2015年高考数学专题讲座：数学压轴题

2015山东省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数,则对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合b={2，3}，则()U C A B =（ ）A ．φB ． {1，2，3，4}C ． {2，3，4}D ． {0，11，2，3，4}3.已知全集集合2{|log (1)A x x =-},{|2}xB y y ==,则()U C A B = ( )A ．0-∞（，）B ．0,1]（C ．(,1)-∞D ．(1,2) 4.指数函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能的是5.曲线（为自然对数的底数）在点处的切线与轴、轴所围成的三角形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．6.设随机变量服从正态分布,若,则的值为( ) A ． B ．C ．D ．7.取值范围是（）8.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x、m、n的值而定9.已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（）A． B． C． D．10.已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（kx）+1]+1（k≠0）的零点个数的判断正确的是（）A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有4个零点B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有3个零点C．无论k为何值，均有3个零点D．无论k为何值，均有4个零点二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11.正项等比数列中，，，则数列的前项和等于．12.如图，在中，是边上一点，，则的长为13.已知实数x，y满足x>y>0，且x+y2，则的最小值为▲．14.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为____________.15.设函数的定义域分别为，且，若对于任意，都有，则称函数为在上的一个延拓函数．设，为在R上的一个延拓函数，且g(x)是奇函数．给出以下命题：①当时，②函数g(x)有5个零点；③ 的解集为；④函数的极大值为1，极小值为-1;⑤ ，都有.其中正确的命题是________．（填上所有正确的命题序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16.（本小题满分12分）设是锐角三角形，三个内角，，所对的边分别记为，，，并且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求，（其中）．17.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，.（1）求证：;（II）求二面角的余弦值.18.(本题满分12分）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是,乙、丙两人同时能被聘用的概率为,且三人各自能否被聘用相互独立.(1) 求乙、丙两人各自被聘用的概率;(2) 设ξ为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望)19.（本小题满分10分）已知是数列的前n项和，且（1）求数列的通项公式；（2）设，记是数列的前n项和，证明：。

2015广东省高考压轴卷理科数学一、 选择题（每小题5分，共30分，把正确答案填写在答卷相应地方上）1、复数12i -+的虚部是（ ） A ．15- B ．15i - C ．15 D ．15i2、已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x | | x | <2 }，则A ∩B 等于A ．{x |－1<x <2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <2}3、下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x = B. cos y x = C.x y tan = D . ln y x =4、在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos2B =（ ） ABC ．31D ．13-5、一空间几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为. （ ） A.2 B.32 C 4 D. 346、执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围（ ） A.161587≤<P B. 1615>P C. 161587<≤P D. 8743≤<P 7、由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ） A ．1B．CD ．38、称d （,→a )→b =→→-b a 为两个向量,→a →b 间距离，若,→a →b 满足①1b =→②≠→a →b ③ 对任意实数t ，恒有d （,→a t )→b ≥d （,→a )→b ,则（ ）A ．（+→a →b ）⊥（-→a →b ） B .→b ⊥（-→a →b ） C . →a ⊥→b D .→a ⊥（-→a →b ） 二、填空题：（每小题5分，共30分，把正确答案填写在答卷相应地方上） （一）必做题(9～13题)9、函数f(x)=12x -2++x 的定义域是图110、由三条直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为11、已知等比数列{}n a 的第5项是二项式613x ⎫⎪⎭展开式的常数项，则37a a = ．12、定义R 上的奇函数f （x ）满足f （x+3）=f （x ），当0＜x≤1时，f （x ）=2x，则f （2015）=13、若关于x ，y 的不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥010x y kx x y 表示的平面区域是一个锐角三角形，则k 的取值范围是______(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14、已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧+=-=121t y t x （t 为参数），曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ，设曲线C 1，C 2相交于A 、B 两点，则|AB|的值为15、如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC=4，AB=6，则MP ·NP= ．三、解答题16、（本小题满分12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边, 面积C S cos ab 23= (1) 求角C 的大小； (2)设函数2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=，求)(B f 的最大值,及取得最大值时角B 的值17、（本小题满分12分）某校高一年级60名学生参加数学竞赛，成绩全部在40分至100分之间，现将成绩分成以下6段：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，据此绘制了如图所示的频率分布直方图． （1）求成绩在区间[80，90）的频率；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，其中成绩在[90，100]内的学生人数为ξ，求ξ的分布列与均值．B18、（本小题共14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，（1）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA // 平面BMQ ； （2）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（3）若二面角M-BQ-C 为30°，设PM=tMC ，试确定t 的值 19、（本小题满分14分）已知函数22()(0)2x a f x a x +=>,数列{n a }满足13a a =,1()n n a f a +=,设)(+∈+-=N n aa a ab n n n ,数列{n b }的前n 项和为n T . (1)求12,b b 的值;(2)求数列{n b }的通项公式; (3)求证:87<T n20、（本小题满分14分）已知焦点为F ,准线为l 的抛物线Γ：22(0)x py p =>经过点(-，其中,A B 是抛物线上两个动点，O 为坐标原点。

圆锥曲线解题技巧一、常规七大题型： 〔1〕中点弦问题具有斜率弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在请款讨论〕，消去四个参数。

如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，那么有02020=+k by a x 。

〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)那么有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2px 〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),那么有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。

过A 〔2，1〕直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2中点P 轨迹方程。

〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+最值。

〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线位置关系根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合思想，通过图形直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆焦点，结合三大曲线定义去解。

典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。

y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 函数f(t)表达式。

2015浙江省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．合集{0,1,2,3},{2}U U C M ==，则集合M=（ ）A ．{0，1，3}B ．{1，3}C ．{0，3}D ．{2}2．已知复数z 满足(2)(1)i i i z +-=⋅（i 为虚数单位），则z=（ ）A ．-1+3iB ．-1-3iC ．1+3iD ．1-3i3．已知向量=（3cos α，2）与向量=（3，4sin α）平行，则锐角α等于（ ） A ．B ．C ．D ．4．三条不重合的直线a ，b ，c 及三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ）A ． 若a ∥α，a ∥β，则α∥βB ． 若α∩β=a ，α⊥γ，β⊥γ，则a ⊥γC ． 若a ⊂α，b ⊂α，c ⊂β，c ⊥α，c ⊥b ，则α⊥βD ． 若α∩β=a ，c ⊂γ，c ∥α，c ∥β，则a ∥γ5.执行如右图所示的程序框图，则输出S 的值是 （ ） A ．10 B ．17 C ．26 D ．286．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32tan πx x f ,则下列说法错误的是 （ ）A ． 函数f(x)的周期为2πB ． 函数f(x)的值域为RC ． 点（6π，0）是函数f(x)的图象一个对称中心D ．23()()55f f ππ< 7.已知5250125(),a x a a x a x a x -=++++若2012580,a a a a a =++++则= （ ）A ．32B ．1C ．-243D ．1或-2438．已知a 、b 都是非零实数，则等式||||||a b a b +=+的成立的充要条件是 （ ）A ．a b ≥B ．a b ≤C ．1ab≥ D ．1a b≤ 开始 S =1，i =1结束i =i +2i >7输出S 是否S =S +i9．已知函数()log (1)a f x x a =>的图象经过区域6020360x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则a 的取值范围是（ ）A ．(31,3⎤⎦B ．(33,2⎤⎦C ．)33,⎡+∞⎣D ．[)2,+∞10．作一个平面M ，使得四面体四个顶点到该平面的距离之比为1:1:1:2，则这样的平面M 共能作出（ ▲ ）个．A ．4 B. 8 C. 16 D.32二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11.已知双曲线：221916x y -=，则它的焦距为__ _；渐近线方程为__ _ 焦点到渐近线的距离为__ _．12.在ABC ∆中，若1,3,AB AC AB AC BC ==+=，则其形状为__ _，BA BC BC=__（①锐角三角形 ②钝角三角形 ③直角三角形，在横线上填上序号）； 13.已知,x y 满足方程210x y --=，当3x >时，则353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为 __ _．14. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________.15．若,,A B C 都是正数，且3A B C ++=，则411A B C +++的最小值为 16．已知0a >且1a ≠，则使方程222log ()log ()a a x ak x a -=-有解时的k 的取值范围为 ．17．已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首项为b ，公比为a ，其中,a b 都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<，对于任意的*n N ∈，总存在*m N ∈，使得3m n a b +=成立，则n a = ．.22221122 1221正视图侧视图俯视图二、填空题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 18．已知函数f （x ）=1﹣2sin （x+）[sin （x+）﹣cos （x+）]（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）当x ∈[﹣，]，求函数f （x+）的值域．19．（本小题满分14分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，{}n b 等比数列，满足222112233,,.b a b a b a ===（I ）求数列{}n b 公比q 的值；（II ）若2121a a a =-<且，求数列{}n a 公差的值；20.一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。

高考数学压轴题的技巧高考数学压轴题的技巧策略一、缺步解答——化繁为简，能做多少算多少如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。

特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题巧拿分”。

策略二、跳步解答——左右逢源，会做哪问做哪问解题过程中卡在某一过渡环节上是常见的.这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论.若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问当作“已知”，先做第(2)问，跳一步解答。

策略三、逆向解答——逆水行舟，往往也能解决问题对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展。

顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证。

策略四、退步解答——以退为进，列出相关内容也能得分“以退求进”是一个重要的解题策略。

对于一个较一般的问题，如果你一时不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从参变量退到常量，从较强的结论退到较弱的结论。

总之，退到一个你能够解决的问题，通过对“特殊”的思考与解决，启发思维，达到对“一般”的解决。

高三数学教师高考总结又是一年一度的高考总结会，去年的这个时候，在会场下面，何xx老师悄悄地对我说：“明年这个时候，希望在台上发言的人是你啊!”我很荣幸地说，我们没有辜负何总的期望，今年高考我们数学取得了很好的成绩，理科全市第二，文科全市第三!这对于我们数学组来说具有非同寻常的意义，因为我们被压抑得太久了，我们盼这个结果盼得太久了。

