§3向量的坐标表示和空间向量基本定理3．1 & 3.2 空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理[对应学生用书P22]空间向量的标准正交分解与坐标表示学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李得知：面试地点由此向东10 m，后向南15 m，然后乘5号电梯到位于6楼的2号学术报告厅参加面试．设e1是向东的单位向量，e2是向南的单位向量，e3是向上的单位向量．问题1：e1，e2，e3有什么关系？提示：两两垂直．问题2：假定每层楼高为3 m，请把面试地点用向量p表示．提示：p＝10e1＋15e2＋15e3.标准正交基与向量坐标(1)标准正交基：在给定的空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴正方向的单位向量i，j，k叫作标准正交基．(2)标准正交分解：设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝x i＋y j＋z k，叫作a的标准正交分解．(3)向量的坐标表示：在a的标准正交分解中三元有序实数(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示．(4)向量坐标与投影：①i，j，k为标准正交基，a＝x i＋y j＋z k，那么a·i＝x，a·j＝y，a·k＝z.把x，y，z分别称为向量a在x轴、y轴、z轴正方向上的投影．②向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．③一般地，若b0为b的单位向量，则称a·b0＝|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影.空间向量基本定理空间中任给三个向量a，b，c.问题1：什么情况下，向量a，b，c可以作为一个基底？提示：它们不共面时．问题2：若a，b，c是基底，则空间任一向量v都可以由a，b，c表示吗？提示：可以．如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.其中e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a关于基底e1，e2，e3的分解．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以表示出空间任一向量；空间中的基底是不唯一的，空间任意三个不共面的向量均可作为空间向量的基底．[对应学生用书P23]空间向量的坐标表示[例1] ′，AB＝3，BC＝4，AA′＝6.(1)写出C ′的坐标，给出AC 'u u u u r关于i ，j ，k 的分解式；(2)求BD 'u u u r的坐标．[思路点拨] (1)C ′的坐标(也是AC 'u u u u r的坐标)，即为C ′在x 轴、y 轴、z 轴正方向上的投影，即|OD |，|OB ||OA ′|.(2)写出BD 'u u u r 关于i ，j ，k 的分解式，即可求得BD 'u u u r的坐标．[精解详析] (1)∵AB ＝3，BC ＝4，AA ′＝6， ∴C ′的坐标为(4,3,6)．∴AC 'u u u u r＝(4,3,6)＝4i ＋3j ＋6k .(2)BD 'u u u r ＝AD 'u u u u r －AB u u u r . ∵AD 'u u u u r ＝AD u u u r ＋AA 'u u u r＝4i ＋6k ， ∴BD 'u u u r ＝AD 'u u u u r －AB u u u r ＝－AB u u u r ＋AD u u u r ＋AA 'u u u r＝4i －3j ＋6k ， ∴BD 'u u u r＝(4，－3,6)．[一点通]1．建立恰当的空间直角坐标系是准确表达空间向量坐标的前提，应充分利用已知图形的特点，寻找三条两两垂直的直线，并分别为x ，y ，z 轴进行建系．2．若表示向量AB u u u r 的坐标，只要写出向量AB u u u r关于i ，j ，k 的标准正交分解式，即可得坐标．1．在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E 1＝14A 1B 1，则1DE u u u u r的坐标为________．解析：显然D 为原点，设E 1(x ，y ，z )， 易知x ＝1，y ＝34，z ＝1，∴1DE u u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34，1 2．已知点A 的坐标是(1,2，－1)，且向量OC u u u r 与向量OA u u u r关于坐标平面xOy 对称，向量OB u u u r 与向量OA u u u r 关于x 轴对称，求向量OC u u u r 和向量OB u u u r的坐标．解：如图，过A 点作AM ⊥平面xOy 于M ，则直线AM 过点C ，且CM ＝AM ，则点C 的坐标为(1,2,1)，此时OC u u u r ＝(1,2,1)，该向量与OA u u u r＝(1,2，－1)关于平面xOy 对称．过A 点作AN ⊥x 轴于N ，则直线AN 过点B ，且BN ＝AN ，则B (1，－2,1)，此时OB u u u r ＝(1，－2,1)，该向量与OA u u u r关于x 轴对称．3.在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO u u u r ，1A B u u u u r的坐标．解：(1)∵DO u u u r ＝－OD u u u r ＝－(1OO u u u u r ＋1O D u u u u r) ＝－[1OO u u u u r ＋12(OA u u ur ＋OB u u u r )]＝－1OO u u u u r －12OA u u ur －12OB u u u r ＝－4k －2i －j .∴DO u u u r＝(－2，－1，－4)．(2)∵1A B u u u u r ＝OB u u u r －1OA u u u r ＝OB u u u r －(OA u u u r ＋1AA u u u u r) ＝OB u u u r －OA u u u r －1AA u u u u r＝2j －4i －4k .∴1A B u u u u r＝(－4,2，－4)．