下载文档原格式
滤波的分类
滤波可以根据其特性和目的分为多种类型。
在数字信号处理中，
滤波是一种通过对信号进行变换来减少或消除噪声、增强信号或提取
特定信号特征的技术。
一、时域滤波
时域滤波直接对时间信号进行处理，主要包括低通滤波、高通滤波、
带通滤波和带阻滤波。
低通滤波可以去除高频信号噪声，高通滤波则
是去除低频信号噪声，带通滤波则可以保留一定的频率范围内的信号，而带阻滤波则是去除一定的频率范围内的信号。
二、频域滤波
频域滤波则是将信号转换到频域进行处理，主要包括傅里叶变换（FFT）、离散余弦变换（DCT）和小波变换等，这些变换可以将信号
转换到频率域，使得我们能够观察和处理不同频率范围内的信号，以
及去除或保留特定频率范围内的信号。
三、空间滤波
空间滤波是基于图像处理的滤波技术，主要用于去除图像噪声、增强
图像对比度、边缘检测等。
常见的空间滤波技术有中值滤波、均值滤波、高斯滤波、拉普拉斯滤波等。
四、自适应滤波
自适应滤波是一种特殊的滤波技术，根据信号本身的特点和环境噪声
的情况来自适应地动态调整滤波器的参数，以最大限度地保留信号的
特征和减少噪声的影响。
在数字信号处理中，滤波是非常重要的一部分，不同类型的滤波
技术可以应用于不同领域和不同信号类型的处理，通过正确选择和应
用滤波器可以有效地提高信号的质量和准确度。
频域滤波的基本原理频域滤波的基本原理频域滤波是一种信号处理技术，它根据信号的频率特征对信号进行处理，从而达到去噪、滤波等目的。
频域滤波的基本原理就是将时域中的信号转化为频域中的信号，利用频域中的特征进行处理，最后再将处理后的信号转回时域。
一、时域和频域时域和频域是信号处理中常用的两个概念。
时域是指信号随时间变化的情况，它通常用时域波形来表示。
例如，我们平常看到的声音、图像等都是时域信号。
频域是指信号在频率上的特征，与时域不同，它通常用其频谱图表示。
频谱图是一种表示信号频率分布情况的图形，它能够显示信号中存在的各种频率成分。
例如，下图分别是一个声音信号的时域波形和频谱图：![时域波形和频谱图示例]( "时域波形和频谱图示例.png")二、傅里叶变换频域处理的基础是傅里叶变换。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，它可以将任意周期的连续信号分解成一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶变换的基本形式为：F_freq(x) = ∫_{-∞}^∞f_time(t)e^{-2πif t}dt其中，f_{time}是时域信号，F_{freq}是频域信号，i表示虚数单位。
需要注意的是，傅里叶变换通常是定义在连续信号上的，在实际应用中，离散信号也常常需要进行傅里叶变换，这时候可以使用离散傅里叶变换（DFT）。
三、频域滤波的基本原理频域滤波是指利用傅里叶变换将信号从时域转换到频域，然后在频域中对信号进行滤波，最后再将信号从频域转回时域的一种信号处理方法。
在频域中，我们可以通过观察信号的频谱图来判断信号中是否存在噪声或需要滤除的部分。
例如，下图中的频谱图显示了一个信号中存在高频噪声：![高频噪声示例]( "高频噪声示例.png")为了去除这种噪声，我们可以在频域中将高频的部分过滤掉，实现去噪的效果。
具体而言，频域滤波通常包括以下几个步骤：1. 将时域信号x(t)进行傅里叶变换，得到频域信号X(f)；2. 在频域中对X(f)进行滤波处理，得到滤波后的频域信号Y(f)，过滤方式包括低通、高通、带通滤波等；3. 将Y(f)进行傅里叶反变换，得到处理后的时域信号。
如何使用MATLAB进行频域滤波与去噪使用MATLAB进行频域滤波与去噪引言：在数字信号处理领域，频域滤波与去噪是一项重要而常见的任务，在实际应用中有很多场景需要对信号进行去除噪声或者滤波处理。
MATLAB作为一种功能强大的科学计算软件，提供了丰富的工具和函数，可以帮助我们完成频域滤波与去噪的任务。
