《分式方程》第二课时教学设计

第十五章分式15.3分式方程第2课时一、教学目标能够分析题意找出等量关系并列分式方程解决实际问题，体会数学的应用价值．二、教学重点及难点重点：列分式方程解实际问题．难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系．三、教学用具电脑、多媒体、课件四、相关资源图片五、教学过程（一）复习导入1．解分式方程的一般步骤：（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验；（4）得出结论．2．列方程解决实际问题的步骤是什么？（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）答．3．我们所学过的应用题类型：（1）行程问题：基本公式：路程＝速度×时间，而行程问题中又分相遇问题、追及问题；（2）数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法．（3）工程问题：基本公式：工作量＝工时×工效．（4）顺水逆水问题：顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度．（5）基本公式：利润=售价－进价＝进价×利润率．设计意图：引导学生回忆有关内容，为顺利完成本节课的任务做好准备．（二）例题解析【例1】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？分析：甲队1个月完成总工程的13，设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x，那么甲队半个月完成总工程的16，乙队半个月完成总工程的12x，两队半个月完成总工程的1162x+．解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x，记总工程量为1，根据工程的实际进度，得1111362x++=．方程两边同乘6x，得2x＋x＋3＝6x．解得x＝1．检验：当x＝1时6x≠0．所以，原分式方程的解为x＝1．由上可知，若乙队单独工作1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的13，可知乙队施工速度快．思考：列分式方程解应用题的步骤是什么？与列整式方程解应用题的过程有什么区别和联系？（1）审：审清题意，了解已知量与所求量各是什么，找出等量关系；（2）设：设未知数（要有单位）；（3）列：依据等量关系，列出相应的分式方程；（4）解：解方程；（5）验：看方程的解是否满足方程和符合题意；（6）答：写出答案（要有单位）．列整式方程解应用题的方法和步骤对于列分式方程解应用题也适用，所不同的是列分式方程解应用题时多了一步检验．【例2】某次列车平均提速v km/h 时．用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50 km ，提速前列车的平均速度是多少？分析：这里的字母v ，s 表示已知数据，设提速前的平均速度为x km/h ，则提速前列车行驶s 千米所用的时间为s xh ，提速后列车的平均速度为(x ＋v ) km/h ，提速后列车行驶(s ＋50) km 所用的时间50s x v++ h ． 解：设提速前列车的平均速度为x km/h ，由题意得50s s x x v +=+．方程两边乘x (x ＋v )，得s (x ＋v )＝x (s ＋50)． 解得50sv x =． 检验：由v ，s 都是正数，得50sv x =时x (x ＋v )≠0． 所以，原分式方程的解为50sv x =． 答：提速前列车的平均速度为50sv km /h ． 此例中，出现了用一些字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现．此例中列出的方程是以x 为未知数的分式方程，其中v ，s 是已知常数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数．设计意图：引导学生善于把生活语言转化成数学语言，从中找出等量关系．通过分式方程的应用教学，培养学生的数学应用意识，提高分析问题和解决问题的能力．（三）课堂练习1．某施工单位准备对运河一段长2 240 m 的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20 m ，因而完成河堤加固工程所需天数将比原计划缩短2天，若设现在计划每天加固河堤x m ，则得方程为 ．2．张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量．1．2 240 2 240220x x-=-．2．解：设张明平均每分钟清点图书x本，则李强平均每分钟清点(x＋10)本，依题意，得20030010x x=+．解得x＝20．经检验x＝20是原方程的解．答：张明平均每分钟清点图书20本．设计意图：为学生提供演练机会，培养学生列分式方程解应用题的能力．六、课堂小结列分式方程解应用题的步骤：（1）审：审清题意，了解已知量与所求量各是什么，找出等量关系；（2）设：设未知数（要有单位）；（3）列：依据等量关系，列出相应的分式方程；（4）解：解方程；（5）验：看方程的解是否满足方程和符合题意；（6）答：写出答案（要有单位）．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，分析题意找出等量关系并列分式方程解决实际问题．七、板书设计15.3 分式方程（2）分式方程的应用列分式方程解应用题的步骤：（1）审：审清题意，了解已知量与所求量各是什么，找出等量关系；（2）设：设未知数（要有单位）；（3）列：依据等量关系，列出相应的分式方程；（4）解：解方程；（5）验：看方程的解是否满足方程和符合题意；（6）答：写出答案（要有单位）．。

