数学分析第三版第一章第一节

数学分析第一章实数和数列极限《数学分析》又名《微积分》。

（其实我们讲的《数学分析》内容要比通常的《微积分》内容多）主要内容：微分学；积分学；微分与积分的关系。

学习研究微积分的重要基本工具是极限理论（又称无穷小分析），极限理论包括实数理论，数列极限，函数极限，数项级数和函数项级数等。

极限运算其实是一种无穷次运算，这就是区别于有限次运算（只是量变）的代数学几何学的标志。

极限理论是分析学科的灵魂，在分析学中无处不在。

（就如武术中的太极和八卦，在武术中无处不在，起到至高无上的作用。

）极限的无限次运算作用，就是哲学上量变（无限累加）到质变的飞跃。

极限理论的思想方法技巧（又称无穷小分析）不仅是《数学分析》主要工具，也是后继的分析学科（常微分方程，偏微分方程，实分析，复变函数，复分析，Fourier分析，调和分析，逼近理论，实变函数，泛函分析，测度论，概率论等）发展的主要工具，深刻的理论和结论，都要靠极限理论来发掘完成。

极限又有数列的极限（级数）和函数的极限等（既有区别又有联系）。

《数学分析》的基础是建立在实数理论之上，实数是《数学分析》的工作空间，实数理论和极限理论是数学严密严格化的标志（这样才能保证不出错误，否则就会混乱不清，甚至出错。

）实数理论的深刻认识的建立靠的是极限理论。

因此我们得从实数理论和数列的极限理论谈起。

第一节 实数与数轴1 实数的再认识数系的发展自然数： ,,,3,2,1,0n ；分数：q p ，（q p ,为自然数，且0≠q ），负整数： ,,,3,2,1n ----； 负分数：q p -，（q p ,为自然数，且0≠q ）整数： ,,,3,2,1,0n ， ,,,3,2,1n ---- ；有理数：q p ，（q p ,为整数，且0 q ）； （整数和分数统称有理数； 或有理数就是分数，或整数； 或整数，有限小数，无限循环的小数通称有理数。

）在有理数中可引入：加法运算，减法运算，乘法运算，除法运算（除数不能是0）；有理数经过加、减、乘、除（除数不能是0）四则运算之后仍为有理数。

S的最小的上界 称作 的上确界 的最小的上界,称作 的上确界. 的最小的上界 称作S的上确界 满足： 定义2 定义 设S是R中的一个数集 若数 η 满足： 是 中的一个数集 (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ η , η 即是 的上界； 即是S的上界 的上界； (ii) 对任何 α < η , 存在x0 ∈ S , 使得 x0 > α , 即 则称数
事实上，对任何正数 无论多么大 无论多么大)， 事实上，对任何正数M(无论多么大 ，取 则 n0 ∈ N + , 且 n0
n0 = [ M ] + 1, ([ M ]表示对M 取整)
问题: 问题 设 S
有无上界; 有无上界 = [0,1]. (1) S有无上界 (2) S若有上界 有几个上界 若有上界,有几个上界 若有上界 有几个上界; (3) S有无最小的上界 有无最小的上界. 有无最小的上界
数集.确界原理 §2数集 确界原理 数集 一 区间与邻域 为开区间， 设 a, b ∈ R, 且 a < b. 称数集 {x | a < x < b} 为开区间，记作 ( a, b) 称为闭区间，记作 数集 称为闭区间，
{x | a ≤ x ≤ b}
(a, b)
数集
{x | a ≤ x < b} [a, b) 都称为半开半闭区间， 都称为半开半闭区间，分别记作 ( a, b] { x | a < x ≤ b} b
例2 设
满足： 定义2 定义 设S是R中的一个数集 若数η 满足： 是 中的一个数集 (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ η , η 即是 的上界； 即是S的上界 的上界； η 又是 的最小上界， 的最小上界 (ii) 对任何 α < η , 存在x ∈ S , 使得 x0 > α ,即 又是S的最小上界， 则称数 证明: S = [0,1]. 证明 sup S = 1. 的上界； 的上界 证: (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ 1, η = 1 是S的上界； (ii) 对任何 α < 1, 取 x0 = 1 ∈ S , 则有 x0 > α , 故 sup S = 1. 例2 设 证明: = [0,1).证明: sup S = 1. 的上界； 的上界 证: (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ 1, η = 1 是S的上界； 则有任取 x0 ∈ S , (ii) 对任何 α < 1. 若 α < 0, 1+ α , 有 α < x0 . 有 α < x0 . 若 0 ≤ α < 1, 取 x0 = 2 sup S = 1. 例3 设 S 所以

