(浙江专用)2021届高考数学一轮复习第二章不等式2.2基本不等式与不等式的综合应用课件

第2讲 函数的单调性与最值一、知识梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．[注意] 有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．2．函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值M 为最小值1．函数单调性的两个等价结论 设∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，则(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0)⇔f (x )在D 上单调递增．(2)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0)⇔f (x )在D 上单调递减．2．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 二、教材衍化1．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是________． 答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))2．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 3．已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为__________．解析：可判断函数f (x )＝2x －1在[2，6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25. 答案：2 25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)求单调区间忘记定义域导致出错；(2)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念出错． 1．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B ．设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．2．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)， 所以m ≤2. 答案：(－∞，2]考点一 确定函数的单调性(区间)(基础型) 复习指导| 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义．核心素养：数学抽象角度一 判断或证明函数的单调性(一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性． 【解】 法一：设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增． 法二：f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．利用定义法证明或判断函数单调性的步骤[注意] 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等． 角度二 利用函数图象求函数的单调区间求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．【解】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋2，x ≥0，－（x ＋1）2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．【迁移探究】 (变条件)若本例函数变为f (x )＝|－x 2＋2x ＋1|，如何求解？解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1]和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2]和(1，1＋2]．确定函数的单调区间的方法[注意] (1)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．(2)“函数的单调区间是M ”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然N ⊆M .1．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 可能是( ) A ．(－∞，0) B ．⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：选B ．y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0－x （1－x ），x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0x 2－x ，x <0＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x <0.画出函数的草图，如图．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增． 2．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C ．由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．3．判断函数y ＝2x 2－3x的单调性．解：因为f (x )＝2x 2－3x ＝2x －3x ，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函数y ＝2x和y ＝－3x 在区间(－∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f (x )＝2x －3x 在区间(－∞，0)上为增函数．同理，可得f (x )＝2x －3x在区间(0，＋∞)上也是增函数．故函数f (x )＝2x 2－3x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．考点二 函数的最值(值域)(基础型) 复习指导| 理解函数的最大(小)值，并能利用函数的单调性求最值．核心素养：逻辑推理(1)(一题多解)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________．(2)(2020·福建漳州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x ≤0，x ＋4x ，x ＞0有最小值，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)法一(换元法)：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1， 所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0. 配方得y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34， 又因为t ≥0，所以y ≥14＋34＝1，故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)内为增函数，所以y min ＝1.(2)(基本不等式法)由题意知，当x >0时，函数f (x )＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号；当x ≤0时，f (x )＝2x ＋a ∈(a ，1＋a ]，因此要使f (x )有最小值，则必须有a ≥4.【答案】 (1)1 (2)[4，＋∞)求函数最值的五种常用方法1．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________．解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.所以a ＋b ＝6. 答案：62．(一题多解)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：法一：在同一直角坐标系中， 作出函数f (x )，g (x )的图象， 依题意，h (x )的图象如图所示． 易知点A (2，1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2处取得最大值h (2)＝1. 答案：1考点三 函数单调性的应用(综合型) 复习指导| 利用函数单调性求解，要明确函数的所给区间，不同区间有不同的单调性．角度一 比较两个函数值已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c【解析】 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立， 知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)， 所以b >a >c . 【答案】 D比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．角度二 解函数不等式已知函数f (x )＝－x |x |，x ∈(－1，1)，则不等式f (1－m )<f (m 2－1)的解集为________．【解析】 由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1<x ≤0，－x 2，0<x <1，则f (x )在(－1，1)上单调递减，所以⎩⎨⎧－1<1－m <1，－1<m 2－1<1，m 2－1<1－m ，解得0<m <1，所以所求解集为(0，1)． 【答案】 (0，1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．角度三 求参数的值或取值范围(1)(2020·南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．【解析】 (1)设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1. 因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0. 因为x 1－x 2<0，所以1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.【答案】 (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，1]∪[4，＋∞)利用单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．1．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D ．因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.故选D ．2．函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，且函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72B ．f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52C ．f ⎝⎛⎭⎫72<f ⎝⎛⎭⎫52<f (1)D ．f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)解析：选B ．因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫12.又0<12<1<32<2，f (x )在[0，2]上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫12<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫32，即f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52. 3．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________．解析：由图象(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，令－a2＝3，得a ＝－6.答案：－6[基础题组练]1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C ．当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤－2，－13上的最大值是( ) A ．32B ．－83C ．－2D ．2解析：选A ．函数f (x )＝－x ＋1x 的导数为f ′(x )＝－1－1x 2，则f ′(x )<0，可得f (x )在⎣⎡⎦⎤－2，－13上单调递减，即f (－2)为最大值，且为2－12＝32.3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C ．由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0.所以－1＜x ＜0或0＜x ＜1.故选C ．4．(多选)(2021·预测)已知f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f (x )是增函数的是( )A ．对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )B ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≥x 2，都有f (x 1)≥f (x 2)C ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0D ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0解析：选CD ．根据题意，依次分析选项：对于选项A ，对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B ，当f (x )为常数函数时，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，都有f (x 1)＝f (x 2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C ，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0，符合题意；对于选项D ，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，设x 1>x 2，若f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，必有f (x 1)－f (x 2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．5．(创新型)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C ．由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，所以f (x )的最大值为6.6．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是________．解析：由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．答案：[1，2]7．函数y ＝2＋－x 2＋4x 的最大值是________，单调递增区间是________．解析：函数y ＝2＋－x 2＋4x ＝2＋－（x －2）2＋4，可得当x ＝2时，函数y 取得最大值2＋2＝4；由4x －x 2≥0，可得0≤x ≤4，令t ＝－x 2＋4x ，则t 在[0，2]上为增函数，y －2＋t 在[0，＋∞)上为增函数，可得函数y ＝2＋－x 2＋4x 的单调递增区间为[0，2]．答案：4 [0，2]8．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3<f (x ＋1)<1的解集为________．解析：由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，知不等式－3<f (x ＋1)<1，即为f (0)<f (x ＋1)<f (3)，所以0<x ＋1<3，所以－1<x <2.答案：(－1，2)9．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1>x 2>0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0， 所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.因为a >0，x 2－x 1>0， 所以要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围为(0，1]．[综合题组练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3（a －3）x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x >1对任意的x 1≠x 2都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．[1，3)解析：选D ．由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0，得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0， 所以函数f (x )在R 上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，3（a －3）＋2≥－4a ，解得1≤a ＜3.故选D ． 2．(多选)若函数f (x )满足条件：①对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f （a ）－f （b ）a －b >0；②对于定义域内任意x 1，x 2都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≥f （x 1）＋f （x 2）2成立．则称其为G 函数．下列函数为G 函数的是( ) A ．f (x )＝3x ＋1 B ．f (x )＝－2x －1 C ．f (x )＝x 2－2x ＋3D ．f (x )＝－x 2＋4x －3，x ∈(－∞，1)解析：选AD ．①对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f （a ）－f （b ）a －b >0，则函数f (x )在定义域为增函数；②对于定义域内任意x 1，x 2都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≥f （x 1）＋f （x 2）2成立，则函数f (x )为“凸函数”．其中A ．f (x )＝3x ＋1在R 上为增函数，且f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f （x 1）＋f （x 2）2，故满足条件①②；B ．f (x )＝－2x －1在R 上为减函数，不满足条件①；C ．f (x )＝x 2－2x ＋3在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)为增函数，不满足条件①；D ．f (x )＝－x 2＋4x －3的对称轴为x ＝2，故函数f (x )＝－x 2＋4x －3在(－∞，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满足条件①②.综上，为G 函数的是AD ．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．解析：因为当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，所以a 的取值范围是0≤a ≤2. 答案：[0，2]4．(创新型)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为________． 解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2， 由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3 ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．答案：[1， 3 ]5．已知函数f (x )＝x 2＋a |x －2|－4.(1)当a ＝2时，求f (x )在[0，3]上的最大值和最小值；(2)若f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2（x －1）2－1，x ＜2， 当x ∈[0，2)时，－1≤f (x )<0，当x ∈[2，3]时，0≤f (x )≤7， 所以f (x )在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.(2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，又f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，所以当x ＞2时，f (x )单调递增，则－a2≤2，即a ≥－4.当－1＜x ≤2时，f (x )单调递增，则a2≤－1.即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立， 故a 的取值范围为[－4，－2]．6．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2，9]上的最小值．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈()0，＋∞，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间()0，＋∞上是单调递减函数．(3)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f (x )在[2，9]上的最小值为f (9)，由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.所以f (x ) 在[2，9]上的最小值为－2.。