向量a 在b 上的投影[例2] 如图，已知单位正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′.(1)求向量CA 'u u u r 在CD u u u r上的投影；(2)DC u u u r 是单位向量，且垂直于平面ADD ′A ′，求向量CA 'u u u r 在DC u u u r上的投影．[思路点拨] a 在b 上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉，只要求出|a|及〈a ，b 〉即可．[精解详析] (1)法一：向量CA 'u u u r 在CD u u u r 上的投影为|CA 'u u u r |cos 〈CA 'u u u r ，CD u u u r 〉，又正方体棱长为1，∴|CA ′|＝12＋12＋12＝3，∴|CA 'u u u r|＝3，∠DCA ′即为CA 'u u u r 与CD u u u r的夹角，在Rt △A ′CD 中，cos ∠A ′CD ＝13＝33， ∴CA 'u u u r 在CD u u u r上的投影为|CA 'u u u r |cos 〈CA 'u u u r ，CD u u u r 〉＝3·33＝1.法二：在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，DC ⊥AD ，〈CA 'u u u r ，CD u u u r〉＝∠DCA ′. ∴CA 'u u u r 在CD u u u r上的投影为： |CA 'u u u r |cos 〈CA 'u u u r ，CD u u u r 〉＝|CA 'u u u r |cos ∠DCA ′＝|CD u u u r|＝1.(2)CA 'u u u r 与DC u u u r的夹角为180°－∠A ′CD ， ∴CA 'u u u r 在DC u u u r上的投影为 |CA 'u u u r |cos(180°－∠A ′CD )＝－|CA 'u u u r|cos ∠D ′CA ＝－1.[一点通]1．求向量a 在向量b 上的投影，可先求出|a|，再求出两个向量a 与b 的夹角，最后计算|a|cos 〈a ，b 〉，即为向量a 在向量b 上的投影，它可正、可负，也可以为零；也可以利用几何图形直观转化求解．2．在确定向量的夹角时要注意向量的方向，如本题中〈CA 'u u u r ，CD u u u r 〉与〈CA 'u u u r ，DC u u u r〉是不同的，其和为π.4．已知i ，j ，k 为标准正交基，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为( ) A ．1 B ．－1 C.14D ．－14解析：a·i ＝|a||i |cos 〈a ，i 〉， ∴|a |cos 〈a ，i 〉＝a·i|i|＝(i ＋2j ＋3k )·i ＝1. 答案：A5.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝AA 1＝2，则向量1AC u u u u r在向量1AD u u u u r上的投影为________．解析：1AC u u u u r 在1AD u u u u r 上的投影为|1AC u u u u r |cos 〈1AC u u u u r ，1AD u u u u r 〉，而|1AC u u u u r |＝42＋22＋22＝26，在Rt △AD 1C 1中，cos ∠D 1AC 1＝|AD 1||AC 1|＝33，∴|1AC u u u u r |cos 〈1AC u u u u r ，1AD u u u u r〉＝2 2.答案：2 2空间向量基本定理及其简单应用[例3] 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF u u u r ＝x AB u u u r ＋y AD u u u r ＋z 1AA u u u u r，求x ＋y ＋z .[思路点拨] 要证明四点共面只需证明1AC u u u u r可用AE u u u r ，AF u u u r 表示即可；第(2)问中求x＋y ＋z 只需先把EF u u u r 用AB u u u r ，AD u u u r ，1AA u u u u r表示出来，求出x ，y ，z ，再求x ＋y ＋z .[精解详析] (1)证明：1AC u u u u r ＝AE u u u r ＋1EC u u u u r，又1EC u u u u r ＝1EB u u u u r ＋11B C u u u u r ＝231BB u u u u r ＋11B C u u u u r ＝231AA u u u u r ＋AD u u ur ，AF u u u r ＝AD u u u r ＋DF u u u r ＝AD u u u r ＋231DD u u u u r ＝AD u u u r ＋231AA u u u u r，∴1EC u u u u r ＝AF u u ur ，∴1AC u u u u r ＝AE u u ur ＋AF u u u r ，∴A ，E ，C 1，F 四点共面．(2)∵EF u u u r ＝AF u u u r －AE u u u r ＝AD u u u r ＋DF u u u r －(AB u u u r ＋BE u u u r ) ＝AD u u u r ＋231DD u u u u r －AB u u u r －131BB u u u u r＝－AB ＋AD u u u r ＋131AA u u u u r，∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13.∴x ＋y ＋z ＝13.[一点通]1．空间向量基本定理是指用空间三个不共面的已知向量a ，b ，c 构成的向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．2．利用空间的一个基底a ，b ，c 可以表示出所有向量，注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则，及向量的数乘运算，表示要彻底，结果只含有a ，b ，c ，不能再有其他向量．6．