等式与不等式的性质【考纲要求】1、会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.2、会利用不等式性质比较大小【思维导图】【考点总结】【考点总结】一、等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc .二、不等式的概念我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 三、比较两个实数a 、b 大小的依据文字语言符号表示 如果a ＞b ，那么a －b 是正数； 如果a ＜b ，那么a －b 是负数； 如果a ＝b ，那么a －b 等于0， 反之亦然a >b ⇔a －b >0 a <b ⇔a －b <0 a ＝b ⇔a －b ＝0[1．上面的“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出．2．“⇔”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系. 四、不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .推论(同向可加性)：⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性： ⎭⎬⎫a >b c >0⇒ac >bc ；⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc ； 推论(同向同正可乘性)：⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ； (5)正数乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *，n ≥1)； (6)正数开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N *，n ≥2)． [化解疑难]1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．【题型汇编】题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小 题型二：作差法比较数（式）大小 题型三：利用不等式的性质证明不等式 【题型讲解】题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小 一、单选题1．（2022·浙江·三模）已知,,,a b c d ∈R ，且,,()()()a b c c d a d b d c d c d <<≠---+=，则（ ） A ．d a < B ．a d b <<C ．b d c <<D ．d c >【答案】B 【解析】 【分析】由()()()a d b d c d c d ---+=得()()10a d b d --=-<，结合a b <即可求解. 【详解】由题意知：()()()a d b d c d d c ---=-，又c d ≠，则()()10a d b d --=-<，显然,a d b d --异号， 又a b <，所以a d b c <<<. 故选：B.2．（2022·北京·北大附中三模）已知0a b >>，下列不等式中正确的是（ ） A ．c ca b> B ．2ab b <C ．12a b a b-+≥- D ．1111a b <-- 【答案】C 【解析】 【分析】由0a b >>，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 【详解】解：对于选项A ，因为110,0a b a b>><<，而c 的正负不确定，故A 错误； 对于选项B ，因为0a b >>，所以2ab b >，故B 错误； 对于选项C ，依题意0a b >>，所以10,0a b a b ->>-，所以()112a b a b a ba b-+≥-⨯=--，故C 正确；对于选项D ，因为10,111,1a b a b a >>->->--与11b -正负不确定，故大小不确定，故D 错误； 故选：C.3．（2022·江西萍乡·三模（理））设2ln1.01a =， 1.021b =，1101c =，则（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．b a c << D ．c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】令()()ln ,1x f x x g x =，()()()ln 1h x f x g x x x =-=，求导研究函数()h x 的单调性，从而得到a b >，利用不等式的性质比较得出b c >，从而求得答案. 【详解】令()()ln ,1x f x x g x =， ()()()ln 1h x f x g x x x =-=，12()2xh x x x -'==，可以判断()h x 在[0,4)上单调递增， 22ln1.01 1.021ln1.01 1.011ln1.0201 1.021a b -==-= ln1.02 1.021(1.02)(1)0h h >=>=，所以a b >，2222221221202200121(1)(1) 1.02(1)0101100101101100101101100101101b c -+-+=-+=--=-=->⨯⨯， 所以22(1)(1)b c +>+， 又因为 1.0210b =>，10101c =>， 所以11b c +>+，即b c >，所以c b a <<， 故选：D.4．（2022·北京·二模）“0m n >>”是“()22()log log 0-->m n m n ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 【分析】首先根据不等式的性质，求解出()22()log log 0-->m n m n ，进而根据逻辑关系进行判断即可. 【详解】对于()22()log log 0-->m n m n 等价为：220log log 0m n m n ->⎧⎨->⎩或220log log 0m n m n -<⎧⎨-<⎩ 即：22log log m n m n >⎧⎨>⎩或22log log m n m n <⎧⎨<⎩ 解得：0m n >>或0m n <<，∴“0m n >>”是“()22()log log 0-->m n m n ”的充分不必要条件.故选：A.5．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知0,0a b >>，且2e 1b aa b -+=+则下列不等式中恒成立的个数是（ ） ①1122b a --< ②11b a a b -<- ③e e b a b a -<- ④52727ln 5a a b b ++-+<+A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】①，分析得到,a b <所以1122b a --<正确；②，构造函数举反例判断得解；③，构造函数利用函数单调性判断得解；④，转化为判断2ln(5)2+72ln(5)2+7a a b b +<+解. 