本文将介绍如何使用MATLAB进行频域滤波与去噪，并给出一些实用的例子。
一、频域滤波频域滤波是一种常用的信号处理方法，它通过将信号从时域转换到频域，对频域上的信号进行滤波处理，再将滤波后的信号转换回时域得到最终结果。
MATLAB提供了丰富的函数和工具箱，可以方便地进行频域滤波。
1. FFT（快速傅里叶变换）傅里叶变换是将信号从时域转换到频域的一种数学方法，而快速傅里叶变换（FFT）是对离散信号进行傅里叶变换的一种快速算法。
在MATLAB中，可以使用fft函数完成FFT变换，如下所示：```matlabY = fft(X);```其中，X为输入信号，Y为傅里叶变换后的结果。
通过FFT变换，我们可以将信号转换到频域进行进一步的处理。
2. 频域滤波器设计MATLAB提供了fir1、fir2、butter等函数用于设计常见的滤波器，根据滤波器的需求选择合适的函数进行滤波器设计。
以fir1函数为例，它可以设计出一种FIR （有限脉冲响应）滤波器，实现对频域信号的滤波。
下面是一个示例代码：```matlaborder = 32; % 滤波器阶数cutoff = 0.2; % 截止频率b = fir1(order, cutoff); % FIR滤波器设计```在上述代码中，我们指定了滤波器的阶数和截止频率，通过调用fir1函数进行滤波器设计，并得到滤波器的系数b。
将滤波器系数应用到信号上，可以实现对信号的频域滤波。
3. 频域滤波器应用设计好滤波器后，我们可以将滤波器应用到信号上，实现频域滤波。
MATLAB 提供了fftfilt函数用于对信号进行频域滤波，如下所示：```matlabY = fftfilt(b, X);```其中，b为滤波器系数，X为输入信号，Y为滤波后的结果。
频率域滤波频率域滤波是经典的信号处理技术之一，它是将信号在时域和频域进行分析以达到信号处理中的一定目的的技术。
它在诸多技术方面有着广泛的应用，比如音频信号处理、通信信号处理、部分图像处理和生物信号处理等。
本文将从以下几个方面来介绍频率域滤波的基本原理：概念的介绍、频谱的概念、傅里叶变换的原理、频率域滤波的基本原理、应用场景。
一、概念介绍频率域滤波是一种信号处理技术，它可以将时域信号转换成频域信号，并根据信号特征在频率域中对信号进行处理以达到特定的目的，如去除噪声和滤波等。
一般来说，信号处理包括两个阶段：时域处理和频域处理。
时域处理会涉及到信号的时间特性，而频率域处理则涉及到信号的频率特性。
二、频谱概念频谱是指信号分析中信号频率分布的函数，它是信号的频率特性的反映。
一个信号的频谱是一个衡量信号的能量随频率变化的曲线。
通过对信号的频谱进行分析，可以提取出信号中不同频率成分的信息，从而对信号进行更深入的分析。
三、傅里叶变换傅里叶变换是将时域信号转换成频域信号的基本手段。
傅里叶变换是指利用线性无穷积分把一个函数从时域转换到频域，即将一个函数的时间属性转换为频率属性的过程。
傅里叶变换会将时域信号映射到频域，从而可以分析信号的频率分布情况。
四、频率域滤波的基本原理频率域滤波的基本原理是先将信号进行傅里叶变换，然后将信号在频域进行处理。
根据不同的应用需求，可以采用低通滤波、高通滤波或带通滤波等滤波器对信号进行处理，从而获得滤波后的信号。
最后，再将滤波后的信号进行反变换即可。
五、应用场景由于具有时域和频域双重处理功能，频率域滤波技术在诸多技术领域都有广泛应用。
例如，在音频信号处理方面，频率域滤波可以去除音频信号中的噪声，使得信号变得更加清晰。
此外，在以图像处理方面，频率域滤波技术可以有效去除图像中的多余信息，从而提高图像的质量。
在通信领域，频率域滤波技术可以应用于对通信信号的滤波和信号分离，从而有效提升信号的传输效率。
数字信号处理中的频域滤波方法数字信号处理（Digital Signal Processing，DSP）是一门研究如何对数字信号进行变换、操作和分析的学科。
其中，频域滤波方法是一种常用的信号处理技术，用于去除信号中的噪声或改善信号质量。
