初一数学有理数知识总结及练习

初一数学有理数知识总结及练习一、 知识点回顾1．相反意义的量在日常生活中，常会遇到这样一些量（事情）： 例1：汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米。

（向东——向西） 例2：温度是零上10℃和零下5℃。

（零上——零下） 例3：收入500元和支出237元。

（收入——支出） 例4：水位升高1.2米和下降0.7米。

（升高——下降） 例5：买进100辆自行车和卖出20辆自行车。

（买进——卖出） 例6：你看过电视或听过广播中的天气预报吗？记录温度计所示的气温25ºC ，10ºC ，零下10ºC ，零下30ºC 。

为书写方便，将测量气温写成25，10，―10，―30。

2．正数和负数定义：一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数来表示；把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数（零除外）前面放一个“－”（读作“负”）号来表示。

注意：零既不是正数，也不是负数。

巩固练习：①―10表示支出10元，那么+50表示 ；如果零上5度记作5°C ，那么零下2度记作 ；如果上升10m 记作10m ，那么―3m 表示 ；太平洋中的马里亚纳海沟深达11034米，可记作海拔 米（即低于海平面11034米）。

比海平面高50m 的地方，它的高度记作海拨 ；比海平面低30m 的地方，它的高度记作海拨 ；②下面说法正确的是（ ）A ．正数都带有“+”号B ．不带“+”号的数都是负数C ．小学数学中学过的数都可以看作是正数D ．0既不是正数也不是负数 3．有理数定义：1，2，3，4，…叫做正整数；―1，―2，―3，―4，…叫做负整数；正整数、负整数和零统称为整数；数32，41，854，+5.6，…叫做正分数；―97，―76，―3.5，…叫做负分数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。

分类：从两个角度按照不同的分类标准可以将有理数进行不同的分类 ①先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按每类数的“正”、“负”分，即得如下分类表：{负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0⎩⎨⎧⎩⎨⎧②先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整”、“分”分，即得如下分类表：{{负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0⎩⎨⎧注：①“0”也是自然数。

②“0”的特殊性。

4．数轴例：判断下图中所画的数轴是否正确？如不正确，指出错在哪里？分析：原点、正方向、单位长度这数轴的三要素缺一不可。

解答：都不正确，（1）缺少单位长度；（2）缺少正方向；（3）缺少原点；（4）单位长度不一致。

5．相反数定义：只有符号不同的两个数称互为相反数 (opposite number)。

例：6与―6，―213与213，―1.5与1.5理解：①代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。

0的相反数是0。

②几何定义：在数轴上原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。

0的相反数是0。

练习：分别写出5、―7、―321、+11.2的相反数；6．绝对值定义：我们把在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值( absolute value )。

记作|a |。

例：在数轴上表示数―6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以―6和6的绝对值都是6，记作|―6|=|6|=6。

同样可知|―4|=4，|+1.7|=1.7。

性质：（1）一个正数的绝对值是它本身 （2）0的绝对值是0；（3） 一个负数的绝对值是它的相反数。

即：①若a ＞0，则|a |=a ； ②若a ＜0，则|a |=–a ；③若a =0，则|a |=0；或写成：)0()0()0(0<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=a a a a a a 。

练习：求下列各数的绝对值：217-，101，―4.75，10.5。

7．有理数的加法（1）有理数的加法法则①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；例 (+20)+(+12)：解原式=+(20+12)=+32=32；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32211：解原式=612646313221132211-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-②绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；例(+2)+(―11)：解原式=―(11―2)=―9 ③互为相反数的两个数相加得0；例(―3.4)+4.3：解原式= +(4.3―3.4)=0.9 ④一个数同0相加，仍得这个数.例(―3.4)+0：解原式= ―3.4（2）多个有理数相加例：10筐苹果，以每筐30千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：2，―4，2.5，3，―0.5，1.5，3，―1，0，―2.5。

求这10 筐苹果的总重量。

解：由题意得：2+(―4)+2.5+3+(―0.5)+1.5+3+(―1)+0+(―2.5)= (2+3+3)+(―4)+[2.5+(―2.5)]+[(―0.5)+(―1)+1.5] =8+(―4)= 4 。