【详解】解：①，若02,e e 1,11b aa ab b -+≥∴≤=∴>+，所以矛盾，所以,a b <所以1122b a --<正确； ②，1111b a a b a b a b -<-∴+<+，，设21(1)(1)(),(0),()x x f x x x f x x x +-'=+>∴=， 所以当(0,1)x ∈时，函数()f x 单调递减，当(1,+)x ∈∞时，函数()f x 单调递增，因为a b <，所以11a b ab+<+不恒成立，如1151,(),1,(1)2()2222a fb f f ====<，所以该命题错误；③，e e a b a b -<-，设()e ,()e 10,()x x g x x g x g x '=-∴=->∴在(0,)+∞单调递增，因为a b <，所以e e a b a b -<-恒成立，所以该命题正确； ④，52727ln2ln(5)2+72ln(5)2+75a a b a a b b b ++-+<⇔+<++ 设()2ln(5)2+7h x x x =+所以2227(5)()(5)27(5)27[227(5)]x x h x x x x x x x +-+'+++++++ (5)27[227(5)]x x x x +++++，所以函数()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减. 取131,e,(1)e 3e,1b b a b b -==∴+=+ 设()(1)e ,()(2)e 0x x k x x k x x '=+∴=+>，所以()k x 在(0,)+∞单调递增， (1)2e 3e k =<，2(2)3e 3e k =>，所以存在(1,2),(1)e 3e b b b ∈+>，此时2ln(5)2+72ln(5)2+7a a b b ++ 所以该命题错误. 故选：B6．（2022·山东日照·二模）若a ，b ，c 为实数，且a b <，0c >，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．a c b c +<+ B ．11a b< C ．ac bc > D ．b a c ->【答案】A 【解析】 【分析】由不等式的基本性质和特值法即可求解. 【详解】对于A 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a b a c b c <⇒+<+，A 选项正确；对于B 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若2a =-，1b =-，则11a b>，B 选项错误； 对于C 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，0c >，0a b ac bc <<⇒<，C 选项错误；对于D 选项，因为0a b b a <⇒->，0c >，所以无法判断b a -与c 大小，D 选项错误.7．（2022·陕西渭南·二模（文））设x 、y 都是实数，则“2x >且3y >”是“5x y +>且6xy >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由不等式性质及特殊值法判断条件间的推出关系，结合充分必要性的定义即可确定答案. 【详解】由2x >且3y >，必有5x y +>且6xy >，当5x y +>且6xy >时，如1,7x y ==不满足2x >，故不一定有2x >且3y >. 所以“2x >且3y >”是“5x y +>且6xy >”的充分不必要条件. 故选：A8．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b > B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>【答案】D 【解析】 【分析】对于A ，B ，C 可以取特殊值验证，对于D ，根据题意得330a b >>，3333a b b b --+>+，利用基本不等式求解即可. 【详解】对于A ：当2a =，4b =-时不成立，故A 错误；对于B ：当12a =-，1b =-，所以2ba =，101b a +=+，即11b b a a +>+，故C 错误；对于C ：当0c 时不成立，故C 错误；对于D ：因为a b >，所以330a b >>，又30b ->，所以33332332b b a b b b ---≥⨯+>+=（等号成立的条件是0b =），故D 正确. 故选：D.9．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（文））设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极小值点，则（ ） A ．a b < B ．a b > C ．2ab a < D ．2ab a >【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导，令()0f x '=，则x a =或23a b x +=，然后分23a b a +<和23a ba +>结合a 的正负讨论判断函数的极值点即可 【详解】由()()()2f x a x a x b =--，得2()2()()()()(32)f x a x a x b a x a a x a x a b '=--+-=---， 令()0f x '=，则x a =或23a bx +=， 当23a ba +<，即a b <时， 若0a >时，则()f x 在(,)a -∞，2,3a b +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,3a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以x a =是函数的极大值点，不合题意，若0a <时，则()f x 在(,)a -∞，2,3a b +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,3a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以x a =是函数的极小值点，满足题意，此时由a b <，0a <，可得2a ab >， 当23a ba +>时，a b >， 若0a <时，()f x 在2,3a b +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(,)a +∞上单调递减，在2,3a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以x a =是函数的极大值点，不合题意，若0a >时，()f x 在2,3a b +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(,)a +∞上单调递增，在2,3a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以x a =是函数的极小值点，满足题意，此时由a b >，0a >得2a ab >，综上，2a ab >一定成立，所以C 正确，ABD 错误， 故选：C10．