本文将介绍数字信号处理中的频域滤波方法，包括傅里叶变换、傅里叶变换的性质以及滤波器设计。
一、傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域（时序）转换到频域（频率）的方法，它将信号表示为正弦和余弦函数的线性组合。
傅里叶变换可以将信号分解为不同频率成分的和，通过分析这些频率成分可以实现频域滤波。
在数字信号处理中，傅里叶变换通常使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）来实现。
DFT将连续时域信号离散化为一系列离散频率，从而可以在计算机上进行处理。
二、傅里叶变换的性质1. 线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即信号的线性组合的傅里叶变换等于信号各自的傅里叶变换的线性组合。
2. 积移性质：信号在时域上的平移会导致其在频域上的相位变化，即频谱随时间的平移而变化。
3. 对称性质：实信号的傅里叶变换具有共轭对称性，即其频谱是一个关于零频率对称的函数。
三、频域滤波器设计频域滤波器是根据信号在频域的特性来选择和调整信号成分的方法。
常见的频域滤波器有低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。
1. 低通滤波器：低通滤波器用于去除高频成分，只保留低频成分。
在频域上，低通滤波器会在截止频率以下的频率范围内透传，而在截止频率以上的频率范围内抑制信号。
2. 高通滤波器：高通滤波器用于去除低频成分，只保留高频成分。
高通滤波器在截止频率以下的频率范围内抑制信号，而在截止频率以上的频率范围内透传。
3. 带通滤波器：带通滤波器用于滤除不在指定频率范围内的信号。
它可以让指定范围的频率通过，而将其他频率抑制。
4. 带阻滤波器：带阻滤波器用于滤除指定频率范围内的信号。
它可以让指定范围外的频率通过，而将指定范围内的频率抑制。
时域滤波器与频域滤波器的对比分析滤波器是信号处理中常用的工具，用于改变信号的频率特性或时域特性。
在滤波器的设计和应用中，时域滤波器和频域滤波器是两种常见的方法。
它们在原理、应用和性能等方面存在差异。
本文将对时域滤波器和频域滤波器的对比进行分析。
一、时域滤波器时域滤波器是根据信号在时间域内的特性进行滤波的一种方法。
它直接操作信号的幅度和相位，对信号进行加权和延迟处理来实现滤波效果。
时域滤波器通常采用卷积运算实现，通过将输入信号与滤波器的冲击响应进行卷积来得到输出信号。
时域滤波器的主要特点是易于理解和实现。
它能够处理时变信号和非线性系统，适用于实时信号处理等应用。
时域滤波器的设计通常基于滤波器的幅度和相位响应，可以通过设计滤波器的冲击响应来实现对信号频率特性的调整。
二、频域滤波器频域滤波器是通过将信号转换到频率域进行滤波的一种方法。
它利用信号的频谱特性对信号进行处理，通过滤除或增强信号的特定频率分量来实现滤波效果。
频域滤波器通常通过傅里叶变换将信号转换到频域，然后进行频域操作，最后再通过傅里叶逆变换将信号转换回时域。
频域滤波器的主要特点是可以对信号的频率特性进行精确控制。
它能够滤除或增强特定频率范围内的信号分量，适用于对特定频率噪声的去除、频率分析和谱估计等应用。
频域滤波器的设计通常基于滤波器的频率响应，可以通过设计滤波器的频率特性曲线来实现对信号频谱的调整。
三、时域滤波器与频域滤波器的对比1. 原理对比时域滤波器是直接在时域内对信号进行处理，利用信号的幅度和相位特性进行滤波。
频域滤波器则是将信号转换到频域进行处理，利用信号的频谱特性进行滤波。
两种滤波器的原理不同，导致它们在信号处理方法和效果上存在差异。
2. 设计方法对比时域滤波器的设计通常基于滤波器的冲击响应，可以通过设计滤波器的幅度和相位特性曲线来实现对信号频率特性的调整。
频域滤波器的设计通常基于滤波器的频率响应，可以通过设计滤波器的频率特性曲线来实现对信号频谱的调整。
