信号相位匹配原理的正弦信号参数总体最小二乘估计方法
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一种提取噪声中正弦信号的总体最小二乘法_喻胜
∑i =1 ∑j =1 |X ij -Y ij |
( E)
m
n
/2 2 1
( 15)
文献[ 4] 的定理二指出 : 在以上( 15) 式定义的 Frobenius 量最小的意义下 , 与( 14) 式实际观测 矩阵 H 最接近的秩为 2K 的增强数据矩阵 H 可按如下的迭代方法求出( 算法 2) : ① 将 Hankel 数据矩阵 H 作奇异值分解展开并取前 2K 个最大奇异值而将其余奇异值 置0 : H(E) = ② 将( 16) 式所得 H
2k
-k )=0 n =2K +1 , …, N
( 4) ( 5) ( 6) ( 7)
式中的线性预测系数{ ak } 具有如下的中心元素对称性 : a 2K -k =a k k = 1 , … , K 且 a 0 =a 2K = 1 若能由观测序列求出{ ak } 的估计值 , 则以下 z 的多项式 Χ ( z )=
2 参数 。 这里假定 e ( n) 为具有零均值 、 方差为 σ 的宽带噪声 。 将纯谐波过程
本文于 1999 年 2 月收到 。 喻 胜 : 博士研究生 ; 闫 波 : 讲师 ; 陈光
: 教授 , 博导 。
第 2 期 一种提取噪声中正弦信号的总体最小二乘法 · 7 · y( n)= 写作 y( n) =
k
ω kn + k ) ∑k =1 Ak cos(
n
k
( 2) ( 3)
= 1 ( bkzk ∑ k
+bk zk ) n = 1, …, N
＊
＊
式中 bk = ( 1/2) Ak exp( j k) ; zk =exp( jω k) 。 很明显 , 当被测过程的各频率量 ω k 求出后 , 以上 N 个方程组成的方程组( 3) 是复振幅 bk 的线性方程 , 不难由传统的线性最小二乘法求出诸 { bk } 。 所以 , 本文的讨论仅限于由观测序列{ x( n) } 估计各正弦信号频率 。 我们知道 , 对任意频率的 K 个纯净实正弦信号( 2) 可以用一个 AR( 2K ) 线性预测模型来 描述 : n ∑k =0 aky(
现代信号课件第4章最小二乘滤波
归一化均方误差性能评估
NMSE越小，说明滤波器的性能越好，信号处理的效 果越接近原始信号。
归一化均方误差（NMSE）是另一种衡量滤波器性能的 指标，它表示信号经过滤波器处理后的误差相对于原始 信号的均方误差的比例。
NMSE的计算公式为：$NMSE = frac{MSE}{MSE_{total}}$，其中$MSE_{total}$为原始 信号的均方误差。
加权最小二乘滤波
加权最小二乘滤波是在线性最小二乘滤波的基础上引入了权重因子，以调整误差的 权重。
通过给不同的误差项赋予不同的权重，加权最小二乘滤波能够更好地适应不同的噪 声分布和信号特性。
加权最小二乘滤波在处理具有不同特性的信号和噪声时能够获得更好的滤波效果。
03
最小二乘滤波的算法实 现
递归最小二乘滤波
04
在控制系统中，最小二 乘滤波用于系统辨识和 参数估计等。
02
最小二乘滤波的数学模 型
线性最小二乘滤波
线性最小二乘滤波是一种常用的 信号处理方法，通过最小化误差 的平方和来估计信号中的未知参
数。
它假设信号和噪声之间存在线性 关系，通过解线性方程组来得到
最优估计值。
线性最小二乘滤波具有简单、稳 定和快速收敛等优点，适用于多
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信噪比性能评估
信噪比（SNR）是衡量滤波器在噪声干扰下性能的重要指标，它表示信 号与噪声的功率比值。
SNR越大，说明滤波器对噪声的抑制能力越强，信号处理的效果越好。