（2022·江西·二模（文））已知正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论不正确的是（ ） A ab 12B ．14a b+的最小值是9C ．若a b >，则2211a b < D ．22log log a b +的最大值为0 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式，以及对数的运算，不等式的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A ：0,0,1a b a b ab >>=+≥12ab ，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对B ：14144()59b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当2a b =，即12,33a b ==时，等号成立，故B 正确；对C ：0a b >>，∴22a b >，∴2211a b<，故C 正确； 对D ：由A 可知104ab <≤，故22221log log log log 24a b ab +=≤=-，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 错误. 故选：D . 二、多选题1．（2022·全国·模拟预测）已知110a b<<，则下列不等关系中正确的是（ ） A ．ab a b >- B ．ab a b <--C ．2b aa b+>D ．b a a b> 【答案】CD 【解析】【分析】根据不等式的性质，特值法以及基本不等式即可判断各关系式的真假． 【详解】 对A ，由110a b <<，得0b a <<，当12a =-，2b =-时，A 错误； 对B ，当2a =-，3b =-时，B 错误； 对C ，由110a b<<，得0b a <<，根据基本不等式知，C 正确： 对D ，由110a b <<，得0b a <<，所以22b a >，因为220b a b a a b ab--=>，所以D 正确． 故选：CD ．2．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．221a b >+ B ．122a b +> C ．24a b > D ．1ab b>+ 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用不等式的性质及特殊值法判断即可． 【详解】解：对于非零实数a ，b 满足||1a b >+，则()22||1a b >+， 即2222||11a b b b >++>+，故A 一定成立； 因为1||1122a b a b b +>+≥+⇒>，故B 一定成立；又()2||10b -≥，即212||b b +≥，所以24||4a b b >≥，故C 一定成立； 对于D ：令5a =，3b =，满足||1a b >+，此时5143a b b =<+=，故D 不一定成立． 故选：ABC3．（2022·重庆·二模）已知2510a b ==，则（ ） A ．111a b+> B ．2a b > C ．4ab > D ．4a b +>【答案】BCD 【解析】根据指数式与对数式的互化，再利用对数的运算性质及对数大小的比较及不等式的性质即可求解. 【详解】252510,log 10,log 10,a b a b ==∴==对于A ，lg lg lg lg log log lg lg lg lg a b +=+=+=+251111112510101010101025log log log log =+===⨯101010102255101，故A 不正确；对于B ，log ,log log log a b ====2255510221010100，342328,216,525,5125====log log log ;log log log a b <<⇒<<<<⇒<<222555816342510012522103，2a b >，故B 正确； 对于C ，()()lg lg lg lg lg lg log log log log lg lg lg lg ab ++=⋅=⋅=⋅=++102525251025101015122525log log log log log log =+++⋅=++25252515252252log log ,log log ab >=>=∴>++=22555422102204，故C 正确；对于D ，由B 知，,,a b b a b <<<<∴<<∴<+<311342231422，故D 正确；故选：BCD.题型二：作差法比较数（式）大小 一、单选题1．（2022·全国·模拟预测（理））已知10a b a>>>，则下列结论正确的是（ ） A ．1a bb a -⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．log log a a bba b <C ．log log a b baa b <D ．11b a a b-<- 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答案.因为10a b a>>>，所以1a >， 对于A ：01b a <<，0a b ->，所以01a bb b a a -<⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎝⎭=⎭，故A 错误； 对于B ：1ab>，所以log a b y x =在(0,)+∞上为增函数，又a b >，所以log log a a bba b>，故B 错误；对于C ：log log log log log a b a a a babbbb a b a ab-=+=，因为1ab>，1ab >，所以log log 10a a b b ab =>，所以log log a b baa b>，故C 错误；对于D ：11111()ab b a b a a b a b b a ab -⎛⎫⎛⎫---=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0a b ->，1ab >， 所以111()0ab b a a b a b ab -⎛⎫⎛⎫---=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11b a a b -<-，故D 正确. 故选：D2．（2022·重庆·二模）若非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．2a b ab +>C ．22lg lg a b > D ．