案一、教学目标1.理解二次根式乘除法的概念。

2.学会运用二次根式的乘除法进行计算。

3.能够运用乘除法简化二次根式。

二、教学重点与难点1.教学重点：掌握二次根式的乘除法法则。

2.教学难点：灵活运用乘除法简化二次根式。

三、教学过程1.导入新课同学们，我们之前学习了二次根式的基本概念和性质，那么你们知道如何进行二次根式的乘除运算吗？今天我们就来学习这部分内容。

2.知识讲解（1）二次根式的乘法法则：a√b×c√d=(ac)√(bd)，其中a、b、c、d为实数，b、d不为0。

（2）二次根式的除法法则：a√b÷c√d=(a/c)√(b/d)，其中a、b、c、d为实数，b、d不为0，c不为0。

3.课堂实例（1）计算：√5×√2解：根据二次根式乘法法则，√5×√2=√(5×2)=√10。

（2）计算：√8÷√2解：根据二次根式除法法则，√8÷√2=√(8/2)=√4=2。

（3）计算：√18×√2÷√3解：我们可以将乘法和除法分别进行计算。

√18×√2=√(18×2)=√36=6，然后，√36÷√3=√(36/3)=√12=2√3。

4.练习巩固（1）计算：√12×√3（2）计算：√27÷√9（3）计算：√45×√2÷√5（4）计算：√72÷√2×√35.课堂小结通过本节课的学习，我们掌握了二次根式的乘除法法则，学会了如何进行二次根式的乘除运算。

同时，我们也需要注意，在进行乘除运算时，要熟练掌握运算法则，注意化简。

6.作业布置（1）完成课后练习题。

四、教学反思本节课通过实例讲解和练习巩固，学生对二次根式的乘除法有了初步的认识和掌握。

在教学过程中，要注意引导学生发现规律，培养学生的运算能力。

同时，要关注学生的学习反馈，及时进行教学调整，提高教学效果。

第二章实数2. 7 二次根式第 1 课时教学设计本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.1.了解二次根式的概念.2.通过经历二次根式概念的发生过程，理解二次根式的含意.3.培养学生观察、类比、讨论、合作的思想.【教学重点】理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明，理解并掌握应用实践进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法.【教学难点】利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.学生每人准备好草稿纸、铅笔；教师准备课件.◆教材分析◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程一、提出问题，思考引入（1）如左图所示，礼盒的上面是正方形，其面积为5，则它的边长是.如果其面积为S，则它的边长是.（2）如左图所示，一个长方形的围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2,则它的宽为m.（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下时离地面的高度h（单位：m)满足关系式h = 5t2.如果用含有h 的式子表示t ,那么t 为.二、合作交流，探究新知（一）二次根式的概念及有意义的条件，它们表示一些正数的算术平方根.问题1：上面问题的结果分别是，√3，√5，√65，√ℎ5那么什么样的数有算术平方根呢？我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.，分别从形式上和被开方数上看有什问题2：上面问题的结果分别是√3，√5，√65，√ℎ5么共同特点？二次根式的定义a a 的式子叫做二次根式.“√”称为二次根号，a 叫做被开一般地，我们把形如(0)方数.想一想：当x 是怎样的实数时，√??2在实数范围内有意义？√??3呢？前者x 为全体实数；后者x 为正数和0.（二）二次根式的双重非负性思考: 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式√a，我们知道：（1）a 为被开方数，为保证其有意义，可知 a ≥ 0；（2）√a 表示一个数或式的算术平方根，可知 √a ≥ 0.（三）二次根式的性质及化简内容：通过探究得出b a b a •=⋅，ba ba =． 具体过程如下：（1）94⨯＝ ，94⨯＝ ；2516⨯＝ ，2516⨯＝ ；94＝ ，94＝ ； 2516＝ ，2516＝ ． （2）用计算器计算：76⨯＝ ，76⨯＝ ；76＝ ，76＝ . 问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？ 问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？ 意图：最终归纳出b a b a •=⋅（a ≥0，b ≥0），baba =（a ≥0， b ＞0）. 说明：公式中字母a ≥0，b ≥0（或b ＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略. 内容： 化简（1）6481⨯；（2）625⨯；（3）95. 观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？意图：由于现在还没有最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，因此，这里以例题的形式呈现了有关结论.被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数.一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.说明：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号.反思：以上化简过程有何规律呢？希望学生得出：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面.从而明确：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简. 三、运用新知例1 下列各式是二次根式吗?(1)(2) 6, (3) ， (5)，(6) (7)例2 （1）当 x 取何值时，√??−2 在实数范围内有意义? （2）当x = 0，9时，求二次根式√??−2的值. （3）要使式子√??−1有意义，则 x 的取值范围是 .例3例4 化简：； 例5 化简:（1 （2 （300)a b >>， 四、巩固新知5. 计算：1913-+--。