《分式方程》第二课时教学设计千溪中学龙燕【教学分析】【教学设计】【教学反思】对于解分式方程，学生已经学过等式的基本性质，分式的通分，一元一次方程的解法，解分式方程的根本是在于去分母，将分式方程化为整式方程，而要去分母，方程的两边要同乘以最简公分母．因此，要在解分式方程之前先将最简公分母复习一遍，给学生铺好路，另外给学生讲解一个例题，就是方程两边都乘以最简公分母时，要求每一项都乘以最简公分母，让学生看到去分母的过程，这样，就可以避免出现很多的问题，也能让学生理解得更透彻。

在教学中，注意引导学生理解化归的思想，即将未知的知识转化成已知的知识，分式方程转化为整式方程。

1、留思考时间给学生。

在课堂中，问题由学生通过动手动脑去获得，发挥学生的主动性，我主要在做题的方法上进行指导，思维方式上进行点拨。

2、积极的引导和点拨。

先让学生进行展讲，由于学生总结的语言有限，我就把本节课的重点内容：解分式方程的思路，步骤，过程，如何检验等用多媒体的形式组学生展示出来。

在解分式方程过程容易出现的几个误区加以例题展示给学生们看，加强学生的记忆。

3、学生在做题时我在教室巡视，有时发现学生的错误，及时纠正，对于轻困难的学生做个别辅导。

4、给学生自我展示的时间。

在课堂中，我让学生做相关习题，小组交流讨论后，把他们认为正确的解题过程写在小黑板上，再让小组成员对全班同学进行讲解，其他小组的同学再质疑。

这样，学生的语言能力、思维能力都得到锻炼。

虽然在课堂上做了很多，但是也存在许多不足的地方，这也是我在今后教学中应该注意的地方。

第一，给学生的鼓励不是很多，鼓励可以让学生有充分的自信心，应尽可能分层教学，评价多样化。

第二，课堂纪律的保证，在学生进行展讲时，应该提醒其他同学放下自己还未完成的题，讨论结束，认真听。

第三，课堂安排不够合理，没有完成学习单上最后的课堂训练。

第四，检验的过程我只是口头强调，没有板书在黑板上，致使很多学生印象不深。

【板书设计】§5.4分式方程（二）1、分式2、分式方程3、解分式方程的一般步骤（1）去分母（2）解整式方程（3）检验（注意增根）（4）写结论4、例题分式方程的应用知识点1 列分式方程解应用题的步骤1.一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，按照计划的速度匀速行驶60千米后，再以原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40分钟到达目的地，求原计划的行驶速度。

课 题：8.5 分式方程(第2课时)教学目标: 1、经历探索分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验根的合理性;2.经历“求解－解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识.3.在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值.教学重点：分式方程的解法.教学难点：解分式方程要验根 教学方法：引导探索法教学过程 集体讨论内容一、 情景创设 解方程：（1）01111=--+x x （2）163104245--+=--x x x x 二、探索活动1、方程（1）和方程（2）的步骤求解有差异吗？2、你认为在解分式方程的过程中，那一步变形可能引起增根？（引导学生探索分式方程产生增根的现象，并讨论出现增根的原因让学生感受解分式方程检验根的必要性）在这里，x=2不是原方程（2）的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根.产生增根的原因是：我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式.因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.3、你能用比较简洁的方法检验分式方程产生的增根吗？（引导学生探索检验增根的方法）4、想一想解分式方程一般需要经过哪几个步骤？三、 例题教学例1 解下列方程：（1）12030+=x x （2）41622222-=-+-+-x x x x x 解：略教师应该示范出简洁规范的解题过程.注意：解分式方程时必须要验根.解分式方程的一般步骤：去分母（注意防止漏乘）；去括号（注意先确定符号）有同类项及时的合并同类项；移项；未知数的系数化为1；验根（解分式方程必须要验根）.练习66P 1、 ( 让学生上黑板板演) 2、四、思维拓展解方程：91816151---=---x x x x 分析：若直接去分母，运算量很大且复杂，因本题的构成比较特殊，如果方程两边分别通分，则具有相同的分子，可以使解方程的过程大大的简化.仿照此解法，你能解下面的一道题吗？试试看！65879854--+--=--+--x x x x x x x x 相信你能成功！思考后，你有什么收获？五、小结1、解分式方程的一般步骤是什么？解分式方程和我们前面学习的解一元一次方程有什么样的不同之处？又有什么样的联系？2、谈谈你解分式方程的转化思想？3、谈谈本节课你有什么样的收获？六、作业布置68P 1、（2）（3）（4）七、板书设计略。

