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绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N = （）A.{}02x x ≤< B.123xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C.{}316x x ≤< D.1163xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【详解】1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D 2.若i(1)1z -=，则z z +=（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D【详解】由题设有21i1i i i z -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D 3.在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A.32m n -B.23m n-+C.32m n+D.23m n+【答案】B【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+．故选：B ．4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．时，增加的水量约2.65≈）（）A.931.010m ⨯B.931.210m ⨯ C.931.410m ⨯ D.931.610m ⨯【答案】C【解析】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN =-=(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ．棱台上底面积262140.014010S ==⨯km m ，下底面积262180.018010S '==⨯km m ，∴((66119140101801033V h S S =++=⨯⨯⨯+⨯'(()679933320109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯．故选：C ．5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.16B.13C.12D.23【答案】D【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种，故所求概率2172213P -==.故选：D.6.记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.1B.32C.52D.3【答案】A【详解】由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得223πππω<<，解得23ω<<，又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3,24k k Z ππωπ+=∈，且2b =，所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A7.设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，则（）A.a b c <<B.c b a<< C.c a b<< D.a c b<<【答案】C【详解】方法一：构造法设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1()(0)09f f <=，所以101ln099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1((0)010f f -<=，所以91ln+01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--,令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<-时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)xg x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c >故选：C.方法二：比较法解：0.10.1a e =，0.110.1b =-，ln(10.1)c =--，①ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+-，令()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈则1()1011x f x x x-'=-=<--，故()f x 在(0,0.1]上单调递减，可得(0.1)(0)0f f <=，即ln ln 0a b -<，所以a b <；②0.10.1ln(10.1)a c e -=+-，令()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则1(1)(1)1()11x xxx x e g x xe e x x+--'=+---，令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以2()(12)0x k x x x e '=-->，所以()k x 在(0,0.1]上单调递增，可得()(0)0k x k >>，即()0g x '>，所以()g x 在(0,0.1]上单调递增，可得(0.1)(0)0g g >=，即0a c ->，所以.a c >故.c a b <<8.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤四棱锥体积的取值范围是（）A.8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[18,27]【答案】C【详解】∵球的体积为36π，所以球的半径3R =,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭，所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3l ≤≤0V '>，当l <≤时，0V '<，所以当l =时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643，又3l =时，274V =，l =814V =,所以正四棱锥的体积V 的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以2231211(122)64(6)(122)[](333333h h h V a h h h h h h h -++==-=-⨯⨯= 当且仅当4h =取到)，当32h =时，得a =，则22min 11327;3324V a h ==⨯=当l =时，球心在正四棱锥高线上，此时39322h =+=，23322a a =⇒=，正四棱锥体积221119816433243V a h ==⨯=<，故该正四棱锥体积的取值范围是2764[,].43二、选择题：本题共4小题。