33a b >【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A 中，由11b aa b ab--=，因为a b >，可得0b a -<，当ab 不确定，所以A 错误；对于B 中，只有当0,0,a b a b >>，不相等时，才有2a b ab +>B 错误； 对于C 中，例如1,2a b ==-，此时满足a b >，但22lg lg a b <，所以C 错误； 对于D 中，由不等式的基本性质，当a b >时，可得33a b >成立，所以D 正确. 故选：D.3．（2022·江西上饶·二模（理））设e 4ln 2313e 4ln 214e ea b c ===，，其中e 是自然对数的底数，则（ ） 注：e 2.718ln 20.693==，A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()e xxf x =，则()(4ln 2)e b f c f ==、，利用导数研究函数的单调性可得 b c >；根据作差法和对数的运算性质可得13423)4c a -=+，构造新函数2(1)()ln (0)1x g x x x x -=->+，利用导数研究函数的性质可得34230+>， 进而c a >，即可得出结果. 【详解】 令()e xx f x =， 则1()ex xf x -'=，令()01f x x =⇒='， 则()e xxf x =在(1,)+∞单调递减， 所以4ln 2e 4ln e e e 2()(4ln 2)e bf c f ====，， ∵4ln 240.69 2.76e b c >⨯=∴>>，； 4ln 24ln 2ln 231314e 4c a ===，， ∴ln 231311343)444c a -=-+=+， 令2(1)()ln (0)1x g x x x x -=->+， 则22214(1)()0(1)(1)x g x x x x x -'=-=≥++，∴()g x 在(1,)+∞单调递增， ∴2(31)(3)33423031g -==++， ∴c a >； 综上，b c a >>. 故选：C4．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．22a b >B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>【答案】D 【解析】 【分析】对于A ，B ，C 可以取特殊值验证，对于D ，根据题意得330a b >>，3333a b b b --+>+，利用基本不等式求解即可. 【详解】对于A ：当2a =，4b =-时不成立，故A 错误；对于B ：当12a =-，1b =-，所以2ba =，101b a +=+，即11b b a a +>+，故C 错误；对于C ：当0c 时不成立，故C 错误；对于D ：因为a b >，所以330a b >>，又30b ->，所以33332332b b a b b b ---≥⨯+>+=（等号成立的条件是0b =），故D 正确. 故选：D.5．（2022·广东广州·一模）若正实数a ，b 满足a b >，且ln ln 0a b ⋅>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．log 0a b < B ．11a b b a->- C ．122ab a b ++< D ．11b a a b --<【答案】D 【解析】 【分析】根据函数单调性及ln ln 0a b ⋅>得到1a b >>或01b a <<<，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A 选项可以用对数函数单调性得到，B 选项可以用作差法，C 选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D 选项，需要构造函数进行求解. 【详解】因为0a b >>，ln y x =为单调递增函数，故ln ln a b >，由于ln ln 0a b ⋅>，故ln ln 0a b >>，或ln ln 0b a <<， 当ln ln 0a b >>时，1a b >>，此时log 0a b >； ()11110a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫---=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11a b b a ->-； ()()()1110ab a b a b +-+=-->，122ab a b ++>；当ln ln 0b a <<时，01b a <<<，此时log 0a b >，()11110a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫---=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11b a a b -<-；()()()1110ab a b a b +-+=-->，122ab a b ++>；故ABC 均错误；D 选项，11b a a b --<，两边取自然对数，()()1ln 1ln b a a b -<-，因为不管1a b >>，还是01b a <<<，均有()()110a b -->，所以ln ln 11a b a b <--，故只需证ln ln 11a ba b <--即可， 设ln 1xf xx （0x >且1x ≠），则()()211ln 1x x f x x --'=-，令()11ln g x x x =--（0x >且1x ≠），则()22111xg x x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，所以()()10g x g <=，所以()0f x '<在0x >且1x ≠上恒成立，故ln 1xf xx （0x >且1x ≠）单调递减，因为a b >，所以ln ln 11a b a b <--，结论得证，D 正确 故选：D6．（2022·山西太原·二模（文））已知32a =，53b =，则下列结论正确的有（ ） ①a b < ②11a b a b+<+ ③2a b ab +< ④b a a a b b +<+ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】求出a 、b 的值，比较a 、b 的大小，利用指数函数的单调性、导数法、不等式的基本性质以及基本不等式逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为32a =，53b =，则3log 2a =，5log 3b =.对于①，3223<，则2323<，从而2333320log 1log 2log 33a =<=<=，3235>，则2335>，则235552log 5log 3log 513b =<=<=，即2013a b <<<<，①对；对于②，()()()11111a b ab a b a b a b a b ab --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为2013a b <<<<，则0a b -<，01ab <<，所以，11a b a b +>+，②错；对于③，355522log 2log 32log 2log 4ab =⋅==，所以，35535542log 2log 3log 4log 2log log 3log 503a b ab +-=+-=->=， 所以，2a b ab +>，③错； 对于④，构造函数()ln x f x x =，其中0e x <<，则()21ln xf x x -'=. 