九年级培优班期末复习——以二次函数为背景的压轴题解题方法一、常见的类型及解题策略1、【“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题】由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等（设为t ），借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y 轴的线段长度计算公式下上y y -，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t ，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。
2、【“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x 轴或y 轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题】 先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段，该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算（勾股定理）〉即为符合题中要求的最小距离，而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点，其坐标很易求出（利用求交点坐标的方法）。
3、【三角形周长的“最值（最大值或最小值）”问题】在定直线上是否存在一点，使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题（简称“一边固定两边动的问题）：方法：由于有两个定点，所以该三角形有一定边（其长度可利用两点间距离公式（勾股定理）计算），只需另两边的和最小即可（做对称）。
四边形周长问题同理4、【三角形面积的最大值问题】“抛物线上是否存在一点，使之与一条定线段构成的三角形面积最大”的问题（简称“一边固定两边动的问题”）： 过动点向y值。
5、【一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”】由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形（连结两个定点，即可得到一个定三角形）的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与上面相同。
6、“定四边形面积的求解”问题：有两种常见解决的方案：方案（一）：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和；方案（二）：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点，向x 轴（或y 轴）作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形（常为直角梯形）和一些三角形的面积之和（或差），或几个基本模型的三角形面积的和（差）7、【“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题】方法：两圆一线8、【“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题】进一步有：① 若是否存在这样的动点构成矩形呢？先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否？若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。
九年级上册数学解题技巧专题总结与归纳目录专题1：类比归纳专题——配方法的应用专题2：类比归纳专题——一元二次方程的解法专题3：易错易混专题——一元二次方程中的易错问题专题4：考点综合专题——一元二次方程与其他知识的综合专题5：解题技巧专题——抛物线中与系数a，b，c有关的问题专题6：易错易混专题——二次函数的最值或函数值的范围专题7：难点探究专题——抛物线与几何图形的综合专题8：拔高专题——抛物线中的压轴题专题9：易错专题——抛物线的变换专题10：解题技巧专题——巧用旋转进行计算专题11：拔高专题——旋转变化中的压轴题专题12：类比归纳专题——圆中利用转化思想求角度专题13：类比归纳专题——切线证明的常用方法专题14：解题技巧专题——圆中辅助线的作法专题15：解题技巧专题——圆中求阴影部分的面积专题16：考点综合专题——圆与其他知识的综合专题17：拔高专题——圆中的最值问题专题18：拔高专题——抛物线与圆的综合专题19：易错专题——概率与放回、不放回问题一、类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一配方法解方程1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ） A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100 B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25 C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎪⎫t －742＝8116D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝⎛⎭⎪⎫x －232＝1093．利用配方法解下列方程： (1) x 2＋4x －1＝0；(2)(x ＋4)(x ＋2)＝2；(3)4x 2－8x －1＝0；(4)3x 2＋4x －1＝0.◆类型二 配方法求最值或证明4．代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．55．下列关于多项式－2x2＋8x＋5的说法正确的是（）A．有最大值13 B．有最小值－3C．有最大值37 D．有最小值16．求证：代数式3x2－6x＋9的值恒为正数．7．若M＝10a2＋2b2－7a＋6，N＝a2＋2b2＋5a＋1，试说明无论a，b为何值，总有M＞N.◆类型三完全平方式中的配方8．如果多项式x2－2mx＋1是完全平方式，则m的值为（）A．－1 B．1 C．±1 D．±29．若方程25x2－(k－1)x＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为（）A．－9或11 B．－7或8C．－8或9 D．－6或7◆类型四利用配方构成非负数求值10．已知m2＋n2＋2m－6n＋10＝0，则m＋n的值为（）A．3 B．－1 C．2 D．－211．已知x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，求(x＋y)2016的值．答案：二、类比归纳专题：一元二次方程的解法——学会选择最优的解法◆类型一一元二次方程的一般解法方法点拨：形如（x＋m）2＝n（n≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.1.用合适的方法解下列方程：（1）⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522－14＝0；（2）x 2－6x ＋7＝0； （3）x 2－22x ＋18＝0；（4）3x （2x ＋1）＝4x ＋2.◆*类型二 一元二次方程的特殊解法 一、十字相乘法方法点拨：例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确）， 第2种拆法：2x －2x ＝0（错误），所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1.2.解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程____________.3.用十字相乘法解下列一元二次方程： （1）x 2－5x －6＝0； （2）x 2＋9x －36＝0.二、换元法方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.4.若实数a ，b 满足（4a ＋4b ）（4a ＋4b －2）－8＝0，则a ＋b ＝_______.5.解方程：（x 2＋5x ＋1）（x 2＋5x ＋7）＝7.参考答案1.解：（1）移项，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＝14，两边开平方，得x －52＝±14， 即x －52＝12或x －52＝－12，∴x 1＝3，x 2＝2；（2）移项，得x 2－6x ＝－7，配方，得x 2－6x ＋9＝－7＋9，即（x －3）2＝2， 两边开平方，得x －3＝±2， ∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2；（3）原方程可化为8x 2－42x ＋1＝0. ∵a＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝（－42）2－4×8×1＝0，∴x＝－（－42）±02×8＝24，∴x1＝x2＝24；|（4）原方程可变形为（2x＋1）（3x－2）＝0，∴2x＋1＝0或3x－2＝0，∴x1＝－12，x2＝23.2. x－1＝0或x＋3＝0.3.解：（1）原方程可变形为（x－6）（x＋1）＝0，∴x－6＝0或x＋1＝0，∴x1＝6，x2＝－1；（2）原方程可变形为（x＋12）（x－3）＝0，∴x＋12＝0或x－3＝0，∴x1＝－12，x2＝3.4.－12或15.解：设x2＋5x＋1＝t，则原方程化为t（t ＋6）＝7，∴t2＋6t－7＝0，解得t＝1或－7.当t＝1时，x2＋5x＋1＝1，x2＋5x＝0，x（x＋5）＝0，∴x＝0或x＋5＝0，∴x1＝0，x2＝－5；当t＝－7时，x2＋5x＋1＝－7，x2＋5x ＋8＝0，∴b2－4ac＝52－4×1×8＜0，此时方程无实数根.∴原方程的解为x1＝0，x2＝－5.三、易错易混专题：一元二次方程中的易错问题◆类型一利用方程或其解的定义求待定系数时，忽略“a≠0”1．若关于x的方程(a＋3)x|a|－1－3x＋2＝0是一元二次方程，则a的值为______.【易错1】2．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值是（）A．－1 B．1C．1或－1 D．－1或03．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0.(1)求m的值；(2)求方程的解．◆类型二利用判别式求字母取值范围时，忽略“a≠0”及“a中的a≥0”4．若关于x 的一元二次方程(m－2)2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有解，那么m的取值范围是（）A．m＞34B．m≥34C．m＞34且m≠2 D．m≥34且m≠25．已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.6．若m是非负整数，且关于x的方程(m－1)x2－2x＋1＝0有两个实数根，求m的值及其对应方程的根．