SNR的计算公式为：$SNR = 10log_{10}frac{P_s}{P_n}$，其中$P_s$为 信号功率，$P_n$为噪声功率。
自适应滤波算法优化
第四章线性系统参数估计的最小二乘法
下面讨论更为一般的情况。 假设在t1, t2, …, tm时刻对Y及X的观测值序列已经被我们获得，并且用
y(i), x1(i), x2(i), x3(i), … i = 1,2, …, m 来表示这些观测数据。显然，可以用 m 个方程组来表示量测数据与估计值之间的关系
⎧ y(1) = θ1x1(1) +θ 2 x2 (1) +L+θ n xn (1)
从图中可看到，前两条线都仅能满足两个点的要求，而对其它点的误差都很大，其 6 个点的 误差平方累计分别为 0.49 和 0.42。第三条线能满足三个点的要求，但误差平方累计更大，为 1.58。 显然我们需要找到一条更为理想的直线来取得较小的误差。例如图中的红色短划线，它的方程 为 y=1.697 + 0.294x，误差平方累计为 0.25。这条线是怎样得到的呢？它是用最小二乘法得到的。
z
−2
，在其输入端加入 M 序列输入后
所得到的输出输入数据见下表，请利用这些数据辨识出系统的传递函数的系数。
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
输入 u
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
输出 y -0.45 -0.01
1.15
2.56
1.92
-0.30 -0.80 0.91 2.92 2.40
解： 已知系统阶数 n=2，有 4 个未知数。将式（4.4）展开 y(k) = −a1 y(k −1) − a2 y(k − 2) + b0u(k) + b1u(k −1) 根据要求，观测次数 N>2n+1，取 N 为 6，k=3
最小二乘参数辨识方法及原理
v ( k ) 是均值为 0 的随机噪声。
2.2 一般最小二乘法原理及算法
z (k ) a i y (k i) bi u (k i) v (k )
i 1 i 1 n n
如果定义
h ( k ) [ y ( k 1), y ( k 2 ), , y ( k n ), u ( k 1), u ( k 2 ), , u ( k n )]
1 1 1
1 1 1
1
1
1
z1 1 1 ( z 1 z 2 ) 2 z2
r 1 0 0 1 1 4 r 1 1 1 1
2、最小二乘辨识方法的基本概念
通过试验确定热敏电阻阻值和温度间的关系
t (C ) R ( )
t1 R1
t2 R2
tN
1
tN RN
RN
1
R a bt
• 当测量没有任何误差时，仅需2个测量值。 • 每次测量总是存在随机误差。
y i R i v i 或 y i a bt v i
v i y i R i 或 v i＝ y i a bt i
常见做法：
太复杂 使
max | y i R i |
1 i N
N
最小 /* minimax problem */ 不可导，求解困难
使 |y
i 1
i
Ri |
最小
最小
使 |y
i 1
m
i
Ri |
H
2
1 1
r R 0
0 4r
2.2 一般最小二乘法原理及算法
z (k ) a i y (k i) bi u (k i) v (k )
i 1 i 1 n n
如果定义
h ( k ) [ y ( k 1), y ( k 2 ), , y ( k n ), u ( k 1), u ( k 2 ), , u ( k n )]
1 1 1
1 1 1
1
1
1
z1 1 1 ( z 1 z 2 ) 2 z2
r 1 0 0 1 1 4 r 1 1 1 1
2、最小二乘辨识方法的基本概念
通过试验确定热敏电阻阻值和温度间的关系
t (C ) R ( )
t1 R1
t2 R2
tN
1
tN RN
RN
1
R a bt