O ，A ，B ，C 为空间四边形的四个顶点，点M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，且OA u u u r＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r ＝c ，且a ，b ，c 表示MN u u u u r为( )A.12(c ＋b －a ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(a ＋b ＋c ) 解析：MN u u u u r ＝MO u u u u r ＋ON u u u r ＝－12OA u uu r ＋12(OB u u u r ＋OC u u u r )＝12(OB u u u r ＋OC u u u r －OA u u u r )＝12(b ＋c－a )．答案：A7．已知e 1，e 2，e 3是空间中不共面的三个向量，且a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3＝α a ＋β b ＋γ c ，则α＋2β＋γ＝________.解析：∵a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3＝α a ＋β b ＋γ c ，∴e 1＋2e 2＋3e 3＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.∴α＋2β＋γ＝0. 答案：08．如图所示，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，且1AA u u u u r＝a ，AB u u u r ＝b ，AD u u u r ＝c ，用a ，b ，c 表示如下向量：(1) 1A C u u u u r ；(2)BG u u u r (G 在B 1D 1上且1B G u u u u r ＝121GD u u u u r )．解：(1)1A C u u u u r ＝AC u u u r －1AA u u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r －1AA u u u u r＝－a ＋b ＋c .(2)BG u u u r ＝1BB u u u u r ＋1B G u u u u r ，又1B G u u u u r ＝1311B D u u u u r ＝13(11B A u u u u r ＋11A D u u u u r )＝13(AD u u ur －AB u u u r )＝13(c －b )， ∴BG u u u r ＝a －13b ＋13c .1．空间任一点P 的坐标的确定：过P 作面xOy 的垂线，垂足为P ′.在平面xOy 中，过P ′分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A ，C ，则|x |＝|P ′C |，|y |＝|AP ′|，|z |＝|PP ′|.2．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底，基底中的三个向量e 1，e 2，e 3都不是0.3．空间中任一向量可用空间中不共面的三个向量来唯一表示．4．点A (a ，b ，c )关于x 轴、y 轴、z 轴对称点的坐标分别为(a ，－b ，－c )，(－a ，b ，－c )，(－a ，－b ，c )；它关于xOy 面、xOz 面、yOz 面、原点对称点的坐标分别为(a ，b ，－c )，(a ，－b ，c )，(－a ，b ，c )，(－a ，－b ，－c )．[对应课时跟踪训练七]1．在以下三个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则a ，b ，c 构成空间的一个基底．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：③中向量a ，b ，c 共面，故a ，b ，c 不能构成空间向量的一个基底，①②均正确． 答案：C2．如图，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E 是平面A ′B ′C ′D ′的中心，a ＝12AA u u ur ，b ＝12AB u u u r ，c ＝13AD u u ur ，AE u u u r ＝x a ＋y b ＋z c ，则( )A ．x ＝2，y ＝1，z ＝32B ．x ＝2，y ＝12，z ＝12C ．x ＝12，y ＝12，z ＝1D ．x ＝12，y ＝12，z ＝32解析：AE u u u r ＝AA 'u u u r ＋A E 'u u u u r ＝AA 'u u u r ＋12(A B ''u u u u r ＋A ′D ′―→)＝2a ＋b ＋32c .答案：A3．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，则1AB u u u u r 在1CB u u u r上的投影为( )A ．－22B.22C ．－ 2 D. 2解析：∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴|1AB u u u u r |＝2，|AC u u u r |＝2，|1B C u u u u r|＝ 2.∴△AB 1C 是等边三角形．∴1AB u u u u r 在1CB u u u r 上的投影为|1AB u u u u r |cos 〈1AB u u u u r ，1CB u u u r 〉＝2×cos 60°＝22.答案：B4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是面BB 1C 1C 的中心，且1AA u u u u r＝a ，AB u u u r ＝b ，AC u u u r ＝c ，则1A D u u u u r＝( )A.12a ＋12b ＋12cB.12a －12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D ．－12a ＋12b ＋12c解析：1A D u u u u r ＝11A C u u u u r ＋1C D u u u u r ＝AC u u u r ＋12(1C C u u u u r ＋11C B u u u u r)＝c ＋12(－1AA u u u u r ＋CA u u u r ＋AB u u u r )＝c －12a ＋12(－c )＋12b＝－12a ＋12b ＋12c .答案：D5．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，CC 1＝1，则1AC u u u u r 在BA u u ur 上的投影是________．