圆锥曲线的参数方程(有答案)

圆锥曲线的参数方程练习题1、若点()3,P m 在以点F 为焦点的抛物线24{4x t y t == (t 为参数)上,则PF 等于( )A.2B.3C.4D.5答案：C解析：抛物线为24y x =,准线为1x =-, PF 为()3,P m 到准线1x =-的距离,即为4.故选C.2、参数方程sin cos ,{1sin 2x y θθθ=+=+ (θ为参数)所表示的曲线为( )A.圆的一部分B.抛物线的一部分C.双曲线的一部分D.椭圆的一部分答案：B解析：参数方程sin cos ,{1sin 2x y θθθ=+=+ (θ为参数),化为普通方程为2(02)x y y =≤≤,表示抛物线的一部分.3、椭圆5cos ,{3sin x y ϕϕ== (ϕ为参数)的焦点坐标为( ) A.(5,0)± B.(4,0)± C.(3,0)± D.(0,4)±答案：B解析：椭圆5cos ,{3sin x y ϕϕ== (ϕ为参数)的普通方程为221259x y +=,故4c ==. 又椭圆焦点在x 轴上,故焦点坐标为(4,0)±.4、已知过曲线3cos ,{4sin x y θθ== (θ为参数,0θπ≤≤)上一点P 和原点O 的连线PO 的倾斜角为4π,则P 点的坐标是( ) A.(3,4) B.1212,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2⎛ ⎝D.1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 答案：D解析：直线PO 的方程是y x =,又点P 为曲线3cos ,{4sin x y θθ==上一点,故3cos 4sin θθ=,即3tan 4θ=,因为倾斜角为4π,0θπ≤≤,所以曲线与直线的交点在第一象限,故3sin 5θ=,4cos 5θ=,所以125x y ==. 5、已知O 为原点,P为椭圆4cos ,{x y αα== (α为参数)上第一象限内一点,OP 的倾斜角为3π,则点P 坐标为( ) A.()2,3 B.()4,3C.(D.(,55答案：D解析：椭圆4cos ,{x y αα== (α为参数)化为普通方程,得2211612x y +=.由题意可得直线OP的方程为y = (0x >).由22(0),{11612y x x y =>+=解得x y ==. ∴点P的坐标为.故选D. 6、参数方程cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程为( ) A.2214y x += B.2212y x += C.2214x y += D.2212x y +=答案：A 解析：易知,2y cos x sin θθ==,∴2214y x +=,故选A. 7、方程cos cos x a y b θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数,0ab ≠)表示的曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.双曲线的一部分 答案：D解析：由xcos a θ=,∴a cos xθ=,代入y bcos θ=,得xy ab =,又由y bcos θ=知,||,y b b ∈-⎡⎤⎣⎦,∴曲线应为双曲线的一部分.8、若曲线2sin cos 1x y θθ⎧=⎨=-⎩ (θ为参数)与直线x m =相交于不同两点,则m 的取值范围是( )A.RB.()0,+∞C.()0,1D.[)0,1答案：D解析：将曲线2sin cos 1x y θθ⎧=⎨=-⎩化为普通方程得()()()21101y x x +=--≤≤.它是抛物线的一部分,如图所示,由数形结合知01m ≤<.8、过椭圆5cos ,{3sin x y ϕϕ== (为参数)的右焦点,斜率为12的直线方程为__________ 答案：x-2y-4=0解析：椭圆的普通方程为221259x y+=,故5,3,a b==所以4c==,故右焦点的坐标为(4,0),又直线的斜率为12,故直线的方程为1(4)2y x=-,即240x y--=.9、已知实数0p>,曲线212:{2x ptCy pt==(t为参数)上的点(2,)A m,曲线26cos :{26sinpxCyθθ=+ = (θ为参数)的圆心为点B,A,B两点间的距离等于圆2C的半径,则p=__________.答案：8解析：曲线212:{2x ptCy pt==(t为参数)化为普通方程为22y px=,代入2x=得m=±则点(2,A±.曲线26cos:{26sinpxCyθθ=+=的圆心为(,0)2p,半径为6.10、设点O为坐标原点,直线l:4,{2xy t=+=(参数t R∈)与曲线24,:{4x uCy u==(参数u R∈)交于A、B两点.（1）求直线l与曲线C的普通方程;（2）求证:OA OB⊥.答案：1.直线l:4y x=-.曲线C:24y x=.2.证明:设1122(,),(,),A x yB x y由24{4y xy x==-消去y,得212160x x-+=.∴121212,16,x x x x+==∴12121212121212(4)(4)4()161OA OBy y x x x x x xk kx x x x x x---+⋅====-.∴OA OB⊥.11、在直角坐标系 xOy 中,直线l 的方程为40x y -+=,曲线 C的参数方程为,{sin ,x y θθ== (θ为参数).1.已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭,判断点P 与直线l 的位置关系; 2.设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.答案：1. 点P 的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则直角坐标为(0,4), 把()0,4P 代入直线l 的方程40x y -+=, 因为0?4? 4? 0-+=,所以点P 在直线l 上.2.因为点 Q 是曲线 C 上的一个动点,则点 Q的坐标可设为),sin Q αα. 点 Q 到直线l 的距离为2cos 4d πα⎛⎫++ ⎪==6πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以当cos 16πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时,d.。

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程）圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。