2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题2.2 函数的单调性与最值【核心素养分析】1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。

【重点知识梳理】知识点一函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．知识点二函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论M 为最大值M 为最小值【特别提醒】1.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反. 2.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].【典型题分析】高频考点一 确定不含参函数的单调性(区间)例1.（2020·新课标Ⅱ）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ； 当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 【举一反三】（2020·山东青岛二中模拟）函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为________，单调递减区间为________．【答案】[2，＋∞) (－∞，－3] 【解析】令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数， 所以y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)。

专题二不等式【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、不等式及其解法1.了解生活中的不等关系，会从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

1.考查内容:从近几年高考的情况看,本专题内容考查的重点是不等式的性质与解法,基本不等式及不等式的综合应用。

常与导数、函数零点等知识结合,常用到数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法.2.不等式是常考的内容，在选择题、填空题中，常考查不等式的性质、解法及应用基本不等式求最值；在解1。

不等式的性质及不等式的解法难度较小，对于含有参数的一元二次不等式的求解要学会分类讨论（特别是二次项系数、判别式符号均不确定的问题)。

2.对于利用基本不等式求最值的问题，要学会配凑方法,将之表示成“和定"或“积定"的形式,对于多次使用基本不等式求最值的问题,要保证每次的等号均能同时取到.3。

对于不等式恒成立问题,不能停留在具体的求解方法（比如分离参数法等）上，而是将较难的、生疏的问题经过分析、转化为基本的研究函数单调性的问题，积累具体分析、转化的经验.二、基本不等式与不等式的综合了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小）应用值问题。

答题中,常与导数结合研究与函数相关的大小关系.【真题探秘】§2.1不等式及其解法基础篇固本夯基【基础集训】考点一不等式的性质1。

若a〉b>0,c〈d〈0，则一定有（)A.ac >bdB。

ac〈bdC.ad>bcD。

ad〈bc答案D2.已知实数a=ln22，b=ln33,c=ln55，则a ，b,c 的大小关系是( )A 。

a<b<c B.c 〈a<b C.c<b 〈a D 。

b<a<c 答案 B3。

若a 〈0,b<0，则p=b 2a+a 2b与q=a+b 的大小关系为 .答案 p≤q考点二 不等式的解法4.不等式x 2+2x —3≥0的解集为（ ）A.{x ｜x≤—3或x≥1} B 。

