(湖南专用)高考数学二轮复习 专题限时集训(十)数列求和及数列的简单应用配套作业 文(解析版)

课时作业(三十二) [第32讲 数列求和] [时间：45分钟 分值：100分]基础热身 1．[2011·江西九校联考] 已知数列2，x ，y,3为等差数列，数列2，m ，n,3为等比数列，则x ＋y ＋mn 的值为( )A ．16B ．11C ．－11D ．±11 2．[2011·肇庆二模] 已知数列{a n }是各项均为正整数的等比数列，a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．2B ．33C ．84D ．189 3．[2011·江西卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1.那么a 10＝( )A ．1B ．9C ．10D ．554．数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n n 2，则该数列的前20项之和为________． 能力提升 5．[2011·浙江名校联盟二模] 正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4＝8，S 4－S 1＝38，则其公比等于( )A.52B.32C.25D.236．[2011·吉安二模] 若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，且S 13＝26π3，则tan a 7的值为( )A. 3 B ．－ 3C ．±3D ．－33 7．[2012·温州八校联考] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，且a m ≠0，a m－1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( )A ．10B ．20C ．38D ．9 8．[2011·安徽卷] 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15 9．[2011·海口调研] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9的值是( )A ．24B ．19C ．36D ．4010．数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋n －1，则其前8项和S 8等于________．11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比q 的值是________．12．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n (n ＋1)的前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距是________．13．[2012·湖南长郡中学月考] 如图所示，将数以斜线作如下分群：(1)，(2,3)，(4,6,5)，(8,12,10,7)，(16,24,20,14,9)，…，并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，…，(1)第7(2)第n群中n个数的和是：________.14．(10分)[2012·温州十校联考] 等比数列{a n}中，已知a2＝2，a5＝16.(1)求数列{a n}的通项a n；(2)若等差数列{b n}中，b1＝a5，b8＝a2，求数列{b n}前n项和S n，并求S n的最大值．15．(13分)[2011·山东卷] 等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a(1)求数列{a n}(2)若数列{b n}满足：b n＝a n＋(－1)n ln a n，求数列{b n}的前2n项和S2n.难点突破16．(12分)[2011·辽宁卷] 已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．课时作业(三十二)【基础热身】1．B [解析] 根据等差中项和等比中项知x ＋y ＝5，mn ＝6，所以x ＋y ＋mn ＝11，故选B.2．C [解析] 由a 1＝3，S 3＝21得a 1(1＋q ＋q 2)＝21，∴1＋q ＋q 2＝7，∴q ＝2或q ＝－3(舍)，∴a 3＋a 4＋a 5＝84，故选C.3．A [解析] 方法一：由S n ＋S m ＝S n ＋m ，得S 1＋S 9＝S 10， ∴a 10＝S 10－S 9＝S 1＝a 1＝1，故选A. 方法二：∵S 2＝a 1＋a 2＝2S 1，∴a 2＝1， ∵S 3＝S 1＋S 2＝3，∴a 3＝1， ∵S 4＝S 1＋S 3＝4，∴a 4＝1， 由此归纳a 10＝1，故选A.4．210 [解析] S 20＝－1＋22－32＋42－…＋182－192＋202＝22－1＋42－32＋…＋202－192＝3＋7＋11＋…＋39＝10(3＋39)2＝210. 【能力提升】5．D [解析] 设首项为a 1，公比为q ，则a 4＋a 3＋a 2＝38，因为a 4＝8，所以a 3＋a 2＝30，即a 1q 3＝8，a 1q (1＋q )＝30，解得a 1＝27，q ＝23.故选D.6．B [解析] S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝26π3，所以a 7＝2π3，tan a 7＝－ 3.故选B.7．A [解析] 由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得a m ＝2，所以S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝(2m －1)·2a m2＝(2m －1)a m ＝38，解得m ＝10.8．A [解析] a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.9．A [解析] S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72，a 1＋a 9＝16，得a 5＝8， 所以a 2＋a 4＋a 9＝a 5－3d ＋a 5－d ＋a 5＋4d ＝3a 5＝24.10．538 [解析] S 8＝2×(1－28)1－2＋8×(1＋8)2－8＝538. 11．2 [解析] 因为S 6＝S 3＋S 3q 3＝S 3·(1＋q 3)，将已知数据代入，解得q ＝2.12．－9 [解析] S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝nn ＋1，所以n ＝9，所以直线在y 轴上的截距为－n ＝－9. 13．(1)96 (2)3·2n －2n －3 [解析] (1)第7群中的第2项是第2列中的第6个数，为3×26－1＝96；(2)第n 群中n 个数分别是1×2n －1,3×2n －2,5×2n －3，…，(2n －1)×2n －n .设第n 群中n 个数的和为S n ，所以S n ＝1×2n －1＋3×2n －2＋5×2n －3＋…＋(2n －1)×2n －n .利用错位相减法可求得S n ＝3·2n －2n －3.14．[解答] (1)由a 2＝2，a 5＝16，得q ＝2，解得a 1＝1， 从而a n ＝2n －1.(2)由已知得b 1＝16，b 8＝2，又b 8＝b 1＋(8－1)d ， 解得d ＝－2，所以S n ＝nb 1＋n (n －1)2d ＝16n ＋n (n －1)2(－2)＝－n 2＋17n ，由于S n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1722＋2894，n ∈N *，所以S n 的最大值为S 8＝S 9＝72.15．[解答] (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，所以公比q ＝3.故a n ＝2·3n －1.(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln2＋(n －1)ln3]＝2·3n －1＋(－1)n (ln2－ln3)＋(－1)n n ln3， 所以S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n＝2(1＋3＋…＋32n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n ](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n 2n ]ln3＝2×1－32n1－3＋n ln3＝32n ＋n ln3－1. 【难点突破】16．[解答](1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎨⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10.解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n 2n . 所以，当n ＞1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n＝n 2n ，所以S n ＝n2n －1.综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.。