《分式方程（第2课时）》教学教案教学目标：能较熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题．重点：在实际问题中审明题意设未知数，列分式方程，解决实际问题．难点：在不同的实际问题中，设未知数列分式方程．教学流程：一、复习引入问题：解分式方程的一般步骤二、探究例1：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个工程队的施工速度快？ 分析：甲队单独施工1个月完成总工程的13，设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x ， 那么甲队半个月完成总工程的________，乙队半个月完成总工程的________， 两队半个月完成总工程的________.答案：16；12x ；1162x按施工进度，题中等量关系是：甲单干的工程量+甲乙合干的工程量=总工程量分式方程 整式方程a 是分式方程的解 x ＝aa 不是分式 方程的解去分母解整式方程 检验 目标最简公分 母不为0 最简公分母为0解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x，记总工程量为1，根据工程的实际进度，得 1111362x++= 方程两边乘6x ，得2x +x +3=6x解得， x =1检验:当 x =1时,6x ≠0.所以原分式方程的解为x =1.由上可知，乙队单独施工1个月可以完成全部任务，甲队1个月完成任务的13，可知乙队的施工速度快.例2：某次列车平均提速v km/h ．用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50 km ，提速前列车的平均速度为多少？分析：这里的字母v 、s 表示已知数据设提速前列车的平均速度是x km/h ．那么提速前列车行驶s km 所用的时间为______ h ．提速后列车的平均速度为_______ km/h,提速后列车运行(s +50)km 所用的时间为______ h ． 答案：s x；()x v +；50s x v ++ 题中等量关系是：行驶时间相等强调：表达问题时，用字母不仅可以表示未知数（量），也可以表示已知数（量）. 解：设提速前列车的平均速度是x km/h.根据题意 可列方程：50s s x x v+=+ 方程两边乘x (x +v )，得++50s x v x s =（）（）解得，50sv x = 检验:由于v ，s 都是正数，当50sv x =时x (x +v )≠0， 所以，原分式方程的解为50sv x =.答：提速前列车的平均速度为50sv km/h ． 三、归纳 列分式方程解应用题的一般步骤：(1)审：审清题意，弄清已知量与未知量，找出已知的或隐含的等量关系；(2)设：设未知数；(3)列：列出分式方程；(4)解：解这个方程；(5)验：既要检验所求得的根是否为所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际意义；(6)答：写出答案．练习：1．甲、乙两人加工一批零件，甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成4个．设甲每天完成x 个零件，依题意下面所列方程正确的是( ) A.120x ＝100x －4 B.120x ＝100x ＋4 C.120x －4＝100x D.120x ＋4＝100x答案：A2．一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60千米所需时间与逆水航行48千米所需时间相同，已知水流速度是2千米/时，则轮船在静水中航行的速度为_______________． 答案：18千米/时四、应用提高商场用50 000元从外地采购回一批T 恤衫，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一次多两倍的T 恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元．求第一次购进多少件T 恤衫．解：设第一次购进x 件T 恤衫，由题意得，1860005000012.3x x-= 方程两边都乘3x ，得，186 000 -150 000 =36x ，解得，x =1 000.检验：当x =1 000时，3x =3 000≠0，所以， x =1 000是原分式方程的解，且符合题意.答：第一次购进1 000件T 恤衫.五、体验收获今天我们学习了哪些知识？1.说一说怎样利用分式方程解决实际问题？2.借助分式方程解决实际问题时，应注意哪些问题？六、达标测评1．九年级学生去距学校10 km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．设骑车学生的速度为x km/h ，则所列方程正确的是( )A.10x ＝102x －13B.10x ＝102x －20C.10x ＝102x ＋13D.10x ＝102x＋20 答案：C2．为了美化城市，某市计划在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20%，结果提前2天完成，则原计划每天栽树______棵．答案：1003.八年级学生去距学校s km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了t min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是学生骑车速度的2倍，求学生骑车的速度．解：设学生骑车的速度是x km/h ，由题意得，.2s s t x x-= 方程两边同乘2x ，得2s -s =2tx .解得 x =2s t． 检验：由于s ，t 都是正数，x =2s t 时，2x ≠0， 所以，x =2s t是原分式方程的解，且符合题意. 答：学生骑车的速度是2s t km/h ． 七、布置作业教材154页练习题1、2题．。