当0e x <<时，()0f x '>，则函数()f x 在()0,e 上单调递增， 因为01a b <<<，则()()f a f b <，即ln ln a ba b<，可得b a a b <，所以，b a a a b b +<+，④对. 故选：B.7．（2022·河北衡水中学一模）已知110a b<<，则下列结论一定正确的是（ ） A ．22a b > B ．2b aa b+<C ．a ba a <D ．2lg lg a ab <【答案】D 【解析】 【分析】 由110a b<<，得到0b a <<，结合不等式的基本性质、作差比较、基本不等式和对数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】 由110a b<<，可得0b a <<，则0,0,0a b a b ab +<->>， 对于A 中，由22()()0a b a b a b -=+-<，所以22a b <，所以A 不正确； 对于B 中，由0,0b a a b <>，且b a a b ≠，则2b a b aa b a b+>⨯，所以B 不正确；对于C 中，由0,0aba a >>，且a a bba aa-=，当1a >时，1a a bba aa -=>，此时ab a a >；当1=a 时，1a a bba aa -==，此时ab a a =；当1a <时，1a a bba aa-=<，此时a b a a <，所以C 不正确；对于D 中，由22lg lg lglg a aa ab ab b=-=，因为0b a <<，可得01a b <<，所以lg0ab<，可得2lg lg a ab <，所以D 正确. 故选：D.8．（2022·重庆·三模）已知0.3πa =，20.9πb =，sin 0.1c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．a c b >> D ．b a c >>【答案】B 【解析】 【分析】作差法比较出a b >，构造函数，利用函数单调性比较出c a >，从而得出c a b >>. 【详解】 2220.30.90.3π0.90.330.90ππππa b -⨯--=-=>=，所以0a b ->，故a b >，又()πsin 3f x x x =-，则()πcos 3f x x '=-在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()0π30f '=->，π3π306f ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，所以存在0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，且在()00,x x ∈时，()0f x '>，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即()πsin 3f x x x =-在()00,x x ∈上单调递增，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，且π6+23012f ⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，所以0π12x >，又因为()00f =，所以当()00,x x ∈时，()πsin 30f x x x =->，其中因为1π1012<，所以()010,10x ∈，所以1πsin 0.10.3010f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故sin 0.10.3π>，即c a b >>. 故选：B9．（2022·湖南·雅礼中学二模）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 A ．ax by cz ++ B ．az by cx ++ C ．ay bz cx ++ D ．ay bx cz ++【答案】B 【解析】 【详解】由x y z <<，a b c <<，所以()()()ax by cz az by cx a x z c z x ++-++=-+- ()()0x z a c =-->，故ax by cz az by cx ++>++；同理，()ay bz cx ay bx cz ++-++()()()()0b z x c x z x z c b =-+-=--<，故ay bz cx ay bx cz ++<++.因为()az by cx ay bz cx ++-++()()()()0a z y b y z a b z y =-+-=--<，故az by cx ay bz cx ++<++.故最低费用为az by cx ++.故选B.二、多选题1．（2022·山东日照·三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E 与工作年限()0r r >，劳累程度()01T T <<，劳动动机()15b b <<相关，并建立了数学模型0.141010r E T b -=-⋅，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（ ）A ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高B ．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低C ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱D ．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强 【答案】AC 【解析】 【分析】设甲与乙的工人工作效率12,E E ，工作年限12,r r ，劳累程度12,T T ，劳动动机12,b b ，利用作差法和指数函数的性质比较大小即可判断选项AB ；利用作商法和幂函数指数函数的性质比较大小即可判断选项CD. 