高三数学（理科）数列综合练习1.已知首项为32的等比数列{an}不是递减数列，其前n 项和为Sn(n ∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5， S4＋a4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn ＝Sn －1Sn(n ∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值． 【解】 (1)设等比数列{an}的公比为q ，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝a5a3＝14. 又{an}不是递减数列且a1＝32，所以q ＝－12. 故等比数列{an}的通项公式为 (2)由(1)得Sn ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎨⎧ 1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，Sn 随n 的增大而减小，所以1＜Sn≤S1＝32，故0＜Sn －1Sn ≤S1－1S1＝32－23＝56. 当n 为偶数时，Sn 随n 的增大而增大，所以34＝S2≤Sn ＜1，故0＞Sn －1Sn ≥S2－1S2＝34－43＝－712. 所以数列{Tn}最大项的值为56，最小项的值为－712. 2. 设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S4＝4S2，a2n ＝2an ＋1.(1) 求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1a1＋b2a2＋…＋bn an ＝1－12n，n ∈N*，求{bn}的前n 项和Tn. (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 由S4＝4S2，a2n ＝2an ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a1＋6d ＝8a1＋4d ，a1＋－d ＝2a1＋－＋1.得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，d ＝2. (2)由已知b1a1＋b2a2＋…＋bn an ＝1－12n，n ∈N*， 当n ＝1时，b1a1＝12； 当n≥2时，bn an ＝1－12n －⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝12n. 所以bn an ＝12n ，n ∈N*. 由(1)知an ＝2n －1，n ∈N*，所以bn ＝2n －12n，n ∈N*. 所以Tn ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n， 12Tn ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1. 两式相减，得12Tn ＝12＋⎝⎛⎭⎫222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1，所以Tn ＝3－2n ＋32n.3.设数列{an}的前n 项和为Sn.已知a1＝1，2Sn n ＝an ＋1－13n2－n －23，n ∈N*. (1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a1＋1a2＋…＋1an <74. (1)依题意，2S1＝a2－13－1－23，又S1＝a1＝1，所以a2＝4. (2)法一 由题意2Sn ＝nan ＋1－13n3－n2－23n ， 所以当n≥2时，2Sn －1＝(n －1)an －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)， 两式相减得2an ＝nan ＋1－(n －1)an －13(3n2－3n ＋1)－(2n －1)－23， 整理得nan ＋1－(n ＋1)an ＝n(n ＋1)，即an ＋1n ＋1－an n＝1.又当n ＝1时，a22－a11＝42－11＝1， 所以数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫an n 是首项为a11＝1，公差为1的等差数列，所以an n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以an ＝n2， 所以数列{an}的通项公式为an ＝n2，n ∈N*.(3)证明： 设Tn ＝1a1＋1a2＋…＋1an . 当n ＝1时，T1＝1a1＝1<74； 当n ＝2时，T2＝1a1＋1a2＝1＋14＝54<74； 当n≥3时，1an ＝1n2<1－＝1n －1－1n， 此时Tn ＝1＋14＋132＋142＋…＋1n2<1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74. 综上，对一切正整数n ，有1a1＋1a2＋…＋1an <74. 4. 已知f(x)＝－4＋1x2，数列{an}的前n 项和为Sn ，点Pn ⎝⎛⎭⎫an ，－1an ＋1在曲线y ＝f(x)上(n ∈N*)，且a1＝1，an ＞0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}的前n 项和为Tn ，且满足Tn ＋1a2n ＝Tn a2n ＋1＋16n2－8n －3，b1＝1，求数列{bn}的通项公式；(3)求证：Sn ＞124n ＋1－1，n ∈N*. 【解】 (1)－1an ＋1＝f(an)＝－4＋1a2n 且an ＞0， ∴1a2n ＋1－1a2n ＝4(n ∈N*)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a2n 是首项1a21，公差d ＝4的等差数列， ∴1a2n ＝1＋4(n －1) ∴a2n ＝14n －3，即an ＝14n －3(n ∈N*)． (2)由an ＝14n －3(n ∈N*)，Tn ＋1a2n ＝Tn a2n ＋1＋16n2－8n －3 得(4n －3)Tn ＋1＝(4n ＋1)Tn ＋(4n －3)(4n ＋1)， ∴Tn ＋14n ＋1－Tn 4n －3＝1∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Tn 4n －3是等差数列，首项为T14－3＝1，公差为1 ∴Tn 4n －3＝n ，∴Tn ＝4n2－3n ，当n≥2时，bn ＝Tn －Tn －1＝8n －7 b1＝1也满足上式，∴bn ＝8n －7，n ∈N*.(3)∵an ＝14n －3＝224n －3＞24n －3＋4n ＋1＝12(4n ＋1－4n －3) ∴Sn ＝a1＋a2＋…＋an ＞12[ 5－＋9－5＋…＋]4n ＋1－4n －3＝124n ＋1－12＞124n ＋1－1 5. 已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn ，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn ＝(－1)n －14n anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn. 【思路点拨】 (1)根据条件建立首项a1的方程求解；(2)分n 为偶数和奇数，应用裂项求和求Tn.【尝试解答】 (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋2×12×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋4×32×2＝4a1＋12， 由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an ＝2n －1.(2)bn ＝(－1)n －14n anan ＋1＝(－1)n －14n －＋＝ (－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，Tn ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋12n －3＋12n －1－12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 当n 为奇数时，Tn ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以Tn ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n 2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或Tn ＝2n ＋1＋－－12n ＋1。

湖南高考数学二轮备考专项练习及答案做题是协助考生查缺补漏的最好方法，下面是查字典数学网整理的2021年湖南高考数学二轮备考专项练习，请大家及时练习。

1.M(-2，0)，N(2，0)，|PM|-|PN|=3，那么动点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线左边一支C.双曲线左边一支D.一条射线2.假定双曲线方程为x2-2y2=1，那么它的右焦点坐标为()3.(2021纲要全国，文11)双曲线C:=1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，那么C的焦距等于()A.2B.2C.4D.44.过双曲线=1(a0，b0)的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.假定M为线段FP的中点，那么双曲线的离心率是()A.3B. 8C.2D.55.双曲线的两个焦点为F1(-，0)，F2(，0)， M是此双曲线上的一点，且满足=0，||||=2，那么该双曲线的方程是()A.-y2=1B.x2-=1C.=1D.=16.双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上。

假定|F1A|=2|F2A|，那么cosAF2F1=()A.2B. 3C.1D.0参考答案：1.C。

解析：|PM|-|PN|=34，由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支。

又|PM||PN|，点P的轨迹为双曲线的右支。

2.C。

解析：双曲线的规范方程为x2-=1，a2=1，b2=。

c2=a2+b2=。

c=，故右焦点坐标为。

3.C。

解析：e=2，=2。

设焦点F2(c，0)到渐近线y=x的距离为，渐近线方程为bx-ay=0，∵c2=a2+b2，b=。

由=2，得=2，=4，解得c=2.焦距2c=4，应选C。

4.A。

解析：如下图，在RtOPF中，OMPF，且M为PF的中点，那么POF为等腰直角三角形。

所以OMF也是等腰直角三角形。

所以有|OF|=|OM|，即c=a。

故e=。

5.A。

解析：由=0，可知。

可设||=t1，||=t2，那么t1t2=2。

专题限时集训(十)[第10讲数列求和及数列的简单应用](时间：45分钟)1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2，a 4是方程x 2－x －2＝0的两个根，那么S 5的值是( )A.52B ．5C ．－52D ．－5 2．如果等比数列{a n }中，a 3·a 4·a 5·a 6·a 7＝42，那么a 5＝( )A ．2B. 2C ．±2D ．± 23．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15＝25π，那么tan a 8的值是( ) A.3B ．－ 3C ．±3D ．－334．已知数列{a n }满足a 1＝23，且对任意的正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S n 等于( )A ．2－23n －1B ．2－23n C ．2－2n3n ＋1D ．2－2n ＋13n5．已知n 是正整数，数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n 是na n 与a n 的等差中项，那么a n 等于( )A ．n 2－n B.n （n ＋1）2C ．nD ．n ＋16．设f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，那么数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫12，2B.⎣⎡⎦⎤12，2C.⎣⎡⎭⎫12，1D.⎣⎡⎦⎤12，17．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，那么使S n 达到最大值的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．218．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若M ，N ，P 三点共线，O 为坐标原点，且ON →＝a 15OM→＋a 6OP →(直线MP 不过点O )，那么S 20等于( )A ．10B ．15C ．20D ．409．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n >0时，n ＝( )A ．20B ．17C ．19D ．2110．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________．11．定义一个“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都是同一个常数，那么这个数列叫做“等积数列”，这个常数叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝2，公积为5，那么这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________．12．设S n 为数列{a n }的前n 项和，把S 1＋S 2＋…＋S n n称为数列{a n }的“优化和”，现有一个共有2012项的数列：a 1，a 2，a 3，…，a 2012，若其“优化和”为2013，那么有2013项的数列：2，a 1，a 2，a 3，…，a 2012的“优化和”为________．13．将函数f (x )＝sin 14x ·sin 14(x ＋2π)·sin 12(x ＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a n }(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式．14．已知数列{a n }有a 1＝a ，a 2＝p (常数p >0)，对任意的正整数n ，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，并有S n 满足S n ＝n （a n －a 1）2. (1)求a 的值并证明数列{a n }为等差数列；(2)令p n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2，是否存在正整数M ，使不等式p 1＋p 2＋…＋p n －2n ≤M 恒成立，若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由．15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点An ，S n n (n ∈N *)总在直线y ＝12x ＋32上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝n ＋1a n (n ∈N *)，试问数列{b n }中是否存在最大项，如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．数学解析下载见： :// 学优高考网 /down/2013-2/12/1034258.shtml。

