人教版八年级下册数学 16.1二次根式(第一课时)教案

人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》是初中数学的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念，理解二次根式与有理数、实数之间的关系，为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。

本节课的内容包括二次根式的定义、性质和运算方法，通过学习，让学生能够熟练掌握二次根式的相关知识，提高他们的数学素养。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数等相关知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。

但二次根式作为新的数学概念，对于部分学生来说可能较为抽象，难以理解。

因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念，帮助他们建立直观的认识，从而更好地理解和掌握二次根式的相关知识。

三. 教学目标1.让学生了解二次根式的定义、性质和运算方法。

2.培养学生从实际问题中抽象出二次根式的能力。

3.提高学生的数学素养，培养他们的逻辑思维能力和运算能力。

四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。

2.二次根式的运算方法。

3.引导学生从实际问题中抽象出二次根式。

五. 教学方法1.情境教学法：通过创设实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。

2.讲授法：讲解二次根式的定义、性质和运算方法。

3.实践操作法：让学生通过实际操作，掌握二次根式的运算方法。

4.小组讨论法：分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示二次根式的相关知识。

2.实际问题：准备一些与生活实际相关的问题，用于引导学生从实际问题中抽象出二次根式。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。

例如，讲解一个物体从地面上升到最高点再下降到地面的过程，上升和下降的距离分别是3米和4米，求物体的最大高度。

2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义、性质和运算方法。

广东省肇庆市高要区金利镇八年级数学下册16.1.1 二次根式（第1课时）教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广东省肇庆市高要区金利镇八年级数学下册16.1.1 二次根式（第1课时）教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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二次根式教学内容人教版八年级下册(课题）二次根式的概念教学目标（一）知识与技能：掌握二次根式的概念；能确定被开方式中字母的取值范围；理解二次根式的双重非负性.（二）数学思考：借助实例，应用归纳法，抽象得出二次根式的概念，体会抽象概括的思想；（三）问题解决：应用联系的观念,从算术平方根的数学意义得出二次根式的双重非负性.（四）情感态度:情感、态度与价值观：从实际生活中抽象出二次根式，感受数学模型思想和应用价值，培养应用意识；从算术平方根到二次根式,体会知识之间的联系，感受普遍联系的辩证观念；通过问题解决,树立学好数学、应用数学的信心和意识。

教学重点：从算术平方根抽象概括二次根式的概念及其双重非负性;教学难点：由二次根式的非负性求字母的取值范围.教具准备：教学时数:共2课时教学过程： 第 1 课时一、基本训练 激趣导入：电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远,从而能收看到电视节目的区域就越广.电视塔高h （单位：km ）与电视节目信号的传播半径r(单位：km ）之间存在近似关系Rh r 2=，其中R 是地球半径,km R 6400≈.如果两个电视塔的高分别是1h km 、2h km ，那么它们的传播半径之比是.2221Rh Rh 这个代数式涉及二次根式的有关计算，请回忆前面学习的有理式（整式和分式）是怎么研究相关的化简计算问题的？二、提出目标 指导自学:。

人教初中数学八年级下册16-1二次根式（第1课时）教学设计一. 教材分析人教初中数学八年级下册第16-1二次根式（第1课时）的教学内容主要是引入二次根式的概念，使学生理解二次根式的含义，掌握二次根式的性质，会进行二次根式的运算。

教材通过具体的例子引导学生探究二次根式的运算规律，培养学生运用数学知识解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和运算能力。

但二次根式作为一个新的概念，对于部分学生来说可能较难理解，因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解。

三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。

2.学会进行二次根式的运算，并能运用二次根式解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生运用数学知识解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。

2.二次根式的运算规律。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究二次根式的运算规律。

2.利用具体例子，让学生在实际问题中体验二次根式的运用。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

4.运用多媒体辅助教学，提高学生的学习兴趣。

六. 教学准备1.准备相关教学课件和教学素材。

2.准备课堂练习题和课后作业。

3.准备教学板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的实际问题，如计算家具的体积、计算运动员跳远的成绩等，引导学生发现这些问题都可以归结为二次根式的运算问题。

从而引出本节课的主题——二次根式。

2.呈现（15分钟）讲解二次根式的概念，通过具体例子让学生理解二次根式的含义。

如：√9，√16等。

同时，引导学生总结二次根式的性质。

3.操练（20分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如：计算√16+√25，√100-√64等。