• 当测量没有任何误差时，仅需2个测量值。 • 每次测量总是存在随机误差。
y i R i v i 或 y i a bt v i
v i y i R i 或 v i＝ y i a bt i
常见做法：
太复杂 使
max | y i R i |
1 i N
N
最小 /* minimax problem */ 不可导，求解困难
使 |y
i 1
i
Ri |
最小
最小
使 |y
i 1
m
i
Ri |
H
2
1 1
r R 0
0 4r
基于最小二乘法的信号处理与参数估计
基于最小二乘法的信号处理与参数估计随着科技的不断发展，我们对信号处理与参数估计的需求越来越高。
在这个背景下，基于最小二乘法的信号处理与参数估计成为了一种非常重要的方法。
本文将深入探讨基于最小二乘法的信号处理与参数估计，从数学角度分析其原理与优劣，以及在实际应用中的具体方法与注意事项。
一、基本原理最小二乘法是一种数学优化方法，它的基本思想是通过最小化误差的平方和来求解参数估计值。
在信号处理与参数估计中，最小二乘法的应用十分广泛，比如回归分析、滤波器设计、谱估计等。
以回归分析为例，最小二乘法可以用来计算线性回归模型中的系数，使得观测数据与模型预测值之间的误差最小。
具体来讲，假设我们有$n$个样本$(x_i,y_i)$，其中$x_i$为自变量，$y_i$为因变量。
在最小二乘法中，我们要求解的是模型参数$\beta$，使得残差平方和最小，即：$$\min_{\beta}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\beta^Tx_i)^2$$这里$\beta$是一个列向量，$x_i$是一个行向量，$^T$表示向量的转置。
根据最小二乘法的原理，我们可以推导出$\beta$的解析表达式：$$\beta=(X^TX)^{-1}X^Ty$$其中，$X$为$n\times p$的设计矩阵，每行表示一个样本，每列表示一个自变量。
$y$为$n\times 1$的观测向量，每个元素表示一个因变量。
二、优劣分析最小二乘法具有以下优点：1. 理论基础扎实。
最小二乘法是一种数学优化方法，其理论基础非常扎实，在数学上可以比较轻松地进行推导和分析。
2. 稳定性好。
最小二乘法的解析表达式通常具有良好的数学性质，比如对称性、非负性等，因此可以保证算法的稳定性。
3. 可扩展性强。
最小二乘法可以用于各种不同的信号处理与参数估计问题，比如回归分析、滤波器设计、谱估计等。
但是，最小二乘法也存在一些缺点：1. 对异常值敏感。
在实际应用中，如果数据中存在异常值，那么最小二乘法会受到很大的干扰，导致估计结果不准确。
线性系统参数估计的最小二乘方法
y X e
un (1) un (2) un ( N )
从而 ˆ ( X T X )1 X T y 如何推广到 MIMO 系统？
8
2. 非线性系统的辨识
y(k ) a0 a1u (k ) a2u 2 (k ) e(k )
选取
x1 ( k ) u (k )
得新解
ˆ(k 1) [ X T (k 1) X (k 1)]1 X T (k 1) y (k 1)
12
其中
X (k ) y (k ) , y (k 1) , X (k 1) T x (k 1) y (k 1)
20
辅助变量法
y (k ) ai y (k i ) biu (k i ) e(k )
i 1 i 1 n n
传统做法是由
X T X X T y X T e
得到
ˆ ( X T X )1 X T y ( X T X )1 X T e ，
ˆ。 如果 X 与 e 不相关，则 E ( )
i 1 i 1 i 1 n n n
令 A(q 1 ) 1 aq i ， B(q ) bi q i ，则系统写成
i 1 i 1
n
n
A(q 1 ) y (k ) B(q 1 )u (k ) e(k )
其中
n
e(k ) A(q 1 ) (k )
引入变白滤波器
e( N ) 将进入ˆ 而使它偏离
