江苏省启东中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题(创新班)

一、选择题1．(0分)[ID ：12426]已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥2．(0分)[ID ：12424]圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ）A ．1B ．221-C ．22D ．23．(0分)[ID ：12422]已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ）A ．4330x y --=B ．3430x y --=C ．3440x y --=D ．4340x y --=4．(0分)[ID ：12412]一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）． A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形 5．(0分)[ID ：12411]已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥6．(0分)[ID ：12382]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为433，则球O 的半径为( ) A ．3 B ．1 C ．2 D ．47．(0分)[ID ：12379]已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B ．212C ．22D ．28．(0分)[ID ：12374]如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π9．(0分)[ID ：12373]已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β10．(0分)[ID ：12356]在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C ．32D ．32- 11．(0分)[ID ：12410]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A ．26 B ．36 C ．23 D ．2212．(0分)[ID ：12380]如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π13．(0分)[ID ：12335]已知平面αβ⊥且l αβ=，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）. A ．若//m α且//m β，则//m lB ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥ 14．(0分)[ID ：12368]α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ） A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n βB ．α内不共线的三点到β的距离相等C ．α，β都垂直于平面γD ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α15．(0分)[ID ：12360]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题16．(0分)[ID ：12488]经过两条直线2310x y ++=和340x y -+=的交点，并且平行于直线3470x y +-=的直线方程是________.17．(0分)[ID ：12477]已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ；②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)18．(0分)[ID ：12462]若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 . 19．(0分)[ID ：12523]已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．20．(0分)[ID ：12521]已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120，则点A 到BCD 所在平面的距离等于 ．21．(0分)[ID ：12509]已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.22．(0分)[ID ：12480]已知α∈R ，()ππ2k k Z α≠+∈，设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①直线l 的方向向量与向量()cos , sin a αα=共线；②若π04α<<，则直线l 与直线y x =的夹角为π4α-； ③直线l 与直线sin cos 0x y n αα-+=（n m ≠）一定平行； 写出所有真命题的序号________23．(0分)[ID ：12441]如上图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1AB CC 、的中点，1MB P ∆的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题：A ．平面1MB P 1ND ⊥； B ．平面1MB P ⊥平面11ND A ；C ．∆1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值；D ．∆1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是__________.24．(0分)[ID ：12431]已知棱长等于31111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________.25．(0分)[ID ：12448]已知直线:0l x my m ++=，且与以A (-1,1)、B (2,2)为端点的线段相交，实数m 的取值范围为___________.三、解答题26．(0分)[ID ：12623]如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．27．(0分)[ID ：12597]已知点(3,3)M ，圆22:(1)(2)4C x y -+-=.（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）若直线40()ax y a -+=∈R 与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求实数a 的值.28．(0分)[ID ：12596]如图，梯形ABCS 中，//AS BC ，AB BC ⊥，122AB BC AS ===，D 、E 分别是SA ，SC 的中点，现将SCD ∆沿CD 翻折到PCD ∆位置，使23PB =（1）证明：PD ⊥面ABCD ；（2）求二面角E BD C --的平面角的正切值；（3）求AB 与平面BDE 所成的角的正弦值.29．(0分)[ID ：12562]如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，点F 为PC 的中点.（1）求证：PA ∥平面BDF ；（2）求证：PC ⊥BD .30．(0分)[ID ：12619]如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AAC C ⊥平面11AA B B ,平面11AAC C ⊥平面ABC ，12AB AC AA ===,点P 、M 分别为棱BC 、1CC 的中点，过点B 、M 的平面交棱1AA 于点N ,使得AP ∥平面BMN .（1）求证：AB ⊥平面11AAC C ;（2）若四棱锥B ACMN -31A AC ∠的正弦值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．B3．D4．C5．C6．C7．D8．C9．D10．A11．A12．A13．D14．D15．D二、填空题16．