教师针对学生的练习情况进行讲解和指导。

4.巩固（10分钟）让学生运用所学知识解决实际问题，如：计算一个长方体的体积，计算一个运动员的跳远成绩等。

16.1 二次根式（第1课时）内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.学习目标1． 理解二次根式的概念；2.了解被开方数必须是非负数，利用()0≥a a 的意义确定字母的取值范围. 学习重点二次根式定义的理解、确定字母的取值范围.学习难点灵活的应用二次根式定义的概念、确定字母的取值范围.教学设计1．创设情境用带有根号的式子填空，看看写出的式子有什么特点：1.面积为3的正方形的边长为 面积为S 的正方形的边长为 .2.一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m ²,则它的宽为 m.3.一个物体从高处自由落下，落到地面用的时间t （单位s ）与开始落下时离地面的高度h （单位：m ）满足关系h=5t ².如果用含有h 的式子表示t ，那么t 为2．课堂探究 上面的问题的结果分别是3,S ,65,5h1.这些式子分别表示什么意义？2.这些式子有什么共同特征？3.根据你的理解，请写出二次根式的定义．我们知道，一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方，被开方数只能是正数或零.（a ≥0）的式子叫做二次根式，”称为二次根号.例1、指出下列哪些是二次根式？ （1）12+x ； （2）16-；（3）29； （4）39；（5）π； （6）12+a（7）13-x （x ≠-1） （8）37 例２、当x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？ (1) 32-x ; (2) 321-x (3)237+x ; (4)513-x（5)2311--x x ; (6)274511--x x 3．巩固练习课本P3练习第1.2题4．小结通过本节课的学习，你有什么收获？本节课主要学习了：（1）二次根式的概念.（2）二次根式 有意义的条件：5．拓展练习x 取什么实数时，式子有意义？（1）x x 5445-+- (2)2845--x x 6．布置作业P5第1题。

16.1.1二次根式（1） 教学目标 知识与技能 1.知道二次根式与数的平方之间的联系,掌握二次根式的概念. 2.会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值范围.过程与方法 1.经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力。

2.通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力。

情感态度与价值观 经历观察、比较、总结和应用等数学活，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。