2. 如 N 2n ，此时观测方程个数大于参数个数，这是一个解超 定方程问题，可取
ˆ(i )) 2 J ( N ) ( y (i ) T (i )
un (1) un (2) un ( N )
从而 ˆ ( X T X )1 X T y 如何推广到 MIMO 系统？
8
2. 非线性系统的辨识
y(k ) a0 a1u (k ) a2u 2 (k ) e(k )
选取
x1 ( k ) u (k )
得新解
ˆ(k 1) [ X T (k 1) X (k 1)]1 X T (k 1) y (k 1)
12
其中
X (k ) y (k ) , y (k 1) , X (k 1) T x (k 1) y (k 1)
20
辅助变量法
y (k ) ai y (k i ) biu (k i ) e(k )
i 1 i 1 n n
传统做法是由
X T X X T y X T e
得到
ˆ ( X T X )1 X T y ( X T X )1 X T e ，
ˆ。 如果 X 与 e 不相关，则 E ( )
i 1 i 1 i 1 n n n
令 A(q 1 ) 1 aq i ， B(q ) bi q i ，则系统写成
i 1 i 1
n
n
A(q 1 ) y (k ) B(q 1 )u (k ) e(k )
其中
n
e(k ) A(q 1 ) (k )
引入变白滤波器
e( N ) 将进入ˆ 而使它偏离
2. 如 N 2n ，此时观测方程个数大于参数个数，这是一个解超 定方程问题，可取
ˆ(i )) 2 J ( N ) ( y (i ) T (i )
信号检测与估计理论(8)第八章 最小二乘估计
−1
T T −1 T
)( ( = x ( I − H( H H) H ) x
)
（8-11）
上式推导中， 利用了 I − H(H T H ) H T 是幂等矩阵的性质， 即 A2 = A 。
−1
J min 也可写成另一种形式
Jmin = xT x − xT H HT H HT x
ˆ = xT x − Hθ
w[n] = E (w[n]) + w' [n]
式中 w ' [n] 是零均值噪声，这时观测数据则为
x[n] = A + E (w[n]) + w ' [n]
显然，样本均值估计实际上是 A + E (w[n]) 的估计，这时的 LSE 是 有偏估计，不是 MVU 估计。 也就是说， 必须假设观测数据是由确定信号和零均值噪声组 成，在信号参量的正确选择下，误差 e[n] = x[n] − s[n] 在平均意义下 趋于零，则（8-1）式的最小是合理的。 如果假设的直流量信号模型不正确， 例如描述观测数据的模 型是 x[n] = A + Bn + w[n] ，则这个模型误差也将引起 LSE 是有偏的。
对于信号模型是待估计参量的线性函数的最小二乘情况我们 称为线性最小二乘问题，如例 8-1。 否则，这个问题称为非线性最小二乘问题，如例 8-2。 求解非线性 LS 问题是通过栅格寻优或迭代最小化方法 （前面 已介绍） 。 应该注意的是线性最小二乘问题是指信号是待估计参量的线 性函数，信号本身不必是线性的。
p ×1
维的，信号
s = [s[0] s[1] " s[ N − 1]]T 是待估计参量的线性函数，假设
s = Hθ
（8-8）
T T −1 T
)( ( = x ( I − H( H H) H ) x
)
（8-11）
上式推导中， 利用了 I − H(H T H ) H T 是幂等矩阵的性质， 即 A2 = A 。
−1
J min 也可写成另一种形式
Jmin = xT x − xT H HT H HT x
ˆ = xT x − Hθ
w[n] = E (w[n]) + w' [n]
式中 w ' [n] 是零均值噪声，这时观测数据则为
x[n] = A + E (w[n]) + w ' [n]