2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}??B．{2，3}??C．{3，4}??D．{2，3，4}2．（5分）已知z＝2﹣i，则z（+i）＝（）A．6﹣2i??B．4﹣2i??C．6+2i??D．4+2i3．（5分）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2??B．2??C．4??D．44．（5分）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（）A．（0，）??B．（，π）??C．（π，）??D．（，2π）5．（5分）已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（）A．13??B．12??C．9??D．66．（5分）若tanθ＝﹣2，则＝（）A．﹣??B．﹣??C．??D．7．（5分）若过点（a，b）可以作曲线y＝ex的两条切线，则（）A．eb＜a??B．ea＜b??C．0＜a＜eb??D．0＜b＜ea8．（5分）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立??B．甲与丁相互独立??C．乙与丙相互独立??D．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同??B．两组样本数据的样本中位数相同??C．两组样本数据的样本标准差相同??D．两组样本数据的样本极差相同10．（5分）已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），则（）A．||＝||??B．||＝||??C．•＝•??D．•＝•11．（5分）已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（）A．点P到直线AB的距离小于10??B．点P到直线AB的距离大于2??C．当∠PBA最小时，|PB|＝3??D．当∠PBA最大时，|PB|＝312．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（）A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值??B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值??C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP??D．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全国1卷数学试题及答案一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列哪个数是无理数？A. -3B. 0.33333...C. πD. √2答案：C2. 函数y=f(x)在x=1处的导数为3，那么y=f(x)在x=1处的切线斜率是：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B3. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}答案：B4. 一个圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，那么直线与圆的位置关系是：A. 相离B. 相切C. 相交D. 内切答案：C5. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第5项的值：A. 11B. 13C. 15D. 17答案：B6. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的最小值：A. -1B. 0C. 3D. 5答案：A7. 已知向量a=(2, 3)，b=(-1, 2)，求向量a与b的点积：A. -1B. 1C. 3D. 5答案：C8. 一个正方体的体积为64，求其表面积：A. 96B. 128C. 192D. 256答案：B9. 已知方程x^2-5x+6=0，求方程的根：A. 2, 3B. -2, 3C. 1, 6D. -1, 6答案：A10. 已知双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，焦点在x轴上，c=5，a=3，求b的值：A. 4B. 6C. 8D. 10答案：A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求第4项的值：______。
答案：16212. 已知三角形ABC中，∠A=60°，AB=10，AC=8，求BC的长度：______。
答案：6√313. 已知函数g(x)=2x-1，求g(-3)的值：______。
答案：-714. 已知向量c=(4, -1)，d=(1, 3)，求向量c与d的叉积：______。
2023年高考数学全国一卷试卷及解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集{}54321，，，，=U ，集合{}41，=M ，{}52，=N ，则=⋃M C N U （）A .{}5,3,2B .{}431，，C .{}5,4,2,1D .{}5,4,3,22.()()()=-++i i i 22153（）A .1-B .1C .i -1D .i+13.已知向量()1,3=a ，()2,2=b ，则=-+b a b a ,cos （）A .171B .1717C .55D .5524.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A .61B .31C .21D .325.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若1062=+a a ，4584=a a ，则=5S （）A .25B .22C .20D .156.执行右边的程序框图，则输出的=B （）A .21B .34C .55D .897.设21,F F 为椭圆1522=+y x C ：的两个焦点，点P 在C 上，若021=⋅PF PF ，则=⋅21PF PF （）A .1B .2C .4D .58.曲线1+=x e y x 在点⎪⎭⎫⎝⎛21e ，处的切线方程为（）A .x e y 4=B .x ey 2=C .44ex e y +=D .432ex e y +=9.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的离心率为5，C 的一条渐近线与圆()()13222=-+-y x 交于B A ,两点，则=AB （）A .55B .552C .553D .55410.在三棱锥ABC P -中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，2==PB P A ，6=PC ，则该棱锥的体积为（）A .1B .3C .2D .311.已知函数()()21--=x ex f .记⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22f a ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=23f b ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=26f c ，则（）A .a c b >>B .c a b >>C .ab c >>D .b a c >>12.函数()x f y =的图象由⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62cos πx y 的图象向左平移6π个单位长度，则()x f y =的图象与直线2121-=x y 的交点个数为（）A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题动4小题，每小题5分，共20分.13.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若3678S S =，则{}n a 的公比为.14.若()()⎪⎭⎫⎝⎛+++-=2sin 12πx ax x x f 为偶函数，则=a .15.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-1332323y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为.16.在正方体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，O 为1AC 的中点，若该正方体的棱与球O 的球面有公共点，则球O 的半径的取值范围是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前, 考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。