空域滤波和频域滤波的关系空域滤波是指对图像的像素进行直接操作，通过改变像素的数值来达到滤波的目的。
常见的空域滤波方法包括均值滤波、中值滤波和高斯滤波等。
这些方法主要是通过对像素周围的邻域进行计算，然后用计算结果替代中心像素的值，从而达到平滑图像、去噪或者增强图像细节等效果。
空域滤波是一种直观简单的滤波方法，易于理解和实现。
频域滤波则是将图像从空域转换到频域进行滤波处理。
频域滤波基于图像的频谱特性，通过对图像的频率分量进行调整来实现滤波效果。
频域滤波的基本原理是将图像进行傅里叶变换，将图像从空间域转换到频率域，然后在频率域对图像进行滤波处理，最后再将图像进行傅里叶反变换，将图像从频率域转换回空间域。
常见的频域滤波方法包括低通滤波、高通滤波和带通滤波等。
频域滤波可以有效地去除图像中的噪声、增强图像的细节和边缘等。
空域滤波和频域滤波是两种不同的滤波方法，它们在滤波原理和实现方式上存在一定的差异。
空域滤波是直接对图像像素进行操作，易于理解和实现，但在处理复杂图像时会存在一定的局限性。
频域滤波则是将图像转换到频率域进行处理，可以更加灵活地调整图像的频率特性，适用于处理复杂图像和去除特定频率的噪声。
虽然空域滤波和频域滤波有着不同的原理和实现方式，但它们之间并不是相互独立的。
事实上，这两种滤波方法是可以相互转换和组合的。
在一些实际应用中，我们可以将频域滤波和空域滤波结合起来，通过先对图像进行傅里叶变换，然后在频率域对图像进行滤波处理，最后再将图像进行傅里叶反变换，将图像从频率域转换回空间域。
这种组合使用的方法可以充分发挥两种滤波方法的优势，既可以处理复杂图像，又能够简化计算和提高效率。
空域滤波和频域滤波是数字图像处理中常用的滤波方法。
空域滤波直接对图像像素进行操作，简单直观；频域滤波则是将图像转换到频率域进行处理，更加灵活精确。
虽然它们有着不同的原理和实现方式，但可以相互转换和组合使用，以提高图像处理的效果和质量。
频域滤波增强原理及其基本步骤1. 引言频域滤波增强是一种常用的图像增强技术，通过将图像从空域转换到频域进行滤波操作，然后再将图像从频域转换回空域，从而改善图像的质量。
本文将详细解释频域滤波增强的原理及其基本步骤。
2. 基本原理频域滤波增强的基本原理是利用图像在频域中的特性来进行图像增强。
在频域中，不同频率的成分对应着不同的图像细节信息。
通过选择性地增强或抑制不同频率成分，可以改变图像的对比度、清晰度和细节。
频域滤波增强主要依赖于傅里叶变换和逆傅里叶变换。
傅里叶变换将一个时域信号转换为其在频域中的表示，逆傅里叶变换则将一个频域信号转换回时域。
3. 常见步骤频域滤波增强通常包括以下几个步骤：步骤1：图像预处理在进行频域滤波增强之前，通常需要对图像进行预处理。
预处理包括去噪、平滑和锐化等操作。
去噪可以使用一些常见的降噪算法，如中值滤波、高斯滤波等。
平滑可以通过低通滤波器实现，用于抑制图像中的高频成分。
锐化可以通过高通滤波器实现，用于增强图像中的细节。
步骤2：傅里叶变换将经过预处理的图像进行傅里叶变换，将其转换为频域表示。
傅里叶变换将图像分解为一系列的正弦和余弦函数，每个函数对应一个特定的频率成分。
在频域中，低频成分对应着图像的整体亮度和颜色信息，而高频成分对应着图像的细节信息。
步骤3：频域滤波在频域中对图像进行滤波操作，选择性地增强或抑制不同频率成分。
常见的频域滤波器包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等。
低通滤波器可以保留图像中的低频成分，抑制高频成分，用于平滑图像。
高通滤波器可以抑制低频成分，增强高频细节，用于锐化图像。
步骤4：逆傅里叶变换将经过滤波操作的频域图像进行逆傅里叶变换，将其转换回时域表示。
逆傅里叶变换将频域信号重建为原始的时域信号。
通过逆傅里叶变换，我们可以得到经过频域滤波增强后的图像。
步骤5：后处理对经过逆傅里叶变换得到的图像进行后处理，包括亮度调整、对比度增强和锐化等操作。
频域空间滤波在图像处理中的应用图像处理是一项越来越重要的技术，它涉及到数字图像的获取、处理、分析和储存等方面。