显然，样本均值估计实际上是 A + E (w[n]) 的估计，这时的 LSE 是 有偏估计，不是 MVU 估计。 也就是说， 必须假设观测数据是由确定信号和零均值噪声组 成，在信号参量的正确选择下，误差 e[n] = x[n] − s[n] 在平均意义下 趋于零，则（8-1）式的最小是合理的。 如果假设的直流量信号模型不正确， 例如描述观测数据的模 型是 x[n] = A + Bn + w[n] ，则这个模型误差也将引起 LSE 是有偏的。
对于信号模型是待估计参量的线性函数的最小二乘情况我们 称为线性最小二乘问题，如例 8-1。 否则，这个问题称为非线性最小二乘问题，如例 8-2。 求解非线性 LS 问题是通过栅格寻优或迭代最小化方法 （前面 已介绍） 。 应该注意的是线性最小二乘问题是指信号是待估计参量的线 性函数，信号本身不必是线性的。
p ×1
维的，信号
s = [s[0] s[1] " s[ N − 1]]T 是待估计参量的线性函数，假设
s = Hθ
（8-8）
基于最小二乘的变采样率超低频正弦扫频信号幅值识别方法
基于最小二乘的变采样率超低频正弦扫频信号幅值识别方法朱景振;蒋瑜;陶俊勇【摘要】Aiming at the problem of long signal period, nonstationary and real time amplitude identification of ultra low frequency (0.1~1 Hz) sine sweep signal of shaking table, variety rate sampling method was used to transform the sine sweep signal into standard sinusoidal signal approximately in a very short time. Then use the least square(LS) fitting method to identify the amplitude of the signal in real time. Simulation results show that the method is effective.%针对振动台超低频(0.1~1 Hz)正弦扫频振动信号周期长、非平稳、幅值实时识别困难的问题,采用变采样率的方法将极短时间内的正弦扫频信号近似变成频率恒定的标准正弦信号,结合最小二乘拟合方法,可以有效识别非整周期正弦扫频信号的幅值.仿真结果表明所研究的方法是有效的.【期刊名称】《强度与环境》【年(卷),期】2017(044)004【总页数】5页(P60-64)【关键词】超低频正弦扫频;变采样率;最小二乘;幅值识别【作者】朱景振;蒋瑜;陶俊勇【作者单位】国防科技大学机电工程与自动化学院,长沙 410073;国防科技大学机电工程与自动化学院,长沙 410073;国防科技大学机电工程与自动化学院,长沙410073【正文语种】中文【中图分类】TB534+.2正弦扫频振动测试是一类基本的环境与可靠性试验类型，对测试产品的动力学特性和保障产品的环境适应性及可靠性水平具有重要作用。
第二十四讲：最小二乘估计、波形估计-课件
z(i)H (i)X 0w (i)
z k z(1 ) z(2 ) ... z(k )T
H k H ( 1 ) H (2 ) ... H (k )T
zk HkX0wk
X ˆ0 (k ) [(H k)T H k] 1 (H k)T z k
批处理算法，运算量太大。
递推算法：
X ˆ 0 ( k ) X ˆ 0 ( k 1 ) K ( k ) ( z ( k ) H ( k ) X ˆ 0 ( k 1 ) )
{ z(k), k= n0, n0+1,...,nf }对区间内的某一个时刻 n(n0<n<nf)的信号进行估计，内插也称为平滑。
数据
n0
n
nf
sˆ ( n )