８．５分式方程[教学目标]1．知道分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2，了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根．3．会列出方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得结果是否合理．此外，通过经历“实际问题一建立数学模型(方程)一解释、应用与拓展”的过程，体验解决问题的基本策略，发展应用意识和解决问题的技能．[教学过程(第二课时)]1．情境创设创设问题情境：给出分式方程无解的例题，让学生感受，既便遵循解分式方程的规范操作过程，也可能出现所求得的解并不适合原分式方程的现象，激发学生探索原委的欲望．2．探索活动以课本上的问题“为什么所求得的根不适合原分式方程?”，引导学生探索解分式方程产生增根的现象，并讨论出现增根的原因及检验方法．例如可按以下问题串展开探索活动：(1)例1与例2的求解步骤有差异吗?(2)你能说出为什么用同样的方法求解，例1有解，而例2却无解吗?(3)你认为在解分式方程的过程中，那一步变形可能引起增根?(4)你能用较便捷的方法检验解分式方程产生的增根吗?探索时，要把握探索活动的节奏和层次：由(1)、(2)明确由于所求的根恰使原分式方程中的分母为0，从而造成原分式方程失去意义，但此分式方程解法又是正确无误的，所以断定原分式方程无解．在给出增根的定义后，再用问题(3)进一步引导学生探索产生增根的原因，感受解分式方程时验根的必要性．为使学生领悟“方程两边同乘值为0的代数式，便会产生增根”的道理，教师可以根据学生的具体情况，用浅显的例子来说明．例如，在方程x-6=0的两边同乘x，则得x(x—6)=0．若x≠0，则方程的解仍然是x=6；若x=0，则方程x(x —6)=0的解增加为两个：x=6和x=0，扩大了方程的解的范围，产生了增根．最后用问题(4)引导学生探索验根的便捷方法．3．例题教学通过以上探索活动，学生对解分式方程的步骤和规范表述应该有进一步的认识．例3给出了分式方程有解与无解的两种常见情况及简洁而规范的书写格式，要求学生通过练习与作业认真落实．。