【解析】【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题17．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P＝A1Q＝x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF则PQ∥平面ME F又平面MEF∩平面MPQ＝l∴PQ∥ll∥EF∴l∥平面ABCD故①成立；又EF⊥AC∴l⊥AC故18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h底面积为S体积为V则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积19．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB的中点OAC的中点E连OCOE则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关20．【解析】【分析】【详解】设AC与BD交于点O在三角形ABD中因为∠A＝120°AB＝2可得AO＝1过A作面BCD的垂线垂足E则AE即为所求由题得∠AOE＝180°−∠AOC＝180°−120°＝6 021．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O的半径为R球心O到平面的距离为d 由O是的中点得解得作平面ABC垂足为的外心22．①②【解析】【分析】①求出直线l的方向向量判断它与向量共线;②求出直线l和直线y＝x的斜率与倾斜角即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y轴上的截距得出两直线不一定平行【详解】对于①直线l的方23．【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断对于A当动点P与点重合时以等腰三角形与不垂直所以不能得出平面A为假命题；对于B易证所以平面所以平面⊥平面故B为真命题；对于C在底面上的射影图形的面积为定值24．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【25．【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线可知直线过定点又如图∵∴由图可知直线与线段相交直线的斜率或斜率不存三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.考点：空间点线面位置关系．2．B解析：B【解析】【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解.【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=，圆心到直线的距离d ==所以圆上的点到直线的距离的最小值为1.故选B.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.3．D解析：D【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.4．C解析：C【解析】【分析】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案.【详解】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得PD ∥VB 且12PD VB =，EF ∥VB 且12EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =， 所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又1122DE AC VB PD ===，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.5．C解析：C【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.故选C.6．C解析：C【解析】【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和．2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．7．D解析：D【解析】【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值.【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1． 因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形． ∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小， 此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>． 又min 21PC k =+，222221+1k ⎛⎫∴=+，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题. 8．C解析：C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形，其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点，则O 为外接球球心， 半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π. 9．D解析：D【解析】【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立；//m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.10．A解析：A【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）．又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =. 又112,222MN BD NP AC ====, ∴PNM ∆为等边三角形，∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值． 11．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=233323⨯=， ∴116133OO =-=， ∴高SD=2OO 1=263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =34， ∴132623436S ABC V -=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．12．A解析：A【解析】【分析】【详解】由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体， 故该几何体的表面积是20＋3π，故选A.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积. 13．D解析：D【解析】【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可.【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确；选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确；选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D .【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.14．D解析：D【解析】【分析】A 中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．B 中，根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．C 中，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m ′，所以m ′与n 是两条相交直线，m ′⊂β，n ⊂β，且m ′∥β，n ∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，即可得到答案．