16.1 二次根式第1课时一、教学目标【知识与技能】1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.【过程与方法】经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.【情感态度与价值观】经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.二、课型新授课三、课时第1课时共2课时四、教学重难点【教学重点】会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式.【教学难点】运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、平方根、立方根知识等.学生：三角尺、铅笔、立方根、平方根知识.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r=√2Rh，其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们的传播.半径之比是√2Rh1√2Rh2教师问：式子√2Rh1表示什么?公式r=√2Rh中的√2Rh表示什么意√2Rh2义？（二）探索新知1.师生共同探究二次根式的定义和有意义的条件（出示课件4-6）用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点:(教师依次出示问题)（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则t 为_____．教师问：上边问题的答案是什么呢？学生1答：（1），.学生2答：（2） .学生3答：（3）．教师问：这些式子分别表示什么意义？学生讨论后并回答.的算术平方根．学生1答：分别表示3，S，65，h5教师问：这些式子有什么共同特征？师生总结：①根指数都为2; ②被开方数为非负数.教师问：你能用语言描述一下它们的特征吗？师生共同讨论后解答如下：都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.教师问：根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？师生共同讨论如下：一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根. 在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.（出示课件7）定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式. “”称为二次根号.教师强调：（1）a可以是数，也可以是式.（2）两个必备特征：①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数a≥0考点1：利用二次根式的定义识别二次根式例：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？（出示课件8）（1）；（2）81；（3）；（4）（5） ;（6）；（7） .师生共同分析过程见课件：解答如下：解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.出示课件9，学生自主练习，教师订正。

5．1二次根式第1课时二次根式的概念及性质1．了解二次根式的定义；2．理解二次根式在实数范围内有意义的条件；(重点)3．掌握二次根式的两条重要性质．(重点，难点)一、情境导入前面我们学习了平方根和算术平方根，我们把a的算术平方根记作a，那么形如a的式子有哪些性质？对于a中a的取值有什么要求？二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中：①3，②33，③a4，④a2＋1，⑤－15，⑥a2－1，一定是二次根式的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：根据二次根式的定义判断.33的根指数是3，不是二次根式；－15的被开方数为负数，不是二次根式；a2－1的被开方数可能是负数，可能不是二次根式．一定是二次根式的有①③④，共3个，故选C.方法总结：根据二次根式的定义，必须满足两个条件：①根指数是2，即形如a；②被开方数为非负数．探究点二：二次根式在实数范围内有意义的条件x取何值时，下列各式在实数范围内有意义．(1)x ＋2；(2)x －1x －2；(3)x 2＋1；(4)－x 2. 解析：(1)要使x ＋2有意义，必须使x ＋2≥0；(2)要使x －1x －2有意义，必须使x －1≥0，且x －2≠0；(3)要使x 2＋1有意义，必须使x 2＋1≥0，显然x 为任何实数；(4)要使－x 2有意义，必须使－x 2≥0，这时x ＝0.解：(1)x ＋2≥0，所以x ≥－2；(2)⎩⎨⎧x －1≥0，x －2≠0，所以⎩⎨⎧x ≥1，x ≠2，所以x ≥1且x ≠2； (3)x 2＋1≥0，所以x 为全体实数；(4)－x 2≥0，所以x ＝0.方法总结：要使代数式有意义，应考虑如下情况：①有二次根式的，被开方数应大于或等于零，有多个二次根式的，应使所有被开方数大于或等于零；②有分式的，分母不等于零；③零次幂、负整数指数幂的底数不等于零．探究点三：二次根式的性质【类型一】 计算：(1)(12)2；(2)(23)2；(3)(－323)2. 解析：利用(a )2＝a (a ≥0)及(ab )n ＝a n b n 进行计算．解：(1)(12)2＝12； (2)(23)2＝4×(3)2＝4×3＝12； (3)(－323)2＝(－3)2×(23)2＝9×23＝6. 方法总结：利用(a )2＝a (a ≥0)计算时，幂的运算法则仍然适用．【类型二】 二次根式a 中隐含条件a ≥0的应用 已知y ＝x －2－2－x ＋5，则x y＝________． 解析：由已知条件y ＝x －2－2－x ＋5可知x －2与2－x 都有意义，所以存在隐含条件⎩⎨⎧x －2≥0，2－x ≥0，故x ＝2.把x ＝2代入y ＝x －2－2－x ＋5，求得y ＝5，所以x y ＝25. 方法总结：解决此类问题时应充分挖掘“二次根式有意义的条件被开方数(式)的非负性”，它往往是解答问题的突破口．【类型三】 利用a 2＝|a |计算计算：(1)22； (2)（－23）2； (3)－（－π）2. 解析：利用a 2＝|a |进行计算．解：(1)22＝2；(2)（－23）2＝|－23|＝23；(3)－（－π）2＝－|－π|＝－π.方法总结：a 2＝|a |的实质是求a 2的算术平方根，其结果一定是非负数．【类型四】 利用a 2＝|a |化简如图所示为a ，b 在数轴上的位置，化简2a 2－（a －b ）2＋（a ＋b ）2.解析：由a ，b 在数轴上的位置确定a ＜0，a －b ＜0，a ＋b ＜0.再根据a 2＝|a |进行化简．解：由数轴可知－2＜a ＜－1，0＜b ＜1，则a －b ＜0，a ＋b ＜0.原式＝2|a |－|a －b |＋|a ＋b |＝－2a ＋a －b －(a ＋b )＝－2a －2b .方法总结：利用a 2＝|a |化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．三、板书设计 二次根式⎩⎪⎨⎪⎧概念有意义的条件：被开方数大于或等于零性质⎩⎪⎨⎪⎧（a ）2＝a （a ≥0）a 2＝a （a ≥0）本节课内容是在我们已学过的平方根、算术平方根的知识基础上，进一步引入二次根式的概念与性质．教学过程中，把学生当作主体，鼓励学生积极参与，并让学生探究二次根式在实数范围内有意义的条件．引导学生总结、归纳，得出二次根式的两条重要性质．。