重点会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值范围. 难点会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值范围. 教学过程第一步：复习回顾求下列各数的平方根和算术平方根.9的平方根，算术平方根0.64的平方根，算术平方根0的平方根，算术平方根39±=±39=8.064.0±=±8.064.0=00=3±8.0±0.8003复习回顾第二步：探究新知：第三步：应用举例：第四步、课堂练习八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列说法正确的是（）A．若ab＝0，则点P（a，b）表示原点B．点（1，﹣a2）一定在第四象限C．已知点A（1，﹣3）与点B（1，3），则直线AB平行y轴D．已知点A（1，﹣3），AB∥y轴，且AB＝4，则B点的坐标为（1，1）【答案】C【分析】直接利用坐标轴上点的坐标特点以及平行于坐标轴的直线上点的关系分别分析得出答案．【详解】解：A、若ab＝0，则点P（a，b）表示在坐标轴上，故此选项错误；B、点（1，﹣a2）一定在第四象限或x轴上，故此选项错误；C、已知点A（1，﹣3）与点B（1，3），则直线AB平行y轴，正确；D、已知点A（1，﹣3），AB∥y轴，且AB＝4，则B点的坐标为（1，1）或（1，﹣7），故此选项错误．故选C．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，正确把握点的坐标特点是解题的关键2．某射击运动员练习射击，5次成绩分别是：8、9、7、8、x（单位：环），下列说法中正确的个数是（）x=；①若这5次成绩的平均数是8，则8x=；②若这5次成绩的中位数为8，则8x=；③若这5次成绩的众数为8，则8x=④若这5次成绩的方差为8，则8A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】根据中位数，平均数，众数和方差的概念逐一判断即可．【详解】①若这5次成绩的平均数是8，则8589788x =⨯----=,故正确；②若这5次成绩的中位数为8，则x 可以任意数，故错误；③若这5次成绩的众数为8，则x 只要不等于7或9即可，故错误；④若8x =时，方差为2221[3(88)(98)(78)]0.45⨯-+-+-=，故错误．所以正确的只有1个故选：A ．【点睛】本题主要考查数据的分析，掌握平均数，中位数，众数，方差的求法是解题的关键．3．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（ ） A ．15 B ．13 C ．58 D ．38【答案】C【分析】先求出球的所有个数与红球的个数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：共8球在袋中，其中5个红球， 故摸到红球的概率为58， 故选：C ．【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P(A)= m n，难度适中． 4．已知y 2+my+1是完全平方式，则m 的值是（ ）A ．2B ．±2C ．1D ．±1【分析】完全平方公式:a 1±1ab+b 1的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，这里首末两项是y 和1的平方，那么中间项为加上或减去y 和1的乘积的1倍．【详解】∵（y±1）1=y 1±1y+1， ∴在y 1+my+1中，my =±1y ，解得m=±1． 故选B.【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的1倍，就构成了一个完全平方式．注意积的1倍的符号，避免漏解．5．若实数,m n 满足等式 40m -=，且mn 、恰好是等腰ABC ∆的两条的边长，则ABC ∆的周长是( )A ．6或8B ．8或10C ．8D ．10【答案】D【分析】根据 40m -=可得m ，n 的值，在对等腰△ABC 的边长进行分类讨论即可．【详解】解：∵ 40m -=∴40m -=，20n -=∴4,2m n ==，当m=4是腰长时，则底边为2，∴周长为：4+4+2=10，当n=2为腰长时，则底边为4，∵2+2=4，不能构成三角形，所以不符合题意，故答案为：D ．本题考查了非负数的性质，等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，解题的关键是对等腰三角形的边长进行分类讨论，注意运用三角形的三边关系进行验证．6．已知等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，则它的周长为（）A．8 B．10 C．8 或10 D．6【答案】B【解析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和4，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】当2是腰时，2，2，4不能组成三角形，应舍去；当4是腰时，4，4，2能够组成三角形．∴周长为10cm，故选B．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．7．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（）A．4B．5C．6D．9【答案】C【分析】根据三角形的三边关系可判断x的取值范围，进而可得答案.【详解】解：由三角形三边关系定理得7－2＜x＜7+2，即5＜x＜1．因此，本题的第三边应满足5＜x＜1，把各项代入不等式符合的即为答案．4，5，1都不符合不等式5＜x＜1，只有6符合不等式，故选C．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，属于基础题型，掌握三角形的三边关系是解题的关键.8．点P （1，﹣2）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，﹣2）D ．（﹣2，1）【答案】C【解析】关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得P （1，﹣2）关于y 轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），故选C ．【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，正确地记住关于坐标轴对称的点的坐标特征是关键. 关于x 轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数.9．已知111ABC A B C ∆≅∆，A 与1A 对应，B 与1B 对应，170,50A B ∠=︒∠=︒，则C ∠的度数为( ) A ．70︒B ．50︒C ．120︒D ．60︒ 【答案】D【分析】根据全等三角形的对应角相等，得到150B B ∠=∠=︒，然后利用三角形内角和定理，即可求出C ∠. 【详解】解：∵111ABC A B C ∆≅∆，∴150B B ∠=∠=︒，∵180A B C ∠+∠+∠=︒，70A ∠=︒，∴180705060C ∠=︒-︒-︒=︒；故选择：D.【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等，以及熟练运用三角形内角和定理解题.10．下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（ ）A ．1，2，3B ．3，3，5C ．23，24，25D ．0.3，0.4，0.5【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【详解】解：A 、12+22≠32，根据勾股定理的逆定理可知不能作为直角三角形三边长；B 、（3）2+（5）2≠32，根据勾股定理的逆定理可知不能作为直角三角形三边长；C 、（32）2+（42）2≠（52）2，根据勾股定理的逆定理可知不能作为直角三角形三边长；D 、0.32+0.42=0.52，根据勾股定理的逆定理可知能作为直角三角形三边长．