2.2 一元二次不等式1．解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是．(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的．(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．2．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集．(4)一元二次不等式的解函数、方程与不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1,x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a无实根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集①②Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}③4．分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f （x ）g （x ）＞0⇔f (x )g (x )＞0； f （x ）g （x ）＜0⇔f (x )g (x )＜0； f （x ）g （x ）≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； f （x ）g （x ）≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0.自查自纠1．(1)同解不等式 (2)同解变形 2．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>a b x x | ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<a b x x | a ＝0，b ＜0 3．(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间 (4)①{x |x ＜x 1或x ＞x 2} ②⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2| ③1．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,∪[1，＋∞) D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,∪[1，＋∞) 答案：A解析：由不等式x －12x ＋1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≠0，（x －1）（2x ＋1）≤0，解得－12＜x ≤1，故原不等式的解集为⎥⎦⎤⎝⎛-1,21.故选A. 2．(2019·河北八所重点中学模拟)不等式2x 2－x －3>0的解集为 ( )A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-231|x x B ．{x |x ＜－3或x ＞1} C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<231|x x x 或 D ．{x |x ＜－1或x ＞1} 答案：C解析：由2x 2－x －3＞0，得(x ＋1)(2x －3)＞0，解得x >32或x <－1.所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>123|x x x 或.故选C.3．(2018石家庄模拟改编)若不等式(1－a )x 2－4x＋6＞0的解集是{x |－3＜x ＜1}，则不等式(a －1)x 2＋ax ＋1＞0的解集为( )A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-211|x xB ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<211|x x x 或 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-411|x x D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<411|x x x 或答案：B解析：由题意知1－a ＜0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜0，41－a ＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.所以不等式(a －1)x 2＋ax ＋1＞0即为2x 2＋3x ＋1＞0，解得x ＜－1或x ＞－12.所以所求不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<211|x x x 或.故选B.4．已知函数f (x )＝ln(x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是________． 答案：[－4，＋∞)解析：依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，则函数g (x )的值域取遍一切正实数，因此对于方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4.故填[－4，＋∞)． 5．已知关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a <0)的解集为(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，且x 2－x 1＝52，则a ＝________． 答案：－ 2.解析：解法一：由题意得，x 1＋x 2＝a ①，x 1x 2＝－6a 2 ②，①2－4×②可得(x 2－x 1)2＝25a 2，又x 2－x 1＝52，所以25a 2＝50，解得a ＝±2，因为a <0，所以a ＝－2.解法二：关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a <0)可化为(x ＋2a )(x －3a )>0，因为a <0，所以－2a >3a ，所以解不等式得x >－2a 或x <3a ，所以x 1＝3a ，x 2＝－2a.又x 2－x 1＝52，所以－5a ＝52，所以a ＝－2．故填－ 2.题型一 一元二次不等式的解法 1．解下列不等式．(1)x 2－7x ＋12＞0； (2)x 2－2x ＋1＜0. 解：(1)方程x 2－7x ＋12＝0的解为x 1＝3，x 2＝4.而y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得原不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}． (2)方程x 2－2x ＋1＝0有两个相同的解x 1＝x 2＝1.而y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅. 2．(2018昆明模拟)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解：原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0(a ∈R )，即(ax －2)(x ＋1)≥0(a ∈R )．1°当a ＝0时，原不等式可化简为x ＋1≤0， 原不等式的解集为{x |x ≤－1}；2°当a ≠0时，原不等式的解集由2a 和－1的大小决定，故当a >0时，2a >－1，所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤a x x x 21|或； 当－2<a <0时，2a <－1，所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤12|x a x ； 当a ＝－2时，2a＝－1，所以原不等式的解集为{x |x ＝－1}； 当a <－2时，2a>－1，所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-a x x 21|. 综上，不等式的解集为：当a ＝0时，{x |x ≤－1}；当a >0时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤a x x x 21|或； 当－2<a <0时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤12|x a x ； 当a ＝－2时，{x |x ＝－1}； 当a <－2时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-a x x 21|. [听课笔记]1．解一元二次不等式的四个步骤：一化：将二次项系数化为大于零的标准形式； 二判：计算相应方程的判别式；三求：求出相应的一元二次方程的根，或结合判别式说明方程有没有实数根； 四写：根据“大于取两边、小于取中间”写出不等式的解集． 2．解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①根据二次项系数讨论(大于0，小于0，等于0)； ②根据根的判别式讨论(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)； ③根据根的大小讨论(x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2)．巩固迁移1 1．解下列不等式．(1)x 2－2x ＋3≥0； (2)x 2－2x ＋2＞0.解：(1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0. 方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}． (2)因为Δ＜0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋2＞0的解集为R .2．若关于x 的不等式ax 2－x ＋2a <0的解集为∅，则实数a 的取值范围是________． 解：依题意知，问题等价于ax 2－x ＋2a ≥0恒成立，当a ＝0时，－x ≥0不恒成立；当a ≠0时，要使ax 2－x ＋2a ≥0恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎨⎧a >0，1－8a 2≤0，解得a ≥24，即a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，42.故填⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，42. 3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a ＋2(1)若关于x 的不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，求实数a ，b 的值；(2)若b ＝2，a >0，解关于x 的不等式f (x )>0．解：(1)依题意知，x ＝－1，x ＝3是方程ax 2＋bx －a ＋2＝0的两根，代入方程有⎩⎨⎧=++=+-023802b a b ，解得⎩⎨⎧=-=21b a(2)当b ＝2时，－x ≥0不恒成立；当a ≠0时，f (x )＝ax 2＋2x －a ＋2＝(ax －a ＋2)(x ＋1)， 因为a >0，所以，f (x )>0可化为(x －aa 2-)(x ＋1)>0当aa 2-≥—1，即a ≥1时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<a a x x x 21|或 当aa 2-<—1，即0<a <1时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<12|x a a x x 或 题型二 二次不等式、二次函数及二次方程的关系1．(2019·广州模拟)已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <－2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集为( ) A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-3121|x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<3121|x x x 或 C ．{x |－3<x <2} D ．{x |x <－3或x >2} 答案：A解析：由题意得⎩⎨⎧5a ＝－3－2，ba ＝－3×（－2），解得a ＝－1，b ＝－6，所以不等式bx 2－5x ＋a >0为－6x 2－5x －1>0，即(3x ＋1)·(2x ＋1)<0，所以解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-3121|x x ．故选A. 2．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞,－3)∪(2,＋∞)时，f (x )<0．当x ∈(－3,2)时，f (x )>0．(1)求f (x )在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．解：(1)依题意知，－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，且a <0， 则⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－b －8a ，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5，则f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x 2＋754，函数f (x )的图象关于直线x ＝－12对称，且抛物线开口向下，所以在区间[0，1]上f (x )为减函数，所以函数的最大值为f (0)＝18，最小值为f (1)＝12.故f (x )在[0，1]内的值域为[12，18]． (2)由(1)知，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0即为－3x 2＋5x ＋c ≤0，因为二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ＝25＋12c ≤0，即c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛-∞-1225,. [听课笔记]1．已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．2．三个“二次”在高考中举足轻重，每年高考中，不少题目都与之相关．直接考查的不多见，以间接考查为主，贯穿高中数学的始终．其中二次函数居核心地位． 巩固迁移21．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，则实数m 的取值范围是________． 答案：⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-45,解析：不等式f (x )≥x 2－x ＋m 等价于f (x )－x 2＋x ≥m ，令g (x )＝f (x )－x 2＋x ， 则g (x )≥m 的解集非空只需要g (x )max ≥m.而g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x －3，x ≤－1，－x 2＋3x －1，－1<x <2，－x 2＋x ＋3，x ≥2.