波形估计宜采用可建立递推算法的线性最小均方估 计或最小二乘估计。
z ( n ) s ( n ) v ( n ) n 0 ,1 ,...,N 1
A
n0
Aˆ
1
N 1
z(n)
N n0
例：正弦信号频率的估计
s(n)cos2f0n
N1
J(f0) (z(n)cos2f0n)2 n0
最小化难以得到闭合性形式的解，原因是信号与 未知参数f0之间存在高度的非线性关系。
zHθv
zz1,z2,...,zNT
θ1,2,...,MT
vv1,v2,...,vNT
θ ˆlsw(H TW H )1H TW z
讨论：
（1） 当观测噪声的均值为零时，最小二乘与加权最小二 乘是无偏估计。
E[θˆls ] (HT H)1HT E[z] (HT H)1HT E[Hθ v] (HT H)1HT Hθ θ
（2）估计的方差阵
V a r ( θ l s ) E { [ θ θ ˆ l s ] [ θ θ ˆ l s ] T } ( H T H ) 1 H T R H ( H T H ) 1
z k z(1 ) z(2 ) ... z(k )T
H k H ( 1 ) H (2 ) ... H (k )T
zk HkX0wk
X ˆ0 (k ) [(H k)T H k] 1 (H k)T z k
批处理算法，运算量太大。
递推算法：
X ˆ 0 ( k ) X ˆ 0 ( k 1 ) K ( k ) ( z ( k ) H ( k ) X ˆ 0 ( k 1 ) )
{ z(k), k= n0, n0+1,...,nf }对区间内的某一个时刻 n(n0<n<nf)的信号进行估计，内插也称为平滑。
数据
n0
n
nf
sˆ ( n )
波形估计宜采用可建立递推算法的线性最小均方估 计或最小二乘估计。
z ( n ) s ( n ) v ( n ) n 0 ,1 ,...,N 1
A
n0
Aˆ
1
N 1
z(n)
N n0
例：正弦信号频率的估计
s(n)cos2f0n
N1
J(f0) (z(n)cos2f0n)2 n0
最小化难以得到闭合性形式的解，原因是信号与 未知参数f0之间存在高度的非线性关系。
zHθv
zz1,z2,...,zNT
θ1,2,...,MT
vv1,v2,...,vNT
θ ˆlsw(H TW H )1H TW z
讨论：
（1） 当观测噪声的均值为零时，最小二乘与加权最小二 乘是无偏估计。
E[θˆls ] (HT H)1HT E[z] (HT H)1HT E[Hθ v] (HT H)1HT Hθ θ
（2）估计的方差阵
V a r ( θ l s ) E { [ θ θ ˆ l s ] [ θ θ ˆ l s ] T } ( H T H ) 1 H T R H ( H T H ) 1
最小二乘估计
r
缺点：对所有测量数据 同等看待
最小二乘估计——线性最小二乘估计
•
•
加权最小二乘法 对不同置信度的测量值采用加权的办法分别对待 强调可靠数据的重要性
LS改为：J ( ) ( x H )
T
W ( x H )
N×N维加权矩阵
最小二乘估计——线性最小二乘估计
加权最小二乘法
ˆ 此时的LSE为： ( H T WH ) 1 H T Wx
ˆ 一般的LSE为： ( H T H ) 1 H T x
此时估计的均方误差为： ( H T WH ) 1 H TWRWH ( H TWH ) 1 一般的均方误差为：
( H T H ) 1 H T RH ( H T H ) 1
最小二乘估计——线性最小二乘估计
加权最小二乘法
W diag[w(0), w(1), , w( N 1)]
改写形式
ˆ[ N ] N A[ N 1] 1 x[ N ] ˆ A N 1 N 1
1 ˆ ˆ ˆ A[ N ] A[ N 1] ( x[ N ] A[ N 1]) N 1
老的估计
修正项
最小二乘估计——序贯最小二乘估计
若对观测数据加权，w( n)
1
2 n
最小二乘估计——线性最小二乘估计
