电动力学第二章

如何用于电势
(x)
( x)dV V 4 0r
？
以上泰勒级数展开式用于f (x)=1/r，r x x
r是 x, x的函数,场点 x 固定不变, 而源点 x变化
把 x在原点O附近展开，有 注意负号！
1 1 x (1) y (1) z (1)
r r x0
x r x0
y r x0
2 a cos 450
3
a
2
cos2
450
r1 4 r 2 r
4 r
r 1- 1 a 2 2 a cos - 450 3 a 2 cos2 - 450
r2 4 r 2 r
4 r
r
1-
1
a
2
2 a cos 450
3
a
2
cos2
450
r3 4 r 2 r
1 6
ij
5
1
2
2a2 2 sin2 cos2 b2 2 sin2 sin2 c2 2 cos2
abc 3 sin d d d
00 0
Dyy
1Q 5
2b2 a2 c2
, Dzz
1Q 5
2c2 a2 b2
可以验证Dxx+Dyy+Dzz=0
1
4 0
Q r
pr
1 r
对于三元函数f (x1,x2,x3),在原点 x1=0, x2=0,x3=0邻域
的泰勒级数是：
f (x1, x2 , x3 )
f
(0,
0,
0)
x1
x1
f (0, 0, 0) x2
x2
f
(0,
0,
0)

1 40
[
Q x y ( z a)
2 2 2

Q
) 2 x y (z a
2 2
]
由边界条件确定 Q 、a 和 Q Q z 0 0 x2 y2 a2 x 2 y 2 a 2
唯一解是 Q Q, a a
因为象电荷在左半空 间，所以舍去正号 解
适用情况：
a) 所求区域有少许几个点电荷， 它产生的感应电荷一般可以 用假想点电荷代替。 b)导体边界面形状比较规则，具 有一定对称性。 c) 给定边界条件
注意：
a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由 点电荷位置、Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在 所求区域之外。 b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假 想电荷的大小和位置）。 c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。 d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。
Q
Q
2. 以唯一性定理为依据
在唯 一性 定 理 保证 下 ， 采 用试探解，只要保证解满足泊 松方程及边界条件即是正确解。 特别 是对 于 只 有几 个 自 由 点电荷时，可以将导体面上感 应电荷分布等效地看作一个或 几个点电荷来给出尝试解。
3. 镜象法概念、适用情况
镜象法：
用假想点电荷来等效地 代替导体边界面上的面 电荷分布，然后用空间 点电荷和等效点电荷迭 加给出空间电势分布。
O
x
-Q（a, -b, 0）
（-a, -b, 0） Q
（2）电势分布 Q 1 1 [ 4 0 ( x a) 2 ( y b) 2 z 2 ( x a ) 2 ( y b) 2 z 2
x 0 ] 2 2 2 2 2 2 y 0 ( x a ) ( y b) z ( x a ) ( y b) z （3）若两平面夹角 S2 2 Q 放在 0 ( ) 处 Q 1 1

电磁场能量密度和能流密度
S EH
w
E
D
H
B
t
t
t
S
1
E B,
0
w
1 2
( 0E 2
1
0
B2)
S
1
E B,
w
1
(E
D
H
B)
2
2
例题（课本P28）
无穷大平行板电容器内有两层介质(如图)，极板上面电荷密 度f，求电场和束缚电荷分布。

E2 E1
+f
3
例题（课本P28）
引入 标势
电场沿任一回路的环量为零 E dl 0 L
右图：C1和C2为P1到P2点的两条不同路径，C1
和-C2构成回路
E dl E dl 0 E dl E dl
C1
C2
C1
C2
P1
电荷从P1到P2时电场对它作的功与路径无关
定义P1到P2点的电势差：单位正电
荷从P1到P2点，电场对它作的功。
比奥-萨伐尔定律
B( x)
0
4
V
J
(
x) r3
r
dV
力密度公式和洛伦兹力公式 f E J B F qE q B
极化电荷密度p与极化强度P的关系 p P
界面极化电荷面密度与极化强度P的关系 P e n ( P2 P1 )
6
极化(磁化)电流密度与极化(磁化)强度的关系 J M M J p P / t
P2
E
dl
P1
C1 P2
C2
10 §2.1 静电场的标势及其微分方程
若电场对电荷作正功，则电势下降
( P2 ) ( P1 )

第二章一、选择题1、 静电场的能量密度等于（ ） A ρϕ21 B E D ⋅21 C ρϕ D E D ⋅ 2、下列函数（球坐标系a 、b 为非零常数）中能描述无电荷区电势的是（ ）A a 2rB a b r +3C ar(2r +b)D b ra + 3、真空中两个相距为a 的点电荷1q 和2q ，它们之间的相互作用能是（ ） A a q q 0218πε B a q q 0214πε C a q q 0212πε D aq q 02132πε 4、电偶极子p 在外电场e E 中所受的力为（ ）A (∇⋅P )e EB —∇(⋅P e E )C (P ⋅∇)e ED (eE ⋅∇)P5、电导率为1σ和2σ，电容率为1ε和2ε的均匀导电介质中有稳恒电流，则在两导电介质面上电势的法向微商满足的关系为（ ） A n n ∂∂=∂∂21ϕϕ B σϕεϕε-=∂∂-∂∂n n 1122 C nn ∂∂=∂∂2211ϕσϕσ D n n ∂∂=∂∂122211σσϕσ 6. 用点像法求接静电场时，所用到的像点荷___________ 。

A) 确实存在；B) 会产生电力线；C) 会产生电势；D) 是一种虚拟的假想电荷。

7.用分离变量法求解静电场必须要知道__________ 。

A) 初始条件；B) 电场的分布规律；C) 边界条件；D) 静磁场。

8.设区域V 内给定自由电荷分布)(x ρ，S 为V 的边界，欲使V 的电场唯一确定，则需要给定（ ）。

A. S φ或S n ∂∂φB. S QC. E 的切向分量D. 以上都不对9.设区域V 内给定自由电荷分布()ρx ,在V 的边界S 上给定电势s ϕ或电势的法向导数s n ϕ∂∂，则V 内的电场（ ）A ． 唯一确定 B. 可以确定但不唯一 C. 不能确定 D. 以上都不对10.导体的静电平衡条件归结为以下几条,其中错误的是( )A. 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面B. 导体内部电场为零C. 导体表面电场线沿切线方向D. 整个导体的电势相等11.一个处于x ' 点上的单位点电荷所激发的电势)(x ψ满足方程（ ）A. 2()0x ψ∇=B. 20()1/x ψε∇=-C. 201()()x x x ψδε'∇=-- D. 201()()x x ψδε'∇=-12.对于均匀带电的球体，有（ ）。