【详解】由题意，对于A 中，若m ，n 是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A 错误．对于B 中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B 错误．对于C 中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C 错误．对于D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m′，所以m′与n 是两条相交直线，m′⊂β，n ⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．15．D解析：D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D.二、填空题16．【解析】【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题 解析：1934011x y ++= 【解析】【分析】 先求出两相交直线的交点，设出平行于直线3470x y +-=的直线方程，根据交点在直线上，求出直线方程.【详解】联立直线的方程23103470x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，得到两直线的交点坐标135(,)1111-， 平行于直线3470x y +-=的直线方程设为340x y c ++=，则1353()4()+01111c ⋅-+⋅= 所以直线的方程为：1934011x y ++= 故答案为：1934011x y ++= 【点睛】 本题考查了直线的交点，以及与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.17．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P ＝A1Q ＝x ∴PQ ∥B1D1∥BD ∥EF 则P Q ∥平面MEF 又平面MEF∩平面MPQ ＝l ∴PQ ∥ll ∥EF ∴l ∥平面ABCD 故①成立；又EF ⊥AC ∴l ⊥AC 故解析：④【解析】【详解】连接BD ，B 1D 1，∵A 1P ＝A 1Q ＝x ，∴PQ ∥B 1D 1∥BD ∥EF ，则PQ ∥平面MEF ， 又平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，∴PQ ∥l ，l ∥EF ，∴l ∥平面ABCD ，故①成立；又EF ⊥AC ，∴l ⊥AC ，故②成立；∵l ∥EF ∥BD ，故直线l 与平面BCC 1B 1不垂直，故③成立；当x 变化时，l 是过点M 且与直线EF 平行的定直线，故④不成立．即不成立的结论是④.18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积解析：2π 【解析】 试题分析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，则有2πr =2⇒r =1π，故底面面积S =πr 2=π×(1π)2=1π，故圆柱的体积V =Sh =1π×2=2π. 考点：圆柱的体积19．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB 的中点OAC 的中点E 连OCOE 则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O 为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关 解析：323π 【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC -如图所示，由条件可得在底面ACB ∆中，90,22ACB AC BC ∠=︒==。

江苏省启东市2016-2017学年高一数学下学期第一次月考试题（创新班，无答案）一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．． 1．命题“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是 ．2．设a ，b 是向量，则“=a b ”是“+=-a b a b ”的 条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 3．经过点(2，4)的抛物线的标准方程为 ． 4．命题“若*21(N )2n n n a a a n +++<∈，则数列{}n a 为递减数列”的逆否命题是 ． 5．在平面直角坐标系xOy 中，1F 、2F 分别是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的左、右焦点，过1F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于B ，C 两点，且290BF C ∠=，则该椭圆的离心率是 ．6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 ．7．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，3AD =，11AA =，90BAD ︒∠=，11BAA DAA ∠=∠60︒=，则对角线1AC 的长为 ．8．已知双曲线14222=-b y x ）＞（0b ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的 两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程 为 ．9．由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，若120AOB ︒∠=，则动点P的轨迹方程为 ．10．已知命题p ：“[1x ∀∈，2]，2x a -≥0”；命题q ：“x ∃∈R ，2220x ax a ++-=”，若命题“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是 ．11．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线2213y x -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且AK ，则AFK △的面积为 ．12．过椭圆22193x y +=上一点M作直线MA 、MB 交椭圆于A 、B 两点，若MA 与MB 的斜率互为相反数，则直线AB 的斜率为 ．13．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②(x ∃∈-∞，4)-，()()0f x g x <．则m 的取值范围是 ．14．在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为22(y P x y '+，22)xx y -+；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的 曲线C '定义为曲线C 的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C '关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序号）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题．．纸．指定区域．．．．内作答．解答时应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）证明：关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个实根的充要条件为a ≤1．16．（本小题满分14分）正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为4，D 为的1CC 中点．⑴求证：1AB ⊥平面1A BD ；⑵求二面角1A A D B --的余弦值．ABC1A1B1CD17．（本小题满分14分）已知命题p ：(1)(2)x x +-≥0；命题q ：关于x 的不等式2260x mx m +-+>恒成立．⑴若命题q 为真，求实数m 的取值范围；⑵若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分16分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ︒∠=．⑴求证：BD ⊥平面PAC ；⑵若PA AB =，求PB 与AC 所成角的余弦值；⑶当平面PBC ⊥平面PDC 时，求PA 的长．APBCD19．（本小题满分16分）已知点M 是圆C ：22(1)1x y ++=上的动点，定点(1D ，0)，点P 在直线DM 上，点N 在直 线CM 上，且满足2DM DP =，0NP DM ⋅=，动点N 的轨迹是曲线E ．⑴求曲线E 的方程；⑵若AB 是曲线E 的长为2的动弦，O 为坐标原点，求AOB △的面积S 的最大值．20．（本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别为A 、B ，它的右焦点是(1F ，0)．椭圆上一动点0(P x ，0)y (不是顶点)满足12PA PB k k ⋅=-．⑴求椭圆的方程；⑵设过点P 且与椭圆相切的直线为m ，直线m 与椭圆的右准线l 交于点Q ，试证明PFQ ∠ 为定值．。