由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。

本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则（1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长|cos 1|||22αe HAB -=； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长|sin 1|||22αe HAB -=.推论：（1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α22cos 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1cos ||22-=αe HAB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2sin ||HAB =. （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α22sin 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1sin ||22-=αe HAB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2cos ||HAB =.典题妙解下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1（06湖南文第21题）已知椭圆134221=+y x C ：，抛物线px m y 22=-）（（p ＞0），且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点.（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若34=p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.2FOABxy例2（07全国Ⅰ文第22题）已知椭圆12322=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且BD AC ⊥，垂足为P.（1）设P 点的坐标为），（00y x ，证明：232020yx +＜1. （2）求四边形ABCD 的面积的最小值.2FABCD Oxy 1F P例3（08全国Ⅰ理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 上，两条渐近线分别为1l 、2l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交1l 、2l 于A 、B 两点. 已知||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，且BF 与FA 同向.（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.A ByO F x1l2lN M金指点睛1. 已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+x y 的上焦点F 交椭圆于A 、B 两点，则||AB =_________.2. 过双曲线1322=-y x 的左焦点F 作倾斜角为6π的直线l 交双曲线于A 、B 两点，则||AB =_________.3. 已知椭圆02222=-+y x ，过左焦点F 作直线l 交A 、B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 的最大面积.B O xy AF4. 已知抛物线px y 42=（p ＞0），弦AB 过焦点F ，设m AB =||，△AOB 的面积为S ，求证：mS 2为定值.yO F x AB5.（05全国Ⅱ文第22题）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆1222=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点. 已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0=⋅MF PF .求四边形PQMN 的面积的最大值和最小值.O xNPy MQF6. (07重庆文第22题)如图，倾斜角为α的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（Ⅱ）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明α2cos ||||FP FP -为定值，并求此定值.yO F xA BDEC lαm P7. 点M 与点)2,0(F 的距离比它到直线03:=+y l 的距离小1.（1）求点M 的轨迹方程；（2）经过点F 且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD 的最小面积.FO xA BD C y8. 已知双曲线的左右焦点1F 、2F 与椭圆1522=+y x 的焦点相同，且以抛物线x y 22-=的准线为其中一条准线. （1）求双曲线的方程；（2）若经过焦点2F 且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD的面积的最小值.y2FAO x1l2l B CD参考答案：证明：设双曲线方程为12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），通径a b H 22=，离心率a ce =，弦AB 所在的直线l 的方程为）（c x k y +=（其中αtan =k ，α为直线l 的倾斜角），其参数方程为为参数）（，t t y t c x ⎩⎨⎧=+-=.sin cos αα. 代入双曲线方程并整理得：0cos 2cos sin 4222222=-⋅+⋅-b t c b t b a ααα）（. 由t 的几何意义可得：|cos 1|2|cos 1|2|cos sin |2cos sin 4cos sin cos 24||||22222222222222222222222122121αααααααααe a b e a b b a ab b a b b a c b t t t t t t AB -=-=-=-----=-+=-=）（）（.|cos 1|22αe H-=例1.解：（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，点A 、B 关于x 轴对称，0=∴m ，直线AB 的方程为1=x . 从而点A 的坐标为），（231或），（231-. 点A 在抛物线2C 上，.249p =∴即.89=p此时抛物线2C 的焦点坐标为），（0169，该焦点不在直线AB 上. （Ⅱ）设直线AB 的倾斜角为α，由（Ⅰ）知2πα≠.则直线AB 的方程为）（1tan -⋅=x y α.抛物线2C 的对称轴m y =平行于x 轴，焦点在AB 上，通径382==p H ，离心率1=e ，于是有又 AB 过椭圆1C 的右焦点，通径322==a b H ，离心率21=e . ∴.cos 412|cos 1|||222αα-=-=e H AB∴）（α2cos 138-.cos 4122α-= 解之得：6tan 71cos 2±==αα，.抛物线2C 的焦点），（m F 32在直线）（1tan -⋅=x y α上， ∴αtan 31-=m ，从而36±=m . 当36=m 时，直线AB 的方程为066=-+y x ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为066=--y x 例2.（1）证明：在12322=+y x 中，123===c b a ，，. ，︒=∠9021PF F O 是1F 2F 的中点，.1||21||21===∴c F F OP 得.12020=+y x ∴点P 在圆122=+y x 上.显然，圆122=+y x 在椭圆12322=+y x 的内部. 故232020yx +＜1.（2）解：如图，设直线BD 的倾斜角为α，由BD AC ⊥可知，直线AC 的倾斜角απ+2..cos 138sin ||22）（αα-==H AB 2FOABxy通径33422==a b H ，离心率33=e . 又 BD 、AC 分别过椭圆的左、右焦点1F 、2F ，于是.sin 3342cos 1||cos 334cos 1||222222ααπαα-=+-=-=-=）（，e H AC e H BD ∴四边形ABCD 的面积.2sin 2496sin 334cos 33421||||21222ααα+=-⋅-⋅=⋅=AC BD S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴42596，S .故四边形ABCD 面积的最小值为2596. 例3，解：（Ⅰ）设双曲线的方程为12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）.||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，设m AB =||，公差为d ，则d m OA -=||，d m OB +=||，∴222)()(d m m d m +=+-. 即2222222d dm m m d dm m ++=++-. ∴4m d =. 从而43||m OA =，45||mOB =. 又设直线1l 的倾斜角为α，则α2=∠AOB . 1l 的方程为x aby =. ∴.tan ab=α 而.34||||tan 2tan ==∠=OA AB AOB α 2FABCD Oxy 1F P∴34)(12tan 1tan 222=-⨯=-ab a bαα. 解之得：.21=a b∴.25)(12=+=a b e （Ⅱ）设过焦点F 的直线AB 的倾斜角为θ, 则απθ+=2.∴αθsin cos -=. 而.51)21(1)21(tan 1tan sin 22222=+=+=ααα∴51cos 2=θ.通径b abb a b H =⨯==222. 又设直线AB 与双曲线的交点为M 、N. 于是有：4cos 1||22=-=θe HMN .即451)25(12=⨯-b .解得3=b ，从而6=a .∴所求的椭圆方程为193622=-y x .1. 解：3,1,2===c b a ，离心率23==a c e ，通径122==ab H ，直线l 的倾斜角4πα=.∴58)22()23(11sin 1||2222=⋅-=-=αe HAB . 2. 解：2,3,1===c b a ，离心率2==ace ，通径622==a b H ，直线的倾斜角6πα=. A ByO F x1l2lN M∴3|)23(21|6|cos 1|||2222=⋅-=-=αe HAB .3. 解：1222=+y x ，1,1,2===c b a ，左焦点)0,1(-F ，离心率22==a c e ，通径222==ab H .当直线l 的斜率不存在时，x l ⊥轴，这时22||2===ab H AB ，高1||==c OF ，△AOB 的面积221221=⨯⨯=S . 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的倾斜角为α，则其方程为)1(tan +⋅=x y α，即tan tan =+-⋅ααy x ，原点O 到直线AB 的距离ααααααs i n|s e c ||t a n|1t a n |t a n 0ta n 0|2==++-⨯=d . αααα222222sin 122cos 222cos )22(12cos 1||+=-=⋅-=-=e HAB . ∴△AOB 的面积αα2sin 1sin 2||21+=⨯⨯=d AB S . 0＜α＜π，∴αsin ＞0. 从而ααsin 2sin 12≥+. ∴22sin 2sin 2=≤ααS .当且仅当1sin =α，即2πα=时，“=”号成立. 故△AOB 的最大面积为22. 4. 解：焦点为)0,(p F ，通径p H 4=.当直线AB 的斜率不存在时，x AB ⊥轴，这时p m AB 4||==，高p OF =||，△AOBBO xy AF的面积22||||21p OF AB S =⨯⨯=. ∴3442444p pp m p m S ===，是定值.当直线AB 的斜率存在时，设直线的倾斜角为α，则其方程为)(tan p x y -⋅=α，即tan tan =+-⋅ααp y x ，原点O 到直线AB 的距离αααααs i n |s e c ||t a n|1t a n |t a n |2p p p d ==+=. αα22sin 4sin ||pH AB ==. ∴△AOB 的面积αsin 2||212p d AB S =⨯⨯=.∴32242424sin sin 41sin 4p pp m p m S =⨯=⨯=ααα. ∴不论直线AB 在什么位置，均有32p m S =（3p 为定值）.5. 解：在椭圆1222=+y x 中，.112===c b a ，， 由已知条件，MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点），（10F ，且PQ MN ⊥. 如图，设直线PQ 的倾斜角为α，则直线MN 的倾斜角απ+2.通径222==ab H ，离心率22=e .于是有.sin 222sin 1||cos 222)2(sin 1||222222ααααπ-=-=-=+-=e H PQ e HMN ，∴四边形PQMN 的面积O xNPy MQFyO F x AB.2sin 816sin 222cos 22221||||21222ααα+=-⋅-⋅=⋅=PQ MN S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴2916，S .故四边形PQMN 面积的最小值和最大值分别为916和2. 6.（Ⅰ）解：4,82==p p ，∴抛物线的焦点F 的坐标为)2,0(， 准线l 的方程为2-=x .（Ⅱ）证明：作l AC ⊥于C ，AC FD ⊥于D. 通径82==p H . 则ααααcos ||||,cos ||||,sin 8sin ||22AF AD FP EF H AB ====.∴4cos ||||||||+=+==αAF p AD AC AF .∴αcos 14||-=AF .∴αααα22sin cos 4sin 4cos 14||21||||||||=--=-=-=AB AF AE AF EF ， 从而αα2sin 4cos ||||==EF FP . ∴8sin 2sin 4)2cos 1(||2cos ||||22=⋅=-=-ααααFP FP FP . 故α2cos ||||FP FP -为定值，此定值为8.7. 解：（1）根据题意，点M 与点)2,0(F 的距离与它到直线2:-=y l 的距离相等，∴点M 的轨迹是抛物线，点)2,0(F 是它的焦点，直线2:-=y l 是它的准线.从而22=p，∴4=p . ∴所求的点M 的轨迹方程是y x 82=.（2） 两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点， ∴它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为α， 则直线CD 的倾斜角为α+︒90.y O F xA BDEClαm P BDy抛物线的通径82==p H ，于是有：αααα2222sin 8)90(cos ||,cos 8cos ||=+︒===H CD H AB .∴四边形ACBD 的面积.2sin 128sin 8cos 821||||21222ααα=⋅⋅=⋅=CD AB S 当且仅当α2sin 2取得最大值1时，128min =S ，这时︒=︒=45,902αα.∴四边形ACBD 的最小面积为128.8. 解：（1）在椭圆1522=+y x 中，2,1,522=-===b a c b a ，∴其焦点为)0,2(1-F 、)0,2(2F .在抛物线x y 22-=中，1=p ，∴其准线方程为212==p x . 在双曲线中，21,22==c a c ，∴3,122=-==a c b a . ∴所求的双曲线的方程为1322=-y x .（2） 两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点，∴它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为α，则直线CD 的倾斜角为α+︒90.双曲线的通径622==a b H ，离心率2==a ce . 于是有： αααα222222sin 416)90(cos 1||,cos 416cos 1||-=+︒-=-=-=e H CD e H AB .∴四边形ACBD 的面积.2sin 4318sin 416cos 41621||||21222ααα+-=-⋅-⋅=⋅=CD AB S =18 y2FAO x1l2l B CD当且仅当α2sin 2取得最大值1时，18min =S ，这时︒=︒=45,902αα.∴四边形ACBD 的最小面积为18.。