分式方程（第2课时）教学目标1．会分析工程问题和行程问题中的数量关系，能列出分式方程解决实际问题．2．类比列一元一次方程解应用题的一般步骤，探索并掌握列分式方程解应用题的一般步骤．3．经历分析相等关系、列分式方程的过程，培养分析和解决问题的能力．教学重点列分式方程解决实际问题．教学难点找出相等关系列出分式方程，将实际问题数学化．教学过程知识回顾1．分式方程的概念是什么？【答案】分母中含未知数的方程叫做分式方程．2．解方程：11x-＝231x-．【答案】解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得x＋1＝3．解得x＝2．检验：当x＝2时，(x＋1)(x－1)≠0．所以，原分式方程的解为x＝2．3．列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？【答案】（1）审：弄清题意，分清已知量和未知量，并找出相等关系；（2）设：设未知数，并用式子表示出其他相关量；（3）列：根据相等关系列出方程；（4）解：通过解方程，求出未知数的值；（5）验：检验所得的未知数的值是否符合题意；（6）答：根据题意写出答案．【设计意图】带领学生复习解分式方程和列一元一次方程解应用题的一般步骤，巩固基础，为本节课学习列分式方程解决实际问题做好准备．新知探究一、探究学习【问题】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？【分析】本题是一道工程问题，题中涉及的数量关系为：工作总量＝工作效率×工作时间，相等关系为：甲队完成的工程量＋乙队完成的工程量＝总工程量．【追问】怎样设未知数列方程？【师生活动】教师提示：对于这类工程问题，通常设总工程量为1，从题中已知条件可知甲队单独施工1个月完成总工程量的13，如果能知道乙队单独施工1个月所完成的工程量，就可以比较两队的施工速度．学生根据提示进行作答．【答案】设乙队单独施工1个月能完成总工程的1．根据相等关系列出方程：13×32＋12x＝1．【追问】请完成本题的解答．【答案】解：设乙队的工作效率为1x．记总工程量为1，根据题意，得12＋12x＝1．两边同乘2x，得x＋1＝2x．解得x＝1．检验：当x＝1时，2x≠0．所以原分式方程的解为x＝1．由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的13，可知乙队的施工速度快．【归纳】解决工程问题“两手都要抓”解决工程问题时，一要抓住“工作总量＝工作效率×工作时间”这一等量关系；二要抓住“所有队工作量之和＝总工作量”这一关系列方程求解．【设计意图】通过这个问题，让学生了解列分式方程解决工程问题的基本思路．让学生经历分析相等关系列方程的过程，培养学生分析问题和解决实际问题的能力，学会用数学的眼光观察现实世界．【思考】根据上面题目，类比列一元一次方程解应用题的一般步骤，你能总结出列分式方程解应用题的一般步骤吗？【师生活动】小组交流讨论，提炼解题步骤．【新知】列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审：弄清题意，找出数量关系和相等关系；（2）设：设出未知数；（3）列：根据相等关系列出方程；（4）解：解方程；（5）验：①检验求得的解是否为分式方程的解；②检验求得的解是否符合题意；（6）答：根据题意写出答案．【设计意图】通过对解题思路的回顾和分析，让学生初步掌握列分式方程解应用题的一般步骤．【问题】某次列车平均提速v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？【分析】本题是一道行程问题，题中涉及的数量关系为：路程＝速度×时间，相等关系为：提速前所用的时间＝提速后所用的时间．【追问】问题中的已知量是什么？未知量是什么？【师生活动】教师提示：表达问题时，用字母不仅可以表示未知数（量），也可以表示已知数（量）．学生根据提示进行作答．【答案】已知量：列车平均提速v km/h，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km．未知量：提速前列车的平均速度．【追问】怎样设未知数列方程？【师生活动】教师提示：将所求的未知量设为未知数，抓住题目中“用相同的时间”这个条件，列出方程． 学生根据提示进行作答：根据相等关系列出方程：s x ＝50s x v++． 【追问】请完成本题的解答．【答案】解：设提速前列车的平均速度为x km/h ． 根据题意，得s x ＝50s x v++． 两边同乘x (x ＋v )，得s (x ＋v )＝x (s ＋50)． 解得x ＝50sv ． 检验：由v ，s 都是正数，得x ＝50sv时x (x ＋v )≠0． 所以原分式方程的解为x ＝50sv ． 答：提速前列车的平均速度为50svkm/h ． 【设计意图】通过这个问题，让学生了解列分式方程解决行程问题的基本思路．让学生经历分析相等关系列方程的过程，培养学生分析问题和解决实际问题的能力，学会用数学的眼光观察现实世界．二、典例精讲【例1】甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间和乙做60个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．【分析】本题是一道工程问题，工程问题常根据“工作总量＝工作效率×工作时间”设未知数．本题中工作效率和工作时间均为未知量，可任选一个设为未知数． 【师生活动】学生根据分析独立完成，教师巡查，给予辅导． 【答案】解：设乙每小时做x 个零件．根据题意，得906x＝60x．两边同乘x(x＋6)，得90x＝60(x＋6)．解得x＝12，x＋6＝18．检验：当x＝12时，x(x＋6)≠0．所以x＝12是原分式方程的解，且符合题意．答：乙每小时做12个零件，甲每小时做18个零件．【例2】小明和小红从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1 800 m的少年宫参加活动，两人都步行，已知小明的速度是小红速度的1.2倍，结果小明比小红早6 min 到达，求小红的速度．【分析】本题是一道行程问题，行程问题常根据“路程＝速度×时间”设未知数，本题中速度和时间均为未知量，可任选一个设为未知数．【师生活动】学生根据分析独立完成，教师巡查，及时发现问题，并进行指导．【答案】解：设小红的速度是x m/min．根据题意，得1 800x－1 8001.2x＝6．两边同乘1.2x，得2160－1800＝7.2x．解得x＝50，1.2x＝60．检验：当x＝50时，1.2x≠0．所以x＝50是原分式方程的解，且符合题意．答：小红的速度是50 m/min．【归纳】行程问题中常用的等量关系行程问题属于典型应用题，其中路程、时间和速度三个量之间的关系是路程＝速度×时间．解这类应用题，首先分析出问题中的已知量，确定待求量，然后根据第三个量找出反映全部题意的等量关系，从而列出方程．【设计意图】通过例1和例2，帮助学生巩固列分式方程解应用题的一般步骤，培养学生的抽象能力．课堂小结板书设计一、列分式方程解应用题的一般步骤二、列分式方程解决工程问题三、列分式方程解决行程问题课后任务完成教材第154页练习1～2题．。