专题限时集训(九)[第9讲 数列的概念与表示、等差数列与等比数列](时间：45分钟)1．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n －1，那么数列{a n －1}( ) A ．是等差数列 B ．是等比数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列2．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＋a 9＝π4，则tan(a 4＋a 6)＝( )A.33B. 3 C ．1 D ．－13．已知数列{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3，a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．1104．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意的正整数p ，q 都有a p ＋q ＝a p ·a q ，则a 8的值为( ) A ．256 B ．128 C ．64 D ．325．数列{a n }中，a n ≠0，且满足a n ＝3a n －13＋2a n －1(n ≥2)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是( )A ．递增等差数列B ．递增等比数列C ．递减数列D ．以上都不是6．已知数列{a n }中，a 1＝1，以后各项由公式a n a n －1＝n －1n(n ≥2)给出，则a 10等于( ) A.910 B.110C ．10D ．97．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3＞0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( )A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负8．已知数列{a n }中，a 1＝45，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12<a n≤1，则a2 012等于( )A.45 B.35 C.25 D.159．观察下列等式 1＝1， 2＋3＋4＝9， 3＋4＋5＋6＋7＝25， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49， …照此规律，第n 个等式为__________________．10．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＋a 8＝3，a 3·a 7＝2，则a 13a 10＝________． 11．若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0与x 2－x ＋b ＝0的四个根组成首项为14的等差数列，则a＋b ＝________．12．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________．13．在数列{a n }中，a 1＝12，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋12上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .14．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n －a n －1－2n ＝0(n ≥2，n ∈N *)． (1)写出a 2，a 3的值(只写结果)，并求出数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋1a n ＋3＋…＋1a 2n，求b n 的最大值．15．已知等差数列{a n }的首项为正整数，公差为正偶数，且a 5≥10，S 15<255.(1)求通项a n；(2)若数列a1，a3，a b1，ab2，ab3，…，ab n，…成等比数列，试找出所有的n∈N*，使c n＝b n－1为正整数，说明你的理由．4专题限时集训(九)【基础演练】1．B [解析] 由a n ＋1＝2a n －1得a n ＋1－1＝2(a n －1)，而a 1－1＝2≠0，所以a n ＋1－1a n －1＝2.故选B.2．A [解析] 由等差数列的性质可知，a 1＋a 5＋a 9＝3a 5，a 4＋a 6＝2a 5，所以a 4＋a 6＝23(a 1＋a 5＋a 9)＝23×π4＝π6，所以tan(a 4＋a 6)＝tan π6＝33.故选A.3．D [解析] 因为a 7是a 3，a 9的等比中项，所以a 27＝a 3a 9，又公差为－2，所以(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解得a 1＝20，所以通项公式a n ＝20＋(n －1)(－2)＝22－2n ，所以S 10＝10（a 1＋a 10）2＝5(20＋2)＝110.4．A [解析] 由a p ＋q ＝a p ·a q ，令p ＝n ，q ＝1，则a n ＋1＝a n ·a 1，即a n ＋1a n＝2，所以{a n }是以2为公比的等比数列，首项为2，故a 8＝2×27＝28＝256.【提升训练】5．A [解析] 由已知a n ＝3a n －13＋2a n －1(n ≥2)得1a n ＝1a n －1＋23，即1a n －1a n －1＝23>0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是递增等差数列．故选A.6．B [解析] 依题意a n a n －1＝n －1n (n ≥2)，得a 10＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a 10a 9＝1×12×23×…×910＝110.故选B. 7．A [解析] f (0)＝0，a 3＞0，f (a 3)＞f (0)＝0，又a 1＋a 5＝2a 3＞0，所以a 1＞－a 5即f (a 1)＞f (－a 5)，于是f (a 1)＋f (a 5)＞0.故选A.8．C [解析] 当a 1＝45时，a 2＝2×45－1＝35，a 3＝2×35－1＝15，a 4＝2×15＝25，a 5＝2×25＝45.所以数列{a n }的周期为4，而2 0124＝503，所以a 2 012＝a 4＝25.故选C. 9．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2[解析] 依题意，等式的第一项依次为1，2，3，…，由此知等式的第n 项为n ；最后一项为1，4，7，10，…，由此知最后一项为3n －2.于是，第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.故填n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.10. 2 [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，则由条件a 3·a 7＝a 2·a 8＝2，又a 2＋a 8＝3，且{a n }是递增数列，知a 2<a 8且q >0，解得a 2＝1，a 8＝2，所以q 6＝2，故a 13a 10＝q 3＝ 2. 11.3172 [解析] 设两个方程的根分别为x 1、x 4和x 2、x 3.因为x 1＋x 4＝x 2＋x 3＝1，所以x 1＝14，x 4＝34，从而x 2＝512，x 3＝712.则a ＝x 1x 4＝316，b ＝x 2x 3＝35144，或a ＝35144，b ＝316.于是a ＋b ＝316＋35144＝3172.12．28 [解析] 依题意得，数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.13．解：(1)由已知得a n ＋1＝a n ＋12，即a n ＋1－a n ＝12.所以数列{a n }是以12为首项，12为公差的等差数列，即a n ＝12＋12(n －1)＝n2.(2)由(1)得b n ＝1n 2·n ＋12＝4n （n ＋1），即b n ＝41n －1n ＋1，所以T n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝41－1n ＋1＝4n n ＋1. 14．解：(1)因为a 1＝2，a n －a n －1－2n ＝0(n ≥2，n ∈N *)， 所以a 2＝6，a 3＝12.当n ≥2时，a n －a n －1＝2n ，a n －1－a n －2＝2(n －1)，…，a 3－a 2＝2×3，a 2－a 1＝2×2， 所以a n －a 1＝2[n ＋(n －1)＋…＋3＋2]， 即a n ＝2[n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1]＝2·n （n ＋1）2＝n (n ＋1)．当n ＝1时，a 1＝1×(1＋1)＝2也满足上式． 于是数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)． (2)b n ＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a 2n＝1（n ＋1）（n ＋2）＋1（n ＋2）（n ＋3）＋…＋12n （2n ＋1）＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1 ＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3.令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16.15．解：(1)因为S 15＝15a 8，设{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ≥10，①a 1＋7d <17，②由①得－a 1－4d ≤－10，③ ②＋③有3d <7⇔d <73，所以d ＝2.将d ＝2代入①，②有a 1≥2且a 1<3，所以a 1＝2. 故a n ＝2＋(n －1)×2，即a n ＝2n (n ∈N *)． (2)由(1)可知a 1＝2，a 3＝6，∴公比q ＝a 3a 1＝3，ab n ＝2·3(n ＋2)－1＝2·3n ＋1.又ab n ＝a 1＋(b n －1)×2＝2b n ，所以2·3n ＋1＝2b n ，即b n ＝3n ＋1，故c n ＝3n ＋1－14. 此时当n ＝1，3，5时符合要求；当n ＝2，4时不符合要求． 由此可猜想：当且仅当n ＝2k －1，k ∈N *时，c n 为正整数． 证明如下：逆用等比数列的前n 项和公式有：c n ＝12×1－3n ＋11－3＝12(1＋3＋32＋ (3))． 当n ＝2k ，k ∈N *时，上式括号内为奇数个奇数之和，为奇数，此时c n ∉N *； 当n ＝2k －1，k ∈N *时，上式括号内为偶数个奇数之和，为偶数，此时c n ∈N *. 故满足要求的所有n 为n ＝2k －1，k ∈N *.。

专题限时集训(九)[第9讲数列的概念与表示、等差数列与等比数列](时间：45分钟)1．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，那么公差d ＝( )A ．－2B ．－12C.12D ．2 2．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，那么m ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．123．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝1，a 4＝5，那么S 5等于( )A ．7B ．15C ．30D ．314．已知各项均为正数的等比数列{a n }，满足a 1·a 9＝16，那么a 2·a 5·a 8的值为( )A ．16B ．32C ．48D ．645．公差不为零的等差数列{a n }中，a 2，a 3，a 6成等比数列，那么其公比为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，那么log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 257．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，那么1m＋4n的最小值为( )A.32B ．1C.62D.328．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝3S 2＋1，a 2＝3S 1＋1，那么公比q ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．89．已知{a n }是公差为d 的等差数列，若3a 6＝a 3＋a 4＋a 5＋12，那么d ＝________．10．已知等比数列{a n }的首项为2，公比为2，那么aa n ＋1aa 1·aa 2·aa 3·…·aa n＝________． 11．数列{a n }中，a 1＝2，当n 为奇数时，a n ＋1＝a n ＋2；当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n 那么a 9＝________．12．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S 1，2S 2，3S 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋n ，求数列{b n }的前n 项和T n .13．等差数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，满足2S 2＝a 2(a 2＋1)，且a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S n ＋13n，求数列{b n }的最小值项．14．已知等差数列{a n }(n ∈N ＋)中，a n ＋1>a n ，a 2a 9＝232，a 4＋a 7＝37.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若将数列{a n }的项重新组合，得到新数列{b n }，具体方法如下：b 1＝a 1，b 2＝a 2＋a 3，b 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7，b 4＝a 8＋a 9＋a 10＋…＋a 15，…，依此类推，第n 项b n 由相应的{a n }中2n－1项的和组成，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n －14·2n 的前n 项和T n .数学解析下载见： :// 学优高考网 /down/2013-2/9/1033612.shtml。