2016-2017学年江苏省南通市启东中学创新班高一（下）第一次月考数学试卷一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：．2．（5分）设是向量，则“||＝||”是“||＝||”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分不必要”）3．（5分）经过点（2，4）的抛物线的标准方程为．4．（5分）命题“若，则数列{a n}为递减数列”的逆否命题是．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且与x轴垂直的直线与椭圆交于B，C两点，且∠BF2C＝90°，则该椭圆的离心率是．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣＝1的焦距是．7．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝3，AA1＝1，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则对角线AC1的长为．8．（5分）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A．B．C．D．四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为．9．（5分）由动点P向圆x2+y2＝1引两条切线P A、PB，切点分别为A、B，若∠APB＝120°，则动点P的轨迹方程为．10．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线﹣＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的焦点为K，点A在抛物线上，且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为．12．（5分）过椭圆上一点，作直线MA、MB交椭圆于A、B两点，若MA与MB的斜率互为相反数，则直线AB的斜率为．13．（5分）已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝2x﹣2，若同时满足条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．则m的取值范围是．14．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是（写出所有真命题的序列）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）证明：关于x的方程ax2+2x+1＝0至少有一个实根的充要条件为a≤1．16．（14分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为4，D为的CC1中点．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求二面角A﹣A1D﹣B的余弦值．17．（14分）已知命题p：（x+1）（2﹣x）≥0；命题q：关于x的不等式x2+2mx﹣m+6＞0恒成立．（1）若命题q为真，求实数m的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．（16分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面P AC；（Ⅱ）若P A＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求P A的长．19．（16分）已知点M是圆C：（x+1）2+y2＝1上的动点，定点D（1，0），点P在直线DM 上，点N在直线CM上，且满足，，动点N的轨迹是曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB的面积S的最大值．20．（16分）已知椭圆的左右顶点分别为A、B，它的右焦点是F（1，0）．椭圆上一动点P（x0，y0）（不是顶点）满足．（1）求椭圆的方程；（2）设过点P且与椭圆相切的直线为m，直线m与椭圆的右准线l交于点Q，试证明∠PFQ 为定值．2016-2017学年江苏省南通市启东中学创新班高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x∈R，x2＝x．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x∈R，x2＝x．故答案为：∃x∈R，x2＝x．2．（5分）设是向量，则“||＝||”是“||＝||”的既不充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分不必要”）【解答】解：“||＝||”⇔＝0，与“||＝||”互相推不出．∴“||＝||”是“||＝||”的既不充分不必要条件．故答案为：既不充分不必要．3．（5分）经过点（2，4）的抛物线的标准方程为y2＝8x或x2＝y．【解答】解：当抛物线的焦点坐标在x轴时，抛物线设为y2＝2px，抛物线经过点（2，4），可得16＝4p，解得P＝4．所求抛物线方程为：y2＝8x，当抛物线的焦点坐标在y轴时，抛物线设为x2＝2py，抛物线经过点（2，4），可得4＝8p，解得P＝．所求抛物线方程为：x2＝y，故答案为：y2＝8x或x2＝y．4．（5分）命题“若，则数列{a n}为递减数列”的逆否命题是若数列数列{a n}不为递减数列，则≥a n+1，n∈N*．【解答】解：命题“若，则数列{a n}为递减数列”的逆否命题是：若数列数列{a n}不为递减数列，则≥a n+1，n∈N*，故答案为：若数列数列{a n}不为递减数列，则≥a n+1，n∈N*5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且与x轴垂直的直线与椭圆交于B，C两点，且∠BF2C＝90°，则该椭圆的离心率是．【解答】解：由已知可得，BF1＝，过F1且与x轴垂直的直线与椭圆交于B，C两点，且∠BF2C＝90°，可得：2c＝即：2ca＝a2﹣c2可得e2+2e﹣1＝0，∵0＜e＜1∴e＝．故答案为：．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣＝1的焦距是2．【解答】解：双曲线﹣＝1中，a＝，b＝，∴c＝＝，∴双曲线﹣＝1的焦距是2．故答案为：2．7．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝3，AA1＝1，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则对角线AC1的长为．【解答】解：由题意，＝++，∴2＝2+2+2+2•+2•+2••＝4+9+1+0+2+2＝19，∴对角线AC1的长为，故答案为．8．（5分）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A．B．C．D．四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为﹣＝1．