当系统测量噪声V是均值为0，方差为R时
性质1. 最小二乘估计即是无偏估计，有： ( ) E ˆ
ˆ) E[ ( H T H ) 1 H T x] E ( E[( H T H ) 1 ( H T H ) ( H T H ) 1 H T x] ( H H ) H E ( H x)
n 1 n 1 n 1
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１ 引言 ．
文献〔提出了 利用三元阵的信号相位匹配原理的相干干扰抵消原理，能降低噪声和相 １ ］ 干干扰的影响。文献「基于信号相位匹配原理进行正弦信号参数估计，频率和幅度估计精 ２ ］ 度较高， 三个序列中 但当 有两个序列的噪声“ 相” 接近 “ 相” 在该搜索频点 同 或 同 时， 将出 现奇异峰， 在低信噪比 条件下尤为严重。因 文献［增加了 此， ［ ３ ］ 方程数， 利用最小二乘（ ） （ Ｌ Ｓ
一２－ １８
Ｘ ） 凡（ ＋ （） ｍ ＝ ｋ 戈 ｋ （ ｋ ）
根据文献〔［证明结果， ４５ Ｊ」 对于信号有以下关系
（ ２）
Ｓ（ ＝ ， ’） Ｓ（ ｍ Ｓ ｋ 一 ＋ 二 ） ｋ （嵘（， ） ） ‘ ｋ
当Ｎ ＞ ＞ Ｍ时，有
＜ ３）
１）（鲁 Ｓ Ｉ‘ ；／ ， （Ｉ｝ ｋＩ‘ Ｓ
ｅｓ
， ‘
ｅ
，Ａ Ｉ｛Ｍ Ｎ ’Ａ 一
自 月 口 万 ． ． ． ． ． ． ． ． ． 卜 ．
２ 正弦信号参数总体最小二乘估计 ．
设 接收信号为数字信号ｘｎ， 传感器的 （） 信号与噪声是 线性可加的， 依次取Ｍ段长 度为Ｎ
的信号得
ｘ（ ＝ ｒ （ １＋ ［ （ １ ． Ｓ ＋ｍ一） ｎ ＋ ｍ一） Ｚ ｉ ） ］ ｉ ］
Ｆ Ｔ得 Ｆ
（） １
其中ｉ ， ．． － １． ． ｓ 为单 弦 ＝ １ ．． ｍ ，． ． （ 频正 信号， （ 斯白 声。 ０， ．Ｎ１ ２．Ｍ， ２ ． ） ＝ ． ｉ ） ｎ） ｉ 为高 噪 对式 （） １作
关键词：信号相位匹配原理，总体最小二乘，奇异值分解，信号增强
Ｍｅ ｏ ｏｔ ａｌ ｓｓｕｒ ｏｐｒｍ ｔ ｅ ｉａｏ ｆ ｓ ｕｏ ａｓ ｎｌｕｉ ｔ ｄ ｏ ｌ ｔ ａｅ ｆ ａ ｅ ｒ ｍ ｔ ｎ ｉ ｓｉ ｌ ａ ｓ ｇ ｈ ｆ ｅ ｑ ｓ ａ ｔ ａ ｅ ｓ ｉ ｏ ｎ ｄ ｉ ｓ ｔ ｒ ｇ ｎ
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方法求解， 可部分消除噪声对被估信号的影响， 从而提高了低信噪比情况下的正弦信号参数 估计精度。 如果考虑到观测数据的误差， 那么它的解是不准确的。 因此， 本文在此基础上进
行了 改进， 采用总体最小二乘（ Ｓ （ ） Ｔ 估计， 减小 Ｌ 它能 误差的影响。 另外， 信噪比 较低时， 利
用信号增强技术对信号进行预处理后再进行估计，也可改善估计性能。
ｌ ｓｓｕｒ ． ｅ ｔ ａ ｓ ａ ｑ ｅ Ｋ ｙ ｒｓ ｃ ｌｏ ｓ ｎｌ ｃｅ－ ａ ， ｌ ｔ ａ ｓＳ ｇｌ ｖｌ ｄｃｍ ｏｉ ｎ ｅ ｗ ｄ Ｐｉ ｉｅ ｉ ａｍ ｔ ｄ ｈｓ Ｔｔ ｌ ｓｓ ｒ ， ｕ ｒ ｅ ｏ ｐｓｉ ， ｏ ｒ ｐ ｆ ｎ ｇ ａｈ ｐ ｅ ｏ ｅ ｑ ｅ ｉ ａ ａ ｅ ａ ａ ｕ ｎ ｕ ｔ ｏ Ｓｇａｅｈｎｅ ｅｔ ｉ ｌ ａｃｍ ｎ ｎ ｎ
令 （） Ｘ （）Ｎ＇， Ｎ（） Ｎ（）Ｎ－ ｏ －， 将（ 式 边 凡 ｋ ＝ ｍ （） Ａ ， ，ｏ 益（） １， ４ 右 的 ｏ ｋＷｍｋ ０ －０ ｋ ＝ ｋ ＋ １ 叫ｍｋ ｏ ｋ ） ） ）
Ｓ ｋ 移 左 然 求 平 得 （ 简 省 括 中 ｏ ，ｏ 至 边， 后 模的 方 为 便， 去 号 的ｋ） （）
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一２－ １９