专题限时集训(四) 数列求和与综合应用[专题通关练] (建议用时：30分钟)1．已知数列{a n }满足a 1＝2.a n ＋1＝2a n .S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126.则n ＝( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6D [因为a 1＝2.a n ＋1＝2a n .所以{a n }是首项和公比均为2的等比数列.所以S n ＝21－2n1－2＝126.解得n ＝6.]2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 6＞S 7＞S 5.则满足S n S n ＋1＜0的正整数n 的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13C [由S 6＞S 7＞S 5.得S 7＝S 6＋a 7＜S 6.S 7＝S 5＋a 6＋a 7＞S 5.所以a 7＜0.a 6＋a 7＞0.所以S 13＝13a1＋a132＝13a 7＜0.S 12＝12a1＋a122＝6(a 6＋a 7)＞0.所以S 12S 13＜0.即满足S n S n ＋1＜0的正整数n 的值为12.故选C.]3．已知{a n }是首项为1的等比数列.S n 是{a n }的前n 项和.且9S 3＝S 6.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158C [依题意知{a n }的公比q ≠1.否则9S 3＝27a 1≠S 6＝6a 1,9S 3＝S 6⇒9×1·1－q31－q＝1·1－q61－q ⇒q 3＝8⇒q ＝2.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是首项为1a1＝1.公比为12的等比数列.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 的前5项和为S 5＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.]4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n2当n 为奇数时，－n2当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1).则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 200B [由题意.a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100.故选B.]5．已知数列{a n }满足a n ＝n n ＋1.则a 1＋a222＋a332＋…＋a2 0182 0182的值为( )A.2 0182 019 B.2 0172 019 C.2 0184 035D.2 0172 018A [由题意.因为数列{a n }满足a n ＝n n ＋1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an n2的通项公式为ann2＝1n n ＋1＝1n－1n ＋1.所以a 1＋a222＋a332＋…＋a2 0182 0182＝1－12＋12－13＋…＋12 018－12 019＝1－12 019＝2 0182 019.] 6．(20xx·太原模拟)已知数列{a n }满足an ＋1an ＋1＋1＝12.且a 2＝2.则a 4＝________.11 [因为数列{a n }满足an ＋1an ＋1＋1＝12.所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1).即数列{a n ＋1}是等比数列.公比为2.则a 4＋1＝22(a 2＋1)＝12.解得a 4＝11.]7．已知数列{a n }的前n 项和为S n .过点P (n .S n )和点Q (n ＋1.S n ＋1)(n ∈N *)的直线的斜率为3n －2.则a 2＋a 4＋a 5＋a 9＝________.40 [因为过点P (n .S n )和点Q (n ＋1.S n ＋1)(n ∈N *)的直线的斜率为3n －2.所以Sn ＋1－Sn n ＋1－n ＝S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝3n －2(n ∈N *).所以a 2＝1.a 4＝7.a 5＝10.a 9＝22.所以a 2＋a 4＋a 5＋a 9＝40.]8．若数列{a n }满足a 1＝1.且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a n ＋n ＋1.则1a1＋1a2＋…＋1a2 017＋1a2 018＝________. 4 0362 019[由a n ＋1＝a n ＋n ＋1. 得a n ＋1－a n ＝n ＋1. 则a 2－a 1＝1＋1.a 3－a 2＝2＋1. a 4－a 3＝3＋1.….a n －a n －1＝(n －1)＋1.n ≥2.以上等式相加.得a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n －1.n ≥2. 把a 1＝1代入上式得.a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＝nn ＋12.1an ＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. 则1a1＋1a2＋…＋1a2 017＋1a2 018＝21－12＋12－13＋…＋12 017－12 018＋12 018－12 019＝21－12 019＝4 0362 019.][能力提升练] (建议用时：15分钟)9．(20xx·泰安模拟)数列{a n }中.a 1＝2.a 2＝3.a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2.n ∈N *).那么a 2 019＝( )A ．1B ．－2C ．3D ．－3A [因为a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2).所以a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3).所以a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n－2)－a n －1＝－a n －2(n ≥3)． 所以a n ＋3＝－a n (n ∈N *). 所以a n ＋6＝－a n ＋3＝a n .故{a n }是以6为周期的周期数列． 因为2 019＝336×6＋3.所以a 2 019＝a 3＝a 2－a 1＝3－2＝1.故选A.]10．(20xx·洛阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n .且S n ＝2a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝2anan ＋1an ＋1＋1.求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)当n ＝1时.a 1＝S 1＝2a 1－1.得a 1＝1.当n ≥2时.有S n －1＝2a n －1－1. 所以a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1.即a n ＝2a n －1.所以{a n }是公比为2.首项为1的等比数列.故通项公式a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)b n ＝2an an ＋1an ＋1＋1＝2n2n －1＋12n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋1－12n ＋1. T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫120＋1－121＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋1－122＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1－123＋1＋…＋2×⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋1－12n ＋1＝2n －12n ＋1. 11．已知{a n }是各项均为正数的等比数列.且a 1＋a 2＝6.a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列.其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1.求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫bn an 的前n 项和T n .[解] (1)设{a n }的公比为q . 由题意知：a 1(1＋q )＝6.a 21q ＝a 1q 2. 又a n ＞0.解得a 1＝2.q ＝2.所以a n ＝2n . (2)由题意知：S 2n ＋1＝2n ＋1b1＋b2n ＋12＝(2n ＋1)b b ＋1.又S 2n ＋1＝b n b n ＋1.b n ＋1≠0.所以b n ＝2n ＋1. 令c n ＝bn an .则c n ＝2n ＋12n.因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n .又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1. 两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1. 所以T n ＝5－2n ＋52n .题号内容 押题依据1由a n 与S n 的关系求通项公式 由a n 与S n 的关系求通项公式常以小题形式出现.有时也出现在解答题的第(1)问.难度中等．本题考查逻辑推理和数学运算等核心素养.综合性强.符合全国卷的命题趋势2等差数列、三个“二次”间的关系、分组求和本题将等差数列的基本运算、三个“二次”的关系及数列分组求和有机组合且难度不大.符合全国卷的命题需求.主要考查通项公式的求解与分组求和.在运算过程中体现了数学运算及逻。