①当x ≤－1时，g (x )max ＝g (－1)＝－1－1－3＝－5； ②当－1<x <2时，g (x )max ＝g ⎪⎭⎫ ⎝⎛23＝－⎪⎭⎫ ⎝⎛232＋3×32－1＝54；③当x ≥2时，g (x )max ＝g (2)＝－22＋2＋3＝1，综上，g (x )max ＝54，所以m ≤54，即实数m 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-45,故填⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-45,.2．(2019·黄冈模拟)关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1,+∞)，则关于x 不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( )A ．(—∞,1)∪(2,+∞)B ．(—1,2)C ．(1,2)D ．(—∞,—1)∪(2,+∞) 答案：C 解析：不等式3．已知不等式ax 2－3x ＋6＞0的解集为{x |b <x <1，b ＜1}．(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>0的解集为{x |b <x <1}， 所以方程ax 2－3x ＋6＝0的根为x 1＝1，x 2＝b ，所以⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，b ＝6a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－2.(2)由(Ⅰ)知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－2，所以原不等式可化为－3x 2＋(3c ＋2)x －2c <0， 即(3x －2)(x －c )>0.因为原不等式对应的方程(3x －2)(x －c )＝0的根为x 1＝23，x 2＝c ，所以原不等式的解集由23和c 的大小决定．当c <23时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><32|x c x x 或；当c ＝23时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠32|x x ；当c >23时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><c x x x 或32|.题型三 分式不等式的解法 1．解下列不等式．(1)x ＋12x －1<0；(2)1－x 3x ＋5≥0；(3)x －1x ＋2>1. 解：(1)原不等式可化为(x ＋1)(2x －1)<0， 所以－1<x <12，故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-211|x x . (2)原不等式可化为x －13x ＋5≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（3x ＋5）≤0，3x ＋5≠0，所以⎩⎨⎧－53≤x ≤1，x ≠－53，即－53<x ≤1.故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-135|x x . (3)原不等式可化为x －1x ＋2－1>0，即x －1－（x ＋2）x ＋2>0，所以－3x ＋2>0，则x <－2.故原不等式的解集为{x |x <－2}．2．已知两个集合A ＝{x |y ＝ln(－x 2＋x ＋2)}，B ＝，则A ∩B ＝( )A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2,21 B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛--21,1 C ．(－1，e ) D ．(2，e)解：由题意得A ＝{x |－x 2＋x ＋2>0}＝{x |－1<x <2}，B ＝，故A ∩B ＝⎥⎦⎤ ⎝⎛--21,1.故选B. [听课笔记]求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解， (1)f （x ）g （x ）﹥0(﹤0)⇔f (x ).g (x )﹥0(﹤0)； (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎨⎧≠≤≥0)()0(0)().(x g x g x f ． 巩固迁移31．不等式x －12x ＋1≤1的解集为________．答案：{x |x ＞－12或x ≤－2}解析：x －12x ＋1≤1⇔x －12x ＋1－1≤0⇔－x －22x ＋1≤0⇔x ＋22x ＋1≥0.方法一：x ＋22x ＋1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）（2x ＋1）≥0，2x ＋1≠0.得{xx ＞－12或x ≤－2}．方法二：x ＋22x ＋1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2x ＋1＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，2x ＋1＜0.得{x |x ＞－12或x ≤－2}．故填{x |x ＞－12或x ≤－2}．2．(2019.江西省重点中学协作体联考)已知命题p ：A ＝{x |xx --12≤0}，命题q ：B ＝{x |x —a <0}，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2,+∞) B ．[2,+∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，1] 答案：D解析：由题意得A ＝{x |x <1或x ≥2}，B ＝{x |x <a }，因为命题p 是命题q 的必要不充分条件，所有B A ，利用数轴(如图)，可得a ≤1，故选D.3．不等式x 2－x －6x －1>0的解集为 ( )A ．{x |x ＜－2或x ＞3}B ．{x |x ＜－2或1＜x ＜3}C ．{x |－2＜x ＜1或x ＞3}D ．{x |－2＜x ＜1或1＜x ＜3} 答案：C解析：x 2－x －6x －1＞0⇔（x －3）（x ＋2）x －1＞0⇔(x －3)(x ＋2)·(x －1)>0，由穿针引线法得原不等式的解集是{x |－2<x <1或x >3}．故选C. 题型四 和一元二次不等式有关的恒成立问题 命题角度1 任意性与存在性 1．设函数f (x )＝x 2－2ax ＋1． (1)若f (x )≥0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若∃x ∈[1，2]，f (x )≥2成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意得f (x )＝x 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立 ∴△＝442-a ≤0，解得—4≤a ≤4∴实数a 的取值范围为[—4,4] (2)由题意得∃x ∈[1，2]，x 2－2ax ＋1≥2成立 ∴∃x ∈[1，2]，2a ≤x －x1成立 令g (x )＝x －x1，x ∈[1，2]， 因为g (x )在[1，2]上单调递增， ∴g (x )max ＝g (2)＝23 ∴2a ≤23，解得a ≤3，所以实数a 的取值范围为(—∞,3] 命题角度2 给定区间上的任意性问题2．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意的x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是 ．答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,22 解析：要满足f (x )＝x 2＋mx －1<0对于任意的x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎨⎧<+<0)1(0)(m f m f ，即⎪⎩⎪⎨⎧<-+++<-01)1()1(01222m m m m 即可，解得22-<x <0.3．设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈[1，3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)若m ＝0，显然－1<0恒成立；若m ≠0，则⎩⎨⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. 所以m 的取值范围为(－4，0]．(2)方法一：要使x ∈[1，3]时，f (x )<－m ＋5恒成立， 需m ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x 2＋34m －6<0，x ∈[1，3]． 令g (x )＝m ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x 2＋34m －6，x ∈[1，3]． 则需g (x )max <0.当m >0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6，所以7m －6<0，解得m <67，所以0<m <67.当m ＝0时，－6<0恒成立．当m <0时，g (x )在[1，3]上是减函数．所以g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，解得m <6，所以m <0. 综上所述，m 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-76,.方法二：f (x )<－m ＋5恒成立，即m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立，因为x 2－x ＋1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x 2＋34>0，所以m <6x 2－x ＋1，在x ∈[1，3]上恒成立．又函数y ＝6x 2－x ＋1＝432162+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 在[1，3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-76,.命题角度3 给定参数范围的恒成立问题4．已知a ∈[—1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( )A ．(—∞,2)∪(3,+∞)B ．(—∞,1)∪(2,+∞)C ．(—∞,1)∪(3,+∞)D ．(1，3) 答案：C解析：把不等式的左端看成关于a 的一次函数，令f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a+x 2－4x ＋4要使f (a )>0对于任意的a ∈[—1，1]恒成立，只需⎩⎨⎧>>-0)1(0)1(f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-02306522x x x x 即可，解得x <1或x >3，故选C. [听课笔记]1．不等式ax 2＋bx ＋c ﹥0的解集为x ∈R (或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；2．不等式ax 2＋bx ＋c ﹥0的解集为x ∈R (或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c <0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0；3．处理与一元二次不等式有关的恒成立问题常可用分离参数的方法，很多时候都可以减少不必要的讨论，其中：f (x )≤a 恒成立⇔a ≥f (x )max ；f (x )≥a 恒成立⇔a ≤f (x )min .4．已知参数m ∈[a,b]的不等式恒成立问题，首先要搞清楚谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． 巩固迁移41．(山东临沂罗庄区2019－2020高二上期中)若关于x 的不等式log 2(ax 2－2x ＋3)＞0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________．答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21 解析：ax 2－2x ＋3＞1恒成立，即ax 2－2x ＋2＞0恒成立．当a ＝0时，－2x ＋2＞0不恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－8a ＜0，得a ＞12．故填⎪⎭⎫⎝⎛∞+，21. 2．(2018沈阳模拟)对任意a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x的取值范围是()A．(1，3)B．(－∞，1)∪(3，＋∞)C．(1，2)D．(－∞，1)∪(2，＋∞)答案：B解析：设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，由g(a)＞0在a∈[－1，1]上恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧g（1）＝x2－3x＋2＞0，g（－1）＝x2－5x＋6＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＜1或x＞2，x＜2或x＞3，所以x＜1或x＞3，所以x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．故选B.3．【经典题】函数f(x)＝x2＋ax＋3．(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x∈[—2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围；解：(1)∵x∈R时，有x2＋ax＋3－a≥0恒成立，∴Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，∴－6≤a≤2(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图a，当g(x)的图象恒在x轴上方时，满足题意，Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2②如图b，当g(x)的图象与x轴有交点，且在x∈[－2，＋∞)，g(x)≥0时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--<-=≥∆)2(22gax，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+--<-≥--0324220)3(42a a aa a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-≤≥⇔37462a a a a 或，解得a ∈∅ ③如图c ，g (x )的图象与x 轴有交点，在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥>-=≥∆0)2(220g a x即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-++>-≥--032422)3(42a a aa a ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<-≤≥⇔7462a a a a 或解得，－7≤a ≤－6 综合①②③，得a ∈[－7,2]． (3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3当a ∈[4，6]时，h (a )≥0恒成立，只需⎩⎨⎧≥≥0)6(0)4(h h ，即⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥++03603422x x x x解得x ≤63--或x ≥63+-所以实数x 的取值范围是(－∞,63--]∪[63+-，＋∞)1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的解集的确定，受二次项系数a 的符号及判别式Δ＝b 2－4ac 的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒大于0的条件是a ＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a ＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组．