而 采 总 最 二 （ Ｓ６ 法 解。 Ｌ 方 主 想 是： 到Ｓ 最 解 应当 用“ 体 小 乘”Ｔ ）方 求 ＴＳ 法的 要 法 找 的 优 Ｌ１ ］
使得以一 卜
（ ＥＳ＝Ｐ ￡ Ａ＋ ） 一
（ ３） １
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Ｌ＝－Ｔｕ ｖ （３ ３３
将式 （）写为矩阵形式 ９
Ｐ ＝Ａ ・ Ｓ＋６
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（ Ｌｄ Ｃｄ ０ Ｃ＋ ） ＝ Ｌ ＝ （５ １）
由 １， 式（ ）采用Ｔ Ｓ ５ Ｌ 方法求解期望信号Ｓ 最优解问 的 题等价于： 找到一个最小范数扰动
矩 使 ： Ｃ Ｌ 非 秩 阵； 外， Ｃ 的 空 量ｄ 最 一 元 应 阵Ｌ 得Ｃ 二 ＋ 为 满 矩 此 解出 ： 零 间向 的 后 个 素
Ａ ｓ ａｔ ａｃｒ ｙ ｐｒ ｅ ｒ ｍ ｔ ｎ ｓ ｕｏ ａｓ ｎｌｃｎ ｐｏｅ ｉｔ ｃｓ ｏ ｂｔ ｃＴ ｅ ｕ ｃ ｏ ａ ｍ ｔ ｅ ｉａｏ ｆ ｉ ｓｉ ｌ ａ ａ ｂ ｒｖｄ ｈ ａｅ ｒ ｈ ｃ ａ ｆ ａ ｅ ｓ ｉ ｏ ｎ ｄ ｉ ｓ ｅ ｔ ｒ ｇ ｎ ｅ ｆ ｌ ｅｒｉ ｏ ｓ ｎｌ ｏ ｅ ｕｉ ｔ ｍ ｔ ｄ ｌ ｓｓｕｒ ， ｃ ｉｂｓ ｏ ｔ ｐ ｎｉｅ ｏ ｒ ｏ ｉ ａｔ ｎｉ ｂ ｓ ｇ ｅ ｏ ｏ ｅ ｔ ａ ｓｗ ｉ ｓ ｅ ｎ ｒ ｃ ｌ ｗ ａ ｆ ｏ ｓ ｙ ｎ ｈ ｔ ｇ ｅ ｈ ｆ ｑ ｅ ｈ ｈ ａ ｄ ｈ ｉ ｐ ａ ｅ
信号相位匹配原理的正弦信号参数总体最小二乘估计方法
刘理 朱维杰 孙进才
（ 西北工业大学航海工程学院，西安，７０７ ） １０２
摘要 利用信号相位匹配原理进行正弦信号最小二乘估计可提高低信噪比时的估计 精度， 在此基础上进行改进， 应用总体最小二乘方法对正弦信号进行参数估计， 能进一步提 高精度。 利用信号增强技术对观测序列进行预处理， 能改善估计效果。 仿真实验表明， 本文 方法性能优于最小二乘方法。
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一一
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那么，期望信号Ｓ的最小二乘解为
Ｓ （＇ 一 Ｔ＝ 十 二 Ａ ）Ａ ＡＰ Ａ，
文献［ 也正是采用了这种方法。 ［ ３ ］
（２ １）
但是， 传统的最小二乘方法问题中， 系数矩阵Ａ是没有噪声干扰的，而在本文问题中，
Ａ和尸均受到观测误差的影响。所以这里求解期望信号Ｓ 传统最小二乘方法并不准确， 时，
若 知 号 率 ｋ时 根 信 相 匹 原 ［ｌ用叫，） 式（ 两 己 信 频 为 ｏ ， 据 号 位 配 理ｌ， ｔ ｌ ｔ ２ 一乘 ３ 边 ， ｋ ）
可
（
６
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Ｘ （）Ｎ１ ＝ ，ｏ Ｎ（）Ｎ－ｋ叫ｍ’ ｍ （） Ｓｋ ＋ ，ｏ ｍ（） 一（ ｋＷｍｋ （） ｋ ＋ ｌ ， ０ －， ｏ ‘ ）
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Ｓ 和Ｓ 众 之间的 相位差满足
（） ４
Ａ二 、１ Ｏ竺 、
其中ｍ １ ， ， ＝， 二Ｍａ ２ － ，
Ｎ
（ ５）
一 般取ＦＴ 样本长 Ｆ的 度Ｎ远大于 程组 ， 方 数Ｍ 忽略Ｓ （） ｍ 对估计信号Ｓ（） 影响。 ｋ ， ｋ的
这样方程 （ ）可改写为 ２
Ｘ， Ｓｋ Ｎ－ ＋ Ｘ “， Ｎ－ｋ ， ） ， （） Ｎ 一 ＋ ｍ（ （ ＝ （Ｗ ｍｋ ｋ ） １ ， ‘ １ ）
当为非零值以便于利用 ｄ的末元素归一化求出Ｓ ｏ 以上最优化问题可以由矩阵 Ｃ的奇异值分解求出。将 Ｃ写成奇异值分解向量积展开形