1. 椭圆l τ + ∑- = i(a>b>O)的参数方程是V Cr Zr 2,2»2准线到中心的距离为L ,焦点到对应准线的距离(焦准距)p =—・通径的一半(焦参数)：丄.C Ca2 22. 椭圆∆τ + l τ = l(rt >∕7>θ)焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积： Cr Zr| PF l | = e(x + —) = a+ ex , ∖PF 21 = e(-— X) = U-ex ↑ S 斗严；=b 2 tan '丫 F22 223.椭圆的的内外部：(1)点PesyO)在椭圆丄v + L = l(α>b>0)的内部O⅛- + ⅛<l. Cr 泸Cr b'2 2 2 2(2)点 P(X o o to)在椭圆上τ +丄r = l(α>b>O)的外部 <≠>⅛ + ⅛>ι.Cr Zr Cr Zr的距离(焦准距)P = — •通径的一半(焦参数)：— C a5. 双曲线的内外部：(1)点P(X o o tO)在双曲线=Cr Ir/2 2 2 2 ⑵点P(X (P y 0)在双曲线一一二~ = l(α > 0,b > 0)的外部o —⅛■-汙V1・Cr IrCr Zr6. 双曲线的方程与渐近线方程的关系：(1)若双曲线方程为二一二=1二>渐近线方程：Δ1-22 = O^> y = ±-χ・α~ Ir Cr 少a-> 2A χ∙ V r β,V*⑵若渐近线方程为y = ±-x<=>-±- = O=>¾曲线可设为r — — = λ・ a a b Cr Zr2 22 2⑶若双曲线与亠一亠=1有公共渐近线，可设为=T 一亠=λCr XCr Ir(λ>0,焦点在X 轴上；九<0,焦点在y 轴上)・ (4)焦点到渐近线的距离总是b ∙7. 抛物线y 2= 2px 的焦半径公式：拋物线y 2=2px(p>0)焦半径ICFI = X O + -^・ 过焦点弦长IcQl = “+上+心+ £ = “+“ + 〃 . 2 2 28. 拋物线y 2 = IPX JL 的动点可设为P(±-,儿)或P(2∕"[2p∕) P(x , V ),其中y 2= 2PX ・2 P '•、 b A ,ac — b~9. 二次函数y = ax 1 +bx + c = a(x + —)2+ ------------- (a ≠ 0)的图象是抛物线：(1 )顶点坐标为Ia 4aZb 4“C — b~ z. .. ... I . . h ^CIC — /?" +1、 Z -S Λ /V ∙ z t , CT^CIC — b~ — 1 ,—:——)：(2)焦点的坐标为,——； ---------------- ):(3)准线万程是y = IABl = 5J(1+^2)(X 2 "ΛI )2 =I 比 _兀21 Vl +tan 2 a =I y l _y 21 √l + c^t 2ay = kx + b . .α(弦端点ACv 1,y 1X B(X^y 2),由方程<消去y 得到αL +bx + c = O 9 Δ>0, α为直线AB 的圆锥曲线X = Cl COS θ 亠 亠 C• 离心率£ =—= y = bs ∖nθ aV»*■ C 4. 双曲线亠一 — = 1(« > 0.Z? > 0)的离心^e =— a ∕Γa • 2ι2 「，准线到中心的距离为∙，焦点到对应准线 焦半径公式\PF }\ =I e(x + —) I=I a + <?xI, ∖PF 2∖ =I e(-^x) I=I a-ex ∖9 C 两焦半径与焦距构成三角形的面积S λj.ιp l .y = b 2 COt 'F'] F .2 22L = l(">0d>0)的内部 o ⅛-4>l. • - Cr Zr2a 4a2a 4a" 4a10. 以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切：以拋物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切; 以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切・11. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：IABI = √(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2或F(x,y) = O倾斜角，&为直线的斜率，I召I= J(XI +心)‘ _4召心・12.圆锥曲线的两类对称问题：(1)曲线F(X,y) = O关于点P(X o,儿)成中心对称的曲线是F(2x0-x t2y0 -y)=0.(2)曲线F(X,y) = 0关于直线Av + Bv + C = O成轴对称的曲线是—2A(Ar + By+ C) 2B(Ax + By + C)x CFa ------ —R——、y --------- -V———)=0・√Γ+歹A" + B'特别地，曲线F(X9 y) = 0关于原点O成中心对称的曲线是F(-x,-y) = 0・曲线F(X9 y) = 0关于直线X轴对称的曲线是F(X^y) = 0.曲线F(X9 y) = 0关于直线y轴对称的曲线是F(-x, y) = 0・曲线F(X9 y) = 0关于直线y = x轴对称的曲线是F{y.x) = 0.曲线F(X,y) = 0关于直线y = -x轴对称的曲线是F(-y,-x) = 0・13 •圆锥曲线的第二定艾：动点M到定点F的距离与到定直线/的距离之比为常数£,若0 VfVl, M的轨迹为椭圆；若e = ∖9 M的轨迹为抛物线；若e>∖9 M的轨迹为双曲线.注意：J还记得圆锥曲线的两种定义吗解有关题是否会联想到这两个定狡2、还记得圆锥曲线方程中的：2(1)在椭圆中：α是长半轴，〃是短半轴，C是半焦距，其中b2 =a2-C29 f = (Ovwvl)是离心率，—a C• 2. 2是准心距，-L是准焦距，-L是半通径.C a2(2)在双曲线中："是实半轴，b是虚半轴，C是半焦距，其中b2 =c2-a29 e = -∖e>l)是离心率，L是a C准心距，伫是准焦距，冬是半通径.C a(3)在抛物线中：0是准焦距，也是半通径.3、在利用圆锥曲线统一定狡解题吋，你是否注意到定艾中的定比的分子分母的顺序(到定点的距离比到定直线的距离)4、离心率的大小与曲线的形状有何关系(圆扁程度，张口大小)等轴双曲线的离心率是多少(0 = √Σ)5、在用圖锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零判别式A 2 0的限制. (求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在Δ >0下进行).注意：尤其在求双曲线与直线的交点时：当A>0时：直线与双曲线有两个交点(包括直线与双曲线一支交于两点和直线与双曲线两支各交于一点两种情况)：当A = O时，直线与双曲线有且只有一个交点(此时称指向与双曲线相切)，反之，当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切，此时直线与双曲线的一条渐近线平行，当AvO时，直线与双曲线没有交点.6、椭圆中，注意焦点.中心.短轴端点所组成的直角三角形•此时Cr =b2+c2・7、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.(想一想在双曲线中的结论)8、你知道椭圆、双曲线标准方程中aj∖c之间关系的差异吗9、如果直线与双曲线的渐近线平行吋，直线与双曲线相交，只有一个交点；如果直线与拋扬线的轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点•此时两个方程联立，消元后为方程变为一次方程.椭圆练习1・过椭圆二+二=1 (a>b>O)的左焦点F I任做一条不与长轴重合的弦AB, F2为椭圆的右焦点，則AABA的周长是/ b^( )(A)2a (B)4a (C)2b (D) 4b2•设a,beR.a2+2b2 =6,则α + b 的最小值是( )(A) - 2√2 (B)-垃(0-3 (D)-2323. 椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )(A)丄 (B)遇 (C)遇 (D)丄或遇2 23 2 24. 设常数m>0,椭圆x 2+m 2y 2=m 2的长轴是短轴的两倍，則m 的值等于( )(A) 2(B) √2(C) 2 或丄 (D) √Σ 或空2 22 25. 过椭圆二+ L = l(°>b> 0)的左焦点片作X 轴的垂线交椭圆于点P,化为右焦点，若ZF i PF. = 60 ,则Cr "椭圆的离心率为()(A)^⑻迟 (C)I(D)I23236. 如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的() (A) 18 倍 (B) 12 倍 (C) 9 倍 (D) 4 倍7. 当关于X, y 的方程X 2Sin^ -y 2COSCr=I 表示的曲线为椭圆时，方程(x+cos α)'+(y+ Sinaf)Jl 所表示的圆的國心在()(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限8. 已知椭圆的焦点为F b F 2,P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 卩到Q,使得I PQ I=I PF 2I,那么动点Q 的轨迹是( )(A)圆 (B)椭圆 (C)直线 (D)其它9. 已知椭圆—÷-= 1与圆(χ-a)⅛Λ=9有公共点，则a 的取值范围是()9 4 (A)-6<a<6(B)0<a≤5(C)a 2<25(D) ∣a∣≤610•设椭圆的两个焦点分别为F-、F 2,过F?作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若AFPFz 为等腰直角三角形，则椭 圆的离心率是()(A)YZ(B)幺二！ (C) 2-√2(D) √2-l2 2SS11. 在椭圆—÷γ-≈ 1上取三点，其横坐标满足X I +×3=2X 2,三点依次与某一焦点连结的线段长为r b r 2, r 3,则有 α∙ b・I I 7()(A) r b r 2, r 3成等差数列 (B)丄+丄=二 (C) r b r 2,r 3^等比数列 (C)以上都不对 12•已知椭圆C ι- + y 2= 1的右焦点为F,右准线为/,点Ae/ ,线段4F 交C 于点B,若FA = 3FB, »■]2伍若椭圆之+「I 的离心率是、则W*16 •椭圆X 2COs 2 α +y 2=1 (0< a <ΛR, a≠ y )的半长轴= ------- ,半短轴= -------- ,半焦距= -------- ,离心率= ----------------- = --------- ,則该椭圆的离心率的取值范围为 ____________________ ・(A) (0.1)(B) (0.1)(0(0,#)(D)哼,1)13.已知片、耳是椭國的两个焦点，满足・"庁=0的点M 总在椭圆内部•则椭圆离心率的取值范围是()14. 一个椭圆中心在原点，焦点斤、C 在X 轴上，P (2, √J)是椭圆上一点，且1卩斤1、1斥巴I 、IP 耳I 成等差数列，則椭圆方程为()(A) ⅞4- ⑻护汀<C) ⅜÷⅞ = ∙ I 丽二()(A) √2 (B) 2 (C)^(D) 317.已知椭圆⅛4= ↑(a>b>O)的左、 右焦点分别为斤(一c,0),耳(c,0), 若椭圆上存在一点P 使Sin PI71F2 Sin PF l F X是椭圆二+ 2_ = i上的一A,F I,F2是椭圆的焦点，且ZF I MF2=9O o,则ZkFNF?的面积等于9 419•与圆(x+1)2+y2=1相外切，且与IS(X-I)2÷y2=9相内切的动圆圆心的轨迹方程是X = 4COSa , …Ir20•设椭圆( L (□为参数)上一点P与X轴正向所成角ZPOx=-, 点P的坐标是y = 2√3 Sin a 321.在平面直角坐标系.9y中，椭E)4÷4 = 1G∕>∕7>O)的焦距为2c,以0为圆心，为半径作圆M ,若过P(Qe) Cr Iy C作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 _________________22•已知直线/ : y=mx+b,椭圆C: (A ^.I)÷y2=1,若对任意实数叫/与C总有公共点，則a, b应满足的条件“是 _________ •23•椭圆F=4cos0 (。

圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。

双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。

抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。

二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。

以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。

双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。

三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。

以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。

双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。

四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。

2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。

(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( ) A.⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3＋t (t 为参数) B.⎩⎨⎧ x ＝1－t ，y ＝5－2t(t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝1－2t (t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t(t 为参数)【解析】 题目所给的直线的斜率为2，选项A 中直线斜率为1，选项D 中直线斜率为12，所以可排除选项A 、D.而选项B 中直线的普通方程为2x －y ＋3＝0，故选C.【答案】 C2．(2013·许昌模拟)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－ty ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线【解析】 ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ， 即x 2＋y 2＝x ，即(x －12)2＋y 2＝14， ∴ρ＝cos θ所表示的图形是圆．由⎩⎨⎧x ＝－1－t y ＝2＋t (t 为参数)消参得：x ＋y ＝1，表示直线． 【答案】 D3．原点到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋4t y ＝－32＋3t (t 为参数)的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 消去t ，得3x －4y －15＝0， ∴原点到直线3x －4y －15＝0的距离 d ＝|3×0－4×0－15|32＋(－4)2＝3.【答案】 C4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝－33＋32t ，(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)【解析】 将x ＝1＋t 2，y ＝－33＋32t 代入圆方程， 得(1＋t 2)2＋(－33＋32t )2＝16， ∴t 2－8t ＋12＝0，则t 1＝2，t 2＝6， 因此AB 的中点M 对应参数t ＝t 1＋t 22＝4， ∴x ＝1＋12×4＝3，y ＝－33＋32×4＝－3， 故AB 中点M 的坐标为(3，－3)． 【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a ，(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．【解析】 直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 【答案】 36．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数，0≤θ≤π2)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t(t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 曲线C 1和C 2的普通方程分别为⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝5x －y ＝1(0≤x ≤5，0≤y ≤5)①②联立①②解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(2,1)． 【答案】 (2,1)三、解答题(每小题10分，共30分)7．化直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋ty ＝1＋3t ，(t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t |的几何意义．【解】 由⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t 消去参数t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0. 故k ＝3＝tan α，即α＝π3.因此直线l 的倾斜角为π3.又⎩⎨⎧x ＋3＝t ，y －1＝3t .得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4t 2， ∴|t |＝(x ＋3)2＋(y －1)22.故|t |是t 对应点M 到定点M 0(－3,1)的向量M 0M →的模的一半．8．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋1，y ＝22t ，(t 为参数)求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长．【解】 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ. ∴直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0， 即(x －2)2＋y 2＝4.直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋1，y ＝22t .(t 为参数)化为普通方程为x －y －1＝0. 曲线C 的圆心(2,0)到直线l 的距离为12＝22， 所以直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长为24－12＝14.9．(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【解】 因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎨⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，(12，－1)．教师备选10．(2012·沈阳模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22ty ＝22t ，(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是ρ＝sin θ1－sin 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点M (－1,0)，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．(1)求直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)线段MA ，MB 长度分别记为|MA |，|MB |，求|MA |·|MB |的值．【解】(1)直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22ty ＝22t，(t 为参数)的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，所以极坐标方程为2ρcos(θ＋π4)＝－1，曲线C ：ρ＝sin θ1－sin 2θ即(ρcos θ)2＝ρsin θ， 所以曲线的普通方程为y ＝x 2. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t y ＝22t，(t 为参数)代入y ＝x 2得t 2－32t ＋2＝0， ∴t 1t 2＝2，∴|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2。