回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1．设1i2i 1iz -=++, 则||z = A ．0 B ．12C ．1D ．22．已知集合{}220A x x x =-->, 则A =R ð A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|1|2x x x x <->UD ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥U3．某地区经过一年的新农村建设, 农村的经济收入增加了一倍, 实现翻番, 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况, 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例, 得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A ．新农村建设后, 种植收入减少B ．新农村建设后, 其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后, 养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后, 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和, 若3243S S S =+, 12a =, 则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+, 若()f x 为奇函数, 则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中, AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点, 则EB =u u u rA ．3144AB AC-u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r7．某圆柱的高为2, 底面周长为16, 其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A , 圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B , 则在此圆柱侧面上, 从M 到N 的路径中, 最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F , 过点（–2, 0）且斜率为23的直线与C 交于M , N 两点, 则FM FN ⋅u u u u r u u u r=A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点, 则a 的取值范围是 A ．[–1, 0）B ．[0, +∞）C ．[–1, +∞）D ．[1, +∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成, 三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC , 直角边AB , AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I, 黑色部分记为II, 其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点, 此点取自I, II,III 的概率分别记为p 1, p 2, p 3, 则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=, O 为坐标原点, F 为C 的右焦点, 过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形, 则|MN |= A ．32B ．3C ．3D ．412．已知正方体的棱长为1, 每条棱所在直线与平面α所成的角相等, 则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A 33B 23C 32D 3 二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分。
普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}42M x x =-<<，{}260N x x x =--<，则M N =A ．{}43x x -<<B ．{}42x x -<<-C ．{}22x x -<<D ．{}23x x <<2．设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则A ．()2211x y ++=B ．()2211x y -+=C ．()2211x y +-=D ．()2211x y ++=3．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（510.618-≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-。
若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是 A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm5．函数()2sin cos x xf x x x+=+在[],ππ-的图象大致为6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 8．右图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．12A A =+B ．12A A=+C ．112A A=+D ．112A A=+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知4=0S ，55a =，则A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-10．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=11．关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ③()f x 在[],ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC ．26πD 6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(A) 4(B) 3(C ) 2(D) 12010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修H ）本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第n 卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码•请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目.2•每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3•第I 卷共10小题，每小题3分，共30分•在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求.参考公式:如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)y 兰1，（3）若变量x, y 满足约束条件』x + y 兰0 则z=x-2y 的最大值为|x 〜y 〜2 -0.