曾几何时我们的数学失去了往日的优势，在大大小小的统考中我们被比较着，来自于其他学校的压力让我们无所适从，数学常常处于被动状态。

2015年高考数学压轴题拔高精选1、设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为() A ．]2,2[-B ．),2[+∞C ．),0[+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞【答案】B因为对任意()()2,x R f x f x x ∈-+=， =()()20f x f x x -+-= 所以，当时0x >，()()0g x f x x ''=-<为奇函数且在R 上存在导数，所以函数在R 上为减函数，()()()484f m f m m =----0≥所以，()()442g m g m m m m -≥⇒-≤⇒≥ 所以，实数m 的取值范围为),2[+∞ 故选B .2、设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x R ∈满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00||x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点，用Z 表示整数集，下列四个集合：①，④整数集Z ．其中以0为聚点的集合有()A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④【答案】B1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0的x ，∴0不是集合，对任意的a ，都存在实际上任意比a 小的数都可以)，使得0的数列，对于任意的0a >，存在0是集④对于某个1a <，比如0.5a =，此时对任意的x Z ∈，都有0不是整数集Z 的聚点． 综上可知B 正确.3、已知ABC ∆中，BC CA CA AB ∙=∙u u u r u u r u u r u u u r ，2BA BC +=uu r uu u r ，且2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则BC BA ∙u u u r u u r 的取值范围是 . 【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为BC CA CA AB ∙=∙u u u r u u r u u r u u u r，所以()()()..0CA BC AB BA BC BC BA -=-+=，即22BA BC =可得AB BC =，因为2BA BC +=uu r uu u r可得222.4BA BA BC BC ++=，设AB BC a ==，所以有222222cos 41cos a a B a B+=⇒=+，因为2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得11cos ,22B ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22cos 22.cos 22,1cos 1cos 3B BA BC a B B B ⎡⎤===-∈-⎢⎥++⎣⎦，故答案为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.4、已知定义在R 上的函数f (x )的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈， 使得()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称f (x )是回旋函数． 给出下列四个命题：①若f (x )为非零的常值函数，则其为回旋函数的充要条件是t ＝－1； ②若(01)x y a a =<<为回旋函数，则t ＞l ； ③函数2()f x x =不是回旋函数；④若f (x )是t ＝1的回旋函数，则f (x )在[0，2015]上至少有2015个零点． 其中为真命题的是_________(写出所有真命题的序号)． 【答案】①③④【解析】①利用回旋函数的定义即可．②若指数函数xy a =为阶数为t 回旋函数，根据定义求解，得矛盾结论．③利用回旋函数的定义，令x ＝0，则必须有a ＝0；令x ＝1，则有2310a a ++=，故可判断；．④由定义得到f (x ＋1)＝－f (x )，由零点存在定理得，在区间(x ，x ＋1)上必有一个零点令01232015x =，，，，，，即可得到． 对于①函数f (x )＝2为回旋函数，则由f (x ＋t )＋tf (x )＝0，得2＋2t ＝0，∴t ＝－1，故结论正确；对于②，若指数函数xy a =为阶数为t 回旋函数，则000x t x t a ta a t t ++=+=∴，，＜，∴结论不成立；对于③若220x a ax ++=（）对任意实数都成立，令x ＝0，则必须有a ＝0，令x ＝1，则有2310a a ++=，显然a ＝0不是这个方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故结论正确，对于④：若若f (x )是t ＝1的回旋函数，则f (x ＋1)＋f (x )＝0对任意的实数x 都成立，即有f (x ＋1)＝－f (x )，则f (x ＋1)与f (x )异号，由零点存在定理得，在区间(x ，x ＋1)上必有一个零点，可令01232015x =，，，，，，则函数f (x )在[0，1]上至少存在2015个零点．故结论正确故答案为：①③④．5、以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -.例如，当()()()()31212,sin x x x x x A x B ϕϕϕϕ==∈∈时，，.现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“(),,b R a D f a b ∀∈∃∈=”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()()()(),f x A g x B f x g x B ∈∈+∉，则 ④若函数()()()2ln 22,1xf x a x x a R x =++>-∈+有最大值，则()f x B ∈. 其中的真命题有_____________.(写出所有真命题的序号) 【答案】①③④【解析】(1)对于命题①“()f x A∈”即函数()f x 值域为R ，“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”表示的是函数可以在R 中任意取值，故有：设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A∈”的充要条件是“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”∴命题①是真命题；(2)对于命题②若函数()f x B ∈，即存在一个正数M ，使得函数()f x 的值域包含于区间[,]MM -．∴－M ≤()f x ≤M ．例如：函数()f x 满足－2＜()f x ＜5，则有－5≤()f x ≤5，此时，()f x 无最大值，无最小值．∴命题②“函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值．”是假命题；(3)对于命题③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x ∈A ，()g x ∈B ， 则()f x 值域为R ，()f x ∈(－∞，＋∞)，并且存在一个正数M ，使得－M ≤g (x )≤M ．∴()f x ＋()g x ∈R ．则()f x ＋()g x ∉B ．∴命题③是真命题．(4)对于命题④∵函数2()l n (2)1xf x a x x =+++(x ＞－2，a R ∈)有最大值，∴假设a ＞0，当x →+∞时，21xx +→0，ln(2)x +→+∞，∴ln(2)a x +→+∞，则()f x →+∞．与题意不符；假设a ＜0，当x →－2时，21x x +→25-，ln(2)x +→-∞，∴ln(2)a x +→+∞，则()f x →+∞．与题意不符．∴a ＝0．即函数()f x ＝21xx +(x ＞－2) 当x ＞0时，x ＋1x ≥2，∴101x x<+≤12，即0＜()f x ≤12；当x ＝0时，()f x ＝0； 当x ＜0时，x ＋1x ≤−2，∴−12≤11x x+＜0，即−12≤()f x ＜0． ∴−12≤()f x ≤12．即()f x B ∈．故命题④是真命题． 故答案为①③④．6、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2e =，其左右焦点分别为1F 、2F，12F F =设点11(,)M x y ，22(,)N x y 是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线的斜率之积14-．(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：2212x x +为定值，并求该定值． 【答案】(1)2214x y +=(2)略 【解析】(1)依题意，c =2e =2a =，2221b a c =-=， 则椭圆C 的方程为：2214x y +=； (2)由于121214y y x x ⨯=-，则12124x x y y =-，1222212216x x y y = 而221114x y +=，222214x y +=，则221114x y -=，222214x y -=， ∴22221212(1)(1)44x x y y --=，则22221212(4)(4)16x x y y --=，22221212(4)(4)x x x x --=，展开得22124x x +=为一定值.7、设F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与 x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知.||2||,8||MF PM MN ==且 (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A 、B 求证：AFM BFN ∠=∠； (3)求三角形ABF 面积的最大值.【答案】(1)2211612x y +=；(2)略；(3).33.【解析】(1)48||=∴=a MN122)(1210132)(2||2||22222=-==∴==⇒=+--=-=c a b c e c e e c a a c a MF PM 舍去或即得又 1121622=+∴y x 椭圆的标准方程为(2)当AB 的斜率为0时，显然.0=∠=∠BFN AFM 满足题意 当AB 的斜率不为0时，设),(),,(2211y x B y x A ，AB 方程为,8-=my x 代入椭圆方程整理得：014448)43(22=+-+my y m则431444348),43(1444)48(22122122+=⋅+=++⨯-=∆m y y m m y y m m 662222112211-+-=+++=+∴my y my y x y x y k k BF AF 0)6)(6()(62212121=--+-=my my y y y my.,0BFN AFM k k BF AF ∠=∠=+∴从而综上可知：恒有BFN AFM ∠=∠. (3)(理科)43472||||212212+-=-⋅=-=∆∆∆m m y y PF S S S PAFPBF ABF33163272416437216)4(34722222=⋅≤-+-=+--=m m m m当且仅当32841643222=-=-m m m 即(此时适合△＞0的条件)取得等号. ∴三角形ABF 面积的最大值是.338、已知函数()ln(1)m f x x x =+-(1)若函数()f x 为(0,)+∞上的单调函数，求实数m 的取值范围； (2)求证：2222111(1sin1)(1sin)(1sin )(1sin )23e n+++⋅⋅⋅+<． 【答案】 (1) m ≤1；(2)证明：见解析. 【解析】 (1)()ln(1),()11mf x m x x f x x'=+-∴=-+， ∵()f x 在()0,+∞上为单调函数，∴()0f x '≥恒成立，或()0f x '≤恒成立. 即11m x ≥+恒成立，或11mx≤+恒成立. ∵()0,,1x m x ∈+∞∴≥+不能恒成立. 而1＋x ＞1，∴m ≤1时f (x )为单调递减函数. 综上，m ≤1.(2)由(1)知，m ＝1时f (x )在()0,+∞上为减函数， ∴f (x )＜f (0)，即ln(1)x x +<，()0,x ∈+∞ ∵2211sin1,sin,sin02n>， ∴ln(1sin1)sin1+<，2211ln(1sin)sin 22+<2211ln(1sin)sin n n+<令()sin ,(0,)2g x x x x π=-∈，则()cos 10g x x '=-<，∴()g x 在(0,)2π为减函数，∴g (x )＜g (0)，.即sinx ＜x ，x ∈(0,)2π，∴22221111sin11,sin,,sin 22n n <<<. ∴2211ln(1sin1)ln(1sin)ln(1sin)2n++++++ 2211sin1sinsin2n <+++221112n <+++11111223(1)n n<++++⨯⨯-111111(1)()()2231n n =+-+-++--＝122n-< 即()2211ln 1sin11sin1sin 22n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∴()222111sin11sin 1sin 2e n ⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.9、已知椭圆M 的两个焦点分别为在椭圆M 上．(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；(Ⅱ)在椭圆M 落在第一象限的图象上任取一点作M 的切线l ，求l 与坐标轴围成的三角形的面积的最小 值；(Ⅲ)设椭圆M 的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆M 上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，若C 点满足C AB ⊥B ，D//C A O ，连结C A 交D E 于点P ，求证：D P =PE ．【答案】(Ⅰ(Ⅱ)2；(Ⅲ)见解析 【解析】(Ⅰ)解：由题意设椭圆M 的标准方程为(0a b >>)在椭圆M 上解得：2a = ∴椭圆M 的标准方程为(Ⅱ)解：∵在椭圆M 落在第一象限的图象上任取一点作M 的切线l ∴直线l 的斜率必存在且为负 设直线l 的方程为y kx m =+(0k <)，消去y ，整理得：根据题意可得方程③只有一实根 整理得：2241m k =+④∵直线l 与两坐标轴的交点分别为，()0,m且0k < ∴l 与坐标轴围成的三角形的面积) (Ⅲ)证明：由(Ⅰ)得：()2,0A -，()2,0B 设()00D ,x y ，则()0,0x E ∵C AB ⊥B∴可设()1C 2,y∴()00D 2,x y A =+，()1C 2,y O = 由D//C A O 得：()01022x y y += ∴直线C A 的方程为∵点P 在D E 上∴令0x x =代入直线C A 的方程得：即点P 的坐标为∴P 为D E 的中点 ∴D P =PE10、设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时，求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【答案】 (Ⅰ) 函数()f x 的递减区间为()0,ln 2，递增区间为(),0-∞，()ln 2,+∞. (Ⅱ) 最大值()31kM k e k =--.【解析】(Ⅰ) 当1k =时，()()21x f x x e x =--，()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=，得10x =，2ln 2x = 当x 变化时，()(),f x f x '的变化如下表:右表可知，函数()f x 的递减区间为()0,ln 2，递增区间为(),0-∞，()ln 2,+∞.(Ⅱ) ()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-，令()0f x '=，得10x =，()2ln 2x k =，令()()ln 2g k k k =-，则()1110k g k k k -'=-=>，所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增， 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<，从而()ln 2k k <，所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时，()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时，()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---令()()311k h k k e k =--+，则()()3k h k k e k '=-，令()3kk e k ϕ=-，则()330k k e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减，而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=，且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0k ϕ>，当()0,1k x ∈时，()0k ϕ<，所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()10h =，所以()0h k ≥在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，当且仅当1k =时取得“=”.综上，函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.。

专题47 抛物线过焦点的弦【方法点拨】设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，α为弦AB 的倾斜角，则：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p1＋cos α (其中点A 在x 轴上侧，点B 在x 轴下侧) .(3)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α.(4)1|AF |＋1|BF |＝2p. (5)以弦AB 为直径的圆与准线相切．【典型题示例】例 1 已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点F 到其准线的距离为4，圆()12:22=+-y x M ，过F 的直线l 与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于A ，P ，Q ，B四点，则BQ AP 4+的最小值为 . 【答案】13【分析】易知4p =，圆心(2,0)M 即为焦点F ，故445AP BQ AF BF +=+-，再利用抛物线的定义，进一步转化为445A B AP BQ x x +=++，利用4A B x x =、基本不等式即可. 【解析】易知4p =，圆心(2,0)M 即为焦点F所以()()414145AP BQ AF BF AF BF +=-+-=+- 根据抛物线的定义22A A p AF x x =+=+，22B B pBF x x =+=+ 所以()()4242545A B A B AP BQ x x x x +=+++-=++又244A B p x x ==所以445513A B AP BQ x x +=++≥=，当且仅当4A B x x =，即41A Bx x =⎧⎨=⎩时等号成立，此时直线l的方程是y =-所以BQ AP 4+的最小值为13.例2 已知斜率为k 的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的准线上一点M （－1，－1）满足MA ·MB ＝0，则｜AB ｜＝ （ ） A． B． C ．5 D ．6 【答案】C【分析】将MA ·MB ＝0直接代入坐标形式，列出关于A ，B 中点坐标的方程，再利用斜率布列一方程，得到关于A ，B 中点坐标的方程组即可.这里需要说明的是，MA ·MB ＝0转化的方法较多，如利用斜边中线等于斜边一半等，但均不如上法简单. 【解析】易知p =2设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2=1，y 1y 2=－4，11(1,1)MA x y =++，22(1,1)MB x y =++ ∵MA ·MB ＝0∴1212(1)(1)(1)(1)0x x y y +++++=，化简得12121x x y y +++= 设A 、B 中点坐标为（x 0，y 0），则0012x y += ① 又由直线的斜率公式得121222*********44AB y y y y k k y y x x y y y --=====-+-，001y k x =- ∴00021y y x =-，即2002(1)y x =- ② 由①、②解得032x =∴12025AB x x p x p =++=+=，答案选C. 点评：本题的命题的原点是阿基米德三角形，即从圆锥曲线准线上一点向圆锥曲线引切线，则两个切点与该点所构成的三角形是以该点为直角顶点的直角三角形.以此为切入点解决此题，方法则更简洁.例3 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4 B.92C.5D.6【答案】B【解析】 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ， 所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92. 例4 已知抛物线的焦点为F .过点的直线与抛物线分别交于两点，则的最小值为 . 【答案】13【解析】设由抛物线的定义，知，. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则. 当直线的斜率存在时，直线的方程可设为.联立得方程组，整理，得.由根与系数的关系可得.所以 (当且仅当时等号成立).所以的最小值为13.例5 阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家.他研究抛物线的求积法，得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的抛物线的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，即，以点为切点的抛物线的切线相交于点.给出以下结论，其中正确的有__________(填序号).2:4C y x =()2,0l A B ,4AF BF +1122,,()()A x y B x y ，11AF x =+21BF x =+l l 2x =434315AF BF +=+⨯=l l ()2(0)y k x k =-≠()224y xy k x ⎧⎪⎨=+=-⎪⎩()22224440k x k k -+=+124x x =()124141AF BF x x +=+++1245x x =++513≥=1244x x ==4AF BF +PAB ()220x py p =>()()1122,, ,A x y B x y ,A B ,PA PB P①点的坐标是； ②的边所在的直线方程为； ③的面积为；④的边上的中线与轴平行(或重合). 【答案】①②④【解析】由题意，点处的切线方程为，点处的切线方程为.联立这两个方程并消去，得.将代入点处的切线方程，得，所以点的坐标为，故①④正确.设直线的斜率为，则，故直线的方程为.化简，得，故②正确.由①②可得点到直线的距离，，故，故③错误.因此正确的是①②④.例6 已知F 是抛物线24y x =的焦点，A ，B 在抛物线上，且ABF ∆的重心坐标为P 1212,22x x x x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭PAB AB ()121220x x x py x x +--=PAB ()2128PABx x Sp-=PAB AB y A ()21112x x y x x p p-=-B ()22222x x y x x p p -=-y 122x x x +=122x x x +=A 21112121222x x x x x xy x p p p +⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭P 1212,22x x x x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭AB AB k 222121122121222ABx x y y x x p p k x x x x p--+===--AB ()2112122x x x y x x p p+-=-()121220x x x py x x +--=P AB d =2x x -12AB x x -=12x x -121122PABS AB d x x ∆=⋅=-32128x x x x p--=11(,)23，则FA FB AB-=____．【解析】设点A (),A A x y ,B (),B B x y ,焦点F(1,0), 因为ABF ∆的重心坐标为11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭, 由重心坐标公式可得1132A B x x ++=,0133A B y y ++=， 即1=2A B x x +，=1A B y y + ， 由抛物线的定义可得()22=114A BA B A B y y FA FB x x x x --+-+=-=, 由点在抛物线上可得22=4=4A A B By x y x ⎧⎨⎩，作差2244A B A B y y x x -=-，化简得4=4+A B AB A B A By y k x x y y -==-，代入弦长公式得--A B A B y y y y ，则FA FB AB-=【巩固训练】1.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.942.（多选题）已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是( ) A.抛物线C 的准线方程为y ＝－1 B.线段PQ 的长度最小为4 C.点M 的坐标可能为(3，2) D.OP →·OQ →＝－3恒成立3.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为P ，Q .若|AF |＝3|BF |，则|PQ |＝________.4.已知抛物线C 的焦点为F ，过F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若112AF BF+=，则符合条件的抛物线C 的一个方程为__________．5.过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12AB AF BF =<则AF = .6.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =______.7．直线l 过抛物线C ：y 2＝12x 的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，若弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于________．8．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于________．【答案或提示】1.【答案】D【解析一】 由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6. 因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.【解析二】 由2p ＝3，及|AB |＝2p sin 2α得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12. 原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94.2.【答案】 BCD【解析】因为焦点F 到准线的距离为2，所以抛物线C 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1，A 错误.当线段PQ 垂直于x 轴时长度最小，此时|PQ |＝4，B 正确.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x ＝my ＋1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1.消去x 并整理，得y 2－4my －4＝0，Δ＝16m 2＋16>0，则y 1＋y 2＝4m ，所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2，所以M (2m 2＋1，2m ).当m ＝1时，可得M (3，2)，C 正确.可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝1，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3，D 正确.故选BCD.3.【答案】 833【解析】F (1，0)，不妨设A 在第一象限，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＝3|BF |得y 1＝－3y 2①设l AB ：y ＝k (x －1)与抛物线方程联立得 ky 2－4y －4k ＝0，y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝－4，②结合①②解得y 2＝－233，|PQ |＝|y 1－y 2|＝|－3y 2－y 2|＝－4y 2＝833.4.【答案】满足焦准距为1即可，如22y x =. 【解析】由公式112AF BF p +=得22p=，解得1p =，满足焦准距为1即可，如22y x =等. 5.【答案】65【解析一】设AF =m ，BF =n ，则有25121121mnm n Pp ，解得65=m 或45m =(舍).【解析二】抛物线22y x =的焦点坐标为)0,21(，准线方程为21-=x 设A ，B 的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，则414221==p x x 设n BF m AF ==,，则21,2121-=-=n x m x 所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=--122541)21)(21(n m n m ，解得65=m 或45=n ，所以65=AF . 6.【答案】32【解析】直接由112n m p+=立得（其中m ，n 是焦点弦被焦点所分得的两线段长，p 就是焦准距）. 7.【答案】π3或2π3【解析】因为p ＝6，则|AB |＝2p sin 2α＝12sin 2α＝16， ∴sin 2α＝34，则sin α＝32.∴α＝π3或2π3.8.【答案】92【解析】因为|AF |＝2|BF |，1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92.。