[第10讲 数列求和及数列的简单应用](时间：45分钟)1．若数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 7n }的前9项和S 9等于( ) A ．9 B ．18 C ．36 D ．722．已知数列{b n }是首项为12，公比为12的等比数列，则数列{nb n }的前n 项和T n ＝( )A ．2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1B ．2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12nC ．2－n ＋22nD ．2－n ＋12n3．若数列{c n }的通项c n ＝(2n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，则数列{c n }的前n 项和R n ＝( ) A ．1－n ＋13n B ．1－n 3nC ．1＋n 3nD ．1＋n ＋13n4．已知等差数列{a n }，a 1＝3，d ＝2，前n 项和为S n ，设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和，则T n＝( )A.12⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋1－n 2（n ＋2）B.12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1－12（n ＋2）C.12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1＋12（n ＋2）D.12⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋1＋n 2（n ＋2） 5．数列{c n }的通项为c n ＝2n （2n －1）（2n ＋1－1），则其前n 项和S n ＝________． 6．数列{2n·3n}的前n 项和T n ＝________．7．已知数列{a n }的前n 项和为S n n H n 来表示．对于a n ＝3n，其“和谐和”H n ＝( )A.3n ＋2－6n －94B.3n ＋1－6n －94C.3n ＋1＋6n －94D.3n ＋6n －948．设两数列{a n }和{b n }，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1，b n ＝n ＋11×2＋n ＋12×3＋…＋n ＋1n （n ＋1），则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项的和为( )A.1－（4n －1）（－3）n 16B.1＋3n（4n ＋1）16C.1－3n （4n ＋1）16D.1－（4n ＋1）（－3）n169．已知数列{a n }，a n ＋1＝a n ＋2，a 1＝1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为1837，则n ＝________． 10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝5，S 9＝99，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a 2n －1的前n 项和T n ＝________． 11．已知数列{a n }是首项为1，公差为20的等差数列，数列{b n }是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n ·b n }的前n 项和为________．12．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3 000元，以后逐年递增3 000元，则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费用最少)是________．13．等差数列{a n }中，a 3＝3，a 1＋a 4＝5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＋2a n a n －1＝0(n∈N *，n>1)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <12.15．已知各项均为正数的等比数列{a n }的首项a 1＝2，S n 为其前n 项和，若5S 1，S 3，3S 2成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，c n ＝1b n b n ＋1，记数列{c n }的前n 项和T n .若对n ∈N *，T n ≤k(n ＋4)恒成立，求实数k 的取值范围．专题限时集训(十)1．B [解析] S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9（a 3＋a 7）2＝18.2．C [解析] 因为b n ＝(12)n ，nb n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋424＋…＋n －12n －1＋n2n ，①2T n ＝1＋22＋322＋423＋…＋n －12n －2＋n2n －1，②②－①得T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n ，即T n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n2n ＝2－n ＋22n .故选C.3．A [解析] R n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，R n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，① 13R n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，②①式减②式得23R n ＝13＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，则23R n ＝13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －11－13－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝23－2（n ＋1）3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，故R n ＝1－n ＋13n ，故选A.4．D [解析] ∵S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n(n ＋2)，∴1S n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝12(11－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2)＝12(11＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝12[n n ＋1＋n 2（n ＋2）]．故选D. 5.2n ＋1－22n ＋1－1 [解析] c n ＝2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1， 则S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(12－1－122－1)＋(122－1－123－1)＋…＋(12n －1－12n ＋1－1)＝1－12n ＋1－1＝2n ＋1－22n ＋1－1. 6.⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·3n ＋1＋32 [解析] T n ＝2·31＋4·32＋6·33＋…＋2n·3n，①3T n ＝2·32＋4·33＋6·34＋…＋2n·3n ＋1，②①－②得－2T n ＝2·31＋2·32＋2·33＋…＋2·3n －2n·3n ＋1，则T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·3n ＋1＋32.7．A [解析] S n ＝32(3n －1)，H n ＝32(31＋32＋ (3)－1×n)＝3n ＋2－6n －94.故选A.8．D [解析] b n ＝n ＋11×2＋n ＋12×3＋…＋n ＋1n （n ＋1）＝(n ＋1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝(n ＋1)[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]＝n.记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项的和为S n ，则S n ＝1＋2×(－3)＋3×(－3)2＋…＋n×(－3)n －1，－3S n ＝－3＋2×(－3)2＋3×(－3)3＋…＋n×(－3)n， 两式相减，得4S n ＝1＋(－3)＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n×(－3)n ＝1－（－3）n4－n×(－3)n，故S n ＝1－（4n ＋1）（－3）n16.9．18 [解析] 因为a n ＋1＝a n ＋2，所以数列是公差为2的等差数列，所以a n ＝2n －1.又因为1a n a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，所以S n ＝12(1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝1837，解得n ＝18. 10.n n ＋1[解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. ∵a 2＝5，S 9＝99，∴a 1＋d ＝5，9（2a 1＋8d ）2＝99，解得a 1＝3，d ＝2， ∴a n ＝2n ＋1.设b n ＝4a 2n －1(n∈N ＋)．∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n －1＝4n(n ＋1)，∴b n ＝44n （n ＋1）＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 11.（20n －29）·3n＋292[解析] a n ＝1＋20(n －1)＝20n －19，b n ＝3n －1，令S n ＝1×1＋21×3＋41×32＋…＋(20n －19)·3n －1，①则3S n ＝1×3＋21×32＋…＋(20n －39)·3n －1＋(20n －19)·3n，②①－②得，－2S n ＝1＋20×(3＋32＋…＋3n －1)－(20n －19)·3n＝1＋20×3（1－3n －1）1－3－(20n －19)·3n ＝(29－20n)·3n－29，所以S n ＝（20n －29）·3n＋292.12．10 [解析] 设最佳使用年限为x 年，年平均费用为y 万元，则y ＝15＋1.5x ＋x （x ＋1）2×0.3x ＝15x＋0.15x ＋1.65≥4.65，此时x ＝10.13．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋（a 1＋3d ）＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·1＝n.(2)因为a n ＝n ，所以a n ＋1＝n ＋1，b n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.14．证明：(1)已知a n －a n －1＋2a n a n －1＝0，两边同除以a n a n －1得1a n －1a n －1＝2.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，于是1a n ＝2n －1，a n ＝12n －1(n∈N *)．(2)由(1)知b n ＝1（2n －1）（2n ＋1），则b 1＋b 2＋…＋b n ＝11×3＋13×5＋…＋1（2n －1）（2n ＋1）＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)<12. 15．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，∵5S 1，S 3，3S 2成等差数列， ∴2S 3＝5S 1＋3S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝5a 1＋3(a 1＋a 1q)，化简得2q 2－q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－32.因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝－32不合题意，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.(2)由b n ＝log 2a n 得b n ＝log 22n＝n ，则c n ＝1b n b n －1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.∵n n ＋1≤k(n ＋4)， ∴k ≥n （n ＋1）（n ＋4）＝n n 2＋5n ＋4＝1n ＋4n＋5.∵n ＋4n ＋5≥2 n ·4n ＋5＝9，当且仅当n ＝4n ，即n ＝2时等号成立，∴1n ＋4n＋5≤19，因此k≥19，故实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫19，＋∞.。

专题限时集训[第9讲　数列的概念与表示、等差数列与等比数列](时间：45分钟) 1．已知{a为等差数列，且a－2a＝－1，a＝0，则公差d＝( )－2 ．－ D．2 2．在等比数列{a中，a＝1，公比|q|≠1.若a＝a，则m＝( )设S为等差数列{a的前n项和，若a＝1，a＝5，则S等于( )15 C．30 D．31 4．已知各项均为正数的等比数列{a，满足a＝16，则a的值为( ) 5．公差不为零的等差数列{a中，a，a，a成等比数列，则其公比为( )等差数列{a中，a＋a＝4，则(2a1·2a2·…·2a10)＝( )＋已知正项等比数列{a满足a7＝a＋2a，若存在两项a，a，使得＝4a，则＋的最小值为( ) B．1 C. D. 8．设等比数列{a的前n项和为S，若a＝3S＋1，a＝＋1，则公比q＝( )已知{a是公差为d的等差数列，若3a＝a＋a＋a＋12，则d＝________已知等比数列{an的首项为2，公比为2，则＝________数列{a中，a＝2，当n为奇数时，a＋1＝a＋2；当n为偶数时，a＋1＝2a则a＝________已知等比数列{a的前n项和为Sa1＝1，且S，2S，3S成等差数列．(1)求数列{a的通项公式；(2)设b＝a＋n，求数列{b的前n项和T等差数列{a的各项均为正数，其前n项和为S，满足2S＝a(a2＋1)，且a＝1.(1)求数列{a的通项公式；(2)设b＝，求数列{b的最小值已知等差数列{a(n∈N＋)中，a＋1，a＝232，＋＝37(1)求数列{a的通项公式；(2)若将数列{a的项重新组合，得到新数列{b，具体方法如下：b＝a，b＝a＋a，b＝a＋a＋a＋a，b＝＋a9＋a＋…＋a，…，依此类推，第n项b由相应的{a中2－1项的和组成，求数列的前n项和T专题限时集训(九)【基础演练】　[解析] a－2a＝－1，a＝0，得得　[解析] 由a＝a得a－1＝a＝(a)5，又a＝1，所以q－1＝q，解得m＝11，故选　[解析] 由等差数列通项公式得：5＝1＋2dd＝2，a＝－1，＝15　[解析] 等比数列{a，a＝a＝a＝16，各项均为正数，∴a＝4，a＝a＝4＝64.即a的值为64.【提升训练】　[解析] 设公差为d，则(a＋2d)＝(a＋d)(a＋5d)，即＋2a＝0，又d≠0，所以d＝－2a，等比数列的公比为＝＝3.　[解析] log2(2a1·2a2·…·2a10)＝a＋a＋…＋a＝5(a＋a)＝20.　[解析] a7＝a＋2a，可知q＝2，又＝4a，于是－1－1＝16a，q＋n－2＝16，m＋n＝6，＋＝(m＋n)＋＝5＋＋≥5＋2＝，当且仅当＝，即m＝2，n＝4时，等号成立．故＋的最小值为　[解析] 两式相减得a3－a＝3a，即a3＝4a，所以q＝＝4.　[解析]3a6＝a＋a＋a＋12(a1＋5d)＝a＋2d＋a＋＋a＋＋12＝12，所以d＝2.　[解析] an＝2，所以＝＝＝2＝4.92　[解析] 由题意，得a2＝a＋2＝4，a＝8，a＝10，a＝20，a＝22，a＝44，a＝46，a＝92.解：(1)设数列{a的公比为q，若q＝1，则S＝a＝1，2S＝4a＝4，3S＝9a＝9，故S＋3S＝10≠2×2S，与已知矛盾，故q≠1，从而得S＝＝，由S，2S2，3S成等差数列，得S＋3S＝2×2S，即1＋3×＝4×，解得q＝，所以a＝a－1＝(2)由(1)得，b＝a＋n＝－1＋n，所以T＝(a＋1)＋(a＋2)＋…＋(a＋n)＝S＋(1＋2＋…＋n)＝＋＝＋＝解：(1)由2S2＝a＋a，可得2(a＋a＋d)＝(a＋d)＋(a＋d)．又a＝1，可得d＝1或d＝－2(舍去)．故数列{a是首项为1，公差为1的等差数列，∴a＝n.(2)根据(1)得S＝，＝＝＝n＋＋1.由于函数f(x)＝x＋(x>0)在(0，)上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，而3<，且f(3)＝3＋＝＝，f(4)＝4＋＝＝，所以当n＝4时，b取得最小值，且最小值为＋1＝即数列{b的最小值b4＝解：(1)由a＝232与a＋a＝a＋a＝37，解得：或(由于a＋1，舍去)，设公差为d，则解得所以数列{a的通项公式为a＝3n＋2(n∈N＋)．(2)由题意得：＝a－1＋a－1＋1＋a－1＋2＋…＋a－1＋2－1－1＝(3·2－1＋2)＋(3·2－1＋5)＋(3·2－1＋8)＋…＋[3·2－1＋( 3·2－1－1)]＝2－1－1＋[2＋5＋8＋…＋(3·2－1－4)＋(3·2－1－1)]，而2＋5＋8＋…＋(3·2－1－4)＋(3·2－1－1)是首项为2，公差为3的等差数列的前2－1项的和，所以2＋5＋8＋…＋(3·2－1－4)＋(3·2－1－1)＝2－1＋＝3·22n－3＋所以b＝3·2－2＋3·2－3＋＝＋，所以b－＝，所以T＝(4＋16＋64＋…＋2)＝＝(4－1)． 高考学习网： 高考学习网：。