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，111A B C ∆、222A B C ∆、333A B C ∆、…、n n n A B C ∆均为等腰直角三角形，且123n C C C C ∠=∠=∠==∠90=︒，点1A 、2A 、3A 、……、n A 和点1B 、2B 、3B 、……、n B 分别在正比例函数12y x =和y x =-的图象上，且点1A 、2A 、3A 、……、n A 的横坐标分别为1，2，3…n ，线段11A B 、22A B 、33A B 、…、n n A B 均与y 轴平行.按照图中所反映的规律，则n n n A B C ∆的顶点n C 的坐标是_____．（其中n 为正整数）【答案】71,44n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】当x=1代入12y x =和 y x =-中，求出A 1，B 1的坐标，再由△A 1B 1C 1为等腰直角三角形，求出C 1的坐标，同理求出C 2，C 3，C 4的坐标，找到规律，即可求出n n n A B C ∆的顶点n C 的坐标.【详解】当x=1代入12y x =和y x =-中，得：11122y =⨯=，1y =-， ∴111,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,1B -， ∴()1113122A B =--=， ∵△A 1B 1C 1为等腰直角三角形，∴C 1的横坐标为111137112224A B +=+⨯=， C 1的纵坐标为111131112224A B -+=-+⨯=-， ∴C 1的坐标为71,44⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当x=2代入12y x =和y x =-中，得：1212y =⨯=，2y =-， ∴()22,1A ，()22,2B -，∴()22123A B =--=，∵△A 2B 2C 2为等腰直角三角形，∴C 2的横坐标为22117223222A B +=+⨯=， C 2的纵坐标为22111223222A B -+=-+⨯=-， ∴C 2的坐标为71,22⎛⎫- ⎪⎝⎭； 同理，可得C 3的坐标为213,44⎛⎫- ⎪⎝⎭；C 4的坐标为()7,1-； ∴n n n A B C ∆的顶点n C 的坐标是71,44n n ⎛⎫-⎪⎝⎭，故答案为：71,44n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，正确求出C 1、C 2、C 3、C 4的坐标找到规律是解题的关键．12．若不等式组81x x m<⎧⎨+>⎩有解，则m 的取值范围是____． 【答案】9m <【分析】根据题意，利用不等式组取解集的方法即可得到m 的范围．【详解】解：由题知不等式为81x x m <⎧⎨>-⎩， ∵不等式有解，∴18m -＜，∴9m <，故答案为9m <.【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．13．若正比例函数2y x =-的图象经过点()1,4A a -，则a 的值是__________．【答案】-1【分析】把点()1,4A a -代入函数解析式，列出关于a 的方程，通过解方程组来求a 的值．【详解】∵正比例函数2y x =-的图象经过点()1,4A a -，∴2(1)4a --=解得，a=-1.故答案为：-1.【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx （k≠0）． 14．因式分解：3x 2-6xy+3y 2=______．【答案】3（x ﹣y ）1【解析】试题分析：原式提取3，再利用完全平方公式分解即可，得到3x 1﹣6xy+3y 1=3（x 1﹣1xy+y 1）=3（x ﹣y ）1．考点：提公因式法与公式法的综合运用15．4的平方根是 ．【答案】±1． 【解析】试题分析：∵2(2)4±=，∴4的平方根是±1．故答案为±1． 考点：平方根．16．据统计分析2019年中国互联网行业发展趋势，3年内智能手机用户将达到1．2亿户，用科学记数法表示1．2亿为_______户．【答案】3.32×2【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】将1.2亿用科学记数法表示为：3.32×2．故答案为3.32×2．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．17．点（3，2-）关于x 轴的对称点的坐标是__________．【答案】（3,2）【解析】利用关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P'的坐标是（x，﹣y），进而求出即可．【详解】点（3，﹣2）关于x轴的对称点坐标是（3，2）．故答案为（3，2）．【点睛】本题考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题的关键．三、解答题18．有一家糖果加工厂，它们要对一款奶糖进行包装，要求每袋净含量为100g．现使用甲、乙两种包装机同时包装100g的糖果，从中各抽出10袋，测得实际质量（g）如下：甲：101，102，99，100，98，103，100，98，100，99乙：100，101，100，98，101，97，100，98，103，102（1）分别计算两组数据的平均数、众数、中位数；（2）要想包装机包装奶糖质量比较稳定，你认为选择哪种包装机比较适合？简述理由．【答案】（1）甲：平均数为100、众数为100、中位数为100；乙：平均数为100、中位数是100、乙的众数是100；（2）选择甲种包装机比较合适．【分析】（1）根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数进行计算即可．（2）利用方差公式分别计算出甲、乙的方差，然后可得答案．【详解】解：（1）甲的平均数为：110(101+102+99+100+98+103+100+98+100+99)＝100；乙的平均数为：110(100+101+100+98+101+97+100+98+103+102)＝100；甲中数据从小到大排列为：98，98，99，99，100，100，100，101，102，103 故甲的中位数是：100，甲的众数是100，乙中数据从小到大排列为：97，98，98，100，100，100，101，101，102，103 故乙的中位数是：100，乙的众数是100；（2）甲的方差为：2S 甲＝110[(101﹣100）2+(102﹣100)2+(99﹣100)2+(100﹣100)2+(98﹣100)2+(103﹣100)2+(100﹣100)2+(98﹣100)2+(100﹣100)2+(98﹣100)2)＝2.4；乙的方差为：2S 乙＝110[(100﹣100)2+(101﹣100)2+(100﹣100)2+(98﹣100)2+(101﹣100)2+(97﹣100)2+(100﹣100)2+(98﹣100)2+(103﹣100)2+(102﹣100)2]＝3.2，∵2S 甲＜2S 乙， ∴选择甲种包装机比较合适．【点睛】此题主要考查了中位数、平均数、众数以及方差，关键是掌握三数的计算方法，掌握方差公式． 19．如图，在∆ABC 中，AB=13，BC=14，AC=15.求BC 边上的高.【答案】1【分析】AD 为高，那么题中有两个直角三角形．AD 在这两个直角三角形中，设BD 为未知数，可利用勾股定理都表示出AD 长．求得BD 长，再根据勾股定理求得AD 长．【详解】解：设BD=x,则CD=14－x ．在Rt ∆ABD 中，222AD AB BD =-=132－2x在Rt ∆ACD 中，222AD AC CD =-=152－()214x -∴132－2x =152－()214x -解之得x =5∴AD=22AB BD -=22135-=1．【点睛】勾股定理．20．某校计划组织1920名师生研学，经过研究，决定租用当地租车公司一共40辆A 、B 两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息．（注：载客量指的是每辆客最多可载该校师生的人数）设学校租用A 型号客车x 辆，租车总费用为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式，并求出x 的取值范围；（2）若要使租车总费用不超过25200元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱，并求此方案的租车费用．【答案】（1）15≤ x ＜40且x 为整数；（2）若要使租车总费用不超过25200元，一共有6种方案，当租用A 型号客车15辆，B 型号客车25辆时最省钱，此时租车总费用为24700元。