12015年高考理科数学全国卷I 压轴题解法赏析题目 已知函数31(),()ln 4f x x ax g x x =++=-．(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线； （II ）用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数{}()min (),()(0)h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数.本题主要考查了导数的综合应用，其中利用导数研究已知函数的图像与性质是解决此类问题的突破口，而常用方法是分类讨论与分离变量，本题虽然形式上引入了符号{}min ,m n ，但解题的思路方法仍然不变．第(Ⅰ)题利用导数性质容易得出34a =-，下面本文给出第（II ）题的两种不同解法．解法一（分类讨论，研究()h x 的图像性质）： 由()ln 0g x x =-=得1x =，即()g x 在(0,)+∞上有且只有1个零点．又2()3(0)f x x a x '=+>，注意到1(0)04f =>． 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上是增函数，如图1，()h x 在(0,)+∞上只有1个零点．当0a <时，令()0f x '=，得x =，于是()f x在上是减函数，在)+∞是增函数，min1()4f x f ==．当0f >即304a -<<时，102<<，如图2，()h x 在(0,)+∞上只有1个零点．当0f =即34a =-时，12=，如图3，2()h x 在(0,)+∞上有2个零点．当0f <即34a <-时，5(1)4f a =+．若(1)0f >，即5344a -<<-时，1012<<<，如图4，()h x 在(0,)+∞上有3个零点．若(1)0f =，即54a =-1=<，如图5，()h x 在(0,)+∞上有2个零点．若(1)0f <，即54a <->，如图6，()h x 在(0,)+∞上有1个零点．综上所述，当54a <-或34a >-时，()h x 在(0,)+∞上有1个零点；当54a =-或34a =-时，()h x 在(0,)+∞上有2个零点；当5344a -<<-时，()h x 在(0,)+∞上有3个零点．解法二（分离变量，讨论()f x 的零点分布）：注意到(1)ln10g =-=，即()g x 在(0,)+∞上有且只有1个零点．下面研究()f x 在(0,)+∞上零点的个数，进而得到()h x 在(0,)+∞上零点的个数．由31()04f x x ax =++=得21,04a x x x =-->．令21(),04x x x xϕ=-->，则 3281(),04x x x xϕ-+'=> 由()0x ϕ'=，得12x =，令()0x ϕ'>，得102x <<，令()0x ϕ'<，得12x >，故max 13()()24x ϕϕ==-，又0x →+或x()x3x →+∞时，()x ϕ→-∞，因此()x ϕ的图像如图7，注意到5(1)4ϕ=-．当34a >-时，()f x 无零点，而5(1)04f a =+>，(1)0g =，故{}(1)min (1),(1)(1)0h f g g ===，()h x 在(0,)+∞上有1个零点．当34a =-时，()f x 有1个零点12， 1()02f =，11()ln 022g =->，故1111()min (),()()02222h f g f ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭．又5(1)04f a =+>，(1)0g =，故{}(1)min (1),(1)(1)0h f g g ===，所以()h x 在(0,)+∞上有2个零点．当5344a -<<-时，()f x 有2个零点，设为1x ，2x ，则12110,122x x <<<<，12()()0f x f x ==，12()0,()0g x g x >>，故{}1111()min (),()()0h x f x g x f x ===，{}2222()min (),()()0h x f x g x f x ===．又5(1)04f a =+>，(1)0g =，故{}(1)min (1),(1)(1)0h f g g ===，所以()h x 在(0,)+∞上有3个零点．当54a =-时，()f x 有2个零点，一个为1，，另一个设为3x ，3102x <<，3(1)()0f f x ==，3()0g x >，(1)0g =，故{}3333()min (),()()0h x f x g x f x ===，{}(1)min (1),(1)0h f g ==，所以()h x 在(0,)+∞上有2个零点．当54a <-时，()f x 有2个零点，分别设为45,x x ，不妨设4501,1x x <<>，45()()0f x f x ==，5(1)04f a =+<，4()0g x >，5()0g x <，(1)0g =，故{}4444()min (),()()0h x f x g x f x ===，{}5555()min (),()()0h x f x g x g x ==<，{}(1)min (1),(1)(1)0h f g f ==<，所以()h x 在(0,)+∞上有1个零点．综上所述（同上）．点评：以上两种解法都引入了数形结合的思想，通过研究函数的性质画出函数图像，又根据函数图像探究函数性质（零点个数），“数”的推理严谨，“形”的呈现直观，“数”与“形”交相辉映，相得益彰．。

高考数学函数压轴题：1. 已知函数 f (x)1 x 3 ax b(a, b R) 在 x2 处取得的极小值是4 . 33(1) 求 f (x) 的单调递增区间；(2) 若 x[ 4,3] 时，有 f ( x) m 2m10恒成立，求实数m 的取值范围 .32. 某造船公司年最高造船量是20 艘 . 已知造船 x 艘的产值函数 R (x)=3700x + 45x2– 10x 3( 单位：万元 ), 成本函数为 C (x) = 460x + 5000 ( 单位：万元 ). 又在经济学中，函数 f(x) 的边际函数 Mf (x) 定义为 : Mf (x) = f (x+1)– f(x). 求 : （提示：利润 = 产值 – 成本）(1) 利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x);(2) 年造船量安排多少艘时 , 可使公司造船的年利润最大 ?(3)边际利润函数 MP(x) 的单调递减区间 , 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？3. 已知函数(x) 5x 25x 1 ( x R) ，函数 yf ( x) 的图象与 (x) 的图象关于点 (0, 1) 中心对称。

2（ 1）求函数 yf ( x) 的解析式；（ 2）如果( )( ) ， ，试求出使( ) 0 成 g 1 xf xg n (x) f [ g n 1 ( x)]( n N ,n 2) g 2 x立的 x 取值范围；（ 3）是否存在区间E ，使 Ex f ( x) 0对于区间内的任意实数x ，只要 nN ，且 n2 时，都有g n (x) 0 恒成立？4．已知函数： f ( x)x 1 a(a R 且 x a)a x（Ⅰ）证明： f(x)+2+f(2a－ x)=0 对定义域内的所有x 都成立 .（Ⅱ）当 f(x) 的定义域为 [a+1,a+1] 时，求证： f(x) 的值域为 [ － 3，－ 2] ；2（Ⅲ）设函数 g(x)=x 2+|(x － a)f(x)| , 求 g(x) 的最小值 .5. 设 f (x) 是定义在 [0,1] 上的函数，若存在 x *(0,1) ，使得 f ( x) 在 [0, x * ] 上单调递增，在 [ x * ,1] 上单调递减，则称 f ( x)为 [0,1] 上的单峰函数， x *为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.对任意的 [0,1] 上的单峰函数f ( x) ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法 .（ 1）证明：对任意的 x 1 ,x 2 (0,1) ， x 1 x 2 ，若 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ，则 (0, x 2 ) 为含峰区间；若 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ，则 ( x 1 ,1)为含峰区间；（ 2）对给定的 r ( 0 r 0.5) ，证明：存在x 1 , x 2 (0,1) ，满足 x 2 x 1 2r ，使得由（ 1）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5 r ；6. 设关于x的方程2x2ax 20 的两根分别为、，函数 f (x) 4 x ax 21（ 1）证明f ( x)在区间,上是增函数；（ 2）当a为何值时， f (x) 在区间, 上的最大值与最小值之差最小7.甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数 f x x 8 ， g x x 12 ，及任意的x 0，当甲公司投入 x 万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于 f x 万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入 x 万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于g x 万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险.设甲公司投入宣传费 x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：(1)请解释 f 0 , g 0 ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？(3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的宣传费：若甲先投入a112 万元，乙在上述策略下，投入最少费用b1；而甲根据乙的情况，调整宣传费为a2；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为b2 , , 如此得当甲调整宣传费为a n时，乙调整宣传费为b n；试问是否存在lima n，lim b n的值，若存在写出此极限值（不必证明），若不存在，说明理由.n n8.设 f ( x)是定义域在[1, 1] 上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.（ l ）求证 f (x)在[1,1] 上是减函数；（ ll ）如果 f ( x c) ， f ( x c2 ) 的定义域的交集为空集，求实数 c 的取值范围；（ lll）证明若 1 c 2 ，则 f ( x c) ， f ( x c2 ) 存在公共的定义域，并求这个公共的空义域.9.已知函数 f （ x）＝ ax2＋bx＋ c，其中 a∈ N*，b∈ N， c∈Z。

2015高考数学压轴题 2015高考数学压轴题1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分） 由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，()()222122112114222a MF MF =+=+++-+=+ ()222222212123222221322222a a b a c x y ∴=+∴=+=+∴=-=+∴+=++ 椭圆方程为： ………………………………（4分） 对于双曲线，122222a MF MF '=-=-222222213222221322222a a b c a x y '∴=-'∴=-'''∴=-=-∴-=-- 双曲线方程为： ………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分） ()()22111111322312322DC AP x y x CH a x a ∴==-++=-=-+。

专题02“三招五法”轻松破解含参零点问题一．方法综述函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想方法，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度，往往出现在压轴题的位置.正因为如此，根据函数的零点情况，讨论参数的范围成为高考的难点．对于此类题目，我们常利用零点存在定理、函数的性质，特别是函数单调性（可借助于导数）探寻解题思路，或利用数形结合思想、分离参数方法来求解．具体的，（1）分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值；（2）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（3）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二．解题策略类型一“第一招”带参讨论【例1】【湖南省澧县一中2018届一轮第一次检测】已知函数f(x)=,如果函数f（x）恰有两个零点，那么实数m的取值范围为_____．【答案】【解析】分析：根据与-2，0和4的大小关系逐一判断的零点个数即可得出结论．若，则在上有2个零点0，在上无零点，符合题意；∴或．故答案为：．【指点迷津】1.根据题设要求研究函数的性质，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；2.由于函数含有参数，通常需要合理地对参数的取值进行分类讨论，并逐一求解．【举一反三】【江苏省扬州中学2019届高三10月月考】已知定义在上的函数可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，设若方程无实根，则实数的取值范围是_________【答案】【解析】∴p（t）=t2+2mt+m2﹣m+1．p（p（t））=[p（t）]2+2mp（t）+m2﹣m+1，若p（p（t））=0无实根，即[p（t）]2+2mp（t）+m2﹣m+1①无实根，方程①的判别式△=4m2﹣4（m2﹣m+1）=4（m﹣1）．1°当方程①的判别式△＜0，即m＜1时，方程①无实根．2°当方程①的判别式△≥0，即m≥1时，方程①有两个实根，即②，只要方程②无实根，故其判别式，即得③，且④，∵m≥1，③恒成立，由④解得m＜2，∴③④同时成立得1≤m＜2．综上，m的取值范围为m＜2．类型二“第二招”数形结合【例2】【2018年天津卷理】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.【答案】【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.【指点迷津】1.由两个基本初等函数组合而得的超越函数f(x)＝g(x)－h(x)的零点个数，等价于方程g(x)－h(x)＝0的解的个数，亦即g(x)＝h(x)的解的个数，进而转化为基本初等函数y＝g(x)与y＝h(x)的图象的交点个数．2.先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题．交点的横坐标即零点.【举一反三】【2019届同步单元双基双测AB卷】已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为____．【答案】.【解析】分析：求出函数|f（x）﹣3x的解析式，画出函数的图象，利用函数的极值，转化求解即可．当x＜0时，≥6，当且仅当x=﹣1时取等号，此时﹣b＞6，可得b＜﹣6；当0≤x≤4时，x﹣x2≤，当x=时取得最大值，满足条件的b∈（﹣，0]．综上，范围是.故答案为：.类型三“第三招”分离参数【例3】【广东省惠州市2019届10月调研】已知函数是定义在上的偶函数，且，若函数有6 个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数f（x）是定义在R上的偶函数，函数F（x）=f（x）﹣m有六个零点，则当x≥0时，函数F（x）=f（x）﹣m有三个零点，令F（x）=f（x）﹣m=0，即m=f（x），②当x≥2时，f（x）=＜0，且当x→+∞，f（x）→0，∵f′（x）=，令f′（x）==0，解得x=3，当2≤x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x≥3时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，∴f（x）min=f（3）=﹣，故f（x）在[2，+∞）上的值域为[﹣，0），∵﹣＞﹣2，∴当﹣＜m ＜0时，当x ≥0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点，故当﹣＜m ＜0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点， 故选D. 【指点迷津】1.分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域（最值）问题加以解决；2.通过将原函数中的变参量进行分离后变形成g(x)＝l(a)，则原函数的零点问题化归为与x 轴平行的直线y ＝l(a)和函数g(x)的图象的交点问题．【举一反三】【2015年天津卷理】已知函数()()22,2,{2,2,x x f x x x -≤=->函数()()2g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ． 7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ． 7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ． 70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D类型四“三招五法”一题多解【例4】【2014年全国卷Ⅰ】已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为( )A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)【答案】B【解析】法一单调性法：利用函数的单调性求解由已知得，a≠0，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2a.当a>0时，x∈(－∞，0)，f′(x)>0；x∈（0，2a ），f′(x)<0；x∈（2a，＋∞），f′(x)>0.所以函数f(x)在(－∞，0)和2a ，＋∞上单调递增，在（0，2a）上单调递减，且f(0)＝1>0，故f(x)有小于零的零点，不符合题意．当a<0时，x∈（－∞，2a ），f′(x)<0；x∈（2a，0），f′(x)>0；x∈(0，＋∞)，f′(x)<0.所以函数f(x)在（－∞，2a ）和(0，＋∞)上单调递减，在（2a，0）上单调递增，所以要使f(x)有唯一的零点x0且x0>0，只需f（2a）>0，即a2>4，解得a<－2.法三 数形结合法：转化为两曲线的交点问题求解令f (x )＝0，得ax 3＝3x 2－1.问题转化为g (x )＝ax 3的图象与h (x )＝3x 2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．当a ＝0时，函数g (x )的图象与h (x )的图象存在两个的交点； 当a >0时，如图(1)所示，不合题意；当a <0时，由图(2)知，可先求出函数g (x )＝ax 3与h (x )＝3x 2－1的图象有公切线时a 的值．由g ′(x )＝h ′(x )，g (x )＝h (x )，得a ＝－2.由图形可知当a <－2时，满足题意．法四 分离参数法：参变分离，化繁为简.易知x ≠0，令f (x )＝0，则331a x x ＝－，记331()g x x x＝－，2'234333(1)()x g x x x x --=-+=，可知g (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g (－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y ＝a ，结合图象，可知a <－2.【指点迷津】1.本题的实质是函数f (x )存在唯一的零点x 0∈(0，＋∞)，因此可利用其代数特征转化为方程有唯一的正根来构思解析，也可以从零点本身的几何特征入手，将其转化为曲线的交点问题来突破，还可以利用选项的唯一性选取特例求解．2. 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.【举一反三】【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C 【解析】方法一：函数的零点满足()2112x x x x a e e --+-=-+， 设()11x x g x ee--+=+，则()()211111111x x x x x x e g x eeee e ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数取得最小值()12g =，设()22h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，方法二：由函数f (x )有零点，得211(2)0x x x x a ee －－＋－＋＋＝有解，即211()(110)x x x a e e －－＋－－＋＋＝有解，令1t x ＝－，则上式可化为2(10)ttt a e e －－＋＋＝，即21t tt a e e--+＝. 令21t tt e e--+h(t)＝，易得h (t )为偶函数， 又由f (x )有唯一零点得函数h (t )的图象与直线y ＝a 有唯一交点，则此交点的横坐标为0， 所以10122a -＝＝，故选C. 方法三：由()112()02.x x f x a ee x x ⇔－－＋＝＋＝－＋111122x x x x e e e e ≥⋅－－＋－－＋＋＝，当且仅当1x =时取“＝”． 2221)11(x x x ≤－＋＝－－＋，当且仅当1x =时取“＝”．若a >0，则112()x x a ee a ≥－－＋＋，要使f (x )有唯一零点，则必有21a ＝，即12a ＝. 若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，12a ＝. 三．强化训练1．【2018年新课标I 卷理】已知函数 ．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）【答案】C【解析】2.【安徽省肥东县高级中学2019届8月调研】已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】若函数有两个零点，则函数的图象与有且仅有两个交点，在同一坐标系内画出函数的图象与的图象如下：3.【黑龙江省2018年仿真模拟（十）】已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】绘制函数的图象如图所示，令，由题意可知，方程在区间上有两个不同的实数根，令，由题意可知：，据此可得：.即的取值范围是.本题选择D选项.4．【2019届同步单元双基双测AB卷】函数的定义域为实数集,,对于任意的都有,若在区间函数恰有三个不同的零点, 则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，由K AC=﹣，K BC=﹣，结合图象得：m∈，故选：5.【安徽省肥东县高级中学2019届8月调研】定义在上的函数，满足，且当时，，若函数在上有零点，则实数的a取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为当时，，所以时，所以，此时，故．所以在上的图象如图，要使函数在上有零点，只要直线与的图象有交点，由图象可得，所以使函数在上有零点，则实数的取值范围是．故选：B．6.【安徽省皖中名校联盟2019届10月联考】设函数若互不相等的实数满足则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】不妨设，的图像如图所示，7.【安徽省六安市舒城中学2018届仿真（三）】函数，关于方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，即则大致图象如图所示设，①当有一个根为时，，解得，此时另一个根为，满足条件②根不是时，则满足即综上所述，故实数的取值范围为故选8.【四川省双流中学2018届一模】对于函数和，设，若所有的，都有，则称和互为“零点相邻函数”.与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】9．【2018年浙江卷】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4)【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.10.【安徽省定远重点中学2019届第一次月考】函数，定义函数，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数有4个零点．其中正确命题的序号为________________________ ．【答案】②③④【解析】∴F(m)−F(n)<0成立．故③正确对于④，由于，且函数，∴当x>0时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴当x>0时，F(x)的最小值为F(1)=1，∴当x>0时，函数F(x)的图象与y=2有2个交点，又函数F(x)是偶函数，∴当x<0时，函数F(x)的图象与y=2也有2个交点，画出图象如下图：********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********故当a>0时，函数y=F(x)−2有4个零点．所以④正确．综上可得②③④正确．灿若寒星。