【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2＝4，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A（x，x），∵四边形ABCD即矩形ABCD的面积为2b，∴2x•bx＝2b，∴x＝±1，将A（1，）代入x2+y2＝4，可得1+＝4，∴b2＝12，∴双曲线的方程为﹣＝1，故答案为：﹣＝1．9．（5分）由动点P向圆x2+y2＝1引两条切线P A、PB，切点分别为A、B，若∠APB＝120°，则动点P的轨迹方程为x2+y2＝．【解答】解：连接OP，AB，OA，OB，∵P A，PB是单位圆O的切线，∴P A＝PB，OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OP A＝∠OPB＝∠APB＝60°，又OA＝OB＝1，∴OP＝，∴P点轨迹为以O为圆心，以为半径的圆，∴P点轨迹方程为x2+y2＝．故答案为：x2+y2＝．10．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a＝1．【解答】解：若命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0”为真，则△＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a＝1，故答案为：a≤﹣2，或a＝111．（5分）已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线﹣＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的焦点为K，点A在抛物线上，且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为32．【解答】解：由双曲线﹣＝1得右焦点为（4，0）即为抛物线y2＝2px的焦点，∴＝4，解得p＝8．∴抛物线的方程为y2＝16x．其准线方程为x＝﹣4，∴K（﹣4，0）．过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|＝|AF|．∴|AK|＝|AM|．∴∠MAK＝45°．∴|KF|＝|AF|．∴△AFK的面积为|KF|2＝32．故答案为：32．12．（5分）过椭圆上一点，作直线MA、MB交椭圆于A、B两点，若MA与MB的斜率互为相反数，则直线AB的斜率为．【解答】解：由题意可知：设直线AM方程y＝k（x﹣）+，代入椭圆方程，消y可得（1+3k2）x2﹣6k（k﹣）x+3（k﹣）2﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由点，在椭圆上，则x1＝，x1＝，则y1＝kx1+﹣k．又直线AN的斜率与AM的斜率互为相反数，在上式中以﹣k代k，可得x2＝，y2＝﹣kx2++k．所以直线MN的斜率k AB＝＝＝，＝，即直线AB的斜率．故答案为：．13．（5分）已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝2x﹣2，若同时满足条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．则m的取值范围是（﹣4，﹣2）．【解答】解：对于①∵g（x）＝2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）＝2x﹣2＜0恒成立∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，（ii）当m＝﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．故答案为：（﹣4，﹣2）．14．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是②③（写出所有真命题的序列）．【解答】解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），则点A′（，）的“伴随点”是点（﹣x，﹣y），故不正确；②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），“伴随点”是点A′（﹣，），则其“伴随曲线”C′关于y轴对称，故正确；④设直线方程为y＝kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），∴，∴x＝﹣，y ＝∵m＝，∴代入整理可得n﹣1＝0表示圆，故不正确．故答案为：②③．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）证明：关于x的方程ax2+2x+1＝0至少有一个实根的充要条件为a≤1．【解答】证明：a＝0时，方程化为2x+1＝0，解得x＝，满足条件．a≠0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0至少有一个实根的充要条件为△＝4﹣4a≥0，解得a ≤1，a≠0．综上可得：关于x的方程ax2+2x+1＝0至少有一个实根的充要条件为a≤1．16．（14分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为4，D为的CC1中点．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求二面角A﹣A1D﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：取BC中点O，连接AO，∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，取B1C1中点为O1，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则．∴，，．∵，．∴，，∴AB1⊥面A1BD．（2）设平面A1AD的法向量为，．，∴，∴，⇒，令z＝1，得为平面A1AD的一个法向量，由（1）知AB1⊥面A1BD，∴为平面A1AD的法向量，，由图可以看出：二面角A﹣A1D﹣B是锐角．∴二面角A﹣A1D﹣B的余弦值为．17．（14分）已知命题p：（x+1）（2﹣x）≥0；命题q：关于x的不等式x2+2mx﹣m+6＞0恒成立．（1）若命题q为真，求实数m的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由（x+1）（2﹣x）≥0，解得：﹣1≤x≤2，故p为真时：x∈[﹣1，2]；若关于x的不等式x2+2mx﹣m+6＞0恒成立，则△＝4m2﹣4（﹣m+6）＜0，解得：﹣3＜m＜2，（1）故q为真时，m∈（﹣3，2）；（2）若p是q的充分不必要条件，即p⊊q，由p：[﹣1，2]⊊（﹣3，2]，故m∈（﹣3，2]．18．（16分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面P AC；（Ⅱ）若P A＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求P A的长．【解答】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥BD，P A∩AC＝A所以BD⊥平面P AC（II）设AC∩BD＝O，因为∠BAD＝60°，P A＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝OC＝，以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0）所以＝（1，，﹣2），设PB与AC所成的角为θ，则cosθ＝|（III）由（II）知，设，则设平面PBC的法向量＝（x，y，z）则＝0，所以令，平面PBC的法向量所以，同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，所以＝0，即﹣6+＝0，解得t＝，所以P A＝．19．（16分）已知点M是圆C：（x+1）2+y2＝1上的动点，定点D（1，0），点P在直线DM 上，点N在直线CM上，且满足，，动点N的轨迹是曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB的面积S的最大值．【解答】解：（1）∵，，∴P是DM的中点，NP⊥DM，∴ND＝NM，∴|ND﹣NC|＝|NM﹣NC|＝|CM|＝1，∴N点轨迹E为以C，D为焦点的双曲线，设曲线E的方程为，则2a＝1，c＝1，∴a2＝，b2＝．∴曲线E的方程为．（2）当直线AB⊥x轴时，设A（a，1），则，解得|a|＝．∴S△OAB＝＝．