湖南高考数学二轮备考专项练习（含答案）数学的温习离不开多做题，下面是2021年湖南高考数学二轮备考专项练习，希望对考生有所协助。

题型一、频率散布直方图的运用例1：某校100名先生期中考试语文效果的频率散布直方图如下图，其中效果分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]。

(1)求图中a的值;(2)依据频率散布直方图，估量这100名先生语文效果的平均分;(3)假定这100名先生语文效果某些分数段的人数(x)与数学效果相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学效果在[50,90)之外的人数。

分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5破题切入点：(1)依据样本频率之和为1，求出参数a的值。

(2)依据频率散布直方图战争均值的计算公式，求出样本平均值。

(3)由直方图可计算语文效果在每分段上的频数，再依据语文和数学效果在同一段上的人数比，便可计算数学效果在[50,90)之间的人数，进而求解。

解：(1)由频率散布直方图知(2a+0.02+0.03+0.04)10=1，解得a=0.005。

(2)由频率散布直方图知这100名先生语文效果的平均分为550.00510+650.0410+750.0310+850.0210+950.00510=73(分)。

(3)由频率散布直方图知语文效果在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.00510100=5,0.0410100=40,0.0310100=30,0.0210100=20。

由题中给出的比例关系知数学效果在上述各分数段的人数依次为5,40=20,30=40,20=25。

故数学效果在[50,90)之外的人数为100-(5+20+40+25)=10。

题型二茎叶图的运用例2：从甲、乙两个城市区分随机抽取16台自动售货机，对其销售额停止统计，统计数据用茎叶图表示(如下图)。

专题限时集训(十)[第10讲 数列求和及数列的简单应用](时间：45分钟)1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2，a 4是方程x 2－x －2＝0的两个根，S 5＝( ) A.52 B ．5 C ．－52D ．－52．已知数列{a n }为等差数列，S n 是它的前n 项和．若a 1＝2，S 3＝12，则S 4＝( ) A ．10 B ．16 C ．20 D ．243．等差数列{a n }中，若a 7a 5＝913，则S 13S 9＝( )A.913 B.139C ．1D ．2 4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n （n ＋2），则S 10等于( )A.1112 B.1124 C.173132 D.1752645．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OA →＝a 1OB →＋a 2 010OC →且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 2 010＝( )A ．1 005B ．1 006C ．2 010D ．2 0116．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于( )A ．24B ．48C ．66D ．1327．某钢厂的年产量由1993年的40万吨增加到2003年的50万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2013年的年产量约为( )A ．60万吨B ．61万吨C ．63万吨D ．64万吨8．甲、乙两间工厂的月产值在2012年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小，则有( )A ．甲的产值小于乙的产值B ．甲的产值等于乙的产值C ．甲的产值大于乙的产值D ．不能确定9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝|n －13|，那么满足a k ＋a k ＋1＋…＋a k ＋19＝102的整数k ( )A ．有3个B ．有2个C ．有1个D ．不存在10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos 2n π2a n ＋sin 2n π2，则该数列的前20项的和为________．11．已知数列{a n }满足a 1＝23，且对任意的正整数m ，n 都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝________．12．等差数列{a n }的各项为正，其前n 项和为S n ，且S 3＝9，又a 1＋2，a 2＋3，a 3＋7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：当n ≥2时，1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n <54.13．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝n 2＋3n2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，2n ，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n .14．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍，工作时间为n 天．(1)工作n 天，记三种付酬方式薪酬总金额依次为A n ，B n ，C n ，写出A n ，B n ，C n 关于n 的表达式；(2)如果n ＝10，你会选择哪种方式领取报酬？专题限时集训(十)【基础演练】1．A [解析] a 2，a 4是方程x 2－x －2＝0的两个根，a 2＋a 4＝1，S 5＝（a 1＋a 5）×52＝（a 2＋a 4）×52＝52.2．C [解析] 设公差为d ，则3a 1＋3d ＝12，解得d ＝2.所以S 4＝4×2＋4×32×2＝20.3．C [解析] S 13S 9＝13（a 1＋a 13）29（a 1＋a 9）2＝139×a 7a 5＝139×913＝1.4．D [解析] a n ＝1n （n ＋2）＝121n －1n ＋2，所以S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋…＋110－112＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－111－112 ＝175264，选D. 【提升训练】5．A [解析] 根据平面向量知识，a 1＋a 2 010＝1，所以S 2 010＝2 010（a 1＋a 2 010）2＝1 005.6．D [解析] 设公差为d ，则a 1＋8d ＝12a 1＋112d ＋6，即a 1＋5d ＝12，即a 6＝12，所以S 11＝11a 6＝132.7．C [解析] 10年为一段，则1993，2003，2013年的年产量成等比数列，故2013年的年产量为50×5040＝62.5≈63.8．C [解析] 设甲各个月份的产值为数列{a n }，乙各个月份的产值为数列{b n }，则数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，a 11＝b 11，故a 6＝a 1＋a 112≥a 1a 11＝b 1b 11＝b 26＝b 6，由于在等差数列{a n }中的公差不等于0，故a 1≠a 11，上面的等号不能成立，故a 6>b 6.9．B [解析] 如果k ≥13，则a k ＋a k ＋1＋…＋a k ＋19≥0＋1＋…＋19＝190>102，故k <13.设k ＋i ＝13，0<i <20，则a k ＋a k ＋1＋…＋a k ＋19＝i ＋(i －1)＋…＋2＋1＋0＋1＋2＋…＋(19－i )＝i （i ＋1）2＋（19－i ）（20－i ）2＝102，即i 2－19i ＋88＝0，解得i ＝8或i ＝11，此时k ＝5或k ＝2，即只有两个整数k 满足等式a k ＋a k ＋1＋…＋a k ＋19＝102.10．2 101 [解析] 当n 为奇数时，a n ＋2＝a n ＋1，故奇数项是首项为1，公差为1的等差数列，其前10项之和等于1×10＋10×92＝55；当n 为偶数时，a n ＋2＝2a n ，故偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，其前10项之和为2（1－210）1－2＝211－2＝2 046.所以，数列{a n }的前20项之和为55＋2 046＝2 101.11．2－2n ＋13n [解析] 对m ＝1等式a m ＋n ＝a m ·a n 也成立，即a n ＋1＝23a n ，所以数列{a n }是首项为23，公比为23的等比数列，所以S n ＝231－23n 1－23＝2－2n ＋13n .12．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， ∵S 3＝9，∴a 2＝3，∴a 1＋2＝3－d ＋2＝5－d ，a 2＋3＝6，a 3＋7＝3＋d ＋7＝10＋d . ∵a 1＋2，a 2＋3，a 3＋7成等比数列， ∴(5－d )(10＋d )＝36， 解得d ＝2或d ＝－7(舍去)． ∴a n ＝3＋(n －2)×2＝2n －1.(2)证明：因为1a 2n ＝1（2n －1）2＝14n 2－4n ＋1<14n 2－4n ＝14n （n －1）＝141n －1－1n.所以当n ≥2时，1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋141－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1＋141－1n <1＋14＝54.13．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋1，则a n ＝n ＋1(n ∈N *)． (2)当n 为偶数时，T n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(22＋24＋ (2))＝n 2＋2n 4＋43(2n－1)，当n 为奇数时，n －1为偶数，T n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n )＋(22＋24＋…＋2n －1)＝n 2＋4n ＋34＋43(2n－1－1)，则T n＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n 4＋43（2n－1），n 为偶数，n 2＋4n ＋34＋43（2n －1－1），n 为奇数.14．解：(1)设三种付酬方式每天金额依次为数列{a n }，{b n }，{c n }，它们的前n 项和依次分别为A n ，B n ，C n .依题意，第一种付酬方式每天金额组成数列{a n }为常数数列，A n ＝38n .第二种付酬方式每天金额组成数列{b n }为首项为4，公差为4的等差数列， 则B n ＝4n ＋n （n －1）2×4＝2n 2＋2n .第三种付酬方式每天金额组成数列{c n }为首项是0.4，公比为2的等比数列，则C n ＝0.4（1－2n）1－2＝0.4(2n－1)．(2)由(1)得，当n ＝10时，A n ＝38n ＝380，B n ＝2n 2＋2n ＝220，C n ＝0.4(210－1)＝409.2.所以B 10<A 10<C 10.答：应该选择第三种付酬方案．。