2015年海南省高考数学压轴试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合M＝{1，2，﹣3m+（m﹣3）i}（其中i为虚数单位），N＝{﹣9，3}，且M∩N≠∅，则实数m的值为（）A．3B．1C．2D．﹣92．（5分）正弦曲线y＝sin x在点（，）的切线方程是（）A．x+2y﹣+＝0B．x﹣2y+﹣＝0C．x﹣2y+﹣π＝0D．x+2y﹣+π＝03．（5分）若向量＝（2，x+1），＝（x+2，6），又，的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（）A．{x|x＞﹣且x≠2}B．{x|x＞﹣}C．{x|x＜﹣且x≠﹣5}D．{x|x＜﹣}4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，则其渐进线方程为（）A．y＝x B．y＝±x C．y＝﹣x D．y＝±2x 5．（5分）如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（）A．4B．C．2D．26．（5分）已知α，β表示平面，m，n表示直线，给出下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β．其中错误的命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（5分）已知直线x+y﹣a＝0与圆x2+y2＝2交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足条件|+|＝|﹣|，则实数a的值为（）A．B．﹣C．±D．±18．（5分）现有下列命题，其中正确的命题的序号为（）①命题“∃x∈R，x2+x+1＝0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≠0”；②若A＝{x|x＞0}，B＝{x|x≤﹣1}，则A∩（∁R B）＝A；③直线（m+2）x+3my+1＝0与（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0互相垂直的条件为m＝﹣2；④如果抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a＝﹣．A．②④B．①②C．③④D．②③9．（5分）已知递增数列{a n}各项均是正整数，且满足a＝3n，则a5的值为（）A．2B．6C．8D．910．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），给出以下四个论断：①它的图象关于直线x＝对称；②它的图象关于点（，0）对称；③它的周期是π；④在区间[﹣，0）上是增函数．以其中的两个论断为条件，余下的论断作为结论，则下列命题正确的是（）A．①③⇒②④或②③⇒①④B．①③⇒②④C．②③⇒①④D．①④⇒②③11．（5分）江苏舜天足球俱乐部为救助在“3.10云南盈江地震”中失学的儿童，准备在江苏省五台山体育场举行多场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价分别为3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x是门票的总收入，经预算扣除其它各项开支后，该俱乐部的纯收入函数模型为y＝lg2x，则当这三种门票的张数分别为（）万张时，可以为失学儿童募捐的纯收入最大．A．1、0.6、0.8B．0.6、0.8、1C．0.6、1、0.8D．0.6、0.6、0.812．（5分）“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），解关于x的不等式cx2+bx+a＞0．”给出如下的一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），得，a（）2+b（）+c＞0的解集为（，1），即关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集为（，1）．参考上述解法：若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），则关于x的不等式﹣＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣）∪（，1）C．（﹣∞，﹣）∪（，1）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）二、（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是．14．（5分）已知Ω是不等式组表示的平面区域，A是不等式组表示的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为．15．（5分）抛物线y2＝x与直线x﹣2y﹣3＝0所围成的封闭图形的面积为．16．（5分）下列数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字2010共出现次．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）2011年3月11日，日本发生了9.0级大地震，同时导致了福岛核电站的泄露事件，给环境带来的一定的污染，也给世界各国的人们对环境的保护敲响了警钟．根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如表：某环境部门对一城市一年（365天）的空气质量进行检测，获得的API数据按照区间[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]，（200，250]，（250，300]进行分组，得到频率分布直方图如下图：（1）求直方图中x的值；（2）计算一年中空气质量为良和轻微污染的总天数；（3）求该城市一年中每天空气质量不为良且不为轻微污染的概率．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，，点F是PD的中点，点E在CD上移动．（1）求三棱锥E﹣P AB体积；（2）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面P AC的关系，并说明理由；（3）求证：PE⊥AF．19．（12分）设椭圆的上顶点为A，椭圆C上两点P，Q在x轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2，直线PQ的斜率为，过点A 且与AF1垂直的直线与x轴交于点B，△AF1B的外接圆为圆M．（1）求椭圆的离心率；（2）直线与圆M相交于E，F两点，且，求椭圆方程；（3）设点N（0，3）在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C的短轴长的取值范围．20．（12分）已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差d不等于0，设a1，a3，a k是公比为q的等比数列{b n}的前三项，（1）若k＝7，a1＝2；（i）求数列{a n b n}的前n项和T n；（ii）将数列{a n}和{b n}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n}，设其前n项和为S n，求的值（2）若存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，a k，a m成等比数列，求证k为奇数．21．（12分）设函数f（x）＝a2x2（a＞0），g（x）＝blnx．（1）若函数y＝f（x）图象上的点到直线x﹣y﹣3＝0距离的最小值为，求a 的值；（2）关于x的不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y＝kx+m为函数f（x）与g （x）的“分界线”．设，b＝e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．一、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF•EC．（Ⅰ）求证：∠P＝∠EDF；（Ⅱ）求证：CE•EB＝EF•EP．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ＝（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）＝．（1）当a＝﹣5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．2015年海南省高考数学压轴试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合M＝{1，2，﹣3m+（m﹣3）i}（其中i为虚数单位），N＝{﹣9，3}，且M∩N≠∅，则实数m的值为（）A．3B．1C．2D．﹣9【解答】解：∵M＝{1，2，﹣3m+（m﹣3）i}（其中i为虚数单位），N＝{﹣9，3}，且M∩N≠∅，∴M中的复数必须为实数，即m﹣3＝0，解得：m＝3．故选：A．2．（5分）正弦曲线y＝sin x在点（，）的切线方程是（）A．x+2y﹣+＝0B．x﹣2y+﹣＝0C．x﹣2y+﹣π＝0D．x+2y﹣+π＝0【解答】解：y＝sin x的导数为y′＝cos x，正弦曲线y＝sin x在点（，）的切线斜率为k＝cos＝，即有切线方程为y﹣＝（x﹣），即为x﹣2y+﹣＝0．故选：B．3．（5分）若向量＝（2，x+1），＝（x+2，6），又，的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（）A．{x|x＞﹣且x≠2}B．{x|x＞﹣}C．{x|x＜﹣且x≠﹣5}D．{x|x＜﹣}【解答】解：因为向量＝（2，x+1），＝（x+2，6），又，的夹角为锐角，所以＝2（x+2）+6（x+1）＝8x+10＞0，得到x＞，又不共线，所以2×6﹣（x+1）（x+2）≠0，则x≠﹣5且x≠2，所以实数x的取值范围为{x|x＞﹣且x≠2}；故选：A．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，则其渐进线方程为（）A．y＝x B．y＝±x C．y＝﹣x D．y＝±2x【解答】解：因为e＝，所以，而焦点在y轴上的双曲线的渐进线方程为：y＝，所以该双曲线的渐进线方程为：y＝±x．故选：B．5．（5分）如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（）A．4B．C．2D．2【解答】解：左视图为矩形，如图，故其面积为故选C．6．（5分）已知α，β表示平面，m，n表示直线，给出下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β．其中错误的命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或为异面直线，因此不正确；②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n或相交或异面，因此不正确；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，根据线面垂直、面面平行的判定定理可知：α∥β，正确；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β或α∥β，因此不正确．综上只有③是正确的，故选：C．7．（5分）已知直线x+y﹣a＝0与圆x2+y2＝2交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足条件|+|＝|﹣|，则实数a的值为（）A．B．﹣C．±D．±1【解答】解：由|+|＝|﹣|，两边平方，得•＝0，所以∠AOB＝90°，则△AOB为等腰直角三角形，而圆x2+y2＝2的半径AO＝，则原点O到直线的x+y﹣a＝0的距离为1，所以＝1，即a的值为或﹣．故选：C．8．（5分）现有下列命题，其中正确的命题的序号为（）①命题“∃x∈R，x2+x+1＝0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≠0”；②若A＝{x|x＞0}，B＝{x|x≤﹣1}，则A∩（∁R B）＝A；③直线（m+2）x+3my+1＝0与（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0互相垂直的条件为m＝﹣2；④如果抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a＝﹣．A．②④B．①②C．③④D．②③【解答】解：对于①命题的否定为：“∀x∈R，x2+x+1≠0”；所以①不正确；对于②A∩（∁R B）＝{x|x＞0}＝A；所以②正确；对于③由（m+2）（m﹣2）﹣3m（m+2）＝0，得m＝﹣2或；所以③不正确；对于④抛物线的标准方程为x2＝﹣2（）y，由准线方程为：y＝1，可得，即a＝﹣．所以④正确；故选：A．9．（5分）已知递增数列{a n}各项均是正整数，且满足a＝3n，则a5的值为（）A．2B．6C．8D．9【解答】解：∵a＝3n，∴a＝3×1＝3，若a 1＝1，则a＝a1＝1，与a＝3×1＝3矛盾，若a 1≥3，则a≥a3，而a＝3，所以3≥a3，即a1≥a3与数列{a n}递增矛盾，于是a 1＝2，得a＝a2＝3×1＝3，a2＝3，a＝a 3＝3×2＝6，a＝a 6＝3×3＝9，而a3＜a4＜a5＜a6∵递增数列{a n}各项均是正整数∴a4＝7，a5＝8，所以a5＝8．故选：C．10．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），给出以下四个论断：①它的图象关于直线x＝对称；②它的图象关于点（，0）对称；③它的周期是π；④在区间[﹣，0）上是增函数．以其中的两个论断为条件，余下的论断作为结论，则下列命题正确的是（）A．①③⇒②④或②③⇒①④B．①③⇒②④C．②③⇒①④D．①④⇒②③【解答】解：（1）①③⇒②④：由于T＝π＝，解得ω＝2，∴f（x）＝sin （2x+φ），∵f（x）的图象关于直线x＝对称，∴＝±1，∵﹣＜φ＜，∴＜φ+＜，∴只可能φ+＝，解得φ＝．∴f（x）＝，∴＝sinπ＝0，因此f（x）的图象关于点（，0）对称，即②正确；若x∈[﹣，0），则∈，因此函数f （x）在区间[﹣，0）上是增函数，即④正确．因此①③⇒②④．（2）②③⇒①④．由于T＝π＝，解得ω＝2，∴f（x）＝sin（2x+φ），由f（x）的图象关于点（，0）对称，∴＝sin＝0，∵﹣＜φ＜），∴φ＝．∴f（x）＝．由＝＝1，∴f（x）的图象关于直线x＝对称．由（1）可知，f（x）在区间[﹣，0）上是增函数．综上可知：②③⇒①④．综上可得：A正确．故选：A．11．（5分）江苏舜天足球俱乐部为救助在“3.10云南盈江地震”中失学的儿童，准备在江苏省五台山体育场举行多场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价分别为3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x是门票的总收入，经预算扣除其它各项开支后，该俱乐部的纯收入函数模型为y＝lg2x，则当这三种门票的张数分别为（）万张时，可以为失学儿童募捐的纯收入最大．A．1、0.6、0.8B．0.6、0.8、1C．0.6、1、0.8D．0.6、0.6、0.8【解答】解：设3元、5元、8元门票的张数分别为a，b，c，则有，整理得，x＝19.2﹣（5a+3b）≤19.2﹣2＝13.2（万元）．当且仅当时等号成立，解得，a＝0.6，b＝1，所以c＝0.8．由于y＝lg2x为增函数，即此时y也恰有最大值．故三种门票的张数分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．故选：C．12．（5分）“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），解关于x的不等式cx2+bx+a＞0．”给出如下的一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），得，a（）2+b（）+c＞0的解集为（，1），即关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集为（，1）．参考上述解法：若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），则关于x的不等式﹣＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣）∪（，1）C．（﹣∞，﹣）∪（，1）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【解答】解：根据题意，由+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），得+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），即﹣＞0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1）．故选：B．二、（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是[﹣2，﹣1]．【解答】解：由程序框图可得分段函数：∴令，则x∈[﹣2，﹣1]，满足题意；故答案为：[﹣2，﹣1]14．（5分）已知Ω是不等式组表示的平面区域，A是不等式组表示的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为．【解答】解：区域Ω是不等式组表示的平面区域如图三角形区域OEF，面积为；A是不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，面积为＝4，由几何概型公式可得点P落入区域A的概率为：；故答案为：．15．（5分）抛物线y2＝x与直线x﹣2y﹣3＝0所围成的封闭图形的面积为．【解答】解：由抛物线y2＝x与直线x﹣2y﹣3＝0解得，y＝﹣1或3．故两个交点纵坐标分别为﹣1，3，则围成的平面图形面积S＝＝＝．故答案为：．16．（5分）下列数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字2010共出现6次．【解答】解：第i行第j列的数记为A ij．那么每一组i与j的解就是表中一个数．因为第一行数组成的数列A1j（j＝1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j＝2+（j﹣1）×1＝j+1，所以第j列数组成的数列A1j（i＝1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以A ij＝j+1+（i﹣1）×j＝ij+1．令A ij＝ij+1＝2010，即ij＝2009＝1×2009＝7×287＝41×49＝49×41＝287×7＝2009×1，故表中2010共出现6次．故答案为6．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）2011年3月11日，日本发生了9.0级大地震，同时导致了福岛核电站的泄露事件，给环境带来的一定的污染，也给世界各国的人们对环境的保护敲响了警钟．根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如表：某环境部门对一城市一年（365天）的空气质量进行检测，获得的API数据按照区间[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]，（200，250]，（250，300]进行分组，得到频率分布直方图如下图：（1）求直方图中x的值；（2）计算一年中空气质量为良和轻微污染的总天数；（3）求该城市一年中每天空气质量不为良且不为轻微污染的概率．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；50x＝1﹣（++++）×50＝1﹣×50＝，解得x＝；（2）空气质量为良与轻微污染的频率和为×50+×50＝，∴一年中空气质量为良和轻微污染的总天数为365×＝219；（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为×50+×50＝＝；则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为1﹣＝．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，，点F是PD的中点，点E在CD上移动．（1）求三棱锥E﹣P AB体积；（2）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面P AC的关系，并说明理由；（3）求证：PE⊥AF．【解答】解：（1）∵P A⊥平面ABCD，∴．（2）当点E为BC的中点时，EF||平面P AC．理由如下：∵点E，F分别为CD、PD的中点，∴EF||PC．∵PC⊂平面P AC，EF⊂平面P AC∴EF||平面P AC（3）∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD∴CD⊥P A∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD∵P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD∵AF⊂平面P AD∴AF⊥DC∵P A＝AD，点F是PD的中点∴AF⊥PD，又CD∩PD＝D∴AF⊥平面PDC∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．19．（12分）设椭圆的上顶点为A，椭圆C上两点P，Q 在x轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2，直线PQ的斜率为，过点A且与AF1垂直的直线与x轴交于点B，△AF1B的外接圆为圆M．（1）求椭圆的离心率；（2）直线与圆M相交于E，F两点，且，求椭圆方程；（3）设点N（0，3）在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C的短轴长的取值范围．【解答】解：（1）由条件可知因为，所以（4分）（2）由（1）可知，所以从而M（c，0）．半径为a，因为，所以∠EMF＝120°，可得：M到直线l的距离为．所以c＝2，所以椭圆方程为．（8分）（3）因为点N在椭圆内部，所以b＞3．（9分）设椭圆上任意一点为K（x，y），则．由条件可以整理得：y2+18y﹣4b2+189≥0对任意y∈[﹣b，b]（b＞3）恒成立，所以有：或者解之得：（13分）20．（12分）已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差d不等于0，设a1，a3，a k是公比为q的等比数列{b n}的前三项，（1）若k＝7，a1＝2；（i）求数列{a n b n}的前n项和T n；（ii）将数列{a n}和{b n}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n}，设其前n项和为S n，求的值（2）若存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，a k，a m成等比数列，求证k为奇数．【解答】解：（1）因为k＝7，所以a1，a3，a7成等比数列，又a n是公差d≠0的等差数列，所以（a1+2d）2＝a1（a1+6d），整理得a1＝2d，又a1＝2，所以d＝1，b1＝a1＝2，，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝n+1，b n＝b1×q n﹣1＝2n，（i）用错位相减法或其它方法可求得a n b n的前n项和为T n＝n×2n+1；（ii）因为新的数列{c n}的前2n﹣n﹣1项和为数列a n的前2n﹣1项的和减去数列b n前n项的和，所以．所以（2）由（a1+2d）2＝a1（a1+（k﹣1））d，整理得4d2＝a1d（k﹣5），因为d≠0，所以，所以．因为存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，a k，a m成等比数列，所以，又在正项等差数列{a n}中，，所以，又因为a1＞0，所以有2[4+（m﹣1）（k﹣5）]＝（k﹣3）3，因为2[4+（m﹣1）（k﹣5）]是偶数，所以（k﹣3）3也是偶数，即k﹣3为偶数，所以k为奇数．21．（12分）设函数f（x）＝a2x2（a＞0），g（x）＝blnx．（1）若函数y＝f（x）图象上的点到直线x﹣y﹣3＝0距离的最小值为，求a 的值；（2）关于x的不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y＝kx+m为函数f（x）与g （x）的“分界线”．设，b＝e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为f（x）＝a2x2，所以f′（x）＝2a2x，令f′（x）＝2a2x ＝1得：，此时，则点到直线x﹣y﹣3＝0的距离为，即，解之得a＝或；（2）不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，等价于（1﹣a2）x2﹣2x+1＞0恰有三个整数解，故1﹣a2＜0，令h（x）＝（1﹣a2）x2﹣2x+1，由h（0）＝1＞0且h（1）＝﹣a2＜0（a＞0），所以函数h（x）＝（1﹣a2）x2﹣2x+1的一个零点在区间（0，1），则另一个零点一定在区间（﹣3，﹣2），这是因为此时不等式解集中有﹣2，﹣1，0恰好三个整数解故解之得．（3）设，则．所以当时，F′（x）＜0；当时，F′（x）＞0．因此时，F（x）取得最小值0，则f（x）与g（x）的图象在处有公共点．设f（x）与g（x）存在“分界线”，方程为，即，由在x∈R恒成立，则在x∈R恒成立．所以成立，因此．下面证明恒成立．设，则．所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此时G（x）取得最大值0，则成立．故所求“分界线”方程为：．一、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF•EC．（Ⅰ）求证：∠P＝∠EDF；（Ⅱ）求证：CE•EB＝EF•EP．【解答】证明：（1）∵DE2＝EF•EC，∴DE：CE＝EF：ED．∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED．∴∠EDF＝∠C．∵CD∥AP，∴∠C＝∠P．∴∠P＝∠EDF．（2）∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA．∴DE：PE＝EF：EA．即EF•EP＝DE•EA．∵弦AD、BC相交于点E，∴DE•EA＝CE•EB．∴CE•EB＝EF•EP．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ＝（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．【解答】解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）表示直线y＝x，曲线C1：ρ＝6cosθ，即ρ2＝6ρcosθ所以x2+y2＝6x即（x﹣3）2+y2＝9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r＝3所以弦长AB＝＝．∴弦AB的长度．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）＝．（1）当a＝﹣5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|﹣5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x+1|+|x﹣2|和y＝5的图象（如图所示），知定义域为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）；（2）由题设知，当x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|+a≥0，即|x+1|+|x﹣2|≥﹣a，由（1）|x+1|+|x﹣2|≥3，∴﹣a≤3，即a≥﹣3．。