16.1 二次根式第1课时一、教学目标【知识与技能】1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.【过程与方法】经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.【情感态度与价值观】经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.二、课型新授课三、课时第1课时共2课时四、教学重难点【教学重点】会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式.【教学难点】运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、平方根、立方根知识等.学生：三角尺、铅笔、立方根、平方根知识.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r=√2Rh，其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们的传播.半径之比是√2Rh1√2Rh2教师问：式子√2Rh1表示什么?公式r=√2Rh中的√2Rh表示什么意√2Rh2义？（二）探索新知1.师生共同探究二次根式的定义和有意义的条件（出示课件4-6）用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点:(教师依次出示问题)（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则t 为_____．教师问：上边问题的答案是什么呢？学生1答：（1），.学生2答：（2） .学生3答：（3）．教师问：这些式子分别表示什么意义？学生讨论后并回答.的算术平方根．学生1答：分别表示3，S，65，h5教师问：这些式子有什么共同特征？师生总结：①根指数都为2; ②被开方数为非负数.教师问：你能用语言描述一下它们的特征吗？师生共同讨论后解答如下：都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.教师问：根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？师生共同讨论如下：一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根. 在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.（出示课件7）定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式. “”称为二次根号.教师强调：（1）a可以是数，也可以是式.（2）两个必备特征：①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数a≥0考点1：利用二次根式的定义识别二次根式例：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？（出示课件8）（1）；（2）81；（3）；（4）（5） ;（6）；（7） .师生共同分析过程见课件：解答如下：解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.出示课件9，学生自主练习，教师订正。