在处理数字图像的过程中，频域空间滤波是一种应用最广泛的处理方法。
频域空间滤波是基于傅里叶变换的处理方法，可以对图像进行高效的处理和分析。
1. 傅里叶变换傅里叶变换是一种数学方法，可以将一个时域信号分解成为一系列复指数的加权和。
对于一个n点的离散信号，可以通过离散傅里叶变换转换为频域的n个复系数。
在图像处理中，我们常常使用二维离散傅里叶变换，将二维图像转换为频域的复系数。
2. 频域空间滤波频域空间滤波是一种在频域上对图像进行处理的方法，它通常包括四个步骤：首先进行离散二维傅里叶变换；然后进行频域滤波；接着再进行傅里叶反变换；最后得到滤波后的图像。
频域滤波包括低通滤波和高通滤波。
低通滤波可以通过去除高频信号来平滑图像的轮廓和细节，比较适用于图像去噪和模糊处理。
高通滤波则可以通过去除低频信号来增强图像的边缘和细节，比较适用于图像锐化和轮廓检测。
3. 应用实例频域空间滤波在图像处理中有着广泛的应用，下面就几个具体的实例进行介绍。
(1) 图像去噪图像中常常受到噪声的干扰，这时候就需要使用频域低通滤波进行去噪。
低通滤波可以去除高频成分，从而平滑图像。
下面是一张被椒盐噪声污染的图像，使用频域低通滤波去噪后的效果如下：(2) 图像锐化在图像处理中，有时需要增强图像的边缘和细节，可以使用高通滤波进行锐化。
高通滤波可以去除低频成分，从而增强高频信号。
下面是一张需要进行锐化处理的图像，使用频域高通滤波锐化后的效果如下：(3) 图像模糊有时候需要对图像进行模糊处理，这时候可以使用频域低通滤波进行模糊。
下面是一张需要进行模糊处理的图像，使用频域低通滤波模糊后的效果如下：总结频域空间滤波是一种在频域上对图像进行处理的方法，可以通过傅里叶变换将图像转换为频域的复系数，在频域上进行低通滤波和高通滤波处理后再通过傅里叶反变换得到处理后的图像。
频域滤波主要内容：一．回顾空间滤波二．傅里叶变换三．傅里叶变换的性质四．频域滤波一．回顾空间滤波“滤波”：接受或拒绝一定的频率分量，来源频域处理。
分空间滤波和频率滤波（即对图像的频谱进行滤波）。
空间滤波：就是滤波器和图像做卷积的结果。
平滑滤波器滤波器：锐化滤波器：二． 傅里叶变换1.由傅里叶级数推倒的连续傅里叶变换 设周期信号为()x t ，其周期是T ，频率1Tσ=，角频率2ωπσ=，则将()x t 展成指数形式的Fourier 级数如下：()in tnn x t X e ω∞=-∞=∑，其中/2/21()T in t n T X x t e dt T ω--=⎰两边同时乘以T ，得到/2/2()T in t n T X T x t e dtω--=⎰对于非周期信号，重复周期T →∞，离散频率n ω就变成连续频率ω了。
在这种极限情况下，2n Xπω趋于有限值，且变成一个连续函数，记为()F ω.()lim ()i t n T X X T x t e dt ωω+∞-→∞-∞==⎰（Fourier变换）1()()2i t x t X e d ωωωπ+∞-∞=⎰（Fourier逆变换）若用频率σ代替角频率2ωπσ=，则有2()()i t X x t e dt πσσ+∞--∞=⎰，σ为频率 2()()i t x t X e d πσσσ+∞-∞=⎰由()F μ表示连续变量t 的连续函数()f t 的傅里叶变换由下式定义：2()()j t F f t e dtπμμ∞--∞=⎰相反，给定()F μ，通过傅里叶逆变换可以获得()f t ，傅里叶逆变换定义如下：2()()j t f t F e d πμμμ∞-∞=⎰上述两式称为傅里叶变换对。