KS5U2015海南高考压轴卷理科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 合{}i m m M )3(3,2,1-+-=（其中i 为虚数单位），{9,3}N =-，且M N ≠∅ ，则实数m 的值为 （ ）A.3B. 1C. 2D.9- 2.正弦曲线x y sin =在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,3π的切线方程是（ ） A.0332=+-+πy x B.0332=-+-πy xC.033323=-+-πy x D.033323=+-+πy x 3.若向量)6,2(),1,2(+=+=x b x a ,又b a,的夹角为锐角,则实数x 的取值范围为( )A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠->245x x x 且 B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧->45x x C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠-<545x x x 且D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<45x x4.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，离心率为5，则其渐进线方程为（ ） A.x y 21=B.x y 21±=C. x y 21-= D.x y 2±=5.如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（ ）A.4B.2第5题图正视图俯视图AB DC DCABC.32D.36. 已知βα, 表示平面，n m ,表示直线，给出下列四个命题：①若α∥β，,,βα⊂⊂n m 则m ∥n ②若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥ ③若,,βα⊥⊥n m m ∥n ，则α∥β ④m ∥α，n ∥β，n m ⊥，则βα⊥ 其中错误的命题个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个7.已知直线0=-+a y x 与圆222=+y x 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量、-=+，则实数a 的值为（ ） A.2 B.2-C.2±D.1±8.现有下列命题:①命题“01,2=++∈∃x x R x ”的否定是“01,2≠++∈∃x x R x ”；②若{}0>=x x A ，{}1-≤=x x B ，则A B C A R =)( ；③直线013)2(=+++my x m 与03)2()2(=-++-y m x m 互相垂直的条件为2-=m ；④如果抛物线2ax y =的准线方程为1=y ，则41-=a .其中正确的命题的序号为（ ） A.②④ B.①② C.③④ D.②③ 9.已知递增数列{}n a 各项均是正整数，且满足n a n a 3=，则5a 的值为（ ） A.2 B.6 C. 8 D.910.设函数)sin()(ϕ+ω=x x f ()22,0π<ϕ<π->ω,给出以下四个论断： ①它的图象关于直线12π=x 对称；②它的图象关于点（)0,3π对称；③它的周期是π；④在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡π-0,6上是增函数.以其中的两个论断为条件，余下的论断作为结论，则下列命题正确的是（ ）A.①③⇒②④或②③⇒①④B.①③⇒②④C. ②③⇒①④D.①④⇒②③11.江苏舜天足球俱乐部为救助在“3.10云南盈江地震”中失学的儿童，准备在江苏省五台山体育场举行多场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价分别为3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张.设x 是门票的总收入，经预算扣除其它各项开支后，该俱乐部的纯收入函数模型为x y 2lg =，则当这三种门票的张数分别为（ ）万张时，可以为失学儿童募捐的纯收入最大.A.1、0.、0.8B.0.6、0.8、1C. 0.6、1、0.8D.0.6、0.6、0.8 12. “已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>++a bx cx .”给出如下的一种解法：参考上述解法：若关于x 的不等式0<++++c x b x a x b 的解集为)1,21()31,1( --，则关于x 的不等式0>----cx bx a x b 的解集为（ ） A.)1,1(- B. )1,31()21,1( -- C. )1,31()21,( --∞ D.),31()21,(+∞--∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、（本大题共4小题，每小题5分） 13. 阅读如图的程序框图，如果输出的函数值在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41内，则输入的实数x 的取值范围是 .（第16题）13题14. 已知Ω是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>><+0,0,6y x y x 表示的平面区域，A 是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-><02,0,4y x y x 表示的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为_________. 15.抛物线x y =2与直线032=--y x 围成的平面图形的面积为 .16.下述数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字2010共出现次.2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … …三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）2011年3月11日，日本发生了9.0级大地震，同时导致了福岛核电站的泄露事件，给环境带来的一定的污染，也给世界各国的人们对环境的保护敲响了警钟.根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表： API 0～50 51～200 101～150 151～200 201～250 251～300 >300 级别 Ⅰ Ⅱ Ⅲ1 Ⅲ2 Ⅳ1 Ⅳ2 Ⅴ 状况 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 某环境部门对一城市一年（365天）的空气质量进行检测，获得的API 数据按照区间[](]100,50,50,0，(]150,100，(]200,150，(]250,200，(]300,250进行分组，得到频率分布直方图如下图：（1）求直方图中x 的值；（2）计算一年中空气质量为良和轻微污染的总天数；（3）求该城市一年中每天空气质量不为良且不为轻微污染的概率.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是矩形，ABCD PA 平面⊥，1==AD PA ，3=AB ，点F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动.（1）求三棱锥PAB E -的体积；（2）当点E 为CD 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的关系，并说明理由； （3）求证：AF PE ⊥.19.（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为32，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ．（1）求椭圆的离心率；（2）直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且21 2ME MF a ⋅=- ，求椭圆方程；（3）设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N的最远距离不大于C 的短轴长的取值范围．20.已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0，设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项， （1）若7=k ，12a =（i ）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ；（ii ）将数列{}n a 和{}n b 的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{}n c ，设其前n 项和为n S ，求211*21232(2,)n n n n S n n N -----+⋅≥∈的值P F DE C B A 18题图（2）若存在,k m >*m N ∈使得13,,,k m a a a a 成等比数列，求证：k 为奇数. 21.（本小题满分12分）设函数22()f x a x =（0a >），()ln g x b x =．（1）若函数()y f x =图象上的点到直线30x y --=距离的最小值为a 的值； （2）关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得()f x kx m≥+和()g x kx m ≤+都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”．设2a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题给分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦AP CD //，BC AD ,相交于E 点，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2. （1）求证：EDC P ∠=∠； （2）求证：EP EF EB CE ⋅=⋅.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 6=，曲线2C 的极坐标方程为π4θ=，曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点.（1）把曲线1C ，2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； （2）求弦AB 的长度.C24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()f x =．（１）当5a =-时，求函数()f x 的定义域；（２）若函数()f x 的定义域为R ，试求a 的取值范围．KS5U2015海南高考压轴卷理科数学答案一、选择题1.A2.B3.A4.B5.C6.C7. C8.A9.C 10.A 11.C 12.B 解析：1.M N ≠∅ ，则M 中的复数必须为实数，所以3=m . 2x x y cos )(sin ''==,则213cos==πk ,即切线方程为)3(2123π-=-x y ,整理得0332=-+-πy x .故选B.3. 0108)1(6)2(2>+=+++=⋅x x x b a ,则45->x ,又b a,不共线,所以0)2)(1(62≠++-⨯x x ,则5-≠x 且2≠x ,所以实数x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠->245x x x 且.故选A.4.因为5=e ，所以21512=-=-=e ab，而焦点在y 轴上的双曲线的渐进线方程为x b a y ±=，所以该双曲线的渐进线方程为x y 21±=.故选B.5.由三角形的边长全为2，即底面三角形的高为3，所以左视图的面积为3223=⨯=s .故选C.6.只有③是正确的.①若α∥β，,,βα⊂⊂n m 则m ∥n 或异面； ②若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥或相交或异面；④m ∥α，n ∥β，n m ⊥，则βα⊥或α∥β.所以只有一个正确的，故选C.故选C.7.-=+两边平方，得0=⋅，所以90=∠AOB ，则AOB ∆为等腰直角三角形，而圆222=+y x 的半径2=AO ，则原点O 到直线的0=-+a y x 的距离为1，所以11100=+-+a ，即a 的值为2或2-.8.①命题的否定为：“01,2≠++∈∀x x R x ”；②{}A x xBC A R =>=0)( ；③由0)2(3)2)(2(=+--+m m m m ，得2-=m 或21；④抛物线的标准方程为y a x ⎪⎭⎫⎝⎛--=2122，由准线方程为1=y ，可得141=-a ，即41-=a .故选A.9. 若11=a ，则111==a a a ，与3131=⨯=a a 矛盾，若31≥a ，则31a a a ≥，而31=a a ，所以31a a ≥与数列{}n a 递增矛盾，于是21=a ，得31321=⨯==a a a ，62332=⨯==a a a ，93363=⨯==a a a ，而6543a a a a <<<，所以85=a .故选C.10.由函数)0)(sin()(>ωϕ+ω=x x f 的周期是π，可知.2=ω这)22)(2sin()(π<ϕ<π-ϕ+=x x f （1）若)(x f 的图像关于直线12π=x 对称，则1)6sin()12(±=ϕ+π=πf . 当1)6sin(=ϕ+π，且22π<ϕ<π-时，3π=ϕ；当1)6sin(-=ϕ+π时，322π-π=ϕk （z k ∈），与 )22π<ϕ<π-矛盾.因此3π=ϕ.这时⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=62sin )(x x f . 由0sin 3=π=⎪⎭⎫⎝⎛πf 可知)(x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛π0,3对称；由06<≤π-x ，得3320π<π+≤x ，可知)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡π-0,6上是增函数.综上可知：①③⇒②④是正确的命题.（2）若)(x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛π0,3对称，则032sin 3=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ+π=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，又由22π<ϕ<π-知3π=ϕ，这时⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=32sin )(x x f . 由12sin 12=π=⎪⎭⎫⎝⎛πf 可知，直线12π=x 是)(x f 的对称轴；由（1）可知，)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡π-0,6上是增函数.综上可知：②③⇒①④.故选A. 11. 设3元、5元、8元门票的张数分别为c b a ,,，则有⎪⎩⎪⎨⎧++===++,853,6.0,4.2c b a x ab c b a 整理得2.131522.19)35(2.19=-≤+-=ab b a x （万元）. 当且仅当⎩⎨⎧==,6.0,35ab b a 时等号成立，解得1,6.0==b a ，所以8.0=c .由于xy 2lg =为增函数，即此时y 也恰有最大值.故三种门票的张数分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大.故选C. 12. 由0<++++c x b x a x b 的解集为)1,21()31,1( --，得0<+-+-++-cx bx a x b 的解集为)1,31()21,1( --，即0>----c x b x a x b 的解集为)1,31()21,1( --.故选B.二、填空题 13. []1,2-- 14. 9215.332 16.6解析：13.若[]2,2-∉x ，则()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∉=21,412xx f ，不合题意；当[]2,2-∈x 时，得[]1,2--∈x .14.区域Ω（不含边界）的面积为18，区域A （不含边界）的面积为4，故点P 落入区域A 的概率为92. 15.由⎩⎨⎧=--=,032,2y x x y 得抛物线与直线的交点为)3,9(),01,1(Q P .所以[]dx x x dx x x S )23((9110--+--=⎰⎰dx x x dx x )232(29110+-+=⎰⎰192343201342232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x x 33232834=+=. 16. 第i 行第j 列的数记为ij A ，那么每一组i 与j 的解就是表中的一个数.因为第一行数组成的数列{}),2,1(⋅⋅⋅⋅=j A ij 是以2为首项，公差为1的等差数列，所以11)1(2+=⨯-+=j j A ij .所以第j 列数组成的数列{}),2,1(⋅⋅⋅⋅=i A ij 是以1+j 为首项，公差为j 饿等差数列， 所以1)1(1+=⨯-++=ij j i j A ij .令20101=+=ij A ij ，即1200972784149494128772009⨯=⨯=⨯=⨯=⨯==ij ，故表中2010出现6次. 三、解答题 17. 解：（1）由图可知，509125123150)912581825318257365218253(150⨯-=⨯++++-=x ，解得18250119=x .（2）219)5036525018250119(365=⨯+⨯⨯；（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为533652195036525018250119==⨯+⨯.则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为52531=-. 18.解：（1）ABCDPA 平面⊥ ，所以PA S V V ABE ABE P PAB E ⋅==∆--31631312131=⨯⨯⨯⨯=. （2）当点E 为BC 的中点时，EF ∥平面PAC ，理由如下：因为点F E ,分别为CD 、PD 的中点，所以EF ∥PC . 又因为PAC PC 平面⊂，PAC EF 平面⊄，所以EF ∥平面PAC . （3）因为ABCD PA 平面⊥，ABCD CD 平面⊂，所以PA CD ⊥. 又是矩形ABCD ，所以AD D ⊥C . 因为A AD PA = ，所以PAD CD 平面⊥. 又PAD AF 平面⊂，所以DC AF ⊥.因AD PA =，点F 是PD 的中点，所以PD AF ⊥. 又D PD CD = ，所以PDC AF 平面⊥， 又PDC PE 平面⊂，所以AF PE ⊥.19.解：⑴由条件可知⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c Q a b c P 22,,,，因为23=PQ k ，所以得：21=e . （2）由⑴可知，c b c a 3,2==，所以，)0,3(),0,(),3,0(1c B c F c A -，从而)0,(c M .半径为a ，因为221a -=⋅，所以 120=∠EMF ，可得：M 到直线距离为2a， 从而求出2=c ，所以椭圆方程为：1121622=+y x . （3）因为点N 在椭圆内部，所以3>b ，设椭圆上任意一点为),(y x k ，则2222)26()3(≤-+=y x KN .由条件可以整理得：018941822≥+-+b y y ，对任意[])3(,>-∈b b b y 恒成立， 所以有：⎩⎨⎧≥+--+--≤-,01894)(18)(,922b b b b 或者⎩⎨⎧≥+--⨯+-->-,01894)9(18)9(,922b b 解之得： (]6212,62-∈b .20. （1）因为7k =，所以137,,a a a 成等比数列，又{}n a 是公差0d ≠的等差数列，所以()()211126a d a a d +=+，整理得12a d =， 又12a =，所以1d =， 112b a ==，32111122a b a dq b a a +====， 所以()11111,2n n n n a a n d n b b q -=+-=+=⨯=，①用错位相减法或其它方法可求得{}n n a b 的前n 项和为12n n T n +=⨯；② 因为新的数列{}n c 的前21n n --项和为数列{}n a 的前21n -项的和减去数列{}n b 前n 项的和，所以121(21)(22)2(21)(21)(21)221n n n n n n n S ----+-=-=---. 所以211212321n n n n S -----+⋅=-．⑵ 由d k a a d a ))1(()2(1121-+=+，整理得)5(412-=k d a d ， 因为0≠d ，所以4)5(1-=k a d ，所以3111232a a d k q a a +-===.因为存在m ＞k,m ∈N *使得13,,,k m a a a a 成等比数列，所以313123⎪⎭⎫⎝⎛-==k a q a a m ，又在正项等差数列{a n }中，4)5)(1()1(111--+=-+=k m a a d m a a m ，所以3111234)5)(1(⎪⎭⎫⎝⎛-=--+k a k m a a ，又因为01>a ，所以有[]324(1)(5)(3)m k k +--=-，因为[]24(1)(5)m k +--是偶数，所以3(3)k -也是偶数， 即3-k 为偶数，所以k 为奇数.21. （1）解法一：设函数22y a x =图象上任意一点为2200(,)P x a x ，则点P 到直线30x y --=的距离为d ==，当02102x a -=，即0212x a =时，min d ==2120a =，或214a =， 又因为抛物线22()f x a x =与直线30x y --=相离，由22,3,y a x y x ⎧=⎨=-⎩得2230a x x -+=，故21120a ∆=-<，即2112a >，所以214a =，即12a =． 解法二：因为22()f x a x =，所以2'()2f x a x =，令2'()21f x a x ==， 得212x a =，此时214y a =，则点2211(,)24a a 到直线30x y --==2120a =，或214a =．（以下同解法一）（2）解法一：不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，等价于22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<，令22()(1)21h x a x x =--+，由(0)10h =>且2(1)0(0)h a a =-<>， 所以函数22()(1)21h x a x x =--+的一个零点在区间(0,1)， 则另一个零点一定在区间[3,2)--内，所以(2)0,(3)0,≤h h ->⎧⎨-⎩解之得4332≤a <，故所求a 的取值范围为43[,]32．解法二：22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<，即1a >，因为[][]22(1)21(1)1(1)10a x x a x a x --+=--+->，所以1111x a a <<-+，又因为1011a<<+， 所以1321a -<<--，解之得4332a <<．（3）设21()()()l n 2Fxf x gx x e x=-=-，则2'(()e x e x x F x x x x x-+=-==．所以当0x <<'()0F x <；当x >'()0F x >．因此x =()F x 取得最小值0，则()f x 与()g x 的图象在x =)2e．设()f x 与()g x 存在 “分界线”，方程为(2e y k x -=，即2ey kx =+-由()2≥e f x kx +-x ∈R 恒成立，则2220x kx e --+在x ∈R 恒成立 ．所以22244(2)4844(0≤k e k e k ∆=-=-=恒成立，因此k =下面证明()(0)2eg x x ->恒成立．设()ln 2e G x e x =-，则()e G x x '==．所以当0x <<'()0G x >；当x >'()0G x <．因此x =()G x 取得最大值0，则()(0)2eg x x ->成立．故所求“分界线”方程为：2ey =-．选做题：22.证明：（1）因为EC EF DE ⋅=2，所以DE EF EC DE ::=，又因为DEF ∠是公共角，所以DEF ∆∽CED ∆，所以C EDF ∠=∠.因为AP CD //，所以P C ∠=∠，所以EDF P ∠=∠.（2）由（1）知，EDF P ∠=∠，又FED AEP ∠=∠，所以DEF ∆∽PEA ∆，所以AE EF EP DE ::=， 即EP EF DE AE ⋅=⋅.因为BC AD ,为相交弦，所以EB CE DE AE ⋅=⋅，故EP EF EB CE ⋅=⋅.23. 解：（1）曲线2C ：π4θ=（R ∈ρ）表示直线x y =．曲线1C ：θρcos 6=，θρρcos 62=，所以x y x 622=+，即9)3(22=+-y x ．（2）圆心（3，0）到直线的距离 d =，3=r ，所以弦长AB =23． 24. （1）由题设知：1250x x ++--≥，如图，在同一坐标系中作出函数12y x x =++-和5y =的 图象（如图所示）,知定义域为(][),23,-∞-+∞ . （2）由题设知，当x R ∈时，恒有120x x a ++-+≥，即12x x a ++-≥-， 又由（1）123x x ++-≥，∴ 3,3a a -≤≥-即．。