【详解】设甲与乙的工人工作效率12,E E ，工作年限12,r r ，劳累程度12,T T ，劳动动机12,b b ， 对于A ，0.141212122,,,15,01b b r r T T b b -=><<<<<∴210.140.421121,0r r b b T T -->>>， 则()120.140.1412112210101010r r E E T b T b ---=-⋅--⋅()1200.1.1424211100r rT b T b --=⋅-⋅>，∴12E E >，即甲比乙工作效率高，故A 正确； 对于B ，121212,,T T r r b b =>>，∴2210.0.140.140.141402.14121110,r r r b b b b b ----->>>>>，则()120.140.1412112210101010r r E E T b T b ---=-⋅--⋅()210.141210.14100r rT b b --=->，∴12E E >，即甲比乙工作效率高，故B 错误： 对于C ，112221,,b b E E r r =><，∴()210.140.14122211100r r E E T b T b ---=⋅-⋅>，210.140.142211r rT b T b --⋅>⋅∴()()11220.140.41110.122141r r r r b b b T T ---->=>， 所以1T T >2，即甲比乙劳累程度弱，故C 正确；对于D ，12121221,,,01r r E E b b b b =><<<， ∴()210.140.14122211100r r E E T bT b ---=⋅-⋅>，210.140.142211r r T bT b --⋅>⋅∴()()11220.140.41110.122141r r r r b b b T T ---->=>， 所以1T T >2，即甲比乙劳累程度弱，故D 错误． 故选：AC2．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知0a b >>，115a b a b+++=，则下列不等式成立的是（ ） A ．14a b <+<B ．114b a a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．2211b a a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AB 【解析】 【分析】AB 选项，利用基本不等式进行求解；CD 选项，利用作差法比较大小. 【详解】 115a b a b +++=，即5a b a b ab+++=，所以()5a b ab a b +=-+，因为0a b >>，所以由基本不等式得：()24a b ab +<，所以()()254a b a ba b ++<-+，解得：14a b <+<，A 正确；11112224b a ab ab a b abab ⎛⎫⎛⎫++=++≥⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1ab ab =时等号成立，故B 正确； ()221111111111b a b a b a b a b a a b a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=++++--=++++- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为0a b >>，所以()11110b a b a a b ab ⎛⎫⎛⎫++++-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以2211b a a b ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误；()221111111111a b a b a b a b b a a b a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=++++--=+++-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为0a b >>，而1ab 可能比1大，可能比1小，所以()1111a b b a a b ab ⎛⎫⎛⎫+++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭符号不确定，所以D 错误， 故选：AB3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知1m n >>，若1e 2e e m n m m m n +-=-（e 为自然对数的底数），则（ ） A ．1e e 1m n m n +>+ B ．11122m n-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．42222m n --+> D ．()3log 1m n +>【答案】ACD 【解析】 【分析】 由1e 2ee mn mm m n +-=-可得1e e 21m n m n ++=+，利用作差法即可判断A ；令()()e 1x f x x x=>，根据导数可判断函数在()1+∞，上递增，结合A 及指数函数的单调性可判断B ；根据指数函数的单调性结合基本不等式可判断C ；结合B 根据对数函数的单调性可判断D. 【详解】解：因为1e 2e e m n m m m n +-=-，所以()()11e e 2m n n m ++=+，即1e e 21m n m n ++=+， 对于A ，因为111e e e 2e 20111+1m n n n m n n n n ++++-=-=>+++，所以1e e 1m n m n +>+，故A 正确； 对于B ，令()()e 1x f x x x =>，则()()21e 0x x f x x -'=>， 所以()f x 在()1+∞，上单调递增， 因为1e e 1m n m n +>+，所以()()1f m f n >+， 所以1m n >+，即1m n ->，所以11122m n-⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误； 对于C ，因为1m n >+，所以433322222222m n n n n n -------+>+≥⋅== 当且仅当322n n --=，即32n =时取等号， 所以4222m n --+>，故C 正确； 对于D ，因为1213m n n n n +>++=+>，所以()3log 1m n +>，故D 正确. 故选：ACD.4．（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ）．A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，写出函数的定义域、判定奇偶性，即判定选项A 错误、选项B 正确；设出切点坐标，利用导数的几何意义和过点P 求出切线方程，进而判定选项C 正确；平方作差比较大小，进而判定选项D 错误. 【详解】设()f x x α=，将点4,2代入()f x x α=，得24α=，则12α=，即12()f x x =， 对于A ：()f x 的定义域为[)0,+∞，即选项A 错误； 对于B ：因为()f x 的定义域为[)0,+∞， 所以()f x 不具有奇偶性，即选项B 正确；对于C ：因为12()f x x =，所以()2f x x'=设切点坐标为(00x x ，则切线斜率为()002k f x x =' 切线方程为000)2y x x x x =-，又因为切线过点1(0,)2P ，所以0001)22x x x -，解得01x =， 即切线方程为11(x 1)2y -=-，即1122y x =+，即选项C 正确；对于D ：当120x x <<时，()()21212221212[]222f x f x x x x x x x f ++++⎛⎫-=-⎪⎝⎭⎝⎭ (212121212121222024x x x x x x x x x x x x ++--+=-<，即()()1212()22f x f x x xf ++<成立，即选项D 错误．