第沖实数集与函敷 (1)第一节实数 (2)第二节效集僅界原理 (7)第三节fiftO (10)第四节具有某些特性的阪数 (17)总练习題答案 (22)第二章财极限 (26)第一节数列极限徵公 (27)第二节收敛数列的性质 (33)第三节数刘极限存在的条件 (39)总终习願唇* (44)第三章甬数极限 ........................................... ：・ .. (49)第一节面数极限低念 (50)第二节函数极限的性质 (55)第三节函数极限存在的条件 (60)第四节两个重要的极限 (64)第五卡无穷小董与无穷大R (69)总竦习題答案 (74)第酵献的连鸵 (79)第一节连续性豪念 (80)第二节连縊船性质 (86)第三节初等甬数的连线性 ............ : . (93)总绦习題菩案 (95)第五章导数和微分 (99)第一节导数的柢念 (100)第二节求导法H (107)一-唏三节滲变静数的导数 (114)第四节酗导数 ...................................................... ・“・117第五节» 分 (123)总练习题答案 (127)第六章微分中龊理及其觎 (130)第一节拉格朗日定理m的单调性 .......................................... BI第二节柯西中值定理和不定式极限 (140)s s223背F玄山鳥谡央」 225濟山M耳曲漱丰229s233s•册曲M#J r(涯) 242s s s殆2…••：254盂雷養監258259s^ss s s264誥**B i盂盅査穿268普令鉴雷畫抽273s 277•1s s§282T M283漓I*s s285s292s298誥H 書養 H93156羽W H阿涔30矗M g渐 -63S 169•s s ^§175176矗蛙益兽 -82节*笛料莽霞專常雷 183删I I*188 •ss ^l 189194孟盂睪 196节H 盂睾期盥聲睾賈 197n*W蛰®盥盂睾琳22金：2一22一8尹M册曲R222第一章实数集与函数本章大纲要求1 •掌握实数的概念及其性质2 •理解数集与邻域的概念，掌握有界集及确界的定义和确界原理3 •理解函数的概念，掌握函数的表示法及其有界性、单调性、周期性和奇偶性4 •掌握基本初等函数的性质和图形，理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念实数及其性质 买外绝对值与不等式有界性 单调性奇函数和偶函数 ［周期函数本章知识结构实数、数集与确界原理j 数集与确界原現 实 数 集 写 函 数［区间与邻域的概念与性质 （有界集确界原理〈确界、确界原理函数的定义及表示法函数的四则运算 函数概念复合函数反函数 初等函数数学分析同步捕导（上册）第一节实数一.基本内容SU — 2二、重点难点第一节实数及绝对值的相关概念及性质我们在屮学阶段均已接触过，只是那时尚未对一些性质做进一步讨论，如实数的阿基米德性及稠密性等，在本节的学习中我们应着重注意对学过的知识的系统归纳和总结，从更新的高度理解实数.三、典型例题分析例1.证明:对任意x e R,存在唯一的整数，记为［幻•使得［门<J<M+ I.这里称［刃为工的整数部分.证明先证存在性：若0 < I 时，则取［疋］=0,有［x］ < x < ［J］ +1.若h根据实数的阿基米德性质，存在正整数N■使得工< N,令E = | j<n,n为正整数”则E工0,因为N€ E，因此％= minE存在11有％—1丢工<心・令［x］= no-l,则［刃< X R］ +1・若X 0,则一工〉0,由上面所证，存在正整数［一/］使得［一刃〈一工 < ［一刃+ 1所以一(［—刃 +1)< x <一［—龙］当工=一［一幻时，一［一刃W工 <-［—工］+1.令［工］=—［-工］•则［x］ < X < ［刃 + 1当X <—［一王］时•则一［―工］—1 <工 <—［一攵］・令［工］=—［一文］一1 ,则［x］ < J < ［z］ +1综上,存在性成立.再证唯一性；设都为整数且"<x<n + l,w^x<m + l,那么—(?n + 1) <—x m由此得••n—(m + l)<0<M+l — Z/1 即”一加一1 < 0 < 九一m + 1U学分析15步■粤(上SB)得—1 < m — n < 1由此得加一刃=0,即加=几例2•试在数轴上表示出下列不等式的解；(1)|| 工+ 1 Hz-1 ||<1；⑵|卄2 |+|x-2|<12解(1)先对不等式两端平方并化筒得x2+y <1 J2 -1 I即疋一】>++* 或J2 - 1 <~ (J2 4-1-)显热前者不可能•故解得1 . . 1"7<J<2如图】一1・图1-1(2)令工一2 =蓟则得H + 4I+UK12 或"+ 4|<12-两边平方,化简得再对上式两端平方得/+竝一32£0于是一8©〈4即—6 £工g 6・如图1 一2・—4—I—>—•_・ 6-3036 x0B1-2例3・设实数“6满足丨a|<l,|i|<l.证明不等式第一章实槪靈与函槪乞+01 + ab证明要证明的不等式等价于即同时有一盂〉°与】+応〉。