绝密★启用前球的表面积公式如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A B)=P(A) P(B)球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率P n （k ） =C ：P k （1 -P 严、选择题其中R 表示球的半径(1) 复数3 2i -2 -3i(A ) i(B )-i(2) 记 cos( -80 ) = k ,那么 tan 100 二J1 -k 21 -k2 (A )(B ) -kk(C ) 12 -13i(D )12 13i(C ) k (D )k 1 -k 2• 1 -k 2(4)已知各项均为正数的等比数列g ｝中，a 1a 2a^5,a 7a 8a 9 =10,则a 4a 3a 6 =(A ) 52(B ) 7(C ) 6(D ) 42(5) (1 • 2... x)3(1 -3.x)5的展开式中x 的系数是(A ) -4( B ) -2( C ) 2( D ) 4(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选择题4门，一位同学从中共选 3门，若要求两类课 程中各至少选一门，则不同的选法共有(A ) 30 种 (B ) 35 种 (C ) 42 种 (D ) 48 种 (7) 正方体ABCD — A I B I C I D I 中，BB i 与平面ACD i 所成角的余弦值为2 (C)-3到x 轴的距离为(10)已知函数f (x) =| lg x I 若0 ：：： a ::: b,且f (a) = f (b)，则a 2b 的取值范围是(A) (2.. 2,：：)(B ) 2. 2,-(C ) (3,：：)(D) 3,；(11)已知圆0的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线， A 、B 为两切点，那么PA PB 的最小值为(A ) - 4一2(B ) -3 .2 (C ) -422 (D ) - 3 2 2(12)已知在半径为 2的球面 上有A 、B 、C 、 D 四点，若 AC=CD=2，则四面体 ABCD 的体积的最大值为2屈4.3 |T -813(A ) (B )(C ) 2 3(D )-333绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 (必修+选修H)注意事项:(D)(8) 1设 a = log 3 2,b = In 2,c = 5 2，则 (A) ab ：： c(B) b :: c :: a(C ) c a b (D)(9) 已知F 1、F 2为双曲线 C ：x 2- y 2=1 的左、右焦点，点 P 在C 上，.F 1PF 2 =60，则P<6(B)』2(C) ,31 •答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若集合{|4}M x =<，{|31}N x x =，则(M N = )A ．{|02}x x <B ．1{|2}3x x <C ．{|316}x x <D ．1{|16}3x x <2．（5分）若(1)1i z -=，则(z z +=)A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（5分）在ABC ∆中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m = ，CD n = ，则(CB = )A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 4．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为2140.0km ；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为2180.0km ．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为2.65)(≈)A ．931.010m ⨯B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯5．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()A ．16B ．13C ．12D ．236．（5分）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(2π，2)中心对称，则()(2f π=)A ．1B ．32C ．52D ．37．（5分）设0.10.1a e =，19b =，0.9c ln =-，则()A ．a b c<<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b<<8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3l ，则该正四棱锥体积的取值范围是()A ．[18，81]4B ．27[4，81]4C ．27[4，64]3D ．[18，27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅰ卷）数学一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若集合M ={x|√x <4}，N ={x|3x ≥1}，则M ∩N =( )A. {x|0≤x <2}B. {x|13≤x <2}C. {x|3≤x <16}D. {x|13≤x <16}2. 若i(1−z)=1，则z +z −=( )A. −2B. −1C. 1D. 23. 在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 3m⃗⃗⃗ −2n ⃗ B. −2m⃗⃗⃗ +3n ⃗ C. 3m⃗⃗⃗ +2n ⃗ D. 2m⃗⃗⃗ +3n ⃗ 4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km 2；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180.0km 2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为(√7≈2.65)( )A. 1.0×109m 3B. 1.2×109m 3C. 1.4×109m 3D. 1.6×109m 35. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )A. 16B. 13C. 12D. 236. 记函数f(x)=sin(ωx +π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T <π，且y =f(x)的图像关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=( )A. 1B. 32C. 52D. 37. 设a =0.1e 0.1，b =19，c =−ln0.9，则( )A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. a <c <b8. 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A. [18,814]B. [274,814]C. [274,643]D. [18,27]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，则()A. 直线BC1与DA1所成的角为90°B. 直线BC1与CA1所成的角为90°C. 直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D. 直线BC1与平面ABCD所成的角为45°10.已知函数f(x)=x3−x+1，则()A. f(x)有两个极值点B. f(x)有三个零点C. 