圆锥曲线标准方程
圆锥曲线标准方程是轨迹的方程，也是参数方程的一种；圆锥曲线标准方程的定义和性质是把握圆锥曲线标准方程的两把钥匙。

圆锥曲线的公式主要有以下：
1、椭圆：焦半径：a+ex（左焦点），a-ex（右焦点），x=a²/c
2、
2、双曲线：焦半径：|a+ex|（左焦点）|a-ex|（右焦点），准线x=a²/c
3、抛物线（y²=2px）等。

扩展资料：
圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。

圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。

圆锥曲线的参数方程一、教学目的1:了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义2：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程二、知识点整理圆锥曲线包括椭圆,双曲线，抛物线。

其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线;当e>1时为双曲线。

1）椭圆文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。

定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。

标准方程:1。

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：（2x/2a)+（2y/2b）=1其中a〉b>0，c〉0，2c=2a—2b。

2.中心在原点,焦点在y轴上的椭圆标准方程：(2x/2b）+（2y/2a)=1其中a>b〉0，c〉0，2c=2a—2b.参数方程:X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0,圆的acosθ=r）2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。

定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。

标准方程：1。

中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：（2x/2a）-（2y/2b）=1 其中a>0，b>0, 2c=2a+2b.2。

中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：（2y/2a)—( 2x/2b）=1.其中a〉0，b〉0，2c=2a+2b.参数方程：x=asecθ y=btanθ （θ为参数）3)抛物线标准方程：1.顶点在原点，焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：2y=2px 其中 p〉02。

顶点在原点，焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：2y=-2px 其中 p〉03.顶点在原点，焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：2x=2py 其中 p〉04。

2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A 版选修4-41．椭圆的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t ∈R ，t 为参数)．(2)参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？【提示】 椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．2．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？【提示】 sec φ＝1cos φ，其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠32π.3．类比y 2＝2px (p >0)，你能得到x 2＝2py (p >0)的参数方程吗？【提示】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2.(p >0，t 为参数，t ∈R )椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎨⎧cos θ＝x 5，sin θ＝y 3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0)．椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a 、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，化为⎩⎨⎧x3＝cos θ，y5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4)与F 2(0,4)．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t ，(t 为参数)，曲线C 2：x 264＋y 29＝1.(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x －2y －7＝0距离的最小值．【思路探究】 (1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M 的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．【自主解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3. ∴曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆．曲线C 2：x 264＋y 29＝1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)(2)依题设，当t ＝π2时，P (－4,4)；且Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．又C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，(其中φ由sin φ＝35，cos φ＝45确定)cos(θ＋φ)＝1，d 取得最小值855.1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M 的轨迹上的点到直线C 3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值．(xx·开封质检)已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值．【解】 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0,2π)． 又直线l ：x ＋2y ＝0.因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22|sin θ＋π4|5.所以，当sin(θ＋π4)＝1，即θ＝π4时，d 取得最大值2105.双曲线参数方程的应用 求证：双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b 2sec 2 φ－tan 2 φ|a 2＋b 2＝a 2b 2a 2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2 φ－tan 2 φ＝1的应用．如图2－2－1，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.图2－2－1【证明】 设P (sec φ，tan φ)，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1，|PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1， |PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1. ∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程．【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)，当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t (x －p2)，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎨⎧y ＝1txy ＝－2t x －p2确定， 两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x (x －p2)，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)．当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1．抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．(xx·天津高考)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E (－p 2，±6p )，F (p 2，0)，所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．【答案】 2(教材第34页习题2.2，第5题)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上任意一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别与x轴交于P 、Q 两点，O 为椭圆的中心．求证：|OP |·|OQ |为定值．(xx·徐州模拟)如图2－2－2，已知椭圆x24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点．图2－2－2求证：|OP |·|OQ |为定值． 【命题意图】 本题主要考查椭圆的参数方程的简单应用，考查学生推理与数学计算能力．【证明】 设M (2cos φ，sin φ)(φ为参数)， B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝|2cos φ1＋sin φ|.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝|2cos φ1－sin φ|.∴|OP |·|OQ |＝|2cos φ1＋sin φ|·|2cos φ1－sin φ|＝4.因此|OP |·|OQ |＝4(定值).1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1C ．y 2＋x 24＝1D ．y 2＋x24＝1【解析】 易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y24＝1，故选A.【答案】 A2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ，(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分【解析】 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax，代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】 D3．(xx·陕西高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0)4．(xx·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________. 【解析】 将曲线C 1与C 2的方程化为普通方程求解．∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将(32，0)代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1.又a >0，∴a＝32. 【答案】32(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝5sin φ，(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】 由题设，得x 29＋y 25＝1，∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，因此e ＝c a ＝23.【答案】 A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2y ＝2＋sin α，(α为参数)的普通方程是( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3)D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)【解析】 因为x 2＝1＋sin α，所以sin α＝x 2－1. 又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)， 所以y 2－x 2＝1.∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤ 3.∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]． 【答案】 C3．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B4．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ，(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点的坐标是( ) A ．(3,4) B ．(322，22) C ．(－3，－4) D ．(125，125) 【解析】 由题意知，3cos θ＝4sin θ， ∴tan θ＝34，又0≤θ≤π，则sin θ＝35，cos θ＝45，∴x ＝3×cos θ＝3×45＝125， y ＝4sin θ＝4×35＝125， 因此点P 的坐标为(125，125)． 【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos t y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】 由⎩⎨⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝2 3. 得点M 的坐标为(1,23)．直线OM 的斜率k ＝231＝2 3. 【答案】 236．(xx·江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝0三、解答题(每小题10分，共30分)7．(xx·平顶山质检)如图2－2－3所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图2－2－3【解】 抛物线标准方程为x 2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝2t 2.得M (2t,2t 2)．设P (x ，y )，则M 是OP 中点．∴⎩⎨⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t 2(t 为参数)， 消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．8．(xx·龙岩模拟)已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：x ＋y －1＝0，①x 24＋y 2＝1，② ①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85. 设直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，(85，－35)，则|AB |＝－35－12＋852＝825. 故所求的弦长为825. 9．(xx·漯河调研)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos αy ＝sin α (α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P (4，π2)化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2. 教师备选10．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P (0，32)到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．【解】 设椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ，其中，a >b >0,0≤θ<2π. 由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－(b a )2可得b a ＝1－e 2＝12即a ＝2b . 设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2cos 2θ＋(b sin θ－32)2 ＝a 2－(a 2－b 2)sin 2θ－3b sin θ＋94＝4b 2－3b 2sin 2θ－3b sin θ＋94＝－3b 2(sin θ＋12b)2＋4b 2＋3， 如果12b >1即b <12，即当sin θ＝－1时，d 2有最大值，由题设得(7)2＝(b ＋32)2，由此得b ＝7－32>12，与b <12矛盾． 因此必有12b≤1成立， 于是当sin θ＝－12b时，d 2有最大值， 由题设得(7)2＝4b 2＋3，由此可得b ＝1，a ＝2.所求椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.由sin θ＝－12，cos θ＝±32可得，椭圆上的点(－3，－12)，点(3，－12)到点P 的距离都是7..。