数学分析（一）电子教案杨小康第一章 实数集与函数本章教学要求:1.加深理解实数的浓密性、绝对值不等式。

2.深切理解一元函数的概念、分段函数的几何特性（尤其是函数有界、无界的分析概念），掌握复合函数、单调函数、奇函数和偶函数；3.理解反函数、周期函数；4.对大体初等函数和初等函数要熟练掌握其运算、几何形状，对以前没有接触过的Dirichlet 函数，符号函数，Gauss 函数等要熟悉。

5.掌握区间与邻域、掌握和应用确界概念、确界原理。

§ 1实数教学目的：熟练掌握实数及主要性质、绝对值概念及其不等式性质。

教学内容：实数的大体性质和绝对值的不等式． 大体要求：1）掌握实数的大体性质：实数的有序性，浓密性，阿基米德性，实数的四则运算。

2）掌握和熟练运用几个重要的绝对值不等式。

一．实数及其性质：有理数：(,0)p q q ⎧≠⎪⎨⎪⎩p 能用互质分数 为整数，表示的数；q有限十进小数或无限十进循环小数表示的数 例1 设 p 正整数，若p 不是完全平方数，则p 是无理数证明：反证法。

若p 是有理数，则p 可表示成：mnp =，从而整数p 可表示成： 22mn p =⇒ p 是完全平方数，矛盾若规定： 012012..(1)999n n a a a a a a a a =-则有限十进小数都能表示成无穷循环小数。

例如：001.2 记为 999000.2 ；0 记为 000.0 ；8- 记为 999.7- 实数大小的比较概念1 给定两个非负实数n n b b b b y a a a a x 210210.,.==其中 k k b a , 为非负整数，9,0≤≤k k b a 。

如有1） ,2,1,0,==k b a k k 则称 x 与 y 相等，记为 y x =2） 若存在非负整数 l ，使得),,2,1,0(,l k b a k k ==，而11++>l l b a ，则称x 大于 y （或 y 小于 x ），别离记为 y x >（或x y <）。