(注：形如f （x ）g （x ）≥0或f （x ）g （x ）≤0的不等式称为非严格分式不等式)3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．1．(2018·潍坊模拟)函数f (x )＝1ln （－x 2＋4x －3）的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B ．(1，3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1，2)∪(2，3) 答案：D解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x ≠2，故函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．故选D.2．(2019·扬州市邗江区蒋王中学高一月考)已知函数f (x )＝33x －1ax 2＋ax －3的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 ( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31 B ．(－12，0] C ．(－12，0) D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-31， 答案：B解析：由题意可知ax 2＋ax －3≠0对于一切实数都成立，当a ＝0时，不等式成立，即符合题意；当a ≠0时，要使ax 2＋ax －3≠0对于一切实数都成立，只需Δ＝a 2－4a ×(－3)<0，解得－12<a <0.综上所述，实数a 的取值范围是(－12，0]．故选B. 3．不等式|x |(1－2x )>0的解集为 ( )A ．(－∞，0)∪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 答案：A解析：当x ≥0时，原不等式即为x (1－2x )>0，所以0<x <12；当x <0时，原不等式即为－x (1－2x )>0，所以x <0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0.故选A.4．(2019·天津市新华中学高考模拟)已知p ：1a >14，q ：x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：对于p ：1a ＞14⇔4－a4a ＞0⇔4a (a －4)＜0，所以a 的取值范围为(0，4)；对于q ：a ＝0时，1＞0，显然成立，a ≠0时，只需a ＞0且Δ＝a 2－4a ＜0，解得a ∈(0，4)．综上，a ∈[0，4)．故p 成立是q 成立的充分不必要条件．故选A.5．(2019·山东章丘四中高二月考)关于x 的不等式x 2－ax ＋4≥0在区间[1，2]上有解，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，5)B ．(－∞，5]C ．(－∞，4) D.(－∞，4] 答案：B解析：由不等式x 2－ax ＋4≥0在区间[1，2]上有解，得a ≤x ＋4x 在区间[1，2]有解．令f (x )＝x ＋4x ，x ∈[1，2]，则f (x )max ＝f (1)＝5，所以有a ≤5，即实数a 的取值范围为(－∞，5]．故选B.6．(2018四川模拟)若关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中恰有3个整数，则a 的取值范围是 ( ) A ．(4，5) B ．(－3，－2)∪(4，5) C ．(4，5] D ．[－3，－2)∪(4，5] 答案：D解析：原不等式可化为(x －a )(x －1)<0，其对应的一元二次方程的根为x 1＝a ，x 2＝1. 因为x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中恰有3个整数解，所以当a <1时，原不等式的解集为(a ，1)，此时的整数解为－2，－1，0，所以－3≤a <－2；当a ＝1时，原不等式的解集为空集，不满足题意，舍去；当a >1时，原不等式的解集为(1，a )，此时的整数解为2，3，4，所以4<a ≤5.综上，a 的取值范围为[－3，－2)∪(4，5]．故选D.7．(2018皖南八校联考)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对于任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5,+∞)C ．(－∞，－1]∪[4,+∞)D ．[－2,5]答案：A解析：因为不等式x 2－2x ＋5≥(x －1)2＋4，所(x 2－2x ＋5)min ＝4，则4≥a 2－3a 解得－1≤x ≤4．故选A.8．【多选题】(2019·海南枫叶国际学校高一期中)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则能使不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c <2ax 成立的x 的集合为( ) A ．{x |0<x <3} B ．{x |x <0} C ．{x |x >3} D ．{x |－2<x <1} 答案：BC解析：因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，所以－1和2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a <0，所以－b a ＝－1＋2＝1，ca ＝－2，所以b ＝－a ，c ＝－2a ，由a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c <2ax ，得a (x 2＋1)－a (x －1)－2a <2ax ，得ax 2－3ax <0， 因为a <0，所以x 2－3x >0，所以x <0或x >3，所以不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c <2ax 的解集为{x |x <0或x >3}．故选BC. 9．(2019·河北高考模拟)在R 上定义运算⊗：xy ＝x (1－y )，若不等式(x －a )(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 答案：⎪⎭⎫⎝⎛-23,21 解析：由题意，可知不等式(x －a )(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，又由(x －a )(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，即4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32.故填⎪⎭⎫⎝⎛-23,21.10．若对任意的实数x ，不等式x 2＋mx －12x 2－2x ＋3＜1都成立，则实数m 的取值范围是________．答案：(－6，2)解析：因为2x 2－2x ＋3＝2⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x 2＋52>0恒成立，所以原不等式可化为x 2＋mx －1<2x 2－2x ＋3，即x 2－(m ＋2)x ＋4>0恒成立，所以Δ＝[－(m ＋2)]2－4×4<0，解得－6<m <2，所以实数m 的取值范围为(－6，2)．故填(－6，2)．11．已知函数f (x )＝2,0,,0,≥⎧⎨<⎩x x x x 那么关于x 的不等式f (x 2)>f (3—2x )的解集是 ． 答案：(-∞,-3)∪(1,3) 解析：由题意得23-20,3-2≥⎧⎨>⎩x x x 或223-20,(3-2),<⎧⎨>⎩x x x 解得x <—3或1<x ≤32或32<x <3，即x ∈(-∞,-3)∪(1,3).12．(2014.江苏高考卷)已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是 ． 答案0⎛⎫ ⎪⎝⎭解析 由题意得⎩⎨⎧<+<0)1(0)(m f m f ，即⎪⎩⎪⎨⎧<-+++<-+01)1()1(01.22m m m m m m ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-0232222m m ，所以022<<-m 13．(2018·浙江高考模拟)已知函数f (x )＝ax 2－3ax ＋a 2－3.(1)若不等式f (x )<0的解集是{x |1﹤x ﹤b ，b ﹥1}，求实数a 与b 的值；(2)若a ﹤0，且不等式f (x )<4对任意x ∈[－3，3]恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为不等式f (x )﹤0的解集是{x |1﹤x ﹤b }， 所以1，b 为方程ax 2－3ax ＋a 2－3＝0的两根，且a ﹥0，因此⎩⎨⎧1＋b ＝3，b ＝a 2－3a ，因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝3.(2)因为a <0，所以不等式f (x )<4可化为x 2－3x >7－a 2a. 因为当x ∈[]－3，3时，x 2－3x ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-23x 2－94≥－94，所以－94>7－a 2a ，因为a <0，解得－74<a <0.故实数a 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛-0,47. 14．(2019·林芝一中高三月考)已知函数y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域为R .(1)求实数m 的取值范围；(2)当m 变化时，若y 的最小值为f (m )，求函数f (m )的值域． 解：(1)依题意，当x ∈R 时，mx 2－6mx ＋m ＋8≥0恒成立． 当m ＝0时，8≥0，显然恒成立；当m ≠0时，⎩⎨⎧m ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，（－6m ）2－4m （m ＋8）≤0.解得0＜m ≤1.故实数m 的取值范围为{m |0≤m ≤1}． (2)因为y ＝m （x －3）2＋8－8m ，且m ≥0， 所以y min ＝8－8m.因此，f (m )＝8－8m (0≤m ≤1)，易得0≤8－8m ≤8.所以函数f (m )的值域为[0，22]． 15．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231x x ，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集． 解：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231x x ，知a <0， 又⎪⎭⎫⎝⎛-31×2＝c a <0，则c >0. 又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，∴－b a ＝53，即b a ＝－53. 又∵c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a ∴不等式cx 2＋bx ＋a <0变为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 32x 2＋⎪⎭⎫⎝⎛-a 35x ＋a <0， 即2ax 2＋5ax －3a >0.又∵a <0，∴2x 2＋5x －3<0，∴所求不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-213x x 16．已知函数f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R .(1)若函数f (x )有最大值178，求实数a 的值； (2)解不等式f (x )>1(a ∈R )．解：(1)由题意，a ≠0，则f (x )＝a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x 212－1＋4a 24a .当a >0时，不符合题意；当a <0时，f (x )有最大值，则－1＋4a 24a ＝178，解得a ＝－2或－18. (2)f (x )>1，即ax 2＋x －a >1，(x －1)(ax ＋a ＋1)>0，①当a ＝0时，解集为{x |x >1}；②当a >0时，(x －1)⎪⎭⎫ ⎝⎛++a x 11>0， 解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1或x <－1－1a ； ③当a ＝－12时，(x －1)2<0，解集为∅； ④当－12<a <0时，(x －1)⎪⎭⎫ ⎝⎛++a x 11<0， 解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <－1－1a ； ⑤当a <－12时，(x －1)⎪⎭⎫ ⎝⎛++a x 11<0， 解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1－1a <x <1. 附加题 已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c.(1)求证：函数y ＝f (x )必有两个不同的零点；(2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为m ，n ，求|m －n |的取值范围．解：(1)证明：由题意知a ＜0，a ＋b ＋c ＝0，且－b 2a>1，所以c ＜a ＜0，所以ac >0，所以对于函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c 有Δ＝(a －b )2＋4ac >0，所以函数y ＝f (x )必有两个不同零点．(2)|m －n |2＝(m ＋n )2－4mn＝（b －a ）2＋4ac a 2＝（－2a －c ）2＋4ac a 2＝⎪⎭⎫ ⎝⎛a c 2＋8·c a ＋4， 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )可知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解分别为1和t (t >1)，由根与系数的关系知c a＝t ，所以|m －n |2＝t 2＋8t ＋4，t ∈(1，＋∞)． 所以|m －n |>13，所以|m －n |的取值范围为(13，＋∞)．。