例：看一个简单函数的傅里叶变换：1,11()0,t f t -≤≤⎧=⎨⎩其他 ，将其进行傅里叶变换121sin(2)()1j tF e dt πμπμμπμ--=⋅=⎰2.离散傅里叶变换（DFT ） 离散傅里叶变换的公式：12/0()(),0,1,2,...,1M j x M x F f x e M πμμμ--===-∑原函数()f t 原函数的傅里叶变换()F μ令2/=j MW eπ-，则上式变为1()(),0,1,2,...,1M x x F f x WM μμμ-===-∑故该离散傅里叶变换可以写成矩阵的形式：00001121(1)101(1)2(1)(1)(1)(0)(0)(1)(1)(1)(1)M M M M M F f W W W W F f W W W W F M f M W W W W ⨯⨯-⨯⨯-⨯--⨯-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦同理：离散傅里叶逆变换的公式:12/01()(),0,1,2,...,1M j x Mf x F e x M Mπμμμ-===-∑变为101()(),0,1,2,...,1M xf x F W x M Mμμμ--===-∑其矩阵形式为：000001121(1)101(1)2(1)(1)(1)(0)(0)(1)(1)1(1)(1)M M M M M f F W W W W f F W W W W M f M F M W W W W -⨯-⨯--⨯-⨯--⨯---⨯-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦例：求矩形脉冲序列函数()f n 的离散傅里叶变换： 四个点：(0)1,(1)1,(2)1,(3)1f f f f ====，即4M=，2/2/4,==-j M j W e W e j ππ--=故离散傅里叶变换结果：0000012302460369(0)(0)(1)(1)(2)(2)(3)(3)11111411101111101110F f W W W W F f W W W W F f W W W W F f WW W W j j j j ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦再求上述结果的离散傅里叶逆变换结果：0000012302460369(0)(0)(1)(1)1(2)(2)4(3)(3)1111411101111110141101f F W W W W f F W W W W f F W W W W f F W WW W j j j j ---------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 将一维离散傅里叶变换推广到二维离散傅里叶变换： 二维离散傅里叶变换定义如下：112(//)00(,)(,)M N j ux M vy N x y F u v f x y e π---+===∑∑其中，(,)f x y 是大小为M N ⨯的数字图像。
若给出变换(,)F u v ，我们可以使用傅里叶逆变换（IDFT ）得到(,)f x y ：112(//)001(,)(,)M N j ux M vy N u v f x y F u v eMNπ--+===∑∑三． 傅里叶变换的性质① 函数Fourier 变换的线性叠加性质11(())()()nni i i i i i F a x t a Fx μ===∑∑②导数的Fourier 变换性质(()/)2()()F dx t dt i Fx πσσ=③卷积的Fourier 变换性质1212()()()F x x Fx Fx *=④乘积的Fourier 变换性质1212()()()F x x Fx Fx =*⑤ 对称性(())()F Fx t x t =-⑥尺度变换性质1(())()()F x at Fx a aσ=，信号在时域中压缩等效于在频域中扩展，信号在时域中扩展等效于在频域中压缩。