◆类型三利用根与系数关系求值时，忽略“Δ≥0”7．关于x的一元二次方程x2＋kx＋k＋1＝0的两根分别为x1，x2，且x21＋x22＝1，则k的值为_______.【易错2】8．已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m的值．【易错2】◆类型四与三角形结合时忘记取舍9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2－14x＋48＝0的根，则这个三角形的周长为（）A．11 B．17C．17或19 D．1910．在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．参考答案四、考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．6．若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为_________．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与一次函数的综合8．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限 B．第三象限C ．第二象限D ．第一象限10．已知k 、b 是一元二次方程(2x ＋1)(3x －1)＝0的两个根，且k ＞b ，则函数y ＝kx ＋b 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是______．◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合12．方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m≤52且m≠2C ．m≥3 D．m≤3且m≠213．已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．答案：12.B 13.五、解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题◆类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限第1题图第2题图2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是（）3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax ＋b的图象可能正确的是（）第3题图第4题图4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是（）◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是【方法10】（）A．a＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第7题图6．以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是【方法10】（）A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤27．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a ＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个8．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②b2－4ac4a＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－ca.其中正确结论的序号是____________.答案：六、易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一没有限定自变量的范围求最值1．函数y＝－(x＋1)2＋5的最大值为_______.2．已知二次函数y＝3x2－12x＋13，则函数值y的最小值是【方法11】（）A．3 B．2 C．1 D．－13．已知函数y＝x(2－3x)，当x为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．◆类型二限定自变量的取值范围求最值4．函数y＝x2＋2x－3(－2≤x≤2)的最大值和最小值分别是（）A．4和－3 B．－3和－4C．5和－4 D．－1和－45．二次函数y＝－12x2＋32x＋2的图象如图所示，当－1≤x≤0时，该函数的最大值是【方法11】（）A．3.125 B．4 C．2 D．06．已知0≤x≤32，则函数y＝x2＋x＋1（）A．有最小值34，但无最大值B．有最小值34，有最大值1C．有最小值1，有最大值19 4D．无最小值，也无最大值◆类型三限定自变量的取值范围求函数值的范围7．从y＝2x2－3的图象上可以看出，当－1≤x≤2时，y的取值范围是（）A．－1≤y≤5 B．－5≤y≤5C．－3≤y≤5 D．－2≤y≤18．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是（）A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜39．二次函数y＝x2－x＋m(m为常数)的图象如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a－1时，函数值CA．y＜0B．0＜y＜mC．y＞mD．y＝m◆类型四已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值10．当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为（）A．－2 B．1 C．2 D．911．已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为（）A．3 B．－1C．4 D．4或－112．已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤513．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝(a＋b)x2＋(a＋b)x－(a－b)的最小值为－a2，则∠A＝_______度．14．★已知函数y＝－4x2＋4ax－4a－a2，若函数在0≤x≤1上的最大值是－5，求a的值．参考答案：七、难点探究专题：抛物线与几何图形的综合——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一二次函数与三角形的综合一、全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．◆类型二二次函数与平行四边形的综合3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B 两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A，C，E，P 为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，抛物线y＝12x2＋x－32与x轴相交于A，B两点，顶点为P.(1)求点A，B的坐标；(2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．◆类型三二次函数与矩形、菱形、正方形的综合5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为________.第5题图第6题图6．如图，抛物线y＝ax2－x－32与x轴正半轴交于点A(3，0)．以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF.则a＝，点E的坐标是_________________．7.如图，对称轴为直线x＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．8．正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线l经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线l上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O，P，A三点的坐标；②求抛物线l的解析式；(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值．答案：八、拔高专题抛物线中的压轴题一、基本模型构建常见模型思考在边长为1的正方形网格中有A,B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形ABCD。
【初中数学】中考数学压轴题解题技巧+题型汇总2022中考数学压轴题题型思路数学压轴题9种题型1.线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中难题了。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。
线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，后面的路子自己就“通”了。
2.图形位置关系中考数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。
在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。
3.动态几何从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。
动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。
4.一元二次方程与二次函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。
几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。
相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。
中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。
一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。
但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合5.多种函数交叉综合问题中考数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。
作为福建中考，近年，反比例函数连续四年作为填空压轴出现，一次函数与二次函数作为解答题压轴题出现，特别是第三问区分度大，难度大，在中考中面对这类问题，有步骤有分，对优生而言尽量多得分。