§2.2 一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集概念方法微思考1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集与其对应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象有什么关系？提示 ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集就是其对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分所对应的x 的取值范围．2．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件是什么？ 提示 显然a ≠0.ax2＋bx ＋c >0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × ) (5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ ) 题组二 教材改编2．[P80A 组T4]已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( ) A ．{x |－2<x <3} B ．{x |－2≤x ≤3} C ．{x |x <－2}∪{x |x >3} D ．{x |x ≤－2}∪{x |x ≥3}答案 B解析 ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0，∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}． 故选B.3．[P80A 组T2]y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.题组三 易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案 (－4,1)解析 由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0， 得－4<x <1.5．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b ＝________.答案 －14解析 由题意可知，x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b 3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.6．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－2,2] C ．(－2,2) D ．(－∞，2)答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，解得－2<a <2，另a ＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立， ∴－2<a ≤2.故选B.题型一 一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{y |y ＝2x}，则A ∩B 等于( ) A ．(－1,2) B ．(－2,1) C ．(0,1) D ．(0,2)答案 D解析 由题意得A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{y |y ＝2x}＝{y |y >0}， ∴A ∩B ＝{x |0<x <2}＝(0,2)．故选D.命题点2 含参不等式例2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.所以当a >1时，解为1a<x <1；当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解为1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1. 思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论：①根据二次项系数为正、负及零进行分类．②根据判别式Δ判断根的个数．③有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 跟踪训练1解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )． 解 原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a4，＋∞.题型二 一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上的恒成立问题例3已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围． 解 当m ＝0时，f (x )＝－1<0恒成立．当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.综上，－4<m ≤0，故m 的取值范围是(－4,0]． 命题点2 在给定区间上的恒成立问题例4已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．方法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 引申探究1．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“f (x )<5－m 无解”，如何求m 的取值范围？ 解 若f (x )<5－m 无解，即f (x )≥5－m 恒成立， 即m ≥6x 2－x ＋1恒成立，则m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1max，又x ∈[1,3]，得m ≥6，即m 的取值范围为[6，＋∞)．2．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“存在x ，使f (x )<5－m 成立”，如何求m 的取值范围． 解 由题意知f (x )<5－m 有解， 即m <6x 2－x ＋1有解，则m <⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1max，又x ∈[1,3]，得m <6，即m 的取值范围为(－∞，6)． 命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1,2]恒成立，求实数x 的取值范围．解 设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，解得1－32<x <1＋32，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.思维升华解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． 跟踪训练2函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， ∴实数a 的取值范围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0， 分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图①，当g (x )的图象与x 轴不超过1个交点时， 有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图②，g (x )的图象与x 轴有2个交点， 但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x ＝－a2<－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a >4，a ≤73， 解得a ∈∅.③如图③，g (x )的图象与x 轴有2个交点， 但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x ＝－a2>2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2>2，7＋a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a <－4，a ≥－7.∴－7≤a <－6，综上，实数a 的取值范围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6. ∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |(x ＋1)(x －5)<0}，则A ∩B 等于( ) A ．[－1,4) B ．[0,5)C ．[1,4]D ．[－4，－1)∪ [4,5)答案 B解析 由题意得B ＝{x |－1<x <5}，故A ∩B ＝{x |x ≥0}∩{x |－1<x <5}＝[0,5)．故选B. 2．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}答案 A解析 ∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a，解得a ＝－1，b ＝1，则所求不等式可化为2x 2＋x －1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12，故选A. 3．若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0]C ．[－3,0)D ．(－3,0] 答案 A解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.4．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为( ) A ．(13，＋∞) B ．(5，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．(－∞，13)答案 B解析 m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时，f (x )min ＝5，存在x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B.5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3] D ．[－1,3]答案 B解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ＝1}，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.6．(2018·浙江宁波十校适应性测试)当x ∈(a ，b ]时，不等式2x －1x ＋2≤1恒成立，则实数a的取值范围为( ) A ．[－2,3) B ．(－2,3] C ．(－2,3) D ．{－2}答案 A解析 由2x －1x ＋2≤1，得2x －1x ＋2－1＝x －3x ＋2≤0，解得－2<x ≤3，因为当x ∈(a ，b ]时，不等式2x －1x ＋2≤1恒成立，所以(a ，b ]⊆(－2,3]，则a ∈[－2,3)，故选A. 7．若不等式x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为______． 答案1±52解析 若不等式x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则x 2－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根，所以 Δ＝4a 2－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52.8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售单价的取值范围是________．答案 (12,16)解析 设售价定为每件x 元，利润为y ， 则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]， 依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320， 即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16， 所以每件售价应定为12元到16元之间．9．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 [－5，＋∞)解析 由题意，分离参数后得，a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x .设f (x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，x ∈(0,1]，则只要a ≥[f (x )]max 即可．由于函数f (x )在区间(0,1]上单调递增， 所以[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5.10．设a ∈R ，若x ∈[1,2]时，均有(x －a )(x 2＋2a )<0，则a 的取值范围是__________________． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 当a ≥0时，x 2＋2a >0，即当x ∈[1,2]时，均有x <a ，从而有a >2. 当a <0时，x －a >0，即当x ∈[1,2]时，均有x 2＋2a <0， 则(x 2＋2a )max <0，即4＋2a <0，得a <－2. 综上可得，a >2或a <－2.11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0， 即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.12．(2018·浙江绍兴一中模拟)已知f (x )＝x 2－2ax －3a 2. (1)设a ＝1，解不等式f (x )>0；(2)若不等式f (x )<x 的解集中有且仅有一个整数，求a 的取值范围； (3)若a >14，且当x ∈[1,4a ]时，|f (x )|≤4a 恒成立，试确定a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )>0，即x 2－2x －3>0， 解得x >3或x <－1.故当a ＝1时，不等式f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． (2)f (x )－x ＝x 2－(2a ＋1)x －3a 2， 令g (x )＝x 2－(2a ＋1)x －3a 2，若a ＝0，则f (x )<x 的解集为(0,1)，不满足条件；若a ≠0，由g (0)＝－3a 2<0知x ＝0是不等式f (x )<x 的一个整数解，所以由⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (－1)≥0，得1－73≤a ＜0. 综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－73，0.(3)若14<a ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧|f (1)|≤4a ，|f (4a )|≤4a ，即⎩⎪⎨⎪⎧|1－2a －3a 2|≤4a ，|5a 2|≤4a ，得14＜a ≤45； 若a >1，因为|f (a )|＝4a 2，|f (4a )|＝5a 2， 所以由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2≤4a ，5a 2≤4a ，a >1，得此不等式的解集为∅.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤14，45.13．若不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为__________． 答案 [－8,4]解析 因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由一元二次不等式的性质可知，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.14．已知b ，c ∈R ，若关于x 的不等式0≤x 2＋bx ＋c ≤4的解集为[x 1，x 2]∪[x 3，x 4](x 2<x 3)，则(2x 4－x 3)－(2x 1－x 2)的最小值是________．答案 4 3解析 如图，据题意可知x 1，x 4是方程x 2＋bx ＋c ＝4的两根，x 2，x 3是方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系可得(2x 4－x 3)－(2x 1－x 2)＝2(x 4－x 1)－(x 3－x 2)＝2(x 4＋x 1)2－4x 4·x 1－(x 3＋x 2)2－4x 2·x 3＝2b 2－4c ＋16－b 2－4c ，令b 2－4c ＝t ，则有(2x 4－x 3)－(2x 1－x 2)＝f (t )＝2t ＋16－t ，令f ′(t )＝1t ＋16－12t ＝0，解得t ＝163， 当0<t <163时，f ′(t )<0，f (t )单调递减， 当t >163时，f ′(t )>0，f (t )单调递增． 据题意可知f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫163＝4 3.15．(2019·杭州高级中学仿真测试)若关于x 的不等式(x 2－a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则2a ＋b 的最小值为________．答案 0解析 要使2a ＋b 取得最小值，尽量考虑a ，b 取负值的情况，因此当a <b ≤0时，不等式(x 2－a )(2x ＋b )≥0等价于2x ＋b ≥0，即b ≥－2x 在(a ，b )上恒成立，则b ≥－2a >0，与b ≤0矛盾；当a <0<b 时，不等式(x 2－a )(2x ＋b )≥0等价于2x ＋b ≥0，即b ≥－2x 在(a ，b )上恒成立， 则b ≥－2a ，即2a ＋b ≥0，此时2a ＋b 的最小值为0；当0≤a <b 时，显然2a ＋b >0.综上可知，2a ＋b 的最小值为0.16．(2018·浙江省海盐高级中学期中)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋2－a ，若集合A ＝{x ∈N |f (x )<0}中有且只有一个元素，求实数a 的取值范围．解 ∵集合A ＝{x ∈N |f (x )<0}中有且只有一个元素，故方程f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋2－a ＝0有两个实根，即Δ＝(a ＋2)2－4(2－a )>0，亦即a 2＋8a －4>0，方程x 2－(a ＋2)x ＋2－a ＝0的根为x 1＝2＋a －a 2＋8a －42，x 2＝2＋a ＋a 2＋8a －42.又∵f (0)＝2－a ，若f (0)＝2－a <0，则a >2，此时x 2＝2＋a ＋a 2＋8a －42>1，则集合A ＝{x ∈N |f (x )<0}中至少有两个元素0,1，不符合题意； 故f (0)＝2－a ≥0，a ≤2，此时要使集合A ＝{x ∈N |f (x )<0}中有且只有一个元素，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)≥0，f (1)<0，f (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，12－(a ＋2)＋2－a <0，22－(a ＋2)×2＋2－a ≥0， 解得12<a ≤23，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23.。