解析：1AC u u u u r 在BA u u u r 上的投影为|1AC u u u u r |cos 〈1AC u u u u r ，BA u u ur 〉，在△ABC 1中， cos ∠BAC 1 ＝|AB ||AC 1|＝222＋12＋12＝26＝63， 又|1AC u u u u r|＝ 6.∴|1AC u u u u r |cos 〈1AC u u u u r ·BA u u u r 〉＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－63＝－2.答案：－26．在三棱锥O －ABC 中，OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE u u u r＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：如图，OE u u u r ＝OA u u u r ＋AE u u u r ＝OA u u u r ＋12AD u u u r ＝OA u u u r ＋14(AB u u u r ＋AC u u ur )＝OA u u u r ＋14(OB u u u r －OA u u u r ＋OC u u u r －OA u u u r )．＝12OA u uu r ＋14OB u u u r ＋14OC u u u r ＝12a ＋14b ＋14c .答案：12a ＋14b ＋14c7．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1各点的坐标，并写出DA u u u r ，DB u u u r ，DC u u u r ，1DC u u u u r ，1DD u u u u r ，1DA u u u u r，1DB u u u u r的坐标表示．解：∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴A (1,0,0), B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)．∴DA u u u r ＝(1,0,0)，DB u u u r ＝(1,1,0)，DC u u u r ＝(0,1,0)，1DC u u u u r＝(0,1,1)，1DD u u u u r ＝(0,0,1)，1DA u u u u r ＝(1,0,1)，1DB u u u u r＝(1,1,1)．8．如下图，已知PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC 的重心，AB u u u r＝i ，AD u u u r ＝j ，AP u u u r＝k ，试用基底i ，j ，k 表示向量PG u u u r ，BG u u u r .解：∵G 是△PDC 的重心，∴PG u u u r ＝23PN u u u r ＝13(PD u u u r ＋PC u u u r )＝13(PA uu u r ＋AD u u u r ＋PA u u u r ＋AB u u u r ＋BC u u u r ) ＝13(－k ＋j －k ＋i ＋j )＝13i ＋23j －23k ， BG u u u r ＝BA u u u r ＋AP u u u r ＋PG u u u r＝－i ＋k ＋13i ＋23j －23k＝－23i ＋23j ＋13k .3．3 空间向量运算的坐标表示[对应学生用书P25]2014年2月，济青高速临沂段发生交通事故，一辆中型车严重变形，驾驶员被困车内，消防官兵紧急破拆施救．为防止救援造成的二次伤害，现从3个方向用力拉动驾驶室门，这3个力两两垂直，其大小分别为|F 1|＝300 N ，|F 2|＝200 N ，|F 3|＝200 3 N.问题1：若以F 1，F 2，F 3的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，驾驶室门受到的力的坐标是什么？提示：(300,200,2003)．问题2：驾驶室门受到的合力有多大？ 提示：|F |＝500 N.空间向量的坐标运算若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则 (1)a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)； (2)a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2)； (3)λa ＝(λx 1，λy 1，λz 1)； (4)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2；(5)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2(λ∈R )； (6)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0； (7)|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21＋z 21； (8)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22. 若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB u u u r＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．1．空间向量的加、减、数乘的坐标运算仍是坐标，数量积的运算是实数．2．利用空间向量的坐标可以解决向量的模、夹角、向量的平行与垂直等问题．[对应学生用书P25]空间向量的坐标运算[例1] 已知a b a 3b,3a b a·b .[思路点拨] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和．[精解详析] 2a ＋3b ＝(6,10，－8)＋(6,6,24)＝(12,16,16)，3a －2b ＝(9,15，－12)－(4,4,16)＝(5,11，－28)， a·b ＝3×2＋5×2－4×8＝－16.[一点通]空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．1．