人教版八年级下册数学第16章二次根式16.1 二次根式课时1 二次根式的概念教案【教学目标】1．理解二次根式的概念；2．掌握二次根式有意义的条件；3．会利用二次根式的非负性解决相关问题【教学重点】能理解二次根式的概念及有意义的条件.【教学难点】会利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.。

【教学过程设计】一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为________．(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，则t＝______．问题2：上面得到的式子3，S，65，h5分别表示什么意义？它们有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的定义例 1 下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)11；(2)－5；(3)（－7）2；(4)313；(5)15－16；(6)3－x(x≤3)；(7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2；(9)－x2－5；(10)（a －b ）2(ab ≥0)．解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．解：因为11，（－7）2，15－16＝130，3－x (x ≤3)，（a －1）2，（a －b ）2(ab ≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x (x ≥0)，－x 2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“ ”；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围 例 2 求使下列式子有意义的x 的取值范围． (1)14－3x；(2)3－x x －2；(3)x ＋5x .解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜43.当x ＜43时，14－3x有意义； (2)由题意得⎩⎨⎧3－x ≥0，x －2≠0，解得x ≤3且x ≠2.当x ≤3且x ≠2时，3－xx －2有意义；(3)由题意得⎩⎨⎧x ＋5≥0，x ≠0，解得x ≥－5且x ≠0.当x ≥－5且x ≠0时，x ＋5x 有意义．方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【类型二】 利用二次根式的非负性求解例 3 (1)已知a 、b 满足2a ＋8＋|b －3|＝0，解关于x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1；(2)已知x 、y 都是实数，且y ＝x －3＋3－x ＋4，求y x 的平方根． 解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进而可求出y x 的平方根．解：(1)根据题意得⎩⎨⎧2a ＋8＝0，b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝ 3.则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4；(2)根据题意得⎩⎨⎧x －3≥0，3－x ≥0，解得x ＝3.则y ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x的平方根为±8.方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题 例 4 先观察下列等式，再回答下列问题． ①1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112；②1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝116；③1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112.(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出1＋142＋152的结果；(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用 含n 的式子表示的等式(n 为正整数)．解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n ＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．解：(1)1＋142＋152＝1＋14－14＋1＝1120；(2)1＋1n2＋1（n＋1）2＝1＋1n－1n＋1＝11n（n＋1）(n为正整数)．方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．【板书设计】16.1 二次根式课时1 二次根式的概念1．二次根式的定义一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；a有意义⇔a≥0.【教学反思】通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．人教版八年级下册数学第16章二次根式16.1 二次根式课时1 二次根式的概念学案【学习目标】1．理解二次根式的概念；2．掌握二次根式有意义的条件；3．会利用二次根式的非负性解决相关问题【学习重点】能理解二次根式的概念及有意义的条件.【学习难点】会利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.。

[二次根式]教案（第一课时）教学目的：1．使学生了解二次根式的概念2．使学生掌握二次根式的简单性质：a≥0)总是一个非负实数。

②2=a(a≥0)3．培养学生观察能力，抽象概括能力，渗透分类的思想方法。

教学重点：二次根式概念以及二次根式的性质：2=a(a≥0)教学难点：公式2=a(a≥0)教学用具：投影仪和投影胶片教学过程：一、复习提问：观察以下各式分别表示什么？他们在形式上有什么共同特征？在被开方数方面有什么共同特征？二、引入新课：①如果用字母a②引导学生讨论：a可以取哪些实数？③引入课题三、讲解新课1．二次根式概念：⑴板书二次根式定义。

⑵学生讨论：这里为什么规定a≥0？⑶强调二次根式的两个特征（其中a≥0用红粉笔强调）。

⑷结合复习题举例说明。

2．练习（投影出示）选择题（1x≤0)(x>2)中属于二次根式的是（）A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④（2）当x=-2时，在实数范围内没有意义的式子是（）是二次根式的关键是a ≥03．例1：x（1）学生讨论解题思路；（2）师生共同完成解题过程并强调书写各式的规范。

4．巩固练习（投影出示）x 取什么实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴39x - ⑵43x - ⑶124x - 请三位学生上黑板板演，然后学生评讲刚才我们研究了二次根式的概念，下面我们来共同研究二次根式的性质5a ≥0)的非负性（1）判断题：1°当a >0>0（ ），2°当a =0=0（ ）3°对于任何实数a 0（ ）（2a ≥0)≥0（3）学生讨论：前面还学过那些具有非负性的数？6．公式：2a =(a ≥0) （1）实例：因为(±2)2=4，所以±2是4的平方根，其中2是4的算术平方根。

由此可知当2时4的算术平方根时，他们应该满足22=43的算术平方根，根据平方根意义可知，他们应满足的关系是( )2=5的算术平方根，同样有( )2=你能举出一个类似的例子吗？（2）学生观察归纳：2a =（3）提问：这个公式在什么条件下成立呢？为什么a ≥0？（4）公式2a =(a ≥0)7．例2，计算①2 ②2 ③2师生共同完成解题过程，并说明表示3135不同，遇到52的正确写法。