第03讲 基本不等式一、 考情分析1. 掌握均值不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)和基本不等式的性质； 2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．二、 知识梳理1.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)；(6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2).2.均值不等式：ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 3.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.4.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大).5.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.6.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅7.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<b a＝b a>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b} {x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a} 8.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.[方法技巧]1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .2.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.5.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.6.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.三、 经典例题考点一 不等式的性质【例1】 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A.ab >ac B.c (b －a )<0 C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )>0(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A.①④B.②③C.①③D.②④【解析】(1)由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立.(2)法一 因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二 由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab ，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误； ③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b ＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确.规律方法 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 考点二 利用均值不等式【例2-1】（2020·咸阳市教育教学研究室高三一模（文））已知121x y+=(0,0)x y >>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】C 【解析】0x，0y >且121x y+=，则()12422448x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当2y x =时，等号成立，因此，2x y +的最小值为8. 故选：C.【例2-2】（2020·天津高三其他）已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14-B ．1 C．D1【答案】D【解析】由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤，所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当m =时，等号成立. 故选：D【例2-3】（2020·湖南省雅礼中学高三月考（理））已知ABC 外接圆的半径2R =，且2sin 2AA =.则ABC 周长的取值范围为（ ） A． B．(4,C．4+D．(4+【答案】C【解析】由题意，22cos 1123A A -=-，即cos 13A A -=-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=， 即23A π=，2sin a R A ==ABC 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ， c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+，又因为b c a +>，所以2a b c a ++>=，即4a b c <+++≤.故ABC 周长的取值范围为4+.故选：C【例2-4】（2020·全国高三月考）若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．163 D ．173【答案】C【解析】因为3log (2)1a b +=+，即()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>，所以12118211642(42)()(8)(83333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.故选：C.规律方法 在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性. 考点三 一元二次不等式的解法【例3-1】（2020·四川省高三二模（文））已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}260B x x x =--<，则AB =（ ） A ．1,0,1,2B ．{}2,1,0,1,2--C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}2,1,0,1--【答案】A 【解析】{}{}26023B x x x x x =--<=-<<，{}2,1,0,1,2A =--，因此，{}1,0,1,2A B ⋂=-.故选：A.【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()RA B =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤ D ．{}19x x -<<【答案】C【解析】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >； 解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤，因此，(){}13RA B x x ⋂=-<≤，故选：C.【例3-3】（2020·重庆市松树桥中学校高三月考（文））函数()2020sin2f x x x =+，若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(,1]-∞【答案】C【解析】∵()2020sin2()f x x x f x -=--=-，且()20202cos20f x x '=+>， ∴函数()f x 为单调递增的奇函数．于是，()2(1)0f x x f t ++-≥可以变为()2(1)(1)f x xf t f t +--=-，即21x x t +≥-，∴21t x x ≤++，而221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，可知实数34t ≤， 故实数t 的取值范围为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 故选：C ．【例3-4】（2014·全国高三专题练习（理））某城市对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税，税率为%R （即每销售100元征税R 元），若年销售量为5(30)2R -万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是（ ） A ．[4,8]B ．[6,10]C ．[4%,8%]D ．[6%,10%]【答案】A【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需530160%1282R R ⎛⎫-⨯⨯≥ ⎪⎝⎭， 整理得212320R R -+≤，解得48R ≤≤，因此，实数R 的取值范围是[]4,8. 故选A.【例3-5】（2020·江苏省高三一模）已知m n ，为正实数，且m n mn +=，则2m n +的最小值为____________.【答案】3+【解析】由已知，111m n +=，所以2m n +=(2)m n +112()33m n m n n m+=++≥+当且仅当m m n mn⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即1,m n =+=.故答案为：3+【例3-6】（2020·河北省邢台一中高三月考（理））在曲线()343x f x x=-的所有切线中，切线斜率的最小值为________. 【答案】4【解析】由题意得,()2244f x x x '=+≥=，当且仅当x =. 故答案为：4.[方法技巧]1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.2.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.3.在解决不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.4.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.5.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.6.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.四、 课时作业1．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为（ ） A ．5B ．6C ．8D ．92．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222b ac a c +=+，且2a c +=，则ABC 周长的取值范围是（ ） A ．(]2,3B ．[)3,4C ．(]4,5D ．[)5,63．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16B ．24C ．50D ．254．已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln xe x -=，则（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<5．在10的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ） A ．10532B ．56638x -C ．531058xD ．5215x -6．已知实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠，则xy的取值范围是（ ）A ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．()(),12,-∞-+∞D ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭7．已知函数22,0()log (1),0x x x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若|()|2f x ax ≥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．1[,0]2-8．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-19．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-10．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．（多选题）已知正数a ，b 满足4a b +=，ab 的最大值为t ，不等式230x x t +-<的解集为M ，则（ ） A ．2t =B ．4t =C ．{}|41M x x =-<<D ．{}|14M x x =-<<12．（多选）已知a 、b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ） A．3a b ++≥ B ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭C22a b ≥+ D≥13．已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 14．已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为____________. 15．已知正数a 、b 满足2a b +=，则12a b a b +++的最大值为______.16．ABC ∆中，23AB AC ⋅=若点M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =，则BN CM ⋅的最大值是______.17．设集合{}13A x x x =+-≤，413B x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭.（1）求集合AB ；（2）若不等式220x ax b ++<的解集为B ，求实数a 、b 的值.18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin (2cos )A a B =+． （1）求B ；（2）若△ABC △ABC 的周长的小值． 19．（1）已知2x >，求12y x x =+-的最小值； （2）已知102x <<，求()1122y x x =-的最大值.第03讲 基本不等式五、 考情分析1. 掌握均值不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)和基本不等式的性质； 2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．六、 知识梳理1.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)；(6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2).2.均值不等式：ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 3.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.4.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大).5.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.6.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅7.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<b a＝b a>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b} {x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a} 8.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.[方法技巧]1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .2.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.5.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.6.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.七、 经典例题考点一 不等式的性质【例1】 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A.ab >ac B.c (b －a )<0 C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )>0(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A.①④B.②③C.①③D.②④【解析】(1)由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立.(2)法一 因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二 由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab ，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误； ③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b ＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确.规律方法 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 考点二 利用均值不等式【例2-1】（2020·咸阳市教育教学研究室高三一模（文））已知121x y+=(0,0)x y >>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】C 【解析】0x，0y >且121x y+=，则()12422448x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当2y x =时，等号成立，因此，2x y +的最小值为8. 故选：C.【例2-2】（2020·天津高三其他）已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14-B ．1 C．D1【答案】D【解析】由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤，所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当m =时，等号成立. 故选：D【例2-3】（2020·湖南省雅礼中学高三月考（理））已知ABC 外接圆的半径2R =，且2sin 2AA =.则ABC 周长的取值范围为（ ） A． B．(4,C．4+D．(4+【答案】C【解析】由题意，22cos 1123A A -=-，即cos 13A A -=-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=， 即23A π=，2sin a R A ==ABC 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ， c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+，又因为b c a +>，所以2a b c a ++>=，即4a b c <+++≤.故ABC 周长的取值范围为4+.故选：C【例2-4】（2020·全国高三月考）若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．163 D ．173【答案】C【解析】因为3log (2)1a b +=+，即()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>，所以12118211642(42)()(8)(83333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.故选：C.规律方法 在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性. 考点三 一元二次不等式的解法【例3-1】（2020·四川省高三二模（文））已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}260B x x x =--<，则AB =（ ） A ．1,0,1,2B ．{}2,1,0,1,2--C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}2,1,0,1--【答案】A 【解析】{}{}26023B x x x x x =--<=-<<，{}2,1,0,1,2A =--，因此，{}1,0,1,2A B ⋂=-.故选：A.【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()RA B =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤ D ．{}19x x -<<【答案】C【解析】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >； 解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤，因此，(){}13RA B x x ⋂=-<≤，故选：C.【例3-3】（2020·重庆市松树桥中学校高三月考（文））函数()2020sin2f x x x =+，若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(,1]-∞【答案】C【解析】∵()2020sin2()f x x x f x -=--=-，且()20202cos20f x x '=+>， ∴函数()f x 为单调递增的奇函数．于是，()2(1)0f x x f t ++-≥可以变为()2(1)(1)f x xf t f t +--=-，即21x x t +≥-，∴21t x x ≤++，而221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，可知实数34t ≤， 故实数t 的取值范围为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 故选：C ．【例3-4】（2014·全国高三专题练习（理））某城市对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税，税率为%R （即每销售100元征税R 元），若年销售量为5(30)2R -万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是（ ） A ．[4,8]B ．[6,10]C ．[4%,8%]D ．[6%,10%]【答案】A【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需530160%1282R R ⎛⎫-⨯⨯≥ ⎪⎝⎭， 整理得212320R R -+≤，解得48R ≤≤，因此，实数R 的取值范围是[]4,8. 故选A.【例3-5】（2020·江苏省高三一模）已知m n ，为正实数，且m n mn +=，则2m n +的最小值为____________.【答案】3+【解析】由已知，111m n +=，所以2m n +=(2)m n +112()33m n m n n m+=++≥+当且仅当m m n mn⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即1,m n =+=.故答案为：3+【例3-6】（2020·河北省邢台一中高三月考（理））在曲线()343x f x x=-的所有切线中，切线斜率的最小值为________. 【答案】4【解析】由题意得,()2244f x x x '=+≥=，当且仅当x =. 故答案为：4.[方法技巧]1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.2.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.3.在解决不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.4.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.5.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.6.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.八、 课时作业1．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为（ ） A ．5 B ．6C ．8D ．9【答案】D【解析】∵3613a b +=（36a b+）（a +2b ） ＝13(366b aa b+++12)≥13=9 等号成立的条件为66b aa b=，即a=b=1时取等 所以36a b+的最小值为9． 故选：D ．2．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222b ac a c +=+，且2a c +=，则ABC 周长的取值范围是（ ） A ．(]2,3 B ．[)3,4 C ．(]4,5 D ．[)5,6【答案】B【解析】因为2a c +=，根据三角形的性质可得，2b a c <+=，又由222b ac a c +=+得222()3434312a c b a c ac ac +⎛⎫=+-=-≥-⨯= ⎪⎝⎭，即1b ≥， 故12b ≤<，所以ABC 周长的取值范围是34a b c ≤++<. 故选：B.3．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D【解析】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4mm n++=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n+的最小值为25， 故选D ．4．已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln xe x -=，则（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<【答案】A【解析】已知11ln 202x ln ==-<,122 x e -=()0,1,33ln x e x -=>0,31x ∴> 进而得到123x x x <<. 故答案为A.5．在10的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ） A ．10532B ．56638x -C ．531058xD ．5215x -【答案】D【解析】10∴二项式展开式为：(10)113211012kk k k T C x x --+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设系数绝对值最大的项是第1k +项，可得11101011101011221122kk k k k k k k C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 可得11112101112k k k k -⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⋅⎪+⎩，解得81133k ≤≤*k N ∈ ∴3k =在10的展开式中， 系数的绝对值最大的项为：3711310523241215x x T C x -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎭- ⎪⎝⎭⎝故选：D.6．已知实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠，则xy的取值范围是（ ） A ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．()(),12,-∞-+∞D ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠. 两边同时除以2y ，有：21120x x y y y⎛⎫⎛⎫+-=>⎪⎪⎝⎭⎝⎭.所以120x x y y⎛⎫⎛⎫+->⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2x y >或1x y <-.故选：C7．已知函数22,0()log (1),0x x x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若|()|2f x ax ≥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．1[,0]2-【答案】D【解析】作出函数图象：结合图象可得，要使|()|2f x ax ≥恒成立， 当x ＞0，必有0a ≤，当0x ≤时，只需22x x ax -≥，即12x a -≤恒成立， 所以12a ≥-综上所述1[,0]2a ∈- 故选：D8．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】C【解析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，21f x ，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C.9．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D【解析】因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D.10．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择B 选项.11．（多选题）已知正数a ，b 满足4a b +=，ab 的最大值为t ，不等式230x x t +-<的解集为M ，则（ ） A ．2t =B ．4t =C ．{}|41M x x =-<<D ．{}|14M x x =-<<【答案】BC【解析】∵正数a ，b 满足4a b +=，∴242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，即ab 的最大值为4t =，当且仅当2a b ==时，取等号.∵2340x x +-<的解集为M ，∴{}|41M x x =-<<. 故选：BC.12．（多选）已知a 、b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ） A．3a b ++≥ B ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ C22a b ≥+ D≥ 【答案】AD【解析】对于A，3a b ++≥≥<，当且仅当2a b ==时等号同时成立；对于B ，()11224a b a b a b b a ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号；对于C()2222a b a b a b a b ++≥≥=++，当且仅当a b =时取等号；对于D ，当12a =，13b=1===><. 故选：AD.13．已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 【答案】8 【解析】x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()24149466844x x y x x x x -++=+=++-≥=++. 当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8.14．已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为____________.【答案】())1,1-⋃+∞【解析】由已知，224,4()44,4x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，(3)3f =，若(2)(3)3f a f +>=，则224(2)4(2)3a a a +≥⎧⎨+-+>⎩或2(2)4(2)4(2)3a a a +<⎧⎨-+++>⎩解得a >11a -<<，所以不等式(2)(3)f a f +>的解集为())1,1-⋃+∞.故答案为：())1,1-⋃+∞15．已知正数a 、b 满足2a b +=，则12a ba b +++的最大值为______.【答案】75- 【解析】正数a 、b 满足2a b +=，()()125a b ∴+++=.1122121211212121212a b a b a b a b a b a b +-+-⎛⎫+=+=-+-=-+ ⎪++++++++⎝⎭，由基本不等式得()()12125121212a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭()21233321a b b a ++=++≥+=+++123125a b ++≥++，当且仅当)21b a +=+时，等号成立，3721255a b a b +-∴+≤-=++，因此，12a b a b +++.16．在面积为2ABC ∆中，23AB AC ⋅=若点M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =，则BN CM ⋅的最大值是______.【答案】3-【解析】由△ABC 12|AB ||AC |sin ∠BAC所以|AB ||AC |sin ∠BAC ，①又23AB AC ⋅=即|AB ||AC |cos ∠BAC =②由①与②的平方和得:|AB ||AC |= 又点M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =， 所以()()2132BN CM BA AN CA AM AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22421332AB AC AC AB =⋅--222221832183233233AC AB AC AB =--≤-⋅=-当且仅当22212332AC AB AB AC =⇒=时，取等号，即BN CM ⋅--17．设集合{}13A x x x =+-≤，413B x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭.（1）求集合AB ；（2）若不等式220x ax b ++<的解集为B ，求实数a 、b 的值. 【解析】（1）先解不等式13x x +-≤.①当0x ≤时，由13x x +-≤得1213x x x -+-=-+≤，解得1x ≥-，此时10x -≤≤； ②当01x <<时，由13x x +-≤得113x x +-=≤，成立，此时01x <<； ③当1x ≥时，由13x x +-≤得1213x x x +-=-≤，解得2x ≤，此时12x ≤≤. 所以，不等式13x x +-≤的解集为[]1,2A =-. 解不等式413x >+，即411033x x x --=<++，解得31x -<<，()3,1B ∴=-. 因此，[)1,1⋂=-A B ； （2）不等式220x ax b ++<的解集为B ，3∴-、1是方程220x ax b ++=的两实根.根据韦达定理得312312ab ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⋅⎪⎩，解得4a =，6b =-.18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，csin (2cos )A a B =+． （1）求B ；（2）若△ABC△ABC 的周长的小值． 【解析】（1sin (2cos )A a B =+，()sin sin 2cos B A A B =+．因为(0,)A π∈，所以sin A ＞0cos 2B B -=，所以2sin()26B π-=，因为(0,)B π∈，所以62B ππ-=，即23B π=． （2）依题意4=ac ＝4．所以4a c +≥=，当且仅当2a c ==时取等号．又由余弦定理得222222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=∴b ≥a ＝c ＝2时取等号． 所以△ABC的周长最小值为4+． 19．（1）已知2x >，求12y x x =+-的最小值； （2）已知102x <<，求()1122y x x =-的最大值.【解析】（1）2x >，20x ->，而11222422y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当()1222x x x -=>-，即当3x =时，该函数取得最小值4； （2）102x <<，102x ∴->，则211122216x x y x x ⎛⎫+- ⎪⎛⎫=-≤= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，当且仅当12x x =-时，即当14x =时，该函数取得最大值116.。