已知a ＝(1,0，－1)，b ＝(1，－2,2)，c ＝(－2,3，－1)，那么向量a －b ＋2c ＝( ) A ．(0,1,2) B ．(4，－5,5) C ．(－4,8，－5)D ．(2，－5,4)解析：a －b ＋2c ＝(1－1－2×2,0＋2＋6，－1－2－2)＝(－4,8，－5)． 答案：C2．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求P 点坐标，使(1)OP u u u r ＝12(AB u u u r －AC u u ur )；(2)AP u u u r ＝12(AB u u u r －AC u u ur )．解：AB u u u r＝(2,6，－3)，AC u u u r ＝(－4,3,1)．(1)OP u u u r ＝12(6,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，则P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2； (2)设P 为(x ，y ，z )，则AP u u u r ＝(x －2，y ＋1，z －2)＝12(AB u u u r －AC u u u r )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，所以x ＝5，y ＝12，z ＝0，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，0. 3．已知向量a ＝(1，－2,4)，求同时满足以下三个条件的向量c ： (1)a·c ＝0；(2)|c |＝10；(3)c 与向量b ＝(1,0,0)垂直． 解：设c ＝(x ，y ，z )，由三个条件得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4z ＝0，x 2＋y 2＋z 2＝100，x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝45，z ＝25或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－45，z ＝－25.∴c ＝(0,45，25)或(0，－45，－25)．用坐标运算解决向量的平行与垂直问题[例1111DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．过B 作BM ⊥AC 1于M ，求点M 的坐标．[思路点拨] 写出A ，B ，C 1的坐标，设出M 的坐标，利用条件BM ⊥AC 1及M 在AC 1上建立方程组，求解．[精解详析] 法一：设M (x ，y ，z )，由图可知：A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C 1(0，a ，a )，则1AC u u u u r＝(－a ，a ，a )，AM u u u u r ＝(x －a ，y ，z )，BM u u u u r ＝(x －a ，y －a ，z )．∵BM u u u u r ⊥1AC u u u u r ，∴BM u u u u r ·1AC u u u u r＝0，∴－a (x －a )＋a (y －a )＋az ＝0， 即x －y －z ＝0.①又∵1AC u u u u r ∥AM u u u ur ，∴x －a ＝－λa ，y ＝λa ，z ＝λa ，即x ＝a －λa ，y ＝λa ，z ＝λa .② 由①②得x ＝2a 3，y ＝a 3，z ＝a3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3.法二：设AM u u u u r ＝λ1AC u u u u r＝(－aλ，aλ，aλ)， ∴BM u u u u r ＝BA u u u r ＋AM u u u u r＝(0，－a,0)＋(－aλ，aλ，aλ)＝(－aλ，aλ－a ，aλ)． ∵BM ⊥AC 1，∴BM u u u u r ·1AC u u u u r ＝0即a 2λ＋a 2λ－a 2＋a 2λ＝0，解得λ＝13，∴AM u u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，a 3，a 3，DM u u u u r ＝DA u u u r ＋AM u u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3.∴M 点坐标(2a 3，a 3，a3)．[一点通]用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用： (1)若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)(b 为非零向量)，则a ∥b ⇔x 1＝λx 2，且y 1＝λy 2且z 1＝λz 2(λ∈R )．若b ＝0时，必有a∥b ，必要时应对b 是否为0进行讨论．(2)a⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.4．已知a ＝(1，－5,6)，b ＝(0,6,5)，则a 与b ( ) A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向D ．平行且反向解析：a·b ＝0－30＋30＝0，∴a⊥b .答案：A5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 是DC 的中点，求证：AD ⊥D 1F .证明：建立空间直角坐标系如图，不妨设正方体的棱长为1，则有D (0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0.∴AD u u u r ＝(－1,0,0)，1D F u u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1.∴AD u u u r ·1D F u u u u r ＝(－1,0,0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1＝0.∴AD ⊥D 1F .6．已知a ＝(1，x,1－x )，b ＝(1－x 2，－3x ，x ＋1)，求满足下列条件时，实数x 的值． (1)a∥b ；(2)a⊥b .