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D. 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线11.已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2=2py(p>0)上，过点B(0,−1)的直线交C于P，Q两点，则()A. C的准线为y=−1B. 直线AB与C相切C. |OP|⋅|OQ|>|OA|2D. |BP|⋅|BQ|>|BA|212.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)=f′(x).若f(32−2x)，g(2+x)均为偶函数，则()A. f(0)=0B. g(−12)=0 C. f(−1)=f(4) D. g(−1)=g(2)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(1−yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为______(用数字作答)．14.写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程______．15.若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______．16.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1=1，{S na n}是公差为13的等差数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<2．18. 记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA 1+sinA =sin2B1+cos2B ．(1)若C =2π3，求B ；(2)求a 2+b 2c 2的最小值．19. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为4，△A 1BC 的面积为2√2．(1)求A 到平面A 1BC 的距离；(2)设D 为A 1C 的中点，AA 1=AB ，平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，求二面角A −BD −C 的正弦值．20. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好病例组 40 60 对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”，P(B|A)P(B −|A)与P(B|A −)P(B −|A −)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ． (ⅰ)证明：R =P(A|B)P(A −|B)⋅P(A −|B −)P(A|B −)；(ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B −)的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R 的估计值． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)． P(K 2≥k)0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82821.已知点A(2,1)在双曲线C：x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．已知函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．答案解析1.【答案】D【解析】解：由√x <4，得0≤x <16，∴M ={x|√x <4}={x|0≤x <16}， 由3x ≥1，得x ≥13，∴N ={x|3x ≥1}={x|x ≥13}， ∴M ∩N ={x|0≤x <16}∩{x|x ≥13}={x|13≤x <16}． 故选：D ．分别求解不等式化简M 与N ，再由交集运算得答案． 本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由i(1−z)=1，得1−z =1i =−i−i 2=−i ， ∴z =1+i ，则z −=1−i ， ∴z +z −=1+i +1−i =2． 故选：D ．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z −，再求出z +z −． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：如图，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =32CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3n ⃗ −2m ⃗⃗⃗ ． 故选：B ．直接利用平面向量的线性运算可得12CB⃗⃗⃗⃗⃗ =32CD⃗⃗⃗⃗⃗ −CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而得解．本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：140km2=140×106m2，180km2=180×106m2，根据题意，增加的水量约为140×106+180×106+√140×106×180×1063×(157.5−148.5)=(140+180+60√7)×1063×9≈(320+60×2.65)×106×3=1437×106≈1.4×109m3.故选：C．先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：从2至8的7个整数中任取两个数共有C72=21种方式，其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，故所求概率为1421=23．故选：D．先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T，则T=2πω，由2π3<T<π，得2π3<2πω<π，∴2<ω<3，∵y=f(x)的图像关于点(3π2,2)中心对称，∴b=2，且sin(3π2ω+π4)=0，则3π2ω+π4=kπ，k∈Z．∴ω=23(k−14)，k∈Z，取k=4，可得ω=52．∴f(x)=sin(52x+π4)+2，则f(π2)=sin(52×π2+π4)+2=−1+2=1．故选：A．由周期范围求得ω的范围，由对称中心求解ω与b值，可得函数解析式，则f(π2)可求．本题考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．7.【答案】C【解析】解：构造函数f(x)=lnx+1x，x>0，则f′(x)=1x −1x2，x>0，当f′(x)=0时，x=1，0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在x=1处取最小值f(1)=1，∴lnx>1−1x，∴ln0.9>1−10.9=−19，∴−ln0.9<19，∴c<b；∵−ln0.9=ln109>1−910=110，∴109>e0.1，∴0.1e0.1<19，∴a<b；∵0.1e0.1>0.1×1.1=0.11，而−1n0.9=ln109<12(109−910)=19180<0.11，∴a>c，∴c<a<b．故选：C．构造函数f(x)=lnx+1x ，x>0，利用导数性质求出lnx>1−1x，由此能求出结果．