2015广东省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合}5,4,3,1,0,2{=U ，集合}2,4,3,0{=A ，{}4,3,2,1,0=B ，则)(B A C U ⋂＝A ．}2,4,3,0{B ．}2,0{C ．}5,1{D ．}5,1,0,2{2．设i 为虚数单位，复数()21z i =++2，则z 的共轭复数为A ．2i -B ．2iC ．22i -D ．22i +3．已知向量a =(1,-1)则下列向量中与向量a 平行且同向的是 A ．（2,-2）B ．（-2,2）C.（-1, 2）D ．（2, -1）4．已知实数y x ,满足不等式组320,0x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩若z=x-y ，则z 的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．65．抛物线218y x =上到焦点的距离等于10的点的坐标为 A ．(-8, 8) B ．(8, 8)C ．(-8, -8) 或(8, -8)D ． (-8, 8) 或(8, 8)6．图1为某村1000户村民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在[50,100)的用户数为A 1，用电量在[100,150)的用户数为A 2，……，以此类推，用电量在[300,350]的用户数为A 6，图2是统计图1中村民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s 值为 A ．820B ．720C ．620D ．5207．已知正四棱锥底面边长为1高为2，俯视图是一个面积为1的正方形,则该正四棱锥的正视图的面积 不可能．．．等于 A ．2B ．2.5C ．231-D ．221-8．若'1(ln )ln 1,ln e x x x x a xd =+=⎰，10019922989911001001001002222a C a C a C a +++---++被10除得的余数为A ．3B ．1C ．9D ．7二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式13-x ＞x 的解集是 .10．2y x kx =-，在1x =处的切线与1y x =+垂直，则k 的值是 . 11．已知四个学生和一个老师共5个人排队，那么老师排在中间的概率是 . 12．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c b A B c C B a 2cos sin 2cos sin 2=+且a b >,则B ∠=________．13．在正项等比数列｛n a ｝中，=⋅+⋅7263a a a a 42e 则81ln ln a a ⋅的最大值为 .（二）选做题（14-15小题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线x y -=与 圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）相交，交点在第四象限，则交点的极坐标为 .15．（几何证明选讲选做题）如图，圆O 中AB=4为直径，，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若1=AD ，θ=∠ACD ，则θcos =______．ODECBA三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知)32sin()(π+=x x f（1）求)2(π-f 的值．（2）若θ为锐角，33)2()2(=-+θθf f ，求θtan 的值．17．（本小题满分12分）测量马口鱼性成熟时重量，从大量马口鱼中随机抽取100尾作为样本，测出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到重量样本的频率分布直方图，如图3． （1）求a 的值；（2）若重量在(]25,35，(]35,45中采用分层抽样方法抽出8尾作为特别实验，那么在(]35,45中需取出几尾？（3）从大量马口鱼中机抽取3尾，其中重量在(]5,15内的尾数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.a 图3重量/克频率组距0.0320.020.018453525155O18. （本小题满分14分）如图4,已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形， PA ^面ABCD ， 点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,连接AM ,AN MN ,. (1) 若 PA=AB,求证：AN ⊥平面PBC（2）若5MN =,3AD =，求二面角N AM B --的余弦值.图4M NBCDA P19. （本小题满分14分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n s ，11a =，214n n s a +=-4n-1,n N *∈． （1）求23,a a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：n N *∈，有122334111111111n n a a a a a a a a ++++---+++++<12．20．（本小题满分14分）若在平面直角坐标系中，已知动点M 和两个定点()1F 2,0-，()2F 2,0,且124MF MF +=()1求动点M 轨迹C 的方程；()2设O 为坐标原点，若点E 在轨迹C 上，点F 在直线2y =-上，且OE OF ⊥，试判断直线EF 与圆222x y +=的位置关系，并说明理由．21.（本小题满分14分）已知函数32()ln(21)2()3x f x ax x ax a R =++--∈.(1)若0a =，判断()f x 的单调性．(2)若()y f x =在[4,)+∞上为增函数,求实数a 的取值范围;(3)当12a =-时,方程()31(1)3x b f x x--=+有实根,求实数b 的最大值.KS5U2015广东省高考压轴卷 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题 1. 【答案】C解析 由}5,4,3,1,0,2{=U ，}2,4,3,0{=⋂B A 则)(B A C U ⋂=}5,1{ 2. 【答案】C解析 ()21z i =++2=2i +2=2+2i 所以z 的共轭复数是22i - 3. 【答案】A（解析 2,-2）=2（1，-1）所以选A 4. 【答案】A解析作出不等式组320,0x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩所对应的可行域变形目标函数y=x-z平移直线y=x-z 可知，当直线经过点（3，0）时，z 取最大值， 代值计算可得z=x-y 的最大值为3 5. 【答案】D解析 可以化为x 2=8y ,的 准线方程为y=-2,所以根据抛物线的定义可知，所求的点的纵坐标为y=8，代入x 2=8y,可以得x=8或x=-8,所求的点为（-8,8）或（8,8）6. 【答案】A.解析 由图2知，输出的2345+s A A A A =++，由图1知16(0.00240.0012)501000A A +=+⨯⨯=180,故s=1000-180=820，选A. 7.【答案】D解析 因为正视图最小值为他的一个侧面122⨯=，最大值为对角面2222⨯=，所以正视图取值范围为2,22⎡⎤⎣⎦，而221-不在范围内.8. 【答案】B 解析由'1(ln )ln 1,ln ex x x x a xd =+=⎰，可知'(ln )ln x x x x -=，所以11ln (ln )1,1e ex xd x x x a ⎰=-==，10019922989911001001001002222a C a C a C a +++---++=100100(2)3a +=，10050505049148249495050505039(101)10101010(1)(1)C C C ==-=-++---+-+-所以余数为1． 二．填空题9. 【答案】),21()41,(+∞⋃-∞ 解析原不等式等价于3x-1＞x 或3x-1＜-x 可得答案),21()41,(+∞⋃-∞10. 【答案】3解析 导函数为y ’=2x-k 又在x=1处的切线与y=x+1垂直所以根据导数的几何意义有，2-k=-1 所以k=3 11. 【答案】15解析因为5个人排法有5的全排列有120种，老师在中间其余4人在老师两边任意排，排法有4的全排列24种，老师中间的概率为2411205= 12. 【答案】45° 解析b A Bc C B a 2cos sin 2cos sin 2=+根据正弦定理变式得sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=22sinB, sinAcosC+cosAsinC=22 Sin(A+C)=sin(180°-B)=sinB=22又a b >所以A ﹥B 所以B=45° 13．【答案】4 解析由等比数列性质知4817263e a a a a a a =⋅=⋅=⋅，81ln ln a a ⋅4)2ln ()2ln ()2ln ln (24281281===+≤e a a a a 当281e a a ==时取等号．14．【答案】)4,2(π-或其他形式解析y=-x 与圆1)1(22=+-y x 交点在第四象限的为（1，-1）转化为极坐标为)4,2(π-．15．【答案】23解析根据弦切角定理得，BCA ∆与CDA ∆相似，所以ACAC AC AD AB AC 14,==， 2,42==AC AC 在直角三角形ACD 中可得3=CD ，θcos =23三．解答题 16. 解：（1）)2(π-f =233sin)3sin(-=-=+-πππ---4分 （2） 3cos)2sin(3sin2cos 3cos2sin )32sin()32sin()2()2(πθπθπθπθπθθθ-++=+-++=-+f f +332cos 33sin2cos 23sin)2cos(===-θπθπθ 所以312cos =θ，θ2cos 2-1=31又θ为锐角，所以36cos =θ，33cos 1sin 2=-=θθ，所以 22cos sin tan ==θθθ……………12分 17．解：(1)由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=，解得0.03x =. ……………2分 （2）(]25,35，(]35,45 频数分别30个和18个，按分层抽样知 (]35,45中取18848⨯=3个……………4分（3）利用样本估计总体，马口鱼重量在(]5,15内性成熟的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分z yENB AP∴ξ的分布列为：--------------11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18.解： （1）证明：PA ^面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，∴PA BC ^ 又ABCD 为正方形，BC AB ⊥又,.PAAB A PA AB =⊂面PAB ∴BC ⊥面PABAN ⊂面PAB ，∴BC AN ⊥，又PA=AB, 点N 是PB 的中点, ∴AN PB ⊥且,.PBBC B PB BC =⊂平面PBC ∴AN ⊥平面PBC----------4分（2）∵NE PA //，PA ^面ABCD ， ∴NE ^面ABCD .在Rt △NEM 中，5MN =,3ME AD ==，得224NE MN ME =-=，以点A 为原点，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -， …………… 6分则()333000300004222A M E N ,,,,,,,,,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.，3042AN ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3(3,,0)2AM =设平面AMN 的法向量为n ()x y z ,,=，由n 0AM ⋅=，n 0AN ⋅=，得33023402x y y z ,.⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ξ0 1 2 3P 64125 48125 12125 1125令1x =，得2y =-，34z =. ∴n 3124,,⎛⎫=- ⎪⎝⎭是平面AMN 的一个法向量. …………… 11分又(0,0,1)m =是平面AMB 的一个法向量，cos ,n m n m n m⋅〈〉==⋅38989∴二面角N AM B --的余弦值为38989. …………… 14分 19.解：（1）由214n n s a +=-4n-1得421241s a =--因为n a ﹥0，11a =，所以2145a a =+，所以23,a =据而可得35a =--------2分． （2）214n n s a +=-4n-1-----（1）当n 2≥，2144(1)1n n s a n -=--------（2）由（1）-（2）得22144,n n n a a a +=--即221(2)(2)n n a a n +=+≥ 因为n a ﹥0，所以112,2(2)n n n n a a a a ++=+-=≥又212a a -=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以n a =21n -.-----------8分（或用数学归纳法）（3）11111111(),1(21)(21)22121n n n n a a a a n n n n ++<==-+-+-+所以122334111111111n n a a a a a a a a ++++---+++++1111111111(1)(1)23352121221242n n n n <-+-+---+-=-=--+++<12-------------14分．20解：（1）由题意知：1212422MF MF F F +=>=所以，由椭圆的定义可知：动点M 运动的轨迹是: 以1F ，2F 为焦点，长轴长为4，焦距为22的椭圆，且短半轴长为()22222=-所以轨迹C 的方程为12422=+y x -----4分（2）直线EF 与圆222=+y x 相切．证明如下：设点(,)E m n ，(,2)F t ，显然其中0≠m , 因为OE OF ⊥，，所以0OE OF =，即20tm n -=，所以2nt m=① 直线EF 的斜率不存在时，即t m =时，22t n =，代入椭圆方程可得：222242t t ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，解得：2±=t ，此时直线EF 的方程为2=x 或2-=x ，显然与圆222=+y x 相切.②当直线EF 的斜率存在，即t m ≠时，直线EF 的方程为：22()n y x t m t++=--，即(2)()20n x m t y m tn +----=……(9分) 此时，圆心)0,0(O 到直线EF 的距离222(2)()m tn d n m t --=++-又因为4222=+n m ，2n t m=所以22222222(2)()22424n m nm tn m d n m t n n m n n m m m ⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭==++-⎛⎫⎛⎫++-⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=4422222222++++mnn m m n m =4282442222222+-+-+-+mmm m mm m=2216842242=+++m m m m m ，所以，直线EF 与圆222=+y x 相切．综上，直线EF 与圆222=+y x 相切．……(14分)21.解:（1）若0a = 则32()3x f x x =- 所以当0a =时,'()(2)f x x x =-,当'()(2)f x x x =- ﹥0得2x >或0x <当'()(2)f x x x =- 0时得02x <<，所以()f x 的单调增区间为(,0),(2,)-∞+∞，减区间为(0,2)．------3分．(2)因为()f x 在区间为[4,)+∞上增函数, 所以222(14)(42)'()021x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦=≥+在区[4,)+∞上恒成立当0a =时,'()(2)0f x x x =-≥在[4,)+∞上恒成立,所以()f x 在[4,)+∞上为增函数,故0a =符合题意 当0a ≠时,由函数()f x 的定义域可知,必须有210ax +>对4x ≥恒成立,故只能0a >,所以222(14)(42)0ax a x a +--+≥在恒成立令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+,其对称轴为114x a =-, 因为0a >所以1114a-<,从而()0g x ≥在[4,)+∞上恒成立,只要(4)0g ≥即可, 因为2(4)41620g a a =-++≥ 解得43243222a -+≤ 因为0a >,所以.43202a +≤ 综上所述,a 的取值范围为 4320,2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦----------8分 (3)若12a =-时,方程()31(1)3x b f x x--=+可化为2ln (1)(1)b x x x x --+-=. 问题转化为223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在()0,+∞上有解, 即求函数23()ln g x x x x x =+-的值域因为2()(ln )g x x x x x =+-,令2()ln h x x x x =+-,则1(21)(1)'()12x x h x x x x +-=+-= ,所以当01x <<时'()0h x >,从而()h x 在()0,1上为增函数, 当1x >时'()0h x <,从而()h x 在()1,+∞上为减函数, 因此()(1)0h x h ≤=.而0x >,故()0b x h x =⋅≤,因此当1x =时,b 取得最大值0 -----14分．。