解：(1)①当x ＝0时，a ＝(1,0,1)，b ＝(1,0,1)，a ＝b ， ∴x ＝0，满足a∥b ；②当x ＝1时，a ＝(1,1,0)，b ＝(0，－3,2)， 此时a 不平行b ，∴x ≠1. ③当x ≠0且x ≠1时，由a∥b ⇔1－x 21＝－3x x ＝x ＋11－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝－3，x ＋11－x＝－3⇔x ＝2.综上所述，当x ＝0或2时，a∥b . (2)∵a⊥b ⇔a·b ＝0⇔(1，x,1－x )·(1－x 2，－3x ，x ＋1)＝0⇔1－x 2－3x 2＋1－x 2＝0，解得x ＝±105. 用空间向量的坐标运算解决夹角与距离问题[例1111N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN u u u r的长；(2)求cos 〈1BA u u u r ，1CB u u u r〉的值．[思路点拨] CA ，CB ，CC 1两两垂直，可由此建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解向量的模及夹角．[精解详析] 以C 为原点，以CA u u u r ，CB u u u r ，1CC u u u u r为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B (0,1,0)，N (1,0,1)，BN u u u r＝(1，－1,1)，∴|BN u u u r|＝ 3.(2)依题意，得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)．∴1BA u u u r ＝(1，－1,2)，1CB u u u r＝(0,1,2)， ∴1BA u u u r ·1CB u u u r ＝3，|1BA u u u r |＝6，|1CB u u u r|＝ 5.∴cos 〈1BA u u u r ，1CB u u u r 〉＝1BA u u u r ·1CB u u u r| 1BA u u u r ||1CB u u u r |＝3010. [一点通]在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量的坐标运算，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，求AB u u u r 与CA u uu r 的夹角．解：AB u u u r＝(－2，－1,3)，CA u u u r ＝(－1,3，－2)，|AB u u u r|＝4＋1＋9＝14，|CA u u u r |＝1＋9＋4＝14，AB u u u r ·CA u uu r ＝2－3－6＝－7，∴cos 〈AB u u u r ，CA u u u r 〉＝AB ―→·CA ―→|AB ―→||CA ―→|＝－714×14＝－12.∵〈AB u u u r ，CA u u u r 〉∈[0，π]，∴〈AB u u u r ，CA u u u r 〉＝2π3.8．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点．(1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求FH 的长．解：如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，D 为坐标原点，则有E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)，B 1(1,1,1)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0.(1)证明：EF u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0－⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12，1B C u u u u r＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，∴EF u u u r ·1B C u u u u r ＝12×(－1)＋12×0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝0，∴EF u u u r ⊥1B C u u u u r ，即EF ⊥B 1C .(2)∵1C G u u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0－(0,1,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，－1，∴|1C G u u u u r |＝174.又∵EF u u u r ·1C G u u u u r ＝12×0＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝38，|EF u u u r |＝32.∴cos 〈EF u u u r ，1C G u u u u r 〉＝EF u u u r ·1C G u u u u r|EF u u u r ||1C G u u u u r |＝5117.即异面直线EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117. (3)∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12， ∴FH u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，38，12.∴|FH u u u r |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫382＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝418.故FH 的长为418.1．空间向量加法、减法、数乘、数量积、平行、垂直、夹角的坐标表示都类似于平面向量，要类比记忆与理解．2．空间向量的坐标运算，关键是要建立恰当的空间直角坐标系，然后利用有关公式求解．要注意总结在长方体、直三棱柱、正三棱柱、正四棱锥等特殊几何体中建立空间直角坐标系的规律．