当直线AB方程为y＝kx+b，联立方程组，得（12﹣4k2）x2﹣8kbx﹣4b2﹣3＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，∵|AB|＝2，∴＝2，即（1+k2）•[﹣]＝4，整理得：b2＝，由b2≥0得7k4﹣30k2+27≥0，解得0或k2≥3．又点O到直线AB的距离h＝，∴S△OAB＝|AB|•h＝h，∴S2△OAB＝h2＝＝＝﹣+，令1+k2＝t，则1≤t≤或t≥4，设g（t）＝﹣+＝（﹣）2﹣．∵1≤t≤或t≥4，∴≤≤1或0＜≤．∴当＝1即t＝1时，g（t）取得最大值g（1）＝，此时S△OAB＝＝，∵＞，∴△AOB的面积S的最大值为．20．（16分）已知椭圆的左右顶点分别为A、B，它的右焦点是F（1，0）．椭圆上一动点P（x0，y0）（不是顶点）满足．（1）求椭圆的方程；（2）设过点P且与椭圆相切的直线为m，直线m与椭圆的右准线l交于点Q，试证明∠PFQ 为定值．【解答】解：（1）由P（x0，y0），则y02＝k P A•k PB＝•＝＝﹣，则．则＝，①由c＝1，则a2﹣b2＝1，②解得：a2＝2，b2＝1，∴椭圆的标准方程：；（2）证明：设直线PQ的方程，y＝kx+t，则，整理得：（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2＝0，则△＝（4kt）2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＝0，解得：t2＝1+2k2，即t＝±，∴（1+2k2）x2+4k x+4k2＝0，解得：x＝，将x＝，代入椭圆方程，解得：y＝±，则P（，），或P（，﹣），椭圆的准线方程x＝＝2，将x＝2代入y＝kx+t，y＝2k+，即Q（2，2k+），F（1，0），P（，），Q（2，2k+），∴＝（1，2k+），＝（﹣1，），则•＝（﹣1）（2k+）×＝0，同理：将x＝2代入y＝kx﹣t，y＝2k﹣，即Q（2，2k﹣），∴P（，﹣），Q（2，2k﹣），F（1，0），•＝0，即⊥，综上可知：•＝0，⊥，∴∠PFQ＝90°为定值．。

2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷一、填空题1．不等式的解集为．2．在等比数列{a n}中，a1=1，a5=16，则a3=．3．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，求A的取值范围．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．5．已知函数f（x）=x2﹣|x|，若f（﹣m2﹣1）＜f（2），则实数m的取值范围是．6．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为．7．在数列{a n}中，a1=1，a2=2，a n﹣a n=1+（﹣1）n（n∈N*），则S100=．+28．若关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，则实常数λ的取值范围是．9．如图，某人为了测量某建筑物两侧A．B间的距离（在A，B处相互看不到对方），选定了一个可看到A、B两点的C点进行测量，你认为测量时应测量的数据是．10．等比数列{a n}中，a1=1，a n=（n=3，4，…），则{a n}的前n项和为．11．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），则实数c的值为．12．在△ABC中，己知AC=3，∠A=45°，点D满足=2，且AD=，则BC 的长为．13．在数列{a n}中，若a n2﹣a2n=p（n≥1，n∈N*，p为常数），则称{a n}为“等+1方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列．其中真命题的序号为（将所有真命题的序号填在横线上）．14．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{a n}（n∈N*）的前12项，如表所示：按如此规律下去，则a2009+a2010+a2011=．二、解答题15．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}（1）求实数a、b的值；（2）解关于x的不等式＞0（c为常数）16．在△ABC中，∠A的內角平分线交BC于D，用正弦定理证明：=．17．流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者总共有8 670人，则11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．18．已知△ABC中，2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，外接圆半径为．（1）求∠C；（2）求△ABC面积的最大值．19．已知首项为的等比数列{a n}是递减数列，其前n项和为S n，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n•log2a n，数列{b n}的前n项和T n，求满足不等式≥的最大n值．20．已知数列{a n}中，a1=1，a2=a，且a n+1=k（a n+a n+2）对任意正整数都成立，数列{a n}的前n项和为S n（1）若k=且S2017=2017a，求a（2）是否存在实数k，使数列{a n}是公比不为1的等比数列，且对任意相邻三项a m，a m+1，a m+2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有的k值；若不存在，请说明理由；（3）若k=﹣，求S n．2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．不等式的解集为（﹣∞，0）∪[1，+∞）．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】化简不等式为分式不等式，然后转化为二次不等式解答即可．【解答】解：不等式，可化为，即：x（1﹣x）≤0且x≠0解得x＜0或x≥1故答案为：（﹣∞，0）∪[1，+∞）2．在等比数列{a n}中，a1=1，a5=16，则a3=4．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】根据等比数列的通项公式和等比数列的性质即可得到结论．【解答】解：在等比数列中，a1a5=a，∵a1=1，a5=16，∴a=1×16=16，即a3=±4，∵a3=，∴a3=4，故答案为：4．3．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，求A的取值范围．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知不等式，再利用余弦定理表示出cosA，根据得出的不等式求出cosA的范围，利用余弦函数的性质即可得出A的范围．【解答】解：利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，得：a2≤b2+c2﹣bc，即b2+c2﹣a2≥bc，∴cosA=≥=，∵A为三角形内角，∴0＜A≤．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2sinB，则A角大小为．【考点】HR：余弦定理；GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由sinC=2sinB得：c=2b，所以=•2b2，即a2=7b2，则cosA===，又A∈（0，π），所以A=．故答案为：5．已知函数f（x）=x2﹣|x|，若f（﹣m2﹣1）＜f（2），则实数m的取值范围是（﹣1，1）．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】若将f（﹣m2﹣1）＜f（2）代入f（x）=x2﹣|x|，得到的式子会很复杂，可结合函数的奇偶性及单调性求解．【解答】解：易知函数f（x）=x2﹣|x|为偶函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）=x2﹣x，在（0，）上单调递减，（，+∝）上单调递增，f（x）图象如图所示：若f（﹣m2﹣1）＜f（2），则只需﹣2＜﹣m2﹣1＜2，解的﹣1＜m＜1故答案为：（﹣1，1）6．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为15．