高考数学压轴题：平面解析几何一、解答题（共35小题）1．已知直线:1(0)l y kx k =+≠与椭圆223x y a +=相交于A 、B 两个不同的点，记l 与y 轴的交点为C ． （Ⅰ）若1k =，且10||AB =，求实数a 的值； （Ⅱ）若2AC CB =，求AOB ∆面积的最大值，及此时椭圆的方程．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点0(P x ，0)y 是坐标平面内一点，且1273||,(4OP PF PF O ==为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(0,)3S -且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由．3．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形． （1）求椭圆的方程；（2）若C 、D 分别是椭圆长的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP 为定值．（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>2，长轴长为等于圆22:(2)4R x y +-=的直径，过点(0,1)P 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，与圆R 交于两点M ，N （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求证：直线RA ，RB 的斜率之和等于零； （Ⅲ）求||||AB MN 的取值范围．5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线60x y -+=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON 的取值范围．6．（2016•太原校级二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足(OA OB tOP O +=为坐标原点），当25||PA PB -<时，求实数t 取值范围． 7．（2016•抚顺一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为1A ，右焦点为2F ，过点2F 作垂直于x 轴的直线交该椭圆于M 、N 两点，直线1A M 的斜率为12．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若△1A MN 的外接圆在M 处的切线与椭圆相交所得弦长为57，求椭圆方程．8．（2016•江西模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P 的距（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．9．（2016•石家庄二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过点(1,0)M 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，||||MA MB λ=，且当直线l 垂直于x 轴时，||AB = （1）求椭圆C 的方程；（2）若1[2λ∈，2]，求弦长||AB 的取值范围．10．（2016•河南模拟）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标．11．（2015•潍坊模拟）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q +=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线:30l x --=相切，求椭圆C 的方程； （3）在（2）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m 使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由． ．12．（2019•秦淮区三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，以椭圆C左顶点T为圆心作圆222:(2)(0)T x y r r++=>，设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求TM TN的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：OR OS为定值．13．（2016•益阳模拟）已知以点(1,2)A-为圆心的圆与直线1:270l x y++=相切．过点(2,0)B-的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与1l相交于点P．()I求圆A的方程；（Ⅱ）当219MN=l的方程；（Ⅲ）BQ BP是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．14．（2019•上海）已知椭圆22184x y +=，1F ，2F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A ，B两点．（1）若直线l 垂直于x 轴，求||AB ；（2）当190F AB ∠=︒时，A 在x 轴上方时，求A 、B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F ABF MNS S=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．15．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点．（2）若以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．16．（2019•新课标Ⅱ）已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-．记M 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ． ()i 证明：PQG ∆是直角三角形； ()ii 求PQG ∆面积的最大值．17．（2019•浙江）如图，已知点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC ∆的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记AFG ∆，CQG ∆的面积分别为1S ，2S ．（Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求12SS的最小值及此时点G的坐标．18．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2xC y=，D为直线12y=-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以5(0,)2E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．19．（2018•天津）设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离5A的坐标为(,0)b，且||||62FB AB=（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线:(0)l y kx k=>与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若||52(||4AQAOQ OPQ=∠为原点），求k的值．20．（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点1(3,)2，焦点1(3F0)，2(3F0)，圆O的直径为12F F．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若OAB∆26，求直线l的方程．21．（2018•浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围．22．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1M ，)(0)m m >． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：||FA ，||FP ，||FB 成等差数列，并求该数列的公差．23．（2018•上海）设常数2t >．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)F ，直线:l x t =，曲线2:8(0,0)y x x t y Γ=．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3t =，||2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP ∆的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．24．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．25．（2017•上海）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =，求直线AQ 的方程．26．（2017•天津）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．()I 求椭圆的方程和抛物线的方程；()II 设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点(B B 异于)A ，直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆，求直线AP 的方程．27．（2017•山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程．（Ⅱ）如图，动直线1:l y k x =-交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上的一点，直线OC的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且||:||2:3MC AB =，M 的半径为||MC ，OS ，OT 是M 的两条切线，切点分别为S ，T ，求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．28．（2017•新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =． （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ =．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．29．（2017•新课标Ⅰ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，33(1,)P -，43(1,)P 中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．30．（2016•浙江）如图，设椭圆222:1(1)x C y a a+=>（Ⅰ）求直线1y kx =+被椭圆截得到的弦长（用a ，k 表示）（Ⅱ）若任意以点(0,1)A 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．31．（2016•天津）设椭圆2221(3)3x y a a +=>的右焦点为F ，右顶点为A ．已知113||||||eOF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点(B B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y 轴于点H，若BF HF⊥，且MOA MAO∠∠，求直线l的斜率的取值范围．32．（2016•四川）已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线:3l y x=-+与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l'平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PBλ=，并求λ的值．33．（2016•山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率是3，抛物线2:2E x y=的焦点F是C的一个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．()i求证：点M在定直线上；()ii直线l与y轴交于点G，记PFG∆的面积为1S，PDM∆的面积为2S，求12SS的最大值及取得最大值时点P的坐标．34．（2016•新课标Ⅱ）已知椭圆22:13x yEt+=的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为(0)k k>的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA NA⊥．（Ⅰ）当4t=，||||AM AN=时，求AMN∆的面积；（Ⅱ）当2||||AM AN=时，求k的取值范围．35．（2016•新课标Ⅰ）设圆222150x y x++-=的圆心为A，直线l过点(1,0)B且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明||||EA EB+为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．2020年高考数学复习之挑战压轴题（解答题）：平面解析几何综合题（35题）参考答案与试题解析一、解答题（共35小题）1．（2016•南昌校级二模）已知直线:1(0)l y kx k =+≠与椭圆223x y a +=相交于A 、B 两个不同的点，记l 与y 轴的交点为C ．（Ⅰ）若1k =，且||AB =，求实数a 的值； （Ⅱ）若2AC CB =，求AOB ∆面积的最大值，及此时椭圆的方程． 【考点】4K ：椭圆的性质【专题】5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（Ⅰ）若1k =，联立直线和椭圆方程，结合相交弦的弦长公式以及||AB =可求实数a 的值；（Ⅱ）根据2AC CB =关系，结合一元二次方程根与系数之间的关系，以及基本不等式进行求解即可．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， （Ⅰ）由2213y x x y a=+⎧⎨+=⎩得24210x x a ++-=， 则1212x x +=-，1214ax x -=，则123|||24AB x x a -=-=2a =． （Ⅱ）由2213y kx x y a=+⎧⎨+=⎩，得22(3)210k x kx a +++-=， 则12223k x x k +=-+，12213ax x k -=+， 由2AC CB =得1(x -，121)2(y x -=，21)y -， 解得122x x =-，代入上式得： 122223k x x x k +=-=-+，则2223kx k =+，1222133||3||||||322323||||AOB k S OC x x x k k k ∆=-====++ 当且仅当23k =时取等号，此时2223k x k =+，22122224222(3)3k x x x k =-=-⨯=-+， 又1221136a ax x k --==+， 则1263a -=-，解得5a =．所以，AOB ∆，此时椭圆的方程为2235x y +=． 【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，利用直线方程和椭圆方程构造方程组，转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键．2．（2017•河南模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点0(P x ，0)y 是坐标平面内一点，且123||(4OP PF PF O =为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(0,)3S -且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由． 【考点】3K ：椭圆的标准方程；4K ：椭圆的性质；KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题【分析】（1）设出P 的坐标，利用||OP 的值求得0x 和0y 的关系式，同时利用1234PF PF =求得0x 和0y 的另一关系式，进而求得c ，通过椭圆的离心率求得a ，最后利用a ，b 和c 的关系求得b ，则椭圆的方程可得．（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立消去y ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则可利用韦达定理表示出12x x +和12x x ，假设在y 轴上存在定点(0,)M m ，满足题设，则可表示出MA MB ，利用0MA MB =求得m 的值．【解答】解：（1）设0(P x ，0)y ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，则由220074OP x y =+=； 由1234PF PF =得00003(,)(,)4c x y c x y -----=，即2220034x y c +-=． 所以1c =又因为222,1c a b a ===所以． 因此所求椭圆的方程为：2212x y +=．（2）动直线l 的方程为：13y kx =-，由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22416(21)039k x kx +--=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 则121222416,3(21)9(21)k x x x x k k +==-++． 假设在y 轴上存在定点(0,)M m ，满足题设，则1122(,),(,)MA x y m MB x y m =-=-． 21212121212()()()MA MB x x y m y m x x y y m y y m =+--=+-++21212121111()()()3333x x kx kx m kx kx m =+----+-+221212121(1)()()339k x x k m x x m m =+-+++++222216(1)1421()9(21)33(21)39k k k m m m k k +=--++++++ 222218(1)(9615)9(21)m k m m k -++-=+ 由假设得对于任意的,0k R MA MB ∈=恒成立， 即221096150m m m ⎧-=⎨+-=⎩解得1m =．因此，在y 轴上存在定点M ，使得以AB 为直径的圆恒过这个点， 点M 的坐标为(0,1)【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生分析问题和推理的能力．3．（2016•衡阳三模）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形． （1）求椭圆的方程；（2）若C 、D 分别是椭圆长的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP 为定值．（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】3K ：椭圆的标准方程；KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】（1）由题意知2a =，b c =，22b =，由此可知椭圆方程为22142x y +=．（2）设0(2,)M y ，1(P x ，1)y ，()()110,,2,OP x y OM y ==则，直线()0001:2,442y y CM y x y x y =+=+即，代入椭圆方程2224x y +=，得222200011(1)40822y x y x y +++-=，然后利用根与系数的关系能够推导出OM OP 为定值．（3）设存在(,0)Q m 满足条件，则MQ DP ⊥．2000220048(2,),(,)88y yMQ m y DP y y =--=-++，再由()220022004802088y y MQ DP m y y ⋅=---=++得，由此可知存在(0,0)Q 满足条件．【解答】解：（1）2a =，b c =，222a b c =+，22b ∴=；∴椭圆方程为22142x y +=（4分）（2）(2,0)C -，(2,0)D ，设0(2,)M y ，1(P x ，1)y ， ()()110,,2,OP x y OM y ==则直线()0001:2,442y y CM y x y x y =+=+即，代入椭圆方程2224x y +=，得222200011(1)40822y x y x y +++-=（6分）21204(8)128y x y -=-+，∴201202(8)8y x y -=-+，∴012088y y y =+，∴20022002(8)8(,)88y y OP y y -=-++（8分） ∴2220002220004(8)84324888y y y OP OM y y y -+=-+==+++（定值）（10分）（3）设存在(,0)Q m 满足条件，则MQ DP ⊥（11分）2000220048(2,),(,)88y yMQ m y DP y y =--=-++（12分）则由()220022004802088y y MQ DP m y y ⋅=---=++得，从而得0m =∴存在(0,0)Q 满足条件（14分）【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．4．（2016•天津一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，长轴长为等于圆22:(2)4R x y +-=的直径，过点(0,1)P 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，与圆R 交于两点M ，N（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求证：直线RA ，RB 的斜率之和等于零； （Ⅲ）求||||AB MN 的取值范围．