本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】C【解析】解：如图所示，正四棱锥P −ABCD 各顶点都在同一球面上，连接AC 与BD 交于点E ，连接PE ，则球心O 在直线PE 上，连接OA ， 设正四棱锥的底面边长为a ，高为ℎ，在Rt △PAE 中，PA 2=AE 2+PE 2，即l 2=(√2a2)2+ℎ2=12a 2+ℎ2，∵球O 的体积为36π，∴球O 的半径R =3，在Rt △OAE 中，OA 2=OE 2+AE 2，即R 2=(ℎ−3)2+(√2a2)2，∴12a 2+ℎ2−6ℎ=0，∴12a 2+ℎ2=6ℎ， ∴l 2=6ℎ，又∵3≤l ≤3√3，∴32≤ℎ≤92，∴该正四棱锥体积V(ℎ)=13a 2ℎ=13(12ℎ−2ℎ2)ℎ=−23ℎ3+4ℎ2， ∵V′(ℎ)=−2ℎ2+8ℎ=2ℎ(4−ℎ)，∴当32≤ℎ<4时，V′(ℎ)>0，V(ℎ)单调递增；当4<ℎ≤92时，V′(ℎ)<0，V(ℎ)单调递减， ∴V(ℎ)max =V(4)=643，又∵V(32)=274，V(92)=814，且274<814，∴274≤V(ℎ)≤643，即该正四棱锥体积的取值范围是[274,643]， 故选：C ．画出图形，由题意可知求出球的半径R =3，设正四棱锥的底面边长为a ，高为ℎ，由勾股定理可得l 2=12a 2+ℎ2，又R 2=(ℎ−3)2+(√2a 2)2，所以l 2=6ℎ，由l 的取值范围求出ℎ的取值范围，又因为a 2=12ℎ−2ℎ2，所以该正四棱锥体积V(ℎ)=−23ℎ3+4ℎ2，利用导数即可求出V(ℎ)的取值范围． 本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：如图，连接B 1C ，由A 1B 1//DC ，A 1B 1=DC ，得四边形DA 1B 1C 为平行四边形， 可得DA 1//B 1C ，∵BC 1⊥B 1C ，∴直线BC 1与DA 1所成的角为90°，故A 正确；∵A 1B 1⊥BC 1，BC 1⊥B 1C ，A 1B 1∩B 1C =B 1，∴BC 1⊥平面DA 1B 1C ，而CA 1⊂平面DA 1B 1C ， ∴BC 1⊥CA 1，即直线BC 1与CA 1所成的角为90°，故B 正确；设A 1C 1∩B 1D 1=O ，连接BO ，可得C 1O ⊥平面BB 1D 1D ，即∠C 1BO 为直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角，∵sin∠C 1BO =OC 1BC 1=12，∴直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角为30°，故C 错误；∵CC 1⊥底面ABCD ，∴∠C 1BC 为直线BC 1与平面ABCD 所成的角为45°，故D 正确． 故选：ABD ．求出异面直线所成角判断A ；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断B ；分别求出线面角判断C 与D ． 本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】AC【解析】解：f′(x)=3x 2−1，令f′(x)>0，解得x <−√33或x >√33，令f′(x)<0，解得−√33<x <√33，∴f(x)在(−∞,−√33),(√33,+∞)上单调递增，在(−√33,√33)上单调递减，且f(−√33)=2√3+99>0,f(√33)=9−2√39>0，∴f(x)有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A 正确，选项B 错误；又f(x)+f(−x)=x 3−x +1−x 3+x +1=2，则f(x)关于点(0,1)对称，故选项C 正确；假设y =2x 是曲线y =f(x)的切线，设切点为(a,b)，则{3a 2−1=22a =b，解得{a =1b =2或{a =−1b =−2，显然(1,2)和(−1,−2)均不在曲线y =f(x)上，故选项D 错误． 故选：AC ．对函数f(x)求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项AB ；由f(x)+f(−x)=2，可判断选项C ；假设y =2x 是曲线y =f(x)的切线，设切点为(a,b)，求出a ，b 的值，验证点(a,b)是否在曲线y =f(x)上即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：∵点A(1,1)在抛物线C ：x 2=2py(p >0)上， ∴2p =1，解得p =12，∴抛物线C 的方程为x 2=y ，准线方程为y =−14，选项A 错误； 由于A(1,1)，B(0,−1)，则k AB =1−(−1)1−0=2，直线AB 的方程为y =2x −1，联立{y =2x −1x 2=y ，可得x 2−2x +1=0，解得x =1，故直线AB 与抛物线C 相切，选项B 正确；根据对称性及选项B 的分析，不妨设过点B 的直线方程为y =kx −1(k >2)，与抛物线在第一象限交于P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立{y =kx −1y =x 2，消去y 并整理可得x 2−kx +1=0，则x 1+x 2=k ，x 1x 2=1，y 1y 2=(kx 1−1)(kx 2−1)=k 2x 1x 2−k(x 1+x 2)+1=1，|OP|⋅|OQ|=√x 12+y 12⋅√x 22+y 22≥√2x 1y 1⋅√2x 2y 2=2√x 1x 2y 1y 2=2=|OA|2，由于等号在x 1=x 2=y 1=y 2=1时才能取到，故等号不成立，选项C 正确；|BP||BQ|=√x 12+(y 1+1)2⋅√x 2+(y 2+1)2>√x 12+4y 1⋅√x 22+4y 2=√5x 12⋅√5x 22=5√(x 1x 2)2=5=|BA|2，选项D 正确． 故选：BCD ．对于A ，根据题意求得p 的值，进而得到准线；对于B ，求出直线AB 方程，联立直线AB 与抛物线方程即可得出结论；对于C ，设过点B 的直线方程为y =kx −1(k >2)，联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两个之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项CD ． 本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：∵f(32−2x)为偶函数，∴可得f(32−2x)=f(32+2x)，∴f(x)关于x =32对称， 令x =54，可得f(32−2×54)=f(32+2×54)，即f(−1)=f(4)，故C 正确； ∵g(2+x)为偶函数，∴g(2+x)=g(2−x)，g(x)关于x =2对称，故D 不正确； ∵f(x)关于x =32对称，∴x =32是函数f(x)的一个极值点，∴g(32)=f′(32)=0， 又∴g(x)关于x =2对称，∴g(52)=g(32)=0，∴x =52是函数f(x)的一个极值点，f(x)关于x =32对称，∴x =−12是函数f(x)的一个极值点，∴g(−12)=f′(−12)=0，故B 正确； f(x)图象位置不确定，可上下移动，即没一个自变量对应的函数值是确定值，故A 错误． 故选：BC ．由f(32−2x)为偶函数，可得f(x)关于x =32对称，可判断C ；g(2+x)为偶函数，可得g(2+x)=g(2−x)，g(x)关于x =2对称，可判断D ；由g(32)=0，g(x)关于x =2对称，可得g(52)=0，得到x =52是f(x)的极值点，x =−12也是极值点，从而判断B ；f(x)图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断A ．本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．13.【答案】−28【解析】解：(x +y)8的通项公式为T r+1=C 8r x 8−r y r， 当r =6时，T 7=C 86x 2y 6，当r =5时，T 6=C 85x 3y 5，∴(1−yx)(x +y)8的展开式中x 2y 6的系数为C 86−C 85=8!6!⋅2!−8!5!⋅3!=28−56=−28． 