故选：BC ．5．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是（ ） A ．1ab a b +>+ B ．()2log 1a b +> C ．11a b ab+<+ D ．11a b a b+>+ 【答案】BD 【解析】 【分析】A 选项，利用()()1110a b ab a b --=+--<作出判断；B 选项，利用基本不等式即函数单调性求解；CD 选项，用作差法求解. 【详解】由于两个不相等的正实数a 和b ，满足1ab >，所以a 和b 可取一个比1大，一个比1小，即()()1110a b ab a b --=+--<，故1ab a b +<+，A 错误；由题意得：22a b ab +>，所以()2log 1a b +>，B 正确；()111111a b a b a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中110ab ->，但不知道a 和b 的大小关系，故当a b >时，11a b a b+>+，当a b <时，11a b a b +<+，C 错误；()1111a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中110ab ->，0a b +>，所以()11110a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11a b a b+>+，D 正确. 故选：BD6．（2022·山东聊城·三模）已知实数m ，n 满足01n m <<<，则下列结论正确的是（ ） A ．11n n m m +<+ B ．11m n m n+>+C ．n m m n >D ．log log m n n m <【答案】AC 【解析】 【分析】利用作差法比较大小，可判断A,B,利用指数函数和幂函数的单调性，可判断C;根据对数函数的单调性，可判断D. 【详解】由01n m <<<知，0n m -< ，故110,1(1)1n n n m n n m m m m m m +-+-=<<+++，A 正确； 由01n m <<<得0m n ->，110mn -<，所以()11110m n m n m n mn ⎛⎫⎛⎫+-+=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11m n m n +<+，故B 错误；因为指数函数x y m =为单调减函数，故n m m m >，由幂函数m y x = 为单调增函数知m m m n > ，故n m m n >，故C 正确； 根据, 01n m <<<对数函数log ,log m n y x y x == 为单调减函数, 故log log 1log log m m n n n m n m >==>，故D 错误， 故选：AC题型三：利用不等式的性质证明不等式 一、单选题1．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）设,a b ∈R ，则“||1+≤a b ”是“||1a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质可证充分性成立，举例说明可证必要性不成立. 【详解】||1|||||1|1≥+⇒+≥++≥b a a b a a ，所以充分性成立，当05a b ==-，时，满足||1a b +≥，但||1+≤a b 不成立，所以必要性不成立． 所以“||1+≤a b ”是“||1a b +≥”的充分不必要条件.故选：A ．2．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞； 故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决． 3．（2021·浙江·模拟预测）已知a ，b R ∈，则“a b b ->”是“12b a <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先化简a b b ->得12b a <，即得解. 【详解】由a b b ->得2222,(2)0a b ab b a a b +->∴->， 所以2210,10,2a b b b a a a ->∴->∴<. 反之，也成立.所以“a b b ->”是“12b a <”的充分必要条件. 故选：C 【点睛】方法点睛：充分必要条件的判断，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.4．（2021·上海长宁·二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值． 则下列判断正确的是（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q 都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题【答案】C 【解析】 【分析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p 的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q 的真假而得解. 【详解】对于命题p ：设12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <， 所以()()()()1221f x f x f x f x -=-， 因为()()()()1212f x f x g x g x -≥-，所以()()()()211221()()f x f x g x g x f x f x -+≤-≤- 所以()()1122()()f x g x f x g x -≤- 故函数()()y f x g x =-不是减函数， 故命题p 为真命题；对于命题():q y f x =在R 上有最大值M ，此时x a =，有最小值m ，此时x b =， 因为()()()()()()()()f x f a g x g a f x M g x g a M f x -≥-⇔-≤-≤-，()()()()()()()()f x f b g x g b m f x g x g b f x m -≥-⇔-≤-≤-所以()()()()2()()()()22m M g a g b M m g a g b m M g x g a g b M m g x -++-++-≤--≤-⇔≤≤，所以()y g x =有界，但不一定有最大值和最小值，故命题q 为假命题． 