【考点】1K ：圆锥曲线的实际背景及作用；3K ：椭圆的标准方程【专题】15：综合题；31：数形结合；34：方程思想；4R ：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（Ⅰ）根据椭圆的简单几何性质，求出a 、b 的值即可；（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，求出直线RA 、RB 的斜率之和即可证明结论成立； （Ⅲ）讨论直线l 的斜率是否存在，利用弦长公式以及转化法、基本不等式等求出||||AB MN 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C 长轴长等于圆22:(2)4R xy +-=的直径， 所以24a =，2a =； ⋯（1分）2，得22222212c a b e a a -===，所以222142b b a ==，得22b =；⋯（2分）所以椭圆C 的方程为22142x y +=；⋯（3分）（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1y kx =+，与22142x y +=联立，消去y ，得22(12)420k x kx ++-=； 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则122412k x x k +=-+，122212x x k =-+，⋯（5分） 由(0,2)R ，得 121222RA RB y y k k x x --+=+121211kx kx x x --=+12112()k x x =-+ 12122x x k x x +=-2241220212k k k k -+=-=-+．⋯（7分）所以直线RA ，RB 的斜率之和等于零；⋯（8分）（Ⅲ）当直线l的斜率不存在时，||AB =||4MN =，||||8AB MN =；⋯（9分） 当直线l的斜率存在时，||AB =12||x x =-12()x x +4(12k k =-+ 22328k += ||MN ==⋯（11分）所以22328||||12k AB MN k+=+⨯241k +=；因为直线l 过点(0,1)P ，所以直线l 与椭圆C 和圆R 均交于两点， 令212k t +=，则1t ， 所以22(21)(21)1||||4242482t t AB MN t t -+==-<， 又2124y t =-在1t 时单调递增， 所以1||||446AB MN =， 当且仅当1t =，0k =等号成立；⋯（13分）综上，||||AB MN 的取值范围是．⋯（14分）【点评】本题考查了圆锥曲线的综合应用问题，也考查了数形结合思想、方程思想的应用问题，考查了计算能力与分析问题、解决问题的能力，是综合性题目．5．（2015•大庆一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON 的取值范围．【考点】3K ：椭圆的标准方程；4K ：椭圆的性质 【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题【分析】（Ⅰ）由题意知12c e a ==，能够导出2243a b =．再由b C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．由22(4)1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=，再由根与系数的关系证明直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ．（Ⅲ）分MN 的斜率存在与不存在两种情况讨论，当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，且(M M x ，)M y ，(N N x ，)N y 在椭圆C 上．由22(1)1.43y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120m x m x m +-+-=．再由根据判别式和根与系数的关系求解OM ON 的取值范围；当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =，易得M 、N 的坐标，进而可得OM ON 的取值范围，综合可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知12c e a ==， 所以22222214c a b e a a -===．即2243a b =．又因为b =所以24a =，23b =．故椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 由22(4)1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=．①设点1(B x ，1)y ，2(E x ，2)y ，则1(A x ，1)y -． 直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--． 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入， 整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-．②由①得21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+代入②整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ．（Ⅲ）当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，且(M M x ，)M y ，(N N x ，)N y 在椭圆C 上．由22(1)1.43y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120m x m x m +-+-=．易知△0>．所以22843M N m x x m +=+，2241243M N m x x m -=+，22943M N m y y m =-+．则2225125334344(43)M N M N m OM ON x x y y m m +=+=-=--++． 因为20m ，所以21133044(43)m --<+．所以5[4,)4OM ON ∈--．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =． 解得3(1,)2M -，3(1,)2N 或3(1,)2M 、3(1,)2N -．此时54OM ON =-．所以OM ON 的取值范围是5[4,]4--．【点评】本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线 与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．6．（2016•太原校级二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a ba b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足(OA OB tOP O +=为坐标原点），当25||PA PB -<t 取值范围． 【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角；KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】（Ⅰ）由题意知c e a ==所以22222212c a b e a a -===．由此能求出椭圆C 的方程．（Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在．设:(2)AB y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,)P x y ，由22(2)1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=再由根的判别式和嘏达定理进行求解． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知2c e a ==，所以22222212c a b e a a -===．即222a b =．（2分）又因为1b ==，所以22a =，故椭圆C 的方程为2212x y +=．（4分）（Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在．设:(2)AB y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,)P x y ， 由22(2)1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=．△422644(21)(82)0k k k =-+->，212k <．（6分） 2122812k x x k +=+，21228212k x x k-=+12(OA OB tOP x x +=∴+，12)(y y t x +=，)y ， ∴21228(12)x x k x t t k +==+，1212214[()4](12)y y k y k x x k t t t k +-==+-=+ 点P 在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++，22216(12)k t k ∴=+．（8分） 25||PA PB -<，∴12|x x -，∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-< ∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++，22(41)(1413)0k k ∴-+>，∴214k >．（10分） ∴21142k <<，22216(12)k t k =+，∴222216881212k t k k ==-++， ∴2t -<<2t <<，∴实数t 取值范围为26(2,(,2)-．（12分） 【点评】本题考查椭圆方程的求法和求实数t 取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用根的判别式和韦达定理进行解题．7．（2016•抚顺一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为1A ，右焦点为2F ，过点2F 作垂直于x 轴的直线交该椭圆于M 、N 两点，直线1A M 的斜率为12．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若△1A MN 的外接圆在M处的切线与椭圆相交所得弦长为57，求椭圆方程．【考点】4K ：椭圆的性质【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（Ⅰ）首先，得到点M 的坐标，然后，代入，得到212b a ac =+，从而确定其斜率关系；（Ⅱ）首先，得到1(2A c -，30)(,)2cM c ，然后，可以设外接圆圆心设为0(P x ，0)，结合圆的性质建立等式，然后，利用弦长公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意2(,)b M c a-------------（1分）因为1(,0)A a -，所以212b a ac =-------------+（2分）将222b a c =-代入上式并整理得112a c e a -=-=（或2)a c =----------（3分） 所以12e =------------（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得2a c =，3b c =（或22221)43x y c c+=------------（5分）所以1(2A c -，30)(,)2cM c ，外接圆圆心设为0(P x ，0)由1||||PA PM =222003(2)()()2c x c x c +-+-----------（6分） 解得：08cx =-------------（7分）所以34238PMck c c ==------------+（8分）所以△1A MN 外接圆在M 处切线斜率为34-，设该切线与椭圆另一交点为C则切线MC 方程为33()24c y x c -=--，即3944cy x =-+------------（9分）与椭圆方程2223412x y c +=联立得22718110x cx c -+=------------（10分） 解得1211,7cx c x ==------------（11分）由弦长公式12|||MC x x =-115|77c c -=------------（12分）解得1c =------------（13分）所以椭圆方程为22143x y +=------------（14分）【点评】本题重点考查了椭圆的标准方程、简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等知识，属于中档题．8．（2016•江西模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P 的距（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 【考点】KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（Ⅰ）利用两点间的距离公式可得c ，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a ，b ；（Ⅱ）把直线l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D ，可得1AD BD k k =-，即可得出m 与k 的关系，从而得出答案．【解答】解：（Ⅰ）左焦点(,0)c -到点(2,1)P∴=，解得1c =．又12c e a ==，解得2a =，2223b a c ∴=-=． ∴所求椭圆C 的方程为：22143x y +=．（Ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，△22226416(34)(3)0m k k m =-+->，化为2234k m +>．∴122834mkx x k-+=+，21224(3)34m x x k -=+．22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+． 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0)D ，1AD BD k k =-，∴1212122y y x x =---，1212122()40y y x x x x ∴+-++=，∴2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++． 化为2271640m mk k ++=，解得12m k =-，227km =-．，且满足22340k m +->．当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0)与已知矛盾； 当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7． 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0)7．【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．9．（2016•石家庄二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过点(1,0)M 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，||||MA MB λ=，且当直线l 垂直于x 轴时，||AB = （1）求椭圆C 的方程；（2）若1[2λ∈，2]，求弦长||AB 的取值范围．【考点】4K ：椭圆的性质【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）先由离心率得到a ，b 的关系，再由求出b ，再由直线l 垂直于x 轴时，||AB =求得关于a ，b 的另一方程，联立求得a ，b 的值，则椭圆的标准方程可求；（2）设AB 的方程(1)y k x =-，将直线的方程代入椭圆的方程，消去x 得到关于y 的一元二次方程，再结合根系数的关系，利用向量坐标公式及函数的单调性即可求得直线AB 的斜率的取值范围，从而求得弦长||AB 的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得，c e a ==，即2212c a =，∴22212a b a -=，则222a b =，①把1x =代入22221x y a b +=，得y =则2212b a a-=，② 联立①②得：22a =，21b =．∴椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）如图，当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为(1)y k x =-， 联立22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)20k y ky k ++-=． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则21212222,1212k k y y y y k k --+==++，③ 由||||MA MB λ=，得AM MB λ=，1(1x ∴-，12)(1y x λ-=-，2)y ，则12y y λ-=，④把④代入③消去2y 得：241212k λλ=+-+，当1[2λ∈，2]时，2412[012k λλ=+-∈+，1]2． 解得：272k ． 22221212222221144||1()4(12)12k k k AB y y y y k k k k +=++-=+++2222211922222(1)22(1)(2,]112122k k k k k+==-=-∈+++．∴弦长||AB 的取值范围为92[2,]8．【点评】本题主要考查了椭圆的定义和标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题、平面向量的运算等．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，突出考查了数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法．10．（2016•河南模拟）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标． 【考点】JE ：直线和圆的方程的应用 【专题】15：综合题【分析】（1）因为直线l 过点(4,0)A ，故可以设出直线l 的点斜式方程，又由直线被圆1C 截得的弦长为圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k 的方程，解方程求出k 值，代入即得直线l 的方程．（2）与（1）相同，我们可以设出过P 点的直线1l 与2l 的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k 的方程，解方程求出k 值，代入即得直线1l 与2l 的方程． 【解答】解：（1）由于直线4x =与圆1C 不相交；∴直线l 的斜率存在，设l 方程为：(4)y k x =-（1分）圆1C 的圆心到直线l 的距离为d ，l 被1C 截得的弦长为1d ∴==（2分）d =(247)0k k +=即0k =或724k =-∴直线l 的方程为：0y =或724280x y +-=（5分）（2）设点(,)P a b 满足条件，由题意分析可得直线1l 、2l 的斜率均存在且不为0，不妨设直线1l 的方程为()y b k x a -=-，0k ≠ 则直线2l 方程为：1()y b x a k-=--（6分）1C 和2C 的半径相等，及直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等， 1C ∴的圆心到直线1l 的距离和圆2C 的圆心到直线2l 的距离相等1|5(4)|a b +--=（8分）整理得|13||54|k ak b k a bk ++-=+--13(54)k ak b k a bk ∴++-=±+--即(2)3a b k b a +-=-+或(8)5a b k a b -+=+- 因k 的取值有无穷多个，所以2030a b b a +-=⎧⎨-+=⎩或8050a b a b -+=⎧⎨+-=⎩（10分）解得5212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或32132a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩这样的点只可能是点15(2P ，1)2-或点23(2P -，13)2（12分） 【点评】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k ，直线与圆联立消去y 后得到一个关于x 的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．11．（2015•潍坊模拟）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q +=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F三点的圆恰好与直线:30l x --=相切，求椭圆C 的方程； （3）在（2）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m 使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由．．【考点】4K ：椭圆的性质；KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想【分析】（1）设0(Q x ，0)，由2(,0)F c ，(0,)A b 结合向量条件及向量运算得出关于a ，c 的等式，从而求得椭圆的离心率即可；（2）由（1）知a ，c 的一个方程，再利用AQF ∆的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；（3）由（Ⅱ）知直线:(1)l y k x =-，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得满足题意的点P 且m 的取值范围．【解答】解：（1）设0(Q x ，0)，由2(,0)F c ，(0,)A b 知20(,),(,)F A c b AQ x b =-=-2F A AQ ⊥，∴22000,b cx b x c--==-，由于12220F F F Q +=即1F 为2F Q 中点．故2222223b c c b c a c c-+=-∴==-，故椭圆的离心率12e =，（3分）（2）由（1）知12c a =，得12c a =于是21(2F a ，30)(,0)2Q a -， AQF ∆的外接圆圆心为1(2a -，0)，半径1||2r FQ a ==所以1|3|22a a --=，解得2a =，1c ∴=，3b 所求椭圆方程为22143x y +=，（6分）。