人教版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1《二次根式》是学生在学习了实数、有理数和无理数的基础上，进一步研究根式的一种拓展。

这一节内容主要介绍了二次根式的定义、性质和运算规则。

通过学习二次根式，学生能够更好地理解数学中的根式概念，提高解决实际问题的能力。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固知识，提高解题技能。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、有理数和无理数的基本概念，对数的运算规则有一定的了解。

但学生对二次根式的理解可能还存在一定的困难，需要通过具体例题和实际问题来引导学生理解和掌握二次根式的相关概念和运算规则。

三. 教学目标1.了解二次根式的定义和性质；2.掌握二次根式的运算规则；3.能够运用二次根式解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质；2.二次根式的运算规则；3.二次根式在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。

通过设置问题引导学生思考，提供具体案例让学生动手操作，小组讨论促进学生合作交流。

六. 教学准备2.教学PPT；3.练习题；4.教学工具（如黑板、粉笔等）。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾实数、有理数和无理数的概念，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义和性质，通过PPT展示相关例题，让学生直观地理解二次根式的概念。

3.操练（10分钟）让学生动手解决一些简单的二次根式运算题目，巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）提供一些实际问题，让学生运用二次根式进行解决，加深对二次根式的理解。

5.拓展（10分钟）引导学生思考二次根式在实际生活中的应用，提出一些综合性的问题，激发学生的学习兴趣。

6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调二次根式的定义、性质和运算规则。

7.家庭作业（5分钟）布置一些有关二次根式的练习题，让学生课后巩固所学知识。

16.1 二次根式（第1课时）教学目标1. 了解二次根式概念，利用a (a ≥0)的意义解答题目．2. 能用二次根式表示实际问题中的数量和数量的关系．3. 经历观察、比较，总结二次根式概念和被开方数取值的过程，发展学生的归纳概括能力. 教学重点难点 形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式的概念. 利用“a (a ≥0)”解决具体问题．一、问题导入1. 面积为3的正方形的边长是多少？面积为S 的正方形的边长是多少？2. 一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m 2，则它的宽是多少m ？3. 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位：s ）与开始落下时离地面的高度h （单位：m ）满足关系h ＝5t 2．如果用含有h 的式子表示t ，那么t 为 ．二、新课教学教师引导学生思考上面的问题，用算术平方根表示结果，可以进行适当的评价，帮助学生实现从数的算术平方根过渡到用含有字母的式子表示算术平方根. 教师：上面的问题的结果分别是3、S 、65、5h （当h 的值分别是10、15、25时，得到的结果分别是2、3、5），很明显，这些都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．三、实例探究例1 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、x1、x (x >0）、0、42、2-、yx +1、y x +（x ≥0，y ≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有2、x (x >0）、2-、y x +（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的有33、x 1、42、yx +1． 例2 当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x -2≥0，2-x 才有意义． 解：由x -2≥0，得x ≥2. 当x ≥2时，2-x 在实数范围内有意义．四、巩固练习： 教材第3页练习1、2．五、应用拓展当x 是多少时，1132+++x x 在实数范围内有意义？ 分析：使1132+++x x 在实数范围有意义，必须同时满足32+x 中的2x ＋3≥0和11+x 中的x +1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩. 可得，当x ≥－23且x ≠－1时，1132+++x x 在实数范围内才有意义．六、归纳小结1．形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．七、布置作业： 1. 习题16.1复习巩固1、综合应用5． 2. 同步训练.教学反思：。

16.1 二次根式（第1课时）教学内容本节课主要学习二次根式的概念及其运用教学目标一、知识技能理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围。

二、数学思考理解二次根式被开方数的取值范围的重要性。

三、解决问题培养根据条件处理问题的能力及分类讨论问题。

四、情感态度经历观察比较总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。

重难点、关键重点：会求二次根式中，被开方数所含字母的取值范围。

难点：理解二次根式的概念。

关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程情境引入【问题情境】1、面积为3的正方形的边长为，面积为S的正方形的边长为；2、要修建一个面积为6.28 m2的圆形喷水池，它的半径为 m（π取3.14）；3、一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为；4、一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时的高度h（单位：m）满足关系h=5t2 ．如果用含有h的式子表示t，则t = 。

【活动方略】学生根据所学知识回答问题。

【设计意图】由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生从不同的式子中探寻规律，为二次根式的引入作好铺垫。