圆锥曲线的参数方程练习题(带答案)1.若点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线y^2=4x上，则PF 等于多少？解析：抛物线的准线为x=-1，焦点为F(-1,0)，参数方程为x=4t^2，y=4t。

因此PF为P到准线x=-1的距离，即PF=|3+1|=4.所以选C。

2.参数方程{x=sinθ+cosθ，y=1+sin^2θ}所表示的曲线是什么？解析：将参数方程化为普通方程，得x^2=y(0≤y≤2)，表示抛物线的一部分。

所以选B。

3.椭圆{x=5cosφ，y=3sinφ}的焦点坐标是什么？解析：椭圆的普通方程为x^2/25+y^2/9=1，因此c=sqrt(25-9)=4.又因为椭圆焦点在x轴上，所以焦点坐标为(±4,0)。

所以选B。

4.已知过曲线{x=3cosθ，y=4sinθ}上一点P和原点O的连线PO的倾斜角为π/4，则P点的坐标是什么？解析：直线PO的方程为y=x，又点P为曲线{x=3cosθ，y=4sinθ}上一点，因此3cosθ=4sinθ，即tanθ=3/4.因为倾斜角为π/4，所以θ∈[0,π/4]。

解得sinθ=3/5，cosθ=4/5.因此P点的坐标为(3,4/5×3)= (3,12/5)。

所以选D。

5.已知O为原点，P为椭圆{x=4cosα，y=2/3sinα}上第一象限内一点，OP的倾斜角为π/3，则点P坐标为什么？解析：椭圆的普通方程为16cos^2α/16+9sin^2α/4=1，即cos^2α/4+sin^2α/16=1.直线OP的斜率为tan(π/3)=sqrt(3)，因此OP的方程为y=sqrt(3)x。

联立解得x=4/5，y=4sqrt(3)/15.因此点P的坐标为(4cosα,2/3sinα)=(4×4/5,2/3×4sqrt(3)/5)=(16/5,4sqrt(3)/5)。

所以选D。

1）椭圆参数方程：X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数 )直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 2）双曲线参数方程：x=X+asecθ y=Y+btanθ (θ为参数 )直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴） y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）3）抛物线参数方程：x=2pt^2 y=2pt (t为参数)直角坐标：y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ）x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。

焦点到最近的准线的距离等于ex±a。

圆锥曲线的焦半径（焦点在x轴上，F1 F2为左右焦点，P（x，y），长半轴长为a）椭圆：椭圆上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径。

|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex双曲线：P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-exP在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+exP在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-eyP在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey圆锥曲线的切线方程：圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y^2即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;双曲线：x0x/a^2+y0y/b^2=1；抛物线:y0y=p(x0+x)圆锥曲线中求点的轨迹方程。

平面解析几何中的圆锥曲线与参数方程圆锥曲线是平面解析几何中非常重要的一类曲线，由参数方程描述。

本文将介绍圆锥曲线的定义、常见类型以及参数方程的应用。

一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面上由一个动点P到两个定点F1和F2的距离之和恒定的点的轨迹。