30×10 + 4 = 304 。

答：10筐苹果总重量是304千克。

8．有理数的减法（1）有理数减法法则①减去一个数，等于加上这个数的相反数。

②如果用字母 a 、b 表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：a – b = a +（―b ）。

练习：计算(1)(―32)―(+5)； (2)7.3―(―6.8)； (3)(―2)―(―25)； (4)12―21 . 解：(1)(――5)=―37。

.3 + 6.8 =14.1。

减数变相反数 减数变相反数(注意：两处必须同时改变符号.)(3)(―2)―(―25)=(―2)+25=23。

(4)12―21 = 12+(―21)= ―9。

9．有理数的加减法混合在有理数加法运算中，通常适当应用加法运算律，可使计算简化。

有理数的加减混合运算统一成加法后，一般也应注意运算的合理性。

（1）有理数加减法统一成加法的意义① 有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减 法转化为加法，统一成只有加法运算的和式：如：(-12)-(+8)+(-6)-(-5)=(-12)+(-8)+(-6)+(+5)② 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省l 略不写，写成省略加号的和的形式：如：(-12)+(-8)+(-6)+(+5)=-12-8-6+5③ 和式的读法，一是按这个式子表示的意义，读作＂-12，-8，-6，+5的和〃；二是按运算的意义，读作“负12，减8，减6，加5”。

（2）有理数加减混合运算的方法和步骤：①将有理数加减法统一成加法，然后省略括号和加号 ②运用加法法则，加法运算律进行简便运算（3）化简+(+3)；+(―3)；―(+3)；―(―3)。

（4）口算2―7；(―2)―7；(―2)―(―7)；2+(―7)；(―2)+(―7)；7―2； (―2)+7；2―(―7)。

（5）练习①(―12)―(+8)+(―6)―(―5)； ②(+3.7)―(―2.1)―1.8+(―2.6)；③(―16)+(+20)―(+10)―(―11)； ④⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+61413121。

10．有理数的乘法预习✧ 小学的乘法口诀✧ 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。

例如：（1） （2）(－5)×(－3)···········同号两数相乘 (－6)×4··············异号两数相乘 (－5)×(－3)＝＋( )············得正 (－6)×4＝－( )················得负 5×3＝15·············把绝对值相乘 6×4＝24··············把绝对值相乘 所以 (－5)×(－3)＝15。

所以 (－6)×4＝－24。

二、 典型例题（复习消化上课内容，下次来检查；课后习题；自己主动练习）1、 数学测验班平均分80分，小华85分，高出平均分5分记作+5，小松78分，记作 。

2、某物体向右运动为正，那么―2m 表示 ，0表示 。

3、一口水井，水面比水井口低3米，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了0.5米又往下滑了0.1米；第二次往上爬了0.42米又往下滑了0.15米；第三次往上爬了0.7米又往下滑了0.15米；第四次往上爬了0.75米又往下滑了0.1米；第五次往上爬了0.55米，没有下滑；第六次往上爬了0.48米。

问蜗牛有没有爬出井口？4、把下列各数填入表示它所在的数集的圈里―18，722，3.1416，0，2001，53-，―0.142857，95℅.正数集 负数集整数集 有理数集5、把下面各小题的数分别表示在三条数轴上 （1）2，-1，0，323-，+3.5（2）―5，0，+5，15，20；（3）―1500，―500，0，500，1000。

6、把下列各组数用“＜”号连接起来（1）―10， 2，―14； （2）―100，0，0.01； （3）543，―4.75，3.75。

7、求绝对值 （1）|+2|= ，51= ，|+8.2|= ；（2）|0|= ；（3）|―3|= ，|―0.2|= ，|―8.2|= 。

8、比较下列各对数的大小（1）1与－0.01； （2）2--与0； （3）－0.3与31-； （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--91与101--。

9、有理数加减混合计算（1） (+26)+(―18)+5+(―16)； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-218312417211321。

10、计算（1）31―21―43+32； （2）(+9)―(+10)+(―2)―(―8)+3。