故答案为：−28．由题意依次求出(x +y)8中x 2y 6，x 3y 5项的系数，求和即可． 本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】x =−1(填3x +4y −5=0，7x −24y −25=0都正确)【解析】解：圆x 2+y 2=1的圆心坐标为O(0,0)，半径r 1=1， 圆(x −3)2+(y −4)2=16的圆心坐标为C(3,4)，半径r 2=4， 如图：∵|OC|=r 1+r 2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条． ∵k OC =43，∴l 1的斜率为−34，设直线l 1：y =−34x +b ，即3x +4y −4b =0，由|−4b|5=1，解得b =54(负值舍去)，则l 1：3x +4y −5=0；由图可知，l 2：x =−1；l 2与l 3关于直线y =43x 对称，联立{x =−1y =43x ，解得l 2与l 3的一个交点为(−1,−43)，在l 2上取一点(−1,0)，该点关于y =43x 的对称点为(x 0,y 0)，则{y 02=43⋅x 0−12y 0x 0+1=−34，解得对称点为(725,−2425).∴k l 3=−2425+43725+1=724，则l 3：y =724(x +1)−43，即7x −24y −25=0． ∴与圆x 2+y 2=1和(x −3)2+(y −4)2=16都相切的一条直线的方程为： x =−1(填3x +4y −5=0，7x −24y −25=0都正确)．故答案为：x =−1(填3x +4y −5=0，7x −24y −25=0都正确)．由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】(−∞,−4)∪(0,+∞)【解析】解：y′=e x +(x +a)e x ，设切点坐标为(x 0,(x 0+a)e x 0)， ∴切线的斜率k =e x 0+(x 0+a)e x 0，∴切线方程为y −(x 0+a)e x 0=(e x 0+(x 0+a)e x 0)(x −x 0)， 又∵切线过原点，∴−(x 0+a)e x 0=(e x 0+(x 0+a)e x 0)(−x 0)，整理得：x 02+ax 0−a =0，∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根，∴Δ=a2+4a>0，解得a<−4或a>0，即a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞)，故答案为：(−∞,−4)∪(0,+∞)．设切点坐标为(x0,(x0+a)e x0)，利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得x02+ax0−a=0，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由Δ>0即可求出a的取值范围．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．16.【答案】13【解析】解：∵椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，∴不妨可设椭圆C：x24c2+y23c2=1，a=2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴k DE=tan30°=√33，由等腰三角形的性质可得，|AD|=|DF2|，|AE|=|EF2|，设直线DE方程为y=√33(x+c)，D(x1,y1)，E(x2,y2)，将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx−32c2=0，由韦达定理可得，x1+x2=−8c13，x1x2=−32c213，|DE|=√k2+1|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√13+1⋅√(−8c13)2+128c213=4813c=6，解得c=138，由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|=4a=8c=8×138=13．故答案为：13．根据已知条件，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)已知a1=1，{S na n }是公差为13的等差数列，所以S na n =1+13(n−1)=13n+23，整理得S n=13na n+23a n，①，故当n≥2时，S n−1=13(n−1)a n−1+23a n−1，②，①−②得：13a n=13na n−13na n−1−13a n−1，故(n−1)a n=(n+1)a n−1，化简得：a na n−1=n+1n−1，a n−1a n−2=nn−2，........，a3a2=42，a2a1=31；所以a na1=n(n+1)2，故a n=n(n+1)2(首项符合通项)．所以a n=n(n+1)2．证明：(2)由于a n=n(n+1)2，所以1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以1a1+1a2+...+1a n=2(1−12+12−13+...+1n−1n+1)=2×(1−1n+1)<2．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；(2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵cosA1+sinA =sin2B1+cos2B，∴cosA1+sinA=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，化为：cosAcosB=sinAsinB+sinB，∴cos(B+A)=sinB，∴−cosC=sinB，C=2π3，∴sinB=12，∵0<B<π3，∴B=π6．(2)由(1)可得：−cosC =sinB >0，∴cosC <0，C ∈(π2,π)， ∴C 为钝角，B ，A 都为锐角，B =C −π2． sinA =sin(B +C)=sin(2C −π2)=−cos2C ，a 2+b 2c 2=sin 2A+sin 2Bsin 2C=cos 22C+cos 2Csin 2C=(1−2sin 2C)2+(1−sin 2C)sin 2C =2+4sin 4C−5sin 2Csin 2C=2sin 2C+4sin 2C −5≥2√2×4−5=4√2−5，当且仅当sinC =1√24时取等号．∴a 2+b 2c 2的最小值为4√2−5．【解析】(1)利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B ．(2)利用诱导公式把A 用C 表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论． 