专题限时集训(十)[第10讲 数列求和及数列应用](时间：10分钟＋35分钟)1．等比数列{a n })的实部与虚部，则数列{a n }的前10项的和为( )A ．20B ．210－1C ．－20D ．－2i2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－153．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )A ．①和⑳B ．⑨和⑩C ．⑨和⑪D ．⑩和⑪4．已知数列{a n }满足a 1＝t ，a n ＋1－a n ＋2＝0(t ∈N *，n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和的最大值为f (t )，则f (t )＝________.1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎫1－14n D.23⎝⎛⎭⎫1－12n 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则{a n }的公比q 等于( )A ．1 B.12C ．－12D ．23．“神七升空，举国欢庆”，据科学计算，运载“神七”的“长征二号”F 火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟4．过圆x 2－5x ＋y 2＝0内点P ⎝⎛⎭⎫52，32有n 条弦，这n 条弦的长度依次成等差数列{a n }，其中最短弦长为a 1，最长的弦长为a n ，且公差d ∈⎝⎛⎭⎫15，12，那么n 的取值集合为( )A ．{5,6}B ．{4,5}C ．{3,4,5}D ．{3,4,5,6}5．{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么S n 取得最小正值时，n 的值为( )A ．11B ．17C ．19D ．216．在直角坐标平面内，已知点列P 1(1,2)，P 2(2,22)，P 3(3,23)，…，P n (n,2n )，….如果k为正偶数，则向量P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→＋…＋P k －1P k 的纵坐标(用k 表示)为__________．7．在数列{a n }中，有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2(n ∈N *)为定值，且a 7＝2，a 9＝3，a 98＝4，则此数列{a n }的前100项的和S 100＝________.8.已知以1为首项的数列{a n }满足：a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n＋1(n 为奇数)，a n 2(n 为偶数)(n ∈N *)．(1)写出a 2，a 3，a 4，并求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和S n ，求数列{S n }的前n 项和T n .9．已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝12且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n3n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .专题限时集训(十)【基础演练】1．A 【解析】 根据复数实部和虚部的概念求出这个等比数列的首项和公比，按照等比数列的求和公式进行计算．该等比数列的首项是2，公比是1，故其前10项之和是20.2．A 【解析】 a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.3．D 【解析】 从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边，则每个人所走的路程和最小，一共20个坑，为偶数，在中间的有两个坑为10和11号坑，故答案选D.4.⎩⎨⎧t 2＋2t4(t 为偶数)，(t ＋1)24(t 为奇数)【解析】 由题可知{a n }是等差数列，所以a n ＝－2n ＋2＋t ，所以S n ＝n (1＋t －n )＝－n 2＋(1＋t )n .当t 为奇数时，f (t )＝－⎝⎛⎭⎫1＋t 22＋(1＋t )×1＋t 2＝(t ＋1)24；当t 为偶数时，知n ＝t 2时，f (t )＝－⎝⎛⎭⎫t 22＋(1＋t )×t 2＝t 2＋2t 4，故f (t )＝⎩⎨⎧t 2＋2t4(t 为偶数)，(t ＋1)24(t 为奇数).【提升训练】1．C 【解析】 根据已知容易求得a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫122n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝23⎝⎛⎭⎫1－14n . 2．C 【解析】 依题意，由2S 3＝S 1＋S 2得2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝a 1＋a 1＋a 1q ，解得q ＝－12，选择C. 3．C 【解析】 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式得na 1＋n (n －1)d2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15.故选C.4．B 【解析】 已知圆的圆心为Q ⎝⎛⎭⎫52，0，半径r ＝52.又|PQ |＝32，∴a 1＝2r 2－|PQ |2＝4，a n ＝2r ＝5，∴d ＝a n －a 1n －1＝1n －1∈⎝⎛⎭⎫15，12，∴n ∈(3,6)，∴n ＝4或n ＝5.5.C 【解析】 等差数列的前n 项和有最大值，则其公差为负值，数列单调递减，根据a 11a 10<－1可知一定是a 10>0，a 11<0，由此得a 11<－a 10，即a 11＋a 10<0，S 19＝a 1＋a 192×19＝19a 10>0，S 20＝a 1＋a 202×20<0，由于S n在取得最大值后单调递减，根据已知S n 在[11，＋∞)上单调递减，所以使得S n 取得最小正值的n 值为19.6.23(2k －1) 【解析】 根据向量的坐标运算法则，向量P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→＋…＋P k －1P k 的纵坐标为－2＋22－23＋24－…－2k －1＋2k ，这是一个公比为－2的等比数列的前k 项和，其和是－2[1－(－2)k ]1－(－2)，由于k 为正偶数，上式化简即为23(2k －1)．7．299 【解析】 设定值为M ，则a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝M ，进而a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝M ，后式减去前式得a n ＋3＝a n ，即数列{a n }是以3为周期的数列．由a 7＝2，可知a 1＝a 4＝a 7＝…＝a 100＝2，共34项，其和为68；由a 9＝3，可得a 3＝a 6＝…＝a 99＝3，共33项，其和为99；由a 98＝4，可得a 2＝a 5＝…＝a 98＝4，共33项，其和为132.故数列{a n }的前100项的和S 100＝68＋99＋132＝299.8．【解答】 (1)a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，a n ＝3＋(－1)n2.(2)S n ＝3n 2＋12·(－1)[1－(－1)n]2＝3n 2－14＋14(－1)n ，∴T n ＝32·n (n ＋1)2－14n ＋14·－[1－(－1)n ]1＋1＝34n 2＋12n ＋18·(－1)n －18(也可分奇数和偶数讨论解决)． 9．【解答】 (1)∵S 3＝12，即a 1＋a 2＋a 3＝12， ∴3a 2＝12，所以a 2＝4，又∵2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列， ∴a 22＝2a 1·(a 3＋1)，即a 22＝2(a 2－d )·(a 2＋d ＋1)， 解得，d ＝3或d ＝－4(舍去)，∴a 1＝a 2－d ＝1， 故a n ＝3n －2.(2)解法1：b n ＝a n 3n ＝3n －23n ＝(3n －2)·13n ，∴T n ＝1×13＋4×132＋7×133＋…＋(3n －2)×13n ，①①×13得，13T n ＝1×132＋4×133＋7×134＋…＋(3n －5)×13n ＋(3n －2)×13n ＋1，②①－②，得23T n ＝13＋3×132＋3×133＋3×134＋…＋3×13n －(3n －2)×13n ＋1＝13＋3×132⎝⎛⎭⎫1－13n －11－13－(3n －2)·13n ＋1＝56－12×13n －1－(3n －2)×13n ＋1， T n ＝54－14×13n －2－3n －22×13n ＝54－6n ＋54·13n .解法2：b n ＝a n 3n ＝3n －23n ＝n ·13n －1－2×13n ，设A n ＝1＋2×13＋3×132＋4×133＋…＋n ×13n －1，①则13A n ＝13＋2×132＋3×133＋4×134＋…＋n ×13n ，②①－②得，23A n ＝1＋13＋132＋133＋…＋13n －1－n ×13n＝1－13n1－13－n ×13n ＝32－⎝⎛⎭⎫32＋n ×13n， ∴A n ＝94－⎝⎛⎭⎫94＋32n ×13n， ∴T n ＝A n －2×13×⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝94－⎝⎛⎭⎫94＋32n ×13n －⎝⎛⎭⎫1－13n ＝54－6n ＋54×13n .。