这个恒定的距离称为焦距，定点F1和F2称为焦点，直线F1F2称为焦点连线，称为焦线。

圆、椭圆、双曲线和抛物线是四类常见的圆锥曲线。

二、圆圆是一种特殊的圆锥曲线，它的焦点和焦线重合。

圆的参数方程为：x = a*cosθ, y = a*sinθ，其中a为半径。

三、椭圆椭圆是一类圆锥曲线，它的焦点到任意一点的距离之和恒定。

椭圆可以通过参数方程来描述，参数方程为：x = a*cosθ, y = b*sinθ，其中a 和b分别为椭圆的长半轴和短半轴的长度。

四、双曲线双曲线是一类圆锥曲线，它的焦点到任意一点的距离之差恒定。

双曲线的参数方程有两种形式：x = a*secθ, y = b*tanθ和x = a*coshθ, y =b*sinhθ。

五、抛物线抛物线是一类圆锥曲线，它的焦点到任意一点的距离等于焦点到该点的垂直距离的平方。

抛物线的参数方程为：x = a*t, y = b*t^2，其中a 和b分别为抛物线的形状参数。

六、参数方程在圆锥曲线中的应用参数方程在解析几何中有广泛的应用，特别是在描述曲线的轨迹时非常有用。

在圆锥曲线中，参数方程可以帮助我们精确描述曲线的形状和位置。

通过改变参数a和b的值，我们可以获得不同形状和大小的圆锥曲线。

例如，改变参数a可以使椭圆的长半轴变长或变短，改变参数b可以使椭圆的短半轴变长或变短。

参数方程的灵活性使得我们能够根据需要绘制各种各样的曲线。

此外，参数方程还可以用来求解圆锥曲线上的点的坐标。

给定一个参数值，我们可以通过代入参数方程中求出对应的点的坐标。

这在计算机图形学和物理学等领域有着广泛的应用。

结束语圆锥曲线与参数方程是平面解析几何中的重要内容，了解它们的定义和应用对于深入理解曲线的性质和特征具有重要意义。

备战2022届高考三轮解答题系列 --------极坐标与参数方程（2）题型解法篇（3）圆锥曲线的参数方程的应用题型一、圆的参数方程的应用【罗师导航】圆的参数方程可理解成动点坐标【例1-1】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为11232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22sin 44πρρθ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点.(1)求AB 的值；(2)若点P 是曲线C 上不同于A ，B 的动点，求PAB △面积的最大值. 【答案】133913【解析】（1）242sin 44πρρθ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭可化为：24sin 4cos 4ρρθρθ=+-，将cos sinx y代入，得曲线C 的直角坐标方程为：224440x x y y -+-+=.将直线l 的参数方程为11232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入化简可得：230t t --=，设点A ，B 所对应的参数方程分别为1t ，2t ，满足0∆>，由12121,3,t t t t +=⎧⎨⋅=-⎩由直线参数的几何意义得，()2121212t 414313AB t t t t t =-=+-=+⨯=(2)将直线l 3230x y -+ ， 设()22cos ,22sin P θθ++，得点P 到直线AB 的距离为：()()322cos 22sin 23323cos 2sin d θθθθ+-++-+-34sin 334d πθ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭由（1）知13AB =d 取最大值时，1343913132PAB S +=△，所以PAB △3913【能力达标检测】【1-1】 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线l 的参数方程为{x =5−√32t y =−√3+12t （t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρ=4cos (θ−π3)．(1)求直线l 的倾斜角和圆C 的直角坐标方程； (2)若点P(x, y)在圆C 上，求x +√3y 的取值范围．【解析】(1)由直线l 的参数方程为{x =5−√32t y =−√3+12t（t 为参数），可得直线l 的直角坐标方程为y +√3=−√33(x −5)，即x +√3y −2=0，则直线l 过(5, −√3)，且倾斜角为5π6.由ρ=4cos (θ−π3)，可得ρ=2cos θ+2√3sin θ，两边同时乘以ρ，得ρ2=2ρcos θ+2√3ρsin θ，即(x −1)2+(y −√3)2=4.(2)由(1)可得，圆的参数方程为{x =1+2cos θ，y =√3+2sin θ，则x +√3y =2√3sin θ+2cos θ+4=4sin (θ+π6)+4，又−1≤sin (θ+π6)≤1，所以0≤x +√3y ≤8，即x +√3y ∈[0,8]．【1-2】以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ=2√2sin (θ+π4)．（1）在直角坐标系xOy 中，求曲线C 的参数方程；（2）在直角坐标系xOy 中，已知A(−1,0)，B(0,1)，P 为曲线C 上任意一点，求AP →⋅BP →的取值范围． 【答案】解：（1）已知ρ2=2√2ρsin (θ+π4)=2ρsin θ+2ρcos θ， 由{x =ρcos θy =ρsin θ，得x 2+y 2=2y +2x ，即(x −1)2+(y −1)2=2，所以参数方程为{x =1+√2cos αy =1+√2sin α，（α为参数）．（2）AP →⋅BP →=4+3√2cos α+√2sin α=4+2√5sin (α+φ)，其中tan φ=3， 所以AP →⋅BP →的取值范围是[4−2√5,4+2√5]．题型二、椭圆的参数方程的应用【罗师导航】椭圆的参数方程可理解成动点坐标【例2-1】（点到线的距离）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为x 212+y 24=1，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为√2ρcos (θ−π4)=a (a >0). (1)求直线l 的直角坐标方程；(2)已知P 是曲线C 上的一动点，过点P 作直线l 1交直线l 于点A ，且直线l 1与直线l 的夹角为45∘，若|PA|的最大值为6，求a 的值．【解析】(1)由√2ρcos (θ−π4)=a ，得√2ρ(cos θcos π4+sin θsin π4)=a ，∴ρcos θ+ρsin θ=a ， ∵x =ρcos θ，y =ρsin θ，∴直线l 的直角坐标方程为x +y =a ，即x +y −a =0．(2)依题意可知曲线C 的参数方程为：{x =2√3cos α,y =2sin α（α为参数），设P(2√3cos α,2sin α)，则点P 到直线l 的距离为：d =|2√3cos α+2sin α−a|√2=|4(√32cos α+12sin α)−a|√2=|4sin (α+π3)−a|√2．∵a >0，∴当sin (α+π3)=−1时，d max =√2．依题意得|PA |=√2d ，∴|PA |的最大值为√2d max =6，即√2×√2=6．∵a >0，∴解得a =2．【例2-2】（普通方程坐标表达式）已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1{23x t y t=+= (t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换{ 12x xy y='='后得到曲线C '，设(),M x y 为C '上任意一点，求2232x xy y -+的最小值，并求相应的点M 的坐标.【答案】（1）224x y +=，直线L 3320x y -= （2）1.312M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或312M ⎛-- ⎝⎭， 解析：（1）2ρ=，故圆C 的方程为224x y+=.直线l 的参数方程为1{23x t y t=+=， ∴直线l 方程3320x y --=.（2）由{ 12x xy y='='和224x y +=得C '：2214x y +=.设点M 为2{ x cos y sin θθ==，则223232cos 23x xy y πθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，所以当31M ⎛ ⎝⎭，或31M ⎛- ⎝⎭时，原式的最小值为1.【能力达标检测】【2-1】在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为102x ty t=⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223645cos ρθ=+． （1）求直线l 的普通方程以及曲线C 的参数方程；（2）过曲线C 上任意一点M 作与直线l 的夹角为60︒的直线，交l 于点N ，求MN 的最小值． 【答案】（1）210x y +-=0，2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；（2215【详解】（1）将直线l 的参数方程消去参数t ，可得直线l 的普通方程为210x y +-=0．将222p x y =+，cos x ρθ=代入曲线C 的极坐标方程，可得曲线C 的直角坐标方程为229436x y +=，即22149x y +=故曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）（2）设()2cos ,3sin M ϕϕ，则M 到l 的距离55d ==，其中tan 43r =．如图，过点M 作MP l ⊥于点P ，则d MP =，则在Rt MNP △中，3sin602||dMN ︒==．当()sin 1r ϕ+=时，d 5故MN 5215=【2-2】在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为2cos (3x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 4ρθρθ+=. (1)求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与坐标轴交于,A B 两点，点P 在椭圆C 上运动，求PAB △面积的最大值.【答案】(1)22143x y +=；24x y +=.(2)8.【解析】曲线C 的参数方程为2cos (3x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)， 消去参数，可得曲线C 普通方程为22143x y +=，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 4ρθρθ+=，根据极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ，可得直线l 的直角坐标方程为24x y +=.(2)由直线l 的方程为24x y +=，当0x =时，2y =；当0y =时，4x =，即(0,2),(4,0)A B ,所以222(4)25AB =+-=(2cos 3)P αα，利用点P 到直线l 的距离为222cos 23sin 44cos()4512d αααθ+---==+当cos()1αθ-=-时，max 5d =所以PAB △面积的最大值为max 11258225PABS AB d =⨯⋅=⨯=.【2-3】已知曲线C 的极坐标方程为ρ2=364cos 2θ+9sin 2θ，（1）若以极点为原点，极轴所在的直线为x 轴，求曲线C 的直角坐标方程； （2）若P(x, y)是曲线C 上的一个动点，求3x +4y 的最大值． 解：（1）曲线C 的极坐标方程为ρ2=364cos 2θ+9sin 2θ，x 29+y 24=1；（2）设P(3cos θ, 2sin θ)，则3x +4y =9cos θ+8sin θ=√145sin (θ+φ) 当sin (θ+φ)=1时，3x +4y 的最大值为√145【2-4】已知直线l 的参数方程为2222x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上． （1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB ⋅的值；（2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值． 【答案】（1）2；（2）16.试题解析:（1）已知曲线C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为()22,0-，则22m =-l 的参数方程2222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪⎪⎩与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t --=，则122FA FB t t ⋅==.（2）由曲线C 的方程为221124x y +=，可设曲线C 上的动点()23,2sin P θθ，则以P 为顶点的内接矩形周长为()4232sin 16sin 032ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⨯+=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因此该内接矩形周长的最大值为16. 【2-5】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的方程为213sin ρθ=+.（1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程；（2）若()00,B x y 为曲线2C 上的任意一点，求00232x y --的最小值.【答案】（1）1C ：2320x y --=，2C ：2214x y +=；（22. 