本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为4，可得V A 1−ABC =13V A 1B 1C 1−ABC =43，设A 到平面A 1BC 的距离为d ，由V A 1−ABC =V A−A 1BC ， ∴13S △A 1BC ⋅d =43，∴13×2√2⋅d =43，解得d =√2． (2)由直三棱柱ABC −A 1B 1C 1知BB 1⊥平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，又平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，又平面ABC ∩平面A 1BC =BC ， 所以BC ⊥平面ABB 1A 1，∴BC ⊥A 1B ，BC ⊥AB ，以B 为坐标原点，BC ，BA ，BB 1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AA 1=AB ，∴BC ×√2AB ×12=2√2，又12AB ×BC ×AA 1=4，解得AB =BC =AA 1=2， 则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C(2,0,0)，A 1(0,2,2)，D(1,1,1)， 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，设平面ABD 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y +z =0，令x =1，则y =0，z =−1，∴平面ABD 的一个法向量为n ⃗ =(1,0,−1)， 设平面BCD 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， {m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a =0m⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b +c =0，令b =1，则a =0，c =−1， 平面BCD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,1,−1)， cos <n ⃗ ，m ⃗⃗⃗ >=√2⋅√2=12， 二面角A −BD −C 的正弦值为√1−(12)2=√32．【解析】(1)利用体积法可求点A 到平面A 1BC 的距离；(2)以B 为坐标原点，BC ，BA ，BB 1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角A −BD −C 的正弦值．本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．20.【答案】解：(1)补充列联表为：计算K 2=200×(40×90−10×60)2100×100×50×150=24>6.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异． (2)(i)证明：R =P(B|A)P(B −|A)：P(B|A −)P(B −|A −)=P(B|A)P(B −|A)⋅P(B −|A −)P(B|A −)=P(AB)P(A)P(AB −)P(A)⋅P(A −B −)P(A −)P(A −B)P(A −)=P(AB)⋅P(A −B −)P(AB −)⋅P(A −B)=P(AB)P(B)P(A −B)P(B)⋅P(A −B −)P(B −)P(AB −)P(B −)=P(A|B)P(A −|B)⋅P(A −|B −)P(A|B −)；(ⅱ)利用调查数据，P(A|B)=40100=25，P(A|B −)=10100=110，P(A −|B)=1−P(A|B)=35，P(A −|B −)=1−P(A|B −)=910， 所以R =2535×910110=6．【解析】(1)补充列联表，根据表中数据计算K 2，对照附表得出结论． (2)(i)根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；(ⅱ)利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．21.【答案】解：(1)将点A 代入双曲线方程得 4a 2−1a 2−1=1，化简得a 4−4a 2+4=0，∴a 2=2，故双曲线方程为x 22−y 2=1，由题显然直线l 的斜率存在，设l ：y =kx +m ，设P(x 1,y 1)Q(x 2,y 2)， 则联立双曲线得：(2k 2−1)x 2+4kmx +2m 2+2=0， 故x 1+x 2=−4km 2k 2−1，x 1x 2=2m 2+22k 2−1，k AP +k AQ =y 1−1x 1−2+y 2−1x 2−2=kx 1+m−1x 1−2+kx 2+m−1x 2−2=0，化简得：2kx 1x 2+(m −1−2k)(x 1+x 2)−4(m −1)=0， 故2k(2m 2+2)2k 2−1+(m −1−2k)(−4km2k 2−1)−4(m −1)=0，即(k +1)(m +2k −1)=0，而直线l 不过A 点，故k =−1； (2)设直线AP 的倾斜角为α，由tan∠PAQ =2√2，∴2tan∠PAQ 21−tan 2∠PAQ 2=2√2，得tan∠PAQ 2=√22， 由2α+∠PAQ =π，∴α=π−∠PAQ2，得k AP =tanα=√2，即y 1−1x 1−2=√2，联立y 1−1x 1−2=√2，及x 122−y 12=1得x 1=10−4√23,y 1=4√2−53， 代入直线 l 得m =53，故x 1+x 2=203,x 1x 2=689，而|AP|=√3|x 1−2|,|AQ|=√3|x 2−2|， 由tan∠PAQ =2√2，得sin∠PAQ =2√23， 故S △PAQ =12|AP||AQ|sin∠PAQ =√2|x 1x 2−2(x 1+x 2)+4|=16√29． 【解析】(1)将点A 代入双曲线方程得x 22−y 2=1，由题显然直线l 的斜率存在，设l ：y =kx +m ，与双曲线联立后，根据直线AP ，AQ 的斜率之和为0，求解即可；(2)设直线AP 的倾斜角为α，由tan∠PAQ =2√2，得tan∠PAQ 2=√22，联立y 1−1x 1−2=√2，及x 122−y 12=1，根据三角形面积公式即可求解．本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．22.【答案】(1)解：∵f(x)=e x−ax，g(x)=ax−lnx，∴f′(x)=e x−a，g′(x)=a−1x，∵y=e x在x∈R上单调递增，函数y=−1x在x∈(0,+∞)上单调递增，∴函数f′(x)和函数g′(x)在各自定义域上单调递增，又∵函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有最小值，∴当f′(x)=0时，x=lna，当g′(x)=0时，x=1a，∴函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，函数g(x)在(0,1a )上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增，∴f(x)min=f(lna)=a−alna，g(x)min=1+lna，∵函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值∴a−alna=1+lna，解得：a=1．(2)证明：设三个交点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，由(1)得，函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴x1∈(−∞,0)，x2∈(0,1)，x3∈(1,+∞)，b=e x1−x1=e x2−x2=x2−lnx2=x3−lnx3，∴2x2=e x2+lnx2，e x1−x1=x2−lnx2，e x2−x2=x3−lnx3，∴e x1−x1=e lnx2−lnx2，e x2−x2=e lnx3−lnx3，∴f(x1)=f(lnx2)，f(x2)=f(lnx3)，∵lnx2∈(−∞,0)，lnx3∈(0,+∞)，∴x1=lnx2，x2=lnx3，∴x3=e x2，∴x1+x3=lnx2+e x2=2x2，∴x1，x2，x3成等差数列，∴存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【解析】(1)先对两个函数求导，然后由函数有相同的最小值得到函数f(x)和g(x)的单调性，从而求得f′(x)和g′(x)的零点，进而得到函数的最小值，然后列出方程求得a的值；(2)设三个交点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，得到有关x1，x2，x3的方程，然后化简利用函数f(x)的单调性求得x1，x3和x2的数量关系，进而得证命题．本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得x1、x3和x2的数量关系．。