【考点】HR：余弦定理；8B：数列的应用；HP：正弦定理．【分析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：157．在数列{a n}中，a1=1，a2=2，a n﹣a n=1+（﹣1）n（n∈N*），则S100=2600．+2【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】a n+2﹣a n=1+（﹣1）n（n∈N*），n为奇数时，可得：a2k+1=a2k﹣1=…=a1=1．n为偶数时，a2k+2﹣a2k=2，可得数列{a2k}是等差数列，公差为2．利用分组求和即可得出．【解答】解：∵a n+2﹣a n=1+（﹣1）n（n∈N*），n为奇数时，可得：a2k+1=a2k﹣1=…=a1=1．n为偶数时，a2k+2﹣a2k=2，可得数列{a2k}是等差数列，公差为2．∴S100=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）=50+50×2+×2=2600．故答案为：2600．8．若关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，则实常数λ的取值范围是（﹣∞，﹣1] ．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，等价于≥对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，由=，知对x∈（﹣∞，λ]恒成立．由此能求出λ的范围．【解答】解：关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，等价于≥对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，∵=，∴对x∈（﹣∞，λ]恒成立．设，它的图象是开口向上，对称轴为x=﹣的抛物线，∴当x≤﹣时，左边是单调减的，所以要使不等式恒成立，则λ2+，解得λ≤﹣1，或（舍）当x＞﹣，左边的最小值就是在x=﹣时取到，达到最小值时，=，不满足不等式．因此λ的范围就是λ≤﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1]．9．如图，某人为了测量某建筑物两侧A．B间的距离（在A，B处相互看不到对方），选定了一个可看到A、B两点的C点进行测量，你认为测量时应测量的数据是a，b，γ．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】由于α，β无法测量，故只能测量出a，b，γ，利用余弦定理计算出AB．【解答】解：∵在A，B处相互看不到对方，∴α，β无法测量，由余弦定理可知AB=，故只需测量出a，b，γ即可求出AB；故答案为：a，b，γ10．等比数列{a n}中，a1=1，a n=（n=3，4，…），则{a n}的前n项和为n或﹣×（）n．【考点】8H：数列递推式．【分析】由已知条件，先求出公比，再根据前n项和公式计算即可．【解答】解：设公比为q，由a n=，∴2a n=+，∴2=+，解得q=1或q=﹣，当q=1时，a1=1，a n=1，S n=n，当q=﹣，a1=1，S n==﹣×（）n，故答案为：n或﹣×（）n，11．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），则实数c的值为16．【考点】75：一元二次不等式的应用．【分析】根据二次函数的值域为[0，+∞），可得△=0，解之得b=a2．由此将关于x的不等式f（x）＜c化简得x2+ax+a2﹣c＜0，再由根与系数的关系解方程|x1﹣x2|=8，即可得到实数c=16．【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴函数的最小值为0，可得△=a2﹣4b=0，即b=a2又∵关于x的不等式f（x）＜c可化成x2+ax+b﹣c＜0，即x2+ax+a2﹣c＜0，∴不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），也就是方程x2+ax+a2﹣c=0的两根分别为x1=m，x2=m+8，∴，可得|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=64，即（﹣a）2﹣4（a2﹣c）=64，解之即可得到c=16故答案为：1612．在△ABC中，己知AC=3，∠A=45°，点D满足=2，且AD=，则BC 的长为3．【考点】9E：向量数乘的运算及其几何意义．【分析】以A为坐标原点，点C在x轴上建立平面直角坐标系，如图所示，C（3，0），设B（t，t），根据=2，得出D点的坐标，利用AD的长，求出t的值，确定出B的坐标，即得BC的长．【解答】解：根据题意，以A为坐标原点，点C在x轴上建立平面直角坐标系，如图所示；则C（3，0），∵∠A=45°，∴设B（t，t），其中t＞0，D（x，y）；根据=2，得（x﹣3，y）=2（t﹣x，t﹣y），即，解得x=，y=，∴D（，）；又∵AD=，∴+=13，解得t=3或t=﹣（舍去）；∴B（3，3），即BC=3．故答案为：3．=p（n≥1，n∈N*，p为常数），则称{a n}为“等13．在数列{a n}中，若a n2﹣a2n+1方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列．其中真命题的序号为①②③（将所有真命题的序号填在横线上）．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①利用“等方差数列”的定义，可知{a n+12﹣an2=﹣p，再利用等差数列的定义可判断{a n2}是等差数列，即①正确；②由（﹣1）2n﹣（﹣1）2（n+1）=0可判断出{（﹣1）n}是等方差数列，即②正确；③若{a n}是等方差数列，利用累加法可判断出数列{a kn}（k∈N*，k为常数）是等方差数列，即③正确．【解答】解：对于①，因为a n2﹣a2n+1=p，所以a n+12﹣an2=﹣p，于是数列{an2}为等差数列，故①正确，对于②，因为（﹣1）2n﹣（﹣1）2（n+1）=0为常数，于是数列{（﹣1）n}是等方差数列，故②正确；对于③，因为﹣=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=kp，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列，故③正确．故答案为：①②③．14．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{a n}（n∈N*）的前12项，如表所示：按如此规律下去，则a2009+a2010+a2011=1005．【考点】8E：数列的求和；F1：归纳推理．【分析】奇数项为1，﹣1，2，﹣2…，发现a2n﹣1+a2n+1=0，偶数项为1，2，3…，所以a2n=n．当2n﹣1=2009时，n=1005，故a2009+a2011=0．当2n=2010，a2010=1005．【解答】解：奇数项，偶数项分开看，奇数项为1，﹣1，2，﹣2…，发现a2n﹣1+a2n+1=0，偶数项为1，2，3…，所以a2n=n当2n﹣1=2009时，n=1005，故a2009+a2011=0．当2n=2010，a2010=1005．∴a2009+a2010+a2011=1005．答案1005．二、解答题15．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}（1）求实数a、b的值；（2）解关于x的不等式＞0（c为常数）【考点】7E：其他不等式的解法；74：一元二次不等式的解法．【分析】（1）由题意可得，1和b是ax2﹣3x+2=0的两个实数根，由韦达定理求得a和b的值．（2）关于x的不等式＞0 等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，分当c=2时、当c ＞2时、当c＜2时三种情况，分别求得不等式的解集．【解答】解：（1）由题意可得，1和b是ax2﹣3x+2=0的两个实数根，由韦达定理可得1+b=，且1×b=，解得a=1，b=2．（2）关于x的不等式＞0 等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，当c=2时，不等式的解集为{x|x≠2}；当c＞2时，不等式的解集为{x|x＞c，或x＜2}；当c＜2时，不等式的解集为{x|x ＜c，或x＞2}．16．在△ABC中，∠A的內角平分线交BC于D，用正弦定理证明：=．