故选：C 【点睛】结论点睛：含绝对值不等式转化方法：a>0时，||x a a x a ≤⇔-≤≤；||x a x a ≥⇔≤-或x a ≥.5．（2021·浙江·模拟预测）已知x ，y ∈R ，则“2214xy +≤”是“12xy +≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质证明必要性成立，利用特殊值法证明充分性不成立即可得到结果. 【详解】若12x y +≤，则12x ≤，1y ≤，所以222x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，2y y ≤所以22122x x y y ⎛⎫+≤+≤ ⎪⎝⎭，即必要性成立；当32x =，12y =时，22312142⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+< ⎪⎝⎭，但311242x y +=+>，所以充分性不成立 所以“2214x y +≤”是“12x y +≤”的必要不充分条件故选：B ． 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用不等式的性质证明必要性.6．（2021·全国·模拟预测）已知a ∈R ，()21ln 0ax x a x --+≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】不等式()21ln 0ax x a x --+≤等价于(1)(1)ln 0x ax a x -+-≤，分类讨论1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1x =和(1,2]x ∈，分别求出实数a 的取值范围，最后取交集即可. 【详解】易知21(1)(1)ax x a x ax a --+=-+-，不等式()21ln 0ax x a x --+≤，即(1)(1)ln 0x ax a x -+-≤.当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，ln 0x <，10x -<，则1101ax a a x +-≤⇒≤+，又112,123x ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦，所以12a ≤； 当1x =时，ln 0x =，对任意的实数a ，不等式恒成立； 当(1,2]x ∈时，ln 0x >，10x ->，则1101ax a a x +-≤⇒≤+，又11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以13a ≤； 综上，实数a 的取值范围为1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立求参数问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）； ②数形结合(()y f x = 图像在()y g x = 上方即可)； ③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.7．（2021·浙江·模拟预测）已知0a b >>，给出下列命题： 1a b =，则1a b -<； ②若331a b -=，则1a b -<； ③若1a b e e -=，则1a b -<； ④若ln ln 1a b -=，则1a b -<. 其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】1a b =1a b ，然后两边平方，再通过作差法即可得解；②若331a b -=，则331a b -=，然后利用立方差公式可知23(1)(1)a a a b -++=，再结合0a b >>以及不等式的性质即可判断； ③若1abe e -=，则111a b a bb b b e e ee e e-+===+，再利用0b >，得出1b e >，从而求得a b e -的范围，进而判断； ④取特殊值，a e =，1b =即可判断． 【详解】1a b ， 1a b =， 所以12a b b =++所以121a b b -=+，即①错误； 若331a b -=， 则331a b -=，即23(1)(1)a a a b -++=， 因为0a b >>， 所以22a b >， 所以221a a b ++>，所以1a b -<，即1a b -<，所以②正确； 若1a b e e -=， 则111a b a bb b b e e ee e e-+===+， 因为0b >，所以12a b e e -<<<， 所以1a b -<，即③正确；④取a e =，1b =，满足1lna lnb -=， 但1a b ->，所以④错误； 所以真命题有②③， 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及根据不等式的性质证明不等式、指对运算法则、立方差公式等，考查学生的分析能力和运算能力．8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知,a b ∈R 且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是（ ） A ．[0,12] B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]【答案】C 【解析】 【分析】设()()42+=++-a b A a b B a b ，求出A B ，结合条件可得结果. 【详解】设()()42+=++-a b A a b B a b ，可得42+=⎧⎨-=⎩A B A B ，解得31=⎧⎨=⎩A B ，()423+=++-a b a b a b ，因为1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩可得()33911⎧≤+≤⎨-≤-≤⎩a b a b ，所以24210a b ≤+≤. 故选：C.9．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知,,a b c ∈R 且0,++=>>a b c a b c ，则22a c ac+的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．(],2-∞-C ．5,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】首先求得a c ，及c a 的取值范围，再把22a cac+转化为关于c a 的代数式a c c a +，利用函数1()f t t t =+的单调性去求a cc a+的取值范围即可解决 【详解】由0,++=>>a b c a b c ，可得00a c ><，，b a c =-- 则a a c c >-->，则122c a -<<-，令c t a=，则122t -<<-221a c a c t ac c a t +=+=+，122t ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭。