§2.2 基本不等式与不等式的综合应用基础篇固本夯基【基础集训】考点一 基本不等式及其应用 1.下列结论正确的是 （ ) A 。

当x 〉0且x≠1时，lg x+1lgx≥2B 。

当x∈(0,π2]时,sin x+4sinx的最小值为4C 。

当x 〉0时，√x +√x≥2D 。

当0〈x≤2时，x-1x无最大值答案 C2。

若正数m,n 满足2m+n=1,则1m+1n的最小值为( )A.3+2√2B.3+√2C.2+2√2D.3 答案 A3。

已知正数x,y 满足x+y=1，则1x+41+y的最小值为( )A.5B.143C.92D 。

2答案 C4.设0〈m<12,若1m+21-2m≥k 2—2k 恒成立，则k 的取值范围为( ）A.[-2，0）∪(0,4］B.[—4,0）∪(0,2］ C 。

[-4,2] D.［—2,4］ 答案 D考点二 不等式的综合应用5.已知关于x 的不等式kx 2-6kx+k+8≥0对任意x∈R 恒成立，则k 的取值范围是( )A。

0≤k≤1 B.0〈k≤1C。

k<0或k>1D。

k≤0或k≥1答案A6.已知函数f（x）=x2+（2m-1）x+1—m,若对任意m∈［—1,0］，都有f(x）〉0成立,则实数x的取值范围为（）A。

（—1，2） B。

（1，2)C.（—∞,-1)∪(2,+∞）D。

（—∞，1)∪(2,+∞)答案D7.已知a〉b〉0,则a2+64b(a-b)的最小值为。

答案328.已知函数f（x）=x2+mx-1，若对于任意x∈[m,m+1],都有f（x）〈0成立，则实数m的取值范围是。

答案(-√22,0)综合篇知能转换【综合集训】考法一利用基本不等式求最值1。

(2018黑龙江七台河测试）已知m=8—n，m>0，n>0,则mn的最大值为(）A。

4 B.8C。

16 D.32答案C2。

(2019新疆第一次毕业诊断,10）函数y=log a（x—1）+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上,其中m>0,n>0,则1m +2n的最小值是(）A。