3．利用向量的坐标运算可证明向量的垂直与平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式可求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题．[对应课时跟踪训练八]1．下列各组向量中不平行的是( ) A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4) B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0) C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0) D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16，－24,40)解析：对D 中向量g ，h ，16－2＝－243≠405，故g ，h 不平行．答案：D2．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝( ) A ．4 B ．－4 C.12D ．－6解析：∵a ＋b ＝(－2,1,3＋x )且(a ＋b )⊥c ， ∴－2－x ＋6＋2x ＝0，∴x ＝－4. 答案：B3．若a ＝(1，λ，－1)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦为19，则|a |＝( )A.94B.102C.32D. 6解析：因为a·b ＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，又因为a·b ＝|a||b |·cos〈a ，b 〉＝2＋λ2×9×19＝13 2＋λ2，所以132＋λ2＝－λ.解得λ2＝14，所以|a |＝ 1＋14＋1＝32. 答案：C4.如图，在空间直角坐标系中有四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝2，E 为PD 的中点，则|BE u u u r |＝( )A ．2B. 5C. 6 D ．2 2解析：由题意可得B (2,0,0)，E (0,1,1)，则BE u u u r ＝(－2,1,1)，|BE u u u r |＝ 6.答案：C5．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________. 解析：因为(k a －b )⊥b ，所以(k a －b )·b ＝0，所以k a·b －|b |2＝0，所以k (－1×1＋0×2＋1×3)－(12＋22＋32)2＝0，解得k ＝7.答案：76．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线， 则p ＝________，q ＝________. 解析：由A ，B ，C 三点共线，则有AB u u u r 与AC u u u r 共线，即AB u u u r ＝λAC u u u r .又AB u u u r ＝(1，－1,3)，AC u u u r ＝(p －1，－2，q ＋4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λp －1，－1＝－2λ，3＝λq ＋4.所以⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12，p ＝3，q ＝2.答案：3 2 7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)，问是否存在实数x ，y ，使得AC u u u r ＝x AB u u u r ＋y BC u u u r 成立？若存在，求x ，y 的值．解：∵AB u u u r ＝(－1,1,0)，AC u u u r ＝(－1,0,2)，BC u u u r ＝(0，－1,2)．假设存在x ，y ∈R 满足条件，由已知得(－1,0,2)＝x (－1,1,0)＋y (0，－1,2)，即(－1,0,2)＝(－x ，x,0)＋(0，－y,2y )＝(－x ，x －y,2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝－x ，0＝x －y ，2＝2y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.即存在实数x ＝1，y ＝1使结论成立．8．如图，在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，|OA u u u r |＝2，|AB u u u r |＝3，|1AA u u u u r |＝2，E 为BC 的中点．(1)求1AO u u u u r 与1B E u u u u r 所成角的余弦值；(2)作O 1D ⊥AC 于D ，求O 1D 的长．解：建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由已知得A (2,0,0)，O 1(0,0,2)，B 1(2,3,2)，E (1,3,0)，所以1AO u u u u r ＝(－2,0,2)，1B E u u u u r ＝(－1,0，－2)，所以cos 〈1AO u u u u r ，1B E u u u u r 〉＝1AO u u u u r ·1B E u u u u r | 1AO u u u u r ||1B E u u u u r |＝－2210＝－1010. (2)因为1O D u u u u r ⊥AC u u u r ，AD u u u r ∥AC u u u r ，而C (0,3,0)，设D (x ，y,0)，则1O D u u u u r ＝(x ，y ，－2)，AD u u u r ＝(x －2，y,0)，AC u u u r ＝(－2,3,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋3y ＝0，x －2－2＝y 3⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1813，y ＝1213.所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1813，1213，0，所以O 1D ＝|1O D u u u u r |＝228613.。