【考点】HQ：正弦定理的应用．【分析】在△ABD中，由正弦定理得，在△ACD中，由正弦定理得，由sin∠ADB=sin∠ADC，sin∠BAD=sin ∠DAC，即可得证．【解答】证明：在△ABD中，由正弦定理可得：；在△ACD中，由正弦定理可得：；因为：sin∠ADB=sin∠ADC，sin∠BAD=sin∠DAC可得：=，从而得证．17．流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者总共有8 670人，则11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】设11月1日，该市第n日（n∈N*，1≤n≤30）感染此病毒的新患者人数最多．则从11月1日至第n日，每日感染此病毒的新患者人数构成一个等差数列．其首项为20，公差为50．前n日患者总人数S n=25n2﹣5n．从第n+1日开始至11月30日止，每日感染此病毒的新患者人数依次构成另一个等差数列．其首项为20+（n﹣1）×50﹣30=50n﹣60，公差为﹣30．项数为（30﹣n），其患者总人数为T 30﹣n =﹣65n 2+2445n ﹣14850．利用S n +T 30﹣n =8675，即可得出． 【解答】解：设11月1日，该市第n 日（n ∈N *，1≤n ≤30）感染此病毒的新患者人数最多．则从11月1日至第n 日，每日感染此病毒的新患者人数构成一个等差数列．其首项为20，公差为50． 前n 日患者总人数 S n ==25n 2﹣5n ．从第n +1日开始至11月30日止，每日感染此病毒的新患者人数依次构成另一个等差数列．其首项为20+（n ﹣1）×50﹣30=50n ﹣60，公差为﹣30．项数为（30﹣n ），其患者总人数为T 30﹣n =（30﹣n ）（50n ﹣60）+=﹣65n 2+2445n ﹣14850．由题意可得S n +T 30﹣n =8670，即（25n 2﹣5n ）+（﹣65n 2+2445n ﹣14850）=8670． 化为n 2﹣61n +588=0，解得n=12（1≤n ≤30）．∴n=12，第12日的新患者人数为20+（12﹣1）×50=570．∴11月12日该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天患者人数为570．18．已知△ABC 中，2（sin 2A ﹣sin 2C ）=（a ﹣b ）sinB ，外接圆半径为．（1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值． 【考点】HX ：解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化才边的关系，把外接圆半径代入求得a 2+b 2﹣c 2=ab ，根据余弦定理求得cosC 的值，进而求得C ． （2）根据三角形的面积公式求得三角形面积的表达式，利用两角和公式化简整理后，根据角A 的范围求得面积的最大值．【解答】解：（1）由2（sin 2A ﹣sin 2C ）=（a ﹣b ）•sinB 得2（﹣）=（a ﹣b ）．又∵R=，∴a2﹣c2=ab﹣b2．∴a2+b2﹣c2=ab．∴cosC==．又∵0°＜C＜180°，∴C=60°．（2）S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin=2sinA（sin120°cosA﹣cos120°sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2A﹣cos2A+=sin（2A﹣30°）+．∴当2A=120°，即A=60°时，S max=．19．已知首项为的等比数列{a n}是递减数列，其前n项和为S n，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n•log2a n，数列{b n}的前n项和T n，求满足不等式≥的最大n值．【考点】8K：数列与不等式的综合．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比，由S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列，结合a1=且数列{a n}是递减数列求出公比，则等比数列{a n}的通项公式可求；（Ⅱ）把{a n}的通项公式代入b n=a n•log2a n，利用错位相减法求出数列{b n}的前n项和T n，代入≥求得n的最大值．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，由题知a1=，又∵S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列，∴2（S2+a2）=S1+a1+S3+a3，变形得S2﹣S1+2a2=a1+S3﹣S2+a3，即得3a2=a1+2a3，∴q=+q 2，解得q=1或q=， 又由{a n }为递减数列， ∴q=，∴a n =a 1q n ﹣1=（）n ；（Ⅱ）由于b n =a n log 2a n =﹣n•（）n ，∴，则，两式相减得：=，∴．∴．由≥，解得n ≤4．∴n 的最大值为4．20．已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=a ，且a n +1=k （a n +a n +2）对任意正整数都成立，数列{a n }的前n 项和为S n（1）若k=且S 2017=2017a ，求a（2）是否存在实数k ，使数列{a n }是公比不为1的等比数列，且对任意相邻三项a m ，a m +1，a m +2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有的k 值；若不存在，请说明理由；（3）若k=﹣，求S n ．【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】（1）k=时，a n +1=（a n +a n +2），a n +2﹣a n +1=a n +1﹣a n ，即可证明数列{a n }是等差数列．再利用通项公式与求和公式即可得出．（2）设数列{a n }是公比不为1的等比数列，公比q=a ．可得a m =a m ﹣1，a m +1=a m ，a m +2=a m +1．通过分类讨论，利用等差中项与等比数列的通项公式即可得出． （3），则a n +1=﹣（a n +a n +2），a n +2+a n +1=﹣（a n +1+a n ），a n +3+a n +2=﹣（a n +2+a n +1）=a n +1+a n ，当n 为偶数时，S n =（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a n ﹣1+a n ），即可得出．当n 为奇数时，S n =a 1+（a 2+a 3）+…+（a n ﹣1+a n ），即可得出．【解答】解：（1）k=时，a n +1=（a n +a n +2），a n +2﹣a n +1=a n +1﹣a n ，∴数列{a n }是等差数列．a 1=1，公差d=a 2﹣a 1=a ﹣1． S n =n +（a ﹣1），∴2017a=2017+（a ﹣1），解得a=1．（2）设数列{a n }是公比不为1的等比数列，公比q=a ． ∴a m =a m ﹣1，a m +1=a m ，a m +2=a m +1．①若a m +1为等差中项，则2a m +1=a m +a m +2，即2a m =a m ﹣1+a m +1，解得a=1，不合题意，舍去．②若a m 为等差中项，则2a m =a m +1+a m +2，即2a m ﹣1=a m +a m +1，化简a 2+a ﹣2=0，解得a=﹣2，或1（舍去）．k====﹣．③若a m +2为等差中项，则2a m +2=a m +a m +1，即2a m +1=a m ﹣1+a m ，化简2a 2﹣a ﹣1=0，解得a=﹣，或1（舍去）．k====﹣．综上可得：k=﹣． （3），则a n +1=﹣（a n +a n +2），a n +2+a n +1=﹣（a n +1+a n ），a n +3+a n +2=﹣（a n +2+a n +1）=a n +1+a n ，当n 为偶数时，S n =（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a n ﹣1+a n ）=（a 1+a 2）=．当n为奇数时，S n=a1+（a2+a3）+…+（a n﹣1+a n）=a1+（a2+a3）=a1+=1﹣（a+1），n=1时也适合．综上可得：S n=．2017年6月17日。