专题限时集训(二十一)[第21讲实际应用和创新能力](时间：30分钟)1．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列{a n}是等和数列，且a1＝2，公和为5，那么a18的值为( )A．2 B．3C．17 D．182．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么二进制数(111…1,\s\do4(2 010个)))转换成十进制形式是( )A．22 009－1 B．22 010－2C．22 010－1 D．22 011－13．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )A．(0，2) B．(－2，1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1，2)4．为了了解“环保型纸质饭盒”的使用情况，某研究性学习小组对本地区2007年至2009年使用纸质饭盒的所有快餐公司进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三年该地区每年平均消耗纸质饭盒的个数为( )图21－1A ．1.5万B ．1.545万C ．84万D ．85万5．如图21－2所示，“天宫一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 处进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2；④c 1a 1＜c 2a 2. 其中正确式子的序号是( )图21－2A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④6．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n ＝mn ，则在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝12，a ∈N *，b ∈N *}中的元素个数是( )A ．10B ．15C ．16D ．187．某实验室需购买某种化工原料106 kg ，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35 kg ，价格为140元；另一种是每袋24 kg ，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费________元．8．定义一个对应法则：f ：P ′(m ，n )→P (m ，n )(m ≥0，n ≥0)，现有点A ′(1，3)与点B ′(3，1)，点M ′是线段A ′B ′上一动点，按定义的对应法则f ：M ′→M ，当点M ′在线段A ′B ′上从点A ′开始运动到点B ′结束时，点M ′的对应点M 所经过的路线长度为________．9．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图21－3.航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M 0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8，0)．观测点A (4，0)，B (6，0)同时跟踪航天器．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A ，B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？图21－310．某沿海地区甲公司积极响应国家开发西部的号召，对西部地区乙企业进行扶持性技术改造，乙企业原来的经营状况是，每月收入45万元，但因设备老化，从下个月开始需支付设备维修费，第一个月为3万元，以后逐月递增2万元，现甲公司决定投资400万元用于扶持改造乙企业．据测算，改造后乙企业第一个月收入为16万元，在以后的4个月中，每月收入都比上个月增长50%，而后各个月的收入都稳定在第五个月的水平上．若设备改造时间可忽略不计，那么从下个月开始至少经过多长时间，改造后的乙企业的累计总收益多于按原来的经营状况生产所带来的总收益？11．将一个正整数n 表示为a 1＋a 2＋…＋a p (p ∈N *)的形式，其中a i ∈N *，i ＝1，2，…，p ，且a 1≤a 2≤…≤a p ，记所有这样的表示法的种数为f (n )(如4＝4，4＝1＋3，4＝2＋2，4＝1＋1＋2，4＝1＋1＋1＋1，故f (4)＝5)．(1)写出f (3)，f (5)的值，并说明理由； (2)证明：f (n ＋1)－f (n )≥1(n ＝1，2，…)；(3)对任意正整数n ，比较f (n ＋1)与12[f (n )＋f (n ＋2)]的大小，并给出证明．专题限时集训(二十一)【基础演练】1．B [解析] 由题意知：a n ＋a n ＋1＝5，所以a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3，…，a 18＝3，故选B. 2．C [解析] (111…1,\s \do 4(2 010个)))转换成十进制形式是 1×22 009＋1×22 008＋1×22 007＋…＋1×20＝20－22 0101－2＝22 010－1，故选C.3．B [解析] 根据定义x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，所以，所求的实数x 的取值范围为(－2，1)，故选B.4．D [解析] 三年消耗纸质饭盒的总数为30×1＋45×2＋90×1.5＝255万，所以每年平均消耗纸质饭盒的个数为85万，故选D.【提升训练】5．B [解析] 由焦点到顶点的距离可知②正确，由椭圆的离心率知③正确，故应选B. 6．B [解析] 分a ，b 都为正偶数或正奇数与一个正偶数、一个正奇数两种情况讨论．当a ，b 都为正偶数或正奇数时，(a ，b )有(1，11)，(2，10)，(3，9)，…，(11，1)，共11个；当a ，b 中一个为正偶数、一个为正奇数时，有(1，12)，(3，4)，(4，3)，(12，1)，共4个，所以集合M 中的元素个数是15.7．500 [解析] 从单价上考虑，每袋35 kg 的单价要低于每袋24 kg 的单价，故应优先考虑购买每袋35 kg 的包装．设每袋35千克的包装购买x 袋，每袋24 kg 的包装购买y 袋，则有当x ＝4时，y ＝0，这时共购进化工原料140 kg ，需要花费140×4＝560元； 当x ＝3时，y ＝1，这时共购进化工原料129 kg ，需要花费540元； 当x ＝2时，y ＝2，这时共购进化工原料118 kg ，需要花费520元； 当x ＝1时，y ＝3，这时共购进化工原料107 kg ，需要花费500元， 综上，在满足需要的条件下，最少要花费500元． 8.π3[解析] 根据点M ′的轨迹方程求出点M 的轨迹方程，再求长度，因为线段A ′B ′的方程为x ＋y ＝4，x ∈[1，3]，设M ′(x ′，y ′)，M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x ′，y ＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝y 2，代入线段A ′B ′的方程得点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4，x ∈[1，3]，y ∈[1，3]，轨迹是半径为2，圆心角为π6的一段圆弧，弧长为π6×2＝π3，即为点M 所经过的路线长度．9．解：(1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647，由题意可知，0＝a ·64＋647，∴a ＝－17，∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1，y ＝－17x 2＋647，得4y 2－7y －36＝0， 解得y ＝4或y ＝－94(不合题意，舍去)，∴y ＝4，得x ＝6或x ＝－6(不合题意，舍去)． ∴C 点的坐标为(6，4)． |AC |＝25，|BC |＝4.答：当观测点A ，B 测得AC ，BC 的距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令． 10．解：设乙企业仍按现状生产至第n 个月所带来的总收益为A n 万元， 进行技术改造后生产到第n 个月所带来的总收益为B n 万元， ①A n ＝45n －[3＋5＋…＋(2n ＋1)]＝45n －(n 2＋2n )＝43n －n 2； ②当n ≥5时，B n ＝16325－132－1＋16·324·(n －5)－400＝81n －594；当n ≤4 时，B n ＝1632n－132－1－400＝16232n－27<0.显然，在前4个月里，对乙企业的技改投资未能收回，当n ≥5时，由B n －A n ＝n 2＋38n －594>0，则n ≥12，所以，至少经过12个月(1年)，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益．11．解：(1)因为3＝3，3＝1＋2，3＝1＋1＋1， 所以f (3)＝3.因为5＝5，5＝2＋3，5＝1＋4，5＝1＋1＋3，5＝1＋2＋2，5＝1＋1＋1＋2，5＝1＋1＋1＋1＋1，所以f (5)＝7.(2)证明：因为n ＋1≥2，把n ＋1的一个表示法中a 1＝1的a 1去掉，就可得到一个n 的表示法；反之，在n 的一个表示法前面添加一个“1＋”，就得到一个n ＋1的表示法，即n ＋1的表示法中a 1＝1的表示法种数等于n 的表示法种数，所以f (n ＋1)－f (n )表示的是n ＋1的表示法中a 1≠1的表示法数，即f (n ＋1)－f (n )≥1.(3)结论是f (n ＋1)≤12[f (n )＋f (n ＋2)]．证明如下：由结论知，只需证f (n ＋1)－f (n )≤f (n ＋2)－f (n ＋1)．由(2)知：f (n ＋1)－f (n )表示的是n ＋1的表示法中a 1≠1的表示法数，f (n ＋2)－f (n ＋1)表示的是n ＋2的表示法中a 1≠1的表示法数．考虑到n ＋1≥2，把一个a 1≠1的n ＋1的表示法中的a p 加上1，就可变为一个a 1≠1的n ＋2的表示法，这样就构造了从a 1≠1的n ＋1的表示法到a 1≠1的n ＋2的表示法的一个对应，所以有f (n ＋1)－f (n )≤f (n ＋2)－f (n ＋1)．。