【详解】（1）消去参数t 得1C ：2320x y --=，因为213sin ρθ=+，所以22413sin ρθ=+.所以2223sin =4ρρθ+.所以2C ：2214x y +=.（3）设()2cos ,sin B θθ，则0022322cos sin 32x y θθ=----=22324πθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（4）当且仅当24k πθπ=-（k Z ∈）时，002322x y --= 【2-6】已知曲线C 1的方程为x 210+y 26=1，曲线C 2的参数方程为{x =12t,y =−8−√32t,(t 为参数)． 求C 1的参数方程和C 2的普通方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ|的最小值． 解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =√10cos θ,y =√6sin θ,(θ为参数).由曲线C 2的参数方程为{x =12t,y =−8−√32t,(t 为参数)，得−√3x =y +8，即曲线C 2的普通方程为√3x +y +8=0．(2)设P(√10cos θ,√6sin θ)，点P 到直线C 2的距离为d ，则|PQ|的最小值即为d 的最小值， 因为d =|√30cos θ+√6sin θ+8|2=|3sin (θ+φ)+4|，其中tan φ=√5，当sin (θ+φ)=−1时，d 的最小值为1，所以|PQ|的最小值为1．【2-7】在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为2x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是1ρ=.（1）求直线l 与圆C 的公共点个数；（2）在平面直角坐标系中，圆C 经过伸缩变换2x xy y=⎧⎨=''⎩得到曲线C '，设(),M x y 为曲线C '上一点，求224x xy y ++的最大值，并求相应点M 的坐标.【答案】（1）1；（2）5，222⎛⎝或2,22⎛- ⎝. 【详解】（1）直线l 的参数方程2x ty t⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）化为普通方程是20x y --=，圆C 的极坐标方程1ρ=化为直角坐标方程是221x y +=；∵圆心()0,0到直线l 的距离为()22002111d --==+-，等于圆的半径r ，∴直线l 与圆C 的公共点的个数是1；（2）圆C 的参数方程是cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，()02θπ≤<；∴曲线C '的参数方程是cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，()02θπ≤<；∴222244cos cos 2sin 4sin 4sin 2x xy y θθθθθ++=+⋅+=+；当4πθ=或54πθ=时，224x xy y ++取得最大值5，此时M 的坐标为222⎛ ⎝或222⎛- ⎝. 【2-8】平面直角坐标系中, 已知曲线221:1C x y +=,将曲线1C 上所有点横坐标, 纵坐标分别伸长为原来23, 得到曲线2C . （1）试写出曲线2C 参数方程；（2）在曲线2C 上求点P ,使得点P 到直线:50l x y +-=的距离最大, 并求距离最大值.【答案】（1）2(3x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）.（2）max 510d =P 点的坐标为2535⎛ ⎝⎭. 试题解析：（1）曲线1C 的参数方程为cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）, 由'2'3x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得'2'3x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩,2C ∴的参数方程为2(3x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）. （2）由（1） 得点()2cos ,3sin Pθθ,点P 到直线l 的距离()max 2cos 3sin 455cos 45255510tan 2232d d θθθϕϕ+---==,此时P 点的坐标为2535⎛ ⎝⎭.题型三、双曲线的参数方程的应用【罗师导航】双曲线的参数方程可理解成动点坐标【例3-1】曲线C ：{x =12(t +1t )，y =12(t −1t ) （t 为参数且t ∈R ），直线l 的极坐标方程为tan θ=2(ρ∈R ). (1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；(2)若P 为曲线C 上一点，求P 到直线l 距离的最小值．解：(1)由x =12(t +1t )，y =12(t −1t )，两边平方作差得：x 2−y 2=1； 由tan θ=yx ，且tan θ=2，得y =2x ．所以曲线C 的直角坐标方程为x 2−y 2=1，直线l 的直角坐标方程为y =2x ． (2)设P (12(t +1t ),12(t −1t ))，由点到直线的距离公式可知：d(P,l)=|t+1t −12(t−1t)|√5=|12t+32t|√5≥√3√5=√155，当且仅当t =±√3，取等号,所以P 到直线l 距离的最小值为√155.【能力达标检测】【3-1】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程e e ,e e ,t t t t x y --⎧=+⎨=-⎩（t 为参数），在以原点О为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3sin 5cos 26ρθθ-=． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值．【答案】(1)224(2)x y x -=≥；53260x y -+=34【解析】(1)由e e ,e e ,t t t t x y --⎧=+⎨=-⎩得222222e e 2,e e 2,t t t tx y --⎧=++⎨=+-⎩消去参数t 得224x y -=， 又e e 2t t x -=+≥，所以曲线C 的普通方程为224(2)x y x -=≥． 由(3sin 5cos )26ρθθ-=得5cos 3sin 260ρθρθ-+=， 所以直线l 的直角坐标方程为53260x y -+=．(2)设点P 的坐标为(e e ,e e )t t t t --+-，则点P 到直线l 的距离为2222e 8e 2634343453t tt t t t t t d ----⋅+==+当2e 8e t t -=，即e 2t =，ln 2t =，可以取到上述“=”，此时点P 为53,22⎛⎫⎪⎝⎭．所以曲线C 上的点到直线l 34【3-2】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+t,y =1+2t （t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =√3cos θ,y =√3tan θ（θ为参数，且θ∈(π2,3π2)).(1)求曲线C 1和C 2的普通方程；(2)若A ，B 分别为曲线C 1,C 2上的动点，求|AB|的最小值．解：(1)因为曲线C 1的参数方程为{x =3+t,y =1+2t （t 为参数），消去参数t ，得2x −y −5=0.所以曲线C 1的方程为2x −y −5=0.因为曲线C 2的参数方程为{x =√3cos θ,y =√3tan θ（θ为参数，且θ∈(π2,3π2)),则由x =√3cos θ，得cos θ=√3x，代入y =√3tan θ得，sin θ=yx .消去参数θ，得x 2−y 2=3.因为θ∈(π2,3π2)，所以x <0,所以曲线C 2的方程为x 2−y 2=3(x <0).(2)因为点A ，B 分别为曲线C 1,C 2上的动点，设直线2x −y +b =0与曲线C 2相切，由{2x −y +b =0,x 2−y 2=3消去y 得3x 2+4bx +b 2+3=0，所以Δ=(4b )2−4×3×(b 2+3)=0，解得b =±3.因为x <0，所以b =3.因为直线2x −y −5=0与2x −y +3=0间的距离为：d =√22+(−1)2=8√55.所以AB 的最小值8√55.题型四、抛物线的参数方程的应用【罗师导航】抛物线的参数方程可化为斜率【例4-1】在平面真角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin cos a ρθθ=+．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于M ，N 两点，直线OM 和ON 的斜率分别为1k 和2k ，求12k k +的值． 【答案】（1）sin cos 2a ρθρθ+=，20ax y +-=；（2）1解：（1）由222x t y t ⎧=⎨=⎩，（t 为参数），消去参数t ，得22y x =，即1C 的普通方程为22y x =，由2sin cos a ρθθ=+，得()sin cos 2a ρθθ+=，即sin cos 2a ρθρθ+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入，得20ax y +-=，即2C 的直角坐标方程为20ax y +-=．（2）由222x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），得()10y x x t =≠，则1t 的几何意义是抛物线22y x =上的点（原点除外）与原点连线的斜率．由题意知0a ≠，将222x t y t⎧=⎨=⎩，（t 为参数）代入20ax y +-=，得210at t +-=．由0a ≠，且140a ∆=+>得14a >-，且0a ≠．设M ，N 对应的参数分别为1t 、2t ，则121t t a +=-，121t t a =-，所以12121212111t t k k t t t t ++=+==． 【能力达标检测】【4-1】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin cos m ρθθ=+.（Ⅰ）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若1C 与2C 交于P ，Q 两点，求11OQOP k k +的值. 【答案】（Ⅰ）1C 的普通方程为214x y =；2C 的直角坐标方程20x mx +-=；（Ⅱ）18. 【详解】（1）由24x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），消去参数t ，得214x y =，即1C 的普通方程为214x y =.由2sin cos m ρθθ=+，得sin cos 2m ρθρθ+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得20my x +-=，即2C 的直角坐标方程20my x +-=.（2）由24x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），可得4y t x =（0x ≠），故4t 的几何意义是抛物线214x y =上的点（原点除外）与原点连线的斜率.由题意知，当0m =时，2:2C x =，则1C 与2C 只有一个交点()216,不符合题意，故0m ≠.把24x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数）代入20x my +-=，得2420mt t +-=，设此方程的两根分别为1t ，2t ， 由韦达定理可得，1214t t m +=-，1212t t m=-，所以12121211111141444842OP OQ t t m k k t t t t m -++=+===⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭.【4-2】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,x u y u =⎧⎨=⎩（u 为参数）；以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πsin 03a a ρθ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭．（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，k ，求证：12k k k +=． 【答案】（1）直线l 320x y a -+=，曲线C 的直角坐标方程为2x y =；（2）证明见解析．【分析】（1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入πsin 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭中，可得直线l 的直角坐标方程，消参可得曲线C 的直角坐标方程．（2）将曲线C 的参数方程2,x u y u=⎧⎨=⎩代入直线l 320x y a -+=，得2320u u a -=．由一元二次方程的根与系数的关系和参数的意义可得证．【详解】（1）解：由πsin 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得13sin cos 2a ρθρθ⋅-=，则直线l 320x y a -+=；曲线C 的直角坐标方程为2x y =．（2）证明：将2,x u y u=⎧⎨=⎩320x y a -+=，得2320u u a -=．由直线l 和曲线C 交于A 、B 两点且0a >，得380a ∆=+>； 设方程2320u u a -=的两根分别为1u ，2u ，则123u u += 而yu x=表示曲线C 上的点(),x y 与原点O 连线的斜率，所以11k u =，22k u =， 所以12123k k u u +=+=l 的斜率为3k =12k k k +=．。