⑦时移性质020(())()()i t F x t t Fx e πμω--=⑧ 频移性质020(())()()i t F x t e Fx πσσσ=-连续函数的卷积公式()()()()f t h t f h t d τττ∞-∞*=-⎰ 对上式做傅里叶变换，计算结果如下：2-2-2-2-2-[()()][()()]()[()]()[()]()()()()j t j t j t j j f t h t e dtf h t d e dtf h t e dt d f H e d H f e d H F πμπμπμπμτπμττττττττμτμττμμ∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞∞-∞∞-∞*⋅=-⋅=-⋅=⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由上边的性质③可知，在时间域中的滤波定义为：时域滤波器与图像做卷积, 那么对应的频率域中的滤波定义为：滤波函数和图像傅里叶变换的乘积。
四．频域滤波1.我们对一幅图像做频率域滤波的步骤如下：（1） 给定一幅大小为M*N 的输入图像(,)f x y ,先对其做DFT,得到其频率域中的图像F (u,v)p 。
（2） 频域中滤波函数H(u,v)，其大小与F (u,v)p 相同，将F (u,v),H(u,v)p 点乘，也即滤波，得到滤波后的图像(u,v)G 。
（3） 对(u,v)G 做IDFT 变换，得到处理后的图像。
下面给出一个例子： 原图：第一步：对图像做FFT变换，频谱如下：第二步：用理想低通滤波器：R=100. 对上述频谱图进行滤波后图像如下：滤波器滤波后的图像第三步：对滤波后的图像做IFFT，就得到了模糊的图像：2.频域平滑滤波器对于一幅图像，低频部分对应于图像中变化缓慢的灰度分量，高频部分对应于图像中灰度变换较快的部分通常都是物体的边缘和细节。
因此，在频域可以滤掉高频部分的来达到平滑化。
我们考虑三种类型的低通滤波器：理想低通滤波器、布特沃斯滤波器和高斯滤波器。
（1）理想低通滤波器（ILPF）：以原点为圆心，D 为半径的圆内，无衰减的通过所有频率，而在圆外“截断”所有频率的二维低通滤波器（其实就是一个截断函数）。
由以下函数确定：1,(,)H(u,v)0,D u v d otherwise ≤⎧=⎨⎩应用：原图理想低通滤波器取半径为15半径为30：半径为80：半径为200：由上述四幅图我们可得出的结论是：半径越小，通过的低频越少，模糊的越多；半径越大，通过的低频越多，模糊的越少。
（b）布特沃斯低通滤波器（BLPF）截止频率位于距原点D处的n阶布特沃斯低通滤波器（BLPF）的函数定义如下：21H(u,v)1[(,)/]nD u v D=+其中的参数n称为“阶数”，当阶数很大是，接近于理想低通滤波器。
图像如下：应用：半径为30：半径为80：半径为200：（c ）高斯低通滤波器（GLPF ）：22(,)/2H(u,v)D u v D e-=其中参数0D 是关于中心扩展度的度量。
0D 越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好．应用： 半径为30：半径为80：半径为200：3.频域锐化滤波器高通滤波器会衰减傅里叶变换中的低频部分，而不会扰乱高频部分，从而突出图像的边界和细节之类的部分。
可以有公式：H1H(u,v)=-HP LP来构造，对应于三种低通滤波器，就可以构造出三种高通滤波器。
效果如下：理想高通滤波器：半径为30：半径为80：布特沃斯高通滤波器：半径为80：高斯高通滤波器：半径为80：4.选择滤波器就是一种处理感兴趣的频段或频率的小区域的滤波器。
分两类： 带阻滤波器或带通滤波器：下式中0(,)D W D D u v 是截止频率，是带宽，是距滤波器中心的距离 理想带阻滤波器：000,(,)221,W W D D D H u v ⎧-≤≤+⎪=⎨⎪⎩若其他布特沃斯带阻滤波器：22201(,)1nH u v DW D D =⎡⎤+⎢⎥-⎣⎦高斯带阻滤波器：2220(,)1D D DW H u v e⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-同样，带通滤波器可以从带阻滤波器得到：(,)1(,)BP BR H u v H u v =-。