一、探索新知【提出问题】1、所填的结果有什么特点？2、平方根的性质是什么？3、如果把上面所填式子叫做二次根式，那么你能用数学符号表示二次根式吗？教师提出问题。

学生总结出二次根式的概念。

【设计意图】使学生有一个由浅入深的学习过程，并体会到学习的内容是融会贯通的。

二、 范例点击例1当x 是怎样的实数时，2x -在实数范围内有意义？例2当x 是怎样的实数时，2x 在实数范围内有意义？3x 呢？学生活动：合作交流，讨论解答。

【设计意图】通过题目的练习，使学生加深对所学知识的理解，掌握解答二次根式取值范围的习题，避免一些常见错误。

第十六章二次根式16.1 二次根式第 1课时教课目的【知识与技术】认识二次根式的观点，理解 a 是一个非负数.【过程与方法】经过新旧知识的联系，培育学生察看、演绎能力，发展学生的归纳归纳能力 .【感情态度】经过察看一些特别的情况，获取一般结论，使学生感觉归纳的思想方法，从而体验成功的愉悦，并经过合作学习增进终生学习的信念.教课重难点【教课要点】二次根式的观点及 a ≥0的基天性质【教课难点】经历知识产生的过程，研究新知识.课前准备无教课过程一、情境导入, 初步认识问题（1）一个长方形的围栏，长是宽的23 倍，面积为 39m，则它的宽为 _______m；（ 2）面积为 S 的正方形的边长为 _______ ；（ 3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位： s）与开始落下的高度h（单位： m）知足关系 h=5t 2，假如用含 h 的式子表示 t ，则 t=.______【教课说明】设置上述问题的目的是让学生感觉到研究二次根式是实质的需要，二次根式与实质生活联系密切 . 教师提出问题后，让学生独立思虑，而后互相沟通，获取对二次根式的感性认识 .二、思虑研究，获取新知思虑经过对上述问题的研究，可获取形如13，S,h的式子，这些式子有什么特5点？【教课说明】教师提出问题，同学生一道剖析，领会这些式子的特点，从而引出二次根式的定义 . 二次根式：一般地，我们把形如a（a≥0）形式的式子称为二次根式，此中“”称为二次根号 . 针对上述定义，教师可重申以下几点：（ 1） a 中，a一定是大于等于0 的数或式子，不然它就没存心义了；（2）只管4 =2，是一个整数，但 4 仍应称为一个二次根式；（3）当 a≥ 0 时，a表示 a 的算术平方根，而一个非负数的算术平方根必定也是非负数，因此总有 a ≥0（a≥0）三、典例精析，掌握新知例 1以下各式中，必定是二次根式的有_______剖析：判断二次根式应关注两点：（ 1）有二次根号“”；（2）被开方数一定是非负数 . 因此在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时切合两个要求，故应填②③ .例 2当x为什么值时，以下各式在实数范围内存心义.解：（ 1）中，由x-2 ≥ 0，得 x≥ 2；（ 2）中，由得2≤ x≤ 3；（ 3）中，由2x-1 ＞ 0，得 x＞ 1/2.【教课说明】关于例3，教师应指引学生剖析题目特点，抓住解决问题的打破口，选择适合的方法来获取解题思路，进一步体验 a 中a≥0及a≥0的两重非负性特点.四、运用新知，深入理解1.填空题：（1）形如 _______的式子叫二次根式；（2）负数算术平方根 ________（填“有”或许“没有” ）2.当 a 是如何的实数时，以下各式在实数范围内存心义：【教课说明】学生自主研究，教师巡视，认识学生对本节课知识的掌握状况，实时予以指导，帮助学生稳固新知 .五、师生互动, 讲堂小结经过这节课的学习 , 你掌握了哪些新知识 , 你获取哪些解决二次根式问题的方法 ?你还有哪些问题 ?请与伙伴沟通 .【教课说明】学生互相沟通, 回首知识 , 反省问题 , 共同发展提升 .课后作业1. 部署作业：从教材“习题16.1 ”中选用 .2.达成练习册中本课时练习 .教课反省1.教师创建情境，给出实例 . 学生踊跃主动研究，教师指引与启迪，师生互动 . 表现教师的组织者、指引者与合作者地位 .2.注意知识之间的连接，在